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解超定方程组的矩阵形式为

36 第六章习题解答与问题

一、习题解答

1．用最小二乘法求解超定方程组

2411353264214

x y x y x y x y +=-=+=+=⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

解：超定方程组的矩阵形式为

⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-14631124215342y x 将方程两端同乘以系数矩阵的转置矩阵，可得正规方程组

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡6993493330y x 解之，得 x = 2.9774，y = 1.2259。

2．观测一个作直线运动的物体，测得以下数据：

在表中，时间单位为秒，距离单位为米。假若加速度为常数，求这物体的初速度和加速度。解：设物体运动的初速度和加速度分别为v 0和a ，初始时刻距离为0，则距离函数为

1)(at t v t S +

= 用后5

可得，v 0 = 10.6576，a = 4.6269 3．用最小二乘法求一个形如 y A e

B x

=的经验公式，使与下列数据相拟合

解：令

z = ln y 。故，所求经

难公式为 = 84.25 e – 0.4564 x

。 4 已知实验观测数据(x i ，y i ) ( i = 1，2，…，m )。令

1)(0=x ϕ，∑=-=m

i i x m x x 1

11)(ϕ

取拟合函数为

)()()(1100x a x a x ϕϕϕ+=

试利用曲线拟合的最小二乘法确定组合系数 a 0，a 1 （推导出计算公式）。解：记

T m x x x )]()()([020100ϕϕϕϕ

= T m x x x )]()()([121111ϕϕϕϕ

T m y y y y ][2

显然，0ϕ

是元素全为“1”的列向量。将所有实验数据的X 坐标代入拟合函数，并令其分别等于实验数据的Y 坐标值，得超定方程组

[]y a

=⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡1

010

ϕϕ

将方程组两端同乘以矩阵T ][10

ϕϕ

，得正规方程组 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡),(),(),(),(),(),(10101010

11000y y a a ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ 记∑==m

i i x m x 1

1，由于系数矩阵中两个非对角元素为

0)(),(),(1

0110=-=-==∑∑==x m x x x m

i i m i i ϕϕϕϕ

所以

),(),(0000ϕϕϕ y a =，)

,(),(1111ϕϕϕ y a =

5．对某个物体的长度测量n 次后，得n 个近似值 x 1，x 2，……x m ，通常取平均值作为所

求长度的值。试用最小二乘法原理说明其理由。解：利用最小二乘原理，设物体的长度为x ，记

δk = x – x k ( k = 1，2，……，m )

则残差平方和为

∑=-=m

k k x x x S 1

2)()(

为了求上面函数极小值，由极值必要条件，令S’(x ) = 0，得

0)(1

=-∑=m

k k

由此得

∑==m

k k x m x 1

6．求 f (x ) = e x

在区间[–1，1]上的三次最佳逼近多项式。

解：利用勒让德多项式作基函数，即 P (x ) = a 0 p 0(x ) + a 1 p 1(x ) + a 2 p 2(x ) + a 3 p 3(x )，其

38 中

p 0(x ) = 1，p 1(x ) = x ， 2123)(22-=x x p ，x x x p 2

25)(33-=

利用正交性，得系数为

⎰-+==

11)()(2

12),(),(dx x f x p n p p f p a n n n n n ( n = 0，1，2，3) 而

10)()(----==⎰⎰

e e dx e dx x

f x p x 11

11112)()(---==⎰⎰

e dx xe dx x

f x p x

⎰⎰----=-=

1121

127)2123()()(e e dx e x dx x f x p x

e e dx e x x dx x

f x p x 537)2325()()(1113113-=-=---⎰⎰ ≈-⨯=-)(2110e e a 1.1752，≈⨯=-11223

e a 1.1036，

≈-⨯=-)7(2512e e a 0.3578，≈-⨯=-)537(27

13e e a 0.0705

所以，

P (x ) = 1.1752 + 1.1036 x+ 0.3578)2123(2-x +0.0705)2325(3x x -

=0.9963+0.9978 x + 0.5367 x 2 + 0.1762 x

7．在著名的高次插值的龙格反例中，2

)(x

x f +=在区间[–5，5]上的10次拉格朗日插值出现振荡现象。为了使插值余项极小化，可以利用切比雪夫多项式的极性。试推导11次切比雪夫多项式零点所对应[–5，5]的上的插值结点。解：由11次切比雪夫多项式零点，得

1112cos(5π

+=k x k ( k = 0，1，2， (10)

二、例题

求二次多项式拟合函数

2．利用数据表

012试列出超

定方程组并导出对应的正规方程组（不用求解正规方程组）。

解：超定方程组为：⎥⎥

⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--++--2112210421111001111421k k k k k y y y y y a a a ，

正规方程组为：⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3212103401001001005b b b a a a

其中， b 1 = y k-2 + y k-1 + y k + y k+1 + y k+2，

b 2 = -2y k-2 – y k-1 – y k+1 +2y k+2，

b 3 = 4y k-2 + y k-1 + y k+1 + 4y k+2

3．求区间[ – 1，1 ]上的二次正交多项式

4．正交化过程 5．练习题

1．设B 点是线段AC 上的一点，记AB 长为x 1，BC 长为x 2，经测量得数据如下：

AB=15.5，BC=6.1，AC=20.9

试用最小二乘原理计算出 x 1，x 2的长度。 2．求a ，b 使

⎰

-+2

2]sin [πdx x b ax 最小。 3．利用数据表

01程组并导出对应的正规方程组。求常数项系数a 0。

求超定方程组的最小二乘解

求超定方程组的最小二乘解最小二乘法是一种常用的数学方法，用于求解超定方程组的近似解。超定方程组指方程的个数多于未知数的个数，因此无法直接求解精确解。而最小二乘法通过将方程组中的每个方程的残差平方之和最小化，找到一个最接近解的估计值。最小二乘法的应用非常广泛，尤其在数据拟合和回归分析中被广泛使用。举个例子来说，假设我们有一组观测数据，表示了某个物理过程的实际情况。而我们想要通过一个数学模型来描述这个物理过程。但是由于观测误差等原因，我们无法通过这组数据直接得到精确的解。这时，我们可以使用最小二乘法来逼近这个数学模型。首先，我们假设这个数学模型是一个线性方程组。然后，我们根据观测数据，使用最小二乘法来找到一个最接近的解。具体的求解步骤如下： 1. 假设我们的线性方程组可以表示为 Ax = b 的形式，其中 A 是一个 m 行 n 列的系数矩阵，x 是一个 n 维列向量表示未知数，b 是一个 m 维列向量表示观测数据。 2. 我们的目标是找到一个最小二乘解 x*，使得 ||Ax - b||^2 = min。其中，||.|| 表示向量的模（即向量的长度的平方）。

3. 通过数学推导可以得到，最小二乘解可以通过求解正规方程组ATAx = ATb 得到。其中，AT 是 A 的转置矩阵，A^T 表示 A 的伪逆矩阵。 4. 求解正规方程组的方法有多种，最常见的是使用矩阵的分解方法，如QR分解或奇异值分解等。通过以上步骤，我们可以得到最小二乘解 x*，并使用它来逼近我们的数学模型。最小二乘法的优点在于它能够处理带有误差的观测数据，提供一个最优的近似解。它在实际应用中具有广泛的指导意义。举个实际案例来说，假设我们要估计一辆汽车的燃油消耗量与其速度的关系。我们首先收集了一组汽车在不同速度下的燃油消耗数据。然后，我们可以使用最小二乘法来拟合一个线性模型，得到一个最优的近似解。通过最小二乘法，我们可以得到一个线性关系的方程，表示速度与燃油消耗量之间的关系。这个方程可以帮助我们预测汽车在不同速度下的燃油消耗量，从而提供对于汽车设计和燃油效率的指导意义。总之，最小二乘法是一种非常有用的数学方法，可以用于求解超定方程组的近似解。它在数据拟合和回归分析中有着广泛的应用，可以提供有指导意义的结果。无论是在科学研究、工程设计还是商业决策中，最小二乘法都扮演着重要的角色。

超定方程用最小二乘法求解

根据解的存在情况，线性方程可以分为: 有唯一解的恰定方程组，解不存在的超定方程组，有无穷多解的欠定方程组。对于方程组Ax=b，A为n×m矩阵，如果A列满秩，且n>m。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。对于超定方程，在MATLAB 中，利用左除命令（x=A\b）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解。左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；独立方程个数大于独立的未知参数的个数的方程，称为超定方程，在matlab里面有三种方法求解，一是用伪逆法求解，x=pinv(A)*b,二是用左除法求解，x=A\b,三是用最小二乘法求解, x=lsqnonneg(A,b) (3)矩阵求逆行数和列数相等的矩阵称为方阵，只有方阵有逆矩阵。方阵的求逆函数为： B=inv(A) 该函数返回方阵A的逆阵。如果A不是方阵或接近奇异的，则会给出警告信息。在实际应用中，很少显式的使用矩阵的逆。在MATLAB中不是使用逆阵x=inv(A)*B来求线性方程组Ax=B的解，而是使用矩阵除法运算x=A\B来求解。因为MATLAB设计求逆函数inv时，采用的是高斯消去法，而设计除法解线性方程组时，并不求逆，而是直接采用高斯消去法求解，有效的减小了残差，并提高了求解的速度。因此，MATLAB推荐尽量使用除法运算，少用求逆运算。 (4)除法运算在线性代数中，只有矩阵的逆的定义，而没有矩阵除法的运算。而在MATLAB 中，定义了矩阵的除法运算。

计算方法习题第一、二章答案

第一章误差 1 问，，7 22分别作为π的近似值各具有几位有效数字？分析利用有效数字的概念可直接得出。解 π= 592 65… 记x 1=，x 2=，x 3=7 22. 由π- x 1= 59…= 40…知 34111 10||1022 x π--?<-≤? 因而x 1具有4位有效数字。由π- x 2= 59…= 59…知 223102 1||1021--?≤-

python解超定方程组

Python解超定方程组 1. 介绍超定方程组是指方程的个数大于未知数的个数的方程组。解决超定方程组的问题在数学和工程领域中非常常见，例如最小二乘法、数据拟合和信号处理等。Python 作为一种功能强大且易于使用的编程语言，提供了多种方法来解决超定方程组的问题。本文将介绍如何使用Python解超定方程组，并提供一些常见的解决方案和示例代码。 2. 解决方案在Python中，有多种方法可以解决超定方程组的问题。下面将介绍三种常见的解决方案：最小二乘法、矩阵求逆和使用优化算法。 2.1 最小二乘法最小二乘法是一种常见的解决超定方程组的方法。它通过最小化方程组的残差平方和来找到最优解。在Python中，可以使用numpy库的lstsq函数来实现最小二乘法。首先，需要将超定方程组表示为矩阵形式。假设方程组为Ax=b，其中A是一个 m×n的矩阵，x是一个n维向量，b是一个m维向量。可以使用numpy库的array 函数将A和b表示为矩阵。 import numpy as np A = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]]) b = np.array([7, 8, 9]) 然后，可以使用numpy库的lstsq函数来解决超定方程组。该函数返回一个包含最小二乘解的向量x，以及残差平方和。 x, residuals, rank, singular_values = np.linalg.lstsq(A, b, rcond=None) 最后，可以打印出最小二乘解和残差平方和。 print("最小二乘解:", x) print("残差平方和:", residuals) 2.2 矩阵求逆另一种解决超定方程组的方法是使用矩阵求逆。假设方程组为Ax=b，其中A是一个m×n的矩阵，x是一个n维向量，b是一个m维向量。可以使用numpy库的pinv 函数来求解矩阵A的伪逆。

超定方程组

设线性方程组b Ax =中， n m ij a A ?=)(,b 是 m 维已知向量，x 是n 维解向量，当m ＞n 即方程组中方程的个数多于未知量的个数时，称此方程组为超定方程组。一般来说，超定方程组无解（此时为矛盾方程组），这时需要寻找方程组的一个“最近似”的解。记Ax b r -=，称使 2 r 即 22 r 最小的解* x 为方程组b Ax =的最小二乘解。可以证明如下定理：定理 * x 是b Ax =的最小二乘解的充分必要条件为：* x 是b A Ax A T T =的解。例1：求超定方程组 ??? ?? ? ?=+=+=-=+7 26235311 4221212121x x x x x x x x 的最小二乘解，并求误差平方和

解：方程组写成矩阵形式为 ????? ???????=? ?????????????????-7631112 21534221x x 正规方程组为 ????????????? ?????-=????????? ? ? ???????-??????-7631112 5 4213212 21534212 5 4 2132 21x x 即 ?? ????=????????????--4851463 31821x x 解得 2418 .1, 0403.321 ==x x 此时： ??? ?? ? ?=+=+=-=+3224 .725239.529119.2530478.114221212121x x x x x x x x

误差平方和为 34065942 .0) 3224.77()5239.56()9119.23()0478.1111(2 2 2 2 =-+-+-+-=I

最小二乘法求解超定方程组

最小二乘法求解超定方程组最小二乘法是一种常用的数学方法，用于求解超定方程组。在实际问题中，我们经常会遇到方程个数大于未知数个数的情况，这时候就需要使用最小二乘法来找到一个最优解。最小二乘法的基本思想是，通过最小化误差的平方和来确定未知数的值。假设我们有一个超定方程组Ax=b，其中A是一个m×n的矩阵，m>n，x是一个n维向量，b是一个m维向量。我们的目标是找到一个x，使得Ax尽可能接近b。首先，我们可以将方程组写成矩阵形式：A^T Ax = A^T b，其中 A^T表示A的转置。这个方程被称为正规方程。我们可以通过求解正规方程来得到最小二乘解。为了求解正规方程，我们需要计算A^T A和A^T b的乘积。首先计算A^T A，它是一个n×n的对称矩阵。然后计算A^T b，它是一个n维向量。最后，我们可以通过求解线性方程组(A^T A)x = A^T b来得到最小二乘解x。然而，直接求解正规方程可能会遇到一些问题。当A^T A的条件数很大时，求解过程可能会变得不稳定。此外，当A的列向量之间存在线性相关性时，A^T A可能不可逆，导致无法求解。为了解决这些问题，我们可以使用奇异值分解（SVD）来求解最小二乘问题。SVD将矩阵A分解为UΣV^T的形式，其中U和V是正交

矩阵，Σ是一个对角矩阵。通过SVD，我们可以得到A的伪逆A^+，它是VΣ^+U^T的形式，其中Σ^+是Σ的逆矩阵。利用A^+，我们可以得到最小二乘解x = A^+ b。这个解是使得Ax 尽可能接近b的解。通过SVD，我们可以避免求解不可逆的正规方程，同时也可以提高求解的稳定性。最小二乘法在实际问题中有广泛的应用。例如，在数据拟合问题中，我们可以使用最小二乘法来拟合一个函数曲线，使得拟合曲线与实际数据之间的误差最小。在信号处理中，最小二乘法可以用于滤波和降噪。在机器学习中，最小二乘法可以用于线性回归和参数估计。总之，最小二乘法是一种重要的数学方法，用于求解超定方程组。通过最小化误差的平方和，我们可以找到一个最优解。通过奇异值分解，我们可以提高求解的稳定性和可靠性。最小二乘法在实际问题中有广泛的应用，是数学建模和数据分析中不可或缺的工具之一。

matlab解线性方程组

设有n个变量，m个方程，方程组的系数矩阵为A，常数项列向量为b，则A为m×n矩阵，b为m×l矩阵，方程组可写为Ax=b 其中x为n个变量构成的列向量，若rank（A）=m，且m=n，则方程有唯一解，称为恰定方程组；设B=（A|b）为增广矩阵，且若rank （A）≠rank（B），则方程组无解，称为超定方程组；rank（A）=rank （B）=r

在MATLAB中输入：因而，原方程组的通解为

其中k1与k2为任意常数。例5.2.2 求方阵A的含有最多零元素个数的解。

在例5.2.1求解后，运行：则有

故方程组的通解为恰定方程组的求解恰定方程组Ax=b的求解比较简单。一般可用两种方法：一种是利用逆矩阵求解：x=inv（A）b；另一种是用除法求解x=A\b。两种方法的异同点是：算法上都采用Guass消去法，但用除法求解时，无需求A的逆，这样可以很好地保证求解时的计算精度，还能节省大量的计算时间。当然也可以用Cramer法则求解方程组。比较多种形式求解恰定方程组：

结果为：

最小二乘法解超定方程组

1. 最小二乘法解超静定方程组（1.《数值分析》，闵涛，秦新强，赵凤群编，P68页，例3-5）（2.《无网格法》，张雄，刘岩著，P10~11页） 1.1 理论知识如果配点数(方程数)r 大于试函数中的项n (未知量个数)，将导致超定方程组： Gu =P (1) 其中系数矩阵G 为r ×n 阶矩阵，P 为r 阶列阵。方法一：利用最小二乘法求解，即令(1)中每个方程的误差的平方和最小： [][]0∂ --=∂T Gu P Gu P u (2) 方法二：或 Ku =f (3) 其中 T T K =G G,f =G P (4) 1.2 算例例3.5 利用最小二乘法解下列超定方程组 123123 1231232312521352 x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪+-=-⎪⎨ ++=⎪⎪-+=-⎩ (5) 方法一：利用最小二乘法求解其中系数矩阵G 为4×3阶矩阵，P 为4阶列阵。 43111131252315⨯⎡⎤ ⎢⎥ -⎢ ⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦G (6) []412112T ⨯=--P (7) 31123[,,]T x x x ⨯=u (8)

12311232123312343 31 41 41 21112311311252125213523152x x x x x x x x x x x x x x x ⨯⨯⨯⨯++-⎡⎤ ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥+-+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-++--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ Gu P (9) []1231231231231231231231232222 123123123123[]] 2312,3125213522521352(2)(31)(2521)(352) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =--++-⎡⎤ ⎢⎥+-+⎢ ⎥=++-+-+++--++⎢⎥++-⎢⎥-++⎣⎦ =++-++-++++-+-++T I Gu P Gu P (10) [][]0,∂ --=∂T Gu P Gu P u (11) 由于123[,,]T x x x =u 即分别对x 1，x 2，x 3球偏导，得到 1231231 1231231232(2)2(31)22(2521)23(352)2(1511193)I x x x x x x x x x x x x x x x x ∂=++-++-+∂+⨯⨯+-+⨯⨯-++=+++ (12) 同理可得 1232 2(113636)I x x x x ∂=++-∂ (13) 1233 2(193315)I x x x x ∂=+++∂ (14) 令偏导数等于零 123112321233 2(1511193)02(113636)02(193315)0I x x x x I x x x x I x x x x ⎧∂=+++=⎪∂⎪⎪∂=++-=⎨∂⎪⎪∂=+++=⎪∂⎩ (15) 法方程组为： 1231511193113636193315x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ (16) 解此方程组得最小二乘解: x 1= -1.5917 x 2= 0.5899 x 3=0.7572

牛顿迭代法解超定方程

牛顿迭代法解超定方程牛顿迭代法是一种求解非线性方程的方法，它可以用来解决超定方程组的问题。超定方程组是指方程组的未知数个数大于方程个数的情况，这种情况下方程组无法直接求解，需要借助数值计算方法来求解。牛顿迭代法的基本思想是利用函数的局部线性近似来逼近函数的根。具体来说，假设我们要求解方程f(x)=0的根，我们可以先猜测一个初始值x0，然后利用函数f(x)在x0处的切线来逼近函数的根。切线的斜率就是函数在x0处的导数f'(x0)，因此我们可以得到一个逼近根的公式： x1 = x0 - f(x0) / f'(x0) 这个公式表示，我们可以用x0减去f(x0)除以f'(x0)的值来得到一个更接近根的值x1。然后我们可以用x1来代替x0，再次应用上述公式，得到一个更接近根的值x2。重复这个过程，直到我们得到一个满足精度要求的解。对于超定方程组，我们可以将其转化为一个非线性方程f(x)=0的形式，其中x是未知数向量。然后我们可以利用牛顿迭代法来求解这个非线性方程。具体来说，我们可以将初始值x0设置为一个任意的向量，然后利用向量的导数来计算牛顿迭代法的公式： x1 = x0 - J(x0)^(-1) * f(x0)

其中J(x0)是f(x)在x0处的雅可比矩阵，它是一个m×n的矩阵，其中m是方程个数，n是未知数个数。J(x0)^(-1)表示J(x0)的逆矩阵，它可以用数值计算方法来求解。f(x0)是方程组在x0处的函数值向量，它也可以用数值计算方法来求解。通过不断迭代上述公式，我们可以得到一个满足精度要求的解向量。这个解向量就是超定方程组的解。牛顿迭代法是一种非常有效的求解超定方程组的方法。它利用函数的局部线性近似来逼近函数的根，可以快速地求解非线性方程。在实际应用中，我们可以利用数值计算方法来求解雅可比矩阵的逆矩阵和函数值向量，从而得到一个精确的解向量。

矩阵求解技巧

矩阵求解技巧矩阵是线性代数中的一个重要概念，矩阵求解是线性方程组求解的一种常见方法。本文将介绍一些常用的矩阵求解技巧。 1. 矩阵的基本运算：加法和乘法是矩阵的两个基本运算。矩阵的加法满足交换律和结合律，即(A+B)+C=A+(B+C)和A+B=B+A。矩阵的乘法不满足交换律，但满足结合律，即A(BC)=(AB)C。矩阵乘法有着广泛的应用，可以用来解决线性方程组和矩阵方程等问题。 2. 矩阵的转置：矩阵的转置是将矩阵的行和列对调得到的新矩阵。设A为m×n的矩阵，其转置矩阵记作A^T，其为n×m的矩阵，且满足(A^T)ij=Aji。转置矩阵具有一些重要的性质，如(A^T)^T=A，(A+B)^T=A^T+B^T，和(A×B)^T=B^T×A^T。转置矩阵可以用来求解线性方程组的转置方程组，即将线性方程组的系数矩阵转置后进行求解。 3. 矩阵的行列式：矩阵的行列式是一个数值，它用来判断方阵是否可逆以及计算矩阵的逆。矩阵的行列式具有一些重要的性质，如交换行（列）互换行列式的值不变，行（列）线性相关则行列式的值为0，两行（列）互换行列式的值取负等。行列式可以通过展开定理来计算，即将矩

阵按某一行（列）展开成若干个元素的代数和，再逐行（列）计算这些代数和。 4. 矩阵的逆：对于一个可逆矩阵A，可以求出其逆矩阵A^-1，满足A×A^-1=I，其中I为单位矩阵。矩阵的逆可以通过行列式和伴随矩阵来计算，即A^-1=adj(A)/|A|，其中adj(A)为矩阵A的伴随矩阵，|A|为矩阵A的行列式。求解矩阵的逆可以用来解决线性方程组的解。 5. 高斯消元法：高斯消元法是一种用来求解线性方程组的常见方法。通过一系列的行变换，可以将方程组化为上三角形或者对角形的形式，进而求解出方程组的解。高斯消元法的基本思想是将方程组的系数矩阵化为上三角矩阵，然后逐行回代求解出未知数的值。 6. 初等变换法：初等变换法是求解线性方程组的另一种方法。通过一系列的初等行变换，可以将方程组化为行简化阶梯形的形式，进而求解出方程组的解。初等变换法的基本思想是通过行变换将系数矩阵化为行简化阶梯形矩阵，然后通过回代求解出未知数的值。 7. LU分解：LU分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。设A为一个n×n的矩阵，LU分解的形式为A=LU，其中L为n×n的下三角矩阵，U为n×n的上三角矩阵。LU分解可以将线性方程组的求解问题分解为两个步骤：先通过正向替代求解Lc=b，再通过回代求解Ux=c，从而求出方程组的解x。

Matlab求解非线性超定方程组-恰定方程组-欠定方程组

Matlab求解非线性超定方程组 3x+2/(5+y)=6， 4x+4/（5+y）=7， 9x+4/(8+y）=12 11x+2/(4+y)=15 x，y是未知数 —-—————---—----—--—- clc;clear; %其实楼主的问题可以等效为求最小值的问题，我使用的指标是典型的平方和最小 xtt=［1，1］； f=＠（x）(3*x(1）+2/(5+x（2））—6）^2+（4＊x（1）+4/(5+x(2）)-7）^2+(9*x （1)+4/（8+x(2)）—12)^2+(11*x（1）+2/（4+x（2）)-15）^2; [x，fval］=fminsearch(f,xtt） ============================================================================== 求解线性方程组 solve，linsolve 例： A=[5 0 4 2;1 —1 2 1;4 1 2 0；1 1 1 1]；％矩阵的行之间用分号隔开，元素之间用逗号或空格 B=［3;1;1；0] X=zeros（4，1）；%建立一个4元列向量 X=linsolve(A，B) diff(fun，var，n）：对表达式fun中的变量var求n阶导数。例如:F=sym（'u（x，y)＊v（x,y）’）; %sym（）用来定义一个符号表达式 diff(F）；%matlab区分大小写 pretty（ans) %pretty()：用习惯书写方式显示变量；ans是答案表达式

非线性方程求解 fsolve(fun,x0，options）其中fun为待解方程或方程组的文件名; x0位求解方程的初始向量或矩阵； option为设置命令参数建立文件fun.m： function y=fun(x） y=[x（1)-0。5*sin（x（1）)—0.3*cos(x（2）)， .。. x（2）- 0。5＊cos(x（1))+0。3＊sin（x（2））］; 〉>clear;x0=[0。1，0。1］；fsolve(＠fun，x0,optimset（’fsolve')）注： .。。为续行符 m文件必须以function为文件头,调用符为＠；文件名必须与定义的函数名相同;fsolve（）主要求解复杂非线性方程和方程组，求解过程是一个逼近过程。 Matlab求解线性方程组 AX=B或XA=B 在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/"和“\”.如: X=A\B表示求矩阵方程AX＝B的解； X＝B/A表示矩阵方程XA=B的解. 对方程组X＝A\B,要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A的列数，方程X＝B/A同理。如果矩阵A不是方阵，其维数是m×n，则有: m＝n 恰定方程,求解精确解； m>n 超定方程,寻求最小二乘解;

矩阵解方程组

矩阵解方程组矩阵解方程组 1. 什么是矩阵解方程组？矩阵解方程组是一种通过用矩阵代数来简化n个线性方程求解的方法。它们是用等式状态矩阵的形式来表示的，而变量的值则由未知矩阵X 来决定。与普通的线性解法相比，该方法能够更加快速地解决任何形式的n元线性方程组，并且能够解决任何情况的线性方程求解问题，比如有限及无线性个数的方程组。 2. 矩阵解方程组的步骤 (1) 以向量形式总结出方程组中各等式：用矩阵解方程组所需要做的第一步是将n个线性等式以向量形式表述出来，即将方程组公式： a1X1+a2X2+…+anXn=b b1X1+b2X2+…+bnXn=c c1X1+c2X2+…+cnXn=d

… 变成矩阵的格式： [a1 a2 a3 … an b1 b2 b3 … bn c1 c2 c3 … cn]*[x1 x2 x3 … xn]=[b c d] (2) 构造方程组的增广矩阵：构造方程组的增广矩阵的下一步是将上述n个等式形式的矩阵扩展成一个n+1行的矩阵，即加入与未知变量数相同的那一列，这一列就是

待求解的值向量。 (3) 用矩阵求解出该方程组：此时所得到的矩阵即为方程组的增广矩阵，可通过运用矩阵代数计算得出矩阵的逆矩阵，即求得X的值，从而求解出该线性方程组的解。 3. 矩阵解方程组的优势 (1) 简化了求解复杂方程的步骤：由于矩阵解法大大简化了求解复杂方程的步骤，它能够通过多次分解矩阵实现“一步到位”式的求解。 (2) 适用范围广：矩阵解法不但能够解决任何情况的线性方程求解问题，而且它还可以用来解决同阶方程非线性方程组，甚至是高阶方程组。 (3) 更易于实现：矩阵运算使用向量计算的特定算法可以有效地减少计算步骤，从而可以更快速、更简单地实现。 4. 结论

matlab微积分例题精选

matlab 微积分基本运算 §1 解方程和方程组解 1. 线性方程组求解对于方程 AX = B ,其中 A 是( m ×n )的矩阵有三种情形： 1)当n=m 且A 非奇异时,此方程为“恰定”方程组。 2)当 n > m 时,此方程为“超定”方程组。 3)当n

1.0571 -0.5940 0.3188 两种方法所求方程组的解相同。 (2)MATLAB 解超定方程AX=B 的方法对于方程 AX = B ,其中 A 是( m ×n )的矩阵， n > m ，如果A 列满秩，则此方程是没有精确解的。然而在实际工程应用中，求得其最小二乘解也是有意义的。基本解法有： 1)采用求伪逆运算解方程 x=pinv(A)*B 说明：此解为最小二乘解x=inv(A ’*A)*A*B,这里pinv(A) =inv(A ’*A)*A. 2)采用左除运算解方程 x=A\B 例2 “求伪逆”法和“左除”法求下列方程组的解 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+1221421221 2121x x x x x x 命令如下： >> a=[1 2;2 4;2 2]; >> b=[1,1,1]'; >> xc=a\b %用左除运算解方程运行得结果: xc = 0.4000 0.1000 >> xd=pinv(a)*b %用求伪逆运算解方程运行得结果: xd = 0.4000 0.1000 >> a*xc-b %xc 是否满足方程ax=b 运行得结果: ans = -0.4000 0.2000 0.0000 可见xc 并不是方程的精确解。 (3) MATLAB 解欠定方程AX=B 的方法欠定方程从理论上说是有无穷多个解的，如果利用求“伪逆”法和“左除”法来求解，只能得到其中一个解。基本方法： 1)采用求伪逆运算解方程

matlab 超定方程组

matlab 超定方程组 Matlab是一种非常强大的数值计算软件，它提供了丰富的工具和函数，用于解决各种数学问题。其中，超定方程组是Matlab中一个非常重要的概念和应用。本文将详细介绍超定方程组的概念、求解方法以及在实际问题中的应用。一、超定方程组的概念超定方程组指的是方程个数大于未知数个数的方程组。例如，有m 个方程和n个未知数，其中m大于n。这种情况下，方程组通常是无解的，因为方程个数过多，不可能完全满足所有方程。然而，我们可以通过最小二乘法来寻找最接近满足所有方程的解。二、求解超定方程组的方法 Matlab提供了多种求解超定方程组的方法，以下是其中两种常用的方法： 1. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的求解超定方程组的方法。它的基本思想是通过最小化误差的平方和来确定最佳解。在Matlab中，可以使用“lsqnonlin”函数来实现最小二乘法的求解。该函数可以在给定初始解的情况下，通过迭代优化的方式找到满足所有方程的最佳解。 2. 伪逆矩阵法伪逆矩阵法是另一种常用的求解超定方程组的方法。它的基本思想

是通过求解原方程组的伪逆矩阵，得到最优解。在Matlab中，可以使用“pinv”函数来计算伪逆矩阵，并得到最优解。三、超定方程组的应用超定方程组在实际问题中有着广泛的应用。以下是几个常见的应用场景： 1. 数据拟合在数据分析领域，我们经常需要对实验数据进行拟合，从而得到数据背后的规律和模型。而超定方程组可以用来描述数据与模型之间的关系，通过求解超定方程组，可以找到最佳的模型参数，从而实现数据拟合。 2. 信号处理在信号处理领域，超定方程组可以用来对信号进行重构和去噪。通过将信号表示为超定方程组的形式，可以利用最小二乘法或伪逆矩阵法来恢复原始信号，并去除其中的噪声。 3. 图像处理在图像处理领域，超定方程组可以用来实现图像的增强和恢复。通过将图像表示为超定方程组的形式，可以通过求解超定方程组来实现图像的去模糊、去噪等操作，从而提高图像的质量和清晰度。四、总结

用矩阵法解方程组——excel高级应用

用矩阵法解方程组——excel高级应用 2008-07-12 15:57 1 理论基础根据数学知识将方程组改写成矩阵方程的形式： AX = B 其中，A =(a ij )n*n 为n阶系数方阵；X=( X1， X2，……，Xn），是n维未知列向量；B=(b1，b2，⋯ bn) ，为n维常数列向量。若系数方阵A有逆矩阵则X=A-1B成立，这样一来，就由求解线性方程组的问题转变成求未知向量的问题．系数方程A 有逆矩阵的充分必要条件是A 所对应的行列式的值不为0．即：若系数行列式l A l≠0，则方程组必有唯一的解：X=A-1B，这样求解线性方程组的过程就是进行一系列矩阵运算的过程，而Excel提供了一些矩阵运算的函数，利用这些函数可以很容易地进行相关的矩阵运算，从而得到线性方程组的解． 2 实例求解例如要求解的解线性方程组为： 2X 1l+3 X 2 +2 X 3 +3 X 4 =0 3 X 1+2 X 2 -2 X 3 +3 X 4 = 3 3 X 1+3 X 2 +3 X 3 -4 X 4 = 14 2 X 1-2 X 2 -3 X 3 -3 X 4 =7 求解具体步骤如下： 1)在Excel中输入系数方阵．在Excel工作表中任选4行4列的一个区域，如：A ：D4，将系数行列式的元素依次输入到该区域中去，如表1所． 2)判断线性方程组是否有解．选择另外一个元格，如E1，单击“常用” 具栏中“fx函数”按钮．在“函数分类”中选择“数学与三角数”类，然后选择“MDETERM”函数．在“Array”输入框中输入域A1：D4 。单击“确定”按钮，在E1单元格中显示出行列式的值为一145。由此结果得知该方程组系数行列式的值不为0，此系数矩阵有逆矩阵，方程组有唯

数值计算方法习题(2018-解答仅供参考)

习题一 1、下列各数都是经过四舍五入得到的近似值。试分别指出它们的绝对误差、相对误差和有效数字的位数。 35801=x ,00476.02=x ,33101430.0⨯=x , 24102958-⨯=x ,85000.55=x 。解： 2、已知2031.1=a ,978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a b a ⨯+,有几位有效数字? 解：3211 10,1022 a a b b *-*--≤⨯-≤⨯，而 2.1811, 1.1766a b a b +=⨯= ()()3212111 101010222 a b a b a a b b ****---+-+≤-+-≤⨯+⨯≤⨯ 故a b +至少具有2位有效数字。 ()()32120.978 1.20311 10100.006510222 ab a b b a a a b b *** **----≤-+-≤ ⨯+⨯=≤⨯ 故a b +至少具有2位有效数字。 3、求二次方程01162 =+-x x 的较小正根，取94.763≈，要求有3位有效数字。解：*1228887.940.06x x x ==-==，*2x 只有一位有效数字。若改用 21 80.062715.94 x =≈，具有三位有效数字。 4、正方形的边长约cm 100，问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过 21cm ? 解：正方形的面积函数为2 ()A x x = (*)2*(*)A A x εε∴=. 当*100x =时，若(*)1A ε≤, 则21 (*)102 x ε-≤ ⨯

故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过2 1cm 5、改变下列表达式，使其计算结果比较精确。 (1)1,1 1>>--+ x x x x x ； (2)1),1ln(2>>--x x x ； (3)1, 1<<-x e x ； (4) x x sin cos 1-。解：（1 （2）（3）（4） 2 2sin 1cos 2 tan sin 22sin cos 22 x x x x x x -==