九年级数学下册第28章锐角三角形28.2解直角三角形3学案无答案新版新人教版
解直角三角形
学习
目标
1.知道什么是仰角和俯角。
2.用三角函数有关知识解决观测问题。
重点用锐角三角函数知识求物体的高度。
导学
过程
师生活动
一、复习引入
平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？
二、合作探究
热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到
0.1m)?
分析：在中，，.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD类似地可以求出CD，进而求出B C.
相关练习：如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为多少米？
三、精讲点拔
1.在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。问题如下：
(1)沿着水平地面向前300米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为60° , 求山高
AB。
(2)变式：沿着坡角为30 °的斜坡前进300米到达D点，在D点测得山顶A的仰角
为60°,求山高AB。
2.某市为改变城市交通状况，在大街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB．在地面上事先
划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在某工人站在离B点3m远的D 点测得树的顶部A点的仰角为60°，树的底部B的仰角为30°，如图19—52，问距离B点8m远的保护物是否在危险区内?
四、学习小结
谈谈你的收获和体会？
学后
反思
达标
检测
1．某学校的教学大楼和行政办公大楼相对而立，如图所示：两楼间的距离
AC=10m，某学生在教学大楼底A处测得行政办公大楼顶B处的仰角为45°，随后他又到行政办公大楼C处测得教学大楼顶D处的仰角为60°，那么教学大楼比行政办公楼高多少米？（精确到0.1米）
2.如图，小明在操场上距离旗杆18米的C处，用测角仪测得旗杆AB的顶端A的仰
角为30°，已知测角仪CD的高为1.4米，那么旗杆AB的高为多少米？
延伸拓展
如图（1在地面A、B两处测得地面上标杆PQ的仰角分别为30°、45°，且测得AB=3米，求标杆PQ的长
（2）在数学学习中要注意基本模型的应用，如图（2是测量不可达物体高度的基本模型：在地面A、B两处测得地面上标杆PQ的仰角分别为α、β，且测得AB=a
米．
设PQ=h米，由PAPB=a可得关于h的方程，解得h= atanβ?ta
nα
tanβtan
α
（3）请用上述基本模型解决下列问题：如图3，斜坡AP的倾斜角为15°，在A处测得Q的仰角为45°，要测量斜坡上标杆PQ的高度，沿着斜坡向上走10米到达B，在B处测得Q的仰角为60°，求标杆PQ的高．（结果可含三角函数）
课后
作业
必做题
1.初三（1）班研究学习小组为了测量学校旗杆的高度（如图他们离旗杆底部E点
30米的D处，用测角仪测得旗杆的仰角为30°，已知测角仪器高AD=1.4米，则旗杆BE的高为多少米？（精确到0.1米）
2.如图，从地面上点A处，测得山顶上铁塔BC的塔顶B和塔底C的仰角分别是β=60°，α=45°，已知塔高BC=100m，求小山高CD．（可用根式表示）
选做题
如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B 处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．
九年级数学锐角三角函数知识点与典型例题
锐角三角函数： 知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义： 在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA=， ∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数 2、取值范围
2．如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点， ?= ∠4 3 sin AOC 求AB 及OC 的长． 3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=∠5 3 sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 4. 已知A ∠是锐角，17 8 sin =A ，求A cos ，A tan 的值 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为 A ． 5B ．25 C ．12 D ．2 2．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B .45 C .34 D . 43 类型二. 利用角度转化求值： 1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点． DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ． 2． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ， 和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ． 12 B ．32 C ．35 D ．4 5 D C B A O y x 第8题图
九年级数学教案-锐角三角形(1)
年级 九年级 课题 28.1 锐角三角函数（1） 课型 新授 教学媒体 多媒体 教 学 目 标 知识 技能 1．初步了解锐角三角函数的意义，理解在直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比值就是这个锐角的正弦，当锐角固定时，它的正弦值是定值； 2．能根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值. 过程 方法 经历探究锐角三角函数的定义的过程，逐步发现一个锐角的对边与斜边的比值不变的规律，从中思考这种规律所揭示的数学内涵. 情感 态度 使学生体验数学活动中的探索与发现，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力，学会用数学的思维方式思考，发现，总结，验证. 教学重点 正确理解正弦（sinA ）概念，会根据直角三角形的边长求一个锐角的正弦值 教学难点 理解在直角三角形中，对于任意一个锐角，它的对边与斜边的比值是固定值. 教 学 过 程 设 计 教学程序及教学内容 师生行为 设计意图 一、复习引入 1.回忆直角三角形有哪些特殊性质？ 2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，若BC=10m ，?求AB ； 3.在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，若BC=20m ，?求 AB. 二、自主探究 问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，?在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？ 思考：1.如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？ 2.如果使出水口的高度为a m ，那么需要准备多长的水管？ 结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值等于 12 思考：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边的比值是 一个定值吗？?如果是，是多少？ 结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值是 22. 探究：从上面两个问题的结论中可知，?在Rt △ABC 中，∠C=90°， 当∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于 12 ，是一个固定值；? 当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的比都等于22，也是一个固定值． 这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时，?它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C=∠C ′=90°， ∠A=∠A ′=a ，那么'''' BC B C AB A B 与有什么关系．你能解释一下吗？ 教师引导学生回顾直角三角形性质，学生完成两个铺垫练习. 教师提出问题，引导学生思考，逐步从特 殊到一般的理解锐 角的正弦概念. 在特殊角的基础上 提出一般性问题，教师再次引导学生利 用相似三角形知识，得到：在直角三角形中，当锐角A 的度数 一定时，不管三角形的大小如何，?∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值. 复习直角三角形的性质，在此基础上探究新问题. 让学生初步体验一个锐角确定以后，它的对边与斜边的比值也随之不变的事实，为锐角的正弦的引出提供背景. 培养学生从特殊到一般的演绎推理能力.
九年级数学下册锐角三角形教案
斜边c 对边a b C B A 当∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于12 ，是一个固定值；? 当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的比都等于2 2 ，也是一个固定值． 这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角 时，?它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 任意画Rt △ABC 和Rt △A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°， ∠A=∠A′=a ，那么''''BC B C AB A B 与有什么关系．你能解释一下吗？ 得到：在直 角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，?∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值. 正弦函数概念： 在Rt △BC 中，∠C=90，∠A 的对边记作a ，∠B 的对边记作b ，∠C 的对边记作c ． 在Rt △BC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ， 即sinA ＝ A a A c ∠=∠的对边的斜边 例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°= ； 当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= ． 例1 如图，在Rt △ABC 中， ∠C=90°，求sinA 和sinB 的值． 三、课堂训练 课本第64页练习． 补充： 1．如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90o ，若AB ＝5，AC ＝4，则sinA ＝（ ） ?∠A 的对边与斜 边的比都是一个 固定值. 教师给出锐角的 正弦概念，学生理 解认识. 学生理解认识30° 和45°的正弦值， 尝试独立完成例 1，两名学生板书， 并解释做题依据与过程，师生评议，达成一致. 教师组织学生进行练习，学生独立完成，之后，由学生口答，说明依据. 学生谈本节课收获，教师 完善补充强调. 小如何，?∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值。”为基础给出锐角正弦概念，结合图形，便于学生理解认识和应用. 巩固加深对锐角正弦的理解和应用，培养学生应用意识以及综合运用知识的能力，并为此获得成功的体验. 加强教学反思，将知识进行系统整理，总结方法，形成技能，提高学生的学习效果.
第3套人教版初中数学九年级下册28.1锐角三角形函数教案
锐角三角形函数 章节 第四章 课题 课型 复习课 教法 讲练结合 教学目标（知识、能力、教育） 1.理解正弦、余弦、正切的概念，并能运用. 2.掌握特殊角三角函数值， 并能运用特殊角的三角函数值进行计算和化简； 3.掌握互为余角和同角三角函数间关系，并能运用它们进行计算或化 简。 4. 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值 求它对应的锐角． 教学重点 掌握特殊角三角函数值，并能运用进行计算和化简；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角． 教学难点 互为余角和同角三角函数间关系，并能运用它们进行计算或化 简. 教学媒体 学案 教学过程 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1.直角三角形的边角关系（如图） （1）边的关系（勾股定理）：AC 2+BC 2=AB 2； （2）角的关系：∠A+∠B=∠C=900； （3）边角关系： ①：00901230C BC AB A ?∠=??=?∠=?? ②：锐角三角函数： ∠A 的正弦=A a sin A=c ∠的对边，即斜边； ∠A 的余弦=A b cos A=c ∠的邻边，即斜边 , ∠A 的正切=A a tan=A b ∠的对边，即∠的邻边 注：三角函数值是一个比值． 2.特殊角的三角函数值． 3.三角函数的关系 4.三角函数的大小比较 (1) 同名三角函数的大小比较 ①正弦、正切是增函数．三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小． ②余弦、余切是减函数．三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。 (2) 异名三角函数的大小比较 ①tanA ＞SinA ，由定义，知tanA=a b ，sinA=a c ；因为b ＜c ，所以tanA ＞sinA
上海初三数学锐角三角函数
第五讲 锐角三角函数 【问题探索】 一般地，如果锐角A 的大小确定，我们可以作出无数个以A 为一个锐角直角三形（如图），那么图中： ?===2 2 2111AC C B AC C B AC BC 成立吗？ （1）当∠A 变化时，上面等式仍然成立吗？ （2）上面等式的值随∠A 的变化而变化吗？ 【新课引入】 由前面的探索可以看出：如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。 这个比值反映了斜边相对于这角的邻边的倾斜程度，它与这个锐角的大小有着密切的关系。 1、在直角三角形中，我们将∠A 的对边与它的邻边的比称为∠A 的正切，记作 tanA 即： b a A A A =∠∠= 的邻边的对边tan 同理：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。 2、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角∠A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作________，即：sinA ＝________=________. 3、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,我们把锐角∠A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作=_________，即：cosA=______=_____。 （你能写出∠B 的正弦、余弦的表达式吗？）试试看____________________. 思考： 你能分别说出30°、45°、60°角的三角函数值吗？并填写下表： 【总结归纳】 1、牢记三角函数的概念，紧紧抓住直角三角形，勤快画图，是解答三角函数题的关键； 2、特殊角的三角函数值，只要记住两个三角板的各边比值（如图），严格按照三角函数的定义，即可心算推出。 C C 1 C 2
人教版九年级锐角三角函数全章教案
第二十八章锐角三角函数 28．1 锐角三角函数（1） 教学目标： 1、知识与技能：通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。能根据正弦概念正确进行计算。 2、过程与方法：通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力． 3、情感态度与价值观：引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯． 教学重点： 理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实． 教学难点： 引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实． 教学过程： 一、复习旧知、引入新课 【引入】操场里有一个旗杆，老师让小明去测 量旗杆高度。小明站在离旗杆底部10米远处，目 测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦 34 1米 10 米 ?
二、探索新知 【活动一】问题的引入 【问题一】为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？ 分析：问题转化为，在Rt△ABC 中，∠C=90o ，∠A=30o ，BC=35m,求AB 根据“在直角三角形中，30o 角所对的边等于斜边的一半”，即 可得AB=2BC=70m.即需要准备70m 长的水管 结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 2 1 【问题二】如图，任意画一个Rt △ABC ，使∠C=90o ，∠A=45o ，计算∠A 的对边与斜边的比 AB BC ，能得到什么结论？（学生思考） 结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 2 2。 【问题三】一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 如图：Rt △ABC 与Rt △A 1B 1C 1中，∠C=∠C 1=90o ， ∠A=∠A 1=α，那么与 有 什么关系 分析：由于∠C=∠C 1 =90o ，∠A=∠A 1=α，所以Rt△ABC∽Rt△A 1B 1C 1， ，即
人教版九年级数学下册 锐角三角形(1)
年级 九年级 课题 28.1 锐角三角函数（1） 课型 新授 教学媒体 多媒体 教 学 目 标 知识 技能 1．初步了解锐角三角函数的意义，理解在直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比值就是这个锐角的正弦，当锐角固定时，它的正弦值是定值； 2．能根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值. 过程 方法 经历探究锐角三角函数的定义的过程，逐步发现一个锐角的对边与斜边的比值不变的规律，从中思考这种规律所揭示的数学内涵. 情感 态度 使学生体验数学活动中的探索与发现，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力，学会用数学的思维方式思考，发现，总结，验证. 教学重点 正确理解正弦（sinA ）概念，会根据直角三角形的边长求一个锐角的正弦值 教学难点 理解在直角三角形中，对于任意一个锐角，它的对边与斜边的比值是固定值. 教 学 过 程 设 计 教学程序及教学内容 师生行为 设计意图 一、复习引入 1.回忆直角三角形有哪些特殊性质？ 2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，若BC=10m ，?求AB ； 3.在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，若BC=20m ，?求 AB. 二、自主探究 问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，?在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？ 思考：1.如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？ 2.如果使出水口的高度为a m ，那么需要准备多长的水管？ 结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值等于 12 思考：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边的比值是 一个定值吗？?如果是，是多少？ 结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值是 22. 探究：从上面两个问题的结论中可知，?在Rt △ABC 中，∠C=90°， 当∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于 12 ，是一个固定值；? 当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的比都等于22，也是一个固定值． 这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时，?它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C=∠C ′=90°， ∠A=∠A ′=a ，那么'''' BC B C AB A B 与有什么关系．你能解释一下吗？ 得到：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，教师引导学生回顾直角三角形性质，学生完成两个铺垫练习. 教师提出问题，引导学生思考，逐步从特 殊到一般的理解锐 角的正弦概念. 在特殊角的基础上 提出一般性问题，教师再次引导学生利 用相似三角形知识，得到：在直角三角形中，当锐角A 的度数 一定时，不管三角形的大小如何，?∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值. 复习直角三角形的性质，在此基础上探究新问题. 让学生初步体验一个锐角确定以后，它的对边与斜边的比值也随之不变的事实，为锐角的正弦的引出提供背景. 培养学生从特殊到一般的演绎推理能力. 39
【人教版】初中数学九年级知识点总结：28锐角三角函数
【人教版】初中数学九年级知识点总结 28锐角三角函数 【编者按】本章内容主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念以及研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容。通过本章的学习应该掌握锐角三角函数以及直角三角函数的相关内容。 一、目标与要求 1.通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角； 2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值会求它的对应的锐角． 3.运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题． 4.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；初步感受高等数学中的微积分思想． 5.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 6.能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题． 二、重点与难点 1．重点 （1）锐角三角函数的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函数值也很重要，应该牢牢记住． （2）能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题． 2．难点 （1）锐角三角函数的概念． （2）经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，锻炼学生观察、分析，解决问题的能力． 三、知识框架
四、知识点、概念总结 1.Rt△ABC中 (1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝∠A的对边 斜边 (2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝∠A的邻边 斜边 (3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝∠A的对边∠A的邻边 (4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cota＝∠A的邻边∠A的对边 2.特殊值的三角函数： 3.互余角的三角函数间的关系 sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα. 4. 同角三角函数间的关系 平方关系： sin2(α)+cos2(α)=1 tan2(α)+1=sec2(α) cot2(α)+1=csc2(α) 积的关系： sinα=tanα·cosα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·secα
人教版初三数学下册锐角三角形1
第二十八章锐角三角函数 教材分析： 本章包括锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容。锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会。研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础。 本章内容与已学"相似三角形""勾股定理"等内容联系紧密，并为高中数学中三角函数等知识的学习作好准备。 学情分析： 锐角三角函数的概念既是本章的难点，也是学习本章的关键。难点在于，锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号sinA、cosA、tanA表示函数等，学生过去没有接触过，因此对学生来讲有一定的难度。至于关键，因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形。 28.1 锐角三角函数 第一课时 教学目标： 知识与技能： 1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。 2、能根据正弦概念正确进行计算 3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。 过程与方法： 通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐
步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力． 情感态度与价值观： 引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．重难点： 1．重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实． 2．难点与关键：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实． 教学过程： 一、复习旧知、引入新课 【引入】操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。（演示学校操场上的国旗图片） 小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。 你想知道小明怎样算出的吗？ 下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦 二、探索新知、分类应用 【活动一】问题的引入 【问题一】为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？ 分析： 问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m,求AB
九年级数学锐角三角函数(带问题详解)
锐角三角函数与解直角三角形 【考纲要求】 1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现； 2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sin A a A c ∠ == 的对边 斜边 ； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cos A b A c ∠ == 的邻边 斜边 ； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tan A a A A b ∠ == ∠ 的对边 的邻边 . 同理sin B b B c ∠ == 的对边 斜边 ；cos B a B c ∠ == 的邻边 斜边 ；tan B b B B a ∠ == ∠ 的对边 的邻边 ． 要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，， ，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、． (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知： 当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0． 考点二、特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下： 要点诠释： (1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角． (2)仔细研究表中数值的规律会发现： sin0?、、、、sin90?的值依次为0、、、、1，而cos0?、、、、cos90?的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为： 当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时， ①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小) ②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)． 考点三、锐角三角函数之间的关系 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°． (1)互余关系：，； (2)平方关系：； (3)倒数关系：或； (4)商数关系：． 要点诠释： 锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便． 考点四、解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： ①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). ②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. ③边角之间的关系：
初三数学锐角三角比试题
初三数学锐角三角比试题 复习提纲 |复习计划 一、教材内容 九年级第一学期：第二十五章锐角的三角比(11课时) 二、“课标”要求 1.理解锐角三角比的概念，会求特殊锐角的三角比值。 2.理解解直角三角形的意义，会用锐角互余、锐角三角比和勾股 定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题。[来源：学科网] 说明：锐角三角比只涉及正弦、余弦、正切、余切，注重建立直 角三角形的边角关系，对三角比之间的关系不作要求。 三、“考纲”要求 考点要求 40、锐角三角比(锐角的正弦、余弦、正切、余切)的概念，30度、45度、60度角的三角比值 II 41、解直角三角形及其应用 III 图形与几何(7) (锐角的三角比) 一、选择题(6×4/ =24/ ) 1.在中，∠ ，，，则的值是( ) (A) ; (B) ; (C) ; (D)2. 2.如果中各边的长度都扩大到原来的2倍，那么锐角∠ 的三角 比的值( )
(A) 都扩大到原来的2倍; (B) 都缩小到原来的一半; (C) 没有变化; (D ) 不能确定. 3.等腰三角形的底边长10cm，周长36cm，则底角的余弦值为……( ) (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 4.在中，∠ ，，则的值为……( ) (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的对边为a，已知∠A和边a，求边c，则下列关系中准确的是……………………………………………………………… …( ) (A) ; (B) ; (C)a=b×tanA; (D) . 6.在△ABC中，若，，则这个三角形一定是……( ) (A)锐角三角形; (B) 直角三角形; (C)钝角三角形; (C)等腰三角形. 二、填空题(12×4/ =48/ ) 7.在RtΔABC中，∠ , 若AB=5,BC=3,，则 = ，，，[来源：Z|xx|https://www.wendangku.net/doc/3c13912672.html,] 8.在中，∠ ，∠ =30°，AC=3,则BC= . 9. 在△ABC中，∠C=90°，，则sinB的值是________. 10.有一个坡角，坡度，则坡角 11.在中，∠ , ,则∠ . 12.已知P(2，3)，OP与x轴所夹锐角为a，则tana=_______ .
初中数学九年级锐角三角函数知识点总结
28锐角三角函数一、知识框架 二、知识点、概念总结 1.Rt△ABC中 (1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝∠A的对边 斜边 (2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝∠A的邻边 斜边 (3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝∠A的对边∠A的邻边 (4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cota＝∠A的邻边∠A的对边 2.特殊值的三角函数： a sina cosa tana cota 30°1 2 3 2 3 3 3 45° 2 2 2 2 1 1 60° 3 2 1 2 3 3 3 3.互余角的三角函数间的关系 sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα. 4. 同角三角函数间的关系 平方关系： sin2(α)+cos2(α)=1 tan2(α)+1=sec2(α) cot2(α)+1=csc2(α) 积的关系： sinα=tanα·cosα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·secα cotα=cosα·cscα secα=tanα·cscα cscα=secα·cotα 倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 5.三角函数值 （1）特殊角三角函数值 （2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。 （3）锐角三角函数值的变化情况 （i）锐角三角函数值都是正值 （ii）当角度在0°～90°间变化时， 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （iii）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时， 0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0,
数学人教版九年级下册《28.1锐角三角函数第一课时》
《锐角三角函数第一课时》教学设计 【教材依据】人民教育出版社、第二十八章、第一节（28.1 锐角三角函数） 【设计思想】 1、指导思想：教学中要充分体现数学教学是数学活动（研究与应用）、学生是数学学习主人的观念，以培养学生自主学习能力和促进探究意识为重点，以诱思探究理论为指导思想。 2、设计理念：在数学教学中渗透数学思想方法，发展思维能力，形成空间观念，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力，培养学生的实践能力与创新意识。 3、教材分析：《锐角三角函数》是人教版数学教材九年级下册第二十八章第一节的内容。锐角三角函数的概念是以相似三角形的知识为基础的，它的建立是对代数中已初步涉及的函数概念的一次充实和进一步开阔视野，也将是高中阶段学习任意角的三角函数的基础。 4、学情分析：本节的内容的学习涉及到直角三角形和相似三角形方面的知识，这些内容学生掌握情况良好，教师应在解决实际问题中提出，然后让他们自主探究解决问题的方法。 【教学目标】 知识与能力：1、了解当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都是固定值这一事实； 2、通过实例是学生理解并认识锐角三角函数的概念； 3、正确理解正弦符号的含义，掌握锐角三角函数的表示； 4、学会根据定义求锐角的正弦值。 过程与方法：1、经历锐角的正弦概念的探究过程，确信三角函数的合理性，体会数形结合的思想； 2、三角函数的学习中，初步探索、讨论、论证对学习数学的重要性。 情感与评价：1、通过锐角的正弦概念的建立，是学生经历从特殊到一般的认识过程； 2、让学生在探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的喜 悦，从解决实际问题中感悟数学的实用性，从而培养学生学习数学的兴趣。现代教学手段的运用：用多媒体课件逐步展示出所要探究的四个问题
湘教版九年级数学上册第4章《锐角三角形》检测题及答案
第4章检测题 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( A ) A. 53 B.255 C.52 D.23 ,第1题图) ,第2题图) ,第4 题图) ,第5题图) 2．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan A ＝( D ) A.35 B.45 C.34 D.43 3．计算sin30°·tan45°的结果是( A ) A.12 B.32 C.36 D.24 4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是( D ) A ．sin A ＝32 B ．tan A ＝12 C ．cos B ＝3 2 D ．tan B ＝3 5．如图，AC 是电杆的一根拉线，测得BC ＝6米，∠ACB ＝52°，则拉线AC 的长为 ( D ) A.6sin52°米 B.6tan52°米 C ．6·cos52°米 D.6cos52° 米 6．(2014·德州)如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB 的长为( B ) A ．43米 B ．65米 C ．125米 D ．24米 7．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝3 4，则cos B 的值是( C ) A.45 B.34 C.35 D.43
8．如图，渔船在A 处看到灯塔C 在北偏东60°方向上，渔船向正东方向航行了12海里到达B 处，在B 处看到灯塔C 在正北方向上，这时渔船与灯塔C 的距离是( D ) A ．123海里 B ．63海里 C ．6海里 D ．43海里 9．如图，为测量B 点到河岸AD 的距离，在A 点测得∠BAD ＝30°，在C 点测得∠BCD ＝60°，又测得AC ＝100米，则B 点到河岸AD 的距离为( B ) A ．100米 B ．503米 C.2003 3 米 D ．50米 ,第9题图) ,第10题图) 10．(2014·深圳)小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高( B ) A ．(600－2503)米 B ．(6003－250)米 C ．(350＋3503)米 D ．5003米 二、填空题(本大题共8个小题，每小题3分，共24分) 11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果AC ＝3，AB ＝5，那么cos B 的值是__4 5__． 12．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，sin A ＝2 3 ，则AC 的长是__5__． 13．如图，在地面上的点A 处测得树顶B 的仰角为α度，AC ＝7米，则树高BC 为__7tan α__米．(用含α的代数式表示) ,第13题图) ,第14题图) ,第16题图) ,第17题图) 14．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4 cm ，tan B ＝3 2 ，则△ABC 的面积是__12__cm 2.
(人教版)九年级数学下第28章《锐角三角函数》单元训练(含答案)
精品“正版”资料系列，由本公司独创。旨在将“人教版”、”苏教版“、”北师 大版“、”华师大版“等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和 检测题分享给需要的朋友。 本资源创作于2020年8月，是当前最新版本的教材资源。包含本课对应 内容，是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最佳选择。 第28章锐角三角函数专项训练 专训1“化斜为直”构造直角三角形的方法名师点金： 锐角三角函数是在直角三角形中定义的，解直角三角形的前提是在直角三角形中进行，对于非直角三角形问题，要注意观察图形特点，恰当作辅助线，将其转化为直角三角形来解． 无直角、无等角的三角形作高 1．如图，在△ABC中，已知BC＝1＋3，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的长． (第1题) 有直角、无三角形的图形延长某些边 2．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积． (第2题) 有三角函数值不能直接利用时作垂线 3．如图，在△ABC中，点D为AB的中点，DC⊥AC，sin∠BCD＝1 3 ，求tan A
的值． (第3题) 求非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝1 2 ∠BAC，求tan∠ BPC的值． (第4题) 专训2巧用构造法求几种特殊角的三角函数值名师点金： 对于30°、45°、60°角的三角函数值，我们都可通过定义利用特殊直角三角形三边的关系进行计算；而在实际应用中，我们常常碰到像15°、22.5°、67.5°等一些特殊角的三角函数值的计算，同样我们也可以构造相关图形，利用数形结合思想进行巧算． 巧构造15°与30°角的关系的图形计算15°角的三角函数值 1．求sin15°，cos15°，tan15°的值． 巧构造22.5°与45°角的关系的图形计算22.5°角的三角函数值 2．求tan22.5°的值． 巧用折叠法求67.5°角的三角函数值
人教版初三数学下册锐角三角形函数
第二课时 课题：第28章 锐角三角函数 28．1锐角三角函数（2） ——余弦、正切 【学习目标】 ⑴: 感知当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实。 ⑵:逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。 重点：难点： 【学习重点】 理解余弦、正切的概念。 【学习难点】 熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算。 【导学过程】 一、自学提纲： 1、我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？ 2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D 。 已知AC= 5 ，BC=2，那么sin ∠ACD ＝（ ） A B ．23 C D 3、如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上， 且AB ＝5，BC ＝3．则sin ∠BAC= ；sin ∠ADC= ． 4、?在Rt △ABC 中，∠C=90°，当锐角A 确定时， ∠A 的对边与斜边的比是 ， ?现在我们要问： ∠A 的邻边与斜边的比呢？ ∠A 的对边与邻边的比呢？ 为什么？ 二、合作交流： 探究： 一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？ 如图：Rt △ABC 与Rt △A`B`C`，∠C=∠C` =90o ，∠B=∠B`=α， 那么 与有什么关系？ A B C D A B C ∠A的邻边b ∠A的对边a 斜边c C A
斜边c 对边a b C B A 6 C B A 三、教师点拨： 类似于正弦的情况， 如图在Rt △BC 中，∠C=90°，当锐角A 的大小确定时，∠A 的邻边与斜边的比、∠A 的对边与邻边的比也分别是确定的．我们 把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA= A ∠的邻边斜边=a c ； 把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA=A A ∠∠的对边的邻边=a b ． 例如，当∠A=30°时，我们有cosA=cos30°= ； 当∠A=45°时，我们有tanA=tan45°= ． （教师讲解并板书）：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数． 对于锐角A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以sinA 是A 的函数．同样地，cosA ，tanA 也是A 的函数． 例2：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=?6，sinA=3 5 ，求cosA 、tanB 的值． 四、学生展示： 练习一：完成课本P81 练习1、2、3 练习二： 1.在中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则有（） A ．． ． ． 2. 在 中，∠C ＝90°，如果cos A=4 5 那么 的值为（）
人教版九年级下册数学28.1 锐角三角形(3)教案
年级 九年级 课题 28.1 锐角三角函数(3) 课型 新授 教学媒体 多媒体 教 学 目 标 知识 技能 1.能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数； 2.能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式. 过程 方法 结合锐角三角函数概念和含特殊角的直角三角形的性质，推导特殊角的三角函数值，了解知识之间的关系，学会综合运用，认识到三角函数也属于数的运算系列，掌握由角到边和由边到角的转换. 情感 态度 认识到数学知识之间的联系，新旧知识的结合，对特殊角的三角函数值理解、记忆. 教学重点 熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式 教学难点 30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程 教 学 过 程 设 计 教学程序及教学内容 师生行为 设计意图 一、复习引入 一个直角三角形中，锐角的正弦、余弦、正切是怎么定义的？ 二、自主探究 1.两块三角尺中有几个不同的锐角？分别是多少度？你能分别求出这几个锐 角的正弦值、余弦值和正切值吗？ 归纳： ： 30° 45° 60° sinA cosA tanA 可知，1.三角函数值是数值，可以和数一样进行运算； 2.三角函数值和角的度数是一一对应的. 2.例题分析： 教材79页 例3 求下列各式的值: （1）cos 260°+sin 260°． （2）cos 45sin 45?? -tan45°． 教材80页 例4（1）如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90，AB=6，BC=3， 求∠A 的度数． （2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 的 3倍，求a ． 分析：由角的度数可以求三角函数 值，由三角函数值能求角的度数 三、课堂训练 课本80页 第1 、 2题 补充：1．已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=35 ，AB=15，则AC 的长是（ ）； A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 2．下列各式中不正确的是（ ）； A ．sin 260°+cos 260°=1 B ．sin30°+cos30°=1 教师引导学生回顾锐角三角函数定义，思考新的问题，引出课题 教师提出问题，引导学生探究，画图，进行推导，进一步理解角度一定时三角函数值也是一定的，并完成表格 教师给出问题，引导学生代入计算，写出过程 学生思考，口答解题思路，师生共同完善 书写步骤 教师组织学生进行练习，学生独立完复习锐角三角函数，为特殊角的三 角函数值的推导 做铺垫 通过动手画图，验 证得出的结论，加强学生记忆和理解 使学生正确认识特殊角的三角函数值，能熟练的进行相关计算，由角 求值，由值求角 43
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