基本不等式的变形及应用

基本不等式a 2 b 2 2ab 的变式及应用

不等式a 2 b 2 2ab 是课本中的一个定理，它是重要的基本不等式之一，对于它及它

各种变式的掌握与熟练运用是求解很多与不等式有关问题的重要方法，这里介绍它的几种 常见的变式及应用

1十种变式

2、应用

由于三个不等式中的等号不能同时成立，故

■ a 1 .b 1 . c 1 4

a 2

b 2

评论：本解法应用“ ab

”观察其左右两端可以发现，对于某一字母左边是

2

一次式，而右边是二次式，显然，这个变式具有升幕与降幕功能，本解法应用的是升幕功

①ab

a 2

b 2 _ a b 2 ② ab (

)；

2

a b 、2 2

a b 2

③（ ）

;

2 2

⑤若b 0，

2

则a

2a b ;

b

1

⑦若a,b R ,(

1)2

4

a b

ab

上述不等式中 等号成立的允要条件均为

⑥a,b

R ,则 1 1

4

a b a

b

⑧若ab

0 ,则 1 2 a 1 b 2

a b

b 2

(a b)

(当且仅当an m n

⑩(a b c)2

3(a 2 b 2 c 2

（当且仅当a b c 时等号成立）

例 1、若 a,b,c R c 2，求证：.a 1

. b 1 c 1 4

证法一：由变式①得

即..a 1

HI 二

理

同b- 2

V

C- 2 a- 2

4

C- 2

b- 2 2

④ a b . 2(a 2 b 2)

a 2

⑨若 m, n R ,a,b R ，则

bm 时等号成立）

1

匕

止 因

证法二：由变式④得a 1 b 1 2(a 1 b 1)

同理：..c 1 1 . 2(c_1一1)

.a 1 .b 1 、c 1 1 2(a b 2) . 2(c 2) .. 2(a b c 4) .12 5 故结论成立

评论：本解法应用“ a b J2(a2b2) ”这个变式的功能是将“根式合并”，将“离散型”要根式转化为统一根式，显然，对问题的求解起到了十分重要的作用。

证法三：由变式⑩得

( a 1 . b 1 、c 1)23(a 1 b 1 c 1) 15

故.a 1 .. b 1 ... c 1 4 即得结论

评论：由基本不等式a b 2ab易产生2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca，两边

同时加上a2 b2 c2即得3(a2 b2 c2) (a b c)2，于是便有了变式⑩，本变式的功能可以将平方进行“分拆”与“合并”。本解法是将平方进行分拆，即由整体平方转化为个

整平方，从而有效的去掉了根号。

例2、设a,b,c R ，求证:

a b

.b . c

Ja Vb Jc a

证明：由变式⑤得〒

v'b 2 . a , b，b

=2勺b J c，厂2\i c Q a

c a

三式相加即得：—

Vb b

c

c

a a、b

、、c

评论: 本解法来至于“若b

a

2

0，则

b

2a b”这个变式将基本不等式转化成更为

灵活的形式，当分式的分子与分母出现平方与一次的关系时，立即可以使用，方便快捷。

2 2

例3、实数a,b满足(a 4) (b 3)

2，求a b的最大值与最小值

个特殊分式的关系，它的灵活应用不仅可以为我们解决基本不等式的最值问题，也为我们 处理圆锥曲线问题中的最值问题开辟了新的途径。

ab(a b)即得变式⑥，本题两次使用基本不等式，第一次应用变式⑥，第二次应用基本不 等式。值得注意的是两次

等号成立的条件必须一致，否则，最值是取不到的。

解析：结合变式⑨得

2 (a 4)2

(b 3)2 (a b 7)2

4 3 4 3

因此 、14 a b

7 ..14 即 7 ,14 a b

7 (14)

3.14

3.14

a 3

a 3

当且仅当3(a 4)

4( b 3)、再结合条件得

7

及

7

时，分

4. 14

414 b 4

b 4

7

7

别获得最小值与最大值；

评论：由a 2m 2

2 2

b n

2mnab n(m n)a 2

m(m n)b 2

mn (a 2

b)再结合

个很特别的公式，它沟通了两分式和与由两分式产生的一

m, n R 即得变式⑨，这可是

例4、已知x, y (

2,2)，且 xy 1，

解析：由变式⑥u

4 4 x 2

2

X) (1

4

(1

____ 4

x 2 2 (

T 2 7)

12 5

上述两不等式当且仅当

屮、再结合xy

2

时,

_6 3

取得最小值; 评论：由a 2 b 2

2ab b(a b) a(a b) 4ab 结合a,b R ,两边同除以

2 2 2 2 2

1 2 2 2

2(a b ) (a b) b a (a b)结合ab 0 ,两边同除a b 即得变式⑧。本

题的求解，虽然“廖廖几步”，但来之实在不易。首先这两个变式不一定大家都熟悉， 其次,

三次使用变式进行转化，必须保证等号在同一时刻取得，可谓步履维艰。

2 2

可以看出：不等式a b 2ab 的各种变式及其灵活运用给予我们带来了不仅仅是

个又一个的难题被“攻克”了，而是一次又一次的体验数学的真谛，一次又一次地充分享 受数学解题的乐趣。

例5、当0 x a 时，不等式 2

x

(a x)2

2恒成立，求a 的最大值;

解：由变式⑧、⑦、②得

1 1 ](丄 1 )

2 x 2 (ax)2

2 x a x

14 14

2 x(a x) 2(X a x )2

上述三个不等式中等号均在同一时刻

8 由笃 2 0 a 2

a

故a 的最大值为2 ；

x a x 时成立

评论：由(a b)2

4ab 再结合a,b

2

R 即得变式⑦；又由a

b 2

2ab 得

基本不等式知识点归纳.

基本不等式知识点归纳 1．基本不等式2 b a a b +≤ (1)基本不等式成立的条件：.0,0>>b a (2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号． [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？ 提示：①当b a =时，ab b a ≥+2取等号，即.2 ab b a b a =+?= ②仅当b a =时， ab b a ≥+2取等号，即.2 b a ab b a =?=+ 2．几个重要的不等式 ).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b a a b R b a ab b a ),(2 )2();,()2(2 222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3．算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2 b a +，几何平均数为a b ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则 (1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)． (2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.4 2 p (简记：和定积最大)． [探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，x x y 1 +=在2≥x 时的最小值，利用单调性，易知2=x 时.2 5min = y [自测·牛刀小试] 1．已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81 D ．243 解析：选A 因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18.

专题：基本不等式常见题型归纳(学生版)

专题：基本不等式 基本不等式求最值 利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号． 三个不等式关系： （1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋ ，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （3）a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b 2)2 ，当且仅当a ＝b 时取等号． 上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系． 其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋ ，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系 【典例1】已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则 1 12 -+b a 的最小值为 . 练习：1．若实数满足，且，则的最小值为 ． 2.若实数,x y 满足1 33(0)2xy x x +=<< ，则313 x y +-的最小值为 ． 3.已知0,0,2a b c >>>，且2a b += ，则 2ac c c b ab +-+ 的最小值为 . 【典例2】已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋y x ＋y 的最大值为 ． 【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________. 变式：1.若,a b R +∈,且满足22 a b a b +=+,则a b +的最大值为_________. 2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______ 3.设R y x ∈,，142 2 =++xy y x ，则y x +2的最大值为_________ 4.已知正数a ，b 满足 19 5a b +=，则ab 的最小值为 ,x y 0x y >>22log log 1x y +=22 x y x y +-

基本不等式的变形及应用

基本不等式ab b a 22 2≥+的变式及应用 不等式ab b a 222≥+是课本中的一个定理，它是重要的基本不等式之一，对于它及它各种变式的掌握与熟练运用是求解很多与不等式有关问题的重要方法，这里介绍它的几种常见的变式及应用 1、十种变式 ①222b a ab +≤； ②2 )2(b a ab +≤； ③2 )2(222b a b a +≤+ ； ④)(222b a b a +≤+ ⑤若0>b ，则b a b a -≥22 ； ⑥ ,,+∈R b a 则b a b a +≥+411 ⑦若ab b a R b a 4 )11(,,2≥ +∈+ ⑧若 ≠ab ，则 2 2 2)11(2111b a b a +≥+ 上述不等式中等号成立的充要条件均为： b a = ⑨若R b a R n m ∈∈+ ,,,，则n m b a n b m a ++≥+2 22)(（当且仅当bm an =时 等号成立） ⑩)(3)(2222c b a c b a ++≤++（当且仅当c b a ==时等号成立） 2、应用 例1、若+∈R c b a ,,，且2=++c b a ，求证：4111<+++++c b a 证法一：由变式①得21 111++≤ +? a a 即12 1+≤+a a

同理：121+≤ +b b ，12 1+≤+c c 因此 12111+≤+++++a c b a 41212≤++++c b 由于三个不等式中的等号不能同时成立，故 4111<+++++c b a 评论：本解法应用“2 2 2b a ab +≤ ”观察其左右两端可以 发现，对于某一字母左边是一次式，而右边是二次式，显然，这个变式具有升幂与降幂功能，本解法应用的是升幂功能。 证法二：由变式④得)11(211+++≤+++b a b a 同理： )11(211++≤++c c ∴≤ ++++++1111c b a )4(2)2(2)2(2+++≤++++c b a c b a 512<= 故结论成立 评论：本解法应用“)(222b a b a +≤+” ，这个变式的功能是将“根式合并”，将“离散型”要根式转化为统一根式，显然，对问题的求解起到了十分重要的作用。 证法三：由变式⑩得 1(3)111(2+≤+++++a c b a 15)11=++++c b 故4111<+++++c b a 即得结论

基本不等式完整版(非常全面)

基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2)2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则 22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式 （1）若,,,a b c d R ∈，则22222 ()()()a b c d a c b d ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知 c b a ,,为两两不相等的实数，求证： ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：2 2 2 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证：

《基本不等式及其变形》导学案

第9课时基本不等式及其变形 1.熟悉基本不等式的变形;并会用基本不等式及其变形来解题. 2了解基本不等式的推广,并会应用. 上一课时我们共同学习了基本不等式的基本概念以及利用基本不等式求最值,并了解了一正二定三相等四最值这些过程.基本不等式是一种重要的数学工具,是集合、函数、不等式、三角函数、数列等知识的综合交汇点,地位重要,这一讲我们将共同探究基本不等式及其变形的应用. 问题1:常见的基本不等式的变形 (1)x+≥2(x>0),x+≤-2(x<0); (2)+≥2(a,b同号),+≤-2(a,b异号); (3)a+b≥2,()2ab; (4)ab≤,()2≤,当且仅当a=b时取等号. 问题2:基本不等式的推广 已知a,b是正数,则有 (调和平均数)≤(几何平均数)≤(算术平均数)≤(平方平均数),当且仅当a=b时取等号. 问题3:基本不等式的推广的推导 ∵a,b是正数,∴≤=, 而≤,又a2+b2≥2ab, ∴2(a2+b2)≥(a+b)2,∴≤. 故≤≤≤.

问题4:若a,b,c∈R+,则≥,当且仅当a=b=c时等号成立,则关于n个正数a1,a2,a3,…,a n的基本不等式为:≥,当且仅当a1=a2=a3=…=a n时等号成立,其中叫作这n个数的,叫作这n个数的. 1.四个不相等的正数a,b,c,d成等差数列,则(). A.> B.< C.= D.≤ 2.已知a>1,b>1,且lg a+lg b=6,则lg a·lg b的最大值为(). A.6 B.9 C.12 D.18 3.已知a,b为正实数,如果ab=36,那么a+b的最小值为;如果a+b=18,那么ab的最大值为. 4.已知a,b,c为两两不相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca. 利用基本不等式判断不等关系 若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是(写出所有正确命题的编号). ①ab≤1;②+≤;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3;⑤+≥2. 基本不等式在证明题中的应用 已知a,b,c都是正数,求证:++≥a+b+c.

基本不等式知识点归纳

基本不等式知识点归纳 1基本不等式.ab空 2 (1) 基本不等式成立的条件： a . 0,b .0. (2) 等号成立的条件：当且仅当a =b时取等号. ［探究］1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？ 提示：①当a = b时，乞_卫_ ab取等号，即a = b= 皂卫hJ ab. 2 2 ②仅当a二b时，-—丄」ab取等号，即 -—=.-；：ab = a =b. 2 2 2?几个重要的不等式 2 2 b a a b 丄2ab(a,b R); 2(ab 0). a b 2 2 a + b 2 a +b 2 a +b ab 臥)(a,b R);( ) (a,b R) 2 2 2 3?算术平均数与几何平均数 设a 0,b 0,则a,b的算术平均数为』~卫，几何平均数为,ab，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术 2 平均数不小于它的几何平均数. 4?利用基本不等式求最值问题 已知x 0, y - 0,则 (1) 如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时，x y有最小值是2「p.(简记：积定和最小). 2 (2) 如果和x y是定值p,,那么当且仅当x = y时，xy有最大值是—.(简记：和定积最大). ［探究］2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 1 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解?例如，y=x 在x_2时的最小值，利用单调 x 5 性，易知X = 2时丫皿山二. 2 ［自测?牛刀小试］ 1.已知m?0, n ? 0,且mn =81，则m ? n的最小值为() A. 18 B. 36 C. 81 D . 243 解析：选 A 因为n>0, n>0,所以m+ n>2 mn= 2 81 = 18.

2021版新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习阅读与欣赏(一) 应用基本不等式的八种变形技巧

应用基本不等式的八种变形技巧 基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”．但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适当变形后才可求最值．常见的变形技巧有以下几种： 技巧一 加上一个数或减去一个数使和或积为定值 函数f (x )＝4 x －3 ＋x (x <3)的最大值是( ) A ．－4 B ．1 C ．5 D ．－1 【解析】 因为x <3，所以3－x >0，所以f (x )＝－??? ?4 3－x ＋（3－x ）＋3≤－ 2 43－x ·（3－x ）＋3＝－1.当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时等号成立，所以f (x )的最大值是－1. 【答案】 D 技巧二 平方后再使用基本不等式 一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值． 若x >0，y >0，且 2x 2＋ y 2 3 ＝8，求x 6＋2y 2的最大值． [思路点拨] 由于已知条件式中有关x ，y 的式子均为平方式，而所求式中x 是一次的，且根号下y 是二次的，因此考虑平方后求其最值． 【解】 (x 6＋2y 2)2＝x 2(6＋2y 2)＝3·2x 2????1＋y 2 3≤3·? ?? ??2x 2＋1＋y 2 322＝3×????922.当且仅当 2x 2＝1＋ y 23，即x ＝32，y ＝422时，等号成立．故x 6＋2y 2的最大值为9 2 3. 技巧三 展开后求最值 对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值． 已知a >0，b >0且a ＋b ＝2，求????1a ＋1????1b ＋1的最小值． [思路点拨] 由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开后将积的最小值转化为和的最小值． 【解】 由题得????1a ＋1????1b ＋1＝1ab ＋1a ＋1b ＋1＝1ab ＋a ＋b ab ＋1＝3 ab ＋1， 因为a >0，b >0，a ＋b ＝2，所以2≥2ab ，所以ab ≤1，所以1 ab ≥1.所以????1a ＋1????1＋1b ≥4(当

基本不等式的变形及应用

基本不等式a 2 b 2 2ab 的变式及应用 不等式a 2 b 2 2ab 是课本中的一个定理，它是重要的基本不等式之一，对于它及它 各种变式的掌握与熟练运用是求解很多与不等式有关问题的重要方法，这里介绍它的几种 常见的变式及应用 1十种变式 2、应用 由于三个不等式中的等号不能同时成立，故 ■ a 1 .b 1 . c 1 4 a 2 b 2 评论：本解法应用“ ab ”观察其左右两端可以发现，对于某一字母左边是 2 一次式，而右边是二次式，显然，这个变式具有升幕与降幕功能，本解法应用的是升幕功 ①ab a 2 b 2 _ a b 2 ② ab ( )； 2 a b 、2 2 a b 2 ③（ ） ; 2 2 ⑤若b 0， 2 则a 2a b ; b 1 ⑦若a,b R ,( 1)2 4 a b ab 上述不等式中 等号成立的允要条件均为 ⑥a,b R ,则 1 1 4 a b a b ⑧若ab 0 ,则 1 2 a 1 b 2 a b b 2 (a b) (当且仅当an m n ⑩(a b c)2 3(a 2 b 2 c 2 （当且仅当a b c 时等号成立） 例 1、若 a,b,c R c 2，求证：.a 1 . b 1 c 1 4 证法一：由变式①得 即..a 1 HI 二 理 同b- 2 V C- 2 a- 2 4 C- 2 b- 2 2 ④ a b . 2(a 2 b 2) a 2 ⑨若 m, n R ,a,b R ，则 bm 时等号成立） 1 匕 止 因

证法二：由变式④得a 1 b 1 2(a 1 b 1) 同理：..c 1 1 . 2(c_1一1) .a 1 .b 1 、c 1 1 2(a b 2) . 2(c 2) .. 2(a b c 4) .12 5 故结论成立 评论：本解法应用“ a b J2(a2b2) ”这个变式的功能是将“根式合并”，将“离散型”要根式转化为统一根式，显然，对问题的求解起到了十分重要的作用。 证法三：由变式⑩得 ( a 1 . b 1 、c 1)23(a 1 b 1 c 1) 15 故.a 1 .. b 1 ... c 1 4 即得结论 评论：由基本不等式a b 2ab易产生2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca，两边 同时加上a2 b2 c2即得3(a2 b2 c2) (a b c)2，于是便有了变式⑩，本变式的功能可以将平方进行“分拆”与“合并”。本解法是将平方进行分拆，即由整体平方转化为个 整平方，从而有效的去掉了根号。 例2、设a,b,c R ，求证: a b .b . c Ja Vb Jc a 证明：由变式⑤得〒 v'b 2 . a , b，b =2勺b J c，厂2\i c Q a c a 三式相加即得：— Vb b c c a a、b 、、c 评论: 本解法来至于“若b a 2 0，则 b 2a b”这个变式将基本不等式转化成更为 灵活的形式，当分式的分子与分母出现平方与一次的关系时，立即可以使用，方便快捷。 2 2 例3、实数a,b满足(a 4) (b 3) 2，求a b的最大值与最小值

基本不等式知识点归纳

基本不等式知识点总结 向量不等式: 【注意】：ab 同向或有0 〔a b| |a| |b| > \\i\ ibii 〔a b ； ab 反向或有 0 \a b\ \a\ \b\> \\a\ \b\\ \a b\; lb 不共线 \\a\ \b\\ \a b\ \a\ \^\.(这些和实数集中类似) 代数不等式： a,b 同号或有 0 \a b\ \a\ \b\> |\a\ \b\ \a b\ ； a,b 异号或有 0 \a b\ \a\ \b\> |\a\ \b\ \a b\. 绝对值不等式： 同a 2 a^ w |aj |a 2| |a 3| 双向不等式：|a | b l w |a b w |a | |b (左边当ab w 0(> 0)时取得等号，右边当ab > 0(w 0)时取得等号.) 放缩不等式: ① a b 0, 1111 2 n n 1 n b 函数 f (x) ax 一(a 、b x 【说 明】: b 0,m 糖水的浓度问题） 【拓展】: 0, m 0, n 0,则 ② a,b,c b a d c ana b n b n 1 2Un ,n ⑤ In x w 1 x (x 0), e x > x 1 (x R). 1 y \ / （一 2 肩 \a H /I ■ 2 码 a ,n 1 , 0）图象及性质

⑴函数f (x) ax a、b 0图象如图: ⑵函数f (x) ax - a. b 0性质: x ①值域: ,2 ,ab] [2.ab,)； ②单调递增区间：（:]，[ ,[ ）;单调递减区间：（0,,0). 重要不等式 基本不等式知识点总结 1、和积不等式：a,b a2b2> 2ab (当且仅当a b时取到“ ”）. 【变形】：①ab w『2&宀a2b2 2 （当a = b时，（芋） 2 , 2 a b 、ab) 2 【注意】: Jab w -------- (a,b R ) , ab w ( 2 a b 2 2) (a,b R) 2、均值不等式： 两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系, 即“平方平均*.若x 0,则x 》算术平均》几何平均》调和平均" 1 2（当且仅当x1时取 “=”； 0,则x 当且仅当x1时取“=”0,则 若ab o,则a 2 （当且仅当a -2 （当且仅当a b时取“=” b时取 “二”） b -2 （当且仅当a b时取“=” a

不等式的变形(一)

解一元一次不等式——不等式的变形（一） 一、教学目标：使学生通过自主探究，理解和掌握不等式的基本性质1、2、3，并会用不等式基本性质 将不等式变形 二、重点：运用不等式基本性质对不等式进行变形。 难点：不等式基本性质的应用。 三、预习内容：课本第58~60页，以及目标手册第62~64页的“当堂课内练习”。完成下列填空： 1、 不等式性质1：如果a ＞b ，那么____________,____________。即不等式的两边都加上（或减去）_________或__________，不等号的方向______。 2、 完成课本第59页的“试一试”，并填空： 不等式性质2：如果a ＞b ，并且c>0，那么ac____bc. 即：不等式两边都乘以（或除以）同一个_______，不等号方向______。 不等式性质3：如果a ＞b ，并且c<0，那么ac____bc. 即：不等式两边都乘以（或除以）同一个_______，不等号方向_______。 3、 解不等式的过程，就是将不等式变形成__________或_______的形式.并与解方程相比较： 4、 仿照课本第59页例1，第60页例2，完成第60页练习。 5、 完成目标手册第64页的“当堂课内练习”。 四、尝试练习一： 1、 方程2x=8的解有___个，不等式2x<8的解有___个. 2、 有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图，试用“＞”、“=”、“＜”填空。 （1） 3a____3b , 3b___3c. （2） a+b____a+c , a-b____c-b. a-b____a-c. （3） b a _____b c 3、 当a>0,b_____0时, ab>0 ; 当a<0 ,b___0时,ab<0 。 4、 在数-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4中选出适合下列不等式的数填空： （1）-54 (5) 4x-15>3x-2 (6) 5+6x ≥5x

专题：基本不等式常见题型归纳

专题函数常见题型归纳 三个不等式关系： （1）a ，b ∈R ，a 2 ＋b 2 ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋ ，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （3）a ，b ∈R ， a 2＋ b 2 2 ≤( a ＋b 2 )2 ，当且仅当a ＝b 时取等号． 上述三个不等关系揭示了a 2 ＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系． 其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋ ，a ＋b ≥2ab (或ab ≤( a ＋b 2 )2 )，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系 【典例1】（扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知1＞＞b a 且 7log 3log 2=+a b b a ，则 1 12 -+b a 的最小值为 . 【解析】∵1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ∴32log 7log a a b b + =，解得1 log 2 a b =或 log 3a b =，∵1＞＞b a ∴1log 2a b = ，即2a b =．211 1111 a a b a +=-++-- 13≥=． 练习：1．（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数满足，且，则的最小值为 ． 解析：由log 2x+log 2y=1可得log 2xy=1=log 22，则有xy=2，那么==（x －y ）+≥2=4，当且仅当（x －y ）=，即x=+1，y=－1时等号成立，故的最小值为4． 2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数,x y 满足 1 33(0)2 xy x x +=<<，则313x y + -的最小值为 ． 3.（无锡市2017届高三上学期期末）已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=，则

基本不等式知识点归纳

基本不等式知识点总结 向量不等式： ||||||||||||a b a b a b -±+≤≤ 【注意】： a b 、 同向或有0?||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-； a b 、反向或有0?||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+； a b 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+.(这些和实数集中类似) 代数不等式： ,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥； ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥. 绝对值不等式： 123123a a a a a a ++++≤ (0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式：a b a b a b -±+≤≤ （左边当0(0)ab ≤≥时取得等号，右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.） 放缩不等式： ①00a b a m >>>>，，则b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】： b b m a a m +<+（0,0a b m >>>，糖水的浓度问题）. 【拓展】：，则，，000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b c R + ∈， b d a c <，则b b d d a a c c +<<+； ③n N +∈ < < ④,1n N n +∈>，211111 11n n n n n - <<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ② 单调递增区间：(,-∞ ，)+∞； 单调递减区间：(0, ，[0).

基本不等式的八种变形技巧

基本不等式的八种变形技巧 基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”．但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适当变形后才可求最值．常见的变形技巧有以下几种： 加上一个数或减去一个数使和或积为定值 函数f (x )＝4 x －3＋x (x <3)的最大值是( ) A ．－4 B ．1 C ．5 D ．－1 【解析】 因为x <3，所以3－x >0，所以f (x )＝－???? ?? 43－x ＋（3－x ）＋3≤－24 3－x ·（3－x ）＋3＝－1.当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时等号成立，所以f (x )的最大值是－1. 【答案】 D 平方后再使用基本不等式 一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值． 若x >0，y >0，且2x 2 ＋y 2 3 ＝8，求x 6＋2y 2的最大值． [思路点拨] 由于已知条件式中有关x ，y 的式子均为平方式，而所求式中x 是一次的，且根号下y 是二次的，因此考虑平方后求其最值． 【解】 (x 6＋2y 2)2＝x 2(6＋2y 2)＝3·2x 2????1＋y 2 3≤3·? ?? ??2x 2 ＋1＋y 2322＝3×??? ?922.当且仅当2x 2＝1＋y 23，即x ＝32，y ＝42 2 时，等号成立．故x 6＋2y 2的最大值为9 2 3. 展开后求最值 对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值． 已知a >0，b >0且a ＋b ＝2，求????1a ＋1???? 1b ＋1的最小值． [思路点拨] 由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开后将积的最小值转化为和的最小值． 【解】 由题得????1a ＋1????1b ＋1＝1ab ＋1a ＋1b ＋1＝1ab ＋a ＋b ab ＋1＝3 ab ＋1，

1.1.2基本不等式 教案(优秀经典公开课比赛教案)

澜沧拉祜族自治县第一中学教案 课题：1.1.2基本不等式 一、教材分析：本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的。教材通过赵爽弦图回顾基本不等式，在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生回顾基本不等式的几何意义，并给出在解决函数最值和实际问题中应用，在知识体系中起着承上启下的作用；从知识的应用价值上看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法（如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等）在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；从内容的人文价值上看，基本不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等，有助于培养学生思维能力和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体. 二、教学目标： 1、知识与技能： （12 a b +≤ ,认识其运算结构； （2）了解基本不等式的几何意义及代数意义； （3）能够利用基本不等式求简单的最值。 2、过程与方法： （1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程； （2）体验数形结合思想。 3、情感、态度与价值观： （1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物； （2）体会多角度探索、解决问题。 三、教学重点： 应用数形结合的思想理解不等式ab b a 222≥+，并从不同角度探索不等式 2 a b +≤ 的证明过程； 通过简单的变形发现基本不等式在最值问题上的作用，并能够进行使用条件辨析及其简单运用。 四、教学难点：2 a b +≤使用限制条件 2 a b +≤等号成立条件 基本不等式在最值问题中的运用 五、教学准备 1、课时安排： 2课时

不等式的基本变形

不等式的简单变形 教学目标 本节通过介绍不等式的变形，对解不等式作了理论上的准备，并引导学生体会不等式与方程的区别。 知识与能力 1．通过本节的学习让学生在自主探索的基础上，联系方程的基本变形得到不等式的基本性质。 2．启发学生在不的概念式的变形中分辨情况，正确应用。 3．教会学生直接应用一次不等式的变形求解一元一次不等式，并指导学生掌握基本方法。 4．在教学过程中要引导学生体会一元一次不等式和方程的区别与联系。 过程与方法 1．通过回顾一元一次方程的变形进入对不等式的变形的讨论。 2．通过具体的实例引导学生探索不等式的基本性质（加法性质）。 3．引导学生发现不等式变形与方程变形的联系，从而引导学生概括不等式另外的性质。 4．通过对不等式的性质的讨论，应用其解简单的不等式。 5．练习巩固，能将本节内容与上节内容联系起来。 情感、态度与价值观 1．通过学生的自主讨论培养学生的观察力和归纳的能力。 2．通过在教学中发挥学生的主体作用，加深在学习中“转化”思想的渗透。 3．通过学生的讨论使学生进一步体会集体的作用，培养其集体合作的精神。 教学重、难点及教学突破 重点1．掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3。 2．对简单的不等式进行求解。

难点正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形。 教学突破 由于这一节探索性较强，在这一节中要让学生自主探索或联系方程的基本变形进行归纳。在这一过程中关键是启发学生注意在不等式的变形中分辨情况，正确应用。在探索简单不等式的解法时要注意不等式性质的应用，引导和鼓励学生自主探索一元一次不等式的一般解法，并注意在教学过程中“转化”思想的渗透。 教学过程： 一、复习练习： 1．不等式中的最小整数值是，不等式≤2中的最大整数值是． 2．写出不等式的一个解是，=7 （填“是”或“不是”）不等式的解，不等式的解是大于的数． 3．用不等式表示：的5倍与2的差不大于与1的和的3 倍．． 4．用不等式表示“的相反数的4倍减5不小于2” 为． 5．“不是一个正数”用不等式表示为． 6．“与3的差的4倍大于8”用不等式表示为． 7．在数轴上表示下列不等式的解 集：（1） x>5. (2).x<-3. (3)x≥-1 (4) -1

基本不等式经典例题精讲.(精选)

新课标人教A 版高中数学必修五典题精讲（3.4基本不等式） 典题精讲 例1（1）已知0＜x ＜3 1 ，求函数(1-3x)的最大值; （2）求函数x 1的值域. 思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x ＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x ＞0与x ＜0讨论. （1）解法一：∵0＜x ＜3 1,∴1-3x ＞0. ∴(1-3x)= 31·3x(1-3x)≤3 1［ 2)31(3x x -+］2=12 1 ，当且仅当31-3x ，即61时，等号成立.∴61时，函数取得最大值12 1. 解法二：∵0＜x ＜31,∴3 1 ＞0. ∴(1-3x)=3x(31)≤3［2 31x x -+］2=121，当且仅当31,即61 时，等号成立. ∴61时，函数取得最大值12 1. （2）解：当x ＞0时，由基本不等式，得x 1≥2x x 1? =2，当且仅当1 时，等号成立. 当x ＜0时，x 1［()+) (1 x -］. ∵＞0,∴()+)(1x -≥2,当且仅当x -1 ,即1时，等号成立. ∴x 1≤-2.

综上,可知函数x 1的值域为(-∞2］∪［2∞). 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练1当x ＞-1时，求f(x)1 1 +x 的最小值. 思路分析：x ＞-1?1＞0,变1-1时1与1 1 +x 的积为常数. 解：∵x＞-1,∴1＞0. ∴f(x) 11+x 111+x 1≥2) 1(1)1(+?+x x -1=1. 当且仅当1=1 1 +x ,即0时,取得等号. ∴f(x)1. 变式训练2 求函数1 3 32 24+++x x x 的最小值. 思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开. 解：令2 +1，则t≥1且x 2 1. ∴1 332 24+++x x x 11 13)1(3)1(22++=++=+-+-t t t t t t t t . ∵t≥1,∴t 1 ≥2 t t 1? =2,当且仅当t 1 ,即1时，等号成立. ∴当0时，函数取得最小值3. 例2已知x ＞0＞0，且 x 1y 9 1，求的最小值.

“基本不等式”的内容教学分析及教学简案 基本不等式的变形公式

“基本不等式”的内容教学分析及教学简案基本不等式的 变形公式 摘要:基本不等式≤是不等式中的第一个基本定理,是用于求函数的最值的一个最基本最有效方法,也是证明不等式的一个最基本方法;同时它还是“形”与“数”的又一次完美而有机的结合. 通过创设情景,从具体的实例出发,展开数学知识的发生、发展过程,使学生能从中发现问题、提出问题,经历数学的发现和创造过程,了解知识__. 关键字:新课标;基本不等式≤;领悟意图;体会用意;教学建议;教学简案 《普通高中新课程标准教科书A数学⑤》(以下简称新课标)必修系列第三章的第4节“基本不等式≤”,它相对于原来《全日制普通高级中学数学教学大纲》是变化较大的一个内容. 原来的课程这部分是偏重于“应用这个基本不等式来证明其他的不等式”,对应用基本不等式来求最值只不过是一个例题而一笔带过,不很重视;而今新课标反过来了,几乎都是怎么应用基本不等式来求最值,这既符合不等式知识的认识规律,也对实际的应用有重要价值;因此教师在实施教学的过程中首先要学好新课标,其次对课程的内容、教学目标的要

求、教学内容的处理等方面,要有一个清晰的认识. 本文主要根据本校(省首批一级重点中学,有60个教学班)的情况对“基本不等式≤”这部分内容谈一些个人的认识与理解、设想与建议,以供大家参考. 关注新课标的要求,领悟新教材编写者的意图 1.?摇新课标对“基本不等式”内容的定位 基本不等式≤是不等式中的第一个基本定理,是用于求函数的 最值的一个最基本最有效的方法,也是证明不等式的一个最基本方法;同时它还是“形”与“数”又一次完美而有机的结合. 通过对基本不等式的学习,使学生掌握不等式的基本定理,认识一个数学基本定理的发生发展过程,以及它的基本应用;从多个例题 与习题中体会从实际问题中抽象出数学问题的过程,培养学生探究数学问题的兴趣和能力,体会数学在实际中的应用价值,提高应用意识 和实践能力. 2. 新课标对“基本不等式”的要求

基本不等式及应用

基本不等式及应用 一、考纲要求： 1.了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 3．了解证明不等式的基本方法——综合法． (1)a 2 ＋b 2 ≥2ab (a ，b ∈R) (2)ab ≤(a ＋b 2 )2 (a ，b ∈R) (3)a 2＋b 2 2≥(a ＋b 2)2(a ，b ∈R) (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为零) 上述四个不等式等号成立的条件都是a ＝b. 四、算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的 算术平均数不小于它们的几何平均数． 四个“平均数”的大小关系；a ，b ∈R+： 当且仅当a ＝b 时取等号. 五、利用基本不等式求最值：设x ，y 都是正数． (1)如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时和x ＋y 有最小值2P. (2)如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时积xy 有最大值14 S 2 . 强调：1、在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时， 应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件. 正：两项必须都是正数； 定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。 等：等号成立的条件必须存在. 2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性．） 想一想:错在哪里？ +≤≤2 a b ≤+2ab a b １．已知函数，求函数的 最小值和此时x 的取值．x x x f 1)(+=1:()22112. f x x x x x x =+≥===± 解当且仅当即时函数取到最小值２．已知函数，求函数的最小值． )2(23)(>-+=x x x x f 3()2223326f x x x x x x x =+≥->??=?=?-?解：当且仅当即时，函数的最小值是

应用基本不等式的八种变形技巧

应用基本不等式的八种变形技巧 基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”．但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适当变形后才可求最值．常见的变形技巧有以下几种： 加上一个数或减去一个数使和或积为定值 函数f (x )＝4 x －3＋x (x <3)的最大值是( ) A ．－4 B.1 C ．5 D ．－1 【解析】 因为x <3，所以3－x >0，所以f (x )＝－??? ?4 3－x ＋（3－x ）＋3≤－ 2 43－x ·（3－x ）＋3＝－1.当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时等号成立，所以f (x )的最大值是－1. 【答案】 D 平方后再使用基本不等式 一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值． 若x >0，y >0，且2x 2 ＋y 2 3 ＝8，求x 6＋2y 2的最大值． [点拨] 由于已知条件式中有关x ，y 的式子均为平方式，而所求式中x 是一次的，且根号下y 是二次的，因此考虑平方后求其最值． 【解】 (x 6＋2y 2)2＝x 2(6＋2y 2)＝3·2x 2????1＋y 2 3≤3·? ?? ??2x 2＋1＋y 2 322＝3×????922.当且仅当2x 2 ＝1＋y 23，即x ＝32，y ＝422时，等号成立．故x 6＋2y 2的最大值为9 2 3. 展开后求最值 对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值． 已知a >0，b >0且a ＋b ＝2，求????1a ＋1????1b ＋1的最小值． [点拨] 由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开后将积的最小值转化为和的最小值． 【解】 由题得????1a ＋1????1b ＋1＝1ab ＋1a ＋1b ＋1＝1ab ＋a ＋b ab ＋1＝3 ab ＋1， 因为a >0，b >0，a ＋b ＝2，所以2≥2ab ，所以ab ≤1，所以1 ab ≥1.所以????1a ＋1????1＋1b ≥4(当且仅当a ＝b ＝1时取等号)，所以????1a ＋1????1b ＋1的最小值是4.

基本不等式的变形及应用

基本不等式a 2 b 2 2ab 的变式及应用 不等式a 2 b 2 2ab 是课本中的一个定理，它是重要的基本不等式之一，对于它及它 各种变式的掌握与熟练运用是求解很多与不等式有关问题的重要方法，这里介绍它的几种 常见的变式及应用 1十种变式 2 ① ab -- 2 2、应用 由于三个不等式中的等号不能同时成立, 2 b 2 评论：本解法应用“ ab a — ” 2 一次式，而右边是二次式，显然，这个变式具有升幕与降幕功能，本解法应用的是升幕功 能。 ②ab a b 、2 ⑤若b ^)2 a 2 b 2 2 .2(a 2 b 2) a 2 0，则亠 b 2a ⑥a,b 1 R ,则一 a 1 ⑦若 a, b R ,(- a 4 ab b ）2 上述不等式中等号成立的充要条件均为: ⑧若ab 0，则- 1)2 ⑨若 m,n R ,a,b R ，则 b 2 (a b)2 m n （当且仅当an bm 时等号成立） ⑩(a b c)2 3(a 2 b 2 （当且仅当a b c 时等号成立） 例 1、若 a,b,c R c 2，求证：a 证法一：由变式①得 因此.a 1 b 1 c 1 1 a 1 2 c 2 a 2 11 观察其左右两端可以发现, 对于某一字母左边是

证法二：由变式④得 ,a 1 ,b 1 .. 2(a 1 b 1) 同理：c 1 1 . 2(c 1 1) a 1 . b 1 , c 1 1 .. 2(a b 2) . 2(c 2) 2(a b c 4) ■ 12 5 故结论成立 评论：本解法应用“ a b J2(a 2 b 2 ) ”，这个变式的功能是将“根式合并”，将“离 散型”要根式转化为统一根式，显然，对问题的求解起到了十分重要的作用。 证法三：由变式⑩得 (.a 1 b 1 c 1)2 3(a 1 b 1 c 1) 15 故.a 1 b 1 ,c 1 4 即得结论 评论：由基本不等式a 2 b 2 2ab 易产生2a 2 2b 2 2c 2 2ab 2bc 2ca ，两边 同时加上a 2 b 2 c 2 即得3(a 2 b 2 c 2 ) (a b c)2 ，于是便有了变式⑩，本变式的功 能可以将平方进行“分拆”与“合并” 。本解法是将平方进行分拆，即由整体平方转化为个 整平方，从而有效的去掉了根号。 例2、设a,b,c R ，求证: 证明：由变式⑤得 a J b ..b 、. c 2 评论：本解法来至于“若b 0，则 — 2a b ”，这个变式将基本不等式转化成更为 b 灵活的形式，当分式的分子与分母出现平方与一次的关系时，立即可以使用，方便快捷。 ■- c ， 三式相加即得: 例3、实数a,b 满足 (a 4)2 2 (b 3) 2，求a b 的最大值与最小值