正则化方法求解最小二乘解
正则化方法求解最小二乘解
最小二乘是最常用的线性参数估计方法，早在高斯的年代，就用开对平面上的点拟合线对高维空间的点拟合超平面。考虑超定方程其中b为数据向量，A为m*n数据矩阵并且m>n,假定数据向量存在误差和观测值无关，即b=b,+e为了抑制误差对矩阵方程求解的影响，引入一校正向量△b用它去”扰动“有误差数据向量b，使校正项尽可能小，同时通过强合Ax=b +△b补偿存在与数据向量b中的不确定性(噪声或者误差)使得b+△b=bo+e+△b→b,从而实现Ax=b +△b→
Ax=bo 的转换使校正向量尽可能小，则可以实现无误差的矩阵Ax=b。的求解矩阵方程的这一求解思想可以用下面的优化问题进行描述
d0min|Obl|l2 = ||Ax-b||2 = (Ax -b)T(Ax -b)这个方法就称之为最小二乘法ordinary least squares OLS)
一文让你彻底搞懂最小二乘法(超详细推导)
一文让你彻底搞懂最小二乘法 （超详细推导） 要解决的问题 在工程应用中，我们经常会用一组观测数据去估计模型的参数，模型是我们根据先验知识定下的。比如我们有一组观测数据 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi)（一维），通过一些数据分析我们猜测 y y y和 x x x之间存在线性关系，那么我们的模型就可以定为： f ( x ) = k x + b f(x)=kx+b f(x)=kx+b 这个模型只有两个参数，所以理论上，我们只需要观测两组数据建立两个方程，即可解出两个未知数。类似的，假如模型有n n n个参数，我们只需要观测 n n n组数据就可求出参数，换句话说，在这种情况下，模型的参数是唯一确定解。 但是在实际应用中，由于我们的观测会存在误差（偶然误差、系统误差等），所以我们总会做多余观测。比如在上述例子中，尽管只有两个参数，但是我们可能会观测 n n n组数据( x 1 , y 1 ) . . , ( x n , y n ) (x_1, y_1)..,(x_n, y_n) (x1,y1)..,(xn,yn)，这会导致我们无法找到一条直线经过所有的点，也就是说，方程无确定解。 于是这就是我们要解决的问题：虽然没有确定解，但是我们能不能求出近似解，使得模型能在各个观测点上达到“最佳“拟合。那么“最佳”的准则是什么？可以是所有观测点到直线的距离和最小，也可以是所有观测点到直线的误差（真实值-理论值）绝对值和最小，也可以是其它，如果是你面临这个问题你会怎么做？
早在19世纪，勒让德就认为让“误差的平方和最小”估计出来的模型是最接近真实情形的。 为什么是误差平方而不是另一个？就连欧拉和拉普拉斯都没能成功回答这个问题。后来高斯建立了一套误差分析理论，从而证明了系统在误差平方和最小的条件下是最优的。证明这个理论并不难。我写了另一篇关于最小二乘法原理理解的博客。相信你了解后会对最小二乘法有更深的理解。 按照勒让德的最佳原则，于是就是求：L = ∑ i = 1 n ( y i − f ( x ) ) 2 L=\sum_{i=1}^{n}\left(y_i- f(x)\right)^{2} L=i=1∑n(yi−f(x))2这个目标函数取得最小值时的函数参数，这就是最小二乘法的思想，所谓“二乘”就是平方的意思。从这里我们可以看到，最小二乘法其实就是用来做函数拟合的一种思想。 至于具体参数怎么取，那就是另一个问题了。理论上，工程上可以采用导数法、几何法和梯度下降法。下面就以最常用的线性回归为例进行推导和理解。 线性回归 线性回归应用广泛，因为它相对简单，可以直接导出解析解，而且很多非线性问题也可以转化为线性问题来求解。甚至很多人认为最小二乘法指的是线性回归，其实不是。最小二乘法是一种思路，可以拟合任何函数。线性回归只是比较简单常用的函数之一，所以最小二乘法基本会以它为例。 接下来我会用矩阵的方法推导，然后用几何的方法帮助你理解最小二乘法的几何意义。 矩阵解法
最小二乘法
最小二乘法 1：最小二乘法的原理与要解决的问题 最小二乘法是由勒让德在19世纪发现的，形式如下式： 标函数 = \sum（观测值-理论值）^2\\观测值就是我们的多组样本，理论值就是我们的假设拟合函数。目标函数也就是在机器学习中常说的损失函数，我们的目标是得到使目标函数最小化时候的拟合函数的模型。举一个最简单的线性回归的简单例子，比如我们有 m 个只有一个特征的样本： (x_i, y_i)(i=1, 2, 3...,m) 样本采用一般的 h_{\theta}(x) 为 n 次的多项式拟合， h_{\theta}(x)=\theta_0+\theta_1x+\theta_2x^2+...\theta _nx^n,\theta(\theta_0,\theta_1,\theta_2,...,\theta_n) 为参数 最小二乘法就是要找到一组 \theta(\theta_0,\theta_1,\theta_2,...,\theta_n) 使得 \sum_{i=1}^n(h_{\theta}(x_i)-y_i)^2 (残差平方和) 最 小，即，求 min\sum_{i=1}^n(h_{\theta}(x_i)-y_i)^2 2 ：最小二乘法的矩阵法解法 最小二乘法的代数法解法就是对 \theta_i 求偏导数，令偏导数为0，再解方程组，得到 \theta_i 。矩阵法比代数法要简洁，下面主要讲解下矩阵法解法，这里用多元线性回归例子来描：
假设函数 h_{\theta}(x_1,x_2,...x_n)=\theta_0+\theta_1x_1+...+\t heta_nx_n 的矩阵表达方式为： h_{\theta}(\mathbf{x})=\mathbf{X}\theta\\其中，假设函数 h_{\theta}(\mathbf{x})=\mathbf{X}\theta 为 m\times1 的向量, \theta 为 n\times1 的向量，里面有 n 个代数法的模型参数。 X 为 m\times n 维的矩阵。 m 代表样本的个数， n 代表样本的特征数。 损失函数定义为 J(\theta)=\frac{1}{2}(\mathbf{X}\theta-\mathbf{Y})^T(\mathbf{X}\theta-\mathbf{Y}) ，其中 \mathbf{Y} 是样本的输出向量，维度为 m\times 1 。 \frac{1}{2} 在这主要是为了求导后系数为1，方便计算。 根据最小二乘法的原理，我们要对这个损失函数对 \theta 向量求导取0。结果如下式： \frac{\partial }{\partial \theta}J(\theta)=\mathbf{X}^T(\mathbf{X}\theta- \mathbf{Y})=0\\对上述求导等式整理后可得： \theta=(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{- 1}\mathbf{X}^T\mathbf{Y}\\ 3：最小二乘法的几何解释 先说结论：最小二乘法的几何意义是高维空间中的一个向量在低维子空间的投影。 考虑这样一个简单的问题，求解二元一次方程组：
不适定问题的tikhnonov正则化方法
不适定问题的tikhnonov正则化方法 《不适定问题的tikhnonov正则化方法》 一、Tikhonov正则化方法简介 Tikhonov正则化方法是一种在不确定性情况下，以满足已获知条件来确定未知参数的数 学方法，也称为受限最小二乘法（RLS）或Tikhonov惩罚。它是拟合未知数据，裁剪异 常数据或选择特征的常用技术。它结合了线性代数的误差拟合和函数的模型，通过比较数 据和模型来实现，并且可以消除装配数据较大的噪声。它广泛应用于各种领域，如机器学习，图像处理，测量信号处理，医学成像，数据拟合等。 二、不适定问题 不适定问题指的是拟合数据时，没有明确地标定未知数据范围或转换规则，需要解决大量 不完全未知因素时，所面临的问题。在大量实际问题中，存在着许多模型参数或者说未知量，通常我们是模糊不清的，不知道未知量到底应该取多少值，这些未知量和现实世界紧 密相连，因此，很难准确的给出未知量的取值范围，这样的问题就称之为不适定问题。 三、Tikhonov正则化解决不适定问题的方法 Tikhonov正则化是极其重要的方法，可以有效地解决不适定问题。它主要基于几何形式 的最小二乘拟合方法，考虑多个参数逐步克服受限性，增加惩罚力度，以抑制不具可解释性，存在明显异常点的资料变化，有效影响拟合数据偏离未知数带来的影响，使数据拟合 的更加准确，能够比较准确的拟合复杂的函数。 四、Tikhonov解不适定问题优势所在 Tikhonov正则化的主要优点有两个：一是克服参数之间的相关性，从而减少误差拟合； 二是增加惩罚力度，从而抑制异常点。此外，他还可以从数据中提取出更多有用的信息， 增强无关事实的辨认能力，减少参数数量，从而确保拟合信息具有更强的准确性和可靠性。因此，Tikhonov正则化有助于更好地解决不适定问题，能够提高模型的分类概率，以达 到解决不适定问题的最佳效果。 五、总结 Tikhonov正则化方法是一种有效地解决不适定问题的方法，它可以通过比较有约束的正
最小二乘svm
最小二乘支持向量机的自编代码 clear all; clc; N=35; %样本个数 NN1=4; %预测样本数 %********************随机选择初始训练样本及确定预测样本******************************* x=[]; y=[]; index=randperm(N); %随机排序N个序列 index=sort(index); gama=23.411; %正则化参数 deita=0.0698; %核参数值 %thita=; %核参数值 %*********构造感知机核函数************************************* %for i=1:N % x1=x(:,index(i)); % for j=1:N % x2=x(:,index(j)); % K(i,j)=tanh(deita*(x1'*x2)+thita); % end %end %*********构造径向基核函数************************************** for i=1:N x1=x(:,index(i)); for j=1:N x2=x(:,index(j)); x12=x1-x2; K(i,j)=exp(-(x12'*x12)/2/(deita*deita)); end end %*********构造多项式核函数**************************************** %for i=1:N % x1=x(:,index(i)); % for j=1:N % x2=x(:,index(j)); % K(i,j)=(1+x1'*x2)^(deita); % end %end %*********构造核矩阵************************************ for i=1:N-NN1 for j=1:N-NN1 omeiga1(i,j)=K(i,j); end
最小二乘法求b的两个公式
最小二乘法求b的两个公式 数学问题一直以来都是人类追求的重点，而在数学中，最小二乘法是一种经典而重要的方法，可广泛应用于统计和计算机科学等领域，特别是在回归分析中。在这种方法中，我们通常要用到两个公式来求 b，下面我们将分别介绍这两个公式。 最小二乘法的定义 最小二乘法是一种寻找一条直线的方法，该直线的方程为 y = bx + a，使得所有数据点到这条直线的距离之和最小。所谓所有数据点，指的是给定数据集中的所有点，距离是指点到直线的垂直距离。在该方法中，b 定义为直线的斜率，a 定义为直线的截距。 公式一 最小二乘法的第一个公式是这样定义的： b = (NΣxy - ΣxΣy) / (NΣx² - (Σx)²) 其中，x 和 y 是我们要拟合的数据集，Σ 表示求和符号，N 是数据集的长度。
这个公式的用途是计算最小二乘法拟合直线的斜率 b。可以看到，斜率b 受数据集的 x 值和 y 值影响，同时也受到数据集长度 N 的影响。更具体而言，当数据点越多、数据值偏离越大时，b 的结果越显著。 公式二 最小二乘法的第二个公式是这样定义的： b = Σ(x - ̄x)(y - ̄y) / Σ(x - ̄x)² 其中，x 和 y 是要拟合的数据集， ̄x和 ̄y分别是 x 和 y 的平均值。 这个公式的作用是通过计算每个数据点和平均值的偏差来计算斜率 b。这个公式的一个重要特点是不需要计算数据集的长度 N，因此使用该公式可以避免一些繁琐的计算。不过需要注意的是，当数据点数量较少时，公式二的结果有时会比公式一的结果更加不稳定，也就是误差会更大。 最小二乘法的应用及局限性 最小二乘法被广泛地应用于数据分析、建模和预测，因为它是一种简单而有效的方法，能够帮助我们从数据中获取重要的信息。然而，最小二乘法也有其局限性。 首先，最小二乘法要求数据点服从线性分布，即要求数据点之间存在
python 最小二乘法 回归
python 最小二乘法回归 1. 线性回归是机器学习中最基本也是最常用的模型之一，它通过拟合数据点与目标变量之间的线性关系来进行预测和分析。 2. 在实际应用中，我们通常会遇到数据集中包含多个自变量的情况，这时候就需要使用多元线性回归模型来进行建模。 3. 多元线性回归模型的数学表达式可以写成y = β0 + β1*x1 + β2*x2 + ... + βn*xn，其中y表示目标变量，x1、x2、...、xn表示自变量，β0、β1、β2、...、βn表示模型系数。 4. 在实际建模过程中，我们需要通过拟合数据点与目标变量之间的线性关系来求解模型的系数，这时就需要用到最小二乘法这一拟合方法。 5. 最小二乘法是一种通过最小化误差的平方和来拟合数据点与目标变量之间关系的方法，它可以求解出使得模型拟合效果最优的系数值。 6. 在Python中，我们可以使用NumPy库中的numpy.linalg.lstsq()函数来实现最小二乘法求解线性回归模型的系数。 7. 具体地，我们可以先将数据点和目标变量转换成NumPy数组的形式，然后调用numpy.linalg.lstsq()函数来求解出模型的系数。 8. 最小二乘法的本质是通过最小化误差的平方和来找到模型的最佳拟合参数，从而使得模型对数据点的拟合效果最优。 9. 在应用最小二乘法进行线性回归建模时，我们需要注意数据预处
理和特征工程的重要性，这可以有效提高模型的拟合效果和预测准确性。 10. 此外，我们还需要考虑模型的评估和优化，可以通过交叉验证等 方法来评估模型的泛化能力，并通过调参等方法来进一步优化模型性能。 11. 最小二乘法虽然是一种简单而有效的拟合方法，但在数据集具有 多重共线性或特征之间存在较强相关性的情况下，可能会导致模型系数不稳定的问题。 12. 在这种情况下，我们可以使用正则化方法如岭回归、Lasso回归 和弹性网络等来对模型进行正则化处理，进而提高模型的稳定性和泛化能力。 13. 岭回归通过在最小化误差的平方和的基础上加上正则化项，来惩 罚模型系数的绝对值，从而限制模型参数的增长，避免过拟合。 14. Lasso回归则通过在最小化误差的平方和的基础上加上正则化项，来惩罚模型系数的绝对值之和，从而倾向于使一部分系数变为零，从而实现特征选择的效果。 15. 弹性网络是岭回归和Lasso回归的结合体，既可以克服多重共线性问题又可以进行特征选择，是一种较为全面的正则化方法。 16. 在Python中，我们可以使用scikit-learn库中的线性回归模型类和正则化模型类来实现多变量最小二乘法和正则化方法的应用。 17. 利用scikit-learn库的交叉验证函数和网格搜索函数，我们可 以很方便地对模型进行评估和调参，从而找到最优的模型超参数和增强模型性能。 18. 在实际应用中，最小二乘法和正则化方法是进行线性回归建模的
回归分析中的偏最小二乘回归模型构建技巧(七)
回归分析是统计学中的一种重要的分析方法，通过对自变量和因变量之间的关系进行建模，从而对未知数据进行预测或者推断。在回归分析中，偏最小二乘回归模型是一种常用的建模技术，它可以解决多重共线性的问题，并且对于高维数据的建模效果也非常好。在这篇文章中，我们将讨论一些偏最小二乘回归模型的构建技巧。 首先，偏最小二乘回归模型的构建需要从数据的预处理开始。在进行偏最小二乘回归分析之前，我们需要对数据进行标准化处理，以消除变量之间的量纲差异对建模结果的影响。标准化处理可以使得不同变量之间的权重在建模时更加均衡，从而提高模型的稳定性和预测准确度。另外，对于高维数据，我们还可以通过主成分分析等方法对数据进行降维处理，以减少模型的复杂度和提高建模效率。 其次，偏最小二乘回归模型的构建还需要选择合适的特征变量。在选择特征变量时，我们需要考虑变量之间的相关性以及对因变量的影响程度。在偏最小二乘回归分析中，我们通常会利用变量的贡献率或者变量之间的相关系数来进行特征选择。通过选择具有较高贡献率或者相关系数的变量，我们可以建立更加简洁和高效的回归模型。 除了特征选择，偏最小二乘回归模型的构建还需要考虑模型的正则化处理。正则化可以有效地防止模型的过拟合现象，并且可以提高模型的泛化能力。在偏最小二乘回归分析中，我们通常会使用岭回归、LASSO回归等方法来对模型进行正则化处理。通过对模型的系数进行惩罚，我们可以有效地控制模型的复杂度，从而提高模型的稳定性和预测性能。
最后，偏最小二乘回归模型的构建还需要进行模型的评估和验证。在进行模 型的评估和验证时，我们通常会使用交叉验证、留一法等方法来对模型进行验证。通过对模型的预测性能进行评估，我们可以确定模型的稳定性和预测准确度，并且可以对模型的参数进行调优。 需要注意的是，在偏最小二乘回归模型的构建过程中，我们需要充分考虑数 据的特点和建模的目的，从而选择合适的建模技术和参数调优方法。通过合理地构建偏最小二乘回归模型，我们可以更好地挖掘数据之间的内在关系，并且可以构建更加稳健和高效的预测模型。 在本文中，我们讨论了偏最小二乘回归模型的构建技巧，包括数据的预处理、特征选择、正则化处理以及模型的评估和验证等方面。通过合理地应用这些技巧，我们可以构建更加稳健和高效的偏最小二乘回归模型，并且可以更好地进行数据分析和预测工作。希望这些技巧能够对从事回归分析工作的研究人员有所帮助。
正则最小二乘法
正则最小二乘法 正则最小二乘法 一、概述 正则最小二乘法（Regularized Least Squares）是一种常见的机器学习算法，用于解决线性回归中的过拟合问题。它通过在损失函数中添加一个正则项来约束模型参数，从而避免模型过度拟合训练数据。 二、最小二乘法 最小二乘法（Least Squares）是一种常用的线性回归方法，它通过最小化预测值与真实值之间的均方误差来求解模型参数。其数学表达式如下： $\min_{w} \frac{1}{2} ||Xw - y||^2$ 其中，$w$ 是模型参数向量，$X$ 是输入特征矩阵，$y$ 是真实值向量。 三、过拟合问题
在机器学习中，过拟合是指模型在训练集上表现良好但在测试集上表现较差的现象。这是因为模型在训练时过度关注训练数据中的噪声和异常值，导致泛化能力较弱。 四、正则项 为了避免过拟合问题，我们可以在损失函数中添加一个正则项来限制模型参数。常见的正则项有 L1 正则和 L2 正则。 L1 正则项： $\lambda ||w||_1$ L2 正则项： $\frac{\lambda}{2} ||w||^2$ 其中，$\lambda$ 是正则化参数，用于控制正则项的权重。 五、正则最小二乘法 正则最小二乘法将最小二乘法和正则项结合起来，通过最小化如下损
失函数来求解模型参数： $\min_{w} \frac{1}{2} ||Xw - y||^2 + \alpha R(w)$ 其中，$R(w)$ 是正则项，$\alpha$ 是正则化参数。 L1 正则最小二乘法： $\min_{w} \frac{1}{2} ||Xw - y||^2 + \lambda ||w||_1$ L2 正则最小二乘法： $\min_{w} \frac{1}{2} ||Xw - y||^2 + \frac{\lambda}{2} ||w||^2$ 六、优缺点 优点： 1. 可以有效避免过拟合问题。 2. 可以提高模型的泛化能力。 缺点：
levenberg-marquardtalgorithm最小二乘算法 -回复
levenberg-marquardtalgorithm最小二乘算法- 回复 什么是Levenberg-Marquardt 最小二乘算法？ Levenberg-Marquardt 最小二乘算法是一种用于非线性最小二乘问题的优化算法。它在计算机科学、机器学习和图像处理等领域中被广泛应用。该算法的目标是找到一组参数，使得给定的模型函数和一组观测数据之间的误差最小化。接下来，我们将详细介绍Levenberg-Marquardt算法的原理、步骤和应用。 Levenberg-Marquardt算法的原理： Levenberg-Marquardt算法是基于高斯-牛顿法和梯度下降法的扩展方法。它使用了一个正则化项，结合了两种优化算法的优点。 在每次迭代中，算法计算当前参数向量的梯度，并根据雅可比矩阵和残差向量计算Hessian矩阵的近似。然后，算法根据这个近似的Hessian矩阵、残差向量和梯度向量来更新参数向量。如果更新后的参数向量导致误差减小，算法将继续迭代。否则，算法将改变正则化参数，并再次尝试更新参数向量。通过动态调整正则化参数，Levenberg-Marquardt算法能够在保持收敛性的同时兼顾速度和精度。
Levenberg-Marquardt算法的步骤： 1. 初始化参数向量：将初始参数向量设置为零向量或根据先验知识给出的初始值。 2. 计算残差向量：使用当前参数向量计算模型函数产生的预测值，然后将其与观测数据进行比较，得到残差向量。 3. 计算雅可比矩阵：使用当前参数向量计算模型函数的导数，并将结果按行组成雅可比矩阵。 4. 计算Hessian矩阵的近似：将雅可比矩阵转置后与雅可比矩阵相乘，得到Hessian矩阵的近似值。 5. 更新参数向量：根据近似的Hessian矩阵、残差向量和梯度向量计算参数向量的更新量。 6. 判断收敛：如果参数向量的变化量小于某个预定义的阈值，或者误差减小的百分比小于某个预定义的阈值，算法将停止迭代。否则，算法将跳转到步骤2，并继续迭代。 7. 输出结果：将最终的参数向量作为输出结果。
tikhonov正则化matlab程序
tikhonov正则化matlab程序 Tikhonov正则化是机器学习和数据挖掘中常用的正则化方法之一，主要用于减少模型复杂度，提高模型的泛化能力。在MATLAB中，我们 可以使用Tikhonov正则化技术来训练模型，以提高其性能和准确性。 本文将介绍如何使用MATLAB编写Tikhonov正则化程序的步骤。 第一步：数据预处理 在使用Tikhonov正则化进行模型训练之前，我们需要先对数据 进行预处理。这个步骤包括数据清洗、数据转换和特征选择等。目的 是为了得到一个干净、一致、有意义且具有代表性的数据集。 第二步：选择正则化参数 Tikhonov正则化中的正则化参数λ决定了惩罚项的权重，我们 需要选择一个合适的λ值才能达到最优的正则化效果。在MATLAB中，我们可以使用交叉验证方法对不同的λ值进行评估，以选择最佳的λ值。 第三步：定义模型 在MATLAB中，我们可以使用Tikhonov正则化方法定义线性回归 模型。具体来说，我们可以使用正则化最小二乘法来求解模型参数：min||y-Xβ||^2+λ||β||^2 因此，我们可以定义如下的模型函数： function [beta, fit_info] = my_tikhonov(X, y, lambda) [n,p] = size(X); beta = (X' * X + lambda * eye(p)) \ (X' * y); fit_info = struct('SSE',sum((y-X*beta).^2),'df', p,'reg', sum(beta.^2)); 在这里，X和y分别是输入和输出数据矩阵，lambda是正则化参数，beta是模型参数。fit_info则是用于记录训练过程中的信息（如 残差平方和、自由度和正则化项）的结构体。 第四步：训练模型并进行预测
正则化最小二乘法
正则化最小二乘法 介绍 正则化最小二乘法是一种用于解决线性回归问题的技术。在实际应用中，我们经常会面临到训练数据集中存在多个自变量，而且这些自变量之间可能存在相关性的情况。为了解决这个问题，我们可以使用正则化最小二乘法来进行回归分析，以得到更稳定、更具有泛化能力的模型。 正则化介绍 在回归问题中，正则化是一种控制模型复杂度的技术。它通过在损失函数中引入一个正则化项，来惩罚模型中的高权重值，从而降低模型的复杂度。正则化可以有效地防止模型出现过拟合的现象，提高模型的泛化能力。 常见的正则化技术包括：L1正则化（Lasso）、L2正则化（Ridge）以及弹性网络（ElasticNet）等。L1正则化通过在损失函数中引入权重的绝对值之和，来惩罚模型中的高权重值；L2正则化则是通过在损失函数中引入权重的平方和，来惩罚模型中的高权重值；而弹性网络则是L1正则化和L2正则化的结合。 最小二乘法介绍 最小二乘法是一种寻找最佳拟合直线的方法。它的基本思想是，通过最小化实际观测值与预测值之间的残差平方和，来确定模型中的参数。最小二乘法在线性回归问题中被广泛应用，并且具有良好的数学性质。 最小二乘法的公式为：θ = (X^T X)^-1 X^T y，其中θ代表模型中的参数，X代表观测值的特征矩阵，y代表观测值的目标值。通过求解这个方程，我们可以得到最佳的参数估计值。 然而，最小二乘法存在一个问题，即当训练数据中存在多个自变量之间存在相关性时，最小二乘法会导致参数估计值的方差变得很大，从而降低模型的泛化能力。这时候，正则化最小二乘法就可以发挥作用了。
正则化最小二乘法的原理 正则化最小二乘法通过在最小二乘法的目标函数中加入一个正则化项，来控制模型中的权重。这个目标函数可以表示为：J(θ) = (y - Xθ)^T(y - Xθ) + α||θ||，其中α是一个正则化参数，||θ||表示θ的范数（可以是L1范数或 L2范数）。 通过引入正则化项，正则化最小二乘法可以在保持模型拟合程度良好的同时，减小模型中的高权重值。这样可以有效地防止过拟合的问题，提高模型的泛化能力。 L1正则化（Lasso） L1正则化是一种常用的正则化技术。它通过在目标函数中引入权重的绝对值之和，来进行惩罚。L1正则化可以使得模型中的某些权重变得稀疏，从而达到特征选择（Feature Selection）的效果。 L1正则化的目标函数可以表示为：J(θ) = (y - Xθ)^T(y - Xθ) + α||θ||_1，其中α是正则化参数，||θ||_1表示θ的L1范数。 L1正则化的一个特点是可以将一些无关的特征权重降低为0，从而达到特征选择的效果。这样可以简化模型，提高预测的效率。 L2正则化（Ridge） L2正则化是一种另外一种常用的正则化技术。它通过在目标函数中引入权重的平 方和，来进行惩罚。L2正则化可以使得模型中的权重值变得较小，从而降低模型 复杂度。 L2正则化的目标函数可以表示为：J(θ) = (y - Xθ)^T(y - Xθ) + α||θ||_2，其中α是正则化参数，||θ||_2表示θ的L2范数。 L2正则化的一个特点是可以使得模型的参数估计值变得很稳定，从而提高模型的 泛化能力。L2正则化也是最小二乘法中最简单、最直观的正则化技术。 弹性网络（ElasticNet） 弹性网络是L1正则化和L2正则化的结合。它通过在目标函数中同时引入L1和L2 范数，来进行权衡。弹性网络可以同时享受L1正则化带来的稀疏性和L2正则化带来的稳定性。
迭代总体最小二乘正则化的近场声全息方法研究
迭代总体最小二乘正则化的近场声全息方法研究 张磊;曹跃云;杨自春 【摘要】为有效解决近场声全息（Near-field Acoustic Holograph，NAH）技 术在水下振动声源识别方法中面临不适定性问题，将平面 NAH 技术的声源识别过程转化为线性系统的求解过程，探明声源识别中不适定性问题产生的根源，考虑全息面测量声压和传递矩阵均存在误差，提出牛顿迭代的总体最小二乘（NTLS）正 则化方法稳定 NAH 重建过程。新方法以 TLS 正则化算法为基础建立目标函数， 将目标函数改化为具有凸函数的性质；然后采用具有二阶收敛速度牛顿迭代法求解；基于 L 曲线法特性，提出自适应迭代方法确定正则化参数。开展了 NAH 仿真和试验研究，提出构建良态传递矩阵的策略，最终验证了 NTLS 正则化的 NAH 技术在水下振动声源识别和定位中具有较好的精度。%Near field acoustic holography (NAH)is a very powerful tool for identifying sound sources.The identification process based on NAH was firstly converted into solving linear equations here,it was a linear,ill-posed inverse problem.And then,the ill-conditioned property of the ill-posed problem was ascertained.To find meaningful solutions to such a system,a novel Newton iteration total least squar (NTLS)method when both the transfer matrix and the measured sound pressure were contaminated by errors was proposed.The NTLS method included three parts.Firstly, Tikhonov regularization for a TLS problem was converted into an unconstrained optimization problem with properties of a convex function,the optimization problem was solved with Newton iteration method.Secondly,the adaptive strategy for selecting regularization parameters was established.Finally,the robustness and
最小二乘法和theil-sen趋势估计方法_概述说明以及解释
最小二乘法和theil-sen趋势估计方法概述说明以及解释1. 引言 1.1 概述 引言部分将总体介绍本篇文章的研究主题和方法。本文将探讨最小二乘法和Theil-Sen趋势估计方法，这两种方法旨在通过拟合数据来寻找变量间的关系，并用于预测和估计未来的趋势。最小二乘法是一种常见且广泛应用的回归分析方法，而Theil-Sen趋势估计方法是一种鲁棒性更强的非参数统计方法。 1.2 文章结构 引言部分还需要简要描述整篇文章的结构以供读者参考。本文包含以下几个主要部分：引言、最小二乘法、Theil-Sen趋势估计方法、对比与对比分析、结论与展望。每个部分将详细说明相关概念、原理及其在实际应用中的特点。 1.3 目的 引言部分还需明确指出本文的目的。本文旨在比较和对比最小二乘法和Theil-Sen趋势估计方法，评估它们在不同场景下的优缺点，并为读者提供选择适当方法进行数据拟合和趋势预测的依据。此外，我们也会展望未来这两种方法的改进和应用领域扩展的可能性。
以上为“1. 引言”部分的详细清晰撰写内容。 2. 最小二乘法: 2.1 原理介绍: 最小二乘法是一种常用的回归分析方法，用于寻找一个函数（通常是线性函数）来逼近已知数据点的集合。其基本原理是通过最小化实际观测值与模型预测值之间的残差平方和，寻找到使得残差最小化的系数，并将其作为估计值。利用最小二乘法可以得到拟合直线、曲线或者更复杂的函数来描述数据点之间的关系。 2.2 应用场景: 最小二乘法广泛应用于各种领域和行业，包括经济学、社会科学、物理学等。例如，在经济学中，最小二乘法可以用于研究变量之间的关系以及预测未来趋势。在工程领域，它可以用于建立模型并进行参数估计。 2.3 优缺点分析: 最小二乘法具有以下优点： - 算法简单易行：只需要对数据进行简单处理即可求解出最佳拟合曲线。 - 表示能力强：可以适应不同类型函数的拟合。 - 结果一致性较好：针对相同数据集，得到的结果通常是一致的。 然而，最小二乘法也存在一些缺点：
正则化最小二乘法
正则化最小二乘法 正则化最小二乘法是一种用于解决线性回归问题的方法，它通过在目标函数中加入正则化项来约束模型的复杂度，以防止过拟合的发生。在本文中，我们将介绍正则化最小二乘法的原理、应用和优缺点。 让我们回顾一下最小二乘法。最小二乘法是一种常用的线性回归方法，它通过最小化观测数据与模型之间的残差平方和来估计模型参数。这种方法的优点是简单易懂，计算效率高。然而，最小二乘法在处理高维数据和存在多重共线性的情况下容易出现过拟合问题。 为了解决过拟合问题，正则化最小二乘法引入了正则化项。正则化项是一个惩罚项，它在目标函数中加入了模型参数的平方和。通过调节正则化参数，我们可以平衡模型的拟合能力和泛化能力。正则化最小二乘法的目标函数可以表示为： 目标函数 = 残差平方和 + 正则化参数× 模型参数的平方和 正则化参数决定了正则化项的权重，当正则化参数趋近于0时，正则化项的影响减弱，模型更容易过拟合；当正则化参数趋近于无穷大时，正则化项的影响增强，模型更趋向于简单的形式。因此，正则化参数的选择对于模型的性能至关重要。 正则化最小二乘法有两种常见的形式：L1正则化和L2正则化。L1
正则化通过在目标函数中加入模型参数的绝对值之和来进行正则化，可以得到一个稀疏解，即许多模型参数为0。L2正则化通过在目标函数中加入模型参数的平方和来进行正则化，可以得到一个光滑的解，即模型参数都比较小。在实际应用中，我们可以根据问题的特点选择合适的正则化形式。 正则化最小二乘法在许多领域都有广泛的应用。在机器学习中，它被用于特征选择、模型选择和模型压缩等问题。在统计学中，它被用于参数估计和模型分析。在信号处理中，它被用于信号重构和降噪。 正则化最小二乘法有一些优点和缺点。优点是可以有效地处理高维数据和多重共线性问题，可以提高模型的泛化能力。缺点是正则化参数的选择需要一定的经验和调试，不同的问题可能需要不同的正则化参数。此外，正则化最小二乘法对异常值比较敏感，需要进行异常值处理。 正则化最小二乘法是一种强大的线性回归方法，它通过在目标函数中加入正则化项来约束模型的复杂度，以防止过拟合的发生。在实际应用中，我们可以根据问题的特点选择合适的正则化形式和正则化参数。通过合理地使用正则化最小二乘法，我们可以得到更准确、稳定的模型。
基于流形正则化和核方法的最小二乘算法
基于流形正则化和核方法的最小二乘算法 汪宝彬;彭超权;李学锋 【摘要】In this paper , we considered the learning ability and convergence rate of the least square algorithm under the manifold regularization in the Reproducing Kernel Hilbert Space ( RKHS).This algorithm can make full use of the geometric construction characteristics of the input space and improve the validity and the learning efficiency of the classical least square algorithm by extracting the information from the unlabeled data .Moreover, we discussed the choice of the regularization parameter , which is meaningful to the design of the algorithm .%研究了再生核希尔伯特空间中流形正则化下的最小二乘算法的学习能力和收敛速度.该算法能够充分利用输入空间的几何特点以及半监督学习中无标记样本的信息,提高算法的有效性和学习效率.另外,讨论了该算法中正则参数的选取,这对算法实现具有现实的意义. 【期刊名称】《中南民族大学学报（自然科学版）》 【年(卷),期】2017(036)004 【总页数】3页(P143-145) 【关键词】流形学习;正则化;最小二乘算法;核方法;再生核希尔伯特空间 【作者】汪宝彬;彭超权;李学锋 【作者单位】中南民族大学数学与统计学学院,武汉430074;中南民族大学数学与统计学学院,武汉430074;中南民族大学数学与统计学学院,武汉430074
总体最小二乘正则化算法的载荷识别
总体最小二乘正则化算法的载荷识别 张磊;曹跃云;杨自春;何元安 【摘要】The accuracy of load identification is often hindered by the inversion of an ill-conditioned transfer function matrixes at frequencies near the structural resonances.To overcome this inversion instability,the total least squares (TLS)method as a successful approach for linear problems was introduced.Tikhonov regularization of the TLS led to an optimization problem of minimizing the sum of fractional quadratic and quadratic functions. Then, the conjunction gradient(CG)method was proposed for solving Tikhonov TLS optimization problem,it was called CG-TLS algorithm,its advantages were simpler to implement,smaller storage amount,better convergence performance and that can consider not only vibration response but the transfer matrix is contaminated by noise.The ill-conditioned causes of transfer function matrix were investigated with numerical simulations and tests,then choosing the locations of vibration response optimally with condition number.Finally,the CG-TLS regularization algorithm and other two methods were used to identify vibration load at different noise levels.The results demonstrated that the CG-TLS regularization algorithm has the best performance;it also has a lower noise sensitivity;therefore,the new algorithm established here has a broad prospect of engineering application.%载荷识别中存在病态矩阵求逆的不稳定性将导致解严重失真。在总体最小二乘（Total Least Squares TLS）算法的思想上进行Tikhonov正则化，构造载荷识别的目标函数。然后利用共轭梯度
病态乘性误差模型的加权最小二乘正则化迭代解法及精度评定
摘要：针对乘性误差模型的病态问题，引入Tikhonov正则化方法，导出了病态乘性误差模型的加权最小二乘正则化解。顾及加权最小二乘正则化法在求解病态乘性误差模型时，参数估值与观测值之间存在复杂的非线性关系，本文利用一种无需求导、通过加权的方式便能够计算非线性函数的均值和均方误差阵的比例对称采样的无迹变换（scaled unscented transformation，SUT）法，对病态乘性误差模型进行精度评定。模拟算例和真实算例结果表明，本文提出的加权最小二乘正则化迭代解法可以有效减弱模型的病态性，基于SUT法的精度评定方法能够得到比已有方法更为合理的精度信息，具有较强的适用性。 关键词：病态乘性误差模型Tikhonov正则化L曲线法精度评定SUT法 Weighted least squares regularization iteration solution and precision estimation for ill-posed multiplicative error model Abstract: Aiming at the ill-posed problem of multiplicative error model, this paper introduces the Tikhonov regularization method to derive the weighted least squares regularization solution. Considering the complex nonlinear relationship between parameter estimations and the observations when using weighted least squares regularization method to solve the ill-posed multiplicative error model, the scaled unscented transformation (SUT) method is used to calculate the mean value and mean square error matrix of the nonlinear function by weighted without derivation for precision estimation of ill-posed multiplicative error model. The simulated and actual examples results show that the weighted least squares regularization iterative solution proposed in this paper can effectively weaken the ill-posed model, and the precision estimation method based on SUT method can obtain more reasonable precision information than the existing methods, and has strong applicability. Key words: ill-posed multiplicative error model Tikhonov regularization L-curve method precision estimation SUT method