几种特殊类型行列式及其计算

1行列式的定义及性质

1.1定义[3]

n级行列式

a

11 a12 (1)

a 21

I-a22…

a

a

2n

a

a n1 a n2…a nn

n元素的乘积的屜…a% （1）的代数和,这里jj…j n是1,2/ ,n的一个排列,每一项（1）都按下列规则带有符号：当jj…j n是偶排列时,⑴带正号，当j l j2…j n 是奇排列时,（1）带有负号.这一定义可写成

an a12 a1n

a

21 a22 (2)

I-a=无（-1F 山压）?…a nj

j1 j2…j n

a

n1 a

n2

a

nn

这里V 表示对所有n级排列求和.

j1 j2 ■ j n

1.2性质[4]

性质1.2.1行列互换，行列式的值不变.

性质1.2.2某行（列）的公因子可以提到行列式的符号外.

性质1.2.3如果某行（列）的所有元素都可以写成两项的和,则该行列式可以写成两行列式的和；这两个行列式的这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行（列）与原行列式相同.

性质1.2.4两行（列）对应元素相同,行列式的值为零.

性质1.2.5两行（列）对应元素成比例，行列式的值为零.

性质1.2.6某行（列）的倍数加到另一行（列）对应的元素上,行列式的值不变.

性质1.2.7交换两行（列）的位置,行列式的值变号.

等于所有取自不同行不同列的个

2行列式的分类及其计算方法

2.1箭形（爪形）行列式

这类行列式的特征是除了第1行（列）或第n 行（列）及主（次）对角线上元素外的其他元素均 为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上（下）三角形行列式来计算?即利用对 角元素或次对角元素将一条边消为零.

例1计算n 阶行列式

a 1 1 ■ ■ .L

1

1

a 2 0 0

D n = 1

0 a 3… 0 （&2&3…a n 式0）

1

0 …

a n

2.2两三角型行列式

这类行列式的特征是对角线上方的元素都是 c,对角线下方的元素都是b 的行列式，初看, 这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当

b 二

c 时可以化为上面列举的爪形来计算，当 b = c 时则用拆行例）法

［9］

来计算.

例2计算行列式

将第一列减去第二列的 丄倍，第三列的丄倍…第n 列的 a 2

a

3

倍，得

1

a i -

a 2

1 1 a 2

0 a 3 0

0 a n

n

=''a i

i =2

n

*1 ' ■-

i=2 丄

a

i

丿

a i c c … c

b a 2

c … c Dn = b

b

a3… c

b b b …

a n

解当b=c 时

a i

b b …

b

b a 2

b … b

D n = b b

a s …

b .

b b b …

a n

将第2行到第行n 都减去第i 行,

则D n 化为以上所述的爪

形:

即

a i

b b

半??

b

b — a 〔 a ? — b 0 …

0 D n = b _ a 〔

0 a s - b * ■

b - a 〔

用上述特征1的方法，则有

°…a n —b

D n a - b i b - a〔i._

1=2 a -b

b _ a i

b _ a i

i

a

0 °…°

a2-b ° 0

0 a3 - b 0

■< .■ <■■. Ji A ■. ■ <■■ A

0 0 …a n- b

b 4 b i i a b 〒a. b i =1 i d

当b=c时，用拆行例）法[9],贝u

X i a a a X i a a… a + 0

b X2 a a b X2 a… a + 0

Dn = b b X3… a = b b X3… a + 0

b b b…X n b b b… b + 人-b

有一些行列式虽然不是两三角型的行列式，但是可以通过适当变换转化成两三角型行列 式进行计算?

例3计算行列式

d b b ???.

b

c X a

■ - ■■

a

Dn = c

a X

a (n >2)

c a

a

---

X

第一列尼

得

c

a 2d

a

a

a

bc

be a X a

■■ '■ '■

a

Dn =

2

■

a a

a X

a

a a

a

■--

X

解将第一行b ，

化简得

X 1 a a … a

X a a … 0 b X 2 a … a

b

X 2 a …

0 b b X3 …

a +

b b X 3… 0 b

b

b … b

b

b

b …X n -

X

1 - a

0 …

?? a

b 一 a x? — a

-?

a

-■--

■… ---

--

a + ( X n -

b )D n/

b 一

a b — a

X n 4 -

a a

0 …

b

D n = b i X-

a 2X

iT X _b 1 D

而若一开始将X n 拆为a ? X n - a , 则得

D n = a i x-

2

X

3i

D

由 1

& -b - 2

XnT ，得

D n 1

-

a _

b |[ 如(X -b )-b n (X j — a ] i 经

b

即化为上2 一 1情形，计算得

n A.

D n =d x -a i 亠〔n -1 ad -be x -a

而对于一些每行（列）上有公共因子但不能像上面一样在保持行列式不变的基础上提出公 共因子的，则用升阶法来简化.

例4计算行列式

解将行列式升阶，得

1 X 1 X 2

…

X n

1+X 12

X 1

X 2

X 1X n

D n = 0

X 2X

1

1 + x 2

2 …

X 2X

n

0 X n X 1 X n X 2

…

1+X n 2

将第i 行减去第一行的人i =2,…，n 倍，得

一 X n

这就化为了爪形，按上述特征1的方法计算可得

2.3两条线型行列式

这类行列式的特征是除了主（次）对角线或与其相邻的一条斜线所组成的任两条线加四个

1 X 1

2 X ! X 2 X 1X

n

x 2X 2

1 X 2

X 2X

n

X n X

X n X 2

1

X

2

D n

n _2

_X 1

D n 二 -

X X 2 0 1

D n

n

1 亠一 X i

i

经

X 1 X n

顶点中的某个点外，其他元素都为零，这类行列式可直接展开降阶，对两条线中某一条线元 素全为0的，自然也直接展开降阶计算?

例5计算行列式

D n

a n J

b n J

b n

解按第一行展开可得

1 -n

+ 0(/)

a n J a n J

例6计算行列式

b n

b ni

d

n -1

d n

解方法1直接展开可得

an 4

+

a i C i

t ) d i

+

b

n

」 0 , ‘ i

七n

+ 0(")

0 a n/

+

a

C i

b

d i

+

b n 」

On 4

dz

C nX

dz 0

d n

C n

D 2n - a

n

a 2

b 2

D n

=a i

a n

二 a 〔a 2 n

-4

a n 亠［1

b b 2 b n ?

a i

bi d i

a

n A.

+

4

b n 」

a

n A

+

b n 」

a n d n

a. b

a .

bi G d i +

- 001 (-1 $ 『

c .

d .

+

01 A.

d n 」

A

d n 」

—a n d n - b n C

n

D 2 n 二 .

D

2n = a

n d

n _ b n c

n .1

D 2 n J

=

a n

d

n

_ b n c ^ .>

a

n J.d n J _ b n J c n J D

2n _2

=

a i

d _ b i c

i

.

方法2 （拉普拉斯定理法⑶）按第一行和第2n 行展开得

a

n A

dnj

_(a n d n -b n C

n

)D 2(nJj

其余的同法1.

2.4 Hessenberg 型行列式

这类行列式的特征是除主（次）对角线及与其相邻的斜线，再加上第1或第n 行外，其他元 素均为零，这类行列式都用累加消点法，即通常将第一行 （列）元素化简到只有一个非零元素, 以便于这一行或列的展开降阶计算

例7计算行列式

2

3 … nT n

T

0 … 0 0 0

2

-2

0

?- -■-

…

…… …

-??

?■

??■

n -2 2 — n 0 0 0

0 … nT —n

解将各列加到第一列得

D 2n

a n

b n d

^2n+-2n

(一1)

a .

b . G d .

2.5三对角型行列式

a b cab

+

+

形如 Dn = C

+

*

c

他元素均为零，这是一递推结构的行列式，所有主子式都有同样的结构，从而以最后一列展 开，将所得的n-1阶行列式再展开即得递推公式.对这类行列式用递推法⑸ 例8计算行列式

a b cab

+ +

Dn = C

+ +

b c a

解按第一列展开有

D n 二 aD n 4 - bcD n 2

解特征方程x 2 -ax ? be =0得

n (n +1 )

2 3 …

2

-1 0 … D

n = 0

2

_2 …

???

…

… n _2

0 0

0 …

n —1 n 0 0 0 0 2—n

n —1 1—n

按第一列展开得

D n

0 n —1

1 一 n

n

」(n

+1 )! 十1)

的行列式，这类行列式的特征是除这三条斜线上元素外，其

2

n (n

+1 2

a+J a -4bc a _J a -4bc

x

i 2 ,X2 2 .

则

n 1 n 1

（X i -X2 ）

D n , X i = x2 |.

X r _X2

例9计算行列式

5

9匕

D n

+ +

匕9 5

4 9

解按第一行展开得

D n -9D n」20 = 0.

解特征方程得

X i — 4, X^ — 5.

则

nd n』

D n 二a4 b5 .

分别使n =1,2得 a - -16,b =25,则

D n=5n 1—4n 1.

2.6各行（列）元素和相等的行列式

这类行列式的特征是其所有行（列）对应元素相加后相等，对这类行列式，将其所有行

（列）

加到第一行（列）或第n行例），提取公因式后，再把每一行都减去第一行例），即可使行列式中出现大量的零元素.

例10计算行列式

1 a1 a1

a2 1 a2

a n

a1 a2

1 a n

解将第2行到第n行都加到第1行，得

=1 ai -a n

=1 a「a n .

2.7相邻两行（列）对应元素相差1的行列式

列式，自第一行（列）开始，前行例）减去后行（列），或自第行n（列）开始，后行例）减去前行（列），

则前（后）行（列）减去后（前）行（列）的-k倍，可使

行列式出

现大量的零元素.

例11计算行列式

0 1 2…n _ 2n —

1 0 1 ?

?n _ 3n-

2 1 0 …n _ 4 n —

D n =a a

n —2 n - 3 n_ 4…0 1

n T n - 2 3 … 1 0

依次用前行减去后行，

可得

-1 1 1 … 1 1

-1 -1 1 … 1 1

-1 -1 -1 … 1 1 D n —■-1S a.

-1 -1 -1 …-1 1

n T n —2 n_3… 1 0

解

1

2

3

D n

1 a1■ - - an

a2

1 ■ a^- a n

1 a2a2

a

n

a

n

1 a

n

=1 a1■■■ a n

a2

1 -

1 a2a

2

a

n

a

n

1 - a n

这类行列式的特征是大部分以数字为元素且相邻两行（列）元素相差1的行列式，对这类行

即可出现大量元素为1或-1的行列式, 再进一步化简即出现大量的零元素若相邻两行（列）元素相差倍数

现将第1列加到第2列至第n列，得

例11计算阶n 行列式

4a n

n . . 1

a

2.8范德蒙德型行列式

德行列式来计算.

例12计算行列式

解将第i 行提出a i n ，得

-1 0 0 … 0 0 -1

-2 0 … 0 0 -1

a

-2 - _2

…

a

0 - 0 -1 -2 _2 …

-2 0 n —1 2n -3

2n_4 …

n

n -1

n

-1^2

n

D n

1 a

2

a

n 」 1

a

a

n_2 nA

1

D n =

a a

a

a 2

3

4

a a a

2

3

a

a

a

n_2 n A

a

a n d a

解这是相邻两行（列）相差倍数a , 可采用前行减去后行的-a 倍的方法化简得

D n

n

1 - a 0

0 0 n

1-a

0 0 n

1a

这类行列式的特征是有逐行 （列）元素按方幕递增或递减,

对这类行列式可以转化为范德蒙 n

q n

a

2

n -4.

a b a 2 b 2

1

a 1

b 1 n 4

a 2

b 2

b

；

b n n a

n

a

n 1

nd

…

a

n 1

b

n 1

a

n 1 b

n 1

bh n

b n1n

n 〉 n _2 a a n _4

n _3

a a

呻

VI

VI VI L

?( ?q—

「

q &)

匚 丰

+

u

e

II U

Q

几种特殊行列式的巧算

几种特殊行列式的巧算 摘要：在高等代数课程中，n阶行列式的计算问题非常重要，它是行列式理论 的重要组成部分。计算n阶行列式的一般方法有：按行（列）展开,化三角行列式法，降阶法等。对于这些解法，高等代数课本已做了详细介绍，本文重点探索关于三对角，爪型等具有一定特征的行列式的计算，跟几种具有特殊解法的行列式（如范德蒙行列式）计算，突出一个“巧”字，从而提高解题速度。 关键词：“三对角”行列式分离线性因子法“爪型”行列式范德蒙行列式等. 引言： n阶行列式

11121212221 2 n n n n nn a a a a a a a a a 是所有取自不同行、不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a 的代数和，其中12 n j j j 是一 个n 阶排列，每个项1212n j j nj a a a 前面带有正负号.当12n j j j 是偶排列时， 项1212n j j nj a a a 前面带有正号，当12 n j j j 是奇排列时，项12 12n j j nj a a a 前面带有负号.即 11 121212221 2 n n n n nn a a a a a a a a a = 121212 () 12() (1) .n n n j j j j j nj j j j a a a τ-∑ 这里 12 () n j j j ∑ 表示对所有的n 阶排行求和. 行列式的计算是高等代数的一个重要内容，同时也是在工程应用中具有很高价值的数学工具，本文针对行列式的几种特殊类型，给出了每一种类型特殊的计算方法，具体如下： 一 三对角行列式的计算 形如 b a b a b a b a b a b a b a b a D n +++++= 0000000000000的行列式称为“三对角”行列式.该 类行列式的计算方法有：猜想法, 递推法, 差分法.下面我们首先用猜想法来解一下这个行 列式. 当b a ≠时 b a b a b a b a b a b a b a b D b a D n n ++++-+=- 000000000000)(1 =21 )(---+n n abD D b a . 即有递推关系式21)(---+=n n n abD D b a D ,为了得到n D 的表达式,可先设b a ≠,采用

n阶行列式的计算方法

n 阶行列式的计算方法 徐亮 （西北师大学数信学院数学系 ， 730070 ） 摘 要：本文归纳总结了n 阶行列式的几种常用的行之有效的计算方法，并举列说明了它们的应运． 关键词：行列式，三角行列式，递推法，升降阶法，得蒙行列式 The Calculating Method of the N-order Determinant Xu Liang (College o f M athematics and Information Scien ce ，North west Normal Uni versit y ， Lanzhou 730070，Gansu ，Chin a ) Abstract:This paper introduces some common and effective calculating methods of the n-order determinant by means of examples. Key words: determinant; triangulaire determinant; up and down order; vandermonde determinant 行列式是讨论线形方程组理论的一个有力工具，在数学的许多分支中都有这极为广泛的应用，是一种不可缺少的运算工具，它是研究线性方程组，矩阵，特征多项式等问题的基础，熟练掌握行列式的计算是非常必要的．行列式的计算问题多种多样，灵活多变，需要有较强的技巧．现介绍总结的计算n 阶行列式的几种常用方法． 1． 定义法 应用n 阶行列式的定义计算其值的方法，称为定义法． 根据定义，我们知道n 阶行列式 12121211 12121222() 1212(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a π= -∑ L L L L L M M L M L ．

行列式的计算技巧与方法总结(修改版)

行列式的若干计算技巧与方法内容摘要 1. 行列式的性质 2.行列式计算的几种常见技巧和方法 定义法 利用行列式的性质 降阶法 升阶法（加边法） 数学归纳法 递推法 3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法 拆行（列）法 构造法 特征值法

4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法三角形行列式 “爪”字型行列式 “么”字型行列式 “两线”型行列式 “三对角”型行列式 范德蒙德行列式 5. 行列式的计算方法的综合运用 降阶法和递推法 逐行相加减和套用范德蒙德行列式构造法和套用范德蒙德行列式

行列式的性质 性质1 行列互换，行列式不变．即 nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a n 2n 1n2 2212n12111 nn n2 n1 2n 22211n 1211= . 性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即 =nn n2 n1 in i2i1n 11211k k k a a a a a a a a a k nn a a a a a a a a a n2 n1in i2i1 n 112 11. 性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即 11 12 111 12111 121112212 121 2 12 1 2 .n n n n n n n n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ 性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那

行列式的计算方法

摘要 行列式是高等代数中重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用.通过对行列式基本理论的介绍，针对不同类型的行列式，结合具体例题，介绍行列式的计算方法，其中包括降阶法，升阶法，数学归纳法等. 关键词：行列式；范德蒙行列式；计算

Abstract The determinant is an important content of higher algebra, which having wide application in mathematics. Through the introduction of the basic theory of the determinant, combined with concrete examples, the calculation for different types of determinant are introduced, which including the reduction method, order method, mathematical induction, and so on. Key words: determinant；vandermonde determinant；calculation

目录 摘要 ................................................................................................................................I Abstract ....................................................................................................................... II 第1章行列式的形成和性质 .. (1) 第1节行列式的发展史 (1) 第2节行列式的性质 (2) 第2章行列式的计算方法 (4) 第1节化三角形法 (4) 第2节降阶法 (8) 第3节递推法 (9) 第4节加边法 (11) 第5节拆行（列）法 (12) 第6节数学归纳法 (14) 结论 (16) 参考文献 (17) 致谢 (18)

最新几种特殊类型行列式及其计算

1 行列式的定义及性质 1.1 定义[3] n 级行列式 1112121 22 212 n n n n nn a a a a a a a a a 等于所有取自不同行不同列的个n 元素的乘积12 12n j j nj a a a (1)的代数和,这里12 n j j j 是 1,2, ,n 的一个排列,每一项(1)都按下列规则带有符号:当12n j j j 是偶排列时,(1)带正号，当 12n j j j 是奇排列时,(1)带有负号.这一定义可写成 () () 121212 1112121 22 21212 1n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a τ= -∑ 这里 12 n j j j ∑ 表示对所有n 级排列求和. 1.2 性质[4] 性质1.2.1 行列互换,行列式的值不变. 性质1.2.2 某行(列)的公因子可以提到行列式的符号外. 性质1.2.3 如果某行(列)的所有元素都可以写成两项的和,则该行列式可以写成两行列式的和;这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一,其余各行(列)与原行列式相同. 性质1.2.4 两行(列)对应元素相同,行列式的值为零. 性质1.2.5 两行(列)对应元素成比例,行列式的值为零. 性质1.2.6 某行(列)的倍数加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变. 性质1.2.7 交换两行(列)的位置,行列式的值变号.

2 行列式的分类及其计算方法 2.1 箭形（爪形）行列式 这类行列式的特征是除了第1行(列)或第n 行(列)及主(次)对角线上元素外的其他元素均为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上(下)三角形行列式来计算.即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零. 例1 计算n 阶行列式 ()1 2323111100 1 0001 n n n a a D a a a a a =≠. 解 将第一列减去第二列的 21a 倍，第三列的3 1a 倍第n 列的 1 n a 倍，得 1 223 111110 000 000 n n n a a a a D a a ?? -- - ?? ? = 1221n n i i i i a a a ==?? =- ?? ? ∑ ∏. 2.2 两三角型行列式 这类行列式的特征是对角线上方的元素都是c ,对角线下方的元素都是b 的行列式，初看，这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当 b c =时可以化为上面列举的爪形来计算，当b c ≠时则用拆行(列)法[9]来计算. 例2 计算行列式

(完整版)行列式的计算方法(课堂讲解版)

计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例 计算行列式 0 0100200 1000000n D n n =-L L M M M M L L 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=L . 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2) 2 n n --， 故(1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算 例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=L 则称D n 为反对称 行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==L 故行列式D n 可表示为1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----L L L L L L L L L ，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-L L L L L L L L L 12131122321323312300(1)00 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------L L L L L L L L L (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.

行列式的计算技巧与方法总结

行列式的几种常见计算技巧和方法 2.1 定义法 适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性． 例1 计算行列式 00400300200 1000. 解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！ 项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑 1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有 41322314a a a a ，而()64321 =τ，所以此项取正号．故 0 04003002001000 =()()241413223144321=-a a a a τ. 2.2 利用行列式的性质 即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法 上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：

nn n n n a a a a a a a a a a a a a 2211nn 333223221131211000000=，nn nn n n n a a a a a a a a a a a a a 221132 1 33323122211100 00 00=. 例2 计算行列式n n n n b a a a a a b a a a a ++= + 21 211211n 1 11 D . 解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形． 解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得 1 21n 11210000D 0 n n n a a a b b b b b += = . 2.2.2 连加法 这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．

(完整word)行列式的计算技巧与方法总结,推荐文档

计算技巧及方法总结 一、 一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做 1、二阶行列式 2112221122 2112 11a a a a a a a a -= 2、三阶行列式 33 32 31 23222113 1211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 例1计算三阶行列式6 01504 321 - 解 =-6 015043 21601??)1(52-?+043??+)1(03-??-051??-624??- 4810--=.58-= 但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。 计算上三角形行列式 nn nn n n a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ2211222112110 0= 下三角形行列式 nn n n a a a a a a Λ ΛΛΛΛΛΛ2122 21 110 00.2211nn a a a Λ= 对角行列式 nn nn n n a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ221121 222111000= 二、用行列式的性质计算 1、记住性质，这是计算行列式的前提 将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为T D 或'D ,即若

,21 2222111211nn n n n n a a a a a a a a a D Λ Λ ΛΛΛΛΛ= 则 nn n n n n T a a a a a a a a a D Λ ΛΛΛΛΛΛ 212 22 12 12111=. 性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即.T D D = 注 由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有. 性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号. 推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数k 乘此行列式, 即 .21 21 112112 1 21 112111kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nn n n in i i n nn n n in i i n ===Λ ΛΛ Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 第i 行(列)乘以k ,记为k i ?γ(或k C i ?). 推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如, nn n n in in i i i i n a a a c b c b c b a a a D Λ ΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛ2 1 221111211+++=. 则 2121 21 11211212111211D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nn n n in i i n nn n n in i i n +=+=Λ ΛΛ Λ ΛΛΛ ΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛ ΛΛ Λ Λ Λ. 性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变. 注: 以数k 乘第j 行加到第i 行上,记作j i kr r +; 以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +. 2、利用“三角化”计算行列式 计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:

几种特殊类型行列式及其计算

毕业论文（设计）作者声明 本人郑重声明：所呈交的毕业论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果.除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品. 本人完全了解有关保障、使用毕业论文的规定，同意学校保留并向有关毕业论文管理机构送交论文的复印件和电子版.同意省级优秀毕业论文评选机构将本毕业论文通过影印、缩印、扫描等方式进行保存、摘编或汇编；同意本论文被编入有关数据库进行检索和查阅. 本毕业论文内容不涉及国家机密. 论文题目：几种特殊类型行列式及其计算 作者单位：数学与信息科学系 作者签名： 2012年5月31 日

目录 摘要 (1) 引言 (2) 1行列式的定义及性质 (3) 1.1 定义 (3) 1.2 性质 (3) 2行列式的分类及其计算方法 (4) 2.1 箭形（爪形）行列式 (4) 2.2 两三角型行列式 (4) 2.3 两条线型行列式 (7) 2.4 Hessenberg型行列式 (9) 2.5 三对角型行列式 (10) 2.6 各行(列)元素和相等的行列式 (11) 2.7 相邻两行(列)对应元素相差1的行列式 (12) 2.8 范德蒙德型行列式 (13) 结束语 (14) 参考文献 (15) 致谢 ······································································································································错误！未定义书签。

几种特殊类型行列式及其计算 摘要：行列式的计算是一个普遍的难题.在一些文献中我们已经了解了一些解决它的基本方法，例如:化为上下三角形法，降阶法，加边法，拆项法，递推法，数学归纳法.本文是对几种特殊类型的行列式给以归纳，再根据不同类型给出相应的计算方法.这使得绝大多数行列式能够被归为这其中的某一种，从而能快速简洁的计算出这些行列式. 关键词：行列式;爪形;两三角型;两条线型;范德蒙德型 Several Special Types of Determinants and Its Calculation Abstract: The n-th determinant calculation is a common difficult problem for students. We have already knew some ways in some documents to solve it, for example: the making definition, changing into triangle (upper and low), decreasing the degree, adding the margin, splitting some items, recursive algorithm and induction. This article aims to conclude some special kinds of determinants firstly and then gives the relevant calculation methods.That made most of the determinants can be attributed to one of that kinds,then it can be calculated more quickly and pithily. Key Words: Determinant; Claw; “Two-triangle”type; “Two-wire”type; “Vandermonde”type 1

【对应线代】行列式计算7种技巧7种手段

行列式计算7种技巧7种手段 【说明】行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本,最常用的工具,记为det(A).本质上,行列式描述的是在n 维空间中,一个线性变换所形成的平行多面体的体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻,因此,本人结合自己的学习心得,将几种常见的行列式计算技巧和手段归纳于此,供已具有行列式学习基础的读者阅读 一7种技巧: 【技巧】所谓行列式计算的技巧,即在计算行列式时,对已给出的原始行列式进行化简,使之转化成能够直接计算的行列式,由此可知,运用技巧只能化简行列式,而不能直接计算出行列式 技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=D T 111211121121222122221 2 12n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a = 技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号 111212122221222111211 2 1 2 n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a =- 技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面 1111121111121221 222 22212221 1 2 1 2 n n n n n n i n n n n n nn n n nn b a b a b a a a a b a b a b a a a a b b a b a b a a a a ==∏ 技巧4:行列式具有分行(列)相加性 11121111211112111 22 1 2121 2 1 2 1 2 n n n t t t t tn tn t t tn t t tn n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ 技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k 后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变

特殊行列式与行列式计算方法总结

特殊行列式及行列式计算方法总结 一、 几类特殊行列式 1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式 11112112,1 221222,11,21,1 1,11 2 ,1 (1)2 12,11 000000 0000 0000 (1) n n n n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------===-L L L L L L M M M M M M M M M N L L L L 3. 分块行列式（教材P14例10） 一般化结果： 00n n m n n m n m m n m m n m A C A A B B C B ????= =? 0(1)0n m n n m n mn n m m m n m m n A C A A B B C B ????= =-? 4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！ 以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算 二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】 1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式； 2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式； 3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算 ——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法）

【原创】行列式计算7种技巧7种手段

行列式计算7种技巧7种手段 编者:Castelu 【编写说明】行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本,最常用的工具,记为det(A).本质上,行列式描述的是在n 维空间中,一个线性变换所形成的平行多面体的体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻,因此,本人结合自己的学习心得,将几种常见的行列式计算技巧和手段归纳于此,供已具有行列式学习基础的读者阅读 一.7种技巧: 【技巧】所谓行列式计算的技巧,即在计算行列式时,对已给出的原始行列式进行化简,使之转化成能够直接计算的行列式,由此可知,运用技巧只能化简行列式,而不能直接计算出行列式 技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=D T 111211121121222122221 212n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a = 技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号 111212122221222111211 21 2n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a =- 技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面 111112111112122122222212221 121 2n n n n n n i n n n n n nn n n nn b a b a b a a a a b a b a b a a a a b b a b a b a a a a == ∏ 技巧4:行列式具有分行(列)相加性 11121111211112111221 21 21 2 1 21 2n n n t t t t tn tn t t tn t t tn n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ 技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k 后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变

行列式的计算技巧与方法总结

行列式的若干计算技巧与方法 内容摘要 1. 行列式的性质 2.行列式计算的几种常见技巧和方法 定义法 利用行列式的性质 降阶法 升阶法（加边法） 数学归纳法 递推法 3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法 拆行（列）法 构造法 特征值法 4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法 三角形行列式 “爪”字型行列式 “么”字型行列式 “两线”型行列式 “三对角”型行列式 范德蒙德行列式 5. 行列式的计算方法的综合运用 降阶法和递推法 逐行相加减和套用范德蒙德行列式 构造法和套用范德蒙德行列式

行列式的性质 性质1 行列互换，行列式不变．即 nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a n 2n 1n2 2212n12111nn n2n12n 2221 1n 1211 . 性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即 nn n2 n1in i2i1n 11211 k k k a a a a a a a a a k nn a a a a a a a a a n2n1in i2i1n 11211. 性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即 111211112111121112212121 2 1212.n n n n n n n n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a K K K M M M M M M M M M M M M K K K M M M M M M M M M M M M K K K 性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即 k a a a ka ka ka a a a a a a nn n n in i i in i i n 21 2121112 11nn n n in i i in i i n a a a a a a a a a a a a 212121112 11 =0. 性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即

#行列式的计算方法 (1)

计算n 阶行列式的若干方法举例 1．利用行列式的性质计算 例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称 行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 23312300 00 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300( 1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 2．化为三角形行列式 例2 计算n 阶行列式123123 1 23 1 2 3 1111n n n n a a a a a a a a D a a a a a a a a ++=++． 解 这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n 列之和全同．将第2，3，…，n 列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1． [][]()()()()()()122323122 3231223231122 3 2 3 211 12, ,2,,11 111 1 1111 1111 11 1n n n n n n n n n i n i n n n n i i i i i n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==+-==+++ +++++++??+++++=++ ??? +++ +++?? + ??? ∑∑3110100 111 . 00100 1 n n n i i i i a a a ==?? =+=+ ??? ∑∑

几种特殊类型行列式及其计算

1行列式的定义及性质 1.1定义[3] n级行列式 a 11 a12 (1) a 21 I-a22… a a 2n a a n1 a n2…a nn n元素的乘积的屜…a% （1）的代数和,这里jj…j n是1,2/ ,n的一个排列,每一项（1）都按下列规则带有符号：当jj…j n是偶排列时,⑴带正号，当j l j2…j n 是奇排列时,（1）带有负号.这一定义可写成 an a12 a1n a 21 a22 (2) I-a=无（-1F 山压）?…a nj j1 j2…j n a n1 a n2 a nn 这里V 表示对所有n级排列求和. j1 j2 ■ j n 1.2性质[4] 性质1.2.1行列互换，行列式的值不变. 性质1.2.2某行（列）的公因子可以提到行列式的符号外. 性质1.2.3如果某行（列）的所有元素都可以写成两项的和,则该行列式可以写成两行列式的和；这两个行列式的这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行（列）与原行列式相同. 性质1.2.4两行（列）对应元素相同,行列式的值为零. 性质1.2.5两行（列）对应元素成比例，行列式的值为零. 性质1.2.6某行（列）的倍数加到另一行（列）对应的元素上,行列式的值不变. 性质1.2.7交换两行（列）的位置,行列式的值变号. 等于所有取自不同行不同列的个

2行列式的分类及其计算方法 2.1箭形（爪形）行列式 这类行列式的特征是除了第1行（列）或第n 行（列）及主（次）对角线上元素外的其他元素均 为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上（下）三角形行列式来计算?即利用对 角元素或次对角元素将一条边消为零. 例1计算n 阶行列式 a 1 1 ■ ■ .L 1 1 a 2 0 0 D n = 1 0 a 3… 0 （&2&3…a n 式0） 1 0 … a n 2.2两三角型行列式 这类行列式的特征是对角线上方的元素都是 c,对角线下方的元素都是b 的行列式，初看, 这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当 b 二 c 时可以化为上面列举的爪形来计算，当 b = c 时则用拆行例）法 ［9］ 来计算. 例2计算行列式 将第一列减去第二列的 丄倍，第三列的丄倍…第n 列的 a 2 a 3 倍，得 1 a i - a 2 1 1 a 2 0 a 3 0 0 a n n =''a i i =2 n *1 ' ■- i=2 丄 a i 丿

行列式计算的若干种方法讲解

中南民族大学 毕业论文(设计) 学院: 数学与统计学学院 专业: 统计学年级:2008 题目: 行列式计算的若干方法 学生姓名: 曹金金学号:08067005

指导教师姓名: 汪宝彬职称:讲师 2012年4月30日

中南民族大学本科毕业论文（设计）原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果.除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品.本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担. 作者签名： 年月日

目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 1 引言 (2) 2.1排列 (2) 2.2行列式的定义 (2) 2.2.1 二阶、三阶行列式 (2) 2.2.2 n阶行列式的定义 (3) 2.2.3 几种特殊的行列式的定义 (3) 2.3 行列式的基本性质 (5) 3几种常见的行列式的计算方法 (6) 3.1利用行列式定义直接计算 (6) 3.2 利用行列式的性质计算 (6) 3.3 三角化法 (7) 3.4 降阶法 (8) 3.5利用范德蒙德行列式求解 (10) 3.6 数学归纳法 (11) 3.7 拆项法 (12) 3.8析因子法 (13) 3.9 加边法(升阶法) (13) 3.10递推公式法 (14) 3.11超范德蒙行列式法 (15) 3.12利用分块计算行列式 (16) 4 结论 (16) 致谢 (17) 参考文献 (17)

行列式计算的若干方法 摘要：在线性代数中,行列式的求解是非常重要的. 本文首先介绍行列式的定义与性质；然后通 过实例给出了计算行列式的几种方法.从文中可以看出，选择合适的计算方法可有效的计算行列式. 关键词：行列式；性质；计算方法 Some Methods of Determinant Calculation Abstract: Determinant plays an important role in the linear algebra. In this paper we first introduce the definition and properties of determinant. Then several methods of the calculation are given by some examples. It can be seen from the paper that choose the appropriate calculation method can efficiently compute the determinant. Key words: determinant; property; the calculation methods

行列式的几种求法

行列式的求法有多种，以下简单进行总结。 一、逆序定义法 行列式的逆序法定义如下： 1212121112121222(,,......,)12,,......,1 2(1)......n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a τ= -∑ 这里，12,,......,n j j j 为1,2,...,n 的任一排列，12(,,......,)n j j j τ为该排列的逆序数，求和是对所有的排列求的，因此，该和式一共有!n 项，每项都是n 个数相乘，并得计算逆序数，计算量巨大。因此，一般而言，逆序法定义具有理论上研究的意义，而比较少用于求行列式。但是，如果行列式的项中有大量的0，那么用逆序法计算可能会很简单。以下举例如下： 例1：求 11 22 nn a a a 。 解答： 12121211 22 (,,......,)12,,......,(1)......n n n j j j j j nj j j j nn a a a a a a τ= -∑ 只当11j =，22j =，……，n j n =，其项才可能非零。因此， 11 22 (1,2,......,)01,12,2,1,12,2,1,12,2,(1)......(1)............n n n n n n n nn a a a a a a a a a a a a τ=-=-= 例2、求 1 2 n d d d 。 解答： 1212121 2 (,,......,)12,,......,(1)......n n n j j j j j nj j j j n d d a a a d τ= -∑ 只当1j n =，21j n =-，……，1n j =，其项才可能非零。因此，

几类特殊N阶行列式的计算

目录 1 引言 (2) 2 文献综述 (2) 2.1 国内研究现状 (2) 2.2 国内研究现状评价 (3) 2.3 提出问题 (3) 3 预备知识 (3) 3.1 N阶行列式的定义 (3) 3.2 行列式的性质 (4) 3.3 行列式的行(列)展开和拉普拉斯定理 (4) 3.3.1 行列式按一行(列)展开 (4) 3.3.2 拉普拉斯定理 (5) 4 几类特殊N阶行列式的计算 (5) 4.1 三角形行列式的计算 (6) 4.2 两条线型行列式的计算 (7) 4.3 箭形行列式的计算 (8) 4.4 三对角行列式的计算 (8) 4.5 Hessenberg型行列式的计算 (10) 4.6 行（列）和相等的行列式的计算 (11) 4.7 相邻行（列）元素差1的行列式的计算 (12) 4.8 范德蒙型行列式的计算 (13) 5 结论 (15) 5.1 主要发现 (15) 5.2 启示 (15) 5.3 局限性 (15) 5.4 努力方向 (15) 参考文献 (16)

1 引言 行列式是代数学中的一个重要内容,在数学理论上有十分重要的地位.早在17世纪和18世纪初,行列式就在解线性方程组中出现.1772年法国数学家范德蒙(1735-1796)首先把行列式作为专门理论独立于线性方程之外研究.到了19世纪,是行列式理论形成和发展的重要时期,19世纪中叶出现了行列式的大量定理.因此,到19世纪末行列式基本面貌已经勾画清楚. 行列式的计算是高等代数的重要内容之一,也是理工科线性代数的重要内容之一,同时也是学习中的一个难点.在数学和现实中有着广泛的应用,懂得如何计算行列式尤为重要.对于阶数较低的行列式,一般可直接利用行列式的定义和性质计算出结果.对于一般的N阶行列式,特别是当N较大时，直接用定义计算行列式往往是困难和繁琐的，因此研究行列式的计算方法则显得十分必要.通常需灵活运用一些计算技巧和方法，使计算大大简化，从而得出结果.本文归纳了几类特殊N阶行列式的计算方法,从这几类特殊的N阶行列式的计算中,可以总结出归纳出一些行列式的计算方法,只要将这些方法与传统方法结合起来，就可以基本上解决n阶行列式的计算问题. 本文先阐述行列式的定义及其基本性质,然后介绍了几类特殊行列式的计算方法,并结合了相关例题讨论了行列式的求解方法. 2 文献综述 2.1 国内研究现状 现查阅到的文献资料中,大部分只是简单的介绍了行列式的定义、行列式的性质、行列式按行（列）展开、克拉默法则等.其中[1]、[3]介绍了行列式的定义、性质、行列式按行（列）展开，[2]、[4]介绍了利用行列式的性质计算行列式，[4]、[8]直接介绍行列式的计算，主要讲解了行列式的计算在Matlab上的实现，[7]、[9]、[10]介绍了行列式的简单计算和行列式的常用计算方法，[11]、[12]、[13]同样也是介绍了行列式的性质、定义和克拉默法则，[14]在行列式的定义、性质、按行（列）展开克拉默法则等方面介绍得比较完整，[15]-[18]系统介绍了行列式计算中和各种方法,如定义法、降阶法、升降法、拆开法、目标行列式法、乘积法、化三角开法、消去法、加边法、归纳法、递推法、特征值法等行列式的计算方法.