导数典型例题(含答案)

导数典型例题

导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点.

一、与导数概念有关的问题

【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 A.0 B.1002

C.200

D.100！ 解法一 f ＇(0)=x

f x f x ∆-∆+→∆)

0()0(lim

= x

x x x x ∆--∆-∆-∆∆→∆0

)100()2)(1(lim

=lim 0

→∆x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=（-1）（-2）…（-100）=100！ ∴选D.

解法二 设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100

+…+ a 1x +a 0，则f ＇(0)= a 1，而a 1=（-1）（-2）…（-100）=100！. ∴选D.

点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解.

【例2】 已知函数f (x )=n

n n k k n n n n x c n

x c k x c x c c 1121221

+++++

+ ，n ∈N *，则 x x f x f x ∆∆--∆+→∆)

2()22(lim

= .

解 ∵ x

x f x f x ∆∆--∆+→∆)

2()22(lim

=2x

f x f x ∆-∆+→∆2)

2()22(lim

+

[]x

f x f x ∆--∆-+→∆-)

2()(2lim

=2f ＇(2)+ f ＇(2)=3 f ＇(2)，

又∵f ＇(x )=1121

--+++++n n n k k n n n x c x c x c c ，

∴f ＇(2)=

21（2n n n k n k n n c c c c 222221+++++ ）=21[(1+2)n

-1]= 2

1(3n -1). 点评 导数定义中的“增量Δx ”有多种形式，可以为正也可以为负，如

x

m x f x m x f x ∆--∆-→∆-)()(000

lim

，且其定义形式可以是

x

m x f x m x f x ∆--∆-→∆)

()(000

lim

，也可以是

00

)()(lim

x x x f x f x --→∆（令Δx =x -x 0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关

知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖.

【例3】 如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加，则圆半径R =10 cm 时，圆面积增加的速度是 .

解 ∵S =πR 2，而R =R (t )，t R '=2 cm/s ，∴t S '=t R )π

(2'=2πR ·t R '=4πR ，

∴t S '/R =10=4πR/R =10=40π cm 2

/s.

点评 R 是t 的函数，而圆面积增加的速度是相当于时间t 而言的（R 是中间变量），此题易出现“∵S =πR 2

，S ＇=2πR ，S ＇/R =10=20π cm 2

/s ”的错误.本题考查导数的物理意义及复合函数求导法则，须注意导数的物理意义是距离对时间的变化率，它是表示瞬时速度，因速度是向量，故变化率可以为负值.2004年高考湖北卷理科第16题是一道与实际问题结合考查导数物理意义的填空题，据资料反映：许多考生在求出距离对时间的变化率是负值后，却在写出答案时居然将其中的负号舍去，以致痛失4分.

二、与曲线的切线有关的问题

【例4】 以正弦曲线y =sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是

A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π,

0∪⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,4π3 B. []π,0 C.⎥⎦

⎤⎢⎣⎡4π3,4π D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π,0∪⎥⎦⎤

⎢⎣⎡4π3,2π 解 设过曲线y =sin x 上点P 的切线斜率角为α，由题意知，tan α=y ＇=cos x . ∵cos x ∈[-1，1]， ∴tan α∈[-1，1]，又α∈[)π,0，∴α∈⎥⎦

⎤⎢⎣⎡4π,0∪⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡π,4

π3.

故选A.

点评 函数y =f (x )在点x 0处的导数f ＇(x 0)表示曲线，y =f (x )在点（x 0，f (x 0)）处的切线斜率，即k =tan α(α为切线的倾斜角)，这就是导数的几何意义.本题若不同时考虑正切函数的图像及直线倾斜角的范围，极易出错.

【例5】 曲线y =x 3

-ax 2

的切线通过点（0，1），且过点（0，1）的切线有两条，求实数a 的值.

解 ∵点（0，1）不在曲线上，∴可设切点为（m ,m 3

-am 2

）.而y ＇=3x 2

-2ax ， ∴k 切=3m 3

-2am ，则切线方程为y =(3m 3

-2am )x -2m 3

-am 2. ∵切线过（0，1），∴2m 3

-am 2

+1=0.(*)

设（*）式左边为f (m )，∴f (m )=0，由过（0，1）点的切线有2条，可知f (m )=0有两个实数解，其等价于“f (m )有极值，且极大值乘以极小值等于0，且a ≠0”.

由f (m )=2m 3

-am 2

+1，得f ＇(m )= 6m 3

-am 2

=2m (3m -a )，令f ＇(m )=0，得m =0，m =3

a

， ∴a ≠0，f (0)·f (

3a )=0，即a ≠0，-27

1a 3

+1=0，∴a =3.

点评 本题解答关键是把“切线有2条”的“形”转化为“方程有2个不同实根”的“数”，即数形结合，然后把三次方程（*）有两个不同实根予以转化.三次方程有三个不同实根等价于“极大值大于0，且极小值小于0”.另外，对于求过某点的曲线的切线，应注意此点是否在曲线上.

三、与函数的单调性、最（极）值有关的问题

【例6】以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是

A.①、②

B.①、③

C.③、④

D.①、④

解由题意知导函数的图像是抛物线.导函数的值大于0，原函数在该区间为增函数；导函数的值小于0，原函数在该区间为减函数，而此抛物线与x轴的交点即是函数的极值点，把极值点左、右导数值的正负与三次函数在极值点左右的递增递减结合起来考虑，可知一定不正确的图形是③、④，故选C.

点评f＇(x)>0（或<0）只是函数f＇(x)在该区间单递增（或递减）的充分条件，可导函数f＇(x)在(a，b)上单调递增（或递减）的充要条件是：对任意x∈(a，b)，都有f＇(x)≥0(或≤0)且f＇(x)在(a，b)的任意子区间上都不恒为零.利用此充要条件可以方便地解决“已知函数的单调性，反过来确定函数解析式中的参数的值域范围”问题.本题考查函数的单调性可谓新颖别致.

【例7】函数y=f(x)定义在区间（-3，7）上，其导函数如图所示，则函数y=f(x)在区间（-3，7）上极小值的个数是个.

解如图，A、O、B、C、E这5个点是函数的极值点，

观察这5个极值点左、右导数的正、负，可知O点、C点

是极小值点，故在区间（-3，7）上函数y=f(x)的极小值

个数是2个.

点评导数f＇(x)=0的点不一定是函数y=f(x)的极值

点，如使f＇(x)=0的点的左、右的导数值异号，则是极值

点，其中左正右负点是极大值点，左负右正点是极小值点.本题考查函数的极值可以称得上是匠心独运.

【例8】设函数f(x)与数列{a n}满足关系：①a1>α，其中α是方程f(x)=x的实数根；

②a n+1=f(a n)，n∈N*；③f(x)的导数f＇(x)∈（0，1）.

（1）证明：a n>α，n∈N*；

（2）判断a n与a n+1的大小，并证明你的结论.

（1）证明：（数学归纳法）

当n=1时，由题意知a1>α，∴原式成立.

假设当n=k时，a k>α，成立.

∵f＇(x)>0，∴f(x)是单调递增函数.

∴a k+1= f (a k )> f (α)=α，（∵α是方程f (x )= x 的实数根） 即当n =k +1时，原式成立.

故对于任意自然数N *

，原式均成立.

（2）解：g (x )=x -f (x ),x ≥α，∴g ＇(x )=1-f ＇(x )，又∵0< f ＇(x )<1，∴g ＇(x )>0. ∴g ＇(x )在

[)+∞,α上是单调递增函数.

而g ＇(α)=α-f (α)=0，∴g ＇(x )>g (α) (x >α)，即x >f (x ). 又由（1）知，a n >α，∴a n >f (a n )=a n+1.

点评 本题是函数、方程、数列、导数等知识的自然链接，其中将导数知识融入数学归纳法，令人耳目一新.

四、与不等式有关的问题

【例9】 设x ≥0，比较A =xe -x

，B =lg(1+x )，C =

x

x +1的大小.

解 令f (x )=C -B=x

x +1-lg(1+x )，则f ＇(x )=

x

x x ++-+1)1(2)11(2>0，

∴f (x )为

[)+∞,0上的增函数，∴f (x )≥f (0)=0，∴C ≥B .

令g (x )=B -A =lg(1+x )-xe -x

，则当x ≥0时，g ＇(x )=x

x e x +---1)1(12≥0，

∴g (x )为[)+∞,0上的增函数，∴g (x )≥g (0)=0，∴B ≥A .

因此，C ≥B ≥A （x =0时等号成立）.

点评 运用导数比较两式大小或证明不等式，常用设辅助函数法，如f (a )=φ(a )，要证明当x >a 时，有f (a )=φ(a )，则只要设辅助函数F (x )= f (a )-φ(a )，然后证明F (x )在x >a 单调递减即可，并且这种设辅助函数法有时可使用多次，2004年全国卷Ⅱ的压轴题就考查了此知识点.

五、与实际应用问题有关的问题

【例10】 某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入

x 万元之间满足：①y 与(a -x )和x 2的乘积成正比；②当2

a x =

时，y =a 3

.并且技术改造投入比率：

)

(2x a x

-∈(]t ,0,其中t 为常数，且t ∈(]2,0.

（1）求y =f (x )的解析式及定义域；

（2）求出产品的增加值y 的最大值及相应的x 值. 解：（1）由已知，设y =f (x )=k (a -x )x 2

，

∵当2a x =时，y = a 3，即a 3=k ·2a ·4

2a ，∴k =8，则f (x )=8-(a -x )x 2.

∵0<

)

(2x a x

-≤t ，解得0

（2）∵f ＇(x )= -24x 2

+16ax =x (-24x +16a )，令f ＇(x )=0，则x =0（舍去），3

2a

x =

， 当00，此时f (x )在（0，32a

）上单调递增； 当x >32a 时，f ＇(x )<0，此时f (x )是单调递减.

∴当122+t at ≥32a 时，即1≤t ≤2时，y max =f (32a )=

3

27

32a ；

当122+t at <32a 时，即0

2

3)12(32+t t a . 综上，当1≤t ≤2时，投入

32a 万元，最大增加值是32732a ，当0

22+t at

万

元，最大增加值是3

2

3)

12(32+t t a . 点评 f ＇(x 0)=0，只是函数f (x )在x 0处有极值的必要条件，求实际问题的最值应先建立一个目标函数，并根据实际意义确定其定义域，然后根据问题的性质可以断定所建立的目标函数f (x )确有最大或最小值，并且一定在定义区间内取得，这时f (x )在定义区间内部又只有一个使f ＇(x 0)=0的点x 0，那么就不必判断x 0是否为极值点，取什么极值，可断定f (x 0)就是所求的最大或最小值.

导数经典练习题及答案

1．设函数f(x)在0x 处可导，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 等于 A ．)('0x f B ．)('0x f - C ．0'()f x - D ．0'()f x -- 2．若13)()2(lim 000 =?-?+→?x x f x x f x ，则)('0x f 等于 A ．32 B ．2 3 C ．3 D ．2 3．若函数f(x)的导数为f ′(x)=-sinx ，则函数图像在点（4，f （4））处的切线的倾斜角为 A ．90° B ．0° C ．锐角 D ．钝角 4．对任意x ，有34)('x x f =，f(1)=-1，则此函数为 A ．4)(x x f = B ．2)(4-=x x f C ．1)(4+=x x f D ．2)(4+=x x f 5．设f(x)在0x 处可导，下列式子中与)('0x f 相等的是 （1）x x x f x f x ??--→?2)2()(lim 000 ； （2）x x x f x x f x ??--?+→?) ()(lim 000； （3）x x x f x x f x ??+-?+→?)()2(lim 000 （4）x x x f x x f x ??--?+→?)2()(lim 000. A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（3） D ．（1）（2）（3）（4） 6．若函数f(x)在点0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点))(,(00x f x 处的切线程是___. 7．已知曲线x x y 1+ =，则==1|'x y _____________. 8．设3)('0-=x f ，则=---→h h x f h x f h ) 3()(lim 000 _____________. 9．在抛物线2x y =上依次取两点，它们的横坐标分别为11=x ，32=x ，若抛物

(完整版)导数习题+答案

一．解答题（共9小题） 1．已知a＞0，函数f（x）=lnx﹣ax2，x＞0． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β﹣α≥1，使f（α）=f（β），证明． 2．已知函数f（x）=xlnx﹣2x+a，其中a∈R． （1）求f（x）的单调区间； （2）若方程f（x）=0没有实根，求a的取值范围； （3）证明：ln1+2ln2+3ln3+…+nlnn＞（n﹣1）2，其中n≥2． 3．已知函数f（x）=axlnx（a≠0）． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和最值； （Ⅱ）若m＞0，n＞0，a＞0，证明：f（m）+f（n）+a（m+n）ln2≥f（m+n） 4．已知函数f（x）=2e x﹣x （1）求f（x）在区间[﹣1，m]（m＞﹣1）上的最小值； （2）求证：对时，恒有． 5．设a为实数，函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R． （1）求f（x）的单调区间及极值； （2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1． 6．已知函数f（x）=ln（x+2）﹣a（x+1）（a＞0）． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若x＞﹣2，证明：1﹣≤ln（x+2）≤x+1． 7．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x． （Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间； （Ⅱ）若x＞﹣1，证明：． 8．已知函数 （1）当a=1时，利用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，1]内是单调减函数； （2）当x∈（0，+∞）时f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围． 9．已知函数f（x）= （1）当a＜0，x∈[1，+∞）时，判断并证明函数f（x）的单调性 （2）若对于任意x∈[1，+∞），不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围． 参考答案与试题解析

导数练习题附答案

一、选择题(每题只有一个选项是正确的，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。) 1．某函数的导数为y′＝12(x－1)，那么这个函数可能是 () A．y＝ln1－x B．y＝ln11－x C．y＝ln(1－x) D．y＝ln11－x 2．(2021•江西)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，那么曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为 () A．4 B．－14 C．2 D．－12 3．(2021•辽宁)曲线y＝xx－2在点(1，－1)处的切线方程为 () A．y＝x－2 B．y＝－3x＋2 C．y＝2x－3 D．y＝－2x＋1 4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为 () A.94e2 B．2e2 C．e2 D.e22 5．函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是() 6．设y＝8x2－lnx，那么此函数在区间(0，14)和(12，1)内分别 () A．单调递增，单调递减 B．单调递增，单调递增 C．单调递减，单调递增 D．单调递减，单调递减 7．以下关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的选项是 () ①f(x)＞0的解集是{x|0＜x＜2}； ②f(－2)是极小值，f(2)是极大值； ③f(x)没有最小值，也没有最大值． A．①③ B．①②③C．② D．①② 8．f(x)＝－x3－x，x∈[m，n]，且f(m)•f(n)＜0，那么方程f(x)＝0在区间[m，n]上() A．至少有三个实根 B．至少有两个实根C．有且只有一个实根 D．无实根 9．函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，那么实数a的取值范围是() A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6 C．a＜－3或a＞6 D．a＜－1或a＞2 10．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，其高应为 () A.2033cm B．100cm C．20cm D.203cm 11．(2021•河南省实验中学)假设函数f(x)＝(2－m)xx2＋m的图象如下图，那么m的范围为 () A．(－∞，－1) B．(－1,2) C．(1,2) D．(0,2) 12．定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝1.f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如下图．假设两正数a，b满足f(2a＋b)＜1，那么b＋2a＋2的取值范围是 () A．(13，12) B．(－∞，12)∪(3，＋∞)C．(12，3) D．(－∞，－3) 二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。) 13．(2021•武汉模拟)函数y＝xln(－x)－1的单调减区间是________． 14．函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，那么M－m ＝________. 15．(2021•南京一调)函数f(x)＝ax－x4，x∈[12，1]，A、B是其图象上不同的两点．假设

导数典型例题含答案

1. 已知函数2 ()= (1)x a f x x --，(1,)x ? ． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)函数()f x 在区间[2,)+ 上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． 解：（I ）4 (1)(21) ()(1)x x a f x x --+-'= -，(1,)x ∈+∞. 由()0f x '=，得11x =，或221x a =-. ①当211a -≤，即1a ≤时，在(1,)+∞上，()0f x '<，()f x 单调递减； ②当211a ->，即1a >时，在(1,21)a -上，()0f x '>，()f x 单调递增，在(21,)a -+∞上， ()0f x '<，()f x 单调递减。 综上所述：1a ≤时，()f x 的减区间为(1,)+∞； 1a >时，()f x 的增区间为(1,21)a -，()f x 的减区间为(21,)a -+∞。 （II ）（1）当1a ≤时，由（I ）()f x 在[2,)+∞上单调递减，不存在最小值； （2）当1a >时， 若212a -≤，即3 2 a ≤时，()f x 在[2,)+∞上单调递减，不存在最小值； 若212a ->，即3 2 a >时，()f x 在[2,21)a -上单调递增，在(21,)a -+∞上单调递减， 因为2 1 (21)0(22)a f a a --= >-，且当21x a >-时，10x a a ->->，所以21x a ≥-时， ()0f x >。 又因为(2)2f a =-，所以当20a -≤，即2a ≥时，()f x 有最小值2a -；20a ->，即3 22 a <<时， ()f x 没有最小值。 综上所述：当2a ≥时，()f x 有最小值2a -；当2a <时，()f x 没有最小值。 2. 已知函数()ln f x ax x =-，()e 3ax g x x =+，其中a ∈R ． （Ⅰ）求)(x f 的极值；

导数练习题及答案

章末检测 一、选择题 1．已知曲线y＝x2＋2x－2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是( ) A．(－1,3) B．(－1，－3) C．(－2，－3) D．(－2,3) 答案 B 解析∵f′(x)＝2x＋2＝0，∴x＝－1. f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3.∴M(－1，－3)． 2．函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为( ) A．(－∞，－1)及(0,1) B．(－1,0)及(1，＋∞) C．(－1,1) D．(－∞，－1)及(1，＋∞) 答案 A 解析y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0得x的范围为(－∞，－1)∪(0,1)，故选A. 3．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，在x＝－3时取得极值，则a等于( ) A．2 B．3 C．4 D．5 答案 D 解析f′(x)＝3x2＋2ax＋3.由f(x)在x＝－3时取得极值， 即f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5. 4．函数y＝ln 1 |x＋1| 的大致图象为( )

答案 D 解析 函数的图象关于x ＝－1对称，排除A 、C ，当x ＞－1时，y ＝－ln(x ＋1)为减函数，故选D. 5．二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象过第一、二、三象限的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点所在象限是( ) A ．第一 B ．第二 C ．第三 D ．第四 答案 C 解析 ∵y ＝f ′(x )的图象过第一、二、三象限，故二次函数y ＝f (x )的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧，又因为其图象过原点，故顶点在第三象限． 6．已知函数f (x )＝－x 3 ＋ax 2 －x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．[－3，3] C ．(3，＋∞) D ．(－3，3) 答案 B 解析 f ′(x )＝－3x 2 ＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)恒成立，Δ＝4a 2 －12≤0⇒－3≤a ≤ 3. 7．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．ln 2 C.ln 22 D ．e 答案 D 解析 f ′(x )＝x ·(ln x )′＋(x )′·ln x ＝1＋ln x . ∴f ′(x 0)＝1＋ln x 0＝2， ∴ln x 0＝1，

初中数学导数题型汇编(含答案)--

重难点突破 | 导数题型汇编 角度一：导数的概念及运算 【例题1】 知函数f (x ＋1)＝2x ＋1 x ＋1 ，则曲线y =f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为 【解析】由f (x ＋1)＝2x ＋1x ＋1 ，知f (x )＝2x －1x ＝2－1 x ∴f ′(x )＝1 x 2，∴f ′(1)＝1，由导数的几何意义知，所求切线的斜率k ＝1 【变式1】 已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线， 令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝ . 【解析】由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－1 3. ∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－1 3＝0. 【变式2】 函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )图象可能是( ) 【解析】设导函数y ＝f ′(x )与x 轴交点的横坐标从左往右依次为x 1，x 2，x 3， 由导函数y ＝f ′(x )的图象易得当x ∈(－∞，x 1)∪(x 2，x 3)时，f ′(x )<0； 当x ∈(x 1，x 2)∪(x 3，＋∞)时，f ′(x )>0(其中x 1<00，得到单调递增区间．(4)解不等式f ′(x )<0，得到单调递减区间． 【解析】f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .

(完整版)导数大题练习带答案

导数解答题练习 1．已知f (x )＝x ln x －ax ，g (x )＝－x 2－2， (Ⅰ)对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)当a ＝－1时，求函数f (x )在[m ，m ＋3](m ＞0)上的最值； (Ⅲ)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＋1＞ex e x 2 1-成立． 2、已知函数2 ()ln 2(0)f x a x a x = +->. （Ⅰ）若曲线y =f (x )在点P （1，f (1)）处的切线与直线y =x +2垂直，求函数y =f (x )的单调区间； （Ⅱ）若对于(0,)x ∀∈+∞都有f (x )＞2(a ―1)成立，试求a 的取值范围； （Ⅲ）记g (x )=f (x )+x ―b （b ∈R ）.当a =1时，函数g (x )在区间[e ― 1，e]上有两个零点，求实数b 的取值范围. 3、设函数f (x )=ln x +(x －a )2，a ∈R . （Ⅰ）若a =0，求函数f (x )在[1，e]上的最小值； （Ⅱ）若函数f (x )在1[,2]2 上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求函数f (x )的极值点.

4、已知函数2 1()(21)2ln ()2 f x ax a x x a = -++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间； (Ⅲ)设2 ()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围. 5、已知函数1ln ()x f x x += ． (1)若函数在区间1 (,)2 a a + (其中0a >)上存在极值，求实数a 的取值范围； (2)如果当1x ≥时，不等式()1 k f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围．

导数的概念经典例题

经典例题透析 类型一：求函数的平均变化率 例1、求2 21y x =+在0x 到0x x +?之间的平均变化率，并求01x =，1 2 x ?=时平均变化率的值. 思路点拨: 求函数的平均变化率，要紧扣定义式 00()() f x x f x y x x +?-?= ??进行操作. 解析：当变量从0x 变到0x x +?时，函数的平均变化率为 22 0000()()[2()1][21] f x x f x x x x x x +?-+?+-+= ??042x x =+? 当01x =，12x ?= 时，平均变化率的值为：1 41252 ?+?=. 总结升华：解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的概念，只要求出平均变化率的表达式，其他就迎刃 而解. 举一反三： 【变式1】求函数y=5x 2 +6在区间[2，2+x ?]内的平均变化率。 【答案】2 2 2 5(2)6(526)205y x x x ?=+?+-?+=?+?， 所以平均变化率为 205y x x ?=+??。 【变式2】已知函数2 ()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，]； （4）[1，]. 【答案】（1）4；（2）3；（3）；（4）. 【变式3】自由落体运动的运动方程为2 12 s gt =，计算t 从3s 到， ，各段内的平均速度（位移s 的单位为m ）。 【答案】要求平均速度，就是求 s t ??的值，为此需求出s ?、t ?。 设在[3，]内的平均速度为v 1，则 1 3.130.1(s)t ?=-=， 22111 (3.1)(3) 3.130.305(m)22 s s s g g g ?=-= ?-?=。 所以1110.305 3.05(m / s)0.1s g v g t ?= ==?。 同理2220.03005 3.005(m / s)0.01 s g v g t ?= ==?。

导数练习题(含答案)

导数概念及其几何意义、导数的运算 一、选择题： 1 已知32 ()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于 A 193 B 103 C 16 3 D 133 2 已知直线1y kx =+与曲线3 y x ax b =++切于点（1，3），则b 的值为 A 3 B -3 C 5 D -5 3 函数2y x a a = +2 （）(x-)的导数为 A 222()x a - B 223()x a + C 223()x a - D 22 2()x a + 4 曲线313y x x =+在点4 (1,)3 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A 1 9 B 29 C 13 D 2 3 5 已知二次函数2 y ax bx c =++的导数为(),(0)0f x f ''>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1) (0) f f '的最小值为 A 3 B 52 C 2 D 32 6 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B ()2(1)f x x =- C 2()2(1)f x x =- D ()1f x x =- 7 下列求导数运算正确的是 A 211()1x x x '+=+ B 21 (log )ln 2 x x '= C 3(3)3log x x e '=⋅ D 2 (cos )2sin x x x x '=- 8 曲线32 153 y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为 A 6 π B 34π C 4π D 3 π 9 曲线3 2 31y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 A 34y x =- B 32y x =-+ C 43y x =-+ D 45y x =- 10 设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k ，若()k g x =，则函数()k g x =的图像大致为

导数练习题及答案

导数练习题及答案 导数练习题及答案 导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。以下是导数练习题及答案，欢迎阅读。 一、选择题 1．函数在某一点的导数是( ) A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比 B．一个函数 C．一个常数，不是变数 D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 [答案] C [解析] 由定义，f′(x0)是当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数，故应选C. 2．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为( ) A．6 B．18 C．54 D．81 [答案] B [解析] ∵s(t)＝3t2，t0＝3， ∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－332 ＝18Δt＋3(Δt)2∴ΔsΔt＝18＋3Δt. 当Δt→0时，ΔsΔt→18，故应选B. 3．y＝x2在x＝1处的导数为( ) A．2x B．2 C．2＋Δx D．1 [答案] B [解析] ∵f(x)＝x2，x＝1， ∴Δy＝f(1＋Δx)2－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2Δx＋(Δx)2 ∴ΔyΔx＝2＋Δx

当Δx→0时，ΔyΔx→2 ∴f′(1)＝2，故应选B. 4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝4t2－3(s(t)的单位：m，t的单位：s)，则t＝5时的`瞬时速度为( ) A．37 B．38 C．39 D．40 [答案] D [解析] ∵ΔsΔt＝4(5＋Δt)2－3－4×52＋3Δt＝40＋4Δt， ∴s′(5)＝limΔt→0 ΔsΔt＝limΔt→0 (40＋4Δt)＝40.故应选D. 5．已知函数y＝f(x)，那么下列说法错误的是( ) A．Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫做函数值的增量 B.ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx叫做函数在x0到x0＋Δx之间的平均变化率 C．f(x)在x0处的导数记为y′ D．f(x)在x0处的导数记为f′(x0) [答案] C [解析] 由导数的定义可知C错误．故应选C. 6．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为y′|x＝x0，即( ) A．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0) B．f′(x0)＝limΔx→0[f(x0＋Δx)－f(x0)] C．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx D．f′(x0)＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx [答案] D [解析] 由导数的定义知D正确．故应选D. 7．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)在x＝2时的瞬时变化率等于( ) A．4a B．2a＋b C．b D．4a＋b [答案] D [解析] ∵ΔyΔx＝a(2＋Δx)2＋b(2＋Δx)＋c－4a－2b－cΔx

2.2导数的概念及其几何意义（讲义+典型例题+小练）（解析版）

2.2导数的概念及其几何意义（讲义+典型例题+小练） 一．导数的定义： 0000000()()()'()'|lim ()() ()'()'lim x x x x f x x f x y f x x x f x y x f x x f x y f x f x y x =∆→∆→+∆-====∆+∆-===∆1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数: 2.利用定义求导数的步骤： ①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率： 00()() f x x f x y x x +∆-∆= ∆∆； ③取极限得导数：00'()lim x y f x x ∆→∆=∆ 例1：1．设()() 22lim 2x f x f x x ∆→+∆--∆=-∆，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线 的倾斜角是（ ） A ． 4 π B ． 3 π C ． 34 π D ． 23 π 【答案】C 【分析】 根据导数的概念可得()21f '=-，再利用导数的几何意义即可求解. 【详解】 因为()() ()0 22lim 222x f x f x f x ∆→+∆--∆'==-∆， 所以()21f '=-，则曲线()y f x =在点()() 22f ,处的切线斜率为1-， 故所求切线的倾斜角为34 π. 故选：C 2．已知函数()y f x =在0x x =处的导数为1，则()() 000 lim 2x f x x f x x ∆→+∆-=∆（ ） A ．0 B ． 12 C ．1 D ．2

【分析】 由已知结合导数的定义即可直接求解. 【详解】 解：因为函数()y f x =在0x x =处的导数为1， 则()()()()()000000 0111 lim lim 2222 x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆. 故选：B . 【点睛】 本题考查导数的概念，涉及极限的性质，属于基础题． 举一反三： 1．设()f x 是可导函数，且()() 000 lim 2x f x x f x x ∆→+∆-=-∆，则0()f x '=（ ） A ．2 B ．1- C ．1 D ．2- 【答案】D 【分析】 由导数的定义可得()() 0000 lim ()x f x f x f x x x ∆→+-'=∆∆，即可得答案． 【详解】 根据题意，()() 0000 lim ()2x f x f x f x x x ∆→∆+-'==-∆， 故0()2f x '=-. 故选：D ． 【点睛】 本题考查导数的定义，属于基础题． 2．若()02f x '=，则()() 000 lim 2h f x h f x h →+-=______． 【答案】1 【解析】 【分析】 根据导数的几何定义即可计算.

导数历届高考试题精选含答案

导数高考试题精选 一．选择题（共16小题） 1．（2013•河东区二模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（） A．3B．2C．1D． 2．（2012•汕头一模）设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（） A．1B．C．D．﹣1 3．（2011•烟台一模）设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（） A．2B．C．D．﹣2 4．（2010•泸州二模）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A．B．C．D． 5．（2010•辽宁）已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（） A． [0，） B．C．D． 6．（2010•江西模拟）曲线y=x3﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（） A．30°B．45°C．60°D．120°7．（2009•辽宁）曲线y=在点（1，﹣1）处的切线方程为（） A．y=x﹣2 B．y=﹣3x+2 C．y=2x﹣3 D．y=﹣2x+1 8．（2009•江西）若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和都相切，则a等于（） A． ﹣1或B． ﹣1或 C． 或 D． 或7 9．（2006•四川）曲线y=4x﹣x3在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是（） A．y=7x+4 B．y=7x+2 C．y=x﹣4 D．y=x﹣2 10．（2012•海口模拟）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有 ＞2恒成立，则a的取值范围是（） A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）

11．（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，x n，使得=…=，则n的取值范围是（） A．{3，4} B．{2，3，4} C．{3，4，5} D．{2，3} 12．（2010•沈阳模拟）如图一圆锥形容器，底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3升的速度注入容器内，则注入水的高度在分钟时的瞬时变化率（）（注：π≈3.1） A．27分米/分钟B．9分米/分钟C．81分米/分钟D．分米/分钟 13．若函数f（x）=2x2﹣1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+△x，1+△y），则等于（） A．4B．4x C．4+2△x D．4+2△x2 14．如果f（x）为偶函数，且f（x）导数存在，则f′（0）的值为（） A．2B．1C．0D．﹣1 15．设f（x）是可导函数，且=（） A．﹣4 B．﹣1 C．0D． 16．若f′（x0）=2，则等于（） A．﹣1 B．﹣2 C． D． ﹣ y 在点)8,2(处的切线方程为（）． 17．曲线3x

导数的运算专题含答案

导数的运算专题含答案 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 1. 已知函数f(x)=x3−f′(1)x2+2，则f(2)=（） A.−2 B.1 C.6 D.14 2. 已知函数f(x)=x2+ln x，则f′(1)=（） A.3 B.4 C.1 D.7 3. 下列求导运算不正确的是（） A.(x2)′=2x B.(e x+ln3)′=e x+1 3 C.(3x)′=3x ln3 D.(sin x)′=cos x 4. 若函数f(x)=x2+sin x，则f′(0)=（） A.−1 B.0 C.1 D.3 5. 某运动物体的位移s（单位：米）关于时间t（单位：秒）的函数关系式为s=2t2−1，则该物体在t=1秒时的瞬时速度为() A.1米/秒 B.2米/秒 C.3米/秒 D.4米/秒 6. 已知函数f(x)=sin(2x−π 6)，则f′(π 6 )=( ) A.1 2 B.1 C.√3 D.√3 2 7. 函数f(x)=x3−2x2−3的导数( ) A.f′(x)=3x2−4x B.f′(x)=3x2−4x−3 C.f′(x)=3x2−2x D.f′(x)=3x2−2x−3 8. 记函数f(x)的导函数为f′(x)．若f(x)=e x sin x，则f′(0)=( ) A.1 B.0 C.−1 D.2 9. 记函数f(x)的导函数为f′(x)．若f(x)=e x sin2x，则f′(0)=（）

A.2 B.1 C.0 D.−1 10. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(e)+ln x（其中e为自然对数的 底数），则f′(e)=() A.e B.−1 C.−e−1 D.−e 11. 已知f(x)为二次函数，且f(x)=x2+f′(x)−1，则f(x)=( ) A.x2−2x+1 B.x2+2x+1 C.2x2−2x+1 D.2x2+2x−1 12. 若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′(1)=2，则f′(−1)=() A.−1 B.−2 C.2 D.0 13. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(1)+ln x，则f′(1)=（） A.−1 B.−1 2 C.1 D.e 14. 已知函数f(x)=ax−b x2+c (a≠0)是定义在R上的奇函数，x=1是f(x)的一个极大值点，且f(1)=1，则f(x)=（） A.2x x2+1 B.3x x2+2 C.−x x2−2 D.2x−1 x2 15. 已知函数f(x)=x2+2x−xe x，则f′(0)=（） A.1 B.0 C.−1 D.2 16. 设y=e3，则y′=（） A.3e2 B.0 C.e2 D.e3 17. 已知函数y=f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(1)+ln x，则曲线在点P(1,f(1))处的切线的斜率等于（） A.−e B.−1 C.1 D.e 18. f(x)=x2+2xf′(1)，则f′(1)=________. 19. 设函数f(x)=x3+ax+3，f′(1)=5，则实数a=________.

导数经典练习题及答案

导数经典练习题及答案

1．设函数f(x)在0x 处可导，则x x f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim 000等于 A ．)('0x f B ．)('0x f - C ．0'()f x - D ．0'()f x -- 2．若13)()2(lim 000 =∆-∆+→∆x x f x x f x ，则)('0x f 等于 A ．32 B ．23 C ．3 D ．2 3．若函数f(x)的导数为f ′(x)=-sinx ，则函数图像在点（4，f （4））处的切线的倾斜角为 A ．90° B ．0° C ．锐角 D ．钝角 4．对任意x ，有34)('x x f =，f(1)=-1，则此函数为 A ．4)(x x f = B ．2)(4-=x x f C ．1)(4+=x x f D ．2)(4+=x x f 5．设f(x)在0x 处可导，下列式子中与)('0x f 相等的是 （1）x x x f x f x ∆∆--→∆2)2()(lim 000； （2）x x x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim 000； （3）x x x f x x f x ∆∆+-∆+→∆)()2(lim 000 （4）x x x f x x f x ∆∆--∆+→∆)2()(lim 000. A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（3） D ．（1）（2）（3）（4） 6．若函数f(x)在点0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点))(,(00x f x 处的切线方程是___. 7．已知曲线x x y 1 +=，则==1|'x y _____________. 8．设3)('0-=x f ，则=---→h h x f h x f h )3()(lim 000 _____________. 9．在抛物线2x y =上依次取两点，它们的横坐标分别为11=x ，32=x ，若抛物

导数典型例题(含答案)

导数典型例题 导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题 【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 A.0 B.1002 C.200 D.100！ 解法一 f ＇(0)=x f x f x ∆-∆+→∆) 0()0(lim = x x x x x ∆--∆-∆-∆∆→∆0 )100()2)(1(lim =lim 0 →∆x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=（-1）（-2）…（-100）=100！ ∴选D. 解法二 设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100+…+ a 1x +a 0，则f ＇(0)= a 1，而a 1=（-1）（-2）…（-100）=100！. ∴选D. 点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解. 【例2】 已知函数f (x )=n n n k k n n n n x c n x c k x c x c c 1121221 +++++ + ，n ∈N *，则 x x f x f x ∆∆--∆+→∆) 2()22(lim = . 解 ∵ x x f x f x ∆∆--∆+→∆) 2()22(lim =2x f x f x ∆-∆+→∆2) 2()22(lim + []x f x f x ∆--∆-+→∆-) 2()(2lim =2f ＇(2)+ f ＇(2)=3 f ＇(2)， 又∵f ＇(x )=1121 --+++++n n n k k n n n x c x c x c c ， ∴f ＇(2)= 21（2n n n k n k n n c c c c 222221+++++ ）=21[(1+2)n -1]= 2 1(3n -1). 点评 导数定义中的“增量Δx ”有多种形式，可以为正也可以为负，如 x m x f x m x f x ∆--∆-→∆-)()(000 lim ，且其定义形式可以是 x m x f x m x f x ∆--∆-→∆) ()(000 lim ，也可以是 00 )()(lim x x x f x f x --→∆（令Δx =x -x 0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关 知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖. 【例3】 如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加，则圆半径R =10 cm 时，圆面积增加的速度是 .