当前位置：文档库 › (完整版)高等数学第七章微分方程试题及答案

(完整版)高等数学第七章微分方程试题及答案

第七章常微分方程

一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程（1）方程形式：

()()()()0≠=y Q y Q x P dx

通解()

()?

?+=C dx x P y Q dy

（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）

（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M

通解()()()()

C dy y N y N dx x M x M =+??1221

()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式（1）齐次方程

??=x y f dx dy 令

u x

=，则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x

u u f du +=+=-??

||ln

二．一阶线性方程及其推广

1．一阶线性齐次方程

()0=+y x P dx

dy 它也是变量可分离方程，

通解()?-=dx

x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程

()()x Q y x P dx

=+ 用常数变易法可求出通解公式令()()?-=dx

x P e

x C y 代入方程求出()x C 则得

()()()[]

?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P

3．伯努利方程

()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx

令α

-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx

dz αα-=-+11 再按照一阶线性

非齐次方程求解。

4．方程：

()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy

dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。

四．线性微分方程解的性质与结构

我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的

线性微分方程。二阶齐次线性方程 ()()0=+'+''y x q y x p y （1）二阶非齐次线性方程 ()()()x f y x q y x p y =+'+'' （2） 1．若()x y 1，()x y 2为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合

()()x y C x y C 2211+（1C ，2C 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当()()x y x y 21λ≠（λ为常数），也即()x y 1与()x y 2线性无关时，则方程的通解

为()()x y C x y C y 2211+=

2．若()x y 1，()x y 2为二阶非齐次线性方程的两个特解，则()()x y x y 21-为

对应的二阶齐次线性方程的一个特解。

3．若()x y 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而()x y 为对应的二阶齐次线性

方程的任意特解，则()()x y x y +为此二阶非齐次线性方程的一个特解。 4．若y 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而()()x y C x y C 2211+为对应的二

阶齐次线性方程的通解（1C ，2C 为独立的任意常数）则

()()()x y C x y C x y y 2211++=是此二阶非齐次线性方程的通解。

5．设()x y 1与()x y 2分别是()()()x f y x q y x p y 1=+'+''与 ()()()x f y x q y x p y 2=+'+''的特解，则()()x y x y 21+是 ()()()()x f x f y x q y x p y 21+=+'+''的特解。

五．二阶和某些高阶常系数齐次线性方程 1．二阶常系数齐次线性方程

0=+'+''qy y p y 其中p ，q 为常数，特征方程02=++q p λλ

特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式

（1）特征方程有两个不同的实根1λ，2λ则方程的通解为x x

e C e

C y 2121λλ+=

（2）特征方程有二重根21λλ= 则方程的通解为()x

x C C y 121λ+=

（3）特征方程有共轭复根βα

i ±，则方程的通解为()x C x C e y x sin cos 21ββα+=

2．n 阶常系数齐次线性方程

()()

()012211=+'++++---y p y p y p y p y n n n n n Λ其中()n i p i ,,2,1Λ=为常数。

相应的特征方程0 12

211=+++++---n n n n n p p p p λλλλΛ

特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。

（1）若特征方程有n 个不同的实根n λλλ,,, 21Λ则方程通解

x n x x n e C e C e C y λλλ+++=Λ2121

（2）若0λ为特征方程的k 重实根()n k ≤则方程通解中含有

y=()

k k e x

C x C C 01

21λ-+++Λ

（3）若βαi ±为特征方程的k 重共轭复根()n k ≤2，则方程通解中含有

()()[]

x x D x D D x x C x C C e k k k k x sin cos 121121ββα--+++++++ΛΛ

由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。

六、二阶常系数非齐次线性方程

方程：()x f qy y p y =+'+'' 其中q p ,为常数通解：()()x y C x y C y y 2211++=

其中()()x y C x y C 2211+为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解y 如何求？

1．()()x

n e x P x f α=其中()x P n 为n 次多项式，α为实常数，

（1）若α不是特征根，则令()x

n e x R y α= （2）若α是特征方程单根，则令()x

n e x xR y α= （3）若α是特征方程的重根，则令()x

n e x R x y α2=

2．()()x e x P x f x n sin βα= 或 ()()x e x P x f x

n cos βα=

其中()x P n 为n 次多项式，βα,皆为实常数

（1）若βαi ±不是特征根，则令()()[]x x T x x R e y n n x

sin cos ββα+= （2）若βαi ±是特征根，则令()()[]x x T x x R xe y n n x

sin cos ββα+=

例题：

一、齐次方程

1.求dx

xy dx dy x

y =+2

的通解解：10

)(2

2222-??

???

??=-==-+x y x y x xy y dx dy dx

dy xy x y 令1

-=+=u u dx du x u u x y 则 0)1(=-+du u x udx

??=+-1

1C x dx du u u ，1||ln C u xu =-，x y

u u C ce y ce e xu =∴==+,1 2. 011=???? ??-+???

? ??+dy y x e dx e y x y

x 解：y

y x e dy dx +???? ??-=11，令yu x u y x ==,.(将y 看成自变量) dy du

y u dy dx +=, 所以 u u e u e dy du y u +-=+1)1( u

u u u e e u u e e ue dy du y ++-=-+-=11 y dy du e u e u u -=++1, y dy e u e u d u u -=++)(, y y c e u u 1

ln ln ln =-=???

? ??+ c e u y u +=1, y x u e y

c e u c y +=+=, c ye x y x

=???

??+. 二、一阶线形微分方程

1..1)0(,0)(==-+y dy x y ydx

解：可得??

???=-=-0)1(1

x y x

dy dx . 这是以y 为自变量的一阶线性方程解得 )ln (y c y x -=.

0)1(=x , 0=c . 所以得解 y y x ln -=.

2.求微分方程4

y x y

dx dy +=

的通解解：变形得：341y x y

dy dx y y x dy dx =-+=即，是一阶线性方程3)(,1

)(y y Q y

y P =-= Cy y C dy e y e

x dy y

dy y

+=???????

+=?-??4

313

三、伯努力方程6

'y x y xy =+

解：3

'x y y xy =+--， 25

6x x

y y dx dy =+--，

令,5

u y

=- ''56u y y =--, 25x x

u u =+'-

，255

'x u x u -=-.

解得 )25(25-+=x c x u ，于是 35

5x cx y +=-

四、可降阶的高价微分方程

1.求)1ln()1(+='+''+x y y x 的通解

解：令p y p y '=''='则,,原方程化为)1ln()1(+=+'+x p p x

)

1ln(11++=

'x x p x p 属于一阶线性方程 ??

????+++=?+?+-?1111

1)1ln(C dx e x x e

p dx x dx x

[]

1)1ln()1ln(11

11++-+=+++=

?x C x C dx x x ?+?????

++-+=2111)1ln(C dx x C x y 212)1ln()(C x x C x +-++=

2.1)0(',2)0()'(''22

===+y y y y y ，解：令dy dp p

y p y =='''，则，得到 y p dy

=+22 令u p =2

, 得到

y u dy

=+为关于y 的一阶线性方程. 1)]0('[)0(0

|22====y p x u

，解得 y ce y u -+-=1

所以 2)0(121)0(0

|1--+-=+-===ce ce y x u

y , 0=c .

于是 1-=y u , 1-±=y p

dx y dy

±=-1

, 112c x y +±=-, 2

211c x y +±

=- 2)0(=y , 得到

=c , 得解 12

1+±

=-x y 五、二阶常系数齐次线形微分方程 1.0'''2'''2)4()

5(=+++++y y y y y y

解：特征方程 01222

=+++++λλλλλ 0)1)(1(22=++λλ，i i -==-=5,43,21,,1λλλ

于是得解 x x c c x x c c e c y x

cos )(sin )(54321++++=-

2.06'10''5)

4(=-+-y y y y

，14)0(''',6)0('',0)0(',1)0(-====y y y y

解：特征方程 061052

4=-+-λλλ, 0)22)(3)(1(2

=+-+-λλλλ

11=λ, 32-=λ, i ±=14,3λ

得通解为 )sin cos (43321x c x c e e

c e c y x x

x +++=- 由 14)0(''',6)0('',0)0(',1)0(-====y y y y 得到 211-

=c , 21

2=c , 13=c , 14=c 得特解 )sin (cos 2

1213x x e e e y x x

x +++-=-

六、二阶常系数非齐次线形微分方程 1.求x

e y y y 232=-'+''的通解

解：先求齐次方程的通解，特征方程为0322

=-+λλ，特征根为1,321=-=λλ。因此齐次方程通解为x x

e C e

C Y 231+=-

设非齐次方程的特解为1,=α由于y 为特征根，因此设x

xAe y =,

代入原方程可得2

1=A ，故原方程的通解为x x

x xe e C e C y 21231++=-

2.求方程x y y y cos222=-'+''的通解

解：特征方程为022

=-+λλ，特征根为1,221=-=λλ，因此齐次方程的通解为x x

e C e

C Y 221+=-

设非齐次方程的特解为y ,由于题目中i i 2,2,0=+==βαβα不是特征根，因此设x B x A y 2sin 2cos +=，代入原方程可得

x x B A B x A B A 2cos 22sin )422(2cos )422(=---+-+-

226=+-B A ，026=--A B

解联立方程得101

,103=-=B A ，因此x x y 2sin 10

12cos 103__

+-=

故原方程的通解为 x x e C e C y x x

2sin 10

12cos 103221+-+=-

3.x x x y y cos 22sin 3''++=+

解：特征根为i ±=λ，齐次方程的通解为：x c x c y sin cos 21+=

x y y =+''，()x y c c x c c y =?==?+=??1,02121

x y y 2sin 3''=+，[]x c x c x c x c e x y x 2cos 2sin sin cos 21210+=+=?ββλ

待入原式得出：0,121=-=c c ，所以x y 2sin -=?

x y y cos 2''=+，[]x x c x c x c x c e x y x )sin cos (sin cos 21211+=+=?ββλ

待入原式得出：1,021==c c ，所以x x y sin =?

故原方程的通解为x x x x x c x c y sin 2sin sin cos 21+-++= 七、作变量代换后求方程的解 1.求微分方程2322

)1(1)(y dx

x y +=+-的通解解：令,tan ,tan v x u y == 原方程化为u vdv

udu v v u 3

2sec sec sec sec )tan (tan =- 化简为1)

sin(=-dv du v u 再令方程化为则,1,-=-=dv

du dv dz v u z z dv

dz z sin 1sin -=，???+=-+-+=-,sin 11)1(sin ,sin 1sin c v dz z z c dv dz z z

c v dz z

z z +=-++-?2sin 1sin 1，c v dz z z z +=++-?2cos sin 1 c v z z z +=++-sec tan 最后Z 再返回x,y,v 也返回x ,即可。

2.0)2

(0)sin()1(==+++'π

y y x y x ，

解：设1-=?

-=?=+dx

du dx dy x u y u y x c x u u x dx u du u dx du x ln ln cot csc ln sin 0sin +-=-?=?=+ ()()x c y x y x x c u u =++-?=

-sin cos 1cot csc ，因为2

0,2π

π=?==c y x 所以

()()x

y x y x 2sin cos 1π

=++-

122

sin 22sin '1x e

y x y y x ++=+

解：令y y u y u 2sin '',sin 2

==则. 得到

22'1x

e xu u x ++=+, 2

112'2

e u x

x u x +=

+为一阶线性方程

解得 |)1|ln (212

x x c e u x +++=+. 即 |)1|ln (sin 212

x x c e y x +++=+.

4.0)cos 1(cos sin ln '=-+y x y y x xy

解：令u y =cos , 则 y y u sin ''-=. 原方程化为0)1(ln '=-+-xu u x x u

u x x u u ln ln '2

+-, 为贝奴利方程，x u x x u u ln 11ln 1'2=?+-. 令u z 1=

, 则2''u u z -=. 方程化为 x

z x x z ln 1

ln 1'=+, 为一阶线性方程.

解得 x

c x z ln )

(+=. 即 x c x y ln cos 1+=, x y c x ln cos )(=+. 八、综合题

1.设f （x ）＝x x sin －

-x

dt t f t x 0

)()(，其中f （x ）连续，求f （x ）

解：由表达式可知f （x ）是可导的，两边对x 求导，则得

()()?-+='x

dt t f x x x x f 0

sin cos

再对两边关于x 求导，得 ())(cos 2sin x f x x x x f -+-=''

即 ()()x x x x f x f cos 2sin +-=+'' 属于常系数二阶非齐次线性方程. 对应齐次方程通解 x C x C y sin cos 21+=，

非齐次方程特解设()()x D Cx x x B Ax x y sin cos __

+++= 代入方程求出系数

A,B,C,D 则得x x x x y sin 4

cos 412__

，故f （x ）的一般表达式 x C x C x x x x x f sin cos sin 4

cos 41)(212+++=

由条件和导数表达式可知f （0）＝0，()00='f 可确定出0,021==C C 因此

x x x x x f sin 4

cos 41)(2+=

2.已知x

e xe y 21+=，x

xe y -+=2，x

x x e e xe y --+=23是某二阶线性非齐

次常系数微分方程的三个解，求此微分方程及其通解. 解：由线性微分方程的解的结构定理可得，

x e y y -=-31，x x e e y y --=-221，()()x e y y y y 22131=-+-

对应的齐次方程的解，由解x

-与x

2的形式，可得齐次方程为02=-'-''y y y .

设该方程为)(2x f y y y =-'-''，代入x

e xe y 21+=，得()()x

e x x

f 21-=. 所以，该方程为()x

e x y y y 212-=-'-''，其通解为x x x x

e xe e C e

C 2221+++-.

3.设在，其中)()(),()()(x g x f x g x f x F =),(+∞-∞内满足以下条件

e x g x

f f x f x

g x g x f 2)()(,0)0(),()(),()(=+=='='且

（1）求)(x F 所满足的一阶和二阶微分方程（2）求出)(x F 的表达式

解：)(2)2()()(2)]()([)()()()()()()(2

222x F e x g x f x g x f x f x g x g x f x g x f x F x -=-+=+='+'='

可知)(x F 所满足的一阶微分方程为x

e x F x F 24)(2)(=+' （2）[][]

x x x x x

ce e c dx e e c dx e e

x F 22422dx 2244)(--??-+=+=+?=??

将10)0()0()0(-===c g f F 代入，可知于是

x x e e x F 22)(--=

4.设函数()x y y =在()+∞∞-,内具有二阶导数，且()y x x y =≠',0是()x y y =的

反函数（1）试将()y x x =所满足的微分方程()0sin 3

22=???? ??++dy dx x y dy x

d 变换为()x y y =满足的微分方程；（2）求变换后的微分方程满足初始条件()00=y ，

()2

'y 的解。解：（1）由反函数导数公式知

y dy dx '=1 即1='dy

dx y ，两端关于x 求导得 ()022

2='+''y dy x d dy dx y ，所以()()

3222y y y y dy

dy x d '''-='''-=。代入原微分方程得x y y sin =-'' （*）

（2）方程（*）所对应的齐次方程0=-''y y 的通解为x

C e C Y -+=21

设方程（*）的特解为__

y ＝A x cos + B x sin ，

代入方程（*）求得A ＝0，B ＝－21，故__

y ＝－2

x sin ，

从而x y y sin =-''的通解是x e C e C x y x

x sin 2

1)(21-+=-.

由()2

0,0)0(='=y y ，得1,121-==C C ，

故所初值问题的解为x e e x y x

x sin 2

1)(--=-.

5.设(x)?是以2π为周期的连续函数，0)(20,(0)(x),(x)≠=='πφφ?φ （1）求微分方程

cosx (x)e ysinx dx

?=+的通解（2）以上这些解中，有没有以2π为周期的解？若有，求出，若无，说明理由。解：（1）先解对应的齐次方程：

x e c cos c cosx e y 0ysinx dx

?==?=++ ()()()()x e x c e x c dx

e x c y x x x sin cos cos cos -+'=?

=带入上式 ()()()()dx x x c x x c ?=?='??，因为()()dx x x ?=?='?φ?φ(x)(x)

()()()x x ce e x y c x x c cos cos +=?+=φφ

（2）若有以π2为周期的解，满足：()()02=-+x f x f π

()()()()[]()()[]()[]

c x e c x e

x f c x e x f x f x

x +-++=-++=-++φπφπφππcos cos 2cos 222

关键是看()x φ是否为周期函数：()()dx x x x

?=0

?φ

()()()00220

≠-=?

φπφ?π

dx x ，()x φ不是周期函数，所以没有π2为周期的解。

6.已知曲线y ＝f(x)（x>0）是微分方程2y //+y /-y=(4-6x)e -x 的一条积分曲线，此曲线通过原点，且在原点处的切线斜率为0，试求：（1）曲线y ＝f(x)到x 轴的最大距离。（2）计算?

+∞

)(dx x f

解：()1,2

0212132221212-==?=-+?-=-'+

''-λλλλx e x y y y 齐次方程通解为：x x e c e

c y -+=22

1，根据已知条件特解为：()x e bx a x Y -?+=

特解代入原式得：1,0==b a ，所以x

e x Y -?

=2，

所以通解为：x x x e x e c e

c y --++=222

11，由已知得：()()00,00='=f f

所以021==c c ，所以x

x y -=2

求()x f y =到x 轴的最大距离，即求y 的最大值。

()

22x x e y x -='-，当0='y 时，2,0==x x ，()()242,00-==e f f

()0lim lim 2

===∞∞→-∞

→x x x

x e

x f 所以()x f y =到x 轴的最大距离为()2

42-=e f 。

（2）

2202)(0

=+=?+-=-=???

+∞

-∞

+∞--+∞

+∞

xdx e

x de

x dx x f x

九、微分方程的几何和物理应用

1.设函数)0)((≥x x y 二阶可导，且,1)0(,0)(=>'y x f 过曲线)(x y y =上任意一点),(y x P 作该曲线的切线及x 轴的垂线，上述两直线与x 轴所围成的三角形的面积记为,1S 区间[]x ,0上以)(x y y =为曲边的曲边梯形面积记为2S ，并设212S S -恒为1，求此曲线)(x y y =的方程。

解：)(x y y =在点),(y x P 的切线方程为：()()()x X x y x y Y -'=- 它与x 轴的交点为???

?'-

0,y y x ，由于()()10,0=>'y x y ，因此()0>x y 于是有y y y y x x y S '=???? ??'--=2212

1，又因为()dt t y S x ?=02，1221=-S S

()120

2=-'?dt t y y y x ，两边求导并化简得：()2

y y y '=' 解上述微分方程：设y p '=，则上述方程化为y

dy p dp p dy dp yp

=?=2 y C p 1=，即

211C x C e y y C dx

+=?=，根据()()0,110,1021==?='=C C y y 。所以曲线方程为：x

e y =

2.设曲线L 的极坐标方程为)(θr r =，),(θr M 为L 任一点，)0,2(0M 为L 上一定

点，若极径0OM ，OM 与曲线L 所围成的曲边扇形面积值等于L 上0M M 两点

间弧长值的一半，求曲线L 的方程。解：因为θd r r dx y ds 2

1'+=

'+= ()θθθ

d r s 2

= 由已知可得：θθθd r r dr r ??'+=02

2022121，两边对θ求导可得：

222r r r '+=，即θd r r dr r r r ±=-?

-±='1

2，设t r sec =，

1arcsin 1arcsin

2π

θ=?±=+-?+-=-?C C r C r r r

236csc 16sin =±???

??±=?=??? ??±y x r r θπθπ

3.有一在原点处与x 轴相切并在第一象限的光滑曲线，P(x,y)为曲线上的任一点。

设曲线在原点与P 点之间的弧长为S 1，曲线在P 点处的切线在P 点与切线跟y 轴的交点之间的长度为S 2，且

2123S S +=x x )

1(2+，求该曲线的方程。解：设曲线方程为()x f y =，dx y S x

'+=

211

曲线在P 点的切线方程为：()x X y y Y -'=- 因此与y 轴的交点为：()x y y '-,0，因此2222y x x S '+=

因为2123S S +=x

x )1(2+，所以()x y x x y x ??? ??+'+=+?'+?022213112

两边求导得出：()y y x y '''+='+1212

，解方程得出：32

x y =

4.设函数()x f 在[)+∞,1上连续，若曲线()x f y =，直线1=x ，()1>=t t x 与x 轴围成平面图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积()()()[]

f t f t t V -=

，试求

()x f y =所满足的微分方程，并求9

=x y

的解. 解：由题意可知()()()()[]

=t f t f t dx x f t V 1

213

则()()()?

-=t f t f t dx x f 1

2213

，两边对t 求导，()()()t f t t tf t f '+=22

23 ()()y x f t f x t ===,，得xy y y x 2322-='，??

??-??? ??=x y x y dx dy 232

令dx du x u dx dy xu y x y u +===

,,，()13-=u u dx

x ，当时1,0≠≠u u

()x dx u u du 31=- 两边积分后得31cx u u =-，方程通解为

y cx x y 3=-，再由922=

=x y

，可得1-=c 31x

y +=∴ 5.一个半球体状的雪球，其体积融化的速率与半球面面积S 成正比，比例常数0>K ，

假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为0r 的雪堆开始融化的3小时内，融化了其体积的

，问雪堆全部融化需要多少小时。解：设雪堆在时刻t 的体积33

2r V π=，表面积为2

2r S π=。

由已知可得Ks dt dV -=， dr r dr r dV 222332

ππ=??=

2222r K dt dr r ππ?-=，于是C Kt r K dt

dr +-=?-=，由()00r r =

Kt r r -=0，又因为()()0813V V =，()303

03281332r K r ππ?=-，06

1r K =

t r r r 006

-=，雪球全部融化时，60=?=t r ，即雪球全部融化需要6小时。

6.有一房间容积为1003

m ，开始时房间空气中含有二氧化碳0.12%，为了改善房间的空气质量，用一台风量为103

m /分的排风扇通入含0.04%的二氧化碳的新鲜空

气，同时以相同的风量将混合均匀的空气排出，求排出10分钟后，房间中二氧化碳含量的百分比？

解：设t 时刻二氧化碳的浓度为x ，在时间间隔[]dt t t +,，浓度改变dx

dx xdt dt dx dt x dt 10010004.010010%04.010=-??=??-??

1010410010004.04

x dx dt x dx -=?-?=--，两边积分可得：

(

)

104

10410

4ln t

Ce x C t x ---+?=?+-=?-

因为44

10810

12,0--?=??==C x t

所以%07.0,1010810410

4==??+?=---x t e

x t

7.有一容积为5003

m 的水池，原有1003

m 的清水，现在每分钟放进23

m 浓度为50%的某溶液，同时每分钟放出13

m 溶液，试求当水池充满时池中溶液浓度。解：设t 时刻溶液中溶质的量为x ，在时间间隔[]dt t t +,，质量改变dx

11001001%502=++?

=??? ?

+?-?t x dt dx dx dt t x ，这是一阶线性微分方程先解对应的齐次方程：t c x +=100，再解非齐次方程()t t c x +=100

()c

t t x c t t t c +++=?++=10010021100212

2 因为t

t x c x t ++=?=?==1001002100,02

，当水池充满时，

400,500100=?=+t t 分钟，溶液浓度为%48100

8.某湖泊的水量为V ，每年排入湖泊内含污染物A 的污水量为6

，流入湖泊内不

含污染物A 的污水量为6V ，流出湖泊的水量为3

，已知1999年底中湖中A 的含

量为05m ，超过国家规定指标，为了治理污染，从2000年初起，限制排入湖泊中

含A 污水的浓度不超过V

0，问至多需要经过多少年，湖泊中污染物A 的含量才

可降至0m 以内。（设湖水中A 的浓度是均匀的）。

解：设从2000年初（令此时，0=t ）开始，第t 年湖泊中污染物A 的总量为()t m ，浓度为

，则在时间间隔[]dt t t +,上，排入湖泊中A 的量近似为

dr m dt V V m 6600=?，

，排出量为：dt m

dt V V m 3

3=?，则在时间间隔[]dt t t +,上，

()t m 的改变量为：dt m m dm ??

? ??-=360，分离变量解方程：3

02t

Ce m m --= 代入初始条件()050m m =，029m C -=，于是???

? ??+=-32912t

e m m 令0m m =，3ln 6=t ，即至多需要经过3ln 6=t 年，湖泊中污染物A 的含量才可以降至0m 以内。

9.已知某车间的容积为63030?? 3

m ，其中的空气含%12.0的二氧化碳，现以含二氧化碳%04.0的新鲜空气输入，问每分钟应输入多少，才能在30分钟后使车

间空气中二氧化碳的含量不超过%06.0，（假定输入的新鲜空气与原有空气很快混合均匀，且以相同流量排出）。解：设每分钟应输入3

am ，t 时刻浓度为x ，在时间间隔[]dt t t +,，浓度改变dx

()()dx dt ax a dx dt ax a 540010463030%04.04=-?????=-?-

()

C dt a x dt a x

dx ax a dt dx +-=?-?=-??-?=---??5400104ln 540010454001044

44 dt a

Ce x 5400

4104-

-+?=，因为44

10810

12,0--?=??==C x t

t a e

x 5400

10810

4---?+?=，当34

25010

6,30m a x t ≥??≤=-

10.有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ?绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m. 根据设计要求，当以min /33

m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2

m π的速率均匀扩大（假设注入液体前容器内无液体）.

(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ?之间的关系式； (2) 求曲线)(y x ?=的方程.

解：液面的面积将以min /2

m π的速率均匀扩大，因此t 时刻液面面积应为：

t ππ+22，而液面为圆，其面积可直接计算出来，由此可导出t 与)(y ?之间的关

系式；又液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算，已知t 时刻的液体体积为3t ，它们之间也可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可. (1) 设在t 时刻，液面的高度为y ，则由题设知此时液面的面积为t y πππ?+=4)(2

, 从而 .4)(2

-=y t ?

(2) 液面的高度为y 时，液体的体积为.12)(33)(0

22-==?

y t du u y

??π

上式两边对y 求导，得 )()(6)(2

y y y ??π?'=，即 ).(6)(y y ?π?'=

解此微分方程，得 y

Ce y 6)(π

?=，其中C 为任意常数，

由2)0(=?知C=2，故所求曲线方程为：.26

e x π

常微分方程试题库

常微分方程试题库二、计算题（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx ； 2. 解方程：x y x y e 2d d =+； 3. 解方程：； 4. 解方程： t e x dt dx 23=+； 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y ； 6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx x y ； 7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ； 8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 10. 解方程：02=-''+'''x x x ； 11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ； 12. 解方程： y y dx dy ln =； 13. 解方程：y x e dx dy -=； 14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x ； 15. 解方程：x y dx dy cos 2=； 16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+； 17. 解方程：x xy dx dy 42=+； 18. 解方程：23=+ρθ ρ d d ； 19. 解方程：22x y xe dx dy +=； 20. 解方程：422x y y x =-'；选题说明：每份试卷选2道题为宜。

二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx 解： ,2,1,0,2 ,±±=+==k k x k y π ππ是原方程的常数解，（2分）当2 ,π ππ+ ≠≠k x k y 时，原方程可化为： 0cos sin sin cos =-dx x x dy y y ，（2分）积分得原方程的通解为： C x y =cos sin . （2分） 2. 解方程： x y x y e 2d d =+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ? ? +? =-),)(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） x x x x dx x dx e Ce dx e C e dx e e C e 3 1 )() (23222+=+=?+?=---?? 分）（分）（22 3. 解方程：解：由一阶线性方程的通解公式 ??+?=-))(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） =??+?-)sec (tan tan dx xe C e xdx xdx （2分） ?+=)sec (cos 2xdx C x x x C sin cos +=. （2分） 4. 解方程： t e x dt dx 23=+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+? =-))(()()(dt e t f C e x dt t p dt t p （2分） =??+?-)(323dt e e C e dt t dt （2分） ?+=-)(53dt e C e t t

高等数学第七章微分方程习题

第七章微分方程与差分方程习题7－1（A ） 1．说出下列微分方程的阶数： ;02)()1(2=+'-'x y y y x ;0)2(2=+'+'''y y x y x .0)32()67()3(=++-dy y x dx y x 2．下列函数是否为该微分方程的解： x e x y y y y 2; 02)1(==+'-'' )(2; 0)()2(2为任意常数C x x C y xdy dx y x -==++ ),(cos sin ; 0) 3(212122 2为任意常数C C ax C ax C y y a dx y d +==+ )(ln ; 02)()4(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''+ 3．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，写出符合初始条件的函数： ;5, )1(0 22==-=x y C y x ;1,0,)()2(0 221=' =+===x x x y y e x C C y . 0,1, )(sin )3(21='=-===ππx x y y C x C y 4．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程：点横坐标的平方。处的切线的斜率等于该曲线在点),()1(y x 轴平分。被，且线段轴的交点为处的法线与曲线上点y PQ Q x y x P ),()2( 习题7－1（B ） 1．在下列各题中，对各已知曲线族（其中 C 1, C 2, C 3 都是任意常数）求出相应的微分方程： ; 1)()1(22=+-y C x . )2(21x x e C e C xy -+= 2．用微分方程表示下列物理问题：平方成反比。温度的成正比，与的变化率与气压对于温度某种气体的气压P T P )1( 。速度成反比（比例系数同时阻力与，成正比（比例系数与时间用在它上面的一个力的质点作直线运动，作一质量为)))2(11k k t m 习题7－2（A ） 1．求下列微分方程的通解： ;0ln )1(=-'y y y x ;0553)2(2='-+y x x ; )()3(2y y a y x y '+='-'

常微分方程练习题及答案复习题)

常微分方程练习试卷一、填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是阶（线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为． 9.可用变换将伯努利方程化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件的唯一解. 11.方程的待定特解可取的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

高数公式大全(全)

高数公式大全 1.基本积分表：三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=，　，　，　一些初等函数：两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+=-+±=++=+-==+= -=----11ln 21)1ln(1ln(:2 :2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x

(完整版)高等数学微分方程试题

第十二章微分方程 §12-1 微分方程的基本概念一、判断题 1.y=ce x 2(c 的任意常数)是y '=2x 的特解。 ( ) 2.y=(y '')3是二阶微分方程。 ( ) 3.微分方程的通解包含了所有特解。 ( ) 4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。（） 5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。（）二、填空题 1. 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是。 2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。 3. 积分曲线y=(c 1+c 2x)e x 2中满足y x=0=0, y ' x=0=1的曲线是。三、选择题 1．下列方程中是常微分方程（A ）、x 2+y 2=a 2 (B)、 y+0)(arctan =x e dx d (C)、22x a ??+22y a ??=0 （D ）、y ''=x 2+y 2 2.下列方程中是二阶微分方程（A ）（y ''）+x 2y '+x 2=0 (B) (y ') 2+3x 2y=x 3 (C) y '''+3y ''+y=0 (D)y '-y 2=sinx 3.微分方程2 2dx y d +w 2 y=0的通解是其中c.c 1.c 2均为任意常数（A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 4. C 是任意常数，则微分方程y '=3 23y 的一个特解是（A ）y-=(x+2)3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。 1．2 2 C Cx y +=（其中C 为任意常数） 2.x x e C e C y 3221+=（其中21,C C 为任意常数）五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。

常微分方程期末试题B答案

2005——2006学年第二学期常微分方程课程试卷（B）一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件． 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二维空间上的一条曲线． 3．线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个，其中R ∈ x，n R Y∈． 4．二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关． 5．方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6．变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7．性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W． 8．方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题（每小题3 分，共15分）。 9．两个不同的线性齐次微分方程组（ D ）的基本解组． (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10．方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是（D ）．（A）稳定焦点（B）不稳定焦点（C）鞍点（D）不稳定结点11．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（ C ）． (A) 1± = x(B)1± = y

(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间（B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间（D ）不能构成一个线性空间 13．方程4d d +-=x y x y （ A ）奇解． (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有三、计算题（每小题8分，共48分）。 14．求方程 x y x y x y tan d d +=的通解解：令x y u =，则u x u y '+='， u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15．求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解解：积分因子21)(x x =μ，则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程．取10=x ，00=y ，于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16．求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解解:令 p y ='，得到2 2 2x xp p y +-= （*），两端同时关于求导，

高等数学微分方程

第十二章微分方程 § 1 微分方程的基本概念 1、由方程x 2-xy+y 2=C 所确定的函数是方程（）的解。 A. (x-2y)y '=2-xy '=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy 2、曲线族y=Cx+C 2 (C 为任意常数) 所满足的微分方程（） 4.微分方程y '=y x 21-写成以 y 为自变量，x 为函数的形式为（） A.y x 21dx dy -= B.y x 21dy dx -= '=2x-y D. y '=2x-y §2 可分离变量的微分方程 1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（） A.可分离变量的微分方程一阶微分方程的对称形式， C.不是微分方程 D.不能变成 ) y ,x (P ) y ,x (Q dy dx -= 2、方程xy '-ylny=0的通解为（） A y=e x B. y=Ce x cx D.y=e x +C 3、方程满足初始条件：y '=e 2x-y , y|x=0=0的特解为（） A. e y =e 2x +1 2 1 e ln x 2+= C. y=lne 2x +1-ln2 D. e y =21e 2x +C 4、已知y=y(x)在任一点x 处的增量α+?+=?x x 1y y 2 ，且当?x →0时，α是?x 高阶无穷小，y(0)=π,则y(1)=( ) A. 2π B. π C. 4 e π 4e ππ 5、求特解 cosx sinydy=cosy sinxdx ， y|x=0=4 π 解：分离变量为tanydy=tanxdx ，即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnC ，cosy=ccosx 代入初始条件：y|x=0= 4π 得：2 2C =特解为：2cosy=cosx 6、求微分方程()2 y x cos y x 2 1cos dx dy +=-+满足y(0)=π的特解。

高等数学微分方程试题及答案.docx

第九章常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程（ 1）方程形式：dy P x Q y Q y0通解 dy P x dx C dx Q y （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（ 2）方程形式：M1x N1 y dx M 2x N 2y dy0 通解M 1x dx N 2 y dy C M 2 x 0, N 1 y 0 M 2x N 1y 2．变量可分离方程的推广形式 dy f y （ 1）齐次方程 x dx 令y u ，则 dy u x du f u f du dx c ln | x | c x dx dx u u x 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 dy P x y0 它也是变量可分离方程，通解y Ce P x dx ，（c为任意常数）dx 2．一阶线性非齐次方程精品文档令 z y1把原方程化为dz1P x z 1Q x 再按照一阶线性 dx 非齐次方程求解。 dy1可化为 dx P y x Q y y x 以为自变量，．方程： P y x dy dx Q y 为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。三、可降阶的高阶微分方程方程类型解法及解的表达式通解 y n C 2 x n 2C n 1 x C n y n f f x dx C1 x n 1 x n次令 y p ，则 y p ，原方程 y f x, y f x, p ——一阶方程，设其解为p g x, C1 p，即y g x, C1，则原方程的通解为y g x, C1dx C2。令 y p ，把p看作y的函数，则 y dp dp dy p dp dx dy dx dy y f 把 y， y 的表达式代入原方程，得 dp1 f y, p—一阶方程， y, y dy p dy dx P x y Q x用常数变易法可求出通解公式设其解为 p g y, C 1 , 即 dy g y, C1，则原方程的通解为 dx 令 y C x e P x dx代入方程求出 C x 则得ye P x dx Q x e P x dx dx C 3．伯努利方程 dy Q x y0,1 P x y dx dy x C2。 g y, C1

(整理)常微分方程试题及参考答案

常微分方程试题一、填空题(每小题3分，共39分) 1.常微分方程中的自变量个数是________. 2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________. 3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变量分离方程. 4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________. 5.方程=(x+1)3的通解为________. 6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解. 7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________. 8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0 中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________. 9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________. 10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组 x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式. 11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之等价的一阶方程组________. 12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基解矩阵exp A t=________. 13.方程组的奇点类型是________. 二、计算题(共45分) 1.(6分)解方程 = . 2.(6分)解方程 x″(t)+ =0. 3.(6分)解方程 (y-1-xy)dx+xdy=0. 4.(6分)解方程

常微分方程试题

一单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当时, B. 当时, C. 当时, D. 当时, 3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D.

4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程是恰当方程, 则（）. A. B. C. D. 6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设是n阶齐线性方程的解,

其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关 B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关 C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关 D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性 10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程的通解是( ) A.(是任意常数, 下同) B. C. D. 11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程的基本解组是( ).

A. B. C. D. 13. 方程的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组满足初始条件的解为( ). A. B. C. D. 17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵,

高等数学第九章微分方程试题及答案

第九章常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程（1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式（1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =，则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。三、可降阶的高阶微分方程

常微分方程习题及答案.[1]

第十二章常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2 ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 2 2 1xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是。 ③x y y dx dy x ln ?=是。 ④x x y y x sin 2+='是。 ⑤02=-'+''y y y 是。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是阶微分方程。

7．x y 1 =所满足的微分方程是。 8．x y y 2='的通解为。 9． 0=+ x dy y dx 的通解为。 10． ()25 11 2+=+- x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为。三、选择题 1．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程32 3y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ．上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．22x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?=

高数第七章题库微分方程

第十二章微分方程答案一、选择题 1．下列不是全微分方程的是 C 1 A.2()(2)0x y dx x y dy ++-= B.2 (3)(4)0y x dx y x dy ---= C.3 2 2 2 3(23)2(2)0x xy dx x y y dy +++= D.2 2 2(1)0x x x ye dx e dy -+= 2. 若3y 是二阶非齐次线性方程(1):()()()y P x y Q x f x '''++=的一个特解，12,y y 是对应的齐次线性方程(2)的两个线性无关的特解，那么下列说法错误的是（123,,c c c 为任意常数） C 2 A.1122c y c y +是(2)的通解 B. 113c y y +是(1)的解 C. 112233c y c y c y ++是(1)的通解 D. 23y y +是(1)的解 3．下列是方程xdx ydy += 的积分因子的是 D 2 A.2 2x y + B. 221x y + 4．方程32 2321x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为（ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 5．已知方程'()0y p x y +=的一个特解cos 2y x =，则该方程满足初始特解(0)2y =的特解为（ C ）. 2 (A) cos 22y x =+ (B) cos 21y x =+ (C) 2cos 2y x = (D) 2cos y x = 6．方程32232 1x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为（ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 7．设线性无关的函数123,,y y y 都是微分方程''()'()()y p x y q x y f x ++=的解，则该方程的通解为（ D ）. 2 (A) 11223y c y c y y =++ (B) 1122123()y c y c y c c y =+-+ (C) 1122123(1)y c y c y c c y =+--- (D) 1122123(1)y c y c y c c y =++-- 8．设方程''2'3()y y y f x --=有特解*y ，则其通解为（ B ）. 1

2018常微分方程考研复试真题及答案

常微分方程计算题 2.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由；（1） t 2 2 2dt u d +t dt du +( t 2 -1)u=0 （2） dx dy =x 2+y 2 ; （3）dx dy + 2 x y =0 3.求曲线族y=C 1e x +C 2x e x 所满足的微分方程 4．验证函数y= C 1e x 2+ C 2e x 2-是微分方程y `` -4y=0的解，进一步验证它是通解。 5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程dx dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程 7．什么是求解常微分方程的初等积分法 8．分离变量一阶方程的特征是什么 9．求下列方程的通解（1） y ` ＝sinx （2） x 2 y 2 y ` +1=y （3） tgx dx dy =1+y （4） dx dy =exp(2x-y) （5） dx dy =21y 2- （6） x 2 ydx=(1- y 2 +x-2 x 2 y 2 )dx （7）( x 2 +1)( y 2 -1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义 11．试给出一阶方程y ` ＝f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二

个方程的关系。 12．求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何 13．求解下列方程 dx dy ＝2 22y x xy - 14．求解下列方程（1）（x+2y ）dx —xdy=0 (2) dx dy =x y +y x 2 15. dx dy =22y x xy + 16(x 2 +y 2 )dx —2xydy=0 17. dx dy =5 242+---y x x y 18―――――19 20―――――――27

常微分方程试题库.

常微分方程一、填空题 1 .微分方程(立)n +业—VEX? = 0的阶数是 dx dx 答：1 2 .若M (x, V)和N (x, V)在矩形区域R内是(x, V)的连续函数，且有连续的一阶偏导数，则方程M (x,y)dx + N(x, y)dy =0有只与V有关的积分因子的充要条件是血 f N -1 答：(亏一寸M)= (V) 3. ^为齐次方程. 答：形如dV =g(V)的方程 dx x 4 .如果f (x, V) ___________________________________________ M ,业=f (x, V)存在 dx 唯一的解y = %x)，定义丁区问x-x o

8. 若X i (t)(i =1,2,.....n)为齐次线性方程的一个基本解组，x(t)为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为答：X =' c i x i - X i 4 9. 若中(X)为毕卡逼近序列虬(X)}的极限，则有|%x)M n(x)W 答：MLh n1 (n 1)! 10. 为黎卡提方程，若它有一个特解y(x),则经过变换 ____________________ ,可化为伯努利方程. 答：形如—=p(x)y2+q(x)y + r (x)的方程y = z + y dx 11. 一个不可延展解的存在区间一定是区间. 答：开 12. ______________________________________________________________ 方程业=后〔满足解的存在唯一性定理条件的区域是_______________________________ . dx ' 答：D ={(x,y)在R2y >0},(或不含x轴的上半平■面) 13 .方程华=x2sin y的所有常数解是. dx 答：y =k二，k =0, —1, —2, 14. 函数组明(x)*2(x)，…，气(x)在区间I上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不包等丁零. 答：充分 15. 二阶线性齐次微分方程的两个解y〔(x), y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是. 答：线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等丁零) 16. 方程广-2y'+y=0的基本解组是答：e x, xe X 17. 若y =%x)在(s,十8)上连续，则方程d^=

常微分方程应用题和答案

应用题（每题10分） 1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零，又()f x '存在并对任意,x y 恒有 ()()()f x y f x f y +=，求()f x 。 2、设()()()F x f x g x =，其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件 ()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+= （1）求()F x 所满足的一阶微分方程；（2）求出()F x 的表达式。 3、已知连续函数()f x 满足条件320 ()3x x t f x f dt e ??=+ ??? ?，求()f x 。 4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导，()0,lim ()1x f x f x →+∞ >=，且满足 1 1 0()lim ()h x h f x hx e f x →? ?+ ?= ? ?? ? ，求()f x 。 5、设函数()f x 在(0,)+∞内连续，5 (1)2 f =，且对所有,(0,)x t ∈+∞，满足条件 1 1 1 ()()()xt x t f u du t f u du x f u du =+? ??，求()f x 。 6、求连续函数()f x ，使它满足10 ()()sin f tx dt f x x x =+?? 。 7、已知可微函数()f t 满足 31() ()1()x f t dt f x t f t t =-+?，试求()f x 。 8、设有微分方程 '2()y y x ?-=，其中21 ()01x x x ?? 。试求在(,)-∞∞内的连续函数()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞内部满足所给方程，且满足条件(0)0y =。 9、设位于第一象限的曲线()y f x = 过点122?? ? ? ?? ，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分。（1）求曲线()y f x =的方程；（2）已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ，试用l 表示曲线()y f x =的弧长s 。 10、求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =，使得由曲线()y y x =与直线 1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。 11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记为

(完整版)高等数学第七章微分方程试题及答案

第七章常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程（1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式（1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =，则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α -=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。

常微分方程试题模拟试题(一)

常微分方程试题模拟试题（一）一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1 ．方程d d y x =满足初值解的存在且惟一性的区域是． 2．方程0d )1(d )1(=+++y x x y 所有常数解是． 3．线性方程0y y ''+=的基本解组是． 4．(,)y f x y '有界是保证方程d (,)d y f x y x =初值解惟一的条件． 5．向量函数组在区间I 上的朗斯基行列式()0W x =是它们线性相关的条件．二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6．积分方程11()1()d x y x y s s s =+?的解是（）．（A ）1y = （B ）e x y = （C ）0y = （D ）y x = 7. 一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（）．（A ）?=x x p d )(e μ （B ）?=x x q d )(e μ （C ）?=-x x p d )(e μ （D ）?=-x x q d )(e μ 8．方程 ?????≠==0 ,ln 00d d y y y y x y 当当，在xoy 平面上任一点的解（）．（A ）都不是惟一的（B ）都是惟一的（C ）都与x 轴相交（D ）都与x 轴相切 9．平面系统???????+=+=y x t y y x t x 43d d 2d d 的奇点类型是（）．（A ）不稳定结点（B ）稳定焦点（C ）不稳定焦点（D ）鞍点 10．方程0y y ''+=的任一非零解在(,)x y 平面的x 轴上任意有限区间内（）零点．（A ）无（B ）只有一个（C ）至多只有有限个（D ）有无限个三、计算题（每小题8分，共40分）求下列方程的通解或通积分： 11. 2211d d x y x y --= 12. ()d ()d 0x y x x y y +--= 13. 2y xy y ''=+ 14．012)(2=+'-'y x y 15．032 22=-'-''y x y y y 四、计算题（本题15分）

(完整版)高等数学第七章微分方程试题及答案

常微分方程试题库

高等数学第七章微分方程习题

常微分方程练习题及答案复习题)

高数公式大全(全)

(完整版)高等数学微分方程试题

常微分方程期末试题B答案

高等数学 微分方程

高等数学微分方程试题及答案.docx

(整理)常微分方程试题及参考答案

常微分方程试题

高等数学第九章微分方程试题及答案

常微分方程习题及答案.[1]

高数 第七章题库 微分方程

2018常微分方程考研复试真题及答案

常微分方程试题库.

常微分方程应用题和答案

(完整版)高等数学第七章微分方程试题及答案

最新常微分方程试题库试卷库

常微分方程试题模拟试题(一)

高等数学微分方程

高数第七章题库微分方程