历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

全国卷历年高考真题汇编-三角函数与解三角形

（2019全国2卷文）8．若x 1=4π，x 2=4

3π

是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．3

2

C ．1

D ．

1

2

答案：A

（2019全国2卷文）11．已知a ∈（0，

π

2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=

A ．15

B

C

D 答案：B

（2019全国2卷文）15.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 答案：4

3π

（2019全国1卷文）15．函数3π

()sin(2)3cos 2

f x x x =+-的最小值为___________． 答案：-4

（2019全国1卷文）7．tan255°=（ ）

A ．－2

B ．－

C ．2

D ．

答案：D

（2019全国1卷文）11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知

C c B b A a sin 4sin sin =- ，4

1cos -=A ，则b

c =（ ）

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

答案：A

（2019全国3卷理）

18．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin

sin 2

A C

a b A +=．

（1）求B ；

（2）若△ABC 为锐角三角形，且1c =，求△ABC 面积的取值范围．

（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2

A C

A B A +=． 因为sin 0A ≠，所以sin

sin 2

A C

B +=． 由180A B

C ++=?，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222

B B B

=．

因为cos 02

B ≠，故1

sin =22B ，因此60B =?．

（2）由题设及（1）知△ABC 的面积ABC S ?．

由正弦定理得sin sin(120)1

sin sin 2

c A c C a C C ?-=

==+． 由于△ABC 为锐角三角形，故090A ?<

由（1）知120A C +=?，所以3090C ?<

a <

因此，△ABC 面积的取值范围是

（2019全国2卷理）15．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若

π

6,2,3

b a

c B ===

，则ABC △的面积为_________． 答案：36

（2019全国2卷理）9．下列函数中，以2

π为周期且在区间(

4

π，

2

π)单调递增的是

A ．f (x )=│cos2x │

B ．f (x )=│sin2x │

C ．f (x )=cos│x │

D ．f (x )=sin │x │

答案：A

（2019全国2卷理）10．已知α∈(0，

2

π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=

A ．

15

B ．

5

C ．

3

D ．

5

答案：B

（2019全国1卷理）17.V ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设

22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．

（1）求A ；

（22b c +=，求sin C ．

【答案】（1）3

A π

=；（2）sin C =

【解析】 【分析】

（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：222b c a bc +-=，从而可整理出cos A ，

根据()0,A π∈可求得结果；（2）利用正弦定理可得

sin 2sin A B C +=，利用

()sin sin B A C =+、两角和差正弦公式可得关于sin C 和cos C 的方程，结合同角三角函

数关系解方程可求得结果.

【详解】（1）()2

222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=

2221cos 22

b c a A bc +-∴==

()0,πA ∈Q 3

A π\=

（2）2b c +=Q sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3

A π

=

1

sin 2sin 2

C C C ++=

整理可得：3sin C C -

=

2

2

sin cos 1C C +=Q (()

2

23sin 31sin C C ∴=-

解得：sin 4C =

4

因

sin 2sin 2sin 02B C A C ==-

>所以sin 4

C >

，故sin 4C =.

（2）法二：2b c +=Q sin 2sin A B C +=

又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3

A π

=

1

sin 2sin 2

C C C ++=

整理可得：3sin C C -=

，即3sin 6C C C π?

?

=-

= ??

?

sin 62C π?

?∴-=

???

由2(0,

),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446

C C ππππ-==+

sin sin(

)4

6

C π

π

=+

=

. 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.

（2019全国1卷理）11.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：

①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（

2

π

,π）单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④

C. ①④

D. ①③

【答案】C 【解析】 【分析】

化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案．

【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①

正确．当

2x π

π<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π??

π ???

单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，

()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，

()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：

0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x =；当

[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，

()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．

（2018全国3卷文）11.ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ?的面积

为2224

a b c +-，则C =( )

A ．

2π B ．3π C ．4π D ．6

π 【答案】C

【解析】2221sin 24ABC

a b c S ab C ?+-==

，而222

cos 2a b c C ab

+-= 故1

2cos 1sin cos 242ab C ab C ab C =

=，4

C π

∴= 【考点】三角形面积公式、余弦定理

（2018全国3卷文）6.函数()2tan 1tan x

f x x

=

+的最小正周期为( )

A ．

4π B ．2

π

C ．π

D ．2π 【答案】C

【解析】()()22

22tan tan cos 1sin cos sin 2221tan 1tan cos x x x f x x x x x k x x x ππ???

====≠+ ?++??，22

T π

π=

=(定义域并没有影响到周期)

（2018全国3卷文）4.若1

sin 3

α=，则cos2α=( )

A ．

89 B ．79 C ．79- D ．89

- 【答案】B

【解析】27

cos212sin 9

αα=-=

（2018全国2卷理）15. 已知，

，则

__________．

【答案】

【解析】分析：先根据条件解出再根据两角和正弦公式化简求结果. 详解：因为，

，

所以，

因此

点睛：三角函数求值的三种类型

(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.

(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. （2018全国2卷理）10. 若在

是减函数，则的最大值是

A. B. C. D. 【答案】A

【解析】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值 详解：因为，

所以由得

因此

，从而的最大值为，选A.

点睛：函数的性质： (1)

. (2)周期

(3)由

求对称轴， (4)由

求增区间;

由

求减区间. （2018全国2卷理）6. 在中，，

，

，则

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB. 详解：因为

所以

，选A.

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. （2018全国I 卷理）17．（12分）

在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=o ，45A ∠=o ，2AB =，5BD =. （1）求cos ADB ∠；

（2）若22DC =，求BC

解：（1）在ABD △中，由正弦定理得

sin sin BD AB

A ADB

=

∠∠. 由题设知，

52

sin 45sin ADB

=

?∠，所以2sin ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠

=. （2）由题设及（1）知，2

cos sin 5

BDC ADB ∠=∠=. 在BCD △中，由余弦定理得

2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-???∠

225825225

=+-???

25=.

所以5BC =.

（2018全国I 卷理）16．已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．

（2018全国I 卷文）16．（5分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知bsinC +csinB=4asinBsinC ，b 2+c 2﹣a 2=8，则△ABC 的面积为 ．

【解答】解：△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． bsinC +csinB=4asinBsinC ，

利用正弦定理可得sinBsinC +sinCsinB=4sinAsinBsinC ， 由于sinBsinC ≠0， 所以sinA=， 则A=

由于b 2+c 2﹣a 2=8， 则：， ①当A=时，

，

解得：bc=，

所以：．

②当A=

时，

，

解得：bc=﹣（不合题意），舍去． 故：． 故答案为：

（2018全国I 卷文）11．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，

终边上有两点A （1，a ），B （2，b ），且cos2α=，则|a ﹣b |=（ ） A ．

B ．

C ．

D ．1

【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合， 终边上有两点A （1，a ），B （2，b ），且cos2α=， ∴cos2α=2cos 2α﹣1=，解得cos 2α=， ∴|cosα|=

，∴|sinα|=

=

，

|tanα|=||=|a ﹣b |===．

故选：B ．

（2018全国I 卷文）已知函数f （x ）=2cos2x ﹣sin2x+2，则（ ） A ．f （x ）的最小正周期为π，最大值为3 B ．f （x ）的最小正周期为π，最大值为4

C.f （x ）的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f （x ）的最小正周期为2π，最大值为4

【解答】解：函数f （x ）=2cos2x ﹣sin2x+2， =2cos2x ﹣sin2x+2sin2x+2cos2x ， =4cos2x+sin2x ，

=3cos2x+1， =，

=

， 故函数的最小正周期为π， 函数的最大值为， 故选：B ．

1（2017全国I 卷9题）已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ?

?=+ ??

?，则下面结论正确的

是（）

A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π

6

个单位长度，得到曲线2C

B ．把1

C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C

C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π

6

个单位长度，得到曲线2C

D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π

12个单位长度，得到曲线2C

【答案】D

【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23?

?=+ ??

?C y x

首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．

πππcos cos sin 222???

?==+-=+ ? ????

?y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，

即112

πππsin sin 2sin 2224??????=+????????

?→=+=+ ? ? ??????

?C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 2ππsin 2sin 233???

???→=+=+ ? ????

?y x x ．

注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+

x 平移至π

3

+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π

12

2 （2017全国I 卷17题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC

△的面积为2

3sin a A

．

（1）求sin sin B C ；

（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长．

【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.

（1）∵ABC △面积2

3sin a S A

=.且1sin 2S bc A =

∴

21

sin 3sin 2

a bc A A = ∴22

3sin 2

a bc A =

∵由正弦定理得22

3sin sin sin sin 2A B C A =，

由sin 0A ≠得2

sin sin 3B C =.

（2）由（1）得2sin sin 3B C =，1

cos cos 6

B C =

∵πA B C ++=

∴()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2

A B C B C B B C =--=-+=-=

又∵()0πA ∈，

∴60A =?，sin A =

1cos 2A =

由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①

由正弦定理得sin sin a b B A =

?，sin sin a c C A

=?

∴2

2sin sin 8sin a bc B C A

=?= ②

由①②

得b c +=

∴3a b c ++=+ABC △

周长为3

3. (2017·新课标全国Ⅱ卷理17)17.（12分）

ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2

sin()8sin 2

B A

C +=． (1)求cos B

(2)若6a c += , ABC ?面积为2,求.b

【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形．

【试题分析】在第（Ⅰ）中，利用三角形内角和定理可知A C B π+=-，将

2

sin 8)sin(2

B C A =+转化为角B 的方程，思维方向有两个：①利用降幂公式化简2sin 2B ，

结合22sin cos 1B B +=求出cos B ；②利用二倍角公式，化简2

sin 8sin 2B B =，两边约去2sin B ，求得2tan B

，进而求得B cos .在第（Ⅱ）中，利用（Ⅰ）中结论，利用勾股定理和

面积公式求出a c ac +、，从而求出b ． （Ⅰ） 【基本解法1】

由题设及2

sin

8sin ,2

B

B C B A ==++π，故 sin 4-cosB B =（1）

上式两边平方，整理得 217cos B-32cosB+15=0 解得 15cosB=cosB 17

1（舍去），= 【基本解法2】

由题设及2sin

8sin ,2B B C B A ==++π，所以2sin 82cos 2sin 22B B B =，又02

sin ≠B ，所以4

12tan =B ，17152

tan 12tan 1cos 2

2

=+-=

B B

B （Ⅱ）由158cosB sin B 1717==得，故14

a sin 217

ABC S c B ac ?==

又17

=22

ABC S ac ?=，则

由余弦定理及a 6c +=得

2222

b 2cos a 2(1cosB)

1715362(1)

217

4

a c ac B

ac =+-=-+=-??+=（+c ）

所以b=2

【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意2

2

,,a c ac a c ++三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎．

4 （2017全国卷3理）17．（12分）

ABC ?的内角A ，

B ，

C 的对边分别为a ，b ，c ，

已知sin 0A A =

，a =，2b =． （1）求c ；

（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．

【解析】（1）

由sin 0A A =得π2sin 03A ?

?+= ??

?，

即()π

π3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，

∴ππ3A +=，得2π

3

A =

. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-?.

又∵1

2,cos 2

a b A ===-代入并整理得

()2

125c +=，故4c =.

（2）

∵2,4AC BC AB ===，

由余弦定理222cos 2a b c C ab +-==

. ∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，

则cos AC CD C =?

，得CD =

由勾股定理AD 又2π3A =

，则2πππ

326DAB ∠=

-=，

1π

sin 26

ABD

S AD AB =??=△

5 （2017全国卷文1）14 已知π(0)2

a ∈，,tan α=2，则π

cos ()4α-=__________。

【答案】

10

（法一）Θ0,2πα??

∈ ??

?

，sin tan 22sin 2cos cos α

αααα

=?

=?=，

又

22sin cos 1αα+=，

解

得

sin α=

，

cos α=

，

cos (cos sin )4210πααα?

?∴-=+=

??

?． （法二）)sin cos (22

)4cos(ααπα+=-

21cos sin cos 42πααα?

?∴-=+ ??

?．又Θtan 2α=

222

sin cos tan 2sin cos sin cos tan 15αααααααα∴===++，29cos 410πα??∴-= ??

?，

由0,2πα??∈ ???知444πππα-<-<，cos 04πα??∴-> ???，故cos 4πα??-= ???

6.（2017全国卷2 文） 3.函数π

()sin(2)3

f x x =+的最小正周期为 A.4π B.2π C. π D.π2

【答案】C 【解析】由题意22

T π

π=

=，故选C. 【考点】正弦函数周期

【名师点睛】函数sin()(A 0,0)y A x B ω?ω=++>>的性质 (1)max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2.T π

ω

=

(3)由 π

π()2x k k ω?+=+∈Z 求对称轴 (4)由

ππ

2π2π()22

k x k k ω?-+≤+≤+∈Z 求增区间; 由

π3π2π2π()22

k x k k ω?+≤+≤+∈Z 求减区间;

7（2017

全国卷

2

文）13.函数

()2cos sin f x x x =+的最大值

为 .

8（2017全国卷2文）16.ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若

2cos cos cos bc B a C c A =+,则B =

【答案】

3

π

9（2017全国卷3文） 4．已知4

sin cos 3

αα-=

，则sin 2α=（ ） A ．79

-

B ．29

-

C ．

29

D ．

79

【答案】A

10 （2017全国卷3文）6．函数f (x )=15sin(x +3π)+cos(x ?6

π

)的最大值为（ ）

A ．65

B ．1

C ．35

D ．15

【答案】A

【解析】由诱导公式可得：cos cos sin 6233x x x ππππ????

????-

=-+=+ ? ? ????

??

????? ， 则：()16sin sin sin 53353f x x x x πππ???

???=

+++=+ ? ? ????

??? , 函数的最大值为

6

5

. 本题选择A 选项. 7．函数y =1+x +

2

sin x

x 的部分图像大致为（ ）

A B

D ．

C D 【答案】D

1、（2016全国I 卷12题）已知函数ππ

()sin()(0),24

f x x+x ，

ω?ω?=>≤=-为()f x 的零点，π4x =

为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π

()1836

，单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B

考点：三角函数的性质

2、（2016全国I 卷17题）（本小题满分12分）

ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =

（I ）求C ； （II ）若7,c ABC △=

的面积为

33

，求ABC △的周长． 【答案】（I ）C 3

π

=（II ）57+

【解析】

试题解析：（I ）由已知及正弦定理得，()2cosC sin cos sin cos sinC A B+B A =，

()2cosCsin sinC A+B =．

故2sinCcosC sinC =． 可得1cosC 2=

，所以C 3

π

=．

考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式

3、（2015全国I 卷2题）sin20°cos10°-con160°sin10°=

（A ）3 （B 3 （C ）12- （D ）1

2

【答案】D 【解析】

试题分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=1

2

，故选D.

考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式

4、（2015全国I 卷8题） 函数()f x =cos()x ω?+的部分图像如图所示，则()f x 的

单调递减区间为

(A)（错误!未找到引用源。）,k 错误!未找到引用源。 (b)（错误!未找到引用源。）,k 错误!未找到引用源。

(C)（错误!未找到引用源。）,k 错误!未找到引用源。 (D)（错误!未找到引用源。）,k 错误!未找到引用源。

【答案】D 【解析】

试题分析：由五点作图知，1

+42

53+42

πω?π

ω??=????=??，解得=ωπ，=4π?，

所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4

k x k k Z π

ππππ<+<+∈，解得124k -

＜x ＜3

24

k +，k Z ∈，故单调减区间为（1

24

k -

，324k +），k Z ∈，故选D.

考点：三角函数图像与性质

5、（2015全国I 卷16题）在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB

的取值范围是 【答案】626+2 【解析】

试题分析：如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得

sin sin BC BE E C =∠∠，即o o

2sin 30sin 75BE =，解得BE 6+2AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，

sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o o

2

sin 30sin 75

BF =，解得BF=62-所以AB 626+2.

考点：正余弦定理；数形结合思想 6. （2014全国I 卷8题）设(0,

)2π

α∈，(0,)2

π

β∈，且1sin tan cos βαβ+=

，则 A .32

π

αβ-=

B .22

π

αβ-=

C .32

π

αβ+=

D .22

π

αβ+=

【答案】：Ｂ

【解析】：∵sin 1sin tan cos cos αβ

ααβ

+=

=，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα??

-==- ???

，,02222ππππαβα-<-<<-<

∴2

π

αβα-=

-，即22

π

αβ-=

，选B

7、（2014全国I 卷16题）已知,,a b c 分别为ABC ?的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且

(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ?面积的最大值为 .

【答案】3【解析】：由2a =且 (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，

即()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，由及正弦定理得：()()()a b a b c b c +-=-

∴2

2

2

b c a bc +-=，故2221

cos 22

b c a A bc +-=

=，∴060A ∠=，∴224b c bc +-= 224b c bc bc =+-≥，∴1

sin 32

ABC S bc A ?=≤

8、（2013全国I 卷15题）设当x =θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cosθ=______ 【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题，是难题.

【解析】∵()f x =sin 2cos x x -5255(

)x x