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---几何图形在二次函数中的存在性问题探解

二次函数是初中数学的重要内容，更是中考的重要考点之一，它以丰富的知识内涵，深远的知识综合，深厚的数学思想，灵活的解题方法，奇趣的知识背景等深深吸引着命题老师，更深刻启迪着每位同学.下面就把几何图形在二次函数中的存在性问题介绍给大家，供学习时借鉴.

一、.三角形的存在性

1.1 等腰三角形的存在性

例1 （2017年淮安）如图1-1，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y=2x +bx+c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值（图1-2、1-3供画图探究）．

分析：第一问考查的是待定系数法确定函数的解析式，思路有几个待定系数，解答时就需要确定几个点的坐标；

第二问探析等腰三角形的存在性，解答时，要做到一先一后，先清楚动点的位置与特点，后对等腰三角形进行科学分类，一是按边分类，一是按角分类；

第三问探求三角形面积的最大值，这是二次函数的看家本领，只需将三角形的面积适当分割，恰当表示，最后将三角形面积最大问题转化为二次函数的最值问题求解即可.

解：

（1）因为直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，所以B （3，0），C （0，3），所以{c

=39a+3b+c =0，解得{c =3b =4-，所以抛物线解析式为y=2x ﹣4x+3；

（2）因为y=2x ﹣4x+3=2(x 2)-﹣1，所以抛物线对称轴为x=2，顶点P （2，﹣1），设M （2，t ），因为△CPM 为等腰三角形，如图2所示，

①当MC=PC 时，过C 作CQ ⊥对称轴,垂足为Q ，则Q(2,3),所以QP=MQ=3-(-1)=4,所以M 到x 轴的距离8-1=7，所以1M 的坐标(2,7)；

②当MP=MC 时，作PC 的垂直平分线交对称轴于点M ，所以222(t+1)2+(t-3)=，解得t=32,所以2M 的坐标(2, 32

)；

③当MP=PC 时，以P 为圆心，以PC 为半径画弧，交对称轴于3M ,4M 两点，所以,

解得t=﹣或t=﹣1﹣，此时3M （2，﹣）或4M （2，﹣1﹣；综上可知,存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形，其坐标分别为（2，7）

或（2，32

）或（2，﹣）或（2，﹣1﹣）；（3）如图3所示，过E 作EF ⊥x 轴，交BC 于点F ，交x 轴于点D ，设E （x ，2x ﹣4x+3），则F （x ，﹣x+3），因为0＜x ＜3，所以EF=﹣2x +3x ，

所以S S S CBE CFE BEF =+=12EF?OD +12EF?BD=12EF?OB=﹣3223(x )2-+278

，所以当x=32时，△CBE 的面积最大，此时E 点坐标为（32，-34

），即当E 点坐标为（

32，-34）时，△CBE 的面积最大．

[赏析] 此题以直线与坐标轴交点坐标的确定为解题突破口，强化待定系数法确定二次函数的解析式，解二元一次方程组基本功是否扎实，成为解析式是否确定正确的关键；

按照两边相等的三角形是等腰三角形的思想，巧妙运用分类思想，去确定不同形状的等腰三角形，从而建立起不同的等式，为最终确定点的坐标奠定等式基础，这种分类的思想，以后学习中也会经常用到，希望能熟记于心，活用与手；把三角形面积的最大值转化为二次函数的最大值是本题的最大亮点，而助燃这个亮点的两个细节更是值得关注，一是学会把三角形的面积进行科学分割；二是横坐标相同两点之间距离等于其纵坐标差的绝对值.细节决定成败，谁不注重细节，谁就不会品尝到成功的喜悦.

1.2 定底边等腰三角形的存在性

例2 （2017?毕节）如图4，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．

分析：（1）由A 、B 、C 三点的坐标，利用待定系数法求得抛物线解析式；

（2）利用等腰三角形三线合一的性质，知道点P 在线段OC 的垂直平分线上，从而确定线段OC 中点的坐标，高线与抛物线的交点就是P 点坐标；

（3）过P 作PE ⊥x 轴，交x 轴于点E ，交直线BC 于点F ，用P 点坐标可表示出PF 的长，则可表示出△PBC 的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC 面积的最大值及P 点的坐标．解：

（1）抛物线解析式为y=2x ﹣3x ﹣4；

（2）作OC 的垂直平分线DP ，交OC 于点D ，交BC 下方抛物线于点P ，如图4，

所以PO=PD ，所以D （0，﹣2），所以P 点纵坐标为﹣2，

所以2x ﹣3x ﹣4=﹣2，解得0，舍去）或，所以存在P 点，

使△POC 是以OC 为底边的等腰三角形,,﹣2）；（3）因为点P 在抛物线上，设P （t ，2t ﹣3t ﹣4），过P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点F ，如图5，所以直线BC 解析式为y=x ﹣4，所以F （t ，t ﹣4），所以PF=﹣2t +4t ，所以PBC S =PFC S +PFB S =12PF?OE +12PF?BE=12PF?（OE+BE ）=12

PF?OB=-22(t-2)+8，所以当t=2时，S △PBC 最大值为8，此时2t ﹣3t ﹣4=﹣6，

所以当P 点坐标为（2，﹣6）时，△PBC 的最大面积为8．

[赏析] 第二问解题的关键有二,一是等腰三角形三线合一性质,这是确定P 点位置的关键；第二个是根据点的纵坐标建立一元二次方程确定自变量的值，熟练解一元二次方程是解题的关键；其次，也要注意细节，解的取舍；第三问的解答可以引申如下一般性结论,如图6，已知抛物线y=a 2x +bx +c(a ＜0),点A （1x ，1y ），点B （2x ，2y ），点C （3x ，3y ）是抛物线上的三点，CD ⊥x 轴交线段AB 与点D ，且点D 的坐标为（3x ，4y ）；

结论：三角形ABC 的面积S=ACD S +BCD S =12CD BE=1

（2x -1x ）（3y -4y ）.

1.3 动点在抛物线上的直角三角形存在性

例3 （2017潍坊）如图7，抛物线c bx ax y ++=2

经过平行四边形ABCD 的顶点A(0.3),B(-1.0),D(2.3)，抛物线与x 轴的另一交点为 E.经过点E 的直线

将平行四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F.点P 为直线l

上方抛物线上一动点，设点P 的横坐标为t. （1）求抛物线的解析式；

（2）当t 何值时，△PFE 的面积最大?并求最大值的立方根；

（3）是否存在点P 使△PFE 为直角三角形?若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.

分析:

1.第一问是待定系数法确定二次函数的解析式，只需把三个点的坐标分别代入给出的解析式转化成三元一次方程组求解即可；

2.用自变量t 表示△PEF 的面积,把三角形面积的最大值问题转化成关于t 的二次函数的最

大值问题是解题的关键；

3.直角三角形的存在需要利用分类的思想，确定哪一个角为直角，后求解.

解：

（1）二次函数的解析式为y=-2x +2x+3；

（2）.据A,D 的坐标知道AD=2，所以BC=2，所以点C 的坐标为（1,0），所以直线AC 的解析式为y=-3x+3，直线BC 的解析式为y=x+1，所以对角线的交点坐标为（

12，32），因为经过点E 的直线

l 将平行四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，所以EF 一定经过（12，32

），所以直线EF 的解析式为y=-

35x+95，由2395523y x y x x ?=-+???=-++?

，解得x=-25,所以点F 的坐标为（-25，5125），如图7，过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，交l 于点M ，作FN ⊥PH ，因为点P 的横坐标是t ，所以点P 的纵坐标为为P y =-2t +2t+3,点M 的纵坐标为M y =-35t+95

，所以PM=P y -M y =-2t +

135t+65

. 所以PEF PFM PEM S S S =+=1122PM FN PM EH +=1()2

PM FN EH + =12PM EQ =-2171328917()101010010t -+?，所以当t=1310时，△PEF 面积最大，最大值为2891710010

?=1710. （3）.如图8，因为点P （t, -2t +2t+3）,当t=0时，P 的坐标为(0,3),此时点P 与点A 重合，△PAE 不存在，所以t ≠0；当t=3时，P 的坐标为(3,0),此时点P 与点E 重合，△PAE 不存在，所以t ≠3；

①由图像知道∠PEA ≠90°，

②当∠PAE=90°，因为AE k =3003

--=-1,PA k =22330t t t -++--=-t+2，所以AE k PA k =-1，

所以-t+2=1，解得t=1；

③当∠APE=90°，因为PE k =22303t t t -++--=2233

t t t -++-=-(t+1),

PA k =22330

t t t -++--=-t+2，所以PE k PA k =-1，所以-(t+1)

(-t+2)=-1，

整理，得2t -t-1=0,解得或-25

(舍去)，所以存在点P 使△PAE 为直

角三角形，此时t=1或[赏析] 第一问的解答是基础性问题，知识点很明确，解题的方法与思路也很清晰，熟练是根本；第二问有三个细节是二次函数考题共性问题：用点的横坐标，结合函数解析式表示点的纵坐标，从而使得点坐标用同一字母表达，必须学会；把三角形的面积分割成以交点构成线段为公共底边的两个三角形面积和；平行y 轴直线上两点间的距离等于较上端点与较下端点的纵坐标的差，也很关键，必须学会；其次就是转化思想的渗透；

第三问着重是分类思想，对于直角三角形存在问题，分类时按照哪一个角是直角的标准去分，一共三种情形，其次，要学会直线垂直时解析式的比例系数k 之间的关系，这也是解题中经常用到的方法.

1.4 动点在圆上的直角三角形存在性

例4 （2017年徐州）如图9，已知二次函数y=49

2x ﹣4的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y

轴交于点C ，⊙C ，P 为⊙C 上一动点．

（1）点B ，C 的坐标分别为B （），C （）；

（2）是否存在点P ，使得△PBC 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接PB ，若E 为PB 的中点，连接OE ，则OE 的最大值= ．

分析：

此题第（1）小题考查了求二次函数图像上特殊点的坐标问题；

（2）在第（2）小题中，先讨论当点p 满足什么条件时△PBC 是直角三角形，要想做到不重不漏，选择分类的标准很重要.因为已知条件要求点P 为⊙C 上，根据圆周角的性质可知，∠PBC 一定是锐角，这样△PBC 为直角三角形只有如下两种情形：

①当PB 与⊙C 相切时，△PBC 为直角三角形，如图10，根据勾股定理和相似三角形的性质定理可以求得点P 的坐标；

②当BC ⊥PC 时，△PBC 为直角三角形时，如图11，根据相似三角形的判定和性质也可得到结论；

在第（3）小题中，如图12，点p 在⊙C 上运动时，点E 也随之运动，所以找到当点P 运动到什么位置时OE 的值最大，是解题的关键.根据A,B 的坐标可知点O 是线段AB 的中点，E 是线段PB 的中点，所以OE 是△PAB 的中位线，根据三角形中位线定理，得AO=2OE,所以要想使得OE 最大，只需满足AP 最大，从而把问题转化成圆外一个定点到圆上一个动点距离最大问题，显然是定点，圆心，动点三点共线时取得最大值，于是问题得解.

解：（1）因为二次函数解析式为y=

2x ﹣4，令y=0，得x=±3，令x=0，得y=﹣4，所以B （3，0），C （0，﹣4）；

（2）存在点P ，使得△PBC 为直角三角形.理由如下：

①如图10，当PB 与⊙C 相切时，△PBC 为直角三角形.

连接BC ，因为OB=3．OC=4，所以BC=5，过2P 作2P E ⊥x 轴于E ，2P F ⊥y 轴于F ，则△C 2P F ∽△B 2P E ，且四边形OF 2P B 是矩形，C 2P

, B 2P

,所以2222

P E P B =P F P C =2, 设2P F=OE=x(x ＞0)，则OF=2P E=2x ，所以BE=3﹣x ，CF=2x ﹣4，所以BE 3-x =CF 2x-4=2，所以x=115，2x=225，所以2P F=115，2P E=225，所以2P （115，-225

），过1P 作1P G ⊥x 轴于G ，1P H ⊥y 轴于H ，同理求得1P （-1，-2），

②当BC ⊥PC 时，△PBC 为直角三角形，

过4P 作4P H ⊥y 轴于H ，则△BOC ∽△CH 4P ,

所以44P H P C CH ===OB OC BC

所以4P H 所以4P ）；同理3P （）；

综上所述：点P 的坐标为：（﹣1，﹣2）或（115，-225）或（）或

-4）；（3）如图12，连接AP,因为OB=OA,BE=EP,所以OE 是△ABP 的中位线，所以OE=12

AP ，所以当AP 最大时，OE 的值最大，因为当点P 在AC 的延长线上时，AP 的值最大，最大值为5+

，所以OE .

[赏析] 此题将函数与几何知识有机融合，设计知识点多：二次函数的图像及其性质，直角三角形与勾股定理；直线与圆的位置关系及其切线的性质；相似三角形的判定及其性质；三角形中位线定理的判定及其性质；同时也运用了大量的数学思想：函数思想，转化思想，方程思想；分类思想和数形结合思想，这些都是问题解决的魂所在；特别值得一提的是，本题充分利用了直径是最大弦这一性质，展现了一种圆背景下求最值得新方法，值得借鉴，值得学习，值得掌握，值得活用，这就是数学的魅力.

2. 相似三角形存在性

例5 （2017年山东淄博）如图13，经过原点O 的抛物线y=a 2x +bx （a ≠0）与x 轴交于另一点A(32

,0)，在第一象限内与直线y=x 交于点B （2，t ）. （1）求这条抛物线的表达式；

（2）在第四象限内的抛物线上有一点C ，满足以B,O,C 为顶点的三角形的面积为2，求点C 的坐标；

（3）如图14，若点M 在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO ，在（2）的条件下，是否存在点P ，使得△POC ∽△MOB? 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：

第（1）小题在解答时，结合直线y=x 确定B 的坐标，是解答的关键；接下来用待定系数法转化成方程组确定解析式即可；

第（2）小题解答时，充分利用三角形的面积是2这个条件是解题的关键；

第（3）小题解答需要聚精会神思考，全面梳理给出的条件信息，确定出点M 的坐标是基础，充分利用分类思想，充分利用相似的判定方法，确定点P 应具有的条件，后将条件等式化，从而确定出点P 的坐标.

解：

（1）因为直线y=x 过点B （2，t ），所点B(2,2),所以4a+2b =293a+b =042?????，解得{

a =2

b =3-，所以抛物线的解析式为y=22x -3x ；

（2）过B 作BH ⊥x 轴，垂足为H ，因为点B （2,2），所以BH=OH=2，

过O 点作OE ⊥OB,使△OBE 面积为2，则OE=2，过点E 作GE ⊥x 轴与点G ，则OE=GE=1，所以E （1，-1），过点E 作EF ∥OB ，设直线EF 表达式为y=x+b ，所以直线EF 表达式为y=x-2，由题意得???-=-=x x y x y 3222，解得?

??-==11y x ，所以C(1，-1)；

（3）设MB 于y 轴交于点N ，如图16，因为B （2,2），所以∠AOB=∠NOB=45°，因为∠MBO=∠ABO ，OB=OB ，所以△AOB ≌△NOB ，所以ON=OA=32,所以点N(0, 32

), 设直线BN 的解析式为y=kx+32,所以直线解析式为y=14x+32，所以213

y =x+42y =2x -3x

?????，解得{

3-2824532x x y y ?=?=?=?=?或，所以点M （-38，4532），因为△POC ∽△MOB,所以PO PC OC 1===MO MB OB 2

,∠POC=∠MOB. 当点P 在第一象限时，如图17，过点M 作MG ⊥y 轴，垂足为G ，则MG=

38,OG=4532, 作∠POA=∠GOM, 过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，所以△POH ∽△MOG, 所以PO PH OH 1===MO MG OG 2,所以PH=316,OH=4564,所以点P 的坐标为（4564，316

）；

当点P 位于第二象限时，∠POC ＞∠MOB ，此时不存在符合题意的点P ；

当点P 位于第三象限时，如图18，过点M 作MG ⊥y 轴，垂足为G ，则MG=

38,OG=4532, 作∠POQ=∠GOM, 过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，

所以△POH ∽△MOG,所以PO PH OH 1===MO MG OG 2,所以PH=316,OH=4564

,所以点P 的坐标为（

3 16，-

）；

当点P位于第四象限时，∠POC＜∠MOB，此时不存在符合题意的点P；综上所述，存在这样

的点P，使得△POC∽△MOB,且点P的坐标为（45

，

）或（-

，-

）.

[赏析]本题的精髓深藏在第（3）小题的解答中，一是数学思想深刻：转化思想体现最淋漓尽致，把一般三角形相似的判定转化为特殊的直角三角形相似的判定，转化可谓巧妙；把坐标的确定转化为线段长度的确定，也是坐标系中解题常用有效手段；把点的存在性转化成对应相等夹角的存在性，借助角的大小比较完成了终结性的判断，可谓精妙；二是活用分类思想，紧紧抓住题目的特点，选择科学的分类标准，使得分类不漏不重，这样的分类标准也是以后需要学习，借鉴并活用.其次，凸显夯实基础的重要性，如不能熟练掌握相似三角形判定，你就无法走出这片知识“沼泽”，只能在知识的海洋迷茫.

3.平行四边形的存在性

例6 （2017年临沂）如图19，抛物线y=a2x+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；

（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：

第（1）小题，解答时，走好三步，一步会求解析式与坐标轴的交点坐标；第二步根据OC=3OB 可以确定点B的坐标，第三步根据点A,B的坐标，用待定系数法可得解析式；

（2）连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，确定∠BDO=45°，后利用对称思想，直角三角形的互余原理完成答案的确定；

a﹣2a﹣3），N（1，n），按照以AB为边和AB为对角线两种情形分类求解（3）设M（a，2

即可.

解：（1）由y=a2x+bx﹣3得C（0．﹣3），所以OC=3，因为OC=3OB，所以OB=1，

，所以a=1,b=-2,所以抛物线的解析式为y=2x﹣2x﹣3；

所以 4a+2b-3=-3

a-b-3=0

（2）如图20，设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，所以AF∥x轴，所以F（﹣1，﹣3），所以BF=3，AF=3，所以∠BAC=45°，设D（0，m），则OD=|m|，因为OD=OB=1，所以|m|=1，所以m=±1，所以点D的坐标为（0，1）或（0，﹣1）；

a﹣2a﹣3），N（1，n），

（3）设M（a，2

①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图21，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，

则△ABF≌△NME，所以NE=AF=3，ME=BF=3，所以|a﹣1|=3，所以a=3或a=﹣2，

所以M（4，5）或（﹣2，11）；

②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图22，

则N在x轴上，M与C重合，所以M（0，﹣3），

综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，11）或（0，﹣3）．

[赏析] 第一问的解答启示：必须学会求函数与坐标轴的交点坐标，必须熟练掌握待定系数法求函数的解析式，这是数学学习的基本功，是基础；

第二问的解答启示：学会用点的坐标特点判断直线的平行：横坐标相同，两点确定的直线平行y轴，纵坐标相同，两点所在直线平行x轴，一定要熟练掌握；熟记等腰直角三角形的性

质，这也是特殊角的应用之一；学会对称思想，绝对值思想处理问题，这都是解题的有效方法；

第三问的解答启示：学会分类思想，掌握分类的标准，为边，为对角线两种情形，一定要熟记.

例7（2017年菏泽）如图23，在平面直角坐标系中，抛物线y=a2x+bx+1交y轴于点A，

交x轴正半轴于点B(4,0)，与过A点的直线相交于另一点D(3,5

)，过点D作DC⊥x轴，

垂足为C.

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；

（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

分析：

第一问是一个基本问题，解答起来应该没有问题.

第二问求三角形PCM面积的最大值，需要按照如下思路去定寻：

首先确定三角形PCM是直角三角形，把三角形PCM的面积转化为m的二次函数，其最值可定；第三问主要是渗透平行四边形的判定，仔细观察不难发现已经具备的条件是MN∥CD，根据判定方法，只需加上MN=CD即可，这样确定MN的长度即成为了解题的关键，为了防止漏解，在表示MN的距离时最好借助绝对值来完成，这样即防止了漏解，又能不陷入分类思想的漩涡中，大大提高了解题的准确率.

解：

（1）把点B(4,0)，点D(3,5

)分别代入y=a2x+bx+1中，得

16a+4b+1=0

9a+3b+1=

，

解得

a=-

，所以抛物线的解析式为y=-

x+1；

（2）设直线AD的解析式为y=kx+n，所以

n=1

3k+n=

2??

，

解得

n=1

，所以直线AD的解析式为y=

x+1.

设动点P的坐标为(m,0),所以PC=3-m,当x=m时，y=1

m+1,所以M（m,

m+1）,

所以PM=1

m+1，所以直角三角形PCM的面积S=

PM PC=-

(m-)

+25 16

因为0≤m≤3, -1

＜0,所以S有最大值，且当m=

时，S最大值为

；

（3）设动点P的坐标为(t,0),所以M（t, 1

t+1）,N（t, -

t+1）,

所以MN=| -3

t|,因为DC=

，且MN∥CD，

所以当MN=DC时，四边形DCMN是平行四边形，所以| -3

t|=

，

所以-3

或-

t=-

，

当-3

时，整理，得32t-9t+10=0,此时△=81-120＜0，故方程无解，此时不存在

满足条件的点P；

当-342t +94t=-52

时，整理，得32t -9t-10=0, 此时△=81+120=201＞0，故方程有解，

所以1t 2t ，因为t ＞0，所以1t . 综上所述，存在这样的点P 使得以D,C,M,N 为顶点四边形是平行四边形，

此时,O). [赏析] 通过解题，我们深深体会到如下几点：

1.确定二次函数的解析式需要熟练运用好方程的思想，根据未知数的个数，分别运用三元一次方程组，二元一次方程组，一元一次方程，只要熟练掌握解方程或解方程组的基本要领，确定解析式可谓水到渠成；

2.学会根据题意把最值问题科学转化成相应的二次函数的最值问题，而确定二次函数的最值是同学们的必须课，是二次函数学习的最重要知识点之一，要在常态学习中不断强化，提高解题的熟练度和准确度；

3.学会把坐标系背景下平行y 轴直线上两点间的距离转化为纵坐标差的绝对值，从而使得问题求解更全面，更缜密，谨防漏解致错而痛失不应该丢的分值而遗憾；

4.学会灵活处理二次函数与其他知识的综合，并能灵活，科学的选择解题方法，使得综合问题求解不综合，巧妙将综合化归为单一，专项知识加以求解，这是数学解题的实质，要在学习过程中不断强化和锻炼.

[赏析] 依托典型考题，集思广益，多思多解，也是数学学习的有效手段.

总之，在2017年中考试题中，命题老师都把几何图形在二次函数中存在性问题，作为甄别学生数学能力的代表题型对待，不仅查看学生的数学功底是否夯实，更是培养学生的知识综合，运用综合，综合解决的能力，让学生在掌握函数这部分知识和技能同时，积累思维和实践经验，形成学科核心素养.

二次函数-平行四边形存在性问题

专题：二次函数中的平行四边形存在性问题类型一：已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足） 1.已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A (-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C． ⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式； ⑶坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由．类型：已知两个定点，再找两个点构成平行四边形 1．已知，如图抛物线2 3(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于C 点，与x 轴交于A、B 两点，A 点在B 点左侧。点B 的坐标为(1，0),OC=30B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值： (3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上。是否存在以A、C、E、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

2、练习如图，抛物线：c bx x y ++=22 1与x 轴交于A、B（A 在B 左侧），顶点为C（1，﹣2）。（1）求此抛物线的关系式；并直接写出点A、B 的坐标；（2）求过A、B、C 三点的圆的半径；（3）在抛物线上找点P，在y 轴上找点E，使以A、B、P、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点P、E 的坐标。 1．如图，抛物线2 23y x x =--与x 轴交A、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．

(完整版)二次函数与三角形的存在性问题的解法

二次函数与三角形的存在性问题一、预备知识 1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ） (1)线段对称轴是直线2x 2 1x x += (2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-= 中点公式：已知两点 ()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++222121y y ,x x 。 2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y += 如果这两天两直线互相垂直，则有121-=?k k 3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2 （1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2 （2）当k1≠k2，，L1与L2相交（3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直二、三角形的存在性问题探究：三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形（一）三角形的性质和判定： 1、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。 2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形 4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

中考数学二次函数存在性问题及参考答案

中考数学二次函数存在性问题及参考答案
一、二次函数中相似三角形的存在性问题 1.如图，把抛物线向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位，得到抛物线 . 所得抛物线与轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边），与轴交于点 C，顶点为 D. （1）写出的值；（2）判断△ACD 的形状，并说明理由；（3）在线段 AC 上是否存在点 M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由.
2.如图，已知抛物线经过 A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点 O，顶点为 C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且 A、O、D、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点 D 的坐标；（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点 P 作 PM x 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以 P、M、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
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二、二次函数中面积的存在性问题 3.如图，抛物线与双曲线相交于点 A，B．已知点 B 的坐标为（－2，－2），点 A 在第一象限内，且 tan∠AOX＝4．过点 A 作直线 AC∥ 轴，交抛物线于另一点 C．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点 D，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点 D 的坐标；若不存在，请你说明理由．
4.如图，抛物线 y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形 ABCD 的四个顶点，梯形的底 AD 在 x 轴上，其中 A（－2,0），B（－1, －3）．（1）求抛物线的解析式；（3 分）（2）点 M 为 y 轴上任意一点，当点 M 到 A、B 两点的距离之和为最小时，求此时点 M 的坐
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二次函数的存在性问题(面积)及答案

图12-2 x C O y A B D 1 1 二次函数的存在性问题(面积问题) 1、[08云南双柏]已知：抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB

二次函数中和角有关的存在性问题

二次函数中与角有关的存在性问题与角有关的存在性问题包括相等角的存在性、二倍角或半角的存在性，其他倍数关系角的存在性等，解决这类问题我们通常利用以下知识点去构造相关角： ①平行线的同位角、内错角相等；②等腰三角形的等边对等角；③相似三角形对应角相等；④全等三角形对应角相等；⑤三角形的外角定理等。然后利用解直角三角形、相似三角形边的比例关系作为计算工具去计算求解，难度相对较大，需要同学们灵活运用，融会贯通。【类型一相等角的存在性问题】（一）.利用平行线、等腰三角形构造相等角例1 如图，直线33+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线c bx x y ++-=2 与直线y =c 分别交y 轴的正半轴于点C 和第一象限的点P ，连接PB ，得BOA PCB ≌△△（O 为坐标原点）。若抛物线与x 轴正半轴交点为点F ，设M 是点C ，F 间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m . （1）直接写出点P 的坐标和抛物线的解析式. （2）求满足POA MPO ∠=∠的点M 的坐标.

（二）.利用相似三角形构造相等角例2 如图，抛物线c bx x y ++=2 2 1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知OB=OC=6. （1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）连接BD ，F 为抛物线上一动点，当EDB FAB ∠=∠时，求点F 的坐标；解：（1）因为OB=OC=6，所以B （6，0），C ()6,0-，将 B 、 C 点坐标代入解析式，得 ()822 162212 2--=--= x x x y ，所以点D 的坐标为（2，—8）（2）如图1，过F 作FG ⊥x 轴于点G ，设?? ? ?? --6221, F 2x x x ，则FG=62212--x x ，AG=x +2，当EDB FAB ∠=∠时，且B ED GA ∠=∠F ，所以BDE FAG ∽△△，所以 FG AG EB DE = ，即2622 12482=--+=x x x ，当点F 在x 轴上方时，则有12422 --=+x x x ，解得x=—2（舍去）或x=7，此时F 点的坐标为?? ? ??297，；当点F 在x 轴下方时，则有）（12422 ---=+x x x ，解得x=—2（舍去）或x=5，此时F 点的坐标为??? ? ?-275，，,综上可知点F 的坐标为??? ?? 297，或?? ? ? ?-275， .

(完整版)二次函数中的存在性问题(答案)

二次函数中的存在性问题姓名 1．已知抛物线y=﹣x2+x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及点C．（1）求直线和抛物线解析式；（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由． 3．已知直线y=x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线CA上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．

4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），过点A的直线y=kx+1交抛物线于点C（2，3）．（1）求直线AC及抛物线的解析式；（2）若直线y=kx+1与抛物线的对称轴交于点E，以点E为中心将直线y=kx+1顺时针旋转90°得到直线l，设直线l与y轴的交点为P，求△APE的面积；（3）若G为抛物线上一点，是否存在x轴上的点F，使以B、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）求抛物线的顶点及对称轴；（3）若点Q是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ是否存在最小值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（4）若点P是直线BC上方的一个动点，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出点P的坐标及此时△PBC 的面积；若不存在，说明理由．

二次函数的存在性问题(面积问题)

二次函数的存在性问题(面积问题) [08湖北荆州]已知：如图，R t △AOB 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的正半轴和y 轴的负半轴上，C 为OA 上一点且OC ＝OB ，抛物线y=(x －2)(x －m )－(p-2)(p-m)（m 、p 为常数且m+2≥2p>0）经过A 、C 两点．（1）用m 、p 分别表示OA 、OC 的长；（2）当m 、p 满足什么关系时，△AOB 12220.(1)0 2)()(2)()0 )(2)0,222020 2,1(2),2 11 (2) 2211 (2)22 1 (2) 1 2(2)1 2 2()2 AOB AOB AO y x x m p p m x p x m p x p x m p m p m p p OA m p OC P OC OB S OA OB S OA OB P m p P m P m p m S =-----=---+=∴==+-+>>∴+->>∴=+-===∴==+-=-+++∴=-=+?-令得：（整理得：（当时，. B 最大 [08湖北荆州]如图，等腰直角三角形纸片AB C 中，AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90o，直角边AC 在x 轴上，B 点在第二象限，A （1，0），AB 交y 轴于E ，将纸片过E 点折叠使BE 与EA 所在直线重合，得到折痕EF （F 在x 轴上），再展开还原沿EF 剪开得到四边形BCFE ，然后把四边形BCFE 从E 点开始沿射线EA 平移，至B 点到达A 点停止.设平移时间为t （s ），移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE 与△AEF 重叠的面积为S. （1）求折痕EF 的长；（2）是否存在某一时刻t 使平移中直角顶点C 经过抛物线243y x x =++的顶点？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）直接写出．．．．S 与t 的函数关系式及自变量t 25.145101ABC BE EA FE EA Rt AC BC CAB EF EA A OA OE AE EF ∴⊥=∴∠=?∴=∴===∴=（）折叠后与所在直线重合又中（，），折痕 ∥BA 交Y 轴于P ， 2（）存在.设CP 413 POC C CP AC OA OC OP ==∴==则为等腰直角三角形，直角顶点在射线上移动，

二次函数(存在性问题)

函数图象中点的存在性问题（强化训练）切入点一：利用基本图形来作图(充分利用图形的特殊性质)，并描述作图方法切入点二：做好数据准备，计算尽量利用相似、数形结合（交轨法）切入点三：紧扣不变量，善于使用前题所采用的方法或结论切入点四：在题目中寻找多解的信息(不重不漏) 1.1因动点产生的平行四边形问题 1. 如图1，直线L：y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线G：y=ax2+bx+c 与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．（1）该抛物线G的解析式为；（2）将直线L沿y轴向下平移个单位长度，能使它与抛物线G只有一个公共点；（3）若点E在抛物线G的对称轴上，点F在该抛物线上，且以点A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形，求点E与点F坐标并直接写出平行四边形的周长．（4）连接AC，得△ABC．若点Q在x轴上，且以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点Q 的坐标．

2. 在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax2-2ax+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），AB=4，与y轴交于点C，且过点（2，3）．（1）求此二次函数的表达式；（2）若抛物线的顶点为D，连接CD、CB，问抛物线上是否存在点P，使得∠PBC+∠BDC=90°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点K为抛物线上C关于对称轴的对称点，点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、K、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

-几何图形在二次函数中的存在性问题探解

---几何图形在二次函数中的存在性问题探解二次函数是初中数学的重要内容，更是中考的重要考点之一，它以丰富的知识内涵，深远的知识综合，深厚的数学思想，灵活的解题方法，奇趣的知识背景等深深吸引着命题老师，更深刻启迪着每位同学.下面就把几何图形在二次函数中的存在性问题介绍给大家，供学习时借鉴. 一、.三角形的存在性 1.1 等腰三角形的存在性例1 （2017年淮安）如图1-1，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y=2x +bx+c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值（图1-2、1-3供画图探究）．分析：第一问考查的是待定系数法确定函数的解析式，思路有几个待定系数，解答时就需要确定几个点的坐标；第二问探析等腰三角形的存在性，解答时，要做到一先一后，先清楚动点的位置与特点，后对等腰三角形进行科学分类，一是按边分类，一是按角分类；第三问探求三角形面积的最大值，这是二次函数的看家本领，只需将三角形的面积适当分割，恰当表示，最后将三角形面积最大问题转化为二次函数的最值问题求解即可. 解：（1）因为直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，所以B （3，0），C （0，3），所以{c =39a+3b+c =0，解得{c =3b =4-，所以抛物线解析式为y=2x ﹣4x+3；（2）因为y=2x ﹣4x+3=2(x 2)-﹣1，所以抛物线对称轴为x=2，顶点P （2，﹣1），设M （2，t ），因为△CPM 为等腰三角形，如图2所示， ①当MC=PC 时，过C 作CQ ⊥对称轴,垂足为Q ，则Q(2,3),所以QP=MQ=3-(-1)=4,所以M 到x 轴的距离8-1=7，所以1M 的坐标(2,7)； ②当MP=MC 时，作PC 的垂直平分线交对称轴于点M ，所以222(t+1)2+(t-3)=，解得t=32,所以2M 的坐标(2, 32 )；

二次函数存在性问题总结

已知，抛物线322 --=x x y 交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C. １、线段最值 ①线段和最小点P 是抛物线对称轴上一动点，当点P 坐标为多少时,PA+PC 值最小． A B C O x y ②线段差最大点Q 是抛物线对称轴上一动点,当点Q 坐标为多少时,|QA －QC|值最大． A B C O x y ③线段最值连接ＢC,点M 是线段ＢC 上一动点，过点M 作ＭN/／y 轴,交抛物线于点Ｎ，求线段MN 的最大值及点N 的坐标. A B C O x y N M 变式① 点N 是第四象限内抛物线上一动点,连接BN 、CN,求BCN S ?的最大值及点Ｎ的坐标 A B C O x y N

变式② 点Ｎ是第四象限内抛物线上一动点，求点Ｎ到线段BC 的最大距离及点Ｎ的坐标 A B C O x y N M 2、等腰三角形的存在性问题点D 为抛物线322 --=x x y 的顶点，连接BC ，点P 是直线B Ｃ上一动点，是否存在点P,使△PAD 为等腰三角形,若存在，求出点P 的坐标，若不存在,说明理由. A B C O x y D ３、菱形的存在性问题点Ｄ为抛物线322 --=x x y 的顶点，连接BC 点P 是直线BC 上一动点，点Q 为坐标平面内一点，是否存在以A 、Ｄ、Ｐ、Q 为顶点的四边形是菱形,若存在,求出点P 坐标，若不存在,说明理由． A B C O x y D ４、平行四边形的存在性问题点D 为抛物线322 --=x x y 的顶点，点M 是抛物线上一动点，点N 为直线ＢC 上一动点,是否存在以O 、D 、Ｍ、N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M 坐标，若不存在,说明理由. A B C O x y D 5、直角三角形的存在性问题

中考数学二次函数存在性问题及参考答案

中考数学二次函数存在性问题及参考答案一、二次函数中相似三角形的存在性问题 1.如图，把抛物线2 =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2 y x =-+. y x h k () 所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D. （1）写出h k 、的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 2.如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．二、二次函数中面积的存在性问题

3.如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线k y x = 相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOX ＝4．过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由． 4.如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）．（1）求抛物线的解析式；（3分）（2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；（2分）（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分） (4)在抛物线的BD 段上是否存在点Q 使三角形BDQ 的面积最大，若有，求出点Q 的坐标，若没有，请说明理由。三、二次函数中直角三角形的存在性问题 5.如图,△ABC 是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．（1）求b ,c 的值；

答案二次函数-矩形的存在性问题

参考答案 1. (2015 黑龙江省龙东地区) 如图，四边形OABC 是矩形，点A 、C 在坐标轴上，△ODE 是△OCB 绕点O 顺时针旋转90°得到的，点D 在x 轴上，直线BD 交y 轴于点F ，交OE 于点H ，线段BC 、OC 的长是方程x 2﹣6x+8=0的两个根，且OC ＞BC ．（1）求直线BD 的解析式；（2）求△OFH 的面积；（3）点M 在坐标轴上，平面内是否存在点N ，使以点 D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 1. 分析：（1）解方程可求得OC 、BC 的长，可求得B 、D 的坐标，利用待定系数法可求得直线BD 的解析式；（2）可求得E 点坐标，求出直线OE 的解析式，联立直线BD 、OE 解析式可求得H 点的横坐标，可求得△OFH 的面积；（3）当△MFD 为直角三角形时，可找到满足条件的点N ，分∠MFD=90°、∠MDF=90°和∠FMD=90°三种情况，分别求得M 点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标，再利用中点坐标公式可求得N 点坐标．解答：解：（1）解方程x 2﹣6x+8=0可得x=2或x=4，∵BC 、OC 的长是方程x 2 ﹣6x+8=0的两个根，且OC ＞BC ， ∴BC=2，OC=4，∴B （﹣2，4），∵△ODE 是△OCB 绕点O 顺时针旋转90°得到的， ∴OD=OC=4，DE=BC=2，∴D （4，0），设直线BD 解析式为y=kx+b ，把B 、D 坐标代入可得，解得，∴直线BD 的解析式为y=﹣x+；（2）由（1）可知E （4，2），设直线OE 解析式为y=mx ，把E 点坐标代入可求得m=， ∴直线OE 解析式为y=x ，令﹣x+=x ，解得x=，∴H 点到y 轴的距离为，又由（1）可得F （0，），∴OF=，∴S △OFH =××=；（3）∵以点D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是矩形， ∴△DFM 为直角三角形， ①当∠MFD=90°时，则M 只能在x 轴上，连接FN 交MD 于点G ，如图1，由（2）可知OF=，OD=4，则有△MOF ∽△FOD ， ∴=，即=，解得OM=，∴M （﹣，0），且D （4，0），∴G （，0），设N 点坐标为（x ，y ），则=，=0，解得x=，y=﹣，此时N 点坐标为（，﹣）； ②当∠MDF=90°时，则M 只能在y 轴上，连接DN 交MF 于点G ，如图2，则有△FOD ∽△DOM ， ∴=，即=，解得OM=6， ∴M （0，﹣6），且F （0，）， ∴MG=MF=，则OG=OM ﹣MG=6﹣=， ∴G （0，﹣），设N 点坐标为（x ，y ），则=0，=﹣，解得x=﹣4，y=﹣，此时N （﹣4，﹣）； ③当∠FMD=90°时，则可知M 点为O 点，如图3， ∵四边形MFND 为矩形， ∴NF=OD=4，ND=OF=，可求得N （4，）；综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为（，﹣）或（﹣4，﹣）或（4，）． 2. (2015 重庆市綦江县) 如图，抛物线2 23y x x =-++与x 轴交与A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与

二次函数存在性问题总结

已知,抛物线322 --=x x y 交x 轴于点Ａ、Ｂ,交y 轴于点C. 1、线段最值 ①线段和最小点P 是抛物线对称轴上一动点,当点P 坐标为多少时,PA+ＰＣ值最小. A B C O x y ②线段差最大点Q 是抛物线对称轴上一动点,当点Q 坐标为多少时,|Q Ａ－QC ｜值最大． A B C O x y ③线段最值连接B Ｃ,点Ｍ是线段BC 上一动点，过点M 作M Ｎ//y 轴,交抛物线于点N ，求线段MN 的最大值及点N 的坐标. A B C O x y N M 变式① 点Ｎ是第四象限内抛物线上一动点,连接ＢＮ、CN,求BCN S ?的最大值及点N 的坐标 A B C O x y N

变式② 点N 是第四象限内抛物线上一动点，求点N 到线段ＢC 的最大距离及点N 的坐标 A B C O x y N M ２、等腰三角形的存在性问题点Ｄ为抛物线322 --=x x y 的顶点，连接BC ，点P 是直线BC 上一动点，是否存在点P ，使△ＰAD 为等腰三角形,若存在，求出点P 的坐标，若不存在,说明理由. A B C O x y D 3、菱形的存在性问题点Ｄ为抛物线322 --=x x y 的顶点,连接BC 点P 是直线B Ｃ上一动点，点Q 为坐标平面内一点,是否存在以A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形,若存在,求出点Ｐ坐标，若不存在,说明理由. A B C O x y D 4、平行四边形的存在性问题点D 为抛物线322 --=x x y 的顶点,点Ｍ是抛物线上一动点,点N 为直线B Ｃ上一动点，是否存在以Ｏ、Ｄ、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形,若存在，求出点M 坐标，若不存在,说明理由． A B C O x y D 5、直角三角形的存在性问题

二次函数中的存在性问题(等腰三角形的存在性问题)

二次函数中的存在性问题(等腰三角形) 1.如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．

2如图，已知抛物线224 233 y x x =- ++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．点M 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度向B 运动，过M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交BC 于（1）求点B 和点C 的坐标；（2）设当点M 运动了x （秒）时，四边形OBPC 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．（3）在线段BC 上是否存在点Q ，使得△DBQ 成为以BQ 等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．

3.已知：如图，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A 、(5,0)B 、(0,5)C 三点．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点C 的直线y kx b =+与抛物线相交于点E （4，m ），请求出△CBE 的面积S 的值；（3）在抛物线上求一点0P 使得△ABP 0为等腰三角形并写出0P 点的坐标；（4）除（3）中所求的0P 点外，在抛物线上是否还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P （要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P ，请说明理由．

二次函数存在性问题及解答

初中数学二次函数存在性问题总复习试题及解答 1．（10广东深圳）如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）． (1）求抛物线的解析式； (2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标； (3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △P AD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．答案：（1）、因为点A 、B 均在抛物线上，故点A 、B 的坐标适合抛物线方程 ∴403a c a c +=??+=-? 解之得：14 a c =??=-?；故24y x =-为所求 (2）如图2，连接BD ，交y 轴于点M ，则点M 就是所求作的点设BD 的解析式为y kx b =+，则有203k b k b +=?? -+=-?，1 2 k b =??=-?，故BD 的解析式为2y x =-；令0,x =则2y =-，故(0,2)M - (3)、如图3，连接AM ，BC 交y 轴于点N ，由（2）知，OM=OA=OD=2，90AMB ∠=? 易知BN=MN=1，易求AM BM == 122ABM S =?=；设2(,4)P x x -，依题意有：214422AD x -=?，即：2 144422x ?-= ? 解之得：x =±，0x = ，故符合条件的P 点有三个： 123((0,4)P P P -- 图2

2． (10北京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = - 41-m x 2+4 5m x +m 2-3m + 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2，n )在这条抛物线上。 (1) 求点B 的坐标； (2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E 。延长PE 到点D 。使得ED =PE 。以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD (当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动) 当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求 OP 的长；若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动)。过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F 。延长QF 到点M ，使得FM =QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN (当Q 点运动时，M 点，N 点也随之运动)。若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值。答案：解：(1) ∵拋物线y = -41-m x 2+4 5m x +m 2-3m +2经过原点， ∴m 2 -3m +2=0，解得m 1=1，m 2=2，由题意知m ≠1，∴m =2， ∴拋物线的解析式为y = -41x 2+25 x ， ∵点B (2，n )在拋物线 y = -41x 2+2 5 x 上， ∴n =4，∴B 点的坐标为(2，4)。 (2) 设直线OB 的解析式为y =k 1x ，求得直线OB 的解析式为 y =2x ， ∵A 点是拋物线与x 轴的一个交点，可求得A 点的坐标为(10，0)，设P 点的坐标为(a ，0)，则E 点的坐标为(a ，2a )，根据题意作等腰直角三角形PCD ，如图1。可求得点C 的坐标为(3a ，2a )，由C 点在拋物线上，得2a = -41?(3a )2+2 5 ?3a ，即49a 2-211a =0，解得a 1=9 22，a 2=0 (舍去)， ∴OP =9 22 。依题意作等腰直角三角形QMN ，设直线AB 的解析式为y =k 2x +b ，由点A (10，0)，点B (2，4)，求得直线AB 的解析式为y = -2 1 x +5，当P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：第一种情况：CD 与NQ 在同一条直线上。如图2所示。可证△DPQ 为等腰直角三角形。此时OP 、DP 、AQ 的长可依次表示为t 、4t 、2t 个单位。 ∴PQ =DP =4t ，∴t +4t +2t =10，∴t =7 10 。第二种情况：PC 与MN 在同一条直线上。如图3所示。可证△PQM 为等腰直角三角形。此时OP 、AQ 的长可依次表示为t 、2t 个单位。∴OQ =10-2t ，

二次函数中的存在性问题

二次函数中的存在性问题一、二次函数中相似三角形的存在性问题 1.如图，把抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线. 所得抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与轴交于点C，顶点为D. （1）写出的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 1、解：（1）∵由平移的性质知，的顶点坐标为Ｄ（－１，－４），∴。

（2）由（1）得.当时，．解之，得。∴. 又当时，，∴C点坐标为（0，－3）。又抛物线顶点坐标D（－1，－4），作抛物线的对称轴交轴于点E，DF⊥轴于点F。易知,在Rt△AED中，AD2=22+42=20，在Rt△AOC中，AC2=32+32=18，在Rt△CFD中，CD2=12+12=2， ∴AC2＋ CD2＝AD2。∴△ACD是直角三角形。（3）存在．作OM∥BC交AC于M，Ｍ点即为所求点。由（2）知，△AOC为等腰直角三角形，∠BAC＝450，AC。由△AOM∽△ABC，得。即。过M点作MG⊥AB于点G，则AG=MG=， OG=AO－AG=3－。又点M在第三象限，所以M（－，－）。 2.如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上， A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PMx轴于M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2、解：（1）设抛物线的解析式为， ∵抛物线过A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0）可得，解得。 ∴抛物线的解析式为。（2）①当AE为边时，∵A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，∴DE=AO=2，则D在轴下方不可能，∴D在轴上方且DE=2，则D1（1，3），D2（﹣3，3）。 ②当AO为对角线时，则DE与AO互相平分。 ∵点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为﹣1，由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即C（﹣1，﹣1）。故符合条件的点D有三个，分别是D1（1，3），D2（﹣3，3），C（﹣1，﹣1）。（3）存在，如图：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根据勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，∴BO2+CO2=BC2． ∴△BOC是直角三角形。假设存在点P，使以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似，设P（，），由题意知＞0，＞0，且， ①若△AMP∽△BOC，则。即 +2=3（2+2）得：1=，2=﹣2（舍去）．当=时，=，即P（，）。

二次函数中点的存在性问题

二次函数中的存在性问题 1．已知抛物线y=﹣x2+x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及点C．（1）求直线和抛物线解析式；（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由． 3．已知直线y=x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线CA上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．

二次函数的存在性问题(相似三角形的存在性问题)

二次函数的存在性问题（相似三角形） 1、已知抛物线的顶点为A (2，1)，且经过原点O ，与x 轴的另一交点为B 。 (1)求抛物线的解析式； (2)若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标； (3)连接OA 、AB ，如图②，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。 2、设抛物线2 2y ax bx =+-与x 轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m ，0)，与y 轴交于点C .且∠ACB=90°．

x y F - 2 -4 -6 A C E P D B 5 2 1 2 4 6 G (1)求m 的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A 的直线1y x =+交抛物线于另一点E ．若点P 在x 轴上，以点P 、B 、D 为顶点的三角形与△AEB 相似，求点P 的坐标．(3)在(2)的条件下，△BDP 的外接圆半径等于________________．解：(1)令x=0，得y=－2 ∴C(0，一2)．∵ACB=90°，CO ⊥AB,．∴ △AOC ∽△COB,． ∴OA ·OB=OC 2 ；∴OB= 22 241 OC OA == ∴m=4． 3、已知抛物线2y ax bx c =++经过点A （5，0）、B （6，-6）和原点.（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点B 的直线y k x b '=+与抛物线相交于点C （2，m ），请求出?OBC 的面积S 的值. （3）过点C 作平行于x 轴的直线交y 轴于点D ，在抛物线对称轴右侧位于直线DC 下方的抛物线上，任取一点P ，过点P 作直线PF 平行于y 轴交x 轴于点F ，交直线DC 于点E . 直线PF 与直线DC 及两坐标轴围成矩形OFED （如图），是否存在点P ，使得?OCD 与?CPE 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（1）由题意得：255036600a b c a b c c ++=??++=??=? 解得1 50a b c =-??=??=?故抛物线的函数关系式为2 5y x x =-+ （2）C 在抛物线上，2 252,6m m ∴-+?=∴= C ∴点坐标为（2，6）， B 、 C 在直线y kx b '=+上

二次函数中的存在性问题(相似三角形的存在性问题)

x y F - 2 -4 -6 A C E P D B 5 2 1 2 4 6 G 2、设抛物线2 2y ax bx =+-与x 轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m ，0)，与y 轴交于点C .且∠ACB=90°． (1)求m 的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A 的直线1y x =+交抛物线于另一点E ．若点P 在x 轴上，以点P 、B 、D 为顶点的三角形与△AEB 相似，求点P 的坐标．(3)在(2)的条件下，△BDP 的外接圆半径等于________________．解：(1)令x=0，得y=－2 ∴C(0，一2)．∵ACB=90°，CO ⊥AB,．∴ △AOC ∽△COB,． ∴OA ·OB=OC 2；∴OB= 22 241 OC OA == ∴m=4． 3、已知抛物线2y ax bx c =++经过点A （5，0）、B （6，-6）和原点.（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点B 的直线y kx b '=+与抛物线相交于点C （2，m ），请求出?OBC 的面积S 的值. （3）过点C 作平行于x 轴的直线交y 轴于点D ，在抛物线对称轴右侧位于直线DC 下方的抛物线上，任取一点P ，过点P 作直线PF 平行于y 轴交x 轴于点F ，交直线DC 于点E . 直线PF 与直线DC 及两坐标轴围成矩形OFED （如图），是否存在点P ，使得?OCD 与?CPE 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

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