函数综合的典型题型
例1:已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示,那么一次函数y bx c =+和反比例函数a y x
=在同一平面直角坐标系中的图像大致是( )
A .
B .
C .
D .
如图,点A 在双曲线 1y x =上,点B 在双曲线 3y x
=上,且AB ∥x 轴,点C 和点D 在x 轴上,若四边形ABCD 为矩形,则矩形ABCD 的面积为 。 (2012?德州)如图,两个反比例函数和的图象分别是l 1和l 2.设点P 在l 1上,PC⊥x 轴,垂足为C ,交l 2于点A ,PD⊥y 轴,垂足为D ,交l 2于点B ,则三角形PAB 的面积为( )
如图,过点C (1,2)分别作x 轴、y 轴的平行线,交直线y =-x +6于A 、B 两点,若反比例函数k y x
=(x >0)的图像与△ABC 有公共点,则k 的取值范围是( ) A .2≤k ≤9 B . 2≤k ≤8 C . 2≤k ≤5 D . 5≤k ≤8
(2012?连云港)如图,直线y=k1x+b与双曲线y=交于A、B两点,其横坐标分别为1和
5,则不等式k1x<+b的解集是.
(2012?鄂州)直线y=﹣x﹣1与反比例函数(x<0)的图象交于点A,与x轴相交于
如图,直线AB与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,﹣2).
(1)求直线AB的解析式;
(2)若直线AB上的点C在第一象限,且S△BOC=2,求点C的坐标.
2012泰安)二次函数2
=+的图象如图,若一元二次方程20
y ax bx
++=有实数根,
ax bx m
则m的最大值为()
A.3-B.3 C.6-D.9
如图,已知抛物线y1=﹣2x2+2,直线y2=2x+2,当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1、y2.若y1≠y2,取y1、y2中的较小值记为M;若y1=y2,记M=y1=y2.例如:当x=1时,y1=0,y2=4,y1<y2,此时M=0.下列判断:
①当x>0时,y1>y2;②当x<0时,x值越大,M值越小;
③使得M大于2的x值不存在;④使得M=1的x值是或.
其中正确的是()
A.①②B.①④C.②③D.③④
如图,点A在反比例函数的图象上,点B在反比例函数的图象上,AB⊥x轴于点M,且AM:MB=1:2,则k的值为()
如图,二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点B 坐标(﹣1,0),下面的四个结论:①OA=3;②a+b+c<0;③ac>0;④b2﹣4ac>0.其中正确的结论是()
D.①②
(12.河北)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x+n与x轴、y轴分别交于点A、B,
与双曲线
4
y=
x
在第一象限交于点C(1,m)。
(1)求m和n的值;
(2)过x轴上的点D(3,0)作平行于y轴的直线l,分别与直线AB和双曲
4
y=
x
线交于
点P、Q,求
△APQ的面积。
(2012?乐山)二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(﹣1,0).设t=a+b+1,则t值的变化范围是()
A.0<t<1 B.0<t<2 C.1<t<2 D.﹣1<t<1
(2012?资阳)如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c <0的解集是()
A.﹣1<x<5 B.x>5 C.x<﹣1且x>5 D.x<﹣1或x>5
(2012?德阳)设二次函数y=x2+bx+c,当x≤1时,总有y≥0,当1≤x≤3时,总有y≤0,那么c的取值范围是()
A.c=3 B.c≥3C.1≤c≤3D.c≤3
(2012潜江)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的两个交点分别为(﹣1,0),(3,0).对于下列命题:①b﹣2a=0;②abc<0;③a﹣2b+4c<0;④8a+c>0.其中正确的有()
指数函数及其性质应用 1.指数函数概念 叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为. 一般地,函数 2. 函数 名称 指数函数 定义函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点图象过定点,即当时,. 奇偶性非奇非偶 单调性在上是增函数在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对图 象的影响 在第一象限内,从逆时针方向看图象,逐渐增大;在第二象限内,从逆时针 方向看图象,逐渐减小.
指数函数题型训练 题型一 比较两个值的大小 1、“同底不同指”型 (1)21 51- ? ?? ?? 3 251?? ? ?? (2) 2.51.7 3 1.7 (3)0.8 14?? ? ?? 1.8 12?? ??? (4) 0.5 a ()0.6 0,1a a a >≠ 归纳: 2、“同指不同底”型 (1)5 6 311?? ? ?? 5 6 833?? ? ?? (2)9 2 4 归纳: 3、“不同底不同指”型 (1)0.3 1.7 3.1 0.9 (2) 2.5 1.7 30.7 (3)0.1 0.8 - 0.2 9 - (4)b a (01)a b a b <<< (5) 1 23-?? ? ?? 13 3 归纳: 综合类:(1)已知232()3 a =,132()3 b =,232 ()5c =则a 、b 、c 的大小关系为 (2)如果0m <,则2m a =,1 ()2 m b =,0.2m c =则a 、b 、c 的大小关系为 题型二 过定点问题 1、函数33x y a -=+恒过定点 2、函数()150,1x y a a a +=->≠图像必过定点,这个定点是 3、已知对不同的a 值,函数()()120,1x f x a a a -=+>≠的图像恒过定点P ,则P 点的坐标 是 归纳: 题型三 解指数函数不等式 1、2212 2≤?? ? ??-x 2、 8 21()33 x x --< 3、0.225x < 4、221(2)(2)x x a a a a -++>++
高考数学-指数函数图像和性质及经典例题 【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>; (3)s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>. 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 二、指数函数 1.指数函数的概念:一般地,函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 2.指数函数的图象和性质 1.在同一坐标系中画出下列函数的图象: (1)x )31(y = (2)x )2 1 (y = (3)x 2y = (4)x 3y = (5)x 5y =
【指数函数性质应用经典例题】 例1.设a 是实数, 2 ()()21 x f x a x R =- ∈+,试证明:对于任意,()a f x 在R 上为增函数. 证明:设1212,,x x R x x ∈<,则 12()()f x f x -12 22()()2121 x x a a =- --++ 21222121 x x = - ++ 121 22(22)(21)(21) x x x x -=++, 由于指数函数2x y =在R 上是增函数, 且12x x <, 所以1222x x < 即1 2220x x -<, 又由20x >, 得1 1 20x +>,2120x +>, ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <, 所以,对于任意,()a f x 在R 上为增函数. 例2.已知函数2 ()1 x x f x a x -=+ +(1)a >, 求证:(1)函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数;(2)方程()0f x =没有负数根.
函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 一、知识归纳: 1. 求函数的解析式 (1)求函数解析式的常用方法: ①换元法( 注意新元的取值范围) ②待定系数法(已知函数类型如:一次、二次函数、反比例函数等) ③整体代换(配凑法) ④构造方程组(如自变量互为倒数、已知f (x )为奇函数且g (x )为偶函数等) (2)求函数的解析式应指明函数的定义域,函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围,同时也要注意变量的实际意义。 (3)理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域 求用解析式y =f (x )表示的函数的定义域时,常有以下几种情况: ①若f (x )是整式,则函数的定义域是实数集R ; ②若f (x )是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数集; ③若f (x )是二次根式,则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合; ④若f (x )是由几个部分的数学式子构成的,则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合; ⑤若f (x )是由实际问题抽象出来的函数,则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域(最值)的一般方法: (1)利用基本初等函数的值域; (2)配方法(二次函数或可转化为二次函数的函数); (3)不等式法(利用基本不等式,尤其注意形如)0(>+=k x k x y 型的函数) (4)函数的单调性:特别关注)0(>+ =k x k x y 的图象及性质 (5)部分分式法、判别式法(分式函数) (6)换元法(无理函数) (7)导数法(高次函数) (8)反函数法 (9)数形结合法 4. 求函数的单调性 (1)定义法: (2)导数法: (3)利用复合函数的单调性: (4)关于函数单调性还有以下一些常见结论: ①两个增(减)函数的和为_____;一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是______; ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性;偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性; ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性; (5)求函数单调区间的常用方法:定义法、图象法、复合函数法、导数法等 (6)应用:比较大小,证明不等式,解不等式。 5. 函数的奇偶性 奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称,比较f (x ) 与f (-x )的关系。f (x ) -
一、指数的性质 (一)整数指数幂 1.整数指数幂概念: a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2.整数指数幂的运算性质:(1)(),m n m n a a a m n Z +?=∈ (2)()(),n m mn a a m n Z =∈ (3)()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=, ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? . 3.a 的n 次方根的概念 一般地,如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1,那么这个数叫做a 的n 次方根, 即: 若a x n =,则x 叫做a 的n 次方根, ()* ∈>N n n ,1 例如:27的3次方根3273=, 27-的3次方根3273-=-, 32的5次方根2325=, 32-的5次方根2325-=-. 说明:①若n 是奇数,则a 的n 次方根记作n a ; 若0>a 则0>n a ,若o a <则0
⑤式子n a 叫根式,n 叫根指数,a 叫被开方数。 ∴ n a =. . 4.a 的n 次方根的性质 一般地,若n 是奇数,则a a n n =; 若n 是偶数,则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n . 5.例题分析: 例1.求下列各式的值: (1)() 338- (2) ()210- (3)()44 3π- (4) ()()b a b a >-2解:略。 例2.已知,0<N n n ,1, 化简:()()n n n n b a b a ++-. 解:当n 是奇数时,原式a b a b a 2)()(=++-= 当n 是偶数时,原式a b a a b b a b a 2)()(||||-=--+-=++-= 所以,()()n n n n b a b a ++-22a n a n ?=? -?为奇数 为偶数 . 例3.计算:407407-++ 解:407407-++52)25()25(22=-++= 例4.求值: 54 925-+. 解:549 25-+4 25254 5 49252 )(-+=-+= 452622525+=-+= 2 1 54152 += +=)( (二)分数指数幂 1.分数指数幂: ()10 2 5 0a a a ==> ()124 3 0a a a ==> 即当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式; 如果幂的运算性质(2)() n k kn a a =对分数指数幂也适用, 例如:若0a >,则3 223233a a a ???== ??? ,4 554544a a a ???== ???, 23a = 4 5 a =. 即当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定:(1)正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n a a m n N n *=>∈>; (2)正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m n m n a a m n N n a -* == >∈>. 2.分数指数幂的运算性质:整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用