2012随机过程模拟与实验
随机过程模拟与实验
1. 随机过程模拟与实验介绍
2. 随机数产生原理
3. 实验平台介绍
4. 实验内容安排
随机过程模拟与实验
1. 随机过程模拟与实验介绍
随机模拟的基本方法又称为蒙特卡罗（Monte Carlo）方法。是Velleman与Von Neumann等人在20世纪40年代为研制核武器提出来的，已大量地运用于计算机仿真试验。
随机模拟的典型步骤：
（1）根据问题构建模拟系统
（2）仿真系统中各种分布的随机变量
（3）运行模拟系统，进行统计测量
（4）分析数据，输出结果
主要工具：
基本工具：C、C++等编程模拟、matlab；
网络模拟：OPNET Modeler、NS2：大型网络仿真
CASSAP：数字信号处理；SPW：电子系统
定义：
如果一个实数列{u i } 与均匀分布的独立随机变量序列{U i } 的样本序列具有相同的统计特性，则称之为随机样本值，该数列中的各个数称为均匀分布随机数，简称随机数（Random Number）。
2. 随机数产生原理
随机数的产生有三种方法：
（1）将已有的随机数存表，需要时直接使用。美国兰德公司在1950年曾将100万个在（0，1）区间内的实数存
入计算机外存储器，以便在仿真过程中进行随机调用。（2）将计算机连接到物理设备（如噪声源）上获得随机数流。随机性和均匀性最好，但产生过程太复杂，未能
得到推广。
（3）通过数学算法产生随机数（伪随机数）。这种方法容易与计算机结合，因而得到广泛的应用。
2.1 伪随机数的算法
伪随机数的产生：用户只需给定一个初始的随机数（种子值），调用该算法，即可按某个固定的公式计算出下一个“随机”数。随后，以新产生出来的“随机”数作为种子，再计算出新的“随机”数。重复调用该算法即可产生出一系列的“随机”数，以满足系统仿真的需要。
伪随机数本质上不是随机的。但只要计算公式选择得当，通过比较严格地统计检验，仍然可以产生出一系列近似于
U(0,1) 分布并且相对独立的随机数流，这种随机数流对于大多数仿真模型，是能满足需要的。因此，仍然是目前广泛应用的工程方法。
（1）产生的随机数序列具有循环周期性。可以证明，任何
产生伪随机数的算法总会进入循环，这样为了保证随机数序列不产生重复的数据，就要求循环的周期足够长。
（2）算法过程具有再现性：在初始化时，如果赋予相同的种
子值，将产生完全相同的随机数序列。
伪随机数发生器的特点：
伪随机数是按照一定的计算公式产生的一列数，主要借助于如下的递推公式：u n=f(u n-1,u n-2,…,u n-k)
该公式（或算法）也称为随机数发生器（RNG）。
常用的伪随机数的算法有：
（1）平方取中法（Von Neumann 40年代发明）；
（2）乘法取中法；
（3）线性同余法：简单、实用；
……
2.2 均匀分布的线性同余法
线性同余法
（1）设置y0，即设置种子
（2）y n=ky n-1(mod N)，u n=y n/N
三组常见的参数
（1）N=1010，k=7，周期≈5×107
（2）（IBM随机数发生器）N=231，k=216+3，周期≈5×108
（3）（ran0）N=231-1，k=75，周期≈2×109
大部分计算机语言都提供了产生0－1间隔均匀分布随机数的标准函数或方法：
C语言中的rand函数，VB中的randum函数，java语言中的Randnum类，Python 语言的random 模块。 由均匀分布的随机数可构造出任一分布F(x) 的随机数，最基本的方法是逆变换法：
2.3 一般随机数的产生方法
11()
()
()(),()
()()[][()][()]
()1()
()(0,1)X F x F x U U F x U F x U X F U X F x F x P X x P F U x P u F x f u du du F x f u U U ???∞?∞===≤=≤=≤===∫∫给定分布（假定它是严格单调的），假定由它的反函数对均匀随机变量进行变换，可得：
则的分布函数正好是。因为
其中，是的均匀随机变量密度函数。
3. 实验平台介绍3.1 实验平台包含的源文件3.2 MyRand.cpp的函数
3.3 randomDlg.cpp注意事项
显示R x
实验执行步骤
1.选择执行的实验内容；
2.在出现正确结果后，选择
“保存”；
3.选择结果保存的目录；
4.输入保存结果的文件名，
必须为*.bmp文件；5.选择“保存”。1
2
45
3
最新随机过程考试试题及答案详解1
随机过程考试试题及答案详解 1、（15分）设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均 匀分布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 （1）? ∞ -= x dt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数； （2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ，分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(，2)(b a x E += ，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ，分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21 )(λ=x D ； （4）2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ， 分布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 （1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知， )(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度?? ???+≤≤=其他,0,1 )(t C x C t x f ，一维分布 函数?? ??? +>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(；
实验三 随机过程的计算机模拟
实验三随机过程的计算机模拟 实验目的 1、理解伪随机序列的产生原理，掌握产生伪随机序列的算法； 2、提高用计算机程序实现算法的能力； 3、进一步掌握Matlab的使用和程序设计方法； 4、增强独立设计能力。 实验原理 参见附图“4.4随机信号的计算机模拟”。 实验内容 1、用Matlab语言实现“乘同余法”，用“乘同余法”产生1000个（0,1）区间内均匀分布的随机数，并根据这1000个随机数的统计规律画出概率密度曲线；同时画出均匀分布的理论概率密度曲线，二者进行比较； 源代码： A=ones(1,10000); M=2^32-1; A(1)=45165; a=32719; for i=1:1:10000 A(i+1)=mod((a*A(i)),M); end for i=1:1:10000 A(i)=A(i)/M; end; x=linspace(0+0.0125,1-0.0125,40); yx=hist(A,x); %计算各个区间的个数 yy=(yx/10000)/(x(2)-x(1)); plot(x,yy) %画出概率密度分布图
●概率密度函数曲线 ●理论概率密度曲线 ●比较： 用“乘同余法”产生1000个（0,1）区间内均匀分布的随机数比较剧烈变化，改成了10000个之后依然不变。
2、用Matlab语言实现“混合同余法”，用“混合同余法”产生1000个（0,1）区间内均匀分布的随机数，并根据这1000个随机数的统计规律画出概率密度曲线；同时画出均匀分布的理论概率密度曲线，二者进行比较； ●源代码 （1）先建立M文件 function r=suijishu1(x0,n) format long; m=power(2,35); a=power(5,15); c=1; r=zeros(n,1); x=zeros(n+1,1); x(1)=x0; for i=2:n+1 y=a*x(i-1)+c; x(i)=mod(y,m); r(i-1)=x(i)/m; end format short; （2）在窗口中输入以下程序： >> r=suijishu1(1,1000) ●得出的随机数作图呈随机分布
随机过程上机实验报告讲解.pdf
2015-2016第一学期随机过程第二次上机实验报告 实验目的：通过随机过程上机实验，熟悉Monte Carlo计算机随机模拟方法，熟悉Matlab的运行环境，了解随机模拟的原理，熟悉随机过程的编码规律即各种随机过程的实现方 法，加深对随机过程的理解。 上机内容： （1）模拟随机游走。 （2）模拟Brown运动的样本轨道。 （3）模拟Markov过程。 实验步骤： （1）给出随机游走的样本轨道模拟结果，并附带模拟程序。 ①一维情形 %一维简单随机游走 %“从0开始，向前跳一步的概率为p，向后跳一步的概率为1－p” n=50; p=0.5; y=[0 cumsum(2.*(rand(1,n-1)<=p)-1)]; % n步。 plot([0:n-1],y); %画出折线图如下。
%一维随机步长的随机游动 %选取任一零均值的分布为步长, 比如，均匀分布。n=50; x=rand(1,n)-1/2; y=[0 (cumsum(x)-1)]; plot([0:n],y);
②二维情形 %在(u, v)坐标平面上画出点(u(k), v(k)), k=1:n, 其中(u(k))和(v(k)) 是一维随机游动。例 %子程序是用四种不同颜色画了同一随机游动的四条轨 道。 n=100000; colorstr=['b' 'r' 'g' 'y']; for k=1:4 z=2.*(rand(2,n)<0.5)-1; x=[zeros(1,2); cumsum(z')]; col=colorstr(k); plot(x(:,1),x(:,2),col);
hold on end grid ③%三维随机游走ranwalk3d p=0.5; n=10000; colorstr=['b' 'r' 'g' 'y']; for k=1:4 z=2.*(rand(3,n)<=p)-1; x=[zeros(1,3); cumsum(z')]; col=colorstr(k); plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3),col);
最新随机过程考试真题
1、设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 2、设{ }∞<<∞-t t W ),(是参数为2 σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量； 且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。令R t W t X +=)()(，求随机过程 {}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。 3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个 顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。 4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为： ??? ? ? ??=3.007.08.02.0007.03.0P （1）求两步转移概率矩阵) 2(P 及当初始分布为 0}3{}2{,1}1{000======X P X P X P 时，经两步转移后处于状态2的概率。 （2）求马尔可夫链的平稳分布。 5设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ，转移概率矩阵为： ??? ??? ? ? ? ?=010007.03.0000 0001 00004.06.0003.04 .03.0P
求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 6、设{}(),0N t t ≥是参数为λ的泊松过程，计算[]()()E N t N t s +。 7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以i N 记在i 第层进入电梯的人数。假定i N 相互独立，且i N 是均值为i λ的泊松变量。在第i 层进入的各个人相互独立地以概率ij p 在第j 层离开电梯， 1ij j i p >=∑。令j O ＝在第j 层离开电梯的人数。 （1）计算()j E O （2）j O 的分布是什么 （3）j O 与k O 的联合分布是什么 8、一质点在1，2，3点上作随机游动。若在时刻t 质点位于这三个点之一，则在),[h t t +内， 它都以概率 )(h o h +分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率)(t p j i 及平稳分布。 1有随机过程{ξ(t )，-∞ （1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。 解：由定义，有： )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D （2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马 尔可夫过程。 证明：我们要证明： n t t t <<<≤? 210，有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有： } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时，增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下，即 有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知，在11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立，结果成立。 （3） 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值（00=W ）的、有平稳增量和独立增量的过程， 且对每个0>t ，),(~2t N W t σμ，问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程，为什么？ 解：任取n t t t <<<≤? 210，则有： n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=- 基本操作 -5/(4.8+5.32)^2 area=pi*2.5^2 x1=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6 exp(acos(0.3)) a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] a=[1:3,4:6,7:9] a1=[6: -1:1] a=eye(4) a1=eye(2,3) b=zeros(2,10) c=ones(2,10) c1=8*ones(3,5) d=zeros(3,2,2)； r1=rand(2, 3) r2=5-10*rand(2, 3) r4=2*randn(2,3)+3 arr1=[1.1 -2.2 3.3 -4.4 5.5] arr1(3) arr1([1 4]) arr1(1:2:5) arr2=[1 2 3; -2 -3 -4;3 4 5] arr2(1,:) arr2(:,1:2:3) arr3=[1 2 3 4 5 6 7 8] arr3(5:end) arr3(end) 绘图 x=[0:1:10]; y=x.^2-10*x+15; plot(x,y) x=0:pi/20:2*pi y1=sin(x);y2=cos(x); plot(x,y1,'b-'); hold on; plot(x,y2,‘k--’); legend (‘sin x’,‘cos x’); x=0:pi/20:2*pi; y=sin(x); figure(1) plot(x,y, 'r-') grid on 以二元函数图 z = xexp(-x^2-y^2) 为例讲解基本操作，首先需要利用meshgrid 函数生成X-Y平面的网格数据，如下所示： xa = -2:0.2:2; ya = xa; [x,y] = meshgrid(xa,ya); z = x.*exp(-x.^2 - y.^2); mesh(x,y,z); 建立M文件 function fenshu( grade ) if grade > 95.0 disp('The grade is A.'); else if grade > 86.0 disp('The grade is B.'); else 第一章 随机过程基本概念 P39 1. 设随机过程()0cos X t X t ω=，t -∞<<+∞，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求()X t 的一维概率分布。 解： 1 当0cos 0t ω=，02 t k π ωπ=+ ，即0112t k πω??= + ??? （k z ∈）时， ()0X t ≡，则(){}01P X t ==. 2 当0cos 0t ω≠，02 t k π ωπ≠+ ，即0112t k πω?? ≠ + ??? （k z ∈）时， ()~01X N ，，()0E X ∴=，()1D X =. ()[]()00cos cos 0E X t E X t E X t ωω===????. ()[]()22 000cos cos cos D X t D X t D X t t ωωω===????. ()()20~0cos X t N t ω∴，. 则( )2202cos x t f x t ω- = ；. 2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为 ()cos 2t X t t π?=??，出现正面，出现反面 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为 12。试确定()X t 的一维分布函数12F x ?? ???；和()1F x ；，以及二维分布函数12112 F x x ?? ?? ? ，；， 。 00 11101222 11 随机过程习题解答（一） 第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。 （a）分别写出随机变量和的分布密度 （b）试问：与是否独立？说明理由。 解：（a） （b）由于： 因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为： 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。 （a）试求和的相关系数； （b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解：（a）利用的独立性，由计算有： （b）当的时候，和线性相关，即 3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为 ，且是一个周期为T的函数，即，试求方差 函数。 解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中： 式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。 （a）求的均值、方差和相关函数； （b）若与独立，求与Y的互相关函数。 解：（a） （b） 第二讲作业： P33/2．解： 其中为整数，为脉宽 从而有一维分布密度： P33/3．解：由周期性及三角关系，有： 反函数，因此有一维分布： P35/4. 解：(1) 其中 由题意可知，的联合概率密度为： 利用变换：，及雅克比行列式： 我们有的联合分布密度为： 因此有： 且V和相互独立独立。 （2）典型样本函数是一条正弦曲线。 （3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且 所以。 （4）由于： 所以因此 当时， 当时， 由（1）中的结论，有： P36/7．证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有： P37/10. 解：（1） 当i =j 时；否则 令 ，则有 第三讲作业： P111/7．解： （1）是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。 （2）由题意，我们有一步转移矩阵： P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有： （2）由齐次马氏链的性质，有： （2） 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 随机过程——马尔可夫过程的应用 年级：2013级 专业：通信工程3班 姓名：李毓哲 学号：31 摘要：随机信号分析与处理是研究随机信号的特点及其处理方法的专业基础， 是目标检测、估计、滤波灯信号处理理论的基础，在通信、雷达、自动检测、随机振动、图像处理、气象预报、生物医学、地震信号处理等领域有着广泛的应用，随着信息技术的发展，随机信号分析与处理的理论讲日益广泛与深入。 随机过程是与时间相关的随机变量，在确定的时刻它是随机变量。随机过程的具体取值称作其样本函数，所有样本函数构成的集合称作随机过程的样本函数空间，所有样本函数空间及其统计特性即构成了随机过程。通信工程中存在大量的随机现象和随机问题。如：信源是随机过程；信道不仅对随机过程进行了变换，而且会叠加随机噪声等。 马尔可夫过程是一类非常重要的随机过程。随着现代科学技术的发展，很多在应用中出现的马氏过程模型的研究受到越来越多的重视。在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程，马尔可夫过程在研究质点的随机运动、自动控制、通信技术、生物工程等领域中有着广泛的应用。我们可以通过对马尔可夫过程的研究来分析马尔可夫信源的特性。 关键词：随机过程，马尔可夫过程，通信工程，应用 目录 一、摘要 二、随机过程 、随机过程的基本概念及定义 、随机过程的数学描述 、基于MATLAB的随机过程分析方法三、马尔可夫过程 马尔可夫过程的概念 马尔可夫过程的数学描述 四、马尔可夫过程的应用 马尔可夫模型在通信系统中的应用 马尔可夫模型在语音处理的应用 马尔可夫模型的其他应用 五、结论 参考文献 二、随机过程 、随机过程的基本概念及定义 自然界变换的过程通常可以分为两大类——确定过程和随机过程。如果每次试验所得到的观测过程都相同，且都是时间t的一个确定函数，具有确定的变换规律，那么这样的过程就是确定过程。反之，如果每次试验所得到观测过程都不相同，是时间t的不同函数，没有为确定的变换规律，这样的过程称为随机过程。 、随机过程的数学描述 设随机试验E的样本空间Ω，T是一个数集（T∈(-∞,∞)），如果对于每一个t ∈T，都有一个定义在样本空间Ω上的随机变量 X(w,t)，w∈Ω，则称依赖于t的一族随机变量{X(w,t)，t∈T}为随机过程或随机函数，简记为{X(t)，t∈T }或X(t)，其中t称为参数，T称为参数集。当T={0,1,2,…}，T={1,2,…}，T={…,-2,-1,0,1,2,…}时，{X(w,t)t∈T}称为随机序列或时间序列。 、基于MATLAB的典型随机过程的仿真 信号处理仿真分析中都需要模拟产生各种随机序列，通常都是先产生白噪声序列，然后经过变换得到相关的随机序列，MATLAB有许多产生各种分布白噪声的函数。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 求（1）{}X(t),t (,)∈-∞+∞的样本函数集合；（2）一维分布函数F(x;0),F(x;1)。 解：（1）样本函数集合为{}cos t,t ,t (-,+)π∈∞∞； （2）当t=0时，{}{}1 P X(0)=0P X(0)=12 == ， 故0x<01F(x;0)=0x<12x 11???≤??≥??；同理0 x<-11F(x;1)=1x<12x 11 ??? -≤??≥?? 3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为α，而今天无雨明天有雨的概率为β；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。设 0.7,0.4αβ==，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。 解：由题设条件，得一步转移概率矩阵为00 011011p p 0.70.3P=p p 0.40.6???? =? ???? ???，于是(2) 0.610.39P PP=0.520.48??=????，四步转移概率矩阵为(4)(2)(2) 0.57490.4251P P P 0.56680.4332??==???? ，从而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为(4) 00P 0.5749=。 4.一质点在1,2,3三个点上作随机游动，1和3是两个反射壁，当质点处于2时，下一时刻处于1,2,3是等可能的。写出一步转移概率矩阵，判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。 解：一步转移概率矩阵010111P=333010????? ????? ?? ， 111333 (2)271 199911133 3,????==?????? P P (2)ij p 由>0知，此链有遍历性；(),,ππππ123设极限分布=， 1 1 一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。 解： 当时，＝ ＝ 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解： 所以： 2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个 任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程 ，其中 是常数，与是 相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概 率密度为 试证明为宽平稳过程。 解：（1） 与无关 （2） ， 所以 （3） 只与时间间隔有关，所以 为宽平稳过程。 2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且 数。试求它们的互协方差函 2.5， 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少？ 3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲） 解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 30 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。 解： 法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-； （B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==； （C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++； （D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ； 实验名称：相关正态随机过程的仿真 一、实验目的 以正态随机过程为例，掌握离散时间随机过程的仿真方法，理解正态分布随机过程与均匀分布随机过程之间的相互关系，理解随机过程的相关函数等数值特征;培养计算机编程能力。 二、实验容 相关正态分布离散随机过程的产生 （1）利用计算机语言的[0,1]区间均匀分布随机数产生函数生成两个相互独立的序列 {U1(n)|n=1,2,…100000}，{U2(n)|n=1,2,…100000} 程序代码： clc; N=100000; u1=rand(1,N); u2=rand(1,N);%----------------在[0,1] 区间用rand函数生成两个相互独立的随机序列 n1=hist(u1,10);%--------------------------hist函数绘制分布直方图 subplot(121);%-----------------------------一行两列中的第一个图 bar(n1); n2=hist(u2,10); subplot(122); bar(n2); 实验结果： （2）生成均值为m=0，根方差σ=1的白色正态分布序列 {e(n)|n=1,2, (100000) [][] m n u n u n +=)(2cos )(ln 2-)(e 21πσ 程序代码： clc; N=100000; u1=rand(1,N); u2=rand(1,N);%---------------在[0,1] 区间用rand 函数生成两个相互独立的随机序列 en=sqrt(-2*log(u1)).*cos(2*pi*u2);%--------定义白色正态分布e(n) n=hist(en,100);%--------------------------hist 函数绘制分布直方图 bar(n); 实验结果： （3）假设离散随机过程x(n)服从均值为x m =0、根方差为2x =σ、相关函数为||2)(r k x x k ασ= )6.0(=α 功率谱函数为 1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为mx 和my ，它们的自 相关函数分别为Rx()和Ry()。（1）求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数；（2）求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。 答案： （1）[][])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z ττττ++=+= [][] ) ()()()()()()()()(τττττy x z R R t y t y E t x t x E R t y t x =++== ：独立的性质和利用 （2）[]()()[])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z +?+++=+=ττττ [])()()()()()()()(t y t y t x t y t y t x t x t x E ττττ+++++++= 仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：)(2)()(τττy y x x z R m m R R ++= 2、 一个RC 低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2 的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。 答案： （1） 该系统的系统函数为RCs s X s Y s H +==11)()()( 则频率响应为Ω +=ΩjRC j H 11)( 而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2 )(0n j P X =Ω 该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度函数为： ()2 20212/)()()(Ω+=ΩΩ=ΩRC n j H j P j P X Y 对)(Ωj P Y 求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数： ()??∞ ∞-Ω∞ ∞-ΩΩΩ+=ΩΩ=d e RC n d e j P R j j Y Y ττππτ22012/21)(21)( R C 电压：y(t) 电压：x(t) 电流：i(t) 一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 《随机过程期末考试卷》 1 ?设随机变量X服从参数为■的泊松分布，则X的特征函数为 ___________ 。 2?设随机过程X(t)二Acos(「t+「),-：：vt<：：其中「为正常数，A和门是相互独立的随机变量，且A和“服从在区间10,1 1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为。 3?强度为入的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为_ 的同一指数分布。 4?设「W n ,n 一1是与泊松过程：X(t),t - 0?对应的一个等待时间序列，则W n服从分布。5?袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回， r 对每一个确定的t对应随机变量x(t)=」3’如果t时取得红球，则这个随机过 e t, 如果t时取得白球 程的状态空间__________ 。 6 ?设马氏链的一步转移概率矩阵P=(p j)，n步转移矩阵P(n)=8(；))，二者之间的关系为。 7?设汉.，n -0?为马氏链，状态空间I，初始概率P i二P(X。二i)，绝对概率 P j(n)二P^X n二j?，n步转移概率p j n)，三者之间的关系为_____________ 。 8 .设｛X(t),t 一0｝是泊松过程，且对于任意t2t^ 0则 P{X ⑸= 6|X (3) = 4} = _______ t 9?更新方程K t二H t ? .°K t-s dF s解的一般形式为__________________ 。10?记二-EX n,对一切a 一0,当t—一：时，M t+a -M t > ____________ 3.设］X n,n — 0?为马尔科夫链，状态空间为I，则对任意整数n—0,仁I 随机过程期末模拟题 一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X 服从两点分布，则X 的特征函数为____________。 2．设X(t)=Vcos t,α ,t T=[0,+)∈∞，振幅V 是在区间（0,1）上均匀分布的随机变量， α为常数，则X (t)的相关函数=)4,2(X R ________。 3．强度为λ的泊松过程{}X (t),t 0≥,{}n T ,n 1≥是对应的时间间隔序列，则随机变量 n T (n =1,2,) 独立同分布，密度函数为________________。 4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X (t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则1W 的分布函数为 ______________。 5．设随机过程 X (t)只有两条样本曲线，1X (t,)=acost,ω2X (t,)=-acost,ω其中常数a >0，且 12P ()= 3 ω，21P ()= 3 ω，则随机过程的期望=)(t EX _________。 6．马氏链{}n X ,n 0≥，状态空间I ,记初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率j n p (n )P(X =j)=，n 步 转移概率(n) ij p ，三者之间的关系式为_____________。 7．设{} n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，记初始概率i 0p P(X =i)=，一步转移概率{}ij n+1n p p X j X i ===，用其表示{}0011n n P X =i ,X =i ,,X i == ________________。 8．在马氏链{}n X ,n 0≥中，记 {}(n)ij v n 0f P X j,1v n-1,X j X i ,n 1,=≠≤≤==≥ (n) ij ij n=1 f f ∞ = ∑，若1中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案
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