稳态误差分析

3-7 稳态误差分析

控制系统在输入信号作用下，其输出信号中将含有两个分量。其中一个分量是暂态分量。它反映控制系统的动态性能，是控制系统的重要特性之一。对于稳定的系统，暂态分量随着时间的增长而逐渐消失，最终将趋于零。另一个分量称为稳态分量。它反映控制系统跟踪输入信号或抑制扰动信号的能力和准确度，它是控制系统的另一个重要特性。对于稳定的系统来说，稳态性能的优劣一般是根据系统反应某些典型输入信号的稳态误差来评价的。因此，本节着重建立有关稳态误差的概念。

一、误差和稳态误差

设)(s C r 是控制系统输出(被控量)的希望值，)(s C 是控制系统的实际输出值。我们定义系统输出的希望值与输出的实际值之差为控制系统的误差，记作)(s E ,即

)()()(s C s C s E r -= （3-40）

对于如图3－36(a)所示单位反馈系统，输出的希望值就是系统的输入信号。因此，系统的误差为

)()()(s C s R s E -= （3-40a ）

可见， 单位反馈系统的误差就是偏差)(s ε。 但对于如 图 3－36(b)所示的非单位反馈系统，输出的希望值与输入信号之间存在一个给定的函数关系。这是因为，系统反馈传递函数)(s H ，通常是系统输出量反馈到输入端的测量变换关系。因此，在一般情况下，系统输出的希望值与输入之间的关 系为)

()()(s H s R s C r =，所以系统误差为 )()(

)(1)(s C s R s H s E -=

(3-40b) 显然，在非单位反馈系统中，误差与偏差是有差别的。由图

3-36(b)和式(3-40b)不难看出，它们之间存在如下简单关系

)()

(1)(s s H s E ε= (3-40c) 所谓稳态误差，是指系统在趋于稳态后的输出希望值

)(∞r c 和实际输出的稳态值)(∞c 之差，即

)()(∞-∞=c c e r ss

下面举二个例子说明稳态误差究竟是如何产生的?它与

哪些因素有关?

1．随动系统如图1-7所示随动系统，要求输出角c θ以一定精度跟踪输入角r θ，显然这时输出的希望值就是系统的输入角度。故这个随动系统的偏差就是系统的误差。

若系统在平衡状态下，c r θθ=，即0=-=c r e θθθ，0=e u ，电机不转。假定在0=t 时，输

入轴突然转过某一角度r θ,如图3-37(a)所示。由于系统有“惯性”，输出不可能立即跟上输入r θ，于是出现误差，此时0≠-=c r e θθθ，相应的0≠e u ，电机就要开始转动，使输出轴跟随输入轴转动，直到r c θθ=,0=e θ，0=e u 时为止。此时电机停止转动，系统进入新的平衡状态。可见，在这种情况下，系统将不产生稳态误差。如图3-37(a)所示。

假定输入轴作等速转动(斜坡输入)，如图3-37(b)所示。显然，这时输出轴仍将跟随输入轴转动。

而且，当瞬态过程结束，系统进入新的稳态后，输出轴的转速将等于输入轴的转速，即r

c θθ =,但是r c θθ≠，即0≠e θ，如图3-37（b ）中所示。原因如下：要电机作等速转动，就一定要求其输入端有一定的电压u ，因此放大器的输入电压e u 也必不为零，所以e θ也就不为零。其次，假如输入速度增加(其余情况保持不变)，那么维持电机转动的电压亦应增加，因此相应的e u 和e θ也增加（图3-37（c ））。由此可知，稳态误差将随着输入轴转速的增加而加大。

最后，如增大放大器的放大系数，那么同样大小的u 值所需要的e u 值就小，对应的e θ也就小了。因此，稳态误差随着放大系数的增大而减小。

由此可见，对这样一个随动系统，系统的稳态误差和外作用的形式、大小有关，也与系统的结构参量（开环放大系数）有关。

2．电压自动控制系统 首先研究一个较

简单的电压控制系统，其原理图如图3－38所

示，要求控制发电机发出的电压保持某一恒值。

系统的控制信号为r u ，其大小等于被控制量u

的希望值。通常它是一个恒值，故此系统是一

个镇定系统。作用在系统上的干扰信号为负载

的变化。电压控制系统的误差是

)()()(t u t u t u r e -=

当系统稳态时，不论负载是否存在，输出电压u 总不等于零。要使u 不等于零，则发电机激磁电压j u 也不能为零，因此e u 总不为零。显然，系统处于稳态时(即负载不变) e u 为常值，即此系统的稳态误差不为零。

如何来减小或消除系统的稳态误差呢?一种方法是可以通过增加放大器的放大系数来减小稳态误差，但不能消除。另一种方法，可以改变系统结构来消除或减小稳态误差。如在图3-38系统中加入电机和电位器(给系统增添了积分环节)成为图1-2所示的电压控制系统。此系统在恒值负载的情况下稳态误差为零。

先看一下系统在空载时消除稳态误差的物理过程。假定r u u >,则0

系统带上恒值负载后情况如何呢?负载加入后使发电机的输出电压u 下降，因此u u r >，0>e u ，

e u 的出现就会重复上述过程，使电动机转动电刷增加激磁电压，直至r u u =时电机才停止转动，此时e u 回到零。可见，系统不论负载如何改变，在稳态时系统的稳态误差总为零。

综上所述，系统的稳态误差，不仅与外作用形式、大小有关，并且还与系统结构、结构参量有关。

二、单位反馈系统稳态误差的计算

误差本身是时间t 的函数，在时间域中以)(t e 表示。因此，控制系统稳态误差实质上是误差信号的稳态分量，即当时间t 趋于无穷时)(t e 的极限存在，则稳态误差为

)(lim t e e t ss ∞

→= 因此，可以利用终值定理求取系统的稳态误差，即

lim ()lim ()ss t s e e t sE s →∞→== (3-41) 这样计算稳态误差比求解系统的误差响应e(t)要简单得多。

终值定理使用条件是)(t e 的拉氏变换式)(s E 在［s ］平面的右半平面和虚轴上(坐标原点除外)必须解析，即)(s E 的全部极点都必须分布在［s ］平面的左半平面。

由上可知，利用终值定理求稳态误差，实质问题归结为求误差)(t e 的拉氏变换式)(s E 。

图3-39为一个单位反馈系统。由于单位反馈系统的误差与偏差相同，因此，其误差)(s E 直接可以从系统偏差传递函数)(s e Φ中得到，即

)

(11)()()()

()(s G s R s E s R s s e +===Φε 则有 )()

(11)(s R s G s E += (3-42) 1．利用终值定理可求得不同输入函数下的稳态误差

(1) 阶跃输入0)(R t r =·)(1t 时(0R 表示阶跃量大小的常值)， 则s R s R 0)(=

，由式(3-41)和(3-42)，得

00000

1lim ()lim 1()1lim ()ss s s s R R e sE s s G s s G s →→→===++ (3-43a) (2) 斜坡输入t V t r 0)(=·)(1t 时(0V 表示输入信号的速度)，则20)(s V s R =，由式(3-41)和(3-42)，

得

000

lim ()lim ()ss s s V e sE s G s →→== (3-43b) (3) 等加速输入20)(t a t r =·2)(1t (其中0a 为加速度)，则

30)(s

a s R =

由式(3-41)和(3-42)，得

020

lim ()ss s a e s G s →= (343c) 由式(3-43a ～c)可见，稳态误差与输入函数大小成正比。同时与系统开环传递函数)(s G 有关。我们定义

)(lim 0

s G K s p →= (3-44a) )(lim 0

s sG K s v →= (3-44b) )(lim 20

s G s K s a →= (3-44c) p K 、v K 和a K 分别称为位置、速度和加速度静态误差系数，统称为静态误差系数。用这些静态误差系数表示稳态误差，则有

p

ss K R e +=10 (3-45a) v

ss K V e 0= (3-45b) a ss K a e 0=

(3-45c) 因此，把相对应的稳态误差也分别称为位置、速度和加速度误差。但要注意：速度误差(或加速度误差)这个术语，是表示系统在斜坡输入(或加速度输入)作用时的稳态误差。当我们说，某系统速度(或加速度)误差ss e 为常值时，并不是指系统在到达稳态后，其输入与输出在速度(或加速度)上有一个固定的差值，而是说系统在斜坡(或加速度)输入作用下，到达稳态后，在位置上有一个固定的差值(误差)。图3-40中，清楚地显示了这一点。

由式(3-45a ～c)可知，p K 、v K 和a K 的大小，分别反映了系统在阶跃、斜坡和加速度输入作用下系统的稳态精度及跟踪典型输入信号的能力。静态误差系数越大，稳态误差越小，跟踪精度越高。

总之，静态误差系数p K 、v K 和a K 均是从系统本身的结构特征上体现了系统消除稳态误差的能力，它反映了系统跟踪典型输入信号的精度。

根据静态误差系数的定义可知，它们与系统开环传递函数)(s G

有关，因此稳态误差还与系统结

构形式及参数有关。

将)(s G 写成典型环节形式，即(2-52)式

)12()1()12()1()(21222122221++++++=s T s T s T s s s K s G v ξτξττ 对上式①

取 v

s s s K s G 00lim )(lim →→= 对照式(3-44a ～c)，清楚地表明，静态误差系数只与开环传递函数中的积分环节、放大系数有关，而与时间常数无关，为了能更方便地说明问题，根据系统开环传递函数中所包含积分环节的数目将控制系统分成不同类型：

当0=v 时，开环传递函数中无积分环节，称为零型系统。

当1=v 时，开环传递函数中有一个积分环节，称为一型系统。

当 ,3,2=v 时，开环传递函数中有二、三、…个积分环节，称为二型、三型、…等系统。

2．系统的类型和误差系数

(1) 零型系统(0=v )

K s

K s G K v s s p ===→→00lim )(lim 0lim 0==→v

s v s K s

K 0lim 2

0==→v s a s K s K 则有

K

R K R e p ss +=+=1100；∞==v ss K V e 0；∞==a ss K a e 0 可见零型系统，只有位置误差是有限值，速度和加速度误差均为无穷大。因此，在阶跃输入下，若系统允许存在一定的稳态误差时，可以采用零型系统。如果对阶跃输入，希望稳态误差为零，则零型系统无法满足要求。

(2) 一型系统(1=v )

则有

∞==→s

K K s p 0lim K s

K s K s v ==→0lim 0lim 20==→s

K s K s a 则有

①在上式所有典型环节中均不出现负项，由该特征的传递函数构成的系统，称为最小相位系统。有关这方面的内容参见

第五章

010=+=p

ss K R e ；K V K V e v ss 00==；∞==a ss K a e 0 显然，一型系统对阶跃输入是不存在稳态误差，而对斜坡输入有一定的常值稳态误差，对加速度输入以及更高阶次的输入稳态误差为无穷大。其曲线如图3-41所示。

(3) 二型系统(2v =)

则有

∞==→2

0lim

s K K s p ∞==→20lim s

K s K s v K s K s K s a ==→22

0lim 因此 010=+=p

ss K R e ；00==v ss K V e ；K a K a e a ss 00== 显然，二型系统对阶跃和斜坡输入的稳态误差都为零，而对加速度输入有稳态误差。a K 的大小反映系统跟踪等加速度输入信号的能力。a K 越大，稳态误差越小，精度越高。

在表3-3中，列出了最小相位系统的类型、静态误差系数及稳态误差与输入信号之间的关系。

由表可见：

(1) 在对角线上(如表中虚线所示)，静态误差系数均为系统开环增益K ；对角线以上的静态误差系数为零；对角线以下为无穷大。对应的稳态误差ss e 栏对角线上均为有限常值，且与系统开环增益成反比，与系统输入量大小成正比。而在稳态误差栏对角线以上ss e 为无穷大；在对角线以下为零。

这充分说明了，静态误差系数越大，稳态误差越小，系统跟踪输入信号的能力越强，跟踪精度越高。所以误差系数p K 、v K 和a K 均是系统本身从结构特征上体现了消除稳态误差的能力。

(2)0=v ，即零型系统，对三种典型输入均有差，故又称作有差系统。一型系统(1=v )，对阶跃输入信号为无差，而对斜坡和加速度输入为有差，故称一阶无差系统。二型系统(2=v )，对阶跃和斜坡输入均为无差，而对加速度输入为有差，故称二阶无差系统。可见，系统类型越高，系统稳态无差度越高。因此，从稳态准确度的要求上讲，积分

环节似乎越多越好，但这要受系统稳定性的限制。因

而实际系统一般不超过二个积分环节。

为什么在开环系统中串入积分环节能使有差系

统变成无差系统呢?这要从积分环节的输入输出特性

上得到解释。理想积分环节的输出等于输入对时间的

积分。如图3-42所示，当输入不为零时，输出将不

断变化。只有当输入为零时，输出才保持某一常值不

变。此常值为“不定值”，其具体数值由输入为零前

的工作情况所决定。由于积分环节的上述特性，即可

理解，为什么在开环传递函数中包含有串联积分环节时，在阶跃函数作用下就不会存在恒定的误差。同时，也可以说明，如果输入信号变化复杂，或者为正负交变的信号，那么积分环节再多也不解决问题了。

【例3-7】如图3-43所示系统，若已知输入信号2)(1)(2t

t t t r ++=。试求系统的稳态误差。

解 首先，判别系统的稳定性，系统闭环特征方程为 0)1()1(12=+++s K K T s m m τ

展开整理得 01123=+++m m m K K s K K s s T τ

根据代数判据，可知系统稳定的条件：0>i a ，即m T 、1K 、m K 和τ均应大于零；0)(3021>-a a a a ,即0)(11>-m m m T K K K K τ，因此要求m T >τ。

其次，根据计算稳态误差的公式，可以直接求出系统的稳态误差。

由图3－43可知，系统为单位反馈系统，系统的偏差即为误差；系统开环传递函数中有二个积分环节，即为二型系统。因此，由表3－3可知：

当输入)(1)(t t r =时，0=

ss e

当输入t t r =)(时， 0=ss e

当输入22

1)(t t r =时， m

a ss K K K e 111== 所以，系统在221)(1)(t t t t r +

+=输入下的稳态误差为 m

ss K K e 11= 应当指出：系统必须是稳定的，否则计算稳态误差没有意义。

三、非单位反馈系统稳态误差的计算

非单位反馈系统如图3-44所示。根据系统误差的定义式(3-40b)，即

)()()

(1)(s C s R s H s E -=

由于 )()

()(1)()(s R s H s G s G s C +=

因此 )()()(1)()(1)(s R s H s G s G s H s E ??

????+-= (3-46) 同样可利用终值定理计算稳态误差，则

)(lim 0

s sE e s ss →= )()()(1)()(1lim 0s R s H s G s G s H s s ??

????+-=→ (3-47) 假定系统输入信号为)(1)(t t r =，其单位为弧度；1.0)(=s H ；1

10)(+=

s s G ，将上述已知条件代入式(3-47)，求得非单位反馈系统在阶跃输入下的稳态误差 )(512101.01lim 0rad s s s e s ss =??

????+-=→ 当然，还可以利用误差与偏差之间的关系式(3-40c)

)()

(1)(s s H s E ε= 进行计算。首先计算出偏差，然后再换算成误差。仍以图3-44系统为例计算如下：

由图3-44得偏差信号的拉氏变换式

1()()()()1()()

s s R s R s G s H s εε=Φ=+

利用终值定理代入上述已知条件，计算稳态偏差

5.02

1lim )()()(11lim )(lim 000=++=+==→→→s s s R s H s G s s s e s s s εε 最后得系统稳态误差(已知1.0)(=s H )；)(51.0rad e e ss ε=

。 显然，二种计算方法结果是相同的。

四、干扰作用下的稳态误差

由于控制系统经常处于各种扰动作用之下，如负载的变动，电源电压波动及系统工作环境温度、湿度的变化等等。因此，系统在扰动作用下的稳态误差大小就反映了系统抗扰动的能力。在理想情况下，总希望系统对任何扰动作用的稳态误差为零。但实际上，这是不可能做到的。

对于扰动作用下的稳态误差，同样可以采

用终值定理计算。系统典型结构图如图3－45

所示。假定系统无输入作用，只有扰动N(s)作

用在系统上。这时，系统输出的希望值为零，

而实际输出值为

)()

()(1)()()()(212s N s G s G s G s N s s C n +=Φ=因此，扰动作用下系统的误差为 )()

()(1)()()(212s N s G s G s G s C s E n +-=-= 利用终值定理得 )()()(1)(lim )(lim 2120

0s N s G s G s G s s sE e s n s n +-==→→ (3-48) 假定图3-45所示系统中，已知

1)(111+=s T K s G ，)

1()(222+=s T s K s G 试求在阶跃干扰s

R s N 0)(=作用下系统的稳态误差。 将上述已知条件代入式(3-48)并整理得

1

021210120)1)(1()1(lim K R K K s T s T s R s T K e s n -=++++-=→ 由此可见：

(1) 系统的稳态误差不等于零，其大小随1K 的增加而减小。因此可通过增加1K 来减小扰动作用下的稳态误差。

(2) 稳态误差与干扰信号大小0R 成正比。

(3) 干扰的作用点改变后，由于干扰作用点到系统输出前向通路传递函数不同，因此稳态误差也就不同。所以稳态误差还与干扰的作用点有关。

下面我们讨论减小稳态误差的方法。如上所述，改变放大系数无疑是一种方法，但显然不能用无限增加放大系数1K 的方法使n e 趋于零，因为这样会导致系统的不稳定。

如前所述，对于输入信号)(t r 的稳态误差，可以在系统中串入积分环节来增加系统的无差度。对于干扰信号是否也成立呢?

设在图3-45系统中

)()(1011s G s K s G v =；)()(2022s G s K s G k

= 式中)(10s G 和)(20s G 中均为一阶、二阶的典型环节串联形式。将)(1s G 和)(2s G 代入式(3-48)并整理得

1

1

0)(lim K s N s e v s ss +→-= 若要使系统的稳态误差为零，则必须使

0)(lim 1

1

0=-=+→K s N s e v s ss 若s

R s N 0)(=，因此要使 0lim 1

00=-=→K R s e v

s ss 就必须1≥v 。就是说，如欲使系统在阶跃干扰作用下无稳态误差，则应在干扰作用点之前至少串入一个积分环节。

若t V t n 0)(=时，则2

0)(s V s N =，要使系统无稳态误差，)(1s G 中至少要有两个积分环节2=v 。 由上分析表明，)(1s G 为误差信号与干扰作用点之间的传递函数。因此，系统在典型干扰作用下的稳态误差与误差信号到干扰信号作用点之间的积分环节数目和放大系数大小有关，而与干扰作用点后面的积分环节数目及其放大系数大小无关。

若求系统在输入和扰动同时作用下的稳态误差，则应求系统分别在输入和扰动作用下的稳态误差之和。

自动控制系统的稳定性和稳态误差分析

实验三 自动控制系统的稳定性和稳态误差分析 一、实验目的 1、研究高阶系统的稳定性，验证稳定判据的正确性； 2、了解系统增益变化对系统稳定性的影响； 3、观察系统结构和稳态误差之间的关系。 二、实验任务 1、稳定性分析 欲判断系统的稳定性，只要求出系统的闭环极点即可，而系统的闭环极点就是闭环传递函数的分母多项式的根，可以利用MATLAB 中的tf2zp 函数求出系统的零极点，或者利用root 函数求分母多项式的根来确定系统的闭环极点，从而判断系统的稳定性。 （1）已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为 0.2( 2.5) ()(0.5)(0.7)(3) s G s s s s s += +++，用MATLAB 编写程序来判断闭环系统的稳定 性，并绘制闭环系统的零极点图。 在MATLAB 命令窗口写入程序代码如下： z= p=[0,,,-3] k= Go=zpk(z,p,k) Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) 运行结果如下： Transfer function: s + --------------------------------------- s^4 + s^3 + s^2 + s +

s^4 + s^3 + s^2 + s + 是系统的特征多项式，接着输入如下MATLAB程序代码： den=[1,,,,] p=roots(den) 运行结果如下： p = + - p为特征多项式dens的根，即为系统的闭环极点，所有闭环极点都是负的实部，因此闭环系统是稳定的。 下面绘制系统的零极点图，MATLAB程序代码如下： z= p=[0,,,-3] k= Go=zpk(z,p,k) Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) [z,p,k]=zpkdata(Gctf,'v') pzmap(Gctf) grid 运行结果如下： z = p = + -

计算机控制系统的稳态误差

计算机控制系统报告 --计算机控制系统的稳态误差 在计算机控制系统中存在稳态误差。怎样计算稳态误差呢？ 在连续系统中，稳态误差的计算可以通过两种方法计算：一是建立在拉氏变换中值定理基础上的计算方法，可以求出系统的终值误差；另一种是从系统误差传递函数出发的动态误差系数法，可以求出系统动态误差的稳态分量。 在离散系统中，根据连续系统稳态误差的两种计算方法,在一定的条件下可以推广到离散系统。又由于离散系统没有唯一的典型结构形式，离散系统的稳态误差需要针对不同形式的离散系统来求取。 书上主要介绍了利用z 变换的终值定理方法，求取误差采样的离散系统在采样瞬时的终值误差。 设单位反馈误差采样系统如图4.12所示。 图4.12 单位反馈误差采样反馈系统 系统误差脉冲传递函数为 （4.1） 若离散系统是稳定的，则可用z 变换的终值定理求出采样瞬时的终值误差 （4.2） Φ==+e ()1()()1()E z z R z G z )](1[)()1(lim )()1(lim )(lim )(1111*z G z R z z E z t e e z z t +-=-==∞-→-→∞ →

（4.2）式表明，线性定常离散系统的稳态误差，不但与系统本身的结构和参数有关，而且与输入序列的形式及幅值有关。除此之外，离散系统的稳态误差与采样系统的周期的选取也有关。上式只是计算单位反馈误差采样离散系统的基本公式，当开环脉冲传递函数G(z)比较复杂时，计算e(∞)仍然有一定的计算量，因此希望把线性定常连续系统中系统型别及静态误差系数的概念推广到线性定常离散系统，以简化稳态误差的计算过程。 在离散系统中，把开环脉冲传递函数G(z)具有z=1的极点数v 作为划分离散系统型别的标准，与连续系统类似地把G(z)中 v=0,1,2,…的系统，称为0型，Ⅰ型和Ⅱ型离散系统等。下面讨论不同类别的离散系统在三种典型输入信号作用下的稳态误差，并建立离散系统静态误差系数的概念。 1．单位阶跃输入时的稳态误差 对于单位阶跃输入r(t)=1(t)，其z 变换函数为 （4.3） 得单位阶跃输入响应的稳态误差 （4.4） 上式代表离散系统在采样瞬时的终值位置误差。式中 （4.5） 称为静态位置误差系数。若G(z)没有z=1的极点，则Kp ≠∞，从而e(∞)≠0；若G(z)有一个或一个以上z=1的极点，则Kp= ∞，从1 11)(--=z z R →∞==+1p 11()lim 1()z e G z K →=+p 1lim[1()]z K G z

基于Simulink控制系统的稳态误差分析

基于Simulink 控制系统的稳态误差分析 一、实验目的 1.掌握使用Simulink 仿真环境进行控制系统稳态误差分析的方法。 2.了解稳态误差分析的前提条件是系统处于稳定状态。 3.研究系统在不同典型输入信号作用下，稳态误差的变化。 4.分析系统在扰动输入作用下的稳态误差。 5.分析系统型次及开环增益对稳态误差的影响。 二、实验设备和仪器 1．计算机 2. MATLAB 软件 三、实验原理 1.误差的意义： a) 给定信号作用下的稳 态误差表征系统输出跟随输入信号的能力。 b) 系统经常处于各种扰动作用下。如：负载力矩的变化，电源电压和频率的波动，环境温度的变化等。因此系统在扰动作用下的稳态误差数值，反映了系统的抗干扰能力。 注意：系统只有在稳定的前提下，才能对稳态误差进行分析。 定义式法求稳态误差： 2. 给定信号作用下的误差 E 扰动信号作用下的误差()d E s R(s)是给定输入信号（简称给定信号） ；D(s)是扰动输入信号（简称扰动信号）；()()G s H s 是开环传递函数。 3. 静态误差系数法（只能用于求给定信号作用下误差） 这种简便的求解给定信号稳态误差 ssr e 的方法叫做静态误差系数法，首先给出系统在不同输入信号下的误差系数的定义： 当()0R R s s =时，定义静态位置误差 系数为：0 lim ()()p s K G s H s →= 当()0 2v R s s = 时，定义静态速度误差系数为：0lim ()()v s K s G s H s →=g 当()0 3a R s s =时，定义静态加速度误差系数为：20lim ( )()a s K s G s H s →=g 表5-1 给定信号作用下系统稳态误差e R

稳态误差的总结分析和例解

稳态误差的总结分析和例解 控制系统稳态误差是系统控制准确度的一种度量，通常称为稳态性能。只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义，对不能稳定的系统，根本不存在研究稳态误差的可能性。 一、 误差与稳态误差 1、输入端的定义： 对图一，比较输出得到： E(s)=R(s)-H(s)*Y(s) 称E(s)为误差信号，简称误差 图一 2、输出端的定义： 将图一转换为图二，便可定义输出端的稳态误差，并且与输入端的稳态误差有如下关系： E ’(s)=E(s)/H(s) 输入端定义法可测量实现，输出端定义法常无法测量，因此只有数学意义，以后在不做特别说明时，系统误差总是指输入端定义误差。 图二 再有误差的时域表达式： 也有： e(t)= [E(S)]= [Φe (s)*R(S)] 其中Φe (s)是误差传递函数，定义为： Φe (s)= = 根据拉氏变换终值定理，由上式求出稳态误差：(T j s+1) e ss (∞)= = 二、 系统类型 一般的，定义一个分子为m 阶次，分母为n 阶次的开环传递函数为： []1()()()() ts ss e t L E s e t e t -==+

G(S)H(S)= K为开环增益，ν表示系统类型数，ν=0，表示0型系统；ν=1表示Ⅰ型系统；当ν大于等于2时，除了符合系统外，想使得系统稳定相当困难。 四、阶跃输入下的e ss (∞)与静态位置误差系数Kp r(t)=R*1(t),则有：e ss (∞)= ν ν 用Kp表示静态位置误差系数：e ss (∞)==其中： Kp= 且有一般式子：Kp= ν∞ν 五、斜坡输入下的e ss (∞)与静态速度误差系数Kv r(t)=Rt,则有：e ss (∞)= ν 用Kv表示静态速度误差系数：e ss (∞)==其中： Kv= 六、加速度输入下的e ss (∞)与静态加速度误差系数Ka r(t)=Rt2/2,则有： e ss (∞)= ν、 用Kv表示静态速度误差系数： e ss (∞)== 其中： Kv= 且有： Ka= 、 七、扰动状况下的稳态误差 系统的模型如图三所示对扰动状况下的稳态误差仍然有输入端与输出端的两种定义： 图三

稳态误差分析

3-7 稳态误差分析 控制系统在输入信号作用下，其输出信号中将含有两个分量。其中一个分量是暂态分量。它反映控制系统的动态性能，是控制系统的重要特性之一。对于稳定的系统，暂态分量随着时间的增长而逐渐消失，最终将趋于零。另一个分量称为稳态分量。它反映控制系统跟踪输入信号或抑制扰动信号的能力和准确度，它是控制系统的另一个重要特性。对于稳定的系统来说，稳态性能的优劣一般是根据系统反应某些典型输入信号的稳态误差来评价的。因此，本节着重建立有关稳态误差的概念。 一、误差和稳态误差 设)(s C r 是控制系统输出(被控量)的希望值，)(s C 是控制系统的实际输出值。我们定义系统输出的希望值与输出的实际值之差为控制系统的误差，记作)(s E ,即 )()()(s C s C s E r -= （3-40） 对于如图3－36(a)所示单位反馈系统，输出的希望值就是系统的输入信号。因此，系统的误差为 )()()(s C s R s E -= （3-40a ） 可见， 单位反馈系统的误差就是偏差)(s ε。 但对于如 图 3－36(b)所示的非单位反馈系统，输出的希望值与输入信号之间存在一个给定的函数关系。这是因为，系统反馈传递函数)(s H ，通常是系统输出量反馈到输入端的测量变换关系。因此，在一般情况下，系统输出的希望值与输入之间的关 系为) ()()(s H s R s C r =，所以系统误差为 )()( )(1)(s C s R s H s E -= (3-40b) 显然，在非单位反馈系统中，误差与偏差是有差别的。由图 3-36(b)和式(3-40b)不难看出，它们之间存在如下简单关系 )() (1)(s s H s E ε= (3-40c) 所谓稳态误差，是指系统在趋于稳态后的输出希望值 )(∞r c 和实际输出的稳态值)(∞c 之差，即 )()(∞-∞=c c e r ss 下面举二个例子说明稳态误差究竟是如何产生的?它与 哪些因素有关? 1．随动系统如图1-7所示随动系统，要求输出角c θ以一定精度跟踪输入角r θ，显然这时输出的希望值就是系统的输入角度。故这个随动系统的偏差就是系统的误差。 若系统在平衡状态下，c r θθ=，即0=-=c r e θθθ，0=e u ，电机不转。假定在0=t 时，输

三、扰动稳态误差终值的计算

3.6.7、扰动稳态误差终值的计算 根据终值定理及式(3-81)、式(3-82)，式(3-84)、式(3-86), 扰动稳态误差的终值e sn 可由 下式计算： )()(lim )(lim )(lim 0 s s sN s sE t e e en s n s sn t sn φ-===→→∞ → ∏∏∏∏=--=++==→+++++-=m j j v n i i v m l j j q i i v s s K s s s s s K s sN 1 1 1 1 20 ) 1()1() 1()1() (lim τ ττ τμμ (3-105) 比较式(3-105)及(3-87)可见，)(s en φ的分母多项式与)(s ex φ一样，但)(s en φ的分子多项 式中只有v s 项，不象)(s ex φ的分子多项式中有μ +v s 项。它说明只是控制环节传递函数) (1s G 中串联积分环节的数目v 对系统扰动稳态误差有决定性影响。 一 阶跃扰动作用下的稳态误差 在单位阶跃扰动作用下 n t N s s (),()== 11 这时扰动稳态误差终值为 )(lim 0 s e en s sn φ→= (3-106) 二 斜坡扰动作用下的稳态误差 在单位斜坡扰动作用下 n t t N s s (),()==12 这时扰动稳态误差终值为 e s s sn s n =→lim ()01φ (3-107) 三 加速度扰动作用下的稳态误差 在单位加速度扰动作用下 n t t ()=122 N s s ()=13 这时扰动稳态误差终值为 e s s sn s n =→lim ()0 2 1 φ (3-108) 按式(3-105)、(3-106)、(3-107)及(3-108)计算求得的各型系统在不同扰动作用下的稳态误差终值汇总列于表3-2中。

控制系统的稳态误差

控制系统的稳态误差 控制系统的稳态误差 描述控制系统的微分方程 式（）是一个高阶微分方程，方程的解可以表示为 式中，前两项是方程的通解，而是方程的一个特解。随时间的增大，方程的通解逐渐减小，方程的解y(t)越来越接近特解。当时，方程的通解 趋于零 这时系统进入了稳定状态。特解是由输入量确定的，反映了控制的目标和要 求。系统进入稳态后，能否达到预期的控制目的，能否满足必要的控制精度，要解决这个问题，就必须对系统的稳态特性进行分析。稳态特性的性能指标就是稳态误差。 3.5.1 稳态误差 控制系统的误差可以表示为 式中是被控制变量的期望值，y(t)是被控制变量的实际值，即控制系统的输出。 稳定的控制系统，在输入变量的作用下，动态过程结束后，进入稳定状态的误差，称为稳态误差

图单位反馈和非单位反馈系统 （a)单位反馈系统；（b)非单位反馈系统 在控制工程中，常用控制系统的偏差信号来表示误差。对图（a)所示的单位反馈系统，误差与偏差的含义是相同的，即 式中r(t)为系统的给定值，也就是输出y(t)的期望值。单位反馈系统的稳态误差为: 对图（b)所示的非单位反馈系统，因为反馈变量f(t)并不与输出变量y(t)完全相同，所以给定值与反馈变量之差，即偏差并不是（）式意义上的误差。但如果反馈环 节H(s)不含有积分环节，在时，由于暂态项的消失，反馈量与输出量之间就只差一个比例系数我们认为反馈量可以代表输出量，于是，定义非单位反馈系统的误差为 式中r(t)是非单位反馈系统的给定值，f(t)是反馈信号。根据图（b)非单位反馈系统各环节间信号的关系，可得

如果把单位反馈系统看成是一般反馈系统的特殊情况，则（）式就被定义为控制系统误差的拉普拉斯变换表达式。根据拉普拉斯变换的终值定理得 即 式（）表明，控制系统的稳态误差不仅仅是由系统本身的特性决定的，还与输入函数有关。同一个系统在输入信号不同时，可能有不同的稳态误差。也就是说控制系统对不同的输入信号，控制精度是不同的。 3.5.2 积分环节对稳态误差的影响 式（）中的开环传递函数可以表示为 式中K表示系统的开环放大系数。N表示开环传递函数所包含的积分环节数。在分析控制系统的稳态误差时，我们根据系统开环传递函数所含的积分环节数来对系统进行分类。若N=0，即控制系统开环传递函数不含积分环节，称为0型系统。若N=I,则称为I型系统。N= Ⅱ,称为Ⅱ型系统。现在，我们来讨论不同类型的控制系统在典型输入信号作用下的稳态误差。 1. 单位阶跃函数输入下的稳态误差 单位阶跃函数输入下系统的稳态误差为

系统稳态误差分析

苏州市职业大学实训报告 院系 电子信息工程学院 班级 姓名 学号 实训名称 系统稳态误差分析 实训日期 一、实训目的 1、掌握终值定理求稳态误差的方法； 2、在不同输入信号作用下,观察稳态误差与系统结构参数、型别的关系； 3、比较干扰在不同的作用点所引起的稳态误差。 二、实训内容 1、给定信号输入作用下，系统的稳态误差分析。 已知控制系统的动态结构图如下所示，其中112()21G s K s =?+，24()0.41 G s s =+，反馈通道传递函数()1H s =。 （1)建立上述控制系统的仿真动态结构图；令开环增益为K1=1,分别对系统输入阶跃信号和斜坡信号，用示波器观察系统的响应曲线和误差响应曲线；并分别计算不同输入信号下的稳态误差值 ； （2)改变系统增益K1（自行选取增益值，如K1=10），用示波器观察系统的稳态误差曲线，计算稳态值，分析开环增益变化对稳态误差的影响。 如果前向通道中再串联一个积分环节，（增益值K1值同第三步），用示波器观察系统的响应曲线和误差响应曲线，计算稳态值，分析开环增益变化对稳态误差的影响。 建立如下图1所示的仿真结构图，令开环增益K1=1，输入单位阶跃信号，运行得到单位阶跃响应曲线和单位阶跃误差响应曲线（图2）： 图1 单位阶跃信号作用下，K1=1的系统结构图 第 1 页 共 8 页 指导教师签名

苏州市职业大学实训报告 院系电子信息工程学院班级姓名学号 实训名称系统稳态误差分析实训日期 图2 单位阶跃信号作用下，K1=1的仿真曲线 建立如下图3所示的仿真结构图，令开环增益K1=1，输入单位斜坡信号，运行得到单位斜坡响应曲线和单位斜坡误差响应曲线（图4）： 图3 单位斜坡信号作用下，K1=1的系统结构图 图4 单位斜坡信号作用下，K1=1的仿真曲线