导数大题20种主要题型讲解

导数大题20种主要题型讲解

答案详解

：

本题主要考查导数在研究函数中的应用。

（1）求出比较其与的大小，得到的单调性表，于是得到的极值。

（2）将代入到中，并求得当时，此时恒成立，即在单调递增，同理可以得到在上为增函数，则原不等式可化为

在上恒成立，令，对其求导得知若为减函数时其导数恒小于，便可得到的取值范围。

（3）若存在，使得假设成立，也即在上不是单调增或单调减，故，对

求导得到其极小值点为，由于解得此时，此时需证明当，使得即可，此时可取，发现成立，故的取值范围为。

答案详解

（Ⅰ），由是的极值点得，所以。于是

，定义域为，，函数在上单调递增，且。因此，当时，；当时，。

所以，在上单调递减，在上单调递增。

（Ⅱ）当，时，，故只需要证明当时，。当时，函数在单调递增，又，，故在有唯一实根，且。当时，；当时，；从而当时，取得最小值。由得：，，故。

综上：当时，。

解析:

本题主要考查函数的求导和函数的单调性的判断。

（Ⅰ）先对函数求导，得导函数，由题，则可得的值，当时，

单调递增，求得的的取值范围即为单调增区间；当时，单调递减，求得的的取值范围即为单调减区间。

（Ⅱ）由分析知，只需证明当时，，此时通过分析函数单调性，求得

即可得证。

例题5：

函数。

（Ⅰ）讨论的导函数零点的个数；

（Ⅱ）证明：当时，。

答案详解

（Ⅰ）的定义域为，（）。当时，，没有零点；当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增。又，当满足且时，，故当时，存在唯一零点。

（Ⅱ）由（Ⅰ），可设在的唯一零点为，当时，；当

时，。故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为。由于，所以。

故当时，。

解析:

本题主要考查导数的概念及其几何意义以及导数在函数研究中的应用。

（Ⅰ）求导得出的表达式，根据其表达式，对进行分类讨论。当时，可知没有零点；当时，可知单调递增，且存在使得而，因此

存在唯一零点。

（Ⅱ）由（Ⅰ），可设的最小值在时取到，最小值为。写出的表达式，再运用均值不等式即可得出。

题型3：先构造，再赋值，证明和式或积式不等式

例题：已知函数。

（1）若，求的值；

（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值。

答案详解

（1）的定义域为，由已知得，。对求导，得

（），

①若，则恒成立，在上递增，则时，，所以不合题意；

②若，则时，递减，时，，递增，

，令，，时，递增，时，递减，，故当且仅当时，，符合题意。综上，。

（2）由（1）得在上恒成立，所以，令，即有，因为

，所以若对于任意正整数，，则有，，整数。

解析:

本题主要考查导数在研究函数中的应用。

（1）对分类讨论，利用导数研究函数的单调性，得出满足的的值。

（2）要证不等式等价于，根据（1）中结论，对赋值，得到，从而将放缩成等比数列的前项和，由，知，从而，取最小整数值。

例题：

已知函数发f(x)=(x+1)lnx-ax+2

(1)当a=1时,求在x=1处的切线方程;

(2)若函数f(x)在定义域上具有单调性,求实数a的取值范围;

题型4:恒成立，存在性问题

由此利用导数性质能求出实数a的取值

本题重点考查利用导数研究函数的性质,利用函数的性质解决不等式、方程问题.重点考查学生的代数推理论证能力.解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.

练习：已知f(x)=xln x,g(x)=-x2+mx-3.

(1)求f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值.

(2)若对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)成立,求实数m的取值范围.

答案详解

解：(1)f′(x)=ln x+1,

令f′(x)=0,得x=.

当x∈(0,),f′(x)<0,f(x)单调递减;

当x∈(,+∞）,f′(x)>0,f(x)单调递增.

因为t>0,t+2>2>,

①当0

②当t≥时,f(x)min=f(t)=tln t.

所以f(x)min=

(2)由2xln x≥-x2+mx-3得m≤2ln x+x+.设h(x)=2ln x+x+(x>0),则

h′(x)=.

令h′(x)=0,得x=1或x=-3(舍),

当x∈(0,1)时,h′(x)<0,h(x)单调递减;

当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增,

所以h(x)min=h(1)=4.所以m≤h(x)min=4.

的最小值即可.注意不要忽略x>0的条件,导致求导数的方程时产生增根.

练习：设函数，，其中，为自然对数的底数。（1）讨论的单调性。

（2）证明：当时，。

（3）确定的所有可能取值，使得在区间内恒成立。

答案详解

（1）由题意可得（），设， ......2分

当时，，所以，即在上单调递减；

当时，令，解得，，所以的单调减区间为，单调增区间为。 (4)

分

（2）要证当时，，即，即， ......5分

设，所以，令，解得，所以在上单调递增，所以。当时，，所以当时，成立。 ......8分

（3）由得， ......9分

设，由题意知在上恒成立。因为，所以必须成立，又，所以，所以。又

，易知当时，。 ......12分

令，则，令，解得，此时单调递增，，又，，所以当时，。综上，，所以在上单调递增，所以，则有在上单调递增，所以，所以，即。 ......14分

解析:

本题主要考查导数在研究函数中的应用。

（1）求出，分别在导函数大于、小于的情况下讨论，即可得出单调区间；

（2）将分解为两个比较容易求导的函数，并将较复杂的函数求导，得出其图象性质，即可通过其与另一函数图象的交点关系求出不等式；

（3）将两函数相减构造新函数，由新函数值的符号可以判断原来两个函数的大小关系。

将新构造的函数求导，并讨论其在函数值为附近导函数的符号，以此判断该函数在对应

区间内的函数值的符号，进而即可判断对应情况两函数值的大小关系。

题型5：极值点偏移应用

已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）证明：当时，；

（3）若函数有两个零点，，比较与的大小，并证明你的结论。

答案

（1）时，f（x）在上递增，上递减，上递增；时，f（x）在上递

增；时，f（x）在上递增，上递减，上递增；时，f（x）在上递增，在上递减；（2）见解析；（3）．

（1）

①时，f（x）在（0,1）上递增，在上递减；

②时，f’（x）=0的两根为

A．，即时，f（x）在上递增；

B．，即时，f（x）在上递增，上递减，上递增；

且，故此时f（x）在上有且只有一个零点．

C．，即时，f（x）在上递增，上递减，上递增；

且，故此时f（x）在上有且只有一个零点．

综上所述：时，f（x）在上递增，上递减，上递增；

时，f（x）在上递增；

时，f（x）在上递增，上递减，上递增；

时，f（x）在上递增，在上递减；

（2）

设

∴

∴在上单调递减

∴得证．

（3）由（1）知，函数要有两个零点，，则

∴

不妨设

∴由（2）得

∴

∴

∴

考点：1.导数与函数的单调性；2.函数与方程、不等式．

解析

（1）求导得，当，导数的符号由确定，可确定函数的单调性；当时，由讨论与的大小入手，分别讨论导数在各个区间上的符号，即可确定函数的单调性；

（2）先写出不等式式的等价形式，即，构造函数，求导可得函数在区间单调递减，所以可得；

（3）因为函数要有两个零点，，所以，由此可求得，设，由（2）得，从而有，即有

成立，从而可证结论成立．

练习：

已知函数（）的两个零点为，（）。

（1）求实数的取值范围；

（2）求证：。

答案详解

（1），

当时，，在上单调递增，不可能有两个零点；

当时，由可解得，由可解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，要使得在上有两个零点，则，解得，则的取值范围为。

（2）令，则，由题意知方程

有两个根，即方程有两个根，不妨设，，令，则

，由可得，由可得，所以时，单调递增，时，单调递减，故综上可知，

要证，即证，即，即证，令，下面证对任意的恒成立，

，因为，所以，

，所以，因为，所以，所以在是增函数，所以，所以原不等式成立。

解析:

本题主要考查函数与方程及导数在研究函数中的应用。

（1）先对函数求导，再根据函数的单调性，使得最小值小于以满

足函数有两个零点的条件，即可求出的取值范围。

（2）要证，令，则，再转换成的等式，再建立新的函数，求导，根据单调性判断，再证，建立新的函数，求导证明即可。

导数大题20种主要题型总结及解题方法

导数大题20种主要题型总结及解题方法导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在某一点处的变化率。掌握导数的计算和应用方法对于解决各种实际问题具有重要意义。下面将对导数的20种主要题型进行总结并给出解题方法。 1.求函数在某点的导数。 对于给定的函数，要求在某一点处的导数，可以使用导数的定义或者基本求导法则。导数的定义是取极限，计算函数在这一点的变化率。基本求导法则包括常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的求导法则。 2.求函数的导数表达式。 已知函数表达式，要求其导数表达式。可以使用基本求导法则，并注意链式法则和乘积法则的应用。 3.求高阶导数。 如果已知函数的导数表达式，要求其高阶导数表达式。可以反复应用求导法则，每次对函数求导一次得到导数表达式。

4.求导数的导函数。 导数的导函数是指对导数再进行求导的过程。要求导函数时，可以反复应用求导法则，迭代求取导数的导数。 5.利用导数计算函数极值。 当函数的导数为0或不存在时，可能是函数的极值点。可以利用导数求函数的极值。 6.利用导数判定函数的增减性。 根据函数的导数正负性可以判定函数的增减性。如果导数大于0，则函数在该区间上递增；如果导数小于0，则函数在该区间上递减。 7.利用导数求函数的最大最小值。 当函数在某一区间内递增时，在区间的左端点处取得最小值；当函数在某一区间内递减时，在区间的右端点处取得最小值。要求函数全局最大最小值时，可以使用导数判定。当导数从正数变为负数时，可能是函数取得最大值的点。 8.利用导数求函数的拐点。

如果函数的导数在某一点发生变号，该点可能是函数的拐点。可以使用导数的二阶导数判定。 9.利用导数求函数的弧长。 曲线的弧长可以通过积分求取，而曲线的弧长元素是由导数表示的。通过导数求取弧长元素，并积累求和得到曲线的弧长。 10.利用导数求函数的曲率。 曲率表示曲线弯曲程度的大小，可以通过导数求取。曲率的求取公式是曲线的二阶导数与一阶导数的比值。 11.利用导数求函数的速度和加速度。 在物理学中，速度和加速度是描述物体运动的重要概念。速度是位移随时间的导数，而加速度是速度随时间的导数。可以通过求导的方法求取速度和加速度。 12.利用导数求函数的斜率。 函数在某一点的斜率可以通过导数求取。斜率表示函数在该点的变化率。

导数各种题型及解法的总结

《导数各种题型及解法总结》 基础知识梳理 1.常见题型 2.在解题中常用的有关结论(需要熟记): 3.解题方法规律总结

虑判别式、对称轴、区间端点函数值的符号等因素。 2. 已知函数(含参数)在某区间上单调，求参数的取值范围，有三种方法： ①子区间法；②分离参数法；③构造函数法。 3. 注意分离参数法的运用：含参数的不等式恒成立问题，含参数的不等式在某区间上有解， 含参 数的方程在某区间上有实根(包括根的个数)等问题，都可以考虑用分离参数法，前 者是求函数的最值，后者是求函数的值域。 4. 关于不等式的证明：通常是构造函数，考察函数的单调性和最值。有时要借助上一问的有 关单调性或所求的最值的结论，对其中的参数或变量适当赋值就可得到所要证的不等式。 对于含有正整数n 的带省略号的不定式的证明，先观察通项，联想基本不定式(上述结论 中的13)，确定要证明的函数不定式(往往与所给的函数及上一问所得到的结论有关) ， 再对自变量x 赋值，令x 分别等于1、2、…….、n,把这些不定式累加，可得要证的不定式。) 5. 关于方程的根的个数问题：一般是构造函数，有两种形式，一是参数含在函数式中，二是 参数被分离，无论哪种形式，都需要研究函数在所给区间上的单调性、极值、最值以及区 间端点的函数值，结合函数图象， 确立所满足的条件，再求参数或其取值范围。 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令f (x) =0得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值 -----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论( >0,=0,<0 ) 第二种：变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元)； 例1：设函数y 二f(x)在区间D 上的导数为f(x)， f (x)在区间D 上的导数为g(x)，若在区间 D 上, (2)若对满足 m 兰2的任何一个实数 m ，函数f (x)在区间(a,b )上都为“凸函数”，求b-a 的最大值. g(x) -.0恒成立，则称函数y = f(x)在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数, (1 )若y = f (x)在区间0,3 1上为“凸函数”，求m 的取值范围； 4 f(x 7 6 3 mx 3x

导数题型分类大全

导数题型分类（A ） 题型一：导数的定义及计算、常见函数的导数及运算法则 （一）导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率x x f x x f x y o x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/ x f 或0/x x y =，即 x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(0000/ 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对 应着一个确定的导数)(/ x f ，从而构成了一个新的函数)(/ x f 。称这个函数)(/ x f 为函数 )(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y ＝ x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数)(x f y =在0x 处的导数0 / x x y =，就是导函数)(/ x f 在0x 处的函数值，即0 / x x y =＝)(0/ x f 。 例1.函数()a x x f y ==在处的导数为A ，求 ()()t t a f t a f t 54lim +-+→。 例2．2 3 33 x y x x += =+求在点处的导数。 （二）常见基本初等函数的导数公式和运算法则 ： +-∈==N n nx x C C n n ,)(; )(01''为常数； ;sin )(cos ;cos )(sin ''x x x x -== a a a e e x x x x ln )(;)(''==； e x x x x a a log 1)(log ;1)(ln ''== 法则1： )()()]()(['''x v x u x v x u ±=± 法则2： )()()()()]()([' ''x v x u x v x u x v x u += > 法则3： )0)(() ()()()()(])()([2 ' ''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u （理）复合函数的求导：若(),()y f u u x ?==，则'()'()x y f x x ?'= 如，sin ()'x e =_______________;(sin )'x e =_____________ 公式1 / )(-=n n nx x 的特例：①=')x (______; ②=' ?? ? ??x 1_______, ③=')x (_________. 题型二：利用导数几何意义及求切线方程 导数的几何意义：函数)(x f y =在0x 处的导数是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率.因此，如果)(0x f '存在，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为______________________

导数大题20种题型讲解

导数大题20种题型讲解 1.多项式函数求导： 题目描述：求函数f(x)=ax^n的导数。 解答步骤：使用幂函数的导数公式，对函数f(x)进行求导，得到f'(x)=nax^(n-1)。 2.常数函数求导： 题目描述：求函数f(x)=c的导数。 解答步骤：常数函数的导数始终为零，即f'(x)=0。 3.指数函数求导： 题目描述：求函数f(x)=e^x的导数。 解答步骤：指数函数e^x的导数仍然是e^x，即f'(x)=e^x。 4.对数函数求导： 题目描述：求函数f(x)=ln(x)的导数。 解答步骤：对数函数ln(x)的导数为1/x，即f'(x)=1/x。 5.三角函数求导： 题目描述：求函数f(x)=sin(x)的导数。 解答步骤：三角函数sin(x)的导数为cos(x)，即f'(x)=cos(x)。 6.反三角函数求导：

题目描述：求函数f(x)=arcsin(x)的导数。 解答步骤：反三角函数的导数可以通过导数公式计算，即f'(x)=1/sqrt(1-x^2)。 7.复合函数求导： 题目描述：求函数f(x)=(2x+1)^3的导数。 解答步骤：使用链式法则，将复合函数拆解成内外两个函数，并分别求导。对于本题，先对内函数u=2x+1求导，然后乘以外函数v=u^3的导数。 8.分段函数求导： 题目描述：求函数f(x)={x^2,x<0;x,x≥0}的导数。 解答步骤：由于该函数在x=0处存在不连续点，需要分别对x<0和x≥0的部分进行求导。对于x<0的部分，求导结果为2x；对于x≥0的部分，求导结果为1。 9.隐函数求导： 题目描述：求函数方程x^2+y^2=25的导数dy/dx。 解答步骤：对方程两边同时求导，并利用隐函数求导法则，最后解出dy/dx的表达式。 10.参数方程求导： 题目描述：已知参数方程x=t^2，y=2t+1，求曲线的切线斜率。 解答步骤：对参数方程中的x和y分别求导，然后计算dy/dx的值，即可得到切线斜率。 11.高阶导数求导： 题目描述：求函数f(x)=x^3的二阶导数。

导数高考常见题型

导数的应用常见题型 一、常用不等式与常见函数图像 1、1+≥x e x x x ≤+)1ln( 1-ln 1 -1x x x ≤≤ 2、常见函数图像 二、选择题中的函数图像问题 一新型定义问题 对与实数,a b ,定义运算“”：a b= 22 ,,a ab a b b ab a b ,设 () (21)*(1)f x x x 且关于x 的方程() ()f x m m R 恰有三个互不相等的实数根 123,,x x x ,则123x x x 的取值范围为 二利用导数确定函数图像 ①已知函数32()31f x ax x ,若()f x 存在唯一的零点0x ,且00x ,则a 的取值范围为 A 、(2, ) B 、( ,2) C 、(1, ) D 、( ,1) ②设函数()f x =(21)x e x ax a ,其中a 1,若存在唯一的整数0x ,使得0()f x 0,则a 的取值范围是 A-32e ,1 B-32e ,34 C 32e ,34 D 3 2e ,1 三、导数与单调性 实质：导数的正负决定了原函数的单调性 处理思路：①求导,解不等式0)('0)('<>x f x f 或 ②求解0)('=x f ,分段列表 ③根据)('x f y =的图像确定 一分段列表 ①已知函数()f x =2x x e e x --- Ⅰ讨论()f x 的单调性；

Ⅱ设()()()24g x f x bf x =-,当0x >时,()0g x >,求b 的最大值； ②已知函数x x xe e x x f -+-=2)2()(,讨论函数的单调性 ③设函数mx x e x f mx -+=2)( Ⅰ证明：)(x f 在-∞,0单调递减,在0,+∞+单调递增； Ⅱ若对于任意]1,0[,21∈x x ,都有1)()(21-≤-e x f x f ,求m 的取值范围 二根据导函数图像确定 ①已知函数x x a ax x f ln )1(2 1)(2+-+-=,试讨论函数的单调性 ②已知函数a a ax x x a x x f +--++-=2222ln )(2)(,其中0>a .设)(x g 是)(x f 的导函数,讨论)(x g 的单调性 ③已知函数),(ln )(2R b a x bx ax x f ∈-+=,0≥a ,求)(x f 的单调区间 三已知单调性,求参数取值范围 ①已知函数ax x x x f -+=ln )(2在)1,0(∈x 是增函数,求a 的取值范围; ②已知函数23)2(2 161)(x a x x g -+=,hx=2alnx,)()()(x h x g x f -'=; 1当a∈R 时,讨论函数()f x 的单调性． 2是否存在实数a,对任意的12,(0,)x x ∈+∞,且12x x ≠,都有2112 ()() f x f x a x x ->- 恒成立,若存在,求出a 的取值范围；若不存在,说明理由; 四、极值与零点问题 实质：第一种说法：导函数或原函数对应方程的根 第二种说法：导函数或原函数图像与x 轴的交点 处理方法： 根源：利用讨论导函数和原函数的图像处理极值点与零点问题 ①利用导数对函数图像的三个影响要素,数形结合 I.单调性 函数图像大致形状

导数大题20种主要题型

导数大题20种主要题型 一、求函数的单调性 1. 给出函数解析式，求导数，并根据导数正负确定函数的单调区间。 2. 给出函数解析式和区间，求函数在区间内的单调性。 二、求函数的极值 3. 给出函数解析式，求导数，并根据导数正负确定函数的极值点，求出极值。 4. 给出函数解析式和区间，求函数在区间内的极值点，并求出极值。 三、求函数的最大值或最小值 5. 给出函数解析式，求导数，并根据导数正负确定函数的单调区间，从而确定函数的最大值或最小值。 6. 给出函数解析式和区间，求函数在区间内的极值点，并求出极值，再与区间端点的函数值比较，得到函数的最大值或最小值。 四、确定函数图像的单调区间 7. 给出函数解析式，求导数，并根据导数正负确定函数图像的单调区间。 8. 给出函数图像的大致形状，根据图像的变化趋势，确定函数解析式，并求导数，确定函数图像的单调区间。 五、判断函数的零点 9. 给出函数解析式和区间，判断函数在区间内的零点个数。 10. 给出函数解析式和大致的图像，根据图像的变化趋势，判断函数在某一点的零点是否存在。 六、判断函数的最值点 11. 给出函数解析式和区间，判断函数在区间内的最值点。 12. 给出函数图像的大致形状，根据图像的变化趋势，确定函数在某一点的最值点。 七、判断函数的极值点 13. 给出函数解析式，求导数，并根据导数正负确定函数的极值点。 14. 给出函数图像的大致形状，根据图像的变化趋势，判断函数在某一点的极值点。 八、求解不等式 九、求解方程的根 十、利用导数证明不等式 十一、利用导数求最值 十二、利用导数求多变量函数的平衡点 十三、利用导数研究函数的图像性质 十四、利用导数研究函数的极值和最值 十五、利用导数求解高阶导数 十六、利用导数求实际问题的最优解 十七、利用导数求解曲线的切线方程 十八、利用导数研究函数的凹凸性 十九、利用导数求解函数的零点个数 二十、物理问题的应用

导数常见题型方法总结

导数题型总结 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，假设在区间D 上，()0g x <恒成立， 则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数〞，实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- 〔1〕假设()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数〞，求m 的取值围； 〔2〕假设对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数〞，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=--2()3g x x mx ∴=-- 〔1〕()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数〞， 则 2 ()30g x x mx ∴=--<在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 解法二：别离变量法： ∵当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值〔03x <≤〕恒成立， 而3 ()h x x x =-〔03x <≤〕是增函数，则max ()(3)2h x h ==2m ∴> (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数〞 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立〔视为关于m 的一次函数最值问题〕 30110x >⇒-<<> 例2),10(32 R b a b x a ∈<<+- ],2+a 不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值围. 解：〔Ⅰ〕()()2 2 ()433f x x ax a x a x a '=-+-=--- 令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间为〔a ,3a 〕 令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为〔－∞，a 〕和〔3a ，+∞〕 ∴当*=a 时，)(x f 极小值=;4 33 b a +- 当*=3a 时，)(x f 极大值=b. 〔Ⅱ〕由|)(x f '|≤a ，得：对任意的],2,1[++∈a a x 22 43a x ax a a -≤-+≤恒成立① 则等价于()g x 这个二次函数max min ()()g x a g x a ≤⎧⎨ ≥-⎩22()43g x x ax a =-+的对称轴 2x a =01,a <<12a a a a +>+=〔放缩法〕 即定义域在对称轴的右边，()g x 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。 3a a a 3a

导数题型总结

导数题型总结 题型一：利用导函数解析式求原函数解析式 例1：已知多项式函数()f x 的导数 /2()34f x x x =-，且(1)4f =，求()f x 例2：已知多项式函数()f x 为奇函数， /2()31()f x x ax a R =++∈，求()f x 例3：已知函数432()f x ax bx cx dx e =++++为偶函数，它的图象过点(0,1)A -，且在1x =处的切线方程为210x y +-=，求()f x 题型二：求切线问题 例1：已知曲线方程为2122x -y=，则在点3 (1,)2 P -处切线的斜率为 ，切线 的倾斜角为 例2：求曲线 13 y x =在原点处的切线方程 切线斜率不存在所以切线方程为0x = 例3：求曲线3y x =在点(1,1)出的切线与X 轴，直线2x =所围成的三角形的面积 切线方程为320x y --= 三角形面积8 3 S = 例4：求曲线2y x =分别满足下列条件的切线方程 （1）平行于直线45y x =- （2）垂直于直线2650x y -+= （3）与X 轴成0135的倾斜角 （4）过点(1,3)P -，且与曲线相切的直线 例5：已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线 ()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 例6：已知函数()f x 在R 上满足3 ()3()8f x f x x =--+，则曲线

()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程是 题型三：求倾斜角 例1：P 在曲线3 2 3+-=x x y 上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范 围是______ 例2：．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 题型四：导数与函数图像问题 例1：若函数()y f x =的导函数．．． 在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在[,]a b 上的图象可能是 （ ） A ． B ． C ． D ．. 例2函数y=ax 2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中 的图像可能是（ ） a b a

导数大题20种题型

导数大题20种题型 导数是微积分中非常重要的概念，它用于描述函数在某一点处的变化率。在求解导数的过程中，我们会遇到各种不同的题型。下面是导数大题的20种题型。 1. 基本函数的导数：求解常见函数（如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等）在给定点处的导数。 2. 复合函数的导数：根据链式法则，求解复合函数在给定点处的导数。 3. 反函数的导数：利用反函数的性质，求解反函数在给定点处的导数。 4. 参数方程的导数：对参数方程中的x和y分别求导，得到x和y 关于另一个参数的导数。 5. 隐函数的导数：根据隐函数的定义，利用全微分的性质，求解隐函数在给定点处的导数。 6. 对数导数：利用对数函数的导数性质，求解函数的对数导数。

7. 高阶导数：求解函数的二阶、三阶或更高阶导数。 8. 反复函数的导数：对反复函数进行多次求导，得到各阶导数。 9. 参数曲线的切线与法线：利用导数的定义，求解参数曲线在给定点处的切线和法线方程。 10. 极限定义的导数：利用导数的极限定义，求解函数在给定点处的导数。 11. 极值问题：利用导数的性质，求解函数的极大值和极小值点。 12. 函数的单调性：根据导数的正负性，判断函数在给定区间上的单调性。 13. 曲线的凹凸性：根据导数的增减性，判断函数在给定区间上的凹凸性。 14. 弧长问题：利用导数的定义，求解曲线弧长。 15. 曲率问题：利用导数的定义，求解曲线在给定点处的曲率。

16. 泰勒展开：利用导数的性质，对函数进行泰勒展开。 17. 函数的积分：利用导数和积分的关系，求解函数的积分。 18. 参数方程的弧长：利用导数的定义，求解参数方程表示的曲线的弧长。 19. 高阶导数的应用：利用高阶导数的性质，求解函数的拐点、极值点等特殊点。 20. 物理问题的应用：利用导数的物理意义，求解物理问题中的速度、加速度等相关概念。 这些题型覆盖了导数的基本概念及其在不同问题中的应用。通过解答这些题型，我们可以更好地理解导数的性质及其在数学和物理中的重要作用。

导数大题20种主要题型讲解

题嵬1;构造图教 1:已知的飘，(£)三》一由工* + 旦(釐｝ = r1- ax (1)求的数/(>)在区佝k ->0)上的最小值制Q) C2)分人(工)二目。)一/(工工/(七.〃(n)). , h(x: ))(r t± a ?)是的4t h(r>图像上任 意两点.且满足8立也±2>1*求实数门的取值范围 巧f (3)若为=®u统/口)之"由”成立，求实教目的靛大值 X 答案详解 解:⑴/«)= 1一上令/3)= 0,则丁= 1, 5C 当t>L时J㈤在艮，+ 11上单调递增/⑶的最小值为则=F - Int:…(1分) 当0 < t < 1时JQ)在区间(L I)上为遍函数,在区间(1,£+ 1)上为增函数J㈤的最 小值为= 1 综上，当Q V ± 4 1时，m(t) = 1;当它1时,m(i) = ± —加t….(3分) ⑵卜⑺=/ —<也+ 1让+ 1心,对于任意的工1 ,亚£(0r +8).妨取工( < 也则 # [ 一5P 2 < 0 T 则由以内)—M4) > 】r可得他的)-Mg> V 6 一通，才1 - 1工 变形得h(*J V A｛亚)一物恒成立।…(5分) 令既H)= h(i) - T= 1?_ (a + 2)① + I HT , 则F(E)= x2—(a+2)工+ /团「在(0, +oc)上单调递增. 故k⑺=2支- S + 2) +工>0在(0, +OO)恒成立,…(7分) X 二2『+」'(口+2)在M +8)恒成立X -2x +1汽池,当且仅当里二业时取士[ F<26- 2 ；…。0分) x2

（3）\ -——一工+ -工加” ^-e（（k ij,F\2T+le（l,2］, , 3 % （CM j 使得a< "-成立. z十1 令旧）= 土二学则『㈤==IF'」'，…。2分） z + 1 + 1J 令⑷=2/ + 3］一，口』一L ,则由4 =（1 + 1）（41——0 = o可得意=:或工=-I （舍）_ 工 4 当上£（0. ；）时R c n ：则# = 21；+ :如—加立一1在（0二）上单调递减； 4 4 当上€（1 +x）时田> 0则v = 21 + 3i -，偌r —1在［；，+oc）上单调递增. 4 4 「总>，评4 _ g >o > n在/日o. I］上恒成立 「上⑷在（0.I；上单调递增一则”f⑴,即门WL…（15分） ,实数a的最大值为L 一<16分） 解析： （1）求出原函数的导函数得到导函数的零点，分栏1和/ < ［讨论函数〃』）在区 间⑺上的单调」由由单调性求得最小值； ⑵由‘工> 1,可得,，5）一耳 < 见词一g恒成立，构造函数 M］- X2 F（X）= fi（：r）— ;r = ］"_（◎ + 2）X +尿T,可知F（j；）在（0, +oo）上单调递增T 由其导函数 在（也+8）上大于等于0恒成立求得实数2的取值范围； （3）把人工启仁幽变形，分离参数3然后构造口数“价=—产，利用导数求其最大值得答案. 1工（本小题满分16分）已知图数/（*）=#-1口基飘回=/-皿. （1）求函数的最小信； （2）若会<0」］, 使得，（©之"图曳成立,求实数白的最大值多 X ⑶令加»=爪分一/ca4>1azlc^^友肛网巧》a *电）是由整i机电图象上任 意两息，目涓足.■）—取巧）> 1:求实戮鼻的限值范围. 玉一七

《高中数学导数》题型分类非常全

导数 1.导数公式：'0C = '1()n n x nx -= '(sin )cos x x = '(cos )sin x x =- '()x x e e = '()ln x x a a a = '1(ln )x x = '1(log )ln a x x a = 2.运算法则：'''()u v u v +=+ '''()u v u v -=- '''()uv u v uv =+ '' '2()u u v uv v v -= 3.复合函数的求导法则：（整体代换） 例如：已知2()3sin (2)3 f x x π=+，求'()f x 。 4.导数的物理意义：位移的导数是速度，速度的导数是加速度。 5.导数的几何意义：导数就是切线斜率。 6.用导数求单调区间、极值、最值、零点个数：对于给定区间[,]a b 内，若'()0f x >，则()f x 在[,]a b 内是增函数；若'()0f x <，则()f x 在[,]a b 内是减函数。 【题型一】求函数的导数 1(1)ln x y x = (2)2sin(3)4 y x π=- (3)2(1)x y e x =- (4)3 235y x x =-- (5)231x x y x -=+ (6)2211()y x x x x =++ 2.已知物体的运动方程为223s t t =+（t 是时间，s 是位移），则物体在时刻2t =时的速度为 。 【题型三】导数与切线方程（导数的几何意义的应用） 3.曲线32y x x =+-在点(2,8)A 处的切线方程是 。 4.若(1,)B m 是32y x x =+-上的点，则曲线在点B 处的切线方程是 。 5.若32y x x =+-在P 处的切线平行于直线71y x =+，则点P 的坐标是 。 6.若2 3ln 4 x y x =-的一条切线垂直于直线20x y m +-=，则切点坐标为 。

高考压轴题：导数题型及解题方法总结很全

高考压轴题：导数题型及解题方法 （自己总结供参考） 一．切线问题 题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。 方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。 题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。 方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。 注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。 例 已知函数f （x ）=x 3 ﹣3x ． （1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ） （2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、 （提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。（答案：m 的范围是()2,3--） 题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。 方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。（)(,22x f x ）； 建立21,x x 的等式关系，12112)()(y y x f x x -='-，12212)()(y y x f x x -='-；求出21,x x ，进而求出切线方程。解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。 例 求曲线2 x y =与曲线x e y ln 2=的公切线方程。（答案02=--e y x e ） 二．单调性问题 题型1 求函数的单调区间。 求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有：（1）在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；（2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；(3) 在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；(4) 在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。 例 已知函数x a x x a x f )1(2 1ln )(2 +-+ = （1）求函数)(x f 的单调区间。（利用极值点的大小关系分类） （2）若[]e x ,2∈，求函数)(x f 的单调区间。（利用极值点与区间的关系分类） 题型2 已知函数在某区间是单调，求参数的范围问题。 方法1：研究导函数讨论。 方法2：转化为0)(0)(' '≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立问题， 方法3：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增区间或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集。 注意：“函数)(x f 在()n m ,上是减函数”与“函数)(x f 的单调减区间是()b a ,”的区别是前者是后者的子集。 例 已知函数2 ()ln f x x a x =++ x 2 在[)+∞,1上是单调函数，求实数a 的取值范围． （答案[)+∞,0） 题型3 已知函数在某区间的不单调，求参数的范围问题。 方法1：正难则反，研究在某区间的不单调 方法2:研究导函数是零点问题，再检验。 方法3:直接研究不单调，分情况讨论。 例 设函数1)(2 3 +++=x ax x x f ，R a ∈在区间⎪⎭ ⎫ ⎝⎛1,21内不单调，求实数a 的取值范围。 （答案：() 3,2--∈a ）） 三．极值、最值问题。 题型1 求函数极值、最值。 基本思路：定义域 → 疑似极值点 → 单调区间 → 极值 → 最值。 例 已知函数12 1)1()(2 ++- +-=kx x e k x e x f x x ，求在()2,1-∈x 的极小值。 （利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类） 题型2 已知函数极值，求系数值或范围。 方法：1.利用导函数零点问题转化为方程解问题，求出参数，再检验。 方法2.转化为函数单调性问题。 例 函数1)1(2 1 )1(3141)(234+----+= x p p px x p x x f 。0是函数)(x f 的极值点。求实数p 值。 （答案：1） 题型3 已知最值，求系数值或范围。

导数题型分类大全

导数题型分类 一、考试内容 导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析 题型一：导数的定义及计算 1．若函数()a x x f y ==在处的导数为A ，求 ()()t t a f t a f t 54lim +-+→。 解： ()()t t a f t a f t 54lim +-+→ = ()()A t t a f t a f t -=+-+-→45lim 2．23 33 x y x x += =+求在点处的导数。 3．若函数()f x 满足，32 1()(1),3 f x x f x x '=-⋅-则(1)f '的值 0 4．设曲线ax y e =在点(0,1)处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ． 5．利用导数求和：Sn=1+2x+3x^2+...+nx^n-1,(x 不等于0且不等于1）= 题型二：利用导数研究函数的极值、最值。 1． 32 ()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2)()(2 =-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ； 3．函数3 31x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3 4．已知函数f (x )的导函数()f x '的图象如右图所示， 那么函数f (x )的图象最有可能的是( ) 5.已知函数3 2 ()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是（ ） A B C D

＜a ＜2 ＜-3或a ＞6 C.-3＜a ＜6 ＜-1或a ＞2 题型三：利用导数几何意义及求切线方程 1．曲线3 4y x x =-在点 ()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4 )(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0） 3．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --= 4．求下列直线的方程：（注意解的个数） （1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2 x y =过点P(3,5)的切线； 解：（1） 123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P 所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即， （2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为) ,(00y x A ，则 2 00x y =①又函数的导数为x y 2/ =， 所以过 ) ,(00y x A 点的切线的斜率为 /2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有 3 5 2000--= x y x ②，由①②联立方程组得，⎩⎨⎧⎩⎨⎧====25 5 110 000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为 ; 2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分 别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即， 或 6．设P 为曲线C ：y ＝x 2 ＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0，π4]， 则点P 横坐标的取值范围为( ) A ．[－1，－1 2 ] B ．[－1,0] C ．[0,1] D ．[1 2 ，1] 7.下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（ ） =sinx B. x y xe = C. 3 y x x =- =ln(1+x)—x 8. 设f(x),g(x)是R 上的可导函数，(),()f x g x ''分别为f(x),g(x)的导数，且 ()()()()0f x g x f x g x ''+<，则当af(b)g(x) (x)g(x)>f(b)g(b)

高三数学(文)导数大题20道训练(附详答)

高三数学(文)导数大题20道训练(附详答) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

文数20道导数大题 1. 已知函数33 1)(23 +++= x bx ax x f ,其中a≠0. (1)当a,b 满足什么条件时,f(x)取得极值? (2)已知a ＞0,且f(x)在区间(0,1］上单调递增,试用a 表示出b 的取值范围. 2. 已知a 为实数，函数2()(1)()f x x x a =++． （Ⅰ） 若(1)0f '-=，求函数()f x 在定义域上的极大值和极小值； （Ⅱ） 若函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，求a 的取值范围． 3. 已知a ∈R ,函数()3211 232 f x x ax ax =-++(x ∈R ). （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若函数()f x 能在R 上单调递减，求出a 的取值范围；若不能，请说明理由； （Ⅲ）若函数()f x 在[]1,1-上单调递增，求a 的取值范围. 4. 已知0a >，函数2 ()2(1)ln (31)2x f x a a x a x =++-+。 （1）若函数()f x 在1x =处的切线与直线30y x -=平行，求a 的值； （2）讨论函数()f x 的单调性； （3）在（1）的条件下，若对任意[1,]x e ∈，2 ()60f x b b --≥恒成立， 求实数b 的取值组成的集合。 5设cx bx ax x f ++=23)(的极小值是5-， 其导函数的图象如图所示. （1）求)(x f 的解析式； （2）若对任意的⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡∈e e x ,1都有m x x x f +-≥ln 3)(3恒成立， 求实数m 的取值范围.

导数题型总结及解法大全

第一章 导数及其应用 导数的概念 1..已知x f x f x x f x ∆-∆+=→∆) 2()2(lim ,1 )(0 则的值是（ ） A. 41- B. 2 C. 4 1 D. －2 变式1：()()()为则设h f h f f h 233lim ,430--='→（ ） A ．－１ Ｂ．－2C ．－3D ．1 变式2：()()()00003,lim x f x x f x x f x x x ∆→+∆--∆∆设在可导则等于 （ ） A ．()02x f ' B ．()0x f ' C ．()03x f ' D ．()04x f ' 导数各种题型方法总结 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、 分离变量； 2、 变更主元； 3、 根分布； 4、 判别式法 5、 二次函数区间最值求法： （1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，

2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的围就把谁作为主元）； （请同学们参看2010省统测2） 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0 g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数” ， 则 2 ()30g x x mx ∴=--<在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 230 m m ⇒>-< 解法二：分离变量法： ∵当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == 2m ∴> (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题） 2 2 (2)023011(2)0230F x x x F x x ⎧->--+>⎧⎪⇒⇒⇒-<<⎨⎨>-+>⎪⎩⎩ 2b a ∴-= 例2：设函数),10(323 1)(223 R b a b x a ax x x f ∈<<+-+- = （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；