工程数学2复习线性代数

工程数学2综合练习（2011）

线性代数部分

一、判断下列各题是否正确

1． 若A 、B 是同阶方阵，则（A ＋B ）2 ＝A ＋2AB ＋B 2。

（×） 2． 矩阵A 、B 的积AB ＝0，则A ＝0或B ＝0。 （×）

3． 设A 为一任意矩阵，则A ＋A T ，AA T 均为对称矩阵。

（√） 4． 设对矩阵A 施行初等变换得到矩阵B ，且已知秩(A )＝r ，秩(B )=s ,则r = s 。 （√）

5．A 是n 阶方阵，R ∈λ，则有A A λλ=。 （× ）

6．A ，B 是同阶方阵，且0≠AB ，则111)(---=A B AB 。 （√ ）

二、选择题（单选，括号中填所选项前的字母）

1．若方程组?????=+=+-=++020

209873232321x t x x x x x x 存在非零解，则常数t = [ D ]。

（A ） 2 （B ） 4 （C ） －2 （D ） －4

2．设有n 阶方阵A 与B 等价，则 [ C ]。

(A) | A | = | B | (B) | A | ≠ | B | (C) 若| A |≠0,则必有| B |≠0 (D) |

A | = －|

B |

3．若A 为n 阶可逆矩阵，下列各式正确的是 [ D ]。

（A ）（2A ）-1 = 2 A -1 (B) |2A | = 2 | A | (C)

()A A A 11*--= (D) (A -1 )T = ( A T )-1 4．设61152101

12344321

--=A ，则4A 41+3A 42+2A 43+A 44

= [ A ] (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

5．已知可逆方阵

??????--=-21731A ，则A ＝ [ B ]。

（A ）??????--3172 （B ）??????3172 （C ）??????--2173 （D ）??????--2173

6．设矩阵A 、B 、C 满足AB ＝AC ，则B ＝C 成立的一个充分条件是 [ C ]。

(A) A 为方阵 （B ）A 为非零矩阵 (C) A 为可逆方阵 (D) A 为对角阵

7．下列矩阵中，（ B ）不是初等矩阵。

（A ）001010100?????????

? (B)100000010?????????? (C) 100020001??????????(D) 100012001????-?????? 8.设A 为n 阶方阵，且250A A E +-=。则1(2)A E -+=（ C ）

(A) A E - (B) E A + (C) 1()3A E - (D) 1()3A E +

三、计算下列各题

1． 已知AB ＝A ＋2B ，其中矩阵

????? ??-=321011324A ，求矩阵B 。 2． 已知A 、B 为4阶方阵，且｜A ｜＝－2，｜B ｜＝3，求 (1) | 5AB | ; (2) |-

A B T | ; (3) | ( AB )-1 |。

3． 已知AP ＝PB ，其中

????? ??-=????? ??-=112012001,100000001P B ，求矩阵A 及A 5。 4．已知A+B=AB ，且

121342122A ????=??????，求矩阵B 。 四、证明题：

1． 设方阵A 满足A 2－A －2E ＝0，证明：A 和A ＋2E 都可逆。

2．若A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，AB BA -是否为对称矩阵？证明你的结论。

计算题：

1． 已知AB ＝A ＋2B ，其中矩阵

????? ??-=321011324A ，求矩阵B 。 ()????? ??-----???→?????? ??----==--91221006920106830013211210110113243222;)2(1

行初等变换解：A E A B A B E A

2． 已知A 、B 为4阶方阵，且｜A ｜＝－2，｜B ｜＝3，求 (1) | 5AB | ; (2) |- A B T | ; (3) | ( AB )-1 |。

解：(1) ｜5AB ｜＝54｜A ｜｜B ｜＝-3750

(2) ｜-AB T ｜＝（－1）4｜A ｜｜B ｜＝-6

(3) ｜（AB ）-1｜＝｜AB ｜-1＝－1/6 3. 已知AP ＝PB ，其中

????? ??-=????? ??-=112012001,100000001P B ，求矩阵A 及A 5。 .,;;;116002001;114012001,1551

55121121111A PBP A B B P PB A P PB PBP PBP A PBP A PBP A P P =======????

? ??--==????? ??--=---------故而解：先求

4．解法一：

AB B A =+?()1()A E B A B A E A --=?=-。将A E -与A 组成一个矩阵(|)A E A -，用初等行变换求

1(|())E A E A --。 ()|A E A -=????? ??221121243233121120)(31r r --????? ??221121243233100001

21313,r r r r -- ????? ??-12112014323010000123r r -

????? ??-121120222110100001 322r r - 100001011222001325?? ?- ? ?---??3r -

100001011222001325?? ?- ? ?-??

23r r -

????? ??--523100301010100001。故 ????? ??--=523301100B 。 1021101()332113121326A E --???? ? ? ? ?-==--- ? ? ? ?-????，因此1001()103325B A E A -?? ?

?=-=- ? ?-??。 证明题

1． 设方阵A 满足A 2－A －2E ＝0，证明：A 和A ＋2E 都可逆。

()()　亦可逆。故 又可逆，故证：由已知有E A A E A E A A A E E A A E E A A E A A 22.212

12)(2212+=+-==-?

?=-?=--

2. 若A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，AB BA -是否为对称矩阵？证明你的结论。

解：BA AB -为对称矩阵。

证明：

()()()T T T BA AB BA AB -=-=T T T

T B A A B -=()B A BA ---=BA AB -， 所以BA AB -为对称矩阵。

线性代数B复习资料

一 一、选择题 1.下列4个矩阵中是行最简形的矩阵有【 】 101100101101(1)000(2)001(3)011(4)012010000000001--???????? ???????????????? ???????????????? （A ）(1)、(2)；（B ）（2）、（3）； （C ）（3）、（4）；（D ）（2）、（3）、（4）. 2.设A 是m n ?矩阵，0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =的导出方程组，则下列4个命题不正确的有【 】 （1）若有唯一解，则仅有零解。 （2）若有非零解，则有无穷多解。 （3）若无解，则仅有零解。 （4）若有无穷多解，则有非零解； （A ）（1）、（3）； （B ）（1）、（4） ；（C ）（2）、（3） ；（D ）（2）、（4）. 3.设1212101 0,,,24000021B C P A ?? ?? ?? ?? ===???????? -???????? =，则变A 为C 的初等变换过程2121121210(2)(2)240000r r c c ??????+-+-???????????? 可用矩阵乘法表示为【 】 （A ）PAP BP C == ; （B ）T T T P AP BP C == ; （C ）T T PAP BP C == ; （D ）T P AP BP C ==. 4.设,,A B C 矩阵均为3阶可逆矩阵，则下列6个等式中成立的有【 】 111(1)()(); (2)()(3)()T T T AB C A BC AB A B AB B A ---=== (4)(5)(6)(2)2T A A AB A B A A =-=?-=- （A ）(1)、(3)、(5) ；（B ）（2）、（3）、（6）；（C ）（4）（5）（6）；（D ）（2）、（4）、（6）. 5.设[]1,0,2T ξ=是线性方程组0Ax =的解，则下列4个矩阵中，A 有可能是【 】 [] 011102201(1) 2,1,1;(2) ;(3); (4)422.011010011?? --???? ??---?????? -???? ???? （A ）（1）、（2） ； （B ）（1）、（3）； （C ）（2）、（3）； （D ）（2）、（4）.

《高等工程数学》吴孟达版习题答案(第二章)

《高等工程数学》――科学出版社版习题答案（第二章） （此习题答案仅供学员作业时参考。因时间匆忙，有错之处敬请指正，谢谢！） （联系地址：yangwq@https://www.wendangku.net/doc/4d11552285.html, ） P50 1． 求下列矩阵的特征值、代数重数核几何重数，并判断矩阵是否可对角化 （1）110020112??????????－ （2）011121213??????????－－ （3）411030102?????? ???? － 解：（1）特征值： 1231(1)()λλλ＝代数重数和几何重数均为，＝＝2代数重数和几何重数均为2 可对角化。 （2）特征值： 1231(1)()λλλ＝代数重数和几何重数均为，＝＝2代数重数为2和几何重数为1 不可对角化。 （3）特征值： 123(1)λλλ＝＝＝3代数重数为3、几何重数均为 不可对角化。 2． 求下列矩阵的不变因子、初等因子和Jordan 标准形 （1）3732524103?????????? －－－－－（2）413002??????????10－1 （3）1 2340 1230 0120 00 1?????? ?????? （4）3 00 01300000110000200 0112????????? ? ?????? － 解：（1）不变因子是：123d d d i λλλ+＝1,＝1,＝(-1)(-i)() 初等因子是：i λλλ+(-1),(-i),() Jordan 标准形是：1000000i i ?? ??????-?? （2）不变因子是：123d d d λ3 ＝1,＝1,＝(-3) 初等因子是：λ3 (-3)

Jordan 标准形是：310031003?????????? （3）不变因子是：1234d d d d λ4 ＝1,＝1,＝1,＝(-1) 初等因子是：λ4 (-1) Jordan 标准形是：1 1000 11000110 00 1????? ??????? （4）不变因子是：12345d d d d d λλλλλ＝1,＝1,＝1,＝(-2)（-3），＝(-1)(-2)（-3） 初等因子是：λλλλλ(-2)，（-3），(-1)，(-2)，（-3） Jordan 标准形是：1 0000020000 020******* 0003?? ??? ????? ?????? 3． 设（1）110A 0012??????????－＝22（2）33A 613?????????? －－1＝－7－11－（3）01 0A 111011??????????＝－－ 求可逆矩阵P ，使得P － 1AP 是Jordan 标准形 解：（1）A 的特征值为1231λλλ＝，＝＝2 对应的特征向量是：121,ααT T ＝(，0,-1)＝(0,0,1) 二级根向量是：(2) 2αT ＝(-1,1,0) (2) 122101(,,0110002102P P AP ααα--?? ??=?? ???? ?? ??=?? ???? 1)＝0-1100

线性代数B复习题

线性代数B 复习资料 (一)单项选择题 1．设A ，B 为n 阶方阵，且()E AB =2 ，则下列各式中可能不成立的是（ A ） (A )1-=B A (B)1-=B ABA (C)1-=A BAB (D)E BA =2 )( 2．若由AB=AC 必能推出B=C （A ，B ，C 均为n 阶矩阵）则A 必须满足（ C ） (A)A ≠O (B)A=O (C )0≠A (D) 0≠AB 3．A 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使AB=BA=A ，则（ D ） (A) B 为单位矩阵 (B) B 为零方阵 (C) A B =-1 (D ) 不一定 4．设A 为n ×n 阶矩阵，如果r(A)

同济大学工程数学线性代数第六版答案(全)

第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).

(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3 -(x +y )3 -x 3 =3xy (x +y )-y 3 -3x 2 y -x 3 -y 3 -x 3 =-2(x 3 +y 3 ). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2 ) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ? ? ? ? ? ?

线性代数期末复习题

线性代数 一. 单项选择题 1。设A 、B 均为n 阶方阵，则下列结论正确的是 . （a)若A 和B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵 （b ）若A ≠0且B ≠0,则AB ≠0 (c)若AB 是奇异矩阵，则A 和B 都是奇异矩阵 (d ）若AB 是可逆矩阵,则A 和B 都是可逆矩阵 2. 设A 、B 是两个n 阶可逆方阵，则()1-?? ????'AB 等于（ ） （a ）()1-'A ()1-'B (b ） ()1-'B ()1-'A （c ）() '-1B )(1'-A （d ）() ' -1B ()1-'A 3.n m ?型线性方程组AX=b,当r(A ）=m 时，则方程组 。 （a ） 可能无解 (b)有唯一解 (c)有无穷多解 （d ）有解 4.矩阵A 与对角阵相似的充要条件是 。 (a ）A 可逆 (b)A 有n 个特征值 (c) A 的特征多项式无重根 （d) A 有n 个线性无关特征向量 5。A 为n 阶方阵,若02 =A ，则以下说法正确的是 。 (a ） A 可逆 (b ） A 合同于单位矩阵 (c ） A =0 (d ） 0=AX 有无穷多解 6．设A ,B ，C 都是n 阶矩阵，且满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位矩阵， 则必有（ ） （A ）ACB E = (B)CBA E = (C ）BAC E = (D ） BCA E = 7．若233 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ，则=------=33 32 3131 2322 212113 1211111434343a a a a a a a a a a a a D ( ） （A ）6- （B ）6 （C ）24 （D ）24- 二、填空题 1.A 为n 阶矩阵，|A ｜=3,则|AA '｜= ，｜ 1 2A A -* -|= . 2．设???? ??????=300120211A ,则A 的伴随矩阵=*A ； 3．设A ＝? ? ?? ??--1112，则1 -A ＝ 。

高等工程数学题(南理工高等工程数学考题)

南京理工大学 工程硕士高等工程数学学位课程考试试题（2010.3） （一）矩阵分析 一．（6分）设,021320012???? ? ??-=A 求21,,A A A ∞值。 二．（8分）已知函数矩阵：22222222222223332t t t t t t At t t t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ?? --- ? =--- ? ?---? ? ， 求矩阵.A 。 三．（10分）已知矩阵82225 42 4 5 --=A ，()??? ? ? ??=099t t e e t b （1）求At e ； （2）求解微分方程()()()()()?? ? ??=+=T x t b t Ax dt t dx 2,0,10。 四．（10分）给定3 R 的两个基 ()T x 1,0,11= ()T x 0,1,22= ()T x 1,1,13= ()T y 1,2,11-= ()T y 1,2,22-= ()T y 1,1,23--= 定义线性变换：i i y Tx = ()3,2,1=i （1）写出由基321,,x x x 到基321,,y y y 的过渡矩阵； （2）写出T 在基321,,x x x 下的矩阵； （3）写出T 在基321,,y y y 下的矩阵。 五．（8分）给定(){} R a a A R ij ij ∈==??222 2（数域R 上的二阶实矩阵按矩阵的加法和数乘 构成的线性空间）的子集 {}022112 2=+∈=?a a R A V （1）证明V 是2 2?R 的线性子空间；

工程数学线性代数(同济大学第六版)课后习题答案(全)

第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4.

(2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4;

解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2)(n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2. 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2)(n-1个) 4 2(1个)

2014高等工程数学考试试题 2

中国民航大学 2014 年 2 学期研究生课程考试试题 考 试 科 目：高等工程数学. 学生所在学院：航空自动化学院 学生所在学科：控制工程 航空工程 一．设：321,,e e e 是三维空间的标准正交基，证明： )22(3 1)22(31),22(3132132123211e e e e e e e e e n --=+-=-+=εεε 是标准正交基。 二．求三阶矩阵??????????----=163053064A 的相似对角形及100A ． 注 三．设???? ??????--=201034011A ，求A e 。 意 四．用直接三角分解法求解方程组???? ? ??-=????? ??????? ??-713542774322321x x x ． 行 五．随机过程t X t X ωcos )(=，ω是常数，X 服从正态分布随机变量且,0)(=X E ,1)(=X D 求))((t X E 的期望，方差和协方差函数 为 六．钢板的重量指标平日服从正态分布，它的制造规格规定：钢板重量的方差不得 规 超过016.020=σ，现由２５块钢板组成一个随机样本，给出025.02 *=S ，从这 范 些数据能否得出钢板不合格结论．)05.0,01.0(==αα 遵 七．已知矩阵函数????? ? ??=t e t t t t t t A cos 1412sin )(2 ，求：?21)(dt t A ，)(t A '，)(t A dt d ，)(lim 2t A t '→． 守 八 某种零件质量服从正态分布，抽取１６件，测质量的平均值为 89.377,856.416 12==∑=i i x x ，求平均质量的置信区间．置信度为０．９５． 场 九．通过某十字路口的车流是一个泊松过程．设在一分钟内没有车辆通过的概率 2.0，求两分钟内有多于一辆车通过的概率． 纪

线性代数复习资料

第十章线性代数简介 本章知识结构导图 数学家的故事: 阿瑟·凯利简介 (Richmond)，卒于剑桥。17岁时考入剑桥大学的三一学院，毕业后留校讲授数学，几年 内发表论文数十篇。1846年转攻法律学，三年后成为律师，工作卓有成效。任职期间， 他仍业余研究数学，并结识数学家西尔维斯特(Sylvester)。1863年应邀返回剑桥大学 任数学教授。他得到牛津大学、都伯林大学和莱顿大学的名誉学位。1859年当选为伦敦 皇家学会会员。 凯利和西尔维斯特同是不变量理论的奠基人。在布尔1841年的工作的影响下，他首 创代数不变式的符号表示法，给代数形式以几何解释，然后再用代数观点去研究几何学。他第一次引入n 维空间概念，详细讨论了四维空间的性质，为复数理论提供佐证，并为射影几何开辟了道路。他还首先引 入矩阵概念以化简记号，规定了矩阵的符号及名称，讨论矩阵性质，被公认为矩阵论的奠基人。他开始将 矩阵作为独立的数学对象研究时，许多与矩阵有关的性质已经在行列式的研究中被发现了，这也使得凯利 认为矩阵的引进是十分自然的。他说：“我决然不是通过四元数而获得矩阵概念的；它或是直接从行列式 的概念而来，或是作为一个表达线性方程组的方便方法而来的。”他从1858年开始，发表了《矩阵论的 研究报告》等一系列关于矩阵的专门论文，研究了矩阵的运算律、矩阵的逆以及转置和特征多项式方程。 凯利还提出了凯利-哈密尔顿定理，并验证了3×3矩阵的情况，又说进一步的证明是不必要的。哈密尔顿 证明了4×4矩阵的情况，而一般情况下的证明是德国数学家弗罗贝尼乌斯（F.G.Frohenius）于1898年 给出的。

本章小结 本章主要掌握行列式、矩阵的概念及运算，逆矩阵、矩阵方程、线性方程组的求解。 一、行列式的定义与性质 1. 一阶行列式：1111a a =；二阶行列式： 1112 112212212122 a a a a a a a a =-； 三阶行列式： 111213 22 23212321222122 2311121311111212131332 3331333132313233 111213111112121313111112121313 (1)(1)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a M a M a M a a a a a a a a a a M a M a M a A a A a A +++=-+=-+=-+-+-=++；其中ij M 为 余子式，ij A 为代数余子式。 2. 性质： (1)任何行列式与它的转置行列式相等,即 D =D T 。 (2)互换行列式的两行（列），行列式变号。 (3)如果行列式有两行（列）相同，则行列式为0。 (4)行列式某一行(列)的各元素乘以同一个数,等于这个数乘以该行列式。 (5)若行列式有两行(列)的元素对应成比例，则行列式为0。 (6)如果某一行(列)元素都是两个数之和，则此行列式就等于两个行列式的和。 (7)行列式的任一行(列)的所有元素乘以同一个数，再加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变。 (8)行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。 (9)行列式中的任一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于0。 3. 计算方法： (1)二阶、三阶行列式可以根据定义直接计算； (2)选择0元素较多的行（列），按该行（列）展开计算； (3)利用行列式的性质，把某行（列）化为只有一个非零元素，按该行（列）展开计算； (4)利用行列式的性质，化为三角形行列式再进行计算。 二、矩阵及其运算 1. 同型矩阵的线性运算规律：+=+A B B A ；()()++=++A B C A B C ；+=A O A ；()+-=A A O ；()k l k l +=+A A A ；()k k k +=+A B A B ，0,0k l ≠≠。 2. 矩阵乘法的运算规律： ()() =AB C A BC ； ()()=+=+A B +C AB AC,B +C A BA CA ； ()() λλλ=AB A B =A B ； =AE EA=A 。 注意：(1) AB ，只有当A 的列数等于B 的行数时，该乘积才有意义；(2)矩阵乘法不满足交换律；(3)矩阵乘法不满足消去律。 3. 矩阵转置运算规律：()T T =A A ；()T T T =+A+B A B ；()T T λλ=A A ；()T T T =AB B A 。 三、逆矩阵 1. 定义：若AB=E ，则A 、B 互为逆矩阵，记1-=A B ，1-=B A 。

线性代数复习题带参考答案(2)

线性代数考试题库及答案 第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数10 3 23211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 734111113263478 ----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 40 3 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题

工程数学-线性代数第五版答案02教学教材

工程数学-线性代数第五版答案02

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 第二章 矩阵及其运算 1. 已知线性变换: ?????++=++=++=3 213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换. 解 由已知: ???? ?????? ? ?=???? ??221321323513122y y y x x x , 故 ???? ?????? ? ?=???? ??-3211221323513122x x x y y y ???? ?????? ??----=321423736947y y y , ?????-+=-+=+--=3 21332123211423736947x x x y x x x y x x x y . 2. 已知两个线性变换 ?????++=++-=+=3 2133212311542322y y y x y y y x y y x , ?????+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知 ???? ?????? ? ?-=???? ??221321514232102y y y x x x ??? ? ?????? ??--???? ??-=321310102013514232102z z z

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 ??? ? ?????? ??----=321161109412316z z z , 所以有?????+--=+-=++-=3 213321232111610941236z z z x z z z x z z z x . 3. 设???? ??--=111111111A , ??? ? ??--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ??? ? ??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB ??? ? ??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503, ???? ??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T . 4. 计算下列乘积: (1)??? ? ?????? ??-127075321134; 解 ???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374??? ? ??=49635. (2)??? ? ??123)321(;

工程数学线性代数课后答案

习题解答 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: 解(1)原式= 2x( - 4) X3 + OX (-1)x(-1)+ 1X1X8 -1x(-4)x(-1)-2X (-1)X8-OX1X3 = -4； (2) 原式=acb 十 bac + cba - c‘ - a 3 - b' =3abc — a 3 — — c 3 ; (3) 原式=1?&?c 2 + l*c*a 2 + l'a*62-l*6*a 2-l*c ,62-l*a*c 2 =be 2 + ca 2 十 ab 2 — ba' — cb 2 ~ ac 2 = c 2(6-a) + aZ>(6-a)-c(A 2-a 2) = (a-6)(Z )-c)(c-a); (4) 原式=x(x + y)y + yx(x + y) + (?r + y)yx - (x + yV - d - =-2(x 3+y ). 2. 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： (1) 1 2 3 4； (2) 4 1 3 2； ⑶3 4 2 1; (4) 2 4 1 3; ⑸1 3 …(2n - -1) 2 4 …(: 加) ； (6) 1 3 …(2n - ?1) (In) (2n - 2) … 2. 解(1)此排列为自然排列，其逆序数为0; (2) 此排列的首位元素的逆序数为0；第2位元素1的逆序数为1;第3位元 素3的逆序数为1;末位元素2的逆序数为2,故它的逆序数为0+ 1 + 1 + 2 = 4； (3) 此排列的前两位元素的逆序数均为0;第3位元素2的逆序数为2；末 位元素1的逆序数为3,故它的逆序数为0 + 0 + 2 + 3 = 5; (4) 类似于上面,此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0,0,2, 1,故它的逆序数为0 + 0 + 2+1 = 3; (5) 注意到这2刃个数的排列中，前n 位元素之间没有逆序对.第n + 1位 元素2与它前面的n - 1个数构成逆序对，故它的逆序数为“?1;同理，第” +2 倍元素4的逆序数为” -2;…；末位元素2n 的逆序数为0.故此排列的逆序数 2 0 1 仃) 1 -4 -1 -1 8 3 1 1 1 ⑶ a b c a 2 b 2 c 2 ? t

工程数学线性代数同济大学第六版课后习题答案

第一章 行列式 1、 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4、

(2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3、 (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a )、 (4)y x y x x y x y y x y x +++、 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3)、 2、 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4;

解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32、(3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1、(4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3、 (5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2、 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个)

大学线性代数必过复习资料

复习重点： 第一部分 行列式 1． 排列的逆序数（P .5例4；P .26第2、4题） 2． 行列式按行（列）展开法则（P .21例13；P .28第9题） 3． 行列式的性质及行列式的计算（P.27第8题） 第二部分 矩阵 1． 矩阵的运算性质 2． 矩阵求逆及矩阵方程的求解（P .56第17、18题；P .78第5题） 3． 伴随阵的性质（P .41例9；P .56第23、24题；P.109第25题）、正交阵的性质（P .116） 4． 矩阵的秩的性质（P .69至71；P .100例13、14、15） 第三部分 线性方程组 1． 线性方程组的解的判定（P .71定理3；P.77定理4、5、6、7），带参数的方程组的解的 判定（P.75例13；P .80第16、17、18题） 2． 齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） 3． 非齐次线性方程组的解的结构（通解） 第四部分 向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换） 1．向量组的线性表示 2．向量组的线性相关性 3．向量组的秩 第五部分 方阵的特征值及特征向量 1．施密特正交化过程 2．特征值、特征向量的性质及计算（P.120例8、9、10；P.135第7至13题） 3．矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化（P .135第15、16、19、23题） 要注意的知识点： 线性代数 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

高等工程数学 试题 答案

《高等工程数学》试题 一、 设总体X 具有分布律 其中(01)θθ<<为未知参数，已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，求θ的矩估计和最大似然估计. 解：（1）矩估计：2222(1)3(1)23EX θθθθθ=+?-+-=-+ 14 (121)33 X =++= 令EX X =，得5?6 θ=. （2）最大似然估计： 2 2 5 6 ()2(1)22L θθθθθθθ=??-=- 45ln() 10120d d θθθθ=-= 得5?6 θ= 二、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度)1,10(~N X ，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为10.8（mg/L ），标准差为1.2（mg/L ），问该工厂生产是 否正常？（220.0250.0250.9750.05,(9) 2.2622,(9)19.023,(9) 2.700t αχχ====） 解： （1）检验假设H 0：σ2 =1，H 1：σ2 ≠1； 取统计量：20 2 2 )1(σ χs n -= ； 拒绝域为：χ2≤)9()1(2975.022 1χχ α=-- n =2.70或χ2 ≥2025.022 )1(χχα=-n =19.023， 经计算：96.121 2.19)1(22 2 2 =?=-= σχs n ，由于)023.19,700.2(96.122∈=χ2， 故接受H 0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为σ2=1。 （2）检验假设101010 ≠'='μμ：，：H H ； 取统计量：10 /10S X t -=~ )9(2 αt ；

拒绝域为2622.2)9(025.0=≥t t ；1028.210 /2.1108.10=-= t <2.2622 ，所以接受0 H '， 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L ）。 综上，认为工厂生产正常。 三、 在单因素方差分析中，因素A 有3个水平，每个水平各做4次重复实验，完成下列方差分析表，在显著水平0.05α=下对因素A 是否显著做检验。 解： 0.95(2,9) 4.26F =，7.5 4.26F =>，认为因素A 是显著的. 四、 现收集了16组合金钢中的碳含量x 及强度y 的数据，求得 0.125,45.7886,0.3024,25.5218xx xy x y L L ====，2432.4566yy L =. （1）建立y 关于x 的一元线性回归方程01 ???y x ββ=+； （2）对回归系数1β做显著性检验（0.05α=）. 解：（1）1 25.5218 ?84.39750.3024 xy xx l l β== = 1 ??35.2389y x ββ=-= 所以，?35.238984.3975y x =+ （2）1?2432.456684.397525.5218278.4805e yy xy Q l l β=-=-?= 2 278.4805 ?19.8915214 e Q n σ ===- ?5 4. 46σ==

线性代数期末复习题

线性代数复习题 一、判断题 (正确在括号里打√，错误打×) 1. 把三阶行列式的第一列减去第二列，同时把第二列减去第一列，这样得到的新行列式与原行列式相等，亦即 3 3333222221 1111333222111------=c a b b a c a b b a c a b b a c b a c b a c b a . ( ) 2. 若一个行列式等于零，则它必有一行（列）元素全为零，或有两行（列）完全相同，或有两行（列）元素成比例. ( ) 3. 若行列式D 中每个元素都大于零，则D > 0. ( ) 4. 设C B A ,,都是n 阶矩阵，且E ABC =，则E CAB =. ( ) 5. 若矩阵A 的秩为r ，则A 的r －1阶子式不会全为零. ( ) 6. 若矩阵A 与矩阵B 等价，则矩阵的秩R (A ) = R (B ). ( ) 7. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合. ( ) 8. 若向量组s ααα,...,,21线性相关，则1α一定可由s αα,...,2线性表示. ( ) 9. 向量组s ααα,...,,21中，若1α与s α对应分量成比例，则向量组s ααα,...,,21线性相关. ( ) 10. )3(,...,,21≥s s ααα线性无关的充要条件是：该向量组中任意两个向量都线性无关. ( ) 11. 当齐次线性方程组的方程个数少于未知量个数时，此齐次线性方程一定有非零解. ( ) 12. 齐次线性方程组一定有解. ( ) 13. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -λ为1-A 的特征值. ( ) 14. 方程组()A λ-=E x 0的解向量都是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量. ( ) 15. n 阶方阵A 有n 个不同特征值是A 可以相似于对角矩阵的充分条件. ( ) 16. 若矩阵A 与矩阵B 相似，则R R =A B ()(). ( ) 二、单项选择题 1. 设行列式 , ,21 23 121322 21 1211n a a a a m a a a a ==则行列式 =++23 2221 131211a a a a a a ( ) n m + )A ( )( )B (n m +- m n - )C ( n m - )D ( 2. 行列式7 012156 83的元素21a 的代数余子式21A 的值为 ( ) 33 )A ( 33 )B (- 56 )C ( 56 )D (-

工程数学线性代数课后习题答案

第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a )

(4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n ) 解 逆序数为 2 ) 1(-n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个)

(2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n2) (n1个) 3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项 解含因子a11a23的项的一般形式为 (1)t a11a23a3r a4s 其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42 所以含因子a11a23的项分别是 (1)t a11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44 (1)t a11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42 4计算下列各行列式

高等工程数学模拟题2

《高等工程数学》考试 一、 填空题（每题4分，共20分） 1. 设两个父代为10101100和10001011，随机产生交叉位为第3位，则用单交叉位法产生的后代为 . 2. 已知矩阵011101110-??? ?=-????--?? A ， 2max ∞∞=x Ax = . 3. 如果判定问题Q NP ∈且NP 中的任何一个问题都可在多项式时间内规约为 Q ，则称Q 为 . 4.设()33212121133 f x x x x x =+--，则其局部极小点为 . 5.设5211422310A ????=-????-?? ，若采用Jacobi 方法求解Ax b =，收敛性结果是 二、（10分）已知0810********-????=?????? A (1) 利用盖尔圆隔离定理证明有三个互异实特征值。 (2) 用幂法计算按模最大的特征值及相应的特征向量：设初始向量为[]1, 1, 1T ，迭代两次， 保留4位有效数字。 三、（10分）用外点罚函数法求解如下问题，并分析解的收敛性 122121min ..00x x s t x x x +??-+≥??≥? 四、（10分）用列主元法求解方程组 1234102000101412439010310??????????????????=???????????????? ??x x x x

五、(10分) 考虑问题221212min 22x R x x x x ∈+- ，用最速下降法迭代一步，初始点为。 六、(10分)求出如下问题的K-K-T 点 2123 1232123min ()3..10 0 f x x x x s t x x x x x x =-+----+≥-++= 七、（10分）设矩阵100131011-????=????-?? A ，求A 的不变因子、初等因子及其Jordan 标准型。 八、（10分）已知110150220, 612118????????==???????????? A b （1）求A 的满秩分解； （2）求A +； （3）求Ax b =的极小范数解或极小范数最小二乘解。 九、（10分）用单纯形法求解问题 123 12 13123123min ()3..2921 ,,0 f x x x x s t x x x x x x x x x x =-+-+≤-+=-+-≥≥