江苏专版2020版高考数学一轮复习第六章数列第五节数列的综合问题教案理含解析苏教版
第五节数列的综合问题
考点一数列与不等式问题重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
若各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且2S n＝a n＋1 (n∈N*)．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若正项等比数列{b n}，满足b2＝2,2b7＋b8＝b9，求T n＝a1b1＋a2b2＋…＋a n b n；
(3)对于(2)中的T n，若对任意的n∈N*，不等式λ(－1)n＜1
2n＋1
(T n＋21)恒成立，求实数λ的取值范围．
解：(1)因为2S n＝a n＋1，
所以4S n＝(a n＋1)2，且a n＞0，
则4a1＝(a1＋1)2，解得a1＝1，
又4S n＋1＝(a n＋1＋1)2，
所以4a n＋1＝4S n＋1－4S n＝(a n＋1＋1)2－(a n＋1)2，
即(a n＋1－a n－2)(a n＋1＋a n)＝0，
因为a n＞0，所以a n＋1＋a n≠0，
所以a n＋1－a n＝2，
所以{a n}是公差为2的等差数列，
又a1＝1，
所以a n＝2n－1.
(2)设数列{b n}的公比为q，
因为2b7＋b8＝b9，所以2＋q＝q2，解得q＝－1(舍去)或q＝2，
由b2＝2，得b1＝1，故b n＝2n－1.
因为T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1
，
所以2T n ＝1×2＋3×22
＋5×23
＋…＋(2n －1)×2n
， 两式相减得－T n ＝1＋2(2＋22
＋…＋2
n －1
)－(2n －1)×2n
，
故T n ＝(2n －1)×2n
－1－2(2＋22
＋…＋2n －1
)＝(2n －1)×2n －1－2(2n
－2)＝(2n －
3)×2n
＋3.
(3)不等式λ(－1)n ＜12n ＋1(T n ＋21)可化为(－1)n
λ＜n －32＋62n －1.
①当n 为偶数时，λ＜n －32＋6
2n －1，
记g (n )＝n －32＋6
2n －1，则有λ＜g (n )min .
因为g (n ＋2)－g (n )＝2＋62n ＋1－62n －1＝2－9
2
n ，
当n ＝2时，g (n ＋2)＜g (n )，当n ≥4时，g (n ＋2)＞g (n )，
即g (4)＜g (2)，当n ≥4时，g (n )单调递增，g (n )min ＝g (4)＝134，所以λ＜13
4.
②当n 为奇数时，λ＞32－n －6
2n －1，
记h (n )＝32－n －6
2n －1，则有λ＞h (n )max .
因为h (n ＋2)－h (n )＝－2－
6
2n ＋1＋62n －1＝－2＋9
2n ， 当n ＝1时，h (n ＋2)＞h (n )，当n ≥3时，h (n ＋2)＜h (n )，
即h (3)＞h (1)，当n ≥3时，h (n )单调递减，h (n )max ＝h (3)＝－3，所以λ＞－3. 综上所述，实数λ的取值范围为?
????－3，134.
[由题悟法]
1．数列与不等式的综合问题考查类型 (1)判断数列中的一些不等关系问题； (2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题； (3)考查与数列问题有关的不等式的证明问题． 2．解决数列与不等式问题的两个注意点
(1)利用基本不等式或函数的单调性求解相关最值时，应注意n 取正整数的限制条件． (2)利用放缩法证明不等式、求解参数的范围时，尽量先求和、后放缩，注意放缩的尺度，否则会导致范围扩大或缩小而得不到正确的结果．
[即时应用]
已知数列{a n }满足a 1＝6，a 2＝20，且a n －1·a n ＋1＝a 2
n －8a n ＋12(n ∈N *
，n ≥2)．
(1)证明：数列{a n ＋1－a n }为等差数列； (2)令c n ＝
n ＋1a n na n ＋1＋na n ＋1n ＋1a n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：2n ＜T n ＜2n ＋2
3
.
证明：(1)当n ＝2时，a 1·a 3＝a 2
2－8a 2＋12， 所以a 3＝42.
当n ≥2时，由a n －1·a n ＋1＝a 2
n －8a n ＋12， 得a n ·a n ＋2＝a 2
n ＋1－8a n ＋1＋12，
两式相减得a n a n ＋2－a n －1a n ＋1＝a 2
n ＋1－a 2
n －8a n ＋1＋8a n ， 所以a 2
n ＋a n a n ＋2－8a n ＝a 2
n ＋1＋a n －1a n ＋1－8a n ＋1， 即a n (a n ＋a n ＋2－8)＝a n ＋1(a n ＋1＋a n －1－8)， 所以
a n ＋a n ＋2－8a n ＋1＝a n ＋1＋a n －1－8a n ＝…＝a 3＋a 1－8a 2
＝2.
所以a n ＋2＋a n －8＝2a n ＋1， 即a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝8， 即(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝8， 当n ＝1时，也满足此式． 又a 2－a 1＝14，
所以数列{a n ＋1－a n }是以14为首项，8为公差的等差数列． (2)由(1)知a n ＋1－a n ＝14＋8(n －1)＝8n ＋6.
由a 2－a 1＝8×1＋6，a 3－a 2＝8×2＋6，…，a n －a n －1＝8×(n －1)＋6，累加得a n －a 1＝8×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋6(n －1)＝8×n －1
1＋n －1
2
＋6(n －1)＝4n 2
＋2n －6，
所以a n ＝4n 2
＋2n .
所以c n ＝n ＋1a n
na n ＋1
＋
na n ＋1n ＋1a n ＝2n ＋12n ＋3＋2n ＋32n ＋1＝? ?
???1－22n ＋3＋? ??
??1＋22n ＋1＝2＋
2?
??
?
?12n ＋1－12n ＋3，
所以T n ＝2n ＋2??????? ????13－15＋? ????15－17＋…＋? ????12n ＋1－12n ＋3＝2n ＋2? ??
?
?13－12n ＋3，
又13＞13－12n ＋3＝2n ＋3－332n ＋3＝2n
32n ＋3＞0，
所以2n ＜T n ＜2n ＋23
.
考点二 与数列有关的探索性问题
重点保分型考点——师生共研 [典例引领]
已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝a ，且a n ＋1＝k (a n ＋a n ＋2)对任意正整数n 都成立，数列{a n }
的前n 项和为S n .
(1)若k ＝1
2
，且S 2 018＝2 018a ，求a 的值；
(2)是否存在实数k ，使数列{a n }是公比不为1的等比数列，且对任意相邻三项a m ，a m ＋1，
a m ＋2按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)当k ＝12时，a n ＋1＝1
2(a n ＋a n ＋2)，即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，
所以数列{a n }是等差数列，
此时首项a 1＝1，公差d ＝a 2－a 1＝a －1，
所以数列{a n }的前2 018项和S 2 018＝2 018＋1
2×2 018×(2 018－1)(a －1)＝2 018a ，
解得a ＝1.
(2)设数列{a n }是等比数列，则它的公比q ＝a 2a 1
＝a (a ≠1)， 所以a m ＝a
m －1
，a m ＋1＝a m ，a m ＋2＝a
m ＋1
.
①若a m ＋1为等差中项，则2a m ＋1＝a m ＋a m ＋2， 即2a m
＝a
m －1
＋a
m ＋1
，解得a ＝1，不合题意；
②若a m 为等差中项，则2a m ＝a m ＋1＋a m ＋2， 即2a
m －1
＝a m ＋a
m ＋1
，
化简得a 2
＋a －2＝0，解得a ＝－2(a ＝1舍去)，
所以k ＝a m ＋1a m ＋a m ＋2＝a m a m －1＋a m ＋1＝a 1＋a 2＝－2
5
；
③若a m ＋2为等差中项，则2a m ＋2＝a m ＋1＋a m ， 即2a
m ＋1
＝a m ＋a
m －1
，
化简得2a 2
－a －1＝0，解得a ＝－12
(a ＝1舍去)，
所以k ＝a m ＋1a m ＋a m ＋2＝a m a m －1＋a m ＋1＝a 1＋a 2＝－2
5
.
综上，满足要求的实数k 有且仅有一个，且k ＝－2
5
.
[由题悟法]
数列中存在性问题的求解策略
数列中的探索性问题的主要题型为存在型，解答的一般策略为：先假设所探求的对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到否定的结论，即不存在．若推理不出现矛盾，能求得已知范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果．
[即时应用]
设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(S n －1)2
＝a n S n . (1)求a 1； (2)求证：数列??
?
?
??
1S n －1为等差数列； (3)是否存在正整数m ，k ，使1
a k S k ＝1
a m
＋19成立？若存在，求出m ，k ；若不存在，说明
理由．
解：(1)当n ＝1时，(a 1－1)2＝a 2
1，∴a 1＝12.
(2)证明：∵(S n －1)2
＝a n S n ，
∴当n ≥2时，(S n －1)2＝(S n －S n －1)S n ， ∴－2S n ＋1＝－S n －1S n ， 即1－S n ＝S n (1－S n －1)， ∴1S n －1－1＝S n
S n －1
，
∴
1S n －1－1S n －1－1＝1S n －1－S n S n －1＝1－S n
S n －1＝－1为定值， ∴??
?
?
??
1S n －1为等差数列． (3)∵1
a 1－1
＝－2， ∴
1
S n －1
＝－2＋(n －1)×(－1)＝－n －1， ∴S n ＝n
n ＋1，∴a n ＝
S n －1
2
S n
＝
1
n
n ＋1
. 假设存在正整数m ，k ，使
1
a k S k ＝1
a m
＋19成立，
则(k ＋1)2
＝m (m ＋1)＋19， ∴4(k ＋1)2
＝4m (m ＋1)＋76，
∴[(2k ＋2)＋(2m ＋1)][(2k ＋2)－(2m ＋1)]＝75， ∴(2k ＋2m ＋3)(2k －2m ＋1)＝75＝75×1＝25×3＝15×5，
∴?????
2k ＋2m ＋3＝75，2k －2m ＋1＝1或?????
2k ＋2m ＋3＝25，2k －2m ＋1＝3
或?????
2k ＋2m ＋3＝15，2k －2m ＋1＝5.
解得?
??
??
k ＝18，m ＝18或?
??
??
k ＝6，
m ＝5或?
??
??
k ＝4，
m ＝2.
考点三 新定义数列问题 重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
若存在非零常数p ，对任意的正整数n ，a 2
n ＋1＝a n a n ＋2＋p ，则称数列{a n }是“T 数列”． (1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
(n ∈N *
)，求证：{a n }是“T 数列”； (2)设{a n }是各项均不为0的“T 数列”． ①若p ＜0，求证：{a n }不是等差数列；
②若p ＞0，求证：当a 1，a 2，a 3成等差数列时，{a n }是等差数列． 证明：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2
－(n －1)2
＝2n －1， 当n ＝1时，符合上式， 所以a n ＝2n －1.
则{a n }是“T 数列”?存在非零常数p ，对任意正整数n ，(2n ＋1)2
＝(2n －1)(2n ＋3)＋
p ，
显然p ＝4满足题意，所以{a n }是“T 数列”． (2)①假设{a n }是等差数列，设a n ＝a 1＋(n －1)d ，
则由a 2
n ＋1＝a n a n ＋2＋p ，得(a 1＋nd )2
＝[a 1＋(n －1)d ]·[a 1＋(n ＋1)d ]＋p ， 解得p ＝d 2≥0，这与p ＜0矛盾，故假设不成立， 从而{a n }不是等差数列． ②因为a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋p ， 所以a 2
n ＝a n －1a n ＋1＋p (n ≥2)，
两式相减得，a 2
n ＋1－a 2
n ＝a n a n ＋2－a n －1a n ＋1. 因为{a n }的各项均不为0， 所以a n ＋1＋a n －1a n ＝a n ＋a n ＋2
a n ＋1
(n ≥2)， 故??
??
??
a n ＋1＋a n －1a n (n ≥2)是常数列， 因为a 1，a 2，a 3成等差数列，所以a 3＋a 1
a 2
＝2， 从而
a n ＋1＋a n －1
a n
＝2(n ≥2)， 即a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ≥2)，所以{a n }是等差数列．
[由题悟法]
(1)新情境和新定义下的新数列问题，一般命题形式是根据定义的条件推断这个新数列
的一些性质或判断一个数列是否属于这类数列的问题.
(2)数列试题的情境，除了常见的等差数列、等比数列和递推数列外，有时还会出现周期数列、分段数列、数表型数列以及子数列问题等新情境．
[即时应用]
对于数列{a n }，记Δ1
a n ＝a n ＋1－a n ，Δk ＋1
a n ＝Δk a n ＋1－Δk a n ，k ，n ∈N *，则称数列{Δk a n }
为数列{a n }的“k 阶差数列”．
(1)已知Δ1
a n ＝? ??
??－12n ，
①若{a n }为等比数列，求a 1的值；
②证明：当n ＞m ，n ，m ∈N *
时，|a n －a m |＜23
.
(2)已知数列{b n }为数列{a n }的“2阶差数列”，若b n ＝3n －2，a 1＝1，且a n ≥a 3对n ∈N *
恒成立，求a 2的取值范围．
解：(1)①因为a 2＝a 1＋Δ1a 1＝a 1－12，a 3＝a 2＋Δ1
a 2＝a 1－14，且{a n }为等比数列，
所以a 2
2
＝a 1·a 3，即? ????a 1－122＝a 1?
????a 1－14，
解得a 1＝1
3
.
②证明：当n ＞m 时，
因为a n －a m ＝Δ1
a n －1＋…＋Δ1
a m
＝? ????－12m ??????1－? ????－12n －m 1－? ??
??－12
＝23·????
??? ????－12m －? ????－12n ， 所以|a n －a m |＝23·??????? ????－12m －? ????－12n ≤23·??????? ????12n ＋? ????12m ＜43·? ????12m
.
又43·? ??
??12m
单调递减， 所以43·? ????12m ≤43×12＝23
，
故当n ＞m ，n ，m ∈N *
时，|a n －a m |＜23
.
(2)因为数列{b n }为数列{a n }的“2阶差数列”，且b n ＝3n －2，所以Δ2a n ＝3n
－2， 所以Δ1
a n ＝Δ2
a n －1＋Δ2
a n －2＋…＋Δ2
a 1＋Δ1
a 1
＝
3
1－3n －1
1－3
－2(n －1)＋Δ1
a 1
＝3n
2－2n ＋12＋Δ1
a 1 ＝3n
2－2n ＋a 2－12
. 由Δ2
a n ＝3n －2＞0知，{Δ1
a n }单调递增， 所以要使a n ≥a 3对n ∈N *
恒成立，
当且仅当?????
Δ1
a 2＝a 3－a 2≤0，Δ1
a 3＝a 4－a 3≥0，
即?
??
??
a 2≤0，
a 2＋7≥0，解得－7≤a 2≤0.
所以a 2的取值范围是[－7,0]．
1．已知各项都不小于1的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＝6S n ＋3n －2. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝a n ＋1，从数列{b n }中抽取部分项b 1，b 9，bn 3，bn 4，…，bn k ，…，按从小到大的顺序构成等比数列．
①求{n k }的通项公式；
②记c k
＝?????
? ??
??13k
，k ＝1，2，
3
k
9n k
－32k
，k ≥3，k ∈N *
，
数列{c k }的前k 项和是T k ，求证：T k ＜25
36
.
解：(1)由a n ＝6S n ＋3n －2，
移项并平方得(a n ＋2)2
＝a 2
n ＋4a n ＋4＝6S n ＋3n ，
则a 2
n －1＋4a n －1＋4＝6S n －1＋3(n －1)，n ≥2， 两式相减得，
a 2n －a 2
n －1＋4a n －4a n －1＝6a n ＋3，n ≥2，
即a 2n －2a n ＋1＝a 2
n －1＋4a n －1＋4，n ≥2， 即(a n －1)2
＝(a n －1＋2)2
，n ≥2. 又a n ≥1，所以a n －1＝a n －1＋2，n ≥2， 即a n －a n －1＝3，n ≥2，
又a 1＋2＝6a 1＋3，所以a 2
1－2a 1＋1＝0，解得a 1＝1， 所以数列{a n }是首项为1，公差为3的等差数列， 故a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2. (2)①由b n ＝3n －2＋1，
得b 1＝2，b 9＝6，故等比数列的首项为2，公比为3， 则bn k ＝2×3
k －1
＝3n k －2＋1.
化简得n k ＝4×32k －3
－4×3
k －2
＋1.
②证明：由题意可得T 1＝13＜2536，T 2＝13＋19＝49＜2536，
当k ≥3，k ∈N *
时，
c k ＝3k
4×32k －1－4×3k ＋9－32k ＝3
k ＋1
32k －12×3k
＋27 ＝
3k ＋1
3k
－3
3k
－9＝92? ??
??1
3k －9－13k ＋1－9.
则T k ＝c 1＋c 2＋…＋c k ＝49＋92? ????133－9－134－9＋134－9－135－9＋…＋13k －9－13k ＋1－9＝
4
9＋92? ????133－9－13k ＋1－9＝2536－32×13k －3＜25
36
， 综上，T k ＜25
36
.
2．设数列{a n }的首项为1，前n 项和为S n ，若对任意的n ∈N *
，均有S n ＝a n ＋k －k (k 是常数且k ∈N *
)成立，则称数列{a n }为“P (k )数列”．
(1)若数列{a n }为“P (1)数列”，求数列{a n }的通项公式；
(2)是否存在数列{a n }既是“P (k )数列”，也是“P (k ＋2)数列”？若存在，求出符合条件的数列{a n }的通项公式及对应的k 的值；若不存在，请说明理由；
(3)若数列{a n }为“P (2)数列”，a 2＝2，设T n ＝a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n
2n ，证明：T n ＜3.
解：(1)数列{a n }为“P (1)数列”，则S n ＝a n ＋1－1， 所以S n ＋1＝a n ＋2－1，两式相减得，a n ＋2＝2a n ＋1，
又n ＝1时，a 1＝a 2－1＝1，所以a 2＝2， 故a n ＋1＝2a n 对任意的n ∈N *
恒成立，即
a n ＋1
a n
＝2， 所以数列{a n }为等比数列，其通项公式为a n ＝2n －1
，n ∈N *
.
(2)假设存在这样的数列{a n }，由{a n }是“P (k )数列”可得，S n ＝a n ＋k －k ， 故有S n ＋1＝a n ＋k ＋1－k ，
两式相减得，a n ＋1＝a n ＋k ＋1－a n ＋k ， 则有a n ＋3＝a n ＋k ＋3－a n ＋k ＋2.
同理，由{a n }是“P (k ＋2)数列”可得，a n ＋1＝a n ＋k ＋3－a n ＋k ＋2， 所以a n ＋1＝a n ＋3对任意的n ∈N *
恒成立，
所以S n ＝a n ＋k －k ＝a n ＋k ＋2－k ＝S n ＋2，即S n ＝S n ＋2. ① 又S n ＝a n ＋k ＋2－k －2＝S n ＋2－2，即S n ＋2－S n ＝2. ②
①②两式矛盾，故不存在数列{a n }既是“P (k )数列”，也是“P (k ＋2)数列”． (3)证明：因为数列{a n }为“P (2)数列”，所以S n ＝a n ＋2－2， 所以S n ＋1＝a n ＋3－2，
两式相减得，a n ＋1＝a n ＋3－a n ＋2， 又n ＝1时，a 1＝a 3－2＝1，故a 3＝3， 又a 2＝2，满足a 3＝a 2＋a 1，
所以a n ＋2＝a n ＋1＋a n 对任意的n ∈N *
恒成立， 所以数列{a n }的前几项为1,2,3,5,8，
故T n ＝a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n 2n ＝12＋222＋323＋524＋825＋…＋a n
2n ，③
当n ＝1时，T 1＝a 12＝12＜3，当n ＝2时，T 2＝a 12＋a 2
2
2＝1＜3，
当n ≥3时，12T n ＝122＋223＋324＋525＋…＋a n －12n ＋a n
2n ＋1，④
由③④得，12T n ＝12＋122＋123＋224＋…＋a n －a n －12n
－a n
2n ＋1 ＝12＋122＋123＋224＋…＋a n －22n －a n
2n ＋1 ＝34＋14T n －2－a n
2
n ＋1， 显然T n －2＜T n ，a n 2n ＋1＞0，故12T n ＜34＋1
4
T n ，即T n ＜3.
综上，T n ＜3.
3．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：(t －1)S n －ta n ＋t ＝0(t 为常数，且t ≠0，t ≠1，
n ∈N *)．
(1)设b n ＝a n (a n ＋S n )，若数列{b n }为等比数列，求t 的值； (2)当t ＞1时，记c n ＝a n
a n －1
a n ＋1－1
，T n 是数列{c n }的前n 项和，求证：T n ＜
1t －1
2
；
(3)当t ＝5时，是否存在整数对(m ，n )(其中m ∈Z ，n ∈N *
)满足a 2
n －(4＋m )a n ＋7m ＋15＝0？若存在，求出所有满足题意的整数对(m ，n )；若不存在，请说明理由．
解：(1)当n ＝1时，(t －1)S 1－ta 1＋t ＝0，得a 1＝t . 当n ≥2时，由(1－t )S n ＝－ta n ＋t ，① 得(1－t )S n －1＝－ta n －1＋t ，② ①－②，得(1－t )a n ＝－ta n ＋ta n －1， 即a n ＝ta n －1，∴
a n
a n －1
＝t (n ≥2)， ∴数列{a n }是等比数列，且公比是t ，∴a n ＝t n
. 由b n ＝a n (a n ＋S n )知，
b n ＝(t n )2
＋t 1－t n 1－t ·t n
＝t 2n ＋t n ＋1－2t 2n ＋11－t
.
若数列{b n }为等比数列，则有b 2
2＝b 1·b 3， 而b 1＝2t 2
，b 2＝t 3
(2t ＋1)，b 3＝t 4
(2t 2
＋t ＋1)， 故[t 3
(2t ＋1)]2
＝2t 2
·t 4
(2t 2
＋t ＋1)，
解得t ＝12，将t ＝12代入b n ，得b n ＝? ????12n
，满足{b n }为等比数列，
∴t ＝1
2
.
(2)证明：由(1)知，a n ＝t n
， ∴c n ＝a n
a n －1
a n ＋1－1
＝
t n
t n
－1
t n ＋1
－1
＝
1t －1? ??
??1
t n －1－1t n ＋1－1，
则T n ＝1t －1????
??? ????1t －1－1t 2－1＋? ????1t 2－1－1t 3－1＋…＋? ????1t n －1－1t n ＋1－1 ＝
1t －1? ??
??1
t －1－1t n ＋1－1，
又t ＞1，∴T n ＜1t －1
2
.
(3)当t ＝5时，由(1)知a n ＝5n
， 由a 2
n －(4＋m )a n ＋7m ＋15＝0， 得52n －(4＋m )5n
＋7m ＋15＝0，
故m ＝52n －4×5n ＋155n －7＝5n －75n
＋3＋365n
－7 ＝5n
＋3＋
36
5n
－7
. 若存在整数对(m ，n )，则36
5n
－7
必须是整数． 当n ＝1时，m ＝－10； 当n ＝2时，m ＝30；
当n ≥3时，5n
－7＞36，不符合．
综上，所有满足题意的整数对(m ，n )为(－10,1)，(30,2)．
4．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于或等于2，则称这个数列为“D 数列”．
(1)若数列{a n }为“D 数列”，且a 1＝a －3，a 2＝a ，a 3＝a 2
－4，求实数a 的取值范围； (2)若首项为1的等差数列{a n }的每一项均为正整数，且数列{a n }为“D 数列”，其前n 项和S n 满足S n ＜n 2
＋2n (n ∈N *
)，求数列{a n }的通项公式；
(3)已知等比数列{a n }的每一项均为正整数，且数列{a n }为“D 数列”，a 2－a 1＜3，设b n
＝
2×6n
n ＋1·a n
(n ∈N *
)，试判断数列{b n }是否为“D 数列”，并说明理由．
解：(1)由题意得a 2－a 1＝3＞2，
a 3－a 2＝a 2－4－a ≥2，即a 2－a －6≥0，
解得a ≥3或a ≤－2.
所以实数a 的取值范围为(－∞，－2]∪[3，＋∞)． (2)设等差数列{a n }的公差为d ，则d ≥2， 由a 1＝1，得S n ＝n ＋n n －1
2
d ，
由题意得，n ＋
n n －1
2
d ＜n 2＋2n 对n ∈N *均成立．
当n ＝1时，上式成立． 当n ≥2时，d ＜2n ＋2n －1＝2＋4
n －1.
又d ∈N *
，所以d ≤2，所以d ＝2，
所以等差数列{a n }的通项公式a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (3)设等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q
n －1
，
因为数列{a n }的每一项均为正整数，且a n ＋1－a n ＝a n q －a n ＝a n (q －1)≥2＞0，所以q ＞1，且q 为整数，
则a n ＋1－a n ＝q (a n －a n －1)＞a n －a n －1，n ≥2，n ∈N *
，
所以在数列{a n－a n－1}中，a2－a1为最小项．
由数列{a n}为“D数列”，可知只需a2－a1≥2，即a1(q－1)≥2，又a2－a1＜3，即a1(q－1)＜3，
由数列{a n}的每一项均为正整数，可得a1(q－1)＝2，
所以a1＝1，q＝3或a1＝2，q＝2.
①当a1＝1，q＝3时，a n＝3n－1，则b n＝
2×6n
n＋1·3n－1
＝
3
n＋1
×2n＋1.
令c n＝b n＋1－b n(n∈N*)，则c n＝
3
n＋2
×2n＋2－
3
n＋1
×2n＋1＝3×2n＋1×
?
?
??
?
2
n＋2
－
1
n＋1＝3×2
n
＋1×
n
n＋2n＋1
，
所以c n＋1－c n＝3×2n＋2×
n＋1
n＋3n＋2
－3×2n＋1×
n
n＋2n＋1
＝3×2n＋1×
n2＋n＋2
n＋3n＋2n＋1
＞0，
所以数列{c n}为递增数列，即c n＞c n－1＞c n－2＞…＞c1.
又c1＝b2－b1＝2，
所以对任意的n∈N*都有b n＋1－b n≥2，
所以数列{b n}是“D数列”．
②当a1＝2，q＝2时，a n＝2n，则b n＝
2×6n
n＋1·2n
＝
2
n＋1
×3n.
令d n＝b n＋1－b n(n∈N*)，
则d n＝
2
n＋2
×3n＋1－
2
n＋1
×3n＝2×3n×
?
?
??
?
3
n＋2
－
1
n＋1＝2×3
n×
2n＋1
n＋2n＋1
，所以d n＋1－d n＝2×3n＋1×
2n＋3
n＋3n＋2
－2×3n×
2n＋1
n＋2n＋1
＝2×3n×
4n2＋8n＋6
n＋3n＋2n＋1
＞0，
所以数列{d n}为递增数列，
即d n＞d n－1＞d n－2＞…＞d1.
又d1＝b2－b1＝3，
所以对任意的n∈N*都有b n＋1－b n≥2，
所以数列{b n}是“D数列”．
综上，数列{b n}是“D数列”．
命题点一 数列的概念及表示
1.(2016·上海高考)无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和．若对任意n ∈N *
，S n ∈{2,3}，则k 的最大值为________．
解析：由S n ∈{2,3}，得a 1＝S 1∈{2,3}．将数列写出至最多项，其中有相同项的情况舍去，共有如下几种情况：
①a 1＝2，a 2＝0，a 3＝1，a 4＝－1； ②a 1＝2，a 2＝1，a 3＝0，a 4＝－1； ③a 1＝2，a 2＝1，a 3＝－1，a 4＝0； ④a 1＝3，a 2＝0，a 3＝－1，a 4＝1； ⑤a 1＝3，a 2＝－1，a 3＝0，a 4＝1； ⑥a 1＝3，a 2＝－1，a 3＝1，a 4＝0. 最多项均只能写到第4项，即k max ＝4. 答案：4
2．(2014·全国卷Ⅱ)数列 {a n }满足 a n ＋1＝1
1－a n ，a 8＝2，则a 1 ＝________.
解析：将a 8＝2代入a n ＋1＝
11－a n ，可求得a 7＝12；再将a 7＝12代入a n ＋1＝11－a n
，可求得a 6＝－1；再将a 6＝－1代入a n ＋1＝
1
1－a n
，可求得a 5＝2；由此可以推出数列{a n }是一个周期数列，且周期为3，所以a 1＝a 7＝1
2
.
答案：12
命题点二 等差数列与等比数列
1．(2018·北京高考)设{a n }是等差数列，且a 1＝3，a 2＋a 5＝36，则{a n }的通项公式为
________．
解析：法一：设数列{a n }的公差为d .∵a 2＋a 5＝36，∴(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＝2a 1＋5d ＝36.∵a 1＝3，∴d ＝6，∴a n ＝6n －3.
法二：设数列{a n }的公差为d ，∵a 2＋a 5＝a 1＋a 6＝36，a 1＝3，∴a 6＝33，∴d ＝a 6－a 1
5
＝
6，∴a n ＝6n －3.
答案：a n ＝6n －3
2．(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6
＝63
4
，则a 8＝________. 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，
则?
????
S 3＝a 11－q 31－q ＝74
，
S 6
＝a
1
1－q 6
1－q
＝634
，解得?
????
q ＝2，a 1＝1
4，
则a 8＝a 1q 7＝14×27
＝32.
答案：32
3．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析：∵S n ＝2a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋1， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1， 即a n ＝2a n －1.
当n ＝1时，由a 1＝S 1＝2a 1＋1，得a 1＝－1.
∴数列{a n }是首项a 1为－1，公比q 为2的等比数列，
∴S n ＝a 11－q n 1－q ＝－1×1－2n
1－2
＝1－2n
，
∴S 6＝1－26
＝－63. 答案：－63
4．(2016·江苏高考)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 2
2＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________．
解析：法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知S 5＝5a 1＋5×4
2d ＝10，得a 1＋
2d ＝2，即a 1＝2－2d .所以a 2＝a 1＋d ＝2－d ，代入a 1＋a 2
2＝－3，化简得d 2－6d ＋9＝0，所以d ＝3，a 1＝－4.故a 9＝a 1＋8d ＝－4＋24＝20.
法二：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知5a 1＋a 5
2＝5a 3＝10，所以a 3＝2.
所以由a 1＋a 3＝2a 2，得a 1＝2a 2－2，代入a 1＋a 2
2＝－3，化简得a 2
2＋2a 2＋1＝0，所以a 2
＝－1.
公差d ＝a 3－a 2＝2＋1＝3，故a 9＝a 3＋6d ＝2＋18＝20. 答案：20
5．(2018·北京高考)设{a n }是等差数列，且a 1＝ln 2，a 2＋a 3＝5ln 2. (1)求{a n }的通项公式； (2)求e 1a
＋e
2
a ＋…＋e
n
a .
解：(1)设{a n }的公差为d . 因为a 2＋a 3＝5ln 2， 所以2a 1＋3d ＝5ln 2. 又a 1＝ln 2，所以d ＝ln 2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ln 2. (2)因为e 1a
＝e
ln 2
＝2，e a
n
e 1
n a ＝e
1
n n a a －－＝e
ln 2
＝2，
所以数列{e a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 所以e 1
a ＋e
2
a ＋…＋e
n
a ＝
2×
1－2n
1－2
＝2
n ＋1
－2.
6．(2017·江苏高考)对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n －k ＋a n －k ＋1＋…＋a n －1＋
a n ＋1＋…＋a n ＋k －1＋a n ＋k ＝2ka n ，对任意正整数n (n ＞k )总成立，则称数列{a n }是“P (k )数列”．
(1)证明：等差数列{a n }是“P (3)数列”；
(2)若数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，证明：{a n }是等差数列． 证明：(1)因为{a n }是等差数列，设其公差为d ， 则a n ＝a 1＋(n －1)d ，
从而，当n ≥4时，a n －k ＋a n ＋k ＝a 1＋(n －k －1)d ＋a 1＋(n ＋k －1)d ＝2a 1＋2(n －1)d ＝2a n ，
k ＝1,2,3，
所以a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n ， 因此等差数列{a n }是“P (3)数列”．
(2)数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，因此， 当n ≥3时，a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＝4a n ，①
当n ≥4时，a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n .② 由①知，a n －3＋a n －2＝4a n －1－(a n ＋a n ＋1)，③
a n ＋2＋a n ＋3＝4a n ＋1－(a n －1＋a n )．④
将③④代入②，得a n －1＋a n ＋1＝2a n ，其中n ≥4， 所以a 3，a 4，a 5，…是等差数列，设其公差为d ′. 在①中，取n ＝4，则a 2＋a 3＋a 5＋a 6＝4a 4， 所以a 2＝a 3－d ′，
在①中，取n ＝3，则a 1＋a 2＋a 4＋a 5＝4a 3， 所以a 1＝a 3－2d ′， 所以数列{a n }是等差数列．
7．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；
(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． 解：(1)设{a n }的公比为q .
由题设可得???
??
a 1
1＋q ＝2，a 11＋q ＋q
2
＝－6.
解得?
??
??
a 1＝－2，
q ＝－2.
故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n
. (2)由(1)可得S n ＝
－2×[1－－2n
]1－－2
＝－23＋(－1)n 2n ＋1
3
.
由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43
＋(－1)
n 2n ＋3
－2n ＋2
3
＝2????
??－2
3
＋－1n
2
n ＋1
3＝2S n ， 故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．
8．(2015·江苏高考)设a 1，a 2，a 3，a 4是各项为正数且公差为d (d ≠0)的等差数列． (1)证明：2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列．
(2)是否存在a 1，d ，使得a 1，a 2
2，a 3
3，a 4
4依次构成等比数列？并说明理由． (3)是否存在a 1，d 及正整数n ，k 使得a n
1，a n ＋k
2，a n ＋2k
3
，a n ＋3k
4
依次构成等比数列？并说明
理由．
解：(1)证明：因为2a n ＋12a n
＝2a n ＋1－a n ＝2d
(n ＝1,2,3)是同一个常数，所以2a 1，2a 2，2a 3，
2a 4依次构成等比数列．
(2)不存在，理由如下：
令a 1＋d ＝a ，则a 1，a 2，a 3，a 4分别为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d (a ＞d ，a ＞－2d ，d ≠0)．
假设存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 4
4依次构成等比数列， 则a 4
＝(a －d )(a ＋d )3
，且(a ＋d )6
＝a 2
(a ＋2d )4
. 令t ＝d a
，则1＝(1－t )(1＋t )3
，
且(1＋t )6＝(1＋2t )4? ????－12＜t ＜1，t ≠0， 化简得t 3
＋2t 2
－2＝0(*)，且t 2
＝t ＋1.
将t 2
＝t ＋1代入(*)式，得t (t ＋1)＋2(t ＋1)－2＝t 2
＋3t ＝t ＋1＋3t ＝4t ＋1＝0，则t ＝－1
4
.
显然t ＝－1
4不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，
因此不存在a 1，d ，使得a 1，a 2
2，a 3
3，a 4
4依次构成等比数列． (3)不存在，理由如下：
假设存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n
1，a n ＋k
2，a n ＋2k
3，a n ＋3k
4
依次构成等比数列，
则a n
1(a 1＋2d )n ＋2k
＝(a 1＋d )
2(n ＋k )
，
且(a 1＋d )
n ＋k
(a 1＋3d )n ＋3k
＝(a 1＋2d )
2(n ＋2k )
，
分别在两个等式的两边同除以a 2
n ＋k
1及a 2
n ＋2k
1
，并令t ＝d a 1? ??
??t ＞－13
，t ≠0， 则(1＋2t )n ＋2k
＝(1＋t )
2(n ＋k )
，
且(1＋t )
n ＋k
(1＋3t )
n ＋3k
＝(1＋2t )2(n ＋2k )．
将上述两个等式两边取对数，得 (n ＋2k )ln(1＋2t )＝2(n ＋k )ln(1＋t )，
且(n ＋k )ln(1＋t )＋(n ＋3k )ln(1＋3t )＝2(n ＋2k )·ln(1＋2t )． 化简得
2k [ln(1＋2t )－ln(1＋t )]＝n [2ln(1＋t )－ln(1＋2t )]， 且3k [ln(1＋3t )－ln(1＋t )]＝n [3ln(1＋t )－ln(1＋3t )]． 再将这两式相除，化简得
ln(1＋3t )ln(1＋2t )＋3ln(1＋2t )ln(1＋t ) ＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )．(**)
令g (t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )－ln(1＋3t )ln(1＋2t )－3ln(1＋2t )ln(1＋t )，则g ′(t )＝
2[
1＋3t
2
ln 1＋3t －31＋2t 2
ln
1＋2t ＋31＋t
2
ln 1＋t ]
1＋t 1＋2t
1＋3t
.
令φ(t )＝(1＋3t )2
ln(1＋3t )－3(1＋2t )2
ln(1＋2t )＋3(1＋t )2
ln(1＋t )， 则φ′(t )＝6[(1＋3t )ln(1＋3t )－2(1＋2t )ln(1＋2t )＋(1＋t )ln(1＋t )]．
令φ1(t )＝φ′(t )，
则φ1′(t )＝6[3ln(1＋3t )－4ln(1＋2t )＋ln(1＋t )]． 令φ2(t )＝φ1′(t )，则φ2′(t )＝
121＋t
1＋2t
1＋3t
＞0.
由g (0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0，φ2′(t )＞0，
知φ2(t )，φ1(t )，φ(t )，g (t )在? ??
??－13，0和(0，＋∞)上均单调． 故g (t )只有唯一零点t ＝0，即方程(**)只有唯一解t ＝0，故假设不成立． 所以不存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k
3，a n ＋3k
4
依次构成等比数列．
命题点三 数列求和
1.(2018·江苏高考)已知集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *
}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *
}．将A ∪
B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }．记S n 为数列{a n }的前n 项和，则使得S n
＞12a n ＋1成立的n 的最小值为________．
解析：所有的正奇数和2n (n ∈N *)按照从小到大的顺序排列构成{a n }，在数列{a n }中，2
5
前面有16个正奇数，即a 21＝25
，a 38＝26
.当n ＝1时，S 1＝1＜12a 2＝24，不符合题意；当n ＝2时，S 2＝3＜12a 3＝36，不符合题意；当n ＝3时，S 3＝6＜12a 4＝48，不符合题意；当n ＝4时，S 4＝10＜12a 5＝60，不符合题意；…；当n ＝26时，S 26＝21×1＋412＋
2×1－2
5
1－2＝441＋62＝503＜12a 27＝516，不符合题意；当n ＝27时，S 27＝22×1＋432＋
2×1－2
5
1－2＝484＋62＝546＞12a 28＝540，符合题意．故使得S n ＞12a n ＋1成立的n 的最小值为27.
答案：27
2．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑k ＝1n
1
S k
＝________.
解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，
依题意有?
??
??
a 1＋2d ＝3，4a 1＋6d ＝10，解得?
??
??
a 1＝1，
d ＝1，
所以S n ＝
n n ＋1
2
，1
S n ＝
2n
n ＋1＝2? ??
??1
n －1n ＋1， 因此∑k ＝1n
1S k ＝2? ????1－12＋12－1
3＋…＋1n －1n ＋1＝2n n ＋1.
答案：
2n
n ＋1
3．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；
(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . 解：(1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q
n －1
.
由已知得q 4
＝4q 2
，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)
n －1
或a n ＝2
n －1
.
(2)若a n ＝(－2)
n －1
，则S n ＝
1－－2
n
3
.
由S m ＝63，得(－2)m
＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2
n －1
，则S n ＝1－2n
1－2
＝2n
－1.
由S m ＝63，得2m
＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.
4．(2018·浙江高考)已知等比数列{a n }的公比q ＞1，且a 3＋a 4＋a 5＝28，a 4＋2是a 3，
a 5的等差中项．数列{
b n }满足b 1＝1，数列{(b n ＋1－b n )a n }的前n 项和为2n 2＋n .
(1)求q 的值；
(2)求数列{b n }的通项公式．
解：(1)由a 4＋2是a 3，a 5的等差中项， 得a 3＋a 5＝2a 4＋4，
所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＋4＝28， 解得a 4＝8.
由a 3＋a 5＝20，得8?
??
??q ＋1q ＝20，
解得q ＝2或q ＝1
2.
因为q ＞1，所以q ＝2.
(2)设c n ＝(b n ＋1－b n )a n ，数列{c n }的前n 项和为S n .
由c n ＝?
??
??
S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，解得c n ＝4n －1.
由(1)可得a n ＝2
n －1
，
所以b n ＋1－b n ＝(4n －1)×? ????12n －1
，
故b n －b n －1＝(4n －5)×? ??
??12n －2
，n ≥2，
b n －b 1＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 3－b 2)＋(b 2－b 1)＝(4n －5)×? ??
??
12
n －2＋(4n －
9)×? ??
??12n －3
＋…＋7×12＋3.
2021年江苏省高考数学总复习：数列
第 1 页 共 28 页 2021年江苏省高考数学二轮解答题专项复习：数列 1．在数列{a n }中a 1＝1，且3a n +1＝a n +13n （n ∈N +）． （1）求证：数列{3n ?a n }为等差数列； （2）求数列{a n }的前n 项和S n ． 【解答】解：（1）证明：由a 1＝1，3a n +1＝a n + 13n ，可得3n +1a n +1＝3n a n +1， 即3n +1a n +1﹣3n a n ＝1， 可得数列{3n ?a n }是以3为首项，1为公差的等差数列； （2）由（1）可得3n ?a n ＝3+n ﹣1＝n +2， 则a n ＝（n +2）?（13）n ， 可得前n 项和S n ＝3?13+4?（13）2+5?（13）3+…+（n +2）?（13 ）n ， 13S n ＝3?（13）2+4?（13）3+5?（13）4+…+（n +2）?（13 ）n +1， 两式相减可得23S n ＝1+（13）2+（13）3+…+（13）n ﹣（n +2）? （13）n +1 ＝1+19(1?13n?1)1?13 ?（n +2）?（13）n +1， 化简可得S n =74?2n+74?（13 ）n ． 2．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n ＝（n +1）a n （n ∈N ）且a 1＝2． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝（a n ﹣1）2a n ．求数列{b n }的前n 项和T n ． 【解答】解：（1）由题意，2S n ＝（n +1）a n ，n ∈N *． 则2S n +1＝（n +2）a n +1，n ∈N *． 两式相减，得2a n +1＝（n +2）a n +1﹣（n +1）a n ， 整理，得 na n +1＝（n +1）a n ． 即a n+1n+1= a n n ，n ∈N *． ∴数列{a n n }为常数列． ∴a n n =a 11=2， ∴数列{a n }的通项公式为：a n ＝2n ．
高考数学等差数列习题及答案 百度文库
一、等差数列选择题 1．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足() 12n n n S +=，则数列11n n a a +?????? 的前10项的和为（ ） A ． 89 B ． 910 C ．10 11 D ． 1112 2．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161 B ．155 C ．141 D ．139 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200 B ．100 C ．90 D ．80 5．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ） A ．3斤 B ．6斤 C ．9斤 D ．12斤 6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足 122527 n n a a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ） A ．6- B ．2- C ．1- D ．0 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且62 10S S ，则34a a +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8．定义 12n n p p p ++ +为n 个正数12,, ,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前 n 项的“均倒数”为 12n ，又2n n a b =，则1223 910 111 b b b b b b +++ =（ ） A ． 8 17 B ． 1021 C ． 1123 D ． 9 19 9．题目文件丢失！ 10．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.
2010年高考数学数列真题汇编
2017年高考试卷数列题摘录 1．(全国卷Ⅰ理科第4题，5分)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，S 6=48，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 2.(全国卷Ⅰ理科第12题，5分) 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们退出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是02，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A.440 B.330 C.220 D.110 3.(全国卷Ⅰ文科第17题，12分) 记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列。 4．(全国卷Ⅱ理科第3题，5分) 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 5.(全国卷Ⅱ理科第15题，5分) 等差数列{}n a 的前项和为n S ，33a =，410S =，则 11n k k S ==∑ ． 6.(全国卷Ⅱ文科第17题，12分) 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1=-1，b 1=1，
2022年高考数学总复习：等差数列及其前n项和
第 1 页 共 13 页 2022年高考数学总复习：等差数列及其前n 项和 1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项 由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2 或S n ＝na 1＋n (n －1)2 d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2 n 2＋????a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列?S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值 在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 知识拓展 等差数列的四种判断方法 (1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)?{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)?{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)?{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)?{a n }是等差数列．
高考数学等差数列专题复习(专题训练) 百度文库
一、等差数列选择题 1．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ） A ． 1 2 尺布 B ． 5 18 尺布 C ． 16 31 尺布 D ． 16 29 尺布 2．定义 12n n p p p ++ +为n 个正数12,, ,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前 n 项的“均倒数”为 12n ，又2n n a b =，则 1223910 111 b b b b b b +++ =（ ） A ． 8 17 B ． 1021 C ． 1123 D ． 919 3．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=，633a a =+，则n a =（ ） A ．1n - B ．n C ．21n - D ．2n 4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列 D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列 5．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160 B ．180 C ．200 D ．220 6．已知数列{}n a 的前n 项和2 21n S n n =+-，则13525a a a a +++ +=（ ） A ．350 B ．351 C ．674 D ．675 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921 a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（ ） A ．21 B ．20 C ．19 D ．19或20 8．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n n S a b n =---?+，*n N ∈，则 存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ） A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 C ．· n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．· n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 9．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，
(江苏专用)高考数学二轮复习微专题十七数列的通项与求和练习(无答案)苏教版
（江苏专用）高考数学二轮复习微专题十七数列的通项与求和练 习（无答案）苏教版 微专题十七 数列的通项与求和 一、填空题 1. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝6＋a 7，则S 9的值是________． 2. 已知数列{a n }满足a 1为正整数，a n ＋1＝????? a n 2 ， a n 为偶数，3a n ＋1，a n 为奇数. 若a 1＝5，则a 1＋a 2＋a 3＝________. 3. 已知数列{a n }满足a n ＝ 1n ＋n ＋1，则其前99项和S 99＝________.
4. 若数列{a n }满足12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 5. 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝ 2a n a n ＋2 (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 6. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝12，S n ＝kn 2－1(n ∈N *)，则数列??????1S n 的前n 项和为________．
7. 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ·(2n －1)cos n π 2＋1(n ∈N * )，其前n 项和为S n ，则S 60＝________. 8. 如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线y ＝33 (x ＋1)上从左向右依次取点A k ，B k ，k ＝1,2，…其中A 1是坐标原点，使△A k B k A k ＋1都是等边三角形，则△A 10B 10A 11的边长是________． 9. 定义：在数列{a n }中，若满足a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，称{a n }为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝3，则 a 2 019a 2 017＝________.
高考数学等差数列习题及答案 百度文库
一、等差数列选择题 1．在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，则11S 的值是（ ） A ．60 B ．11 C ．50 D ．55 2．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200 B ．100 C ．90 D ．80 3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．10- B ．8 C ．12 D ．14 4．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（ ） A ．16 B ．-16 C ．4 D ．-4 5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（ ） A ．45 B ．50 C ．60 D ．80 6．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231 n n a n b n =+，则2121S T 的值为（ ） A ． 13 15 B ． 2335 C ． 1117 D ． 49 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921 a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（ ） A ．21 B ．20 C ．19 D ．19或20 8．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，3456720a a a a a ++++=，则9S =（ ） A ．24 B ．36 C ．48 D ．64 9．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2 6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且 77b a =，则3810b b b =（ ) A ．1 B ．8 C ．4 D ．2 10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11 2 a = ，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ?? ???? 的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（ ） A ．21 4 a =- B ． 648 211S S S =+ C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为 712 D ．1121 n n n n n T T T n n +-= ++ 11．已知等差数列{}n a ，且()()35710133248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之
2020年江苏省高考数学专项拔高训练专题16 数列问题(解析版)
专题16 数列问题 考情分析 真题再现 1.（2019·江苏卷）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M ?数列”． (1)已知等比数列{a n }(n ∈N ?)满足：a 2a 4=a 5，a 3?4a 2+4a 1=0，求证：数列{a n }为“M ?数列”； (2)已知数列{b n }(n ∈N ?)满足：b 1=1，1S n =2b n ?2 b n+1 ，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式； ②设m 为正整数，若存在“M ?数列”{c n }(n ∈N ?)，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有c k ≤b k ≤c k+1成立，求m 的最大值． 【答案】解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，则 由a 2a 4=a 5，a 3?4a 2+4a 1=0，得 {a 12q 4=a 1q 4a 1q 2?4a 1q +4a 1=0 ∴{a 1=1q =2， ∴数列{a n }首项为1且公比为正数 即数列{a n }为“M ?数列”； (2)①∵b 1=1， 1S n = 2b n ? 2b n+1， ∴当n =1时，1 S 1 =1 b 1 =2 b 1 ?2 b 2 ，∴b 2=2， 当n =2时，1S 2 =1 b 1+b 2 =2b 2 ?2 b 3 ，∴b 3=3， 当n =3时，1S 3 =1 b 1+b 2+b 3 = 2b 3 ? 2b 4 ，∴b 4=4， 猜想b n =n ，下面用数学归纳法证明； (i)当n =1时，b 1=1，满足b n =n ， (ii)假设n =k 时，结论成立，即b k =k ，则n =k +1时， 由1S k =2b k ?2 b k+1 ，得
江苏高考数学试题-数列
数 列 专 题 例 2. 给定实数0,1a a >≠,数列{}n a 定义为: n a =…. (1)证明: {}n a 是单调数列; (2)试确定数列{}n a 中是否有最大值,或最小值?若 有,请求出;否则,请说明理由; (3)对任意 3,k k N ≥∈，证明：集合}L L 中有k 个数构成等比数列. 解（1）证明：当111111,1 n n a a a n n +>>>+时，∴∴， ∴数列{}n a 是单调递减. 当01a <<时,∵11111,1 n n a a n n +><+∴,∴数列{}n a 是单调递增. 综上：{}n a 单调数列. (2)( ⅰ)当1a >时，{}n a 是单调递减.，∴2a 最大，其值为 ，但无最小值，假设{}n a 有最小值α，α是{}n a 中的项，∴11,1,1n n n a a a αα≥>≥>又∴，∴n a α≥，当n 充分大，与a 为定值矛盾. (ⅱ)当01a <<时，{}n a 是单调递增，∴2a 最小，其值为 ，但无最大值，假设{}n a 有最大值β，∵1n a <，∴1,n n a a ββ≤<≤∴，当n 充分大时，0,0n a β→→∴，这与a 是给定数矛盾. 综上：当 1a >时，{}n a ，但无最小项； 当 01a <<时，{}n a . (3)证明：取出k 个数：12123...123...123...12,,...,,k k k k k b a b a b a ????????????=== ∵ 12,,...,123...23...123...k k k k ????????????成等差数列，公差为 d,
江苏专版2020版高考数学一轮复习第六章数列第五节数列的综合问题教案理含解析苏教版
第五节数列的综合问题 考点一数列与不等式问题重点保分型考点——师生共研 [典例引领] 若各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且2S n＝a n＋1 (n∈N*)． (1)求数列{a n}的通项公式； (2)若正项等比数列{b n}，满足b2＝2,2b7＋b8＝b9，求T n＝a1b1＋a2b2＋…＋a n b n； (3)对于(2)中的T n，若对任意的n∈N*，不等式λ(－1)n＜1 2n＋1 (T n＋21)恒成立，求实数λ的取值范围． 解：(1)因为2S n＝a n＋1， 所以4S n＝(a n＋1)2，且a n＞0， 则4a1＝(a1＋1)2，解得a1＝1， 又4S n＋1＝(a n＋1＋1)2， 所以4a n＋1＝4S n＋1－4S n＝(a n＋1＋1)2－(a n＋1)2， 即(a n＋1－a n－2)(a n＋1＋a n)＝0， 因为a n＞0，所以a n＋1＋a n≠0， 所以a n＋1－a n＝2， 所以{a n}是公差为2的等差数列， 又a1＝1， 所以a n＝2n－1. (2)设数列{b n}的公比为q， 因为2b7＋b8＝b9，所以2＋q＝q2，解得q＝－1(舍去)或q＝2， 由b2＝2，得b1＝1，故b n＝2n－1.
因为T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1 ， 所以2T n ＝1×2＋3×22 ＋5×23 ＋…＋(2n －1)×2n ， 两式相减得－T n ＝1＋2(2＋22 ＋…＋2 n －1 )－(2n －1)×2n ， 故T n ＝(2n －1)×2n －1－2(2＋22 ＋…＋2n －1 )＝(2n －1)×2n －1－2(2n －2)＝(2n － 3)×2n ＋3. (3)不等式λ(－1)n ＜12n ＋1(T n ＋21)可化为(－1)n λ＜n －32＋62n －1. ①当n 为偶数时，λ＜n －32＋6 2n －1， 记g (n )＝n －32＋6 2n －1，则有λ＜g (n )min . 因为g (n ＋2)－g (n )＝2＋62n ＋1－62n －1＝2－9 2 n ， 当n ＝2时，g (n ＋2)＜g (n )，当n ≥4时，g (n ＋2)＞g (n )， 即g (4)＜g (2)，当n ≥4时，g (n )单调递增，g (n )min ＝g (4)＝134，所以λ＜13 4. ②当n 为奇数时，λ＞32－n －6 2n －1， 记h (n )＝32－n －6 2n －1，则有λ＞h (n )max . 因为h (n ＋2)－h (n )＝－2－ 6 2n ＋1＋62n －1＝－2＋9 2n ， 当n ＝1时，h (n ＋2)＞h (n )，当n ≥3时，h (n ＋2)＜h (n )， 即h (3)＞h (1)，当n ≥3时，h (n )单调递减，h (n )max ＝h (3)＝－3，所以λ＞－3. 综上所述，实数λ的取值范围为? ????－3，134. [由题悟法] 1．数列与不等式的综合问题考查类型 (1)判断数列中的一些不等关系问题； (2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题； (3)考查与数列问题有关的不等式的证明问题． 2．解决数列与不等式问题的两个注意点 (1)利用基本不等式或函数的单调性求解相关最值时，应注意n 取正整数的限制条件． (2)利用放缩法证明不等式、求解参数的范围时，尽量先求和、后放缩，注意放缩的尺度，否则会导致范围扩大或缩小而得不到正确的结果． [即时应用] 已知数列{a n }满足a 1＝6，a 2＝20，且a n －1·a n ＋1＝a 2 n －8a n ＋12(n ∈N * ，n ≥2)．
高考数学-等差数列典型例题
高考数学-等差数列典型例题 【例1】 在100以内有多少个能被7个整除的自然数？ 解 ∵100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列，其中a 1=7，d ＝7，a n ＝98． 代入a n ＝a 1＋(n －1)d 中，有 98＝7＋(n －1)·7 解得n ＝14 答 100以内有14个能被7整除的自然数． 【例2】 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，b 使这五个数成等差数列，求此数列． 解 设这五个数组成的等差数列为{a n } 由已知：a 1＝－1，a 5＝7 ∴7＝－1＋(5－1)d 解出d ＝2 所求数列为：－1，1，3，5，7． 【例3】 53122在等差数列－，－，－，－，…的相邻两项之间1 2 插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项． 解 d =312 (5) d =d =3 4原数列的公差－＝，所以新数列的公差′ ，期通项为 --3 21 2 a n n n n =-+-=--53413423 4 234 ()即 a =34n 【例4】 在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个？ 解 设a n =3n ，b m ＝4m －3，n ，m ∈N 令，则＝－＝为使为整数，令＝，a =b 3n 4m 3n n m 3k n m ?-43 3m 得n ＝4k －1(k ∈N)，得{a n }，{b m }中相同的项构成的数列{c n }的通项c n ＝12n －3(n ∈N)． 则在[1000，2000]内{c n }的项为84·12－3，85·12－3，…，166·12－3 ∴n ＝166－84＋1=83 ∴共有83个数．
全国高考数学数列真题汇总
2016-2018年高考数学全国各地 数列真题汇编 1．（2018全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则=5a （ ） A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 答案：B 解答： 111111324 3 3(3)24996732022 a d a d a d a d a d a d ??+ ?=+++??+=+?+=6203d d ?+=?=-，∴51424(3)10a a d =+=+?-=-. 2.（2018北京理）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________． 【答案】63n a n =- 【解析】13a =Q ，33436d d ∴+++=，6d ∴=，()36163n a n n ∴=+-=-． 3．（2017全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】C 【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，61165 6615482 S a d a d ?=+ =+=，联立11 2724 ,61548a d a d +=?? +=?解得4d =，故选C. 秒杀解析：因为166346() 3()482 a a S a a +==+=，即3416a a +=，则4534()()24168a a a a +-+=-=， 即5328a a d -==，解得4d =，故选C. 4.（2017全国新课标Ⅱ理）我国古代数学名着《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 【答案】B 5.（2017全国新课标Ⅲ理）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6 项的和为（ ）
高考数学等差数列习题及答案
一、等差数列选择题 1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（ ） A ．60 B ．120 C ．160 D ．240 2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足 122527 n n a a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ） A ．6- B ．2- C ．1- D ．0 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且62 10S S ，则34a a +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．在等差数列{}n a 中，3914a a +=，23a =，则10a =（ ） A ．11 B ．10 C ．6 D ．3 5．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231 n n a n b n =+，则2121S T 的值为（ ） A ． 13 15 B ． 2335 C ． 1117 D ． 49 6．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（ ） A ．8 B ．13 C ．26 D ．162 7．已知数列{}n a 的前n 项和2 21n S n n =+-，则13525a a a a +++ +=（ ） A ．350 B ．351 C ．674 D ．675 8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（ ） A ．11 B ．12 C ．23 D ．24 9．等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，则4a =（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ） A ．121 B ．161 C ．141 D ．151 11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1 1213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法： ①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =. 则正确的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 12．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<
(完整word)2015年江苏省高考数学试卷答案与解析.doc
2015 年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共14 小题，每小题 5 分，共计 70 分） 1．（ 5 分）（ 2015?江苏）已知集合 A={1 ，2， 3} ， B={2 ， 4， 5} ，则集合 A∪ B 中元素的个 数为 5 ． 考点：并集及其运算． 专题：集合． 分析：求出 A ∪ B，再明确元素个数 解答：解：集合 A={1 ， 2， 3} ，B={2 ， 4， 5} ，则 A ∪ B={1 ，2， 3， 4， 5} ；所以 A ∪ B 中元素的个数为 5； 故答案为： 5 点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题 2．（ 5 分）（ 2015?江苏）已知一组数据 4，6，5，8， 7，6，那么这组数据的平均数为6． 考点：众数、中位数、平均数． 专题：概率与统计． 分析：直接求解数据的平均数即可． 解答：解：数据 4， 6，5， 8， 7，6， 那么这组数据的平均数为：=6． 故答案为： 6． 点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查． 3．（ 5 分）（ 2015?江苏）设复数z 满足 z 2 =3+4i（ i 是虚数单位），则 z 的模为． 考点：复数求模． 专题：数系的扩充和复数． 分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可． 解答：解：复数 z 满足 z 2 =3+4i ， 可得 |z||z|=|3+4i|= =5， ∴ |z|= ． 故答案为：． 点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．（ 5 分）（ 2015?江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为7．
历届数学高考试题精选等差数列
1.(2007n n 432 （A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）6 2． (2008重庆文)已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（ ） (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 3.（2006全国Ⅰ卷文）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 4．(2008广东文)记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d=（ ） A ．7 B. 6 C. 3 D. 2 5．（2003全国、天津文，辽宁、广东）等差数列{}n a 中，已知3 1 a 1= ，4a a 52=+，33a n =， 则n 为（ ） （A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）51 6.（2007四川文）等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ ） (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 7．（2004福建文）设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若 ==5 935,95S S a a 则（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ． 2 1 8.（2000春招北京、安徽文、理）已知等差数列{a n }满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( ) A ．α1＋α101＞0 B ．α2＋α100＜0 C ．α3＋α99＝0 D ．α51＝51 9.（2005全国卷II 理）如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) （A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a 10.（2002春招北京文、理）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和 为390，则这个数列有（ ） （A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项 二、填空题：（每小题5分，计20分） 11（2001上海文）设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=-=+且满足，则
江苏省高考数学 真题分类汇编 数列
五、数列 （一）填空题 1、（2008江苏卷10）将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ． ． ． ． ． ． ． 按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ． 【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n －1 行共有正整数1＋2＋…＋（n －1）个，即22n n -个，因此第n 行第 3 个数是全体正整数中第22 n n -＋3个，即为 262 n n -+． 2、（2009江苏卷14）设{}n a 是公比为q 的等比数列，||1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=L ，若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6q = . 【解析】 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。 {}n a 有连续四项在集合{}54,24,18,36,81--，四项24,36,54,81--成等比数列，公比为 3 2 q =-，6q = -9 3、（2010江苏卷8）函数y=x 2 (x>0)的图像在点(a k ,a k 2 )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5=_________ [解析]考查函数的切线方程、数列的通项。 在点(a k ,a k 2)处的切线方程为：2 2(),k k k y a a x a -=-当0y =时，解得2 k a x = ， 所以1135,1641212 k k a a a a a += ++=++=。 4、（2011江苏卷13）设1271a a a =≤≤≤L ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列， 642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________. 【解析】由题意：23 1222112a a q a q a q =≤≤≤+≤≤+≤， 222221,12a q a a q a ∴≤≤++≤≤+ 3223q a ≥+≥，而212221,1,,1,2a a a a a ≥=∴++Q 的最小值分别为1，2，3；3min 3q ∴=
2015江苏高考数学数列求和 复习
大方向教育个性化辅导教案 教师：徐琨学生：周苏湘学科：数学时间： 课题（课型）数列求和 教学方法：知识梳理、例题讲解、归纳总结、巩固训练 【高考考情解读】高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题：1.以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考查学生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属中档题.2.通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题． 1．数列求和的方法技巧 (1)分组转化法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并． (2)错位相减法 这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n·b n}的前n项和，其中{a n}，{b n}分别是等差数列和等比数列． (3)倒序相加法 这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法 利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．这 种方法，适用于求通项为 1 a n a n＋1 的数列的前n项和，其中{a n}若为等差数列，则 1 a n a n＋1 ＝ 1 d? ? ? ? 1 a n－ 1 a n＋1. 常见的拆项公式： ① 1 n(n＋1) ＝ 1 n－ 1 n＋1 ； ② 1 n(n＋k) ＝ 1 k( 1 n－ 1 n＋k )； ③ 1 (2n－1)(2n＋1) ＝ 1 2( 1 2n－1 － 1 2n＋1 )； ④ 1 n＋n＋k ＝ 1 k(n＋k－n)．
2010-2019高考数学理科真题分类训练---第十五讲 等差数列
2010-2019高考数学理科真题分类训练 专题六 数列 第十五讲 等差数列 2019年 1.（2019全国1理9）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ． 310n a n =- C ．228n S n n =- D ．2 122 n S n n = - 2.（2019全国3理14）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则 10 5 S S =___________. 3.（2019江苏8）已知数列* {}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若 25890,27a a a S +==，则8S 的值是 . 4.（2019北京理10）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25310a S =-=-，,则5a = ________ . n S 的最小值为_______. 2010-2018年 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅰ)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 2．（2017新课标Ⅰ）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 3．（2017新课标Ⅲ）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列， 则{}n a 前6项的和为 A ．-24 B ．-3 C ．3 D ．8
4．（2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是 “465+2S S S >”的 A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．（2016年全国I ）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 6．（2015重庆）在等差数列{}n a 中，若244,2a a ==，则6a ＝ A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6 7．（2015浙江）已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ．若348,,a a a 成等比 数列，则 A ．140,0a d dS >> B ．140,0a d dS << C ．140,0a d dS >< D ．140,0a d dS <> 8．（2014辽宁）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则 A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d > 9．（2014福建）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a = A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 10．（2014重庆）在等差数列{}n a 中，1352,10a a a =+=，则7a = A ．5 B ．8 C ．10 D ．14 11．（2013新课标Ⅰ）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3， 则m ＝ A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 12．（2013辽宁）下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题： {}1:n p a 数列是递增数列； {}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ??????数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为
江苏高考数学数列练习
2017江苏高考数学数列练习 13、（广东高考题）设{a n }是首项为1的正项数列，且(n+1)a 21+n －na 2 n +a n+1a n =0 (n=1,2,3,……)，则它的通项公式是a n = 。 （2）设数列{a n }的公比为f(t)，作数列{b n }，使b 1=1, b n =???? ??-11n b f (n=2,3,4…) 求数列{b n }的通项公式。 （3）求和S n =b 1b 2－b 2b 3+b 3b 4－…+(－1)n －1b n b n+1 12、设数列{a n }的首项a 1=1, 前n 项和S n 满足关系式。 3tS n －(2t+3)S n －1=3t(其中t>0, n=2,3,4,…) （1）求证：数列{a n }是等比数列。 11、已知x 1>0，x 1≠1且x n+1= 1 3)3(22 ++n n n x x x (n=1,2, …) 试证：x n
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