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最新二次函数存在性问题专题复习(全面典型含答案)

中考数学专题复习——存在性问题

存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来包括深圳在内各地中考的“热点”。这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。

以下为几种典型的二次函数中出现的存在性问题，讲解后希望各位考生在以后的考试中如果遇到此类型时能够很顺畅的把过程写下来。

一、二次函数中相似三角形的存在性问题

1.（2011枣庄10分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，把抛物线2y x =向左平

移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2()y x h k =-+.所得抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为D. （1）写出h k 、的值；

（2）判断△ACD 的形状，并说明理由；

（3）在线段AC 上是否存在点M ，使△AOM ∽△ABC ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.

2.（2011临沂13分）如图，已知抛物线经过A （﹣2，0），B （﹣3，3）及原点O ，顶点为C ．（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且A 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标；

（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是

否存在点P ，使得以P 、M 、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

二、二次函数中面积的存在性问题

3. （2011日照10分）如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线k

y x

相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOX ＝4．过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC 的面积；

（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．

4.（2010年深圳，9分）如图9，抛物线y ＝ax 2

＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x

轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）．（1）求抛物线的解析式；（3分）

（2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；（2分）（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分）

(4)自编：在抛物线的BD 段上是否存在点Q 使三角形BDQ 的面积最大，若有，求出点Q 的坐标，若没有，请说明理由。

三、二次函数中直角三角形的存在性问题

5.（2011重庆潼南中考，12分）如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，

B _ D

_ A

图9

OC=4，抛物线2

y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．

（1）求b ,c 的值；

（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；

（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由.

四、二次函数中等腰三角形的存在性问题

6.（2011湘潭市中考，10分）如图，直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3,0）. ⑴ 求抛物线的解析式;

⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件

的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.

五、二次函数中等腰梯形、直角梯形的存在性问题

7．(2010山东临沂）如图，二次函数y = -x 2

+ax +b 的图像与x 轴交于A (-

，0)、 B (2，0)两点，且与y 轴交于点C ； y C

A O C B

26题备用图

A O C B

x y 26题图

O C

(1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC 的形状；

(2) 在x 轴上方的拋物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标； (3) 在此拋物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点

为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

六、二次函数中菱形的存在性问题 8．（2012?辽宁铁岭）如图，已知抛物线经过原点O 和x 轴上一点A （4，0），抛物线顶点为E ，它的对称轴与x 轴交于点D ．直线y=﹣2x ﹣1经过抛物线上一点B （﹣2，m ）且与y 轴交于点C ，与抛物线的对称轴交于点F ．

（1）求m 的值及该抛物线对应的解析式；

（2）P （x ，y ）是抛物线上的一点，若S △ADP =S △ADC ，求出所有符合条件的点P 的坐标；

（3）点Q 是平面内任意一点，点M 从点F 出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M 的运动时间为t 秒，是否能使以Q 、A 、E 、M 四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M 的运动时间t 的值；若不能，请说明理由．

七、二次函数中与圆有关存在性问题

9.已知：抛物线y x m x m =+--+2

1264()与x 轴交于两点A （x 1，0），B （x 2，0）()x x x x 121

0<<，

，它的对称轴交x 轴于点N （x 3，0），若A ，B 两点距离不大于6，（1）求m 的取值范围；（2）当AB=5时，求

抛物线的解析式；（3）试判断，是否存在m 的值，使过点A 和点N 能作圆与y 轴切于点（0，1），或过点B 和点N 能作圆与y 轴切于点（0，1），若存在找出满足条件的m 的值，若不存在试说明理由

定值问题：

1.（2012四川自贡）如图所示，在菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形，点E 、F 分别在菱形的边BC ．CD 上滑动，且E 、F 不与B ．C ．D 重合．（1）证明不论E 、F 在BC ．CD 上如何滑动，总有BE=CF ；

（2）当点E 、F 在BC ．CD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 和△CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

1、【答案】解：（1）∵由平移的性质知，2()y x h k =-+的顶点坐标为Ｄ（－１，－４），

∴1

4h k =-=-，。（2）由（1）得()2

=14y x +-.

当=0y 时，()2

140x +-=．解之，得1231x x =-=，。

∴A(30)B 10- ，，(，).

又当0x =时，()()22

=140143y x +-=+-=-，

∴C 点坐标为（0，－3）。又抛物线顶点坐标D （－1，－4），

作抛物线的对称轴1x =-交x 轴于点E ，DF ⊥ y 轴于点F 。易知在Rt △AED 中，AD 2

=22

+42

=20，在Rt △AOC 中，AC 2

=32

+32

=18，

在Rt △CFD 中，CD 2

=12

+12

=2， ∴AC 2

＋ CD 2

＝AD 2

。∴△ACD 是直角三角形。（3）存在．作OM ∥BC 交AC 于M ，Ｍ点即为所求点。

由（2）知，△AOC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝450

，AC 1832==。由△AOM ∽ △ABC ，得

AO AM

AB AC

。即3AM 9,AM 24432== 。过M 点作MG ⊥AB 于点G ，则AG=MG=2

9281942164

???==， OG=AO －AG=3－

=。又点M 在第三象限，所以M （－34，－94）

。 2、【答案】解：（1）设抛物线的解析式为()20y ax bx c a =++≠，

∵抛物线过A （﹣2，0），B （﹣3，3），O （0，0）可得 42=093=3=0

a b c a b c c -+??-+???

，解得 =1=2=0a b c ??

???。

∴抛物线的解析式为22y x x =+。

（2）①当AE 为边时，∵A 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，∴DE=AO=2，

则D 在x 轴下方不可能，∴D 在x 轴上方且DE=2，则D 1（1，3），D 2（﹣3，3）。②当AO

为对角线时，则DE 与AO 互相平分。

∵点E 在对称轴上，且线段AO 的中点横坐标为﹣1，

由对称性知，符合条件的点D 只有一个，与点C 重合，即C （﹣1，﹣1）。故符合条件的点D 有三个，分别是D 1（1，3），D 2（﹣3，3），C （﹣1，﹣1）。（3）存在，如图：∵B （﹣3，3），C （﹣1，﹣1），根据勾股定理得： BO 2

=18，CO 2

=2，BC 2

=20，∴BO 2

+CO 2

=BC 2

．∴△BOC 是直角三角形。

假设存在点P ，使以P ，M ，A 为顶点的三角形与△BOC 相似，

设P （x ，y ），由题意知x ＞0，y ＞0，且22y x x =+，

①若△AMP ∽△BOC ，则

AM PM

BO CO

。即 x +2=3（x 2

+2x ）得：x 1=13

，x 2=﹣2（舍去）．

当x =13时，y =79，即P （13，7

）。

②若△PMA ∽△BOC ，则，BO PM

CO BO

。即：x 2

+2x =3（x +2）得：x 1=3，x 2=﹣2（舍去）当x =3时，y =15，即P （3，15）．

故符合条件的点P 有两个，分别是P （13，7

）或（3，15）。

3、【答案】解：（1）把点B （－2，－2）的坐标代入k y x =得，22

-=-，∴k ＝4。

∴双曲线的解析式为：4

y x

=。

设A 点的坐标为（m ，n ）．∵A 点在双曲线上，∴mn ＝4。又∵tan ∠AOX ＝4，∴

m n

＝4，即m ＝4n 。∴n 2

＝1，∴n ＝±1。 ∵A 点在第一象限，∴n ＝1，m ＝4。∴A 点的坐标为（1，4）。

把A 、B 点的坐标代入2y ax bx =+得，4422a b a b +=??-=-?

，解得，a ＝1，b ＝3。

∴抛物线的解析式为：23y x x =+。（2）∵AC ∥x 轴，∴点C 的纵坐标y ＝4，

代入23y x x =+得方程，2340x x +-=，解得x 1＝－4，x 2＝1

（舍去）。

∴C 点的坐标为（－4，4），且AC ＝5。又∵△ABC 的高为6，∴△ABC 的面积＝

×5×6＝15。（3）存在D 点使△ABD 的面积等于△ABC 的面积。理由如下：过点C 作CD ∥AB 交抛物线于另一点D ，此时△ABD 的面积等于△

ABC 的面积（同底：AB ，等高：CD 和AB 的距离）。

∵直线AB 相应的一次函数是：22y x =+，且CD ∥AB ，

∴可设直线CD 解析式为2y x p =+，把C 点的坐标（﹣4，4）代入可得，12p =。 ∴直线CD 相应的一次函数是：212y x =+。

解方程组23212y x x y x ?=+?=+?

，解得，3

18x y =??=?。

∴点D 的坐标为（3，18）。

4.（1）、因为点A 、B 均在抛物线上，故点A 、B 的坐标适合抛物线方程

∴403

a c a c +=??+=-? 解之得：14a c =??=-?；故2

4y x =-为所求

（2）如图2，连接BD ，交y 轴于点M ，则点M 就是所求作的点设BD 的解析式为y kx b =+，则有203k b k b +=??

-+=-?，1

k b =??=-?，

故BD 的解析式为2y x =-；令0,x =则2y =-，故(0,2)M -

(3)、如图3，连接AM ，BC 交y 轴于点N ，由（2）知，OM=OA=OD=2，90AMB ∠=? 易知BN=MN=1，易求22,2AM BM ==

122222ABM

=??=；设2(,4)P x x -，依题意有：214422AD x -=?，即：2

144422x ?-=?

解之得：22x =±，0x =，故符合条件的P 点有三个：

123(22,4),(22,4),(0,4)P P P --

5.解答：解：（1）由已知得：A （﹣1，0），B （4，5），

∵二次函数y=x 2

+bx+c 的图象经过点A （﹣1，0）

，B （4，5）， ∴

，

解得：b=﹣2，c=﹣3；

（2）如图：∵直线AB 经过点A （﹣1，0），B （4，5）， ∴直线AB 的解析式为：y=x+1，

∵二次函数y=x 2

﹣2x ﹣3，

∴设点E （t ，t+1），则F （t ，t 2

﹣2t ﹣3）， x

N M

O P 2

P 1

P 3

C 图3

∴EF=（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t﹣）2+，

∴当t=时，EF的最大值为，

∴点E的坐标为（，）；

（3）①如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD．

可求出点F的坐标（，），点D的坐标为（1，﹣4）

S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF=××（4﹣）+××（﹣1）=；

②如图：

ⅰ）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3）

则有：m2﹣2m﹣2=，

解得：m1=，m2=，

∴P1（，），P2（，），

ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n2﹣2n﹣3）

则有：n2﹣2n﹣2=﹣，

解得：n1=，n2=（与点F重合，舍去），

∴P3（，），

综上所述：所有点P的坐标：P1（，），P2（，），P3（，）能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．

6.解：（1）∵当x=0时，y=3

当y=0时，x=﹣1

∴A（﹣1，0），B（0，3）

∵C（3，0）··························1分

设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3）

∴3=a×1×（﹣3）

∴a=﹣1

∴此抛物线的解析式为y=﹣（x + 1）（x﹣3）=-x2+2x+3·····2分（2）存在

=1···············4分∵抛物线的对称轴为：

∴如图对称轴与x轴的交点即为Q1

∵OA=OQ1，BO⊥AQ1

∴AB=Q1B

∴Q1（1，0）··························6分

当Q2A=Q2B时，设Q2的坐标为（1，m）

∴22+m2=12+（3﹣m）2

∴m=1

∴Q 2（1，1）··························8分当Q

A =A

B 时，设Q 3（1，n ）

∴22

+n 2

=12

+32

∵n ＞0 ∴n=6

∴Q 3（1，6）

∴符合条件的Q 点坐标为Q 1（1，0），Q 2（1，1），Q 3（1，6）·10分

7、答案：[解] (1) 根据题意，将A (-21，0)，B (2，0)代入y = -x 2

+ax +b 中，得?????=++-=+--0

2402141b a b a ，解这

个

方程，得a =23，b =1，∴该拋物线的解析式为y = -x 2

3x +1，当 x =0时，y =1，

∴点C 的坐标为(0，1)。∴在△AOC 中，AC =22OC OA +=221)21(+=2

。

在△BOC 中，BC =22OC OB +=2212+=5。

AB =OA +OB =21+2=25，∵AC 2+BC 2=45+5=425=AB 2

，∴△ABC 是直角三角形。

(2) 点D 的坐标为(2

，1)。

(3) 存在。由(1)知，AC ⊥BC 。

若以BC 为底边，则BC //AP ，如图1所示，可求得直线

BC 的解析式为y = -2

1x +1，直线AP 可以看作是由直线

BC 平移得到的，所以设直线AP 的解析式为y = -2

1x +b ，把点A (-21，0)代入直线AP 的解析式，求得b = -4

，

∴直线AP 的解析式为y = -21x -41

。∵点P 既在拋物线上，又在直线AP 上，

∴点P 的纵坐标相等，即-x 2

+23x +1= -21x -41，解得x 1=2

5， x 2= -21(舍去)。当x =25时，y = -23，∴点P (25，-23

)。若以AC 为底边，则BP //AC ，如图2所示。可求得直线AC 的解析式为y =2x +1。

直线BP 可以看作是由直线AC 平移得到的，

所以设直线BP 的解析式为y =2x +b ，把点B (2，0)代入直线BP 的解析式，求得b = -4，

∴直线BP 的解析式为y =2x -4。∵点P 既在拋物线上，又在直线BP 上，∴点P 的纵坐标相等， y A

B C

O x

y A

B C

即-x 2

23x +1=2x -4，解得x 1= -25

，x 2=2(舍去)。当x = -25时，y = -9，∴点P 的坐标为(-2

，-9)。

综上所述，满足题目条件的点P 为(25，-23)或(-2

，-9)。

8．解：（1）∵点B （﹣2，m ）在直线y=﹣2x ﹣1上 ∴m=3 即B （﹣2，3）又∵抛物线经过原点O

∴设抛物线的解析式为y=ax 2

+bx ∵点B （﹣2，3），A （4，0）在抛物线上

∴，

解得：．

∴设抛物线的解析式为．

（2）∵P （x ，y ）是抛物线上的一点， ∴

，

若S △ADP =S △ADC ，

∵

，

又∵点C 是直线y=﹣2x ﹣1与y 轴交点， ∴C （0，1）， ∴OC=1， ∴，即

或

，解得：

．

∴点P 的坐标为．

（3）结论：存在． ∵抛物线的解析式为

，

∴顶点E （2，﹣1），对称轴为x=2；

点F 是直线y=﹣2x ﹣1与对称轴x=2的交点，∴F （2，﹣5），DF=5．又∵A （4，0）， ∴AE=．

如右图所示，在点M 的运动过程中，依次出现四个菱形： ①菱形AEM 1Q 1．

∵此时DM 1=AE=，

∴M 1F=DF ﹣DE ﹣DM 1=4﹣，

∴t 1=4﹣； ②菱形AEOM 2． ∵此时DM 2=DE=1， ∴M 2F=DF+DM 2=6， ∴t 2=6；

③菱形AEM 3Q 3．

∵此时EM 3=AE=， ∴DM 3=EM 3﹣DE=﹣1，

∴M 3F=DM 3+DF=（﹣1）+5=4+， ∴t 3=4+； ④菱形AM 4EQ 4．

此时AE 为菱形的对角线，设对角线AE 与M 4Q 4交于点H ，则AE ⊥M 4Q 4， ∵易知△AED ∽△M 4EH ， ∴

，即

，得M 4E=，

∴DM 4=M 4E ﹣DE=﹣1=， ∴M 4F=DM 4+DF=+5=，

∴t 4=

．

综上所述，存在点M 、点Q ，使得以Q 、A 、E 、M 四点为顶点的四边形是菱形；时间t 的值为：t 1=4﹣，

t 2=6，t 3=4+

，t 4=

．

9. 解：（1）令y=0，则x m x m 2

1260+--+=() ∵x x x x x x 121

12000<<<>，且

，∴， ∴x m x 12

232=-=， ∴A m B ()()23020-，，，， ∴A B m m

=--=-22352()

由AB ≤6，且xx 120

<，得： 460

526

321

2m m m m -<-≤???<≥-??

???

??∴ ∴-≤<1

23m （2）当AB=5时，5250-==m m ，∴ ∴抛物线的解析式为：y x x =+-2

（3）N （x 3，0）是抛物线与x 轴的交点∴N m (

)21

0-， ①若N 在x 轴的正半轴上，

则

OG ON m OB ==

-=121

2，，由切割线定理：

O G O N O B

2=· ∴

121

=-=m m ·∴ ②若N 在x 轴的负半轴上，

则O N m O A m =

-=-122

32，由切割线定理：O G O N O A

=· ∴112232=--m m ·() ∴m m 12

232232=

+=-，∵-≤<1

3m ∴m =+232()舍去 ∴m =-232∴m 的值为1或

-。

定值问题

1.【答案】解：（1）证明：如图，连接AC

∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD=120°，

∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°，

∴∠BAE=∠FAC 。

∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°。

∴△ABC 和△ACD 为等边三角形。

∴∠ACF=60°，AC=AB 。∴∠ABE=∠AFC 。

∴在△ABE 和△ACF 中，∵∠BAE=∠FAC ，AB=AC ，∠ABE=∠AFC ， ∴△ABE ≌△ACF （ASA ）。∴BE=CF 。

（2）四边形AECF 的面积不变，△CEF 的面积发生变化。理由如下：

由（1）得△ABE ≌△ACF ，则S △ABE =S △ACF 。

∴S 四边形AECF =S △AEC +S △ACF =S △AEC +S △ABE =S △ABC ，是定值。作AH ⊥BC 于H 点，则BH=2，

22AECF ABC 11

S S BC AH BC AB BH 4322?==??=?-=四形边。

由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，

边AE 最短．

故△AEF 的面积会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，正三角形AEF 的面积会最小，

二次函数-平行四边形存在性问题

专题：二次函数中的平行四边形存在性问题类型一：已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足） 1.已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A (-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C． ⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式； ⑶坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由．类型：已知两个定点，再找两个点构成平行四边形 1．已知，如图抛物线2 3(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于C 点，与x 轴交于A、B 两点，A 点在B 点左侧。点B 的坐标为(1，0),OC=30B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值： (3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上。是否存在以A、C、E、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

2、练习如图，抛物线：c bx x y ++=22 1与x 轴交于A、B（A 在B 左侧），顶点为C（1，﹣2）。（1）求此抛物线的关系式；并直接写出点A、B 的坐标；（2）求过A、B、C 三点的圆的半径；（3）在抛物线上找点P，在y 轴上找点E，使以A、B、P、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点P、E 的坐标。 1．如图，抛物线2 23y x x =--与x 轴交A、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．