2020届【步步高】高考文科数学一轮总复习讲义
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或?表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集
符号N N*(或N＋)Z Q R
2.集合间的基本关系
关系自然语言符号语言Venn图
子集集合A中所有元素都在集合B中(即
若x∈A，则x∈B)
A?B(或B?A)
真子集集合A是集合B的子集，且集合B
中至少有一个元素不在集合A中
A B(或
B A)
集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B
互为子集
A＝B
3.
运算自然语言符号语言Venn图
交集由属于集合A且属于集合B的
所有元素组成的集合
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
并集由所有属于集合A或属于集合
B的元素组成的集合
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
补集由全集U中不属于集合A的所
有元素组成的集合
?U A＝{x|x∈U且x?A}
【知识拓展】
1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1. 2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.
3．A∩?U A＝?；A∪?U A＝U；?U(?U A)＝A.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集．(×)
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)
(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×)
(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(√)
(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)?(A∪B)恒成立．(√)
(6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(×)
1．(教材改编)若集合A ＝{x ∈N |x ≤10}，a ＝22，则下列结论正确的是( ) A ．{a }?A B ．a ?A C ．{a }∈A D ．a ?A 答案 D
解析 由题意知A ＝{0,1,2,3}，由a ＝22，知a ?A .
2．(教材改编)设A ＝{x |x 2－4x －5＝0}，B ＝{x |x 2＝1}，则A ∪B 等于( ) A ．{－1,1,5} B ．{－1,5} C ．{1,5} D ．{－1} 答案 A
解析 ∵A ＝{－1,5}，B ＝{－1,1}， ∴A ∪B ＝{－1,1,5}．
3．已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B 等于( ) A ．{－1,0,1,2} B ．{－2，－1,0,1} C ．{0,1} D ．{－1,0} 答案 A
解析 因为A ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，又因为集合B 为整数集，所以集合A ∩B ＝{－1,0,1,2}，故选A. 4．(2019·天津)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B 等于( ) A ．{1} B ．{4} C ．{1,3} D ．{1,4} 答案 D
解析 因为集合B 中，x ∈A ，所以当x ＝1时，y ＝3－2＝1； 当x ＝2时，y ＝3×2－2＝4； 当x ＝3时，y ＝3×3－2＝7； 当x ＝4时，y ＝3×4－2＝10； 即B ＝{1,4,7,10}．
又因为A ＝{1,2,3,4}，所以A ∩B ＝{1,4}．故选D.
5．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{3,4}，A ∪B ＝{1,2,3,4}，则m ＝________. 答案 2
解析 ∵A ∪B ＝{1,3，m }∪{3,4}＝{1,2,3,4}， ∴2∈{1,3，m }，∴m ＝2.
题型一 集合的含义
例1 (1)(2017·石家庄调研)已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且
3
2－x
∈Z }，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________.
答案 (1)C (2)0或9
8
解析 (1)∵3
2－x
∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3，
又∵x ∈Z ，∴x 值分别为5,3,1，－1， 故集合A 中的元素个数为4.
(2)若a ＝0，则A ＝????
??
23，符合题意；
若a ≠0，则由题意得Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝9
8
.
综上，a 的值为0或9
8
.
思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
(1)(2019·临沂模拟)已知A ＝{x |x ＝3k －1，k ∈Z }，则下列表示正确的是( )
A ．－1?A
B ．－11∈A
C ．3k 2
－1∈A (k ∈Z ) D ．－34?A
(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝???
?
??0，b a ，b ，则b －a ＝________.
答案 (1)C (2)2
解析 (1)∵k ∈Z ，∴k 2∈Z ，∴3k 2－1∈A .
(2)因为{1，a ＋b ，a }＝?
??
?
??0，b a ，b ，a ≠0，
所以a ＋b ＝0，得b
a
＝－1，
所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2. 题型二 集合的基本关系
例2 (1)(2019·唐山一模)设A ，B 是全集I ＝{1,2,3,4}的子集，A ＝{1,2}，则满足A ?B 的B 的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2
(2)已知集合A ＝{x |x 2－2 017x ＋2 016<0}，B ＝{x |x 解析 (1)∵{1,2}?B ，I ＝{1,2,3,4}， ∴满足条件的集合B 有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个． (2)由x 2－2 017x ＋2 016<0，解得1 又B ＝{x |x 可得a ≥2 016. 引申探究 本例(2)中，若将集合B 改为{x |x ≥a }，其他条件不变，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (－∞，1] 解析 A ＝{x |1 可得a ≤1. 思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题． (1)已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R |ax －1＝0}，若B ?A ，则实数a 的值为( ) A.13或－12 B ．－13或12 C.13或－12或0 D ．－13或12 或0 (2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1 解析 (1)由题意知A ＝{2，－3}． 当a ＝0时，B ＝?，满足B ?A ； 当a ≠0时，ax －1＝0的解为x ＝1 a ， 由B ?A ，可得1a ＝－3或1 a ＝2， ∴a ＝－13或a ＝1 2 . 综上，a 的值为－13或1 2 或0. (2)当B ＝?时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2； 当B ≠?时，若B ?A ，如图， 则???? ? m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1， 解得2 A.????－3，－32 B.? ???－3，32 C.????1，32 D.???? 32，3 (2)(2019·浙江)已知集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，则P ∪(?R Q )等于( ) A ．[2,3] B ．(－2,3] C ．[1,2) D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 答案 (1)D (2)B 解析 (1)由A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1 B ＝{x |2x －3>0}＝{x |x >3 2 }， 得A ∩B ＝{x |3 2 ∴P ∪(?R Q )＝[1,3]∪(－2,2)＝(－2,3]． 命题点2 利用集合的运算求参数 例4 (1)设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x 2 C ．a ≥－1 D ．a >－1 (2)集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 答案 (1)D (2)D 解析 (1)因为A ∩B ≠?，所以集合A ，B 有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a >－1. (2)由题意可得{a ，a 2}＝{4,16}，∴a ＝4. 思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化． (1)(2019·山东)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B 等于( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1，＋∞) D ．(0，＋∞) (2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1 解析 (1)∵A ＝{y |y >0}，B ＝{x |－1 (2)由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}．又A ∩B ＝B ，所以B ?A . ①当B ＝?时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. ②当B ≠?时，有???? ? －3≤2m －1，m ＋1≤4， 2m －1 解得－1≤m <2. 综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)． 题型四 集合的新定义问题 例5 若对任意的x ∈A ，1x ∈A ，则称A 是“伙伴关系集合”，则集合M ＝{－1,0，1 2 ，1,2}的所有非空子集中，具有伙伴 关系的集合的个数为________． 答案 7 解析 具有伙伴关系的元素组有－1；1；2和1 2 共三组，它们中任一组、两组、三组均可组成非空伙伴关系集合，所以非 空伙伴关系集合分别为{1}，{－1}，{12，2}，{－1,1}，{－1，12，2}，{1，12，2}，{－1,1，1 2 ，2}，共7个． 思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质． 定义一种新的集合运算△：A △B ＝{x |x ∈A ，且x ?B }．若集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，则按运 算△，B △A 等于( ) A ．{x |3 答案 B 解析 A ＝{x |1 1．集合关系及运算 典例 (1)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3 D ．1或3或0 (2)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若B ?A ，则实数a 的取值范围是________． 错解展示 解析 (1)由A ∪B ＝A 得B ?A ，∴m ＝3或m ＝m ， 故m ＝3或m ＝0或m ＝1. (2)∵B ?A ，讨论如下： ①当B ＝A ＝{0，－4}时，???? ? Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4， a 2－1＝0， 解得a ＝1. ②当B A 时，由Δ＝0得a ＝－1， 此时B ＝{0}满足题意， 综上，实数a 的取值范围是{1，－1}． 答案 (1)D (2){1，－1} 现场纠错 解析 (1)A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，故B ?A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，其中m ＝1不符合题意，所以m ＝0或m ＝3，故选B. (2)因为A ＝{0，－4}，所以B ?A 分以下三种情况： ①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得 ???? ? Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0， 解得a ＝1； ②当B ≠?且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意； ③当B ＝?时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1. 综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}． 答案 (1)B (2)(－∞，－1]∪{1} 纠错心得 (1)集合的元素具有互异性，参数的取值要代入检验． (2)当两个集合之间具有包含关系时，不要忽略空集的情况． 1．(2019·四川)设集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 C 解析 由题意可知，A ∩Z ＝{－2，－1,0,1,2}，则A ∩Z 中的元素的个数为5.故选C. 2．设集合A ＝{2,3,4}，B ＝{2,4,6}，若x ∈A 且x ?B ，则x 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 答案 B 解析 因为x ∈A 且x ?B ，所以x ＝3，故选B. 3．已知集合A ＝{x |1 A ．[13，＋∞) B ．[0，13) C ．(－∞，0] D ．[0，＋∞) 答案 D 解析 ∵A ∩B ＝?， ①若2m ≥1－m ，即m ≥1 3时，B ＝?，符合题意； ②若2m <1－m ，即m <1 3 时， 需满足????? m <13，1－m ≤1 或????? m <13， 2m ≥3， 解得0≤m <13或?，即0≤m <13 . 综上，实数m 的取值范围为[0，＋∞)． 4．(2017·潍坊调研)已知全集U ＝R ，集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{x ∈R |x ≥2}，则下图中阴影部分所表示的集合为( ) A ．{0,1} B ．{1} C ．{1,2} D ．{0,1,2} 答案 B 解析 因为A ∩B ＝{2,3,4,5}，而图中阴影部分为A 去掉A ∩B ，所以阴影部分所表示的集合为{1}． 5．若集合A ＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A 的真子集的个数是( ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．3 答案 D 解析 集合A 中有两个元素，则集合A 的真子集的个数是22－1＝3. 6．已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－1 解析 因为A ＝{x |x 2－x －2<0}＝{x |－1 解析 由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ?B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1. 8．(2017·浙江)已知集合 P ＝{x |x 2－2x ≥0}，Q ＝{x |1＜x ≤2}，则(? R P )∩Q 等于( ) A ．[0,1) B ．(0,2] C ．(1,2) D ．[1,2] 答案 C 解析 ∵P ＝{x |x ≥2或x ≤0}，?R P ＝{x |0＜x ＜2}， ∴(?R P )∩Q ＝{x |1＜x ＜2}，故选C. 9．设集合Q ＝{x |2x 2－5x ≤0，x ∈N }，且P ?Q ，则满足条件的集合P 的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 答案 D 解析 因为Q ＝{x |2x 2－5x ≤0，x ∈N }＝{x |0≤x ≤5 2 ，x ∈N }＝{0,1,2}， 所以满足P ?Q 的集合P 的个数是23＝8，故选D. *10.设集合M ＝??????x |m ≤x ≤m ＋34，N ＝???? ?? x |n －13≤x ≤n ，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫作集合 {x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( ) A.13 B.23 C.112 D.512 答案 C 解析 由已知，可得????? m ≥0，m ＋34≤1，即0≤m ≤14；????? n －13≥0，n ≤1， 即13 ≤n ≤1，取m 的最小值0，n 的最大值1，可得M ＝????0，34，N ＝????23，1，所以M ∩N ＝????0，34∩????23，1＝????23，34，此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34－23＝1 12，故选C. 11．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为__________． 答案 －3 2 解析 ∵3∈A ，∴m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3， 不符合集合的互异性，舍去； 当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－3 2 或m ＝1(舍去)， 当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3，符合题意，∴m ＝－3 2 . 12．(2017·南阳月考)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝x 2－2x －3}，B ＝{y |y ＝e x ＋1}，则A ∪B ＝__________. 答案 (－∞，－1]∪(1，＋∞) 解析 因为A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{y |y >1}， 所以A ∪B ＝{x |x >1或x ≤－1}． 13．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，且1?A ，则实数a 的取值范围是__________． 答案 (－∞，1] 解析 ∵1?{x |x 2－2x ＋a >0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1. 14．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是________． 答案 5 解析 当x ＝0，y ＝0时，x －y ＝0； 当x ＝0，y ＝1时，x －y ＝－1； 当x ＝0，y ＝2时，x －y ＝－2； 当x ＝1，y ＝0时， x －y ＝1； 当x ＝1，y ＝1时，x －y ＝0； 当x ＝1，y ＝2时， x －y ＝－1； 当x ＝2，y ＝0时，x －y ＝2； 当x ＝2，y ＝1时， x －y ＝1； 当x ＝2，y ＝2时，x －y ＝0. 根据集合中元素的互异性知，B 中元素有0，－1，－2,1,2，共5个． 15．已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ?B ，则实数a －b 的取值范围是________． 答案 (－∞，－2] 解析 集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]， 因为A ?B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2， 即实数a －b 的取值范围是(－∞ ，－ 2]． 1．四种命题及相互关系 2．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件 (1)如果p ?q ，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件； (2)如果p ?q ，但q ?p ，则p 是q 的充分不必要条件； (3)如果p ?q ，且q ?p ，则p 是q 的充要条件； (4)如果q ?p ，且p ?q ，则p 是q 的必要不充分条件； (5)如果p ?q ，且q ?p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 【知识拓展】 从集合角度理解充分条件与必要条件 若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为 (1)若A ?B ，则p 是q 的充分条件； (2)若A ?B ，则p 是q 的必要条件； (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件； (4)若A B ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若A B ，则p 是q 的必要不充分条件； (6)若A B 且A ?B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“x 2＋2x －3<0”是命题．( × ) (2)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则綈q ”．( × ) (3)若一个命题是真命题，则其逆否命题也是真命题．( √ ) (4)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( √ ) (5)当p 是q 的充要条件时，也可说成q 成立当且仅当p 成立．( √ ) (6)若p 是q 的充分不必要条件，则綈p 是綈q 的必要不充分条件．( √ ) 1．下列命题为真命题的是( ) A ．若1x ＝1 y ，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x 2．(教材改编)命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是( ) A ．若x 解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”． 3．(教材改编)“(x －1)(x ＋2)＝0”是“x ＝1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由(x －1)(x ＋2)＝0可得x ＝1或x ＝－2， ∵{1}{1，－2}， ∴“(x －1)(x ＋2)＝0”是“x ＝1”的必要不充分条件． 4．(2019·北京)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 D 解析 若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为菱形，a ＋b ，a －b 表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，所以“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件． 5．(教材改编)下列命题： ①“x ＝2”是“x 2－4x ＋4＝0”的必要不充分条件； ②“圆心到直线的距离等于半径”是“这条直线为圆的切线”的充分必要条件； ③“sin α＝sin β”是“α＝β”的充要条件； ④“ab ≠0”是“a ≠0”的充分不必要条件． 其中为真命题的是________．(填序号) 答案 ②④ 题型一 命题及其关系 例1 (2019·潍坊一模)有下列四个命题： ①若“xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形是全等三角形”的否命题； ③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A ∩B ＝B ，则A ?B ”的逆否命题． 其中真命题为( ) A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．①②③ 答案 D 解析 ①的逆命题：“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”是真命题；②的否命题：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；③的逆否命题：“若x 2－2x ＋m ＝0没有实数解，则m >1”是真命题；命题④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题．故选D. 思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意： ①对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写； ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提． (2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例． (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假． (1)命题“若x >0，则x 2>0”的否命题是( ) A ．若x >0，则x 2≤0 B ．若x 2>0，则x >0 C ．若x ≤0，则x 2≤0 D ．若x 2≤0，则x ≤0 (2)某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是( ) A ．不拥有的人们会幸福 B ．幸福的人们不都拥有 C ．拥有的人们不幸福 D ．不拥有的人们不幸福 答案 (1)C (2)D 题型二 充分必要条件的判定 例2 (1)(2017·四川)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 (2)已知条件p ：x >1或x <－3，条件q ：5x －6>x 2，则綈p 是綈q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 (1)B (2)A 解析 (1)∵3a >3b >3，∴a >b >1，此时log a 3 2 ，b ＝ 1 3 时，log a 3 所以q ?p ，p ?q ，所以綈p ?綈q ，綈q ?綈p ， 所以綈p 是綈q 的充分不必要条件，故选A. 思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据p ?q ，q ?p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题． (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题． (1)(2019·四川)设p ：实数x ，y 满足x >1且y >1，q ：实数x ，y 满足x ＋y >2，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 (2)已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，则p是q的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案(1)A(2)A 解析(1)当x>1，y>1时，x＋y>2一定成立，即p?q， 当x＋y>2时，可以x＝－1，y＝4，即q?p， 故p是q的充分不必要条件． (2)(等价法)因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1， 所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1， 因为綈q?綈p但綈p?綈q， 所以綈q是綈p的充分不必要条件， 即p是q的充分不必要条件，故选A. 题型三 充分必要条件的应用 例3 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围． 解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}， 由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ?P . 则???? ? 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10， ∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]． 引申探究 1．本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ， ∴????? 1－m ＝－2，1＋m ＝10， 方程组无解， 即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 2．本例条件不变，若x ∈綈P 是x ∈綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ?S 且S ?P . ∴[－2,10][1－m,1＋m ]． ∴????? 1－m ≤－2，1＋m >10或? ???? 1－m <－2，1＋m ≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)． 思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． (1)已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x <0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 ________________． (2)已知命题p ：－4 解析 (1)令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x <0}＝{x |0 ???? a >0，a ＋1<4，解得00成立，得2 所以綈p ：x ≤a －4或x ≥a ＋4，綈q ：x ≤2或x ≥3， 又綈p 是綈q 的充分条件，所以? ???? a －4≤2， a ＋4≥3， 解得－1≤a ≤6，故答案为[－1,6]． 1．等价转化思想在充要条件中的应用 典例 (1)(2019·湖北七校联考)已知p ，q 是两个命题，那么“p ∧q 是真命题”是“綈p 是假命题”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 (2)已知条件p ：x 2＋2x －3>0；条件q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1] C ．[－1，＋∞) D ．(－∞，－3] 思想方法指导 等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题，在解题中经常用到．本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化． 解析 (1)因为“p ∧q 是真命题”等价于“p ，q 都为真命题”，且“綈p 是假命题”等价于“p 是真命题”，所以“p ∧q 是真命题”是“綈p 是假命题”的充分不必要条件． (2)由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件． ∴{x |x >a }{x |x <－3或x >1}，∴a ≥1. 答案 (1)A (2)A 1．命题“若α＝π 4，则tan α＝1”的否命题是( ) A ．若α≠π 4，则tan α≠1 B ．若α＝π 4 ，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π 4 D ．若tan α≠1，则α＝π 4 答案 A 2．命题“如果x ≥a 2＋b 2，那么x ≥2ab ”的逆否命题是( ) A ．如果x 解析 命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若綈q ，则綈p ”，“≥”的否定是“<”．故答案C 正确． 3．(2019·山东重点中学模拟)已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( ) A ．逆命题 B ．否命题 C ．逆否命题 D ．否定 答案 B 解析 命题p ：“正数a 的平方不等于0”写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题． 4．(2017·重庆)“x ＞1”是“log 12 (x ＋2)＜0”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由x ＞1?x ＋2＞3?log 12 (x ＋2)＜0，log 12 (x ＋2)＜0?x ＋2＞1?x ＞－1，故“x ＞1”是“log 12 (x ＋2)＜0”成立的充 分不必要条件．故选B. 5．(2019·山东)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若直线a 和直线b 相交，则平面α和平面β相交； 若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交，故选A. 6．已知集合A ＝{x ∈R |1 2
- (word完整版)2017年高考全国卷文科数学第一轮复习讲义一数列
- 高三文科数学一轮模拟试题
- 高三文科数学一轮模拟试题
- 2018高中高考一轮复习文科数学 参数方程 .ppt
- 【一轮复习教案】高考文科数学一轮复习教案
- 高考文科数学一轮复习注意事项
- 2020届全国高考决胜一轮文科数学 离散型随机变量及分布列
- 2018高考一轮复习文科数学参数方程.ppt
- 高考文科数学第一轮复习经典习题集(含答案)
- 数学文科高考一轮复习计划
- 高考数学文科一轮复习课件：函数概念及其表示
- 高考文科数学一轮复习练习-集合
- 高三文科数学一轮复习方法
- 2020高中数学高考数学高三文科数学第一轮复习全套资料
- 高考文科数学一轮复习专题 集合(学生版)
- 2020届【步步高】高考文科数学一轮总复习讲义
- 2020年高考一轮复习全国统一考试(一)文科数学
- 高三文科数学第一轮复习资料
- 最全最新高考数学一轮复习知识思维导图(文科版)
- 高考文科数学一轮复习：直线与方程