三角形内接正方形(专题)

三角形内接正方形

一、概念

三角形的内接正方形是指正方形四个顶点都在三角形边上的正方形,正方形有4个顶点,而三角形只有3条边,所以,正方形一定有两个顶点在同一条边上,即正方形一定有一条边落在三角形的边上.

二、个数

分情况讨论:

1.在锐角三角形中:

(1)如果三角形为等边三角形,则它的内接正方形只有一个.(正方形的边无论落在哪一条边上,根据对称

性可知,都是在同一位置).

(2)如果三角形为等腰三角形(底与腰不等),则它的内接正方形有2个.一个是正方形的边落在等腰三角

形底边上;另一种是正方形的边落在腰上(无论哪个腰,位置是相同的);

(3)如果三角形为不等边三角形(三边两两不等),则它的内接正方形有3个.

2.在直角三角形中:

内接正方形有2个:一个是正方形的边落在斜边上;另一个是正方形的边落在直角边上.

3.在钝角三角形中:

内接正方形只有1个:即正方形一条边落在斜边上.

三、画法

1.计算法

通过计算，求出三角形内接正方形的边长a，然后在某一边上作三角形的高h，在h上截取一段长度为a的线段，记下截点，通过截点作这边上的平行线，交另两边于两点，最后通过这两点作h的平行线即可.

2.尺规法

利用位似图形的原理,选择一个位似中心和再作出一个正方形便可作出三角形内接最大正方形. 方法一：先作个小正方形，再利用位似作出所求的内接正方形。

方法二：

1)以△ABC的一边BC为一边,向下作正方形BCYX； 2)连接AX.BY与BC交于E,F.

3)分别过E,F作ED,FG分别交AB,AC于D,G. 4)连结DG四边形EFGD便是所求图形

由此便探索出了三角形内接最大正方形的一种尺规作法，我们是选顶点A作为位似中心，那么点B，点C可不可以做位似中心呢？答案是肯定的。一共是四种做法。

四、教材衔接

1.如图，四边形EFGH是△ABC内接正方形，BC=27cm，高AD=21cm，求内接正方形EFGH的面积．

解：设正方形EFGH的边长为x，设AD与GH的交点为I，

∵HG∥BC，

∴△AHG∽△ABC，

∴AI：AD=GH：BC，

正方形EFGH的边长为xcm．

∵BC=27，AD=21，

∴（21-x）：21=x：27，即可求解．

点评：本题主要考查正方形的面积、相似三角形的判定与性质，关键在于通过求证△AHG∽△ABC，推出正方形的边长．

2. 如图，Rt△ABC（∠C=90°）中有三个内接正方形，DF=9厘米，GK=6厘米，猜想第三个正方形的边长PQ的长．

解：GF=EF-EG=9-6=3，设PQ=x，

∵GK∥PQ，∴∠FKG=∠KQP．

又∵∠FGK=∠KPQ=90°，∴△FGK∽△KPQ．

∴ FGKP=GKPQ．

∴ 36-x=6x．

解得x=4．

答：第三个正方形的边长为4厘米．

点评：本题利用了平行线的性质，相似三角形的判定和性质求解．

3. 如图所示，四边形EFGH是三角形ABC的内接矩形，AD⊥BC，垂足为D，BC=21cm，AD=14cm，EF：FG=1：2，求矩形EFGH的面积．

解：如图，设矩形的边长EF=x，则FG=2x，

∵四边形EFGH是三角形ABC的内接矩形，

∴EH∥BC，EH=FG，

∴△AEH∽△ABC，

又∵AD⊥BC，则ID=x，AI=AD-ID，

∴ EHBC= AIAD，BC=21cm，AD=14cm，

∴ 2x21= 14-x14，

解得，x=6cm，即2x=12cm，∴S矩形EFGH=EF×FG=6×12=72cm2．

答：矩形EFGH的面积为72cm2．

点评：本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，知道相似三角形的对应高之比就等于对应边之比，即相识比．

五、中考应用(几何综合题,规律型)

1.

2.把边长为40厘米的正方形ABCD沿对角线AC截成两个三角形，在两个三角形内如图所示剪下两个内接正方形M、N，则M、N的的面积的差是4009平方厘米．

解：

正方形M的面积=20cm×20cm=400cm2，设：正方形N的边长为x，则存在：

x2+ 12×x2+ 12×x2+ 12× 12×x2= 40×402，解得：x2= 32009cm2，

故M、N的面积的差为（400- 32009）cm2= 4009cm2，故答案为 4009cm2．

点评：本题考查了正方形，等腰三角形面积的计算方法，考查了正方形四边相等，

各内角均为直角的性质，解本题的关键是正方形N的面积的计算．

3.如图1，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，若设正方形的边长为x，容易算出x的长为 60/37．探究与计算：

（1）如图2，若三角形内有并排的两个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为60/49；

（2）如图3，若三角形内有并排的三个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为60/61；

（3）如图4，若三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，请你猜想正方形的边长是多少？并对你的猜想进行证明．

解：（1） 6049；（2分）

（2） 6061；（2分）

（3）若三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于

△ABC，正方形的边长是 6025+12n．

证明，如图，过点C作CN⊥AB，垂足为N，交GF于点M，设小正方形的

边长为x，

∵四边形GDEF为矩形，∴GF∥AB，CM⊥GF，易算出CN= 125，∴ CMCN=GFAB，即 125-x125=nx5，

∴x= 6025+12n．即小正方形的边长是 6025+12n．（4分）

点评：主要考查了正方形，矩形的性质和相似三角形的性质．会利用三角形相似中的相似比来得到相关的线段之间的等量关系是解题的关键．

4. （2009?湘西州）如图，等腰直角△ABC腰长为a，现分别按图1，图2方式在△ABC内内接一个正方形ADFE和正方形PMNQ．设△ABC的面积为S，正方形ADFE的面积为S1，正方形PMNQ的面积为S2．

（1）在图1中，求AD：AB的值；在图2中，求AP：AB的值；

（2）比较S1+S2与S的大小．

圆柱与组合图形练习题

圆柱与组合体练习题 1、在一个边长为4厘米的正方体的前后、上下、左右面的中心位置挖去一个底面半径为1厘米，高为1厘米的圆柱，求挖去后物体的表面积。 /2、把一个圆柱切成两个半圆柱，切面是个正方形，已知每个半圆柱的体积是25.12立方厘米，求每个半圆柱的表面积是多少平方厘米？ 3、一个圆柱高8厘米，如果它的高增加2厘米，那么它的表面积增加25.12平 方厘米，求原来圆柱的表面积是多少平方厘米？ 4、如图，在一个底面积为324平方厘米的正方体铸铁中，以相对的两面为底， 挖出一个最大的圆柱，然后在剩下的铸铁表面涂上油漆，求涂油漆的面积是多少？ 5、如图上半部是个半圆柱，下半部是一个长方体，它的表面积是多少平方厘米？ 6、如图在一个圆柱上挖了一个边长为2厘米的方形的孔，现在这个物体的表面 积是多少平方厘米？ 7、一段长宽高的比是5：4：3的长方体木材，棱长总和是96厘米，把它加工成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少？

8、如图是一个半径为4厘米，高为4厘米的圆柱，在它的中间依次向下挖去半 径分别为3厘米，2厘米，1厘米，高分别为2厘米，1厘米，0.5厘米的圆柱，最后得的立体图形表面积是多少平方厘米？ 9、如图一块长方体铁皮，利用图中的阴影部分刚好能做成一个圆柱形油桶（接 头处忽略不计），求这个油桶的容积？ 10、一个圆柱体木块切成四块（如图一），表面积增48平方厘米；切成三块（如 图二）表面积增加50.24平方厘米；削成一个最大的圆锥体（如图三），体积减少了多少立方厘米？ 11、有一个高是8厘米，容积是50立方厘米装满水的圆柱形容器，把一个高是4厘米的圆锥形铁块放入其中，再取出后，容器中水面下降了1厘米。求圆锥的体积。 12、有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米（见下图）。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？

解析几何专题汇编3椭圆内接图形(三角形、四边形)面积计算

第三部分、圆锥曲线内接图形（三角形、四边形）面积计算 1．（07浙江）如图，直线y kx b =+与椭圆2 214 x y +=交于A B ，两点，记AOB △的 面积为S ． （I ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值； （II ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程． （I ）解：设点A 的坐标为1()x b ，，点B 的坐标为2()x b ，． 由2 214 x y += ，解得1,2x =± 所以22121 ||2112 S b x x b b = -=+-= 当且仅当b = ．S 取到最大值1． （Ⅱ）解：由22 14 y kx b x y =+?? ?+=??得 222(41)8440k x kbx b +++-= 2216(41)k b ?=-+ ① ｜AB 12|2x x -== ② 又因为O 到AB 的距离21|| S d AB = = = 所以221b k =+ ③ ③代入②并整理，得4 2 4410k k -+= 解得，2 213 ,22 k b = =，代入①式检验，△＞0 故直线AB 的方程是 y x = + 或y x = 或y x = 或y x =-． 2．（07全国1）已知椭圆22 132 x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．

（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200 132 x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值． 解： （Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==， 由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22 001x y +=， 所以，2222 00021132222 y x y x ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22 132 x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则 2122632k x x k +=-+，2122 36 32 k x x k -=+ 2 2 12221(1)()4BD x x k x x x x ?= -=++-=?； 因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1 k - ， 所以，221132k AC k ?+? ??==?+． 四边形ABCD 的面积 222222222124(1)(1)962(32)(23)25 (32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++??+++???? ≥． 当2 1k =时，上式取等号． （ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为 9625 ． 3．设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，， ，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点． （Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值；

三角形有关内接矩形的计算

数学研究 一、研究的内容： 三角形有关内接矩形的计算 二、研究的题目： 有一余料△ABC ，BC 长30cm ，高AM 长20cm ，，把它 加工成一块矩形材料，且矩形的一边EF 在BC 上，顶点 D 、G 分别在AB 、AC 上并使矩形的长是宽的2倍，如图 所示，两种设计方法，请你通过计算比较一下，哪一种 图形的矩形面积大些？ 解题思路：看到了长是宽的2倍，就可以马上想到设DE 或DG 为x ，又可以得到△ADG ∽△ABC ，就可 以根据相似求出DE 或DG ，由此可以比较两个矩形的面积。 解题步骤：（1）：∵设DE=x, 由题意得到△ADG ∽△ABC （2）：同理DG= 2 15，DE=15 ∴BC DG AM AN = ∴S 四边形DEFG =2 225 ∴ 30 220 20x x =- ∵ 49 7200> 2 225 ∴x= 760 ∴图像（1）中的矩形更大 ∴DE= 760，DG= 7120 ∴S 四边形DEFG = 49 7200 运用的知识：此题运用了 解方程的思想 、相似三角形 和 矩形面积的表达。 三、题目的变化： ○ 1已知正方形DEFM 内接于△ABC ，若S △ADE =1，S 正方形DEFM =4，求S △ABC 。 E F M E F M （2） （1）

运用的知识：此题运用了相似三角形和正方形的性质。 ○2如图，正方形EFGH内接于△ABC，设BC ab =，三角形的高AD=d。 =（这是一个二位数），E F c 已知：a、b、c、d恰好是从小到大的四个连续正整数，试求△ABC的面积。 、。 四、我的感想： 在学习之中，我们应当一丝不苟地记牢每一个公式，在做题目的时候，我们应该灵活地运用这些公式，来方便我们的解题。

圆与正方形组合图形的面积

《圆与正方形组合图形面积》教学设计 教学内容：人教版小学数学教材六年级上册第69页例3。 教材分析： 《圆与正方形的组合图形面积》是在学生学习了圆的面积计算的基础上进行探究的，属于圆面积公式的实际应用问题。教材重视让学生经历解决问题的全过程，第一步理解现实的问题情景，转化成要解决的数学问题；第二步分析问题，找到解决问题的方案并解决之，第三步对解答的结果和解决的方法进行检验和回顾反思。在解决问题的过程中，体会转化的数学思想，感受中国传统文化。所以，我在这节课的设计上，以问题为引领，解决问题的步骤为主线，让学生在解决问题的过程中学会解决圆与正方形组合图形面积计算的一般方法，获得成果的喜悦。 学情分析： 学生已经掌握了正方形、三角形、圆等平面图形的面积计算，并在五年多的学习中积累了一定的解决问题的能力，对本课的学习是有一定的知识基础的；学生在研学后教的课堂学习中已具备了较强的独立思考和动手操作的能力，较好地掌握了自主探究、合作交流的学习方法，汇报展示的水平也不断提高，对本课的学习有一定的能力基础。我们班的学生对数学学习有浓厚的兴趣，爱动脑筋，对本课的学习有一定的兴趣基础。 教学目标： 1、结合具体的情境，利用圆的面积公式解决有关“外方内圆”和“外圆内方”的实际问题。 2、通过自主学习，合作学习，培养学生独立思考、合作探究的意识，不断提高分析问题和解决问题的能力。 3、结合例题渗透传统文化的教育，通过体验图形和生活的联系感受数学的价值，提升学习的兴趣。 教学重点：会运用面积公式解决实际问题。 教学难点：理解图形中正方形与圆的关系。 教具及学具：教学课件，外方内圆和外圆内方的纸片。 教学过程： 一、图形欣赏，引入课题。 1、出示生活中的圆与正方形的组合图形。 (同学们，在生活中有见过这些图形吗？……它们有个共同的特点，都是圆和正方形的组

求三角形内最大内接正方形面积

思路：假设△ABC是已知三角形，如果内接正方形EFGH有两顶点E、F在BC 上，此时设BC=a，AC=b，AB=c，BC边上的高AD=h1，设正方形EFGH的边长是x， （又假设AC、AB边上的高分别为h2、h3） 1）并且设△ABC是任意锐角三角形，并且a＞b＞c 由△ABC∽△AHG，所以高的比等于相似比 即：x/a=(h1-x)/h1，所以内接正方形边长x=ah1/（a+h1） 如果有两顶点在AB、AC边上时也同样可以得：边长为：bh2/（b+h2），ch3/（c+h3） 要使内接正方形面积最大，则边长应最大， 下面比较ah1/（a+h1）、bh2/（b+h2），ch3/（c+h3）的大小即可 因为△ABC的面积S=ah1/2=bh2/2=ch3/2，即 ah1=bh2=ch3 所以分子相同，分母越小，分数越大 比较a+h1、b+h2、c+h3 由（a+h1）-（b+h2）=（a-b）+（h1-h2）=（a-b）+（2S/a-2s/b）=（a-b）+2S（1/a-1/b）=（a-b）（1-2S/ab）

=（a-b）（ab-2s）/ab （S是△ABC的面积）由垂线段最短，知b大于高h1，即ab＞ah1，而ah1=2S， 所以（a-b）（ab-2s）/ab ＞0 所以 a+h1＞b+h2 ，即如果内接正方形有两个顶点在BC边上时，边长较小，面积也较小 同理，如果有两顶点在AC边上时其面积比两点在AB边上小 因此得结论：当内接正方形有两个顶点在最小边上时，其面积最大此时内接正方形的边长是：ch3/（c+h3）（设最小边是c，这边上的高是h3）面积就是其平方了。 2）直角三角形其内接正方形面积最大应为一顶点与直角顶点重合，三边上各有一顶点。其边长为：两直角边之积/两直角边之和。 3）类似方法讨论，任意钝角三角形，内接正方形的两个顶点在钝角所对的边上时面积最大，其边长为：最大边与这边上的高的积/最大边与这边上高的和

椭圆内接三角形的最大面积

椭圆内接三角形的最大面积 最早接触到这个题目时是在一节数学课上，有一道特殊情况的问题：给定一点以及其切线，在椭圆上找到一条与切线平行的弦，使得弦的端点与该定点确定的三角形面积最大。讲完该题后，数学老师提出了椭圆内接三角形的最大面积的问题。循着上题的思路，我得到了关于这道题的解法。解法如下： 首先我们在椭圆上任意找两相异点A 、B ，连接AB 在椭圆上找一点C 使得C 处的切线l 斜率等于k AB ，存在两点C ， 选择使面积较大的一个C ，这样以AB 为一边的三角形中，三角形ABC 面积最大。 平移AB ，可以找到一个更大的三角形A ’B ’C ，如果我们证明每一 个这样的三角形A ’B ’C 面积相等，那么这样的三角形A ’B ’C 的面积都是 最大面积。 反过来，若固定一个C 点，作其切线l ，在椭圆上找一平行于l 的 弦ABC ，使之面积最大。那么，这样的三角形ABC 与上述三角形A ’B ’C 一一对应，所以只需证明每一个三角形ABC 面积相等。 证明：设椭圆的方程为 12222=+b y a x (a>b>0)，C 点坐标为（x 0，y 0）。 12222=+b y a x 两边对x 求导，0'2222=+y b y a x ，所以y ’=y a x b 22- 所以0 202y a x b k k l AB -== 设AB 方程为y=m x y a x b +-02 02则 y=m x y a x b +-0 202 （1） 12222=+b y a x （2） 1220220 =+b y a x （3） （1）（2）联立得0)(22220 0222022042022=-+-+b m a x y m x b x y a x b y b a 又因为2002202*21**12 1)(AB AB ABC k y m y a x b a k m S +-+-?+=? 而

圆和组合图形(1)

圆和组合图形（1） 一、填空题 1.算出圆内正方形的面积为 . 2.右图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中阴影部分面积是 平方厘米. 120,以扇形的半径为边长画一个正方形,这个正方形的面积是120平方厘米.这个扇形面积是 . 4.如图所示,以B 、C 为圆心的两个半圆的直径都是2厘米,则阴影部分的周长是 厘米 .(保留两位小数) 5.三角形ABC 是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28平方.

6.如右图,阴影部 分的面积为2平方 厘米,等腰直角三角形的面积 7.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是 度. 8.图中扇形的半径OA =OB =6厘米.45=∠AOB , AC 垂直OB 于C ,那么图中阴影部分的面积是 平方厘米.)14.3(=π 9.右图中正方形周长是20厘米.图形的总面积是 平方厘米. 10.在右图中(单位:厘米),两个阴影部分面积的和是 平方厘米. 45

二、解答题 11. ABC 是等腰直角三角形. D 是半圆周的中点, BC 是半圆的直径,已知: AB =BC =10,那么阴影部分的面积是多少?(圆周率14.3=π) 12.如图,半圆S 1的面积是14.13平方厘米,圆S 2的面积是19.625平方厘米.那么长方形(阴影部分的面积)是多少平方厘米? 13.如图,已知圆心是O ,半径r =9厘米,1521=∠=∠,那么阴影部分的面积是多少平方厘米?)14.3(≈π 14.右图中4个圆的圆心是正方形的4个顶点,它 们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的半径都 是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方

六年级奥数题：圆和组合图形(A)

一、填空题 1.算出圆内正方形的面积为 . 2.右图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中阴影部分面积是 平方厘米. 3.一个扇形圆心角120,以扇形的半径为边长画一个正方形,这个正方形的面积是120平方厘米.这个扇形面积是 . 4.如图所示,以B 、C 为圆心的两个半圆的直径都是2厘米,则阴影部分的周长是 厘米.(保留两位小数) 5.三角形ABC 是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28平方厘米. A B 长

6. , 等腰直角三角形的面积为 . 7.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是 度. 8.图中扇形的半径OA =OB =6厘米.45=∠AOB , AC 垂直OB 于C ,那么图中阴影部分的面积是 平方厘米 9.右图中正方形周长是20厘米.图形的总面积是 平方厘米. 10.在右图中(单位:厘米),两个阴影部分面积的和是 平方厘米. 45

二、解答题 11. ABC 是等腰直角三角形. D 是半圆周的中点, BC 是半圆的直径,已知:AB =BC =10, 那么阴影部分的面积是多少?(圆周率14.3=π) 12.如图,半圆S 1的面积是14.13平方厘米,圆S 2的面积是19.625平方厘米.那么长方形(阴影部分的面积)是多少平方厘米? 13.如图,已知圆心是O ,半径r =9厘米,1521=∠=∠,那么阴影部分的面积是多少平方厘米? )14.3(≈π 14.右图中4个圆的圆心是正方形的4个顶点,它们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的半径都是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?

圆和组合图形的面积和周长

WORD 格式整理版 平面图形面积————圆 的面积 班级 姓名 上课时间 专题简析 ：在进行组合图形的面积计算时，要仔细观察，认真思考，看清组合图 形是由几个基本单位组成的，还要 找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。并且同学们应该牢记几个常见的圆与正方形的关系量：在正 例题 2 。 求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。 方形里的最大圆的面积占所在正方形的面积的 3.14 ,而在圆内的最大正方形占所在圆的面积的 4 2 3.14 ,这些知识点都应 该常记于心，并牢牢掌握！ . 例题 1 。 求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。 分析】如图所示的特点， 阴影部分的面积可以拼成 1/4 圆的面积。 62×3.14 ×1/4 ＝ 28.26（平方厘米） 练习 1 求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。

分析】阴影部分通过翻折移动位置后，构成了一个新的图形（如图所示）。从图中可以看出阴影部分的面积等于 3.14 ×42×1/4 －4 ×4 ÷2÷2 ＝8.56 （平方厘米） 4 ）。 【分析】这道题的难点在于正方形的边长未知，这样扇 形的半径也就不知道。但我们可以看出，AC 是等腰 直角三角形 ACD 的斜边。根据等腰直角三角形的对称性可知，斜边上的高等于斜边的一半（如图所示），我们可以求出等腰直角三角形ACD 的面积，进而求出正方形ABCD 的面积，即扇形半径的平方。这样虽然半径未求出，但可以求出半径的平方，也可以把半径的平方直接代入圆面积公式计算。 既是正方形的面积，又是半径的平方为：6×（6÷2）×2＝18 （平方厘米） 阴影部分的面积为：18－18×3.14÷4＝3.87 （平方厘米） 答：阴影部分的面积是3.87 平方厘米。. 练习3 1 、如图所示，图形中正方形的面积是50 平方厘米，分别求出每个图形中阴影部分的面积。 大扇形的面积减去大三角形面积的一半。 练习2: 计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长

相似三角形应用--内接矩形

相似三角形的应用——三角形的内接矩形问题 一.复习提问： 1．如图△ABC 中，DE ∥BC ，DE ＝2.5，BC ＝3.5，AF ⊥BC 于F ，交DE 于G ，AG ＝2。 求GF 的长。 二.例题讲解： 已知在△ABC 中,BC=12,BC 边上的高AM=8,请回答下列问题: 1.如图⑴ ,四边形EFGH 为△ABC 的内接正方形,求正方形边长. 2.如图⑵,三角形内有并排的两个全等的正方形,恰好组成了△ABC 的内接矩形EFGH,求每个小正方形边长. A B C D E G F E M A C B E F G M A C B

3.如图⑶, △ABC 内的内接矩形是由3个全等的正方形并排放置形成的，求小正方形边长。 4.如图⑷,三角形内并排的n 个全等的正方形组成的矩形内接于△ABC ，由以上结论猜测每个小正方形边长并验证。 三.变式训练 张师傅的困惑: 如图,现有一木板余料,∠B=90°,BC=60cm,AB=80cm,我要把它加工成一个面积最大的正方形椅子面,下面有两位同学的加工方案,请同学们帮我选择哪位同学的加工方案好？ 小亮:如图,我充分利用直角三角形的直角,可使裁出的正方形面积最大,我的方案最好！ 小明:如图,我充分利用直角三角形中的最长边斜边,可使裁出的正方形面积最大,我的方案最好！ F G E N F E N H M A C B M A C B B C A 80c 60c A B C 80c 60c

四．课堂检测： 1、四边形DEFG 是△ABC 的内接矩形， AH ⊥BC 于H ，交DG 于M ，若BC=12cm ，AH=10cm ，DG=xcm ，DE=ycm （1）请用含x 的代数式表示y. （2）请用含x 的代数式表示矩形DEFG 的面积S. 2. △ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠C=90度，AC=BC=2， (1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种 剪法(如图1)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形 面积大？请通过计算说明。 (2)图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为1s ； 按照甲种剪法，在余下的△ADE 和△BDF 中，分别剪取正方 形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正 方形面积和为2s (如图2)，则_______s 2=；再在余下的四个 三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形， 称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为3s ，继续操作下去 ……，则第10次剪取时，__________s 10=； (3)求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和。 （图1） (图2) (图 3) A E A E 乙

六年级奥数题圆和组合图形

陆老师奥数培训讲义 圆和组合图形（六年级）报名电话：例1】.如图,阴影部分的面积是多少 2 1 2 例 2】.大圆的半径比小圆的半径长6厘米,且大圆半径是小圆半径的4倍.大圆的面积比小圆的面积大多少平方厘米. 例】 3.在一个半径是厘米的圆中挖去两个直径都是2厘米的圆.剩下的图形的面积是多少平方厘米 (π取,结果精确到1平方厘米) 例4】.右图中三角形是等腰直角三角形,阴影部分的面积 是 (平方厘米). 例5】.如图所求,圆的周长是厘米,圆的面 积与长方形的面积正好相等.图中阴影部分的 π 周长是厘米.) .3 (= 14 练习题

1.如图,15 1= ∠的圆的周长为厘米,平行四边形的面积为100平方厘米.阴影部分的面积是多少平方厘米. 2.有八个半径为1厘米的小圆,用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形(如图).图中黑点是这些圆的圆心.如果圆周率1416 .3 = π,那么花瓣图形的面积是多少平方厘米. 3.已知:ABC D是正方形, ED=DA=AF=2厘米,阴影部分的面积是多少平方厘米. 4.图中,扇形BAC的面积是半圆ADB的面积的 3 1 1倍,那么,CAB ∠是多少度./ 5.右图中的正方形的边长是2厘米,以圆弧为分界线的甲、乙两部分的面积差(大减小)是多少平方厘米 (π取 E D C B A G F O D C A B 2 甲 乙

———————————————答 案—————————————————————— 例1. 6. 两个扇形面积相等,故阴影部分面积等于一个长为3,宽为2的长方形面积,为6个平方单位. 例2. . 小圆的半径为2)14(6=-÷(厘米),大圆的半径为842=?(厘米).大圆的面积比小圆的面积大4.18814.3)28(22=?-(平方厘米). 例3. 57. 305.57214.3)22(14.35.422=??÷-?(平方厘米)≈57(平方厘米). 例4. . 从圆中可以看出,阴影部分的面积是两个半圆的面积与三角形面积之差,即 26.1062 1 )26(14.322=?-÷?(平方厘米). 例5. . 设圆的半径为r ,则圆面积即长方形面积为2r π,故长方形的长为r DC π=. 阴影部分周长r r r r r r AD BA BC DC ππππ245241)(?=?+-++=+++= 5.204.1645 =?= (厘米). 练习题 1. 6 5 48(平方厘米). 如图,连结OA 、AC ,过A 点作CD 的垂线交CD 于E .三角形ACD 的面积为502100=÷(平方厘米). 又圆半径为10)214.3(28.6=?÷(厘米),因为151=∠又OA=OD ,故30215=?=∠AOC ,扇形AOC 的面积为 6 1 261014.3360302=??(平方厘米).三角形AOC 的面积为25250=÷(平方厘米).方形面积为611256126=-(平方厘米),从而阴影部分的面积为6 5 4861150=-(平 方厘米). 2. . ⌒

三角形内接正方形的有趣结论

作者：安宁 单位：中铁十八局集团有限公司兰渝铁路项目部 地址：四川省广元市元坝区石井铺乡 邮编：628023 邮箱：lxjass@https://www.wendangku.net/doc/4516731822.html, 三角形内接正方形的有趣结论 我们在思考三角形内接正方形的问题时，得到了三个有趣结论，整理如下，供大家学习参考．. 结论一：在ABC ?中，AC BC ≠．D 是AB 上的一点,且满足22 BD AD BC AC =.在ACD ?中做正方形PQRS ，S R ,两点在AC 上，Q P ,两点分别在CD AD ,上．在DCB ?中做正方形EFGH ，G F ,两点在BC 上，E H ,两点在DB CD ,上.若正方形PQRS 的边长与正方形EFGH 的边长相等，求证： 90=∠C ． A C B O D P R S H E F G N M 证明：作AC DM ⊥于M ，BC DN ⊥于N ．设两个相等的正方形的边长为m . 记21,,,h DN h DM b AC a BC ==== 在ACD ?中,因为PS 平行DM ,PQ 平行AC ,所以 AD DP AC PQ AD AP DM PS ==,,相加得11=+b m h m (1) 同理在DCB ?中可得12=+a m h m (2) 由(1),(2)得a h b h 111121+=+ （3）

因为22 2122212222)()(h h a b ah bh S S BD AD DCB ACD ?===??，a b BC AC =，所以b a h h =2221 (4) 设x a h =1，)0(>x .由（4）得x b h =2，代入（3）得 a x b b x a 1111+=+，即ab a b x ab a b -=- 因为AC BC ≠，所以b a ≠，由上式可得b a ab x += 所以ab x b a a b ah bh S ABC 21)(21212121=+=+= ? 而a ABC ah S 2 1=?，所以a h b =，所以 90=∠C . 结论二：在ABC ?中， 90=∠C ，D 是AB 上的一点.在ACD ?中做正方形PQRS ， S R ,两点在AC 上，Q P ,两点分别在CD AD ,上．在DCB ?中做正方形EFGH ，G F ,两点在BC 上，E H ,两点在DB CD ,上.若正方形PQRS 的边长与正方形EFGH 的边长相等，求证：2 2 BD AD BC AC =． A C B O D P R S H E F G N M 证明：作AC DM ⊥于M ，BC DN ⊥于N .设两个相等的正方形的边长为m ． 记21,,,h DN h DM b AC a BC ==== 在ACD ?中,因为PS 平行DM ,PQ 平行AC ,所以 AD DP AC PQ AD AP DM PS ==,,相加得11=+b m h m (5) 同理在DCB ?中可得12=+a m h m (6)

中考数学复习微专题：对三角形内接矩形问题的探究

对三角形内接矩形问题的探究 题目一张等腰三角形纸片，底边长15cm ，底边上的高长22.5cm.现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图1所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是() (A)第4张 (B)第5张(C)第6张(D)第7张分析 根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得结果. 解已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3, 所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x ， 则331522.5 x =，解得 4.5x =，所以另一段长为22.5－4.5=18. 因为18÷3=6，所以是第6张. 点评本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用. 以原题为基础，稍作改变，可进行逐级延伸与拓展. 引申如图2，在Rt ABC ?中，90,4,3C AC BC ∠=?==.四边形DEFG 为ABC ?的内接正方形，求正方形的边长. 解析作CN AB ⊥，再根据//GF AB ，可知CGF ?∽CAB ?，由平行得到两对同位角相等，进而得到两三角形相似，根据相似三角形的性质列出关于x 的方程，即可求出正方形的边长.在图2中作CN AB ⊥，交CF 于点M ,交AB 于点N .

在Rt ABC ?中， 4,3,AC BC == 125,5AB CN ∴==.//,GF AB CGF ∴? ∽CAB ?，CM GF CN AB ∴=.设正方形边长为x ,则12605,125375 x x x -=∴=.变式1如图4,ABC ?内有并排的两个相等的正方形，且它们组成的矩形内接于ABC ?，求正方形的边长 . 解析在图5中作CN AB ⊥，交GF 于点M ，交AB 于点N . //,GF AB CGF ∴? ∽CAB ?,CM GF CN AB ∴ =.设每个正方形边长为x ,122605,125495 x x x -=∴= .变式2如图6,ABC ?内有并排的三个相等的正方形，且它们组成的矩形内接于

椭圆的内接三角形问题

椭圆的最大面积内接三角形的周长最值问题 （安徽省马鞍山市第二中学当涂分校 孙世宝 邮编：243100） 文献[1]中提出了这样一个猜想：椭圆的具有最大面积的三角形中，周长取最值的三角形一定是等腰的. 笔者的研究表明，这个猜想是正确的. 下文以,∑∏分别表示循环和、循环积. 为了便于后面应用，先给出一个引理. 引理：,x R ?∈则有如下的一系列恒等式 （1）22cos()cos cos()0;33 x x x ππ- +++=； （2）22222222223cos ()cos cos ()sin ()sin sin ();33332 x x x x x x ππππ-++-=-++-= （3）333223cos ()cos cos ()cos3;334 x x x x ππ-+++= （4）44444422229cos ()cos cos ()sin ()sin sin ();33338 x x x x x x ππππ-+++=-+++= （5）5552215cos ()cos cos ()cos6;3316 x x x x ππ-+++= （6）66622315cos ()cos cos ()cos6;333216 x x x x ππ-+++=+ （7）221cos()cos cos()cos3;334 x x x x ππ-+= （8）22223cos()cos cos os()cos()cos();33334x x xc x x x ππππ-++++-=- 利用复数或三角恒等变换都能给出上述结论的证明，此处从略. 问题的解答：设椭圆的方程为22 221(0),x y a b a b +=>>ABC ?是其一面积最大的内接三角形. 利用仿射变换x X a y Y b ?=????=?? ，椭圆将变为单位圆22'''1,.X Y ABC A B C +=?→? 此时'''A B C ?是内接于单位圆，且具有最大面积，它是等边三角形. 这样可设它的各点的坐标为'''2222(cos ,sin ),(cos(),sin()),(cos(),sin()).3333 A B C ππππθθθθθθ++--于是相应的2222(cos ,sin ),(cos(),sin()),(cos(),sin()). 3333A a b B a b C a b ππππθθθθθθ++-- 利用两点间距离公式算得：

知识总结椭圆最值问题

专 题:椭 圆 最 值 类型1：焦点三角形角度最值-------最大角法（求离心率问题） 1. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使12F Q F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值。 {2 2} 2. 21F F 、为椭圆()0122 22>>=+b a b y a x 的左、右焦点，如果椭圆上存在点P ，使?=∠9021PF F 求离心率e 的取值范围。 （思考：将角度改成150） {??? ????122，} 3. 若B A ,为椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使0120=∠AQB ，求此椭圆离心率的最小值。 {13 6<≤e } 类型2：一动点两定点最值 ①||1||MF e MP +：最小值为M 到对应准线的距离-----运用第二定义，转点距到线距突破 ②︱MP ︱+︱MF 2︱：最大值2a+︱PF 1︱,最小值2a –︱PF 1︱---运用第一定义，变加为减突破 1. 若椭圆1342 2 =+y x 内有一点()1,1P ，F 为右焦点，椭圆上的点M 使得||2||MF MP +的值最小， 则点M 的坐标为 （思考：将题中的2去掉会怎样呢？） 26 ( ,1)3 2. 已知112 16,)3,2(2 2=+-y x F A 是的右焦点，点M 为椭圆的动点，求MF MA 2+的最小值，并求出此时点M 的坐标。 3 点M 为椭圆1162522=+y x 的上一点，1F 、2F 为左右焦点；且)2,1(A 求||3 5||1MF MA +的最小值 （提升：||||||||1||''1AM MM MA MF e MA =+=+ 第二定义） 4. 定点(2, 1)A ，1F 为椭圆22 : 12516x y C +=的左焦点，点P 为C 上，则13||5||PA PF +的最小值 5. P(-2,3),F 2为椭圆116 252 2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2︱的最值 （提示：||2||||2|||||PF |2a-1121PF a MF MP a MF MP +≤-+=+≤ ( 第一定义法 ） 最大值12，最小值8 6. P(-2,6),F 2为椭圆116 252 2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上，求︱MP ︱+︱MF 2︱最值。 最大值10+37，最小值61 7.是双曲线 ＝1的左、右焦点，M （6，6）为双曲线内部的一点，P 为双曲线右支上的一点，求：（1） 的最小值；（2）的最小值。 （1）8（2）11/2

三角形内接正方形(专题)

三角形内接正方形 一、概念 三角形的内接正方形是指正方形四个顶点都在三角形边上的正方形,正方形有4个顶点,而三角形只有3条边,所以,正方形一定有两个顶点在同一条边上,即正方形一定有一条边落在三角形的边上. 二、个数 分情况讨论: 1.在锐角三角形中: (1)如果三角形为等边三角形,则它的内接正方形只有一个.(正方形的边无论落在哪一条边上,根据对称 性可知,都是在同一位置). (2)如果三角形为等腰三角形(底与腰不等),则它的内接正方形有2个.一个是正方形的边落在等腰三角 形底边上;另一种是正方形的边落在腰上(无论哪个腰,位置是相同的); (3)如果三角形为不等边三角形(三边两两不等),则它的内接正方形有3个. 2.在直角三角形中: 内接正方形有2个:一个是正方形的边落在斜边上;另一个是正方形的边落在直角边上. 3.在钝角三角形中: 内接正方形只有1个:即正方形一条边落在斜边上. 三、画法 1.计算法 通过计算，求出三角形内接正方形的边长a，然后在某一边上作三角形的高h，在h上截取一段长度为a的线段，记下截点，通过截点作这边上的平行线，交另两边于两点，最后通过这两点作h的平行线即可.

2.尺规法 利用位似图形的原理,选择一个位似中心和再作出一个正方形便可作出三角形内接最大正方形. 方法一：先作个小正方形，再利用位似作出所求的内接正方形。 方法二： 1)以△ABC的一边BC为一边,向下作正方形BCYX； 2)连接AX.BY与BC交于E,F. 3)分别过E,F作ED,FG分别交AB,AC于D,G. 4)连结DG四边形EFGD便是所求图形 由此便探索出了三角形内接最大正方形的一种尺规作法，我们是选顶点A作为位似中心，那么点B，点C可不可以做位似中心呢？答案是肯定的。一共是四种做法。 四、教材衔接 1.如图，四边形EFGH是△ABC内接正方形，BC=27cm，高AD=21cm，求内接正方形EFGH的面积． 解：设正方形EFGH的边长为x，设AD与GH的交点为I， ∵HG∥BC， ∴△AHG∽△ABC， ∴AI：AD=GH：BC， 正方形EFGH的边长为xcm． ∵BC=27，AD=21， ∴（21-x）：21=x：27，即可求解． 点评：本题主要考查正方形的面积、相似三角形的判定与性质，关键在于通过求证△AHG∽△ABC，推出正方形的边长． 2. 如图，Rt△ABC（∠C=90°）中有三个内接正方形，DF=9厘米，GK=6厘米，猜想第三个正方形的边长PQ的长． 解：GF=EF-EG=9-6=3，设PQ=x， ∵GK∥PQ，∴∠FKG=∠KQP． 又∵∠FGK=∠KPQ=90°，∴△FGK∽△KPQ． ∴ FGKP=GKPQ． ∴ 36-x=6x． 解得x=4． 答：第三个正方形的边长为4厘米． 点评：本题利用了平行线的性质，相似三角形的判定和性质求解． 3. 如图所示，四边形EFGH是三角形ABC的内接矩形，AD⊥BC，垂足为D，BC=21cm，AD=14cm，EF：FG=1：2，求矩形EFGH的面积． 解：如图，设矩形的边长EF=x，则FG=2x， ∵四边形EFGH是三角形ABC的内接矩形， ∴EH∥BC，EH=FG， ∴△AEH∽△ABC， 又∵AD⊥BC，则ID=x，AI=AD-ID， ∴ EHBC= AIAD，BC=21cm，AD=14cm， ∴ 2x21= 14-x14， 解得，x=6cm，即2x=12cm，∴S矩形EFGH=EF×FG=6×12=72cm2． 答：矩形EFGH的面积为72cm2．

椭圆焦点三角形面积公式

求解 运用公式 设P为椭圆上的任意一点， 角F1F2P=α ，F2F1P=β，F1PF2=θ， 则有离心率e=sin(α+β) / (sinα+sinβ)， 焦点三角形面积S=b^2*tan(θ/2)。 证明方法一 设F1P=m ，F2P=n ，2a=m+n， 由射影定理得2c=mcosβ+ncosα， e=c/a=2c/2a=mcosβ+ncosα / (m+n)， 由正弦定理e=sinαcosβ+sinβcosα/ (sinβ+sinα)=sin(α+β)/ (sinα + sinβ）。 证明方法二 对于焦点△F1PF2，设PF1=m,PF2=n 则m+n=2a 在△F1PF2中,由余弦定理: (F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ 即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ) 所以mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2 所以mn=2b^2/(1+cosθ) 例题 F1，F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦点，PQ是过F1的一条弦，求三角形PQF2面积的最大值 【解】S△PQF2=S△QF1F2+S△QF1F2=1/2 * |y2-y1| * 2c=c*|y2-y1| △QF1F2与△QF1F2底边均为F1F2=2c，之后是联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出|y2-y1|进行分析即可【|y1-y2| = √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2] 】请你看下面的一个具体例题，会对你有所启发的。

设点F1是x^2/3+y^2/2=1的左焦点，弦AB过椭圆的右焦点，求三角形F1AB的面积的最大值。 【解】a^2=3,b^2=2,c^2=3-2=1→→c=1 ∴F1F2=2c=2 假设A在x上方，B在下方直线过(1,0) 设直线是x-1=m(y-0)x=my+1 代入 2x^2+3y^2=6(2m^2+3)y^2+4my-4=0→→y1+y2=-4m/(2m^2+3),y1y2=-4/(2m^2+3) △F1AB=△F1F2A+△F1F2B 他们底边都是F1F2=2 则面积和最小就是高的和最小（即|y1|+|y2|最小[1]） ∵AB在x轴两侧,∴一正一负→→|y1|+|y2|=|y1-y2| (y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2=16m^2/(2m^2+3)2+16/(2m^2+3) →→|y1-y2|=4√[m2+(2m2+3)]/(2m2+3)=4√3*√(m2+1)]/(2m2+3) 令√(m^2+1)=p^2m^2+3=2p^2+1且p>=1则p/(2p^2+1)=1/(2p+1/p) (分母是对勾函数) ∴p=√(1/2)=√2/2时最小这里p>=1→→p=1,2p+1/p最小=3 此时p/(2p2+1)最大=1/3→→|y1-y2|最大=4√3*1/3∴最大值=2*4√3/3÷2=4√3/3 在椭圆中，我们通常把焦点与过另一个焦点的弦所围成的三角形叫做焦点三角形，类似地，我们也把顶点与过另一个顶点所对应的焦点弦围成的三角形叫顶焦点三角形．在椭圆的顶焦点三角形中有许多与椭圆焦点三角形相类似的几何特征，蕴涵着椭圆很多几何性质，在全国各地的高考模拟试卷及高考试题中，都曾出现过以“顶焦点三角形”为载体的问题．本文对椭圆的顶焦点三角形的性质加以归纳与剖析．

六年级圆和组合图形奥数题

圆和组合图形（1） 姓名 一、填空题 1.算出圆内正方形的面积为 . 2.右图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中阴部 分面积是 平方厘米. 【 3.一个扇形圆心角120,以扇形的半径为边长画一个正方形,这个正方形的面积是120平方厘米.这个扇形面积是 . 4.如图所示,以B 、C 为圆心的两个半圆的直径都是2厘米,则阴影部分的周长是 厘米.(保留两位小数) 5.三角形ABC 是直角三角形,②的面积小28平方厘米. AB 长40厘米, BC 长 厘米. ~ 6.如右图,阴影部分的面积为2平方厘米,面积为 . 7.扇形的面积是平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是 度. 8.图中扇形的半径OA =OB =6厘米.45=∠AOB , AC 垂直OB 于那么图中阴影部分的面积是 平方厘米. )14.3(=π 9.右图中正方形周长是20厘米.图形的总面积是 平方厘米.

| 10.在右图中(单位:厘米),两个阴影部分面积平方厘米. | 二、解答题 11. ABC 是等腰直角三角形. D 是半圆周的中点, BC 是半圆的直径,已知: AB =BC =10,那么阴影部分的面积是多少(圆周率14.3=π) - 12.如图,半圆S 1的面积是平方厘米,圆S 2的面积是平方厘米.那么长方形(阴影部分的面积)是多少平方厘米 、 13.如图,已知圆心是O ,半径r =9厘米,1521=∠=∠,那么阴影部分的面积是多少平方厘米)14.3(≈π | 14.右图中4个圆的圆心是正方形的4个顶点,它们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的半径都是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米