倍角公式和半角公式
半角公式
利用某个角（如A）的正弦，余弦，正切，及其他三角函数，来求某个角的半角（如A/2）的正弦，余弦，正切，及其他三角函数的公式。
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=+或-[1-cosα）/（1+cosα）]开二次方
倍角公式是三角函数中非常实用的一类公式.
现列出公式如下:
sin2α=2sinαcosα
tan2α=2tanα/(1-tan^2(α))
cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用.
号外:
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
·倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
其他一些公式
·三倍角公式：
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
tan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)
·半角公式：
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
·万能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
·积化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
·其他：
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及
sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
四倍角公式：
sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))
cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)
tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)
五倍角公式：
sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA
cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA
tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)
六倍角公式：
sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))
cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))
tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)
七倍角公式：
sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))
cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))
tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)
八倍角公式：
sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))
cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)
tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)
九倍角公式：
sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))
cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))
tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)
十倍角公式：
sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))
cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))
tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
3.1 和角公式
3.2 倍角公式和半角公式
二. 教学目的
1. 了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导和证明过程，能够利用两角和与差的余弦、正弦、正切公式进行简单的三角函数式的求值、化简和证明，了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的内在联系；
2. 掌握倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的推导过程，能够利用倍角、半角的正弦、余弦、正切公式进行求值、化简和证明，了解倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的内在联系。
三. 教学重点、难点
重点：能够推导并掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式及倍角、半角的正弦、余弦、正切公式，并应用上述公式进行求值、化简、证明。
难点：能够正确利用上述公式进行求值、化简、证明，并能解决简单实际问题。
四. 知识分析
（一）两角和与差的余弦 1、两角差的余弦公式 推导方法1：向量法
把cos()α-β看成是两个向量夹角的余弦，可以考虑利用两个向量的数量积来研究。如图1，设αβ、的终边分别与单位圆交于点 P l (cos α，sin α)，P 2 (cos β，sin β)，由于余弦函数是周期为 2π的偶函数，所以，我们只需考虑0≤α-β<π的情况。
图1
设向量12(cos ,sin ),(cos ,sin )a OP
b OP ==αα==ββ
则||||cos()cos()a b a b ?=??α-β=α-β
。
另一方面，由向量数量积的坐标表示，有cos cos sin sin a b ?=αβ+αβ
cos()cos cos sin sin ∴α-β=αβ+αβ ()C α-β
于是，对于任意的αβ、，都有上述式子成立。
推导方法2：三角函数线法
设αβ、、α-β都是锐角，如图2 ，角α的终边与单位圆的交点为 P l ，∠POP 1 ＝
β，则∠Pox ＝α-β。过点P 作 MN ⊥x 轴于M ，则OM 即为α-β的余弦线。在这里，
我们想法用αβ、的三角函数线来表示OM 。
图2
过点P 作PA ⊥OP 1于A ，过点A 作AB ⊥x 轴于B ，过P 作PC ⊥AB 于C ，则OA 表示
cos β，AP 表示sin β，并且∠PAC ＝∠P 1Ox ＝α，于是
cos sin cos cos sin sin OM OB BM OB CP OA AP =+=+=α+α=βα+βα
即cos()cos cos sin sin α-β=αβ+αβ ()C α-β
要说明此结果是否对任意角αβ、都成立，还要做不少推广工作，并且这项推广工作的
过程也是比较繁难的，在此就不进行研究了。 2. 两角和的余弦公式
比较cos()α-β与cos()α+β，并且注意到α+β与α-β之间的联系： ()α+β=α--β
则由两角差的余弦公式得：
cos()cos[()]cos cos()sin sin()cos cos sin sin α+β=α--β=α-β+α-β=αβ-αβ
即cos()cos cos sin sin α+β=αβ-αβ ()C α+β
3. 对公式的理解和记忆
（1）上述公式中的αβ、都是任意角。
（2）公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反。 （3）要注意和（差）角的相对性，掌握角的变化技巧，如2()()α=α+β+α-β，
()α=α+β-β等。
（二）两角和与差的正弦 1. 公式的导出
sin()sin[()]sin cos()cos sin()sin cos cos sin α-β=α+-β=α-β+α-β=αβ-αβ
即sin()sin cos cos sin α+β=αβ+αβ ()S α+β
sin()sin cos cos sin α-β=αβ-αβ ()S α-β
2. 公式的理解
（1）S
S
C
C
α+β
α-βα+βα-β、与、一样，对任意角αβ、均成立，是恒等式。 （2）“和差”公式是诱导公式的推广，诱导公式是“和差”公式的特殊形式。
如cos()cos cos sin sin 222παπαπα+=-
=-=10cos sin cos ααα
s i n ()s i n c o s c o s s i n 2
22παπαπα-=- =-=-01cos sin sin ααα
（3）明确
S C α±βα±β与公式的区别与联系：
sin()sin cos cos sin α±β=αβ±αβ cos()cos cos sin sin α±β=αβαβ
两公式右边均为两乘积项和差形式，但S α±β公式中，左边为角的“和”或“差”
，右边
也为两项之“和”或“差”，而C α±β公式中，左边为角的“和”或“差”
，右边则为两项之
“差”或“和”，另外S α±β公式中右边两项均为角αβ、的异名函数之积，牢记公式，才能
正确使用这些公式。
3. 函数()cos sin f a b α=α+α的最值（ a 、b 为常数，α为任意角）
将函数()f α化为一个三角函数形式可求最值，而此函数为两项之“和”式，所以考虑应用两角和与差的正弦、余弦公式，可化为一个三角函数形式，化简过程如下：
f a b ()c o s s i n αα
α=+ =+++
+=++=
=+-a b a a b
b a b
a b b
a
a b 222
2
2
2
2222(
cos sin )
(cos cos sin sin )(tan )cos()
ααθαθαθαθ令
又∵-≤-≤11cos()αθ
∴，f a b f a b ()()m a x m i n αα=+=-+2222
也可如下化简：
f a b ()c o s s i n αα
α=+ =+++
+=++=
=
++a b a a b
b a b
a b a
b
a b 222
2
2
2
2222(
cos sin )
(sin cos cos sin )(tan )sin()
αααθαθθαθ令
∴-+≤≤
+a b f a b 2
2
22()α
即f a b f a b ()()max
min αα=+=-+2222，
注：此处内容与教材P143的例4是一种问题，但表示方法稍有不同，目的是要同学们灵活掌握，运用自如。
（三）两角和与差的正切 1. 正切公式的推导过程
当cos()0α+β≠时，将公式
S C α+βα+β、的两边分别相除，有
t a n ()s i n ()cos()sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβ
αβαβ+=
++=
+-
当cos αcos β≠0时，将上式的分子分母分别除以cos αcos β，得：
t a n ()t a n t a n t a n t a n ()αβαβ
αβ
αβ+=
+-+1T
由于tan()sin()cos()sin cos tan -=
--=-=-ββββ
ββ
，
在
T αβ+中以－β代β，可得
t a n ()t a n t a n t a n t a n ()αβαβ
αβ
αβ-=
-+-1T
2. 公式的理解
（1）公式成立的条件
①公式T αβ±在
αππ
βππ
αβππ
αβ≠，≠，≠需满足k k k T +
+
++
+2
2
2
()
，α－β≠
k T k Z
ππ
αβ+
∈-2
()需满足，时成立，否则是不成立的。
②当tan α、tan β或tan(α±β)的值不存在时，不能使用公式
T αβ±，处理有关问题时，
应改用诱导公式或其他方法来解。 （2）公式的变形形式
①由
tan()tan tan tan tan αβαβαβ+=
+-1得
t a n t a n t a n ()(tan tan )tan tan tan tan tan()αβαβαβαβαβ
αβ+=+-=-
++11；
2；
②由
tan()tan tan tan tan αβαβ
αβ-=
-+1得 t a n
t a n t a n ()(tan tan )αβαβαβ-=-+1；
t a n t a n t a n t a n t a n ()αβαβ
αβ2=
---1
。
（四）倍角公式
1. 本节中公式的证明过程较为简单，只要将S C T ()()()αβαβαβ+++、、中的β换作α即可得
到S C T 222ααα、、的形式，再结合平方关系sin cos 22
1αα+=可推得C '2α。
2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式及变形
sin sin cos ()
cos cos sin ()
tan tan tan ()22222122222
2αααααααα
αααα==-=
-，
S C T
另外，cos cos sin (')2211222
2αααα=-=-C 。 公式C '2α还可变形为升幂公式：
12212222
+=-=cos cos cos sin αααα，，
降幂公式：cos
cos
sin
cos 22
12
2
12
2α
α
α
α=
+
=
-
，
以上公式中除tan
tan
tan
()
2
2
124
2
α
α
α
α
ππ
=
-
+∈
中，≠
k
k Z
且α≠
k k Z
π
π
+∈
2
()
外，其余公式中角α为任意角。（五）半角的正弦、余弦和正切
1. 应用三个半角公式S C T
ααα
222
、、
时，要特别注意根号前的符号，选取依据是
α
2所在
的象限的原三角函数的符号。同学们往往误认为是根据cosα的符号，确定sin
α
2，
cos
α
2、
tan α
2的符号。
如α为第二象限角，且
cosα=-
2
3，则
α
2为第一或第三象限角，∴
sin
α
2可正可负，
cos α
2可正可负，
tan
α
2为正。
∴±±±s i n
cos
αα
2
1
2
1
2
3
2
30
6 =
-
=
+
=
cos
cos
αα
2
1
2
1
2
3
2
6
6 =
+
=
-
=
±±±
，t a n
cos
cos
αα
α
2
1
1
5
=
-
+
=
2. 公式T
α
2，共有三个，即
tan
cos
cos
sin
cos
cos
sin
αα
α
α
α
α
α
2
1
11
1
=
-
+
=
+
=
-
±
，显然公式
tan
cos
cos
αα
α
2
1
1
=
-
+
±
由于符号问题有时不方便，后两个无符号问题，但易记混淆。对于
后两个公式关键是明确公式的推导，如下：
t a n
s i n
cos sin cos
cos
sin
cos
α
α
ααα
α
α
α
2
2
22
22
2
2
1
2
===
+
，同理可推得tan
cos
sin
αα
α
2
1
=
-
，后两个
公式在化简中往往起到事半功倍的效果。
3. 升幂公式：12
2
12
2
22 +=-=
cos cos cos sin α
α
α
α
，
降幂公式cos
cos
2
2
1
2
αα
=
+
，
sin
cos
2
2
1
2
αα
=
-
，等同于倍角公式的升幂与降幂公
式。
升降幂公式主要用于化简、求值、证明，在应用时要根据题目的角的特点，函数的特点及结构特点选取公式。一般地升幂的同时角减小，降幂的同时角增大。
【典型例题】
例1.
sin ()cos ()ααππββππ=
∈=-∈3232352，，，，，，求cos()αβ+的值。 解析：由
αππα∈=()sin 223，及，
得cos sin ()αα=--=--=-
11235
322 又由
βππβ∈3=-()cos ，及，
23
5 得
sin cos ()ββ=-----=-
11354
522 由余弦的和角公式，得
cos )cos cos sin sin ()()()(+=-=-
---=+αβαβαβ5335234583515
点评：已知角的某一三角函数值，求该角的另一三角函数值时，应注意角的终边所在的象限，从而确定三角函数值的符号。
例2. 已知Rt △ACB 中，两垂直边AC ＝b ，BC ＝a ，斜边AB ＝c ，周长为定值l ，求斜边c 的最小值。
解析：Rt △ACB 中∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c 则a ＝c 2sinA ，b ＝c 2cosA
∴l a b c c A A =++=++(s i n
c o s )1
∴c l
A A
l
A =
++=
++
1124s i n cos sin()
π
∵∴s i n ()s i n ()
A c l
A l +≤=
++≥+π
π
4
1124
12
即当
sin()A +
=π
4
1
A =
π
4时，斜边c 最小，最小值为l
12+。 点评：（1）应用三角函数解决实际应用题的最值问题，必须先写出函数关系式（三角形式），再求最值。
（2）型如()cos sin f x a x b x =+
的函数均可化为())f x x =
+θ（θ为
确定数值）
，或化为
())f x x =-θ，再利用三角函数的值域可求最值。
例3. 计算：（1）175175215301530+?
-??+?+??
tan tan tan tan tan tan ；（）
解析：（1）解法1：
t a n t a n ()t a n t a n t a n t a n 754530453014530?=?+?=
?+?
-??
=
+
-
=+=+13
313
31263623
∴17517512312333132323+?-?=++--=+--=-=-tan tan
解法2：175175457514575+?-?=
?+?
-??tan tan tan tan tan tan 2
=?+?=?=-?
=-tan()tan tan 4575120603
（2）公式
tan()tan tan tan tan αβαβ
αβ+=
+-12，可变形为 t a n
t a n t a n ()(tan tan )αβαβαβ+=+-1 ∴2t a n t a n t a n t a n 15301530?+?+?? =?-??+??
=?=t a n (t a n t a n )t a n t a n t a n
4511530153045122
点评：（1）题（1）中的解法1是正用公式T
α+β，从而将非特殊角75°的正切化为两特殊角45°与30°的正切，使问题得解；而题（1）中的解法2通过变换凑出两角和的正切公式形式，逆用公式
T α+β使问题得到解决。题（2）是逆用公式T α+β求解的。
（2）公式T
α±β可正用、逆用、变形应用。应用公式解题时，由于所求式子与公式有一定距离，可先变形、整理，再应用公式。
（3）对于型如：cos sin cos sin α+αα-α（或cos sin cos sin α-α
α+α）的式子，常常分子分母同时除以cos α
为1tan 1tan +α-α（或1tan 1tan -α
+α）的形式，再化为tan tan tan tan 45145?+-?αα2（或tan tan tan tan 45145?-+?αα2）
的形式，再用公式T α±β即可。
例4. 设tan tan αβ、是方程x x 2
330--=的两实根。
求sin ()sin()cos()cos ()2
2
33αβαβαβαβ+-++-+之值。 解析：由题意知：tan tan tan tan αβαβ+==-33，2
∴∴t a n ()t a n t a n t a n t a n s i n()s i n ()c o s ()c o s()αβαβαβαβα
βαβαβ+=
+-=
+-++-+13
4
332
2
=+-++-++++=+-+-++s i n()s i n ()c o s ()c o s()s i n()c o s()t a n()t a n ()t a n()2
22
22
2
33331αβαβαβαβαβαβαβαβαβ
=--+=-()()343343
341322
3
点评：（1）由tan(α＋β)＝3
4如何求待求式sin ()sin()cos()2
3αβαβαβ+-++ -+32cos ()αβ的值是难点，而将待求式转化为tan()α+β的待求式是关键，如何转化呢？
关键之关键是将原待求式看成分母为“1”的分式，而分母“1”又可表示为
22sin ()cos ()α+β+α+β
（2）由tan a α=，可求下列代数式的值：
型如sin cos sin cos a b c d α+αα+α，可化为tan tan a b
c d α+α+；
型如2222sin cos sin cos a b c d α+αα+α，可化为22
tan tan a b
c d α+α+；
型如2
2
sin 3sin cos cos α+αα+α，
可化为22222
2sin 3sin cos cos tan 3tan 1
sin cos tan 1α+αα+αα+α+=α+αα+
例5. 解答下列各题：
（1）求
cos
cos
π
π12512的值； （2）已知sin ()
ααπ
π=∈5132，，，求sin cos tan 222ααα、、的值；
（3）求tan tan 151152
°
°-的值。
解析：（1）cos
cos
cos sin
π
πππ125121212= ===
1221212126142cos sin sin πππ； （2）∵sin ()
ααπ
π=∈5132，，
∴cos sin (
)αα=--=--=-1151312
1322 故
sin sin cos ()2225131213120
169ααα==-=-
33
cos sin ()21212513119
16922αα=-=--=
3
t a n s i n cos 222120169119169120
119ααα==-=-
÷ （3）∵tan tan tan tan tan 1511512
21511512303
62
2°°2°°°-=-==
点评：（1）对于第（1）题要注意将
5cos
12π变换成sin
12π
，再配以系数2，即可适合二
倍角的正弦公式的形式，利用二倍角的正弦公式求值；
对于第（2）题首先利用同角三角函数的关系求出cos α的值，然后利用二倍角公式求
出sin 2,cos 2αα的值，再利用同角三角函数的基本关系式求出tan 2α的值。
对于第（3）题配上系数2，即为二倍角的正切公式，逆用二倍角正切公式即可。
（2）二倍角公式可正用、逆用、变形用，牢记公式及其特点才能正确灵活地使用二倍角公式；
（3）二倍角正弦公式连续使用时要注意构造余弦的二倍角关系，类似地，可以证明恒等式：
1
*1s i n (2)c o s c o s 2c o s 4c o s (2)(
)
2s i n n n
n n N ++αα?α?α??
α=∈α
如求值sin10°2sin50°2sin70°，可以先化为cos20°2cos40°2cos80°
再化为
820204080820160820208201
8sin cos cos cos sin sin sin sin sin ?????=??=??=
222 同学们可以试着求下面的式子的值：sin sin sin sin 6426678????
例6. 已知sin cos αααπ+=
<<1
30，且，求sin cos tan 222ααα，，的值。 解析1：∵
sin cos αα+=
1
3
∴s i n cos sin cos 2
2219αααα++=
∴且∵，，∴∴sin sin cos sin cos sin cos 2894
9
000
ααααπαααα=-=-<<<><->
∴s i n c o s (s i n c o s )s i n ααααα-=-=-=
2
1217
3
∴3c o s c o s sin (sin cos )(cos sin )()213
17317
922ααα
αααα=-=+-=
-=-
t a n s i n cos 222817
17ααα==
解析2：∵sin cos αα+=
1
3
平方得
sin cos αα=-
49
∴sin α、cos α可看成方程x x 213490
--=的两根，
解方程x x 213490
--=，可得
x x 12176176
0017617
6
228
9=
+=-∈>=
+=-==-
，，∵，，∴∴，∴απαααααα()sin sin cos sin sin cos c o s c o s sin tan sin cos 217
9
222817
1722αααααα=-=-
==
点评：已知α的一个三角函数值及所在象限，可求2α的正弦、余弦、正切，而本题已知三角函数式
1
sin cos 3α+α=
，可先求出sin ,cos ,tan ααα的值，再用二倍角公式，但要
判断出2π
<α<π
，另外本题解法较多，认真研究可以提高解题的灵活变形能力。
例7. 已知
|cos |sin cos tan θπθπθθθ
=
<<35523222，且，求，，的值。 解析：∵|cos |θπ
θπ
=5<<3523，
∴，由cos cos sin θπθπ
θθ
=-<<
=-3554232
122
2
有又s i n c o s
c o s c o s
θ
θθθ
2
12
13
52255
22
1
2=--=-+
=-=-
有cos cos θθ21255=-+=-
t a n s i n cos
θθ
θ2
222=
=
点评：半角余弦公式的实质是等号左边的角是右边的角的1
2，不一定是单角的形式，
根号前面的符号，由2α
所在象限来确定，如果没有给出限定符号的条件，根号前应保留正
负两个符号。
例8. 已知
tan sin cos sin cos ααα
αα=+-++a ，求
122122的值。 解析：解法1：∵
tan sin cos cos sin ααααα211=+=
-
∴t a n s i n cos cos sin αααα
α=+=
-212122 利用比例性质：
∴
即122122122122+-++=+-++=s i n c o s s i n c o s t a n s i n c o s s i n c o s αα
ααα
ααααa
解法2：∵1222
-=cos sin αα
1222
+=c o s
c o s αα ∴
1221221221222222222
2+-++=
-+++=
++=++=s i n c o s s i n c o s c o s s i n c o s s i n s i n s i n c o s c o s s i n c o s s i n (s i n c o s )c o s (c o s s i n )t a n αααααα
αα
ααααααααααααα
又∵tan α=a ，
∴122122+-++=sin cos sin cos αα
ααa
解法3：原式
=
++--++++
-+1212222222
222222sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos αααααα
αααααααααα
=
++--++++
-+1211112111222
222tan tan tan tan tan tan tan tan αααααααα =
++-++++-=++=12112121212222tan tan tan tan tan tan tan (tan )(tan )tan αααααααααα
又∵tan α=a ，
∴122122+-++=sin cos sin cos αα
ααa
点评：（1）给值求值问题一般有两个思路：一是先化简（变形）三角式，再代入求值（法2，法3）；二是由已知变形，获得所求解的式子（法1），相比而言法2为通法，法1技巧太
高不易掌握，法3太麻烦，但它与题型“由tan α的值，求sin cos 3sin 2cos α+α
α-α的值”有异曲
同工之妙。
（2）法2中用到的化简技巧：2
1cos 22sin -α=α，2
1cos 22cos +α=α，在化简三角函数式中含有“1cos2±α”时常用到。 （3）法1中的公式sin 1cos tan
21cos sin αα-α==+αα在化简三角式中也经常使用。
【模拟试题】
1. 下列四个命题中的假命题是（ ） A. 存在这样的α和β的值使得
c o s ()c o s c o s s i n s i n α
βαβαβ+=+ B. 不存在无穷多个α和β的值使得 c o s ()c o s c o s s i n s i n α
βαβαβ+=+ C. 对于任意的α和β有
c o s ()c o s c o s s i n s i n α
βαβαβ+=- D. 不存在这样α和β的值使得
c o s ()c o s c o s s i n s i n α
βαβαβ+-≠ 2. 化简sin()sin()cos()cos()x y x y x y x y +--+-的结果是（ ） A. sin2x B. cos2x C. －cos2x D. －sin2x
3. 在△ABC 中，若sin sin cos cos A B A B 22<，则△ABC 一定为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
4. 化简sin()cos cos()sin αββαββ-+-的结果为（ ） A. 1
B. sin α
C. cos α
D. sin αcos β
5. 若3323sin cos sin()()x x x -=+∈-??ππ，，，则?等于
A. -
π
6 B. π
6 C. 56π D.
-56π 6. tan tan tan tan 204032040?+?+??的值为（ ）
A. -3
B.
3
C. 3
D. 33
7. 当
cos22
3α=
时，sin cos 44αα+的值是（ ） A. 1 B. 79 C. 1118 D. 13
18
8. 化简：188188+-++sin cos sin cos θθ
θθ＝（ ） A. tan4θ B. cot 4θ C. tan2θ D. cot 2θ
9. 已知：x x x
∈-=()cos tan π204
52，，，则等于（ ）
A. 724
B. -724
C. 247
D.
-
24
7 10. 已知sin cos cos sin sin()
αβαβαβ-=-=+121
3，，则＝_________。
11. 函数y x x =-sin cos 222
的最大值是___________。
12. 已知sin cos ()
ααπ
π=∈22，，a ，则tan α＝__________。
13. 函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是__________。
14. 求值：2102020cos sin cos ?-?
?。
15. 在锐角△ABC 中，
（1）求证：tanA ＋tanB ＋tanC ＝tanAtanBtanC ；
（2）化简：
tan
tan tan tan tan tan A B B C C A 222222++。 16. 已知函数f x x x x x ()cos sin cos sin =--44
2。
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）若x f x ∈[]()
02，，求π
的最大值、最小值。
17. 已知sin()sin()()
παπααπ
π44162+-=∈，，，求sin4α的值。
18. 求下列各式的值。 （1）tan
cot
π
π
8
12+；
（2）
(tan cot )cos sin 5570170?-??
+?2
。
【试题答案】
1～9：BCDBABCAD
10. 59
72
11. 1
12.
3-
13. π 14. 解：原式=
?-?-??230202020cos()sin cos
=
??+??-??
=?+?-??=230203020202023220122020203
(cos cos sin sin )sin cos [cos sin ]sin cos
15. （1）证明：∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π-C
∴∴
∴t a n ()t a n ()
t a n t a n t a n t a n t a n t a n
t a n t a n (t a n t a n )A B c A B
A B C
A B C A B +=-+-=-+=--π11 ∴t a n
t a n t a n t a n t a n t a n A B C A B C ++= （2）解：原式
=++tan (tan tan )tan tan
A B C B C 22222
=+-+tan tan (tan tan )tan tan
A B C B C B C 22122222 =--+=-+=tan tan()(tan tan )tan tan
tan tan
(tan tan )tan tan A A B C B C A A B C B C 22212222212122221
π
16. 解：f x x x x x x ()(cos sin )(cos sin )sin =+--2222
2
=-=+
cos sin cos()
22224x x x π
（1）f x ()的最小正周期是π。
（2）∵π
π
ππ
424
4≤+
≤+
x
∴当24
4
2221x f x +
=
==π
π
时，3
max ()；
当
24
2
x f x +
==-π
π，min ()
17. 解：由sin(
)sin(
)π
απ
α4
4
16+-=
有
sin(
)cos(
)π
απ
α4
4
1
6++=
即12
2216sin()πα+=
于是
cos213α=
又22αππ∈()，，故sin2232α=-
， 所以
sin sin cos 4222429ααα==-
。
19. 解：（1）
tan
cot
π
π
8
12+
=-+++-=-
+++
-=
-++
+-=++1414161612
2122
13
2132
2222
23
23
123
cos
cos cos
cos πππ
π
（2）
(tan cot )
cos sin 5570170?-??
+? =?-??+?=-??
=-tan tan sin cos cot tan 2515201202101022
22
数学,半角公式
第4讲 倍角、半角公式 北京四中 苗金利 考纲导读 1． 会用两角和与差的正弦、余弦公式推导倍角、半角公式，了解它们的 内在联系。 2． 解决比较简单的应用问题，体会换元思想、方程思想的运用。 知识要点 复习和差角的三角函数公式 sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 典型例题分析 例1、求证下列等式成立： （1）sin 22sin cos ααα=?； （2）2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-． （3）22tan tan 21tan ααα = -； （4）21cos sin 22 αα-=； （5）21cos cos 22 αα+=； （6）21cos tan 21cos ααα -=+； （7）sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+； （8）sin sin )a A b A A ?++， 其中 cos ?=sin ?． 例2、求值： （2）已知3sin()1225π θ-=，求cos()6πθ-． （3）已知sin()4 m π α+=，求sin 2α． 例3、 已知22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，求： （1）f (x )的最大值以及取得最大值的自变量的集合； （2）f (x )的单调区间． 例4、当3[,]44 x ππ∈时，求下列函数的值域 （1）cos2sin y x x =+； （2）sin cos sin cos y x x x x =+-； （3）3sin 4cos y x x =+．
倍角公式和半角公式-拔高难度-讲义
倍角公式和半角公式 知识讲解 一、倍角公式 sin 22sin cos ααα=； 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=- 2 2tan tan 21tan α αα = - 3 sin 33sin 4sin ααα=-；3 cos34cos 3cos ααα=-；32 3tan tan tan 313tan αα αα -=- 二、半角公式 1cos sin 2 2α α-=± ；1cos cos 22αα +=±； 1cos 1cos sin tan 2 1cos sin 1cos α ααα ααα --=± == ++ 三、万能公式 2 2tan 2sin 1tan 2 α αα = +；22 1tan 2cos 1tan 2 ααα -= +；2 2tan 2tan 1tan 2 α αα =- 四、公式的推导 sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+= 22cos2cos()cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=?-?=- 再利用22sin cos 1αα+=，可得： 2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααα αααααα +=+= =-?-
sin 2tan 2 cos 2 αα α ===sin 2sin sin 1cos 22 2tan 2 sin cos 2sin cos 2 22 αα α α αα ααα-=== sin 2cos sin sin 22 2tan 2 1cos cos 2cos cos 2 22 αα α α αα ααα===+ 【说明】这里没有考虑 cos sin 2 2 α α ==，实际处理题目的时候需要把等于０的情况分出 来单独讨论一下． 五、综合运用 1.倍角、半角、和差化积、积化和差等公式的运用 1）并项功能： 2221sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )ααααααα±=+±=± 2）升次功能 ： 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 3）降次功能： 2 21cos 21cos 2cos ,sin 22 αα αα+-= = 2.三角变换中常用的数学思想方法技巧有： 1）角的变换：和、差、倍、半、互余、互补的相对性，有效沟通条件与结论中角的差异， 比如：3015453060452? ?=?-?=?-?= , ()()22 α ααββαββ=-+=+-=? ()()()()ππ 2()()44 ααβαβαββααα=++-=+--=+-- ()()222βαβαβαααβα? ?-=-+=-=-- ?? ? π π π π π π 244362 αααααα?????????? +-=++-=++-= ? ? ? ? ??????????? π3ππ2ππ5ππ443366αααααα????????????++-=++-=++-= ? ? ? ? ? ?????????????
倍角公式与半角公式习题
两角和与差的三角函数 1．若cos 4，且 5 2 ．（本小题满分12 分）（1）求的表达式；（2）设，，，求的值．3．在非等腰△ ABC中， 0, ，则tg 2 已知函数的最 小正周期为，且． a，b，c 分别是三个内角A，B，C的对边，且a=3，c=4 ， C=2A． （Ⅰ）求cosA 及 b 的 值； Ⅱ)求cos( 3 2A）的值． 4．已知sin( 6 A ．1 ，则cos2（）的值是（）33 ．1 ．3 5．若cos 是第三象限的 角 1 ,则 1 tan 2= ( tan 2 A ． D ．-2 6．己知R,sin 3cosa 5 ，则tan 2a= 7．已知cos( ) 4 8．已知cos( ) 4 4 ,则sin2 5 4 ,则sin2 5 9．在ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c且a b，已知cosC 2B 2 A sin Acos sin Bcos 22 (Ⅰ)求 a 和b的值；(Ⅱ)求cos(B C) 的值．2 1sin C ．2 10．已知函数f （x）2sin( 6）（0,x R）的最小正周期为 1）求的值； 2 2）若f （）2 3 (0, )，求cos2 的值. 8 11．已知函数f （x） 2 2sin xcosx 2sin x 1(x R) ． 1）求函数f （x）的最小正周期和单调递增区 间； 2）若在ABC中，角A，B ，C的对边分别为a，b，c， A 为锐角， 且f (A 2，求ABC面积S的最大值．3
12．已知函数 y log a （x 1） 3，（a 0且 a 1）的图象恒过点 P ，若角 的终边经 过点 P ，则 sin 2 sin2 的值等于 ________ 又是偶函数； 23． y 2sin 2 x 的值域是（ 13．已知 (0, ) ，且 sin cos 1 ，则 cos2 的值为（ ） 2 A ． 14．已知函数 f x Asin( x )(x R, A 0, 0,| | ） 的部分图象如图所 示． 1）试确定函数 f x 的解析式； （2） 若 f ( 2 15 ． 已知 sin( 16 ． 已知 sin( 17 ． 已知 18 ． 已知 19 ． 设 sin2 20 ． 设 f ( ) 21 ． ①存在 sin 0； 1 ，求 3 cos(2 3 ）的值． 45 ) 45 ) 2 10 2 10 2 ,0),cos( 2 ,0),cos( sin 2cos 3 sin 2(2 且0 且0 4 5 4 5 90 ， 90 ， ，则 tan2 ，则 tan2 则 cos2 则 cos2 ）,则 tan2 的值是 ) sin(2 2 2 2cos 2 ( ) (0, ) 使 sina cosa 2 的值为 的值为 cos( ) 3 ，求 f （3）的值。 1 ；②存在区间 （a,b ）使 y cos x 为减函数而 3 ③ y tanx 在其定义域内为增函数；④ y cos2x sin （ x ） 既有最大、最小值， 2 ⑤ y sin |2x | 最小正周期为 6 22 ．在△ ABC 中，若 sin （ A ）等腰三角形 （ C ）等腰或直角三角形 以上命题错误的为 A+B-C ) =sin (B ) (D ) A-B+C ），则△ ABC 必是（ ） 直角三角形 等腰直角三角形 A ．[ －2，2] B ．[0，2] ．[ － 2，0] D ． R 24 ． 已 知 sin 是 方 程 5x 2 7x 6 0 的 根 ， 且 是 第 三 象 限 角 ， 求 ) ( (
《倍角公式和半角公式》教案1汇总
《倍角公式和半角公式》教案1 一、教学目标 1.知识目标 掌握公式的推导，明确的取值范围。 能运用二倍角公式求三角函数值。 2.能力目标 通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力。 通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。 3.情感目标 通过公式的推导，了解半角公式间以及它们与和角公式之间的内在联系，从而培养逻辑推理能力和辩证唯物主义观点。 二、教学重点、难点 重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的两种变形。 难点是倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系、诱导公式、和角公式的综合应用。 三、教学方法 本节课采用观察、赋值、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动，通过设置问题引导学生观察分析，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得倍角公式，对于倍角公式的应用采取讲、练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固，同时设计问题，探究问题，深化对公式的记忆。 四、课时 1课时
五、教学过程 教学环 节 教学内容师生互动设计意图复 习引入复习两角和与 差的三角函数 公式 先让学生回忆两角和与 差的正弦、余弦、正切 公式的来龙去脉，并请 一个同学把这六个公式 写在黑板上 学生板演 教师点评这些公式：一 方面要从公式的推导上 去理解它，另一方面要 从公式的结构特点上去 记忆，还要注意公式的 正、用、逆用和变用。 今天，我们继续学习二 倍角的正弦、余弦和正 切公式 温旧知新，让 学生明确学习 的内容 公 式的推导探索研究 二倍角的 正弦、余弦 和正切公式 请学生想一想，在公式 中对 如何合理赋值，才 能出现 sin2,cos2,tan2 的表达式，并请同学把 对应的等式写在黑板上 1. 引导学生运用已 学过的两角和的三角 函数公式推得二倍角 公式，使学生理解二 倍角公式就是两角和 的三角函数公式的特 例，这样有助于公式 的记忆
第五讲：倍角半角公式汇总
倍角半角公式 题型一:化简与求值 例 1求值:0 01000 1cos 20sin10(tan5tan 5 2sin 20 -+-- 2 = 3. 化简 tan 70cos10201 - 4.化简下列各式: (1 ???? ???????∈+-ππαα2232cos 21212121 , (2 ?? ? ??-?????--απαπα α4cos 4tan 2sin cos 222。 5 .求值:(1 0
00078sin 66sin 42sin 6sin ; (2 0 0020250cos 20sin 50cos 20sin ++ (3 log 92cos log 9 cos log 222ππ ++ 6. 已知函数 2 sin( 2cos(21 (π + - += x x x f . (1求 (x f 的定义域; (2若角α在第一象限且 5 3 cos =α,求(αf 的值 . 1已知 (,0 2
x π ∈- , 4 cos 5 x = ,则 =x 2tan ( A 247 B247-7 24 D724- 2 已知 cos 23 θ= ,则 44 sin cos θθ+的值为( A 1813 B18 11 C97 D 1- 3. 函数 221tan 21tan 2x y x -=+的最小正周期是 (
A 4π B 2 π Cπ D2π 4已知 3 sin( , 45x π -=则 sin 2x 的值为( A 1925 B1625 C1425725 5 函数 x x y 2 4cos sin +=的最小正周期为( A 4π B2π C π D2π 6. 函数 1cos sin x y x -=的周期是( A. 2 π B. π C . 2π D. 4π 7. 若 2 2 4
倍角、半角、和差化积公式
倍角、半角、和差化积公式 一. 教学内容： 3.1 和角公式 3.2 倍角公式和半角公式 二. 教学目的 1. 了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导和证明过程，能够利用两角和与差的余弦、正弦、正切公式进行简单的三角函数式的求值、化简和证明，了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的内在联系； 2. 掌握倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的推导过程，能够利用倍角、半角的正弦、余弦、正切公式进行求值、化简和证明，了解倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的内在联系。 三. 教学重点、难点 重点：能够推导并掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式及倍角、半角的正弦、余弦、正切公式，并应用上述公式进行求值、化简、证明。 难点：能够正确利用上述公式进行求值、化简、证明，并能解决简单实际问题。 四. 知识分析 （一）两角和与差的余弦 1、两角差的余弦公式 推导方法1：向量法 把看成是两个向量夹角的余弦，可以考虑利用两个向量的数量积来研究。如图1，设的终边分别与单位圆交于点P l (，)，P2 (，)，由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，我们只需考虑的情况。 图1 设向量 则。 另一方面，由向量数量积的坐标表示，有 于是，对于任意的，都有上述式子成立。 推导方法2：三角函数线法 设、都是锐角，如图2 ，角的终边与单位圆的交点为P l，∠POP1＝，则∠Pox＝。过点P作MN⊥x 轴于M，则OM即为的余弦线。在这里，我们想法用的三角函数线来表示OM。
图2 过点P作PA⊥OP1于A，过点A作AB⊥x轴于B，过P作PC⊥AB于C，则OA表示，AP表示，并且∠PAC＝∠P1Ox＝，于是 即 要说明此结果是否对任意角都成立，还要做不少推广工作，并且这项推广工作的过程也是比较繁难的，在此就不进行研究了。 2. 两角和的余弦公式 比较与，并且注意到与之间的联系： 则由两角差的余弦公式得： 即 3. 对公式的理解和记忆 （1）上述公式中的都是任意角。 （2）公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反。 （3）要注意和（差）角的相对性，掌握角的变化技巧，如，等。 （二）两角和与差的正弦 1. 公式的导出 即 2. 公式的理解 （1）一样，对任意角均成立，是恒等式。 （2）“和差”公式是诱导公式的推广，诱导公式是“和差”公式的特殊形式。 如
九年级数学半角公式
普通高中课程标准实验教科书—数学第四册[人教版B] 第三章 三角恒等变换 3.2.2半角公式 教学目标： 要求学生能较熟练地运用倍角公式推导半角公式，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力 教学重点：半角公式的应用 教学过程 一、复习引入 二倍角公式：αααcos sin 22sin =；)(2αS ααα22sin cos 2cos -=；)(2αC 1cos 22-=αα2sin 21-= α αα2tan 1tan 22tan -= ；)(2αT 二、讲解新课 1、半角公式 α+α-±=αα+±=αα-±=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin α α-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan 证：1?在 α-=α2sin 212cos 中，以α代2α， 2 α代α 即得： 2sin 21cos 2α-=α ∴2 cos 12sin 2α-=α 2?在 1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2 α代α 即得： 12 cos 2cos 2-α=α ∴2cos 12cos 2α+=α 3?以上结果相除得：α+α-=αcos 1cos 12tan 2
4? 2tan 2cos 2sin 2cos 2sin 2)2sin 21(1sin cos 12αααα α==--=- 2tan 2cos 2sin 12cos 212cos 2sin 2cos 1sin 2ααα ααα α α==-+=+ 2、例子 1如果｜cos θ｜＝ 51，25π＜θ＜3π,则sin 2 θ的值等于 2设5π＜θ＜6π且cos 2θ＝a ,则sin 4 θ等于 3．tan 12π－cot 12π的值等于 4．设25sin 2ｘ＋sin ｘ－24＝0且ｘ是第二象限角，求tan 2 x 小结：运用倍角公式推导半角公式，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力 课堂练习：第154页练习A 、B 课后作业：第155页习题B 3
倍角公式和半角公式一
倍角公式和半角公式一-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
倍角公式和半角公式一 目标认知： 学习目标： 1．能从两角和差公式导出二倍角的正弦，余弦，正切公式； 2．能运用倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出半角公式，积化和差，和差化积公式）； 3．体会换元思想，化归思想，方程思想等在三角恒等变换中的作用． 学习重点： 倍角公式及其变形． 学习难点： 倍半角公式变形及应用． 内容解析： 1．倍角公式 在和角公式中令=，即得二倍角公式： ； ； ． 注意： （1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三 角函数之间的互化问题． （2）“倍角”的意义是相对的，不局限于与的形式．例如与， 与等，也为 引出半角作准备． （3）二倍角公式的记忆可联想相应的和角公式． （4）二倍角的正切公式成立的条件：． （5）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）． （6）公式的逆用及变形：．
2．半角公式 由倍角公式变形得到： ；；； 前两个公式在化简中多用于降次，而开方即得到半角公式： ；；； 其中正负号由的象限确定． 借助倍角公式还可得到另一个半角公式：，好处在 于可以不必考虑正负． 3．积化和差与和差化积（整理的方向，适当换元） （1）积化和差： （2）和差化积： 本周典型例题： 1．已知，求sin2a，cos2a，tan2a的值．解析：∵∴
∴sin2a = 2sinacosa = cos2a = tan2a = 2．已知，求． 解析：注意公式的选择，避开不必要的计算和讨论． =． 3．求值： （1）；（2）； （3）；（4）；（5）cos20°cos40°cos80°； 解析：（1）=； （2）＝； （3）＝； （4）＝； （5）cos20°cos40°cos80° = 注意：关注（5）的结构特点．
和差公式二倍角公式及半角公式
三 角 函 数 1．两角和与差的三角函数 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±=。 2．二倍角公式 αααcos sin 22sin =； ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 22tan tan 21tan ααα =-。 3.半角公式： 22cos 1sin 2αα-=,22cos 1cos 2αα+=，2sin 2cos 12αα=-，2cos 2cos 12αα=+ sin 2α =cos 2α= sin 1cos tan 21cos sin α αααα-===+ 4．辅助角公式 | ()sin cos sin a x b x x ?+=+， sin cos ??==其中 5.积化和差公式： ()()[]βαβαβ-++=sin sin 21cos sin a , ()()[]βαβαβ--+=sin sin 2 1sin cos a ()()[]βαβαβ-++= cos cos 21cos cos a , ()()[]βαβαβ--+-=cos cos 21sin sin a 6. 和差化积公式： sin sin 2sin cos 22αβ αβ αβ+-+=, sin sin 2cos sin 22αβ αβ αβ+--=
cos cos 2cos cos 22αβαβαβ+-+=, cos cos 2sin sin 22αβαβαβ+--=- 例题： 例1． 已知α∈( 2π,π)，sin α=53,则tan(4 πα+)的值. ， 例2．sin163°sin223°+sin253°sin313°的值. 例2． 已知0cos cos 1 sin sin =+=+βαβα，，求cos ）的值（βα+。 ￥ 例3． 若的值求，x x x x x tan 1cos 22sin ,471217534cos 2-+<<=??? ??+πππ。 ' 例5．已知正实数a,b 满足的值，求a b b a b a 158tan 5sin 5cos 5cos 5sin ππππ π=-+。
(完整版)两倍角与半角公式与万能公式.doc
两倍角公式、半角公式、万能公式 ① sin( ) sin cos cos sin ; ② cos( ) cos cos sin sin ; ③ tan( ) tan tan 令1 tan tan 二倍角公式： ① sin 2 2sin cos ； ② cos2 cos2 sin 2 2 cos2 1 1 2sin 2 ； ③ tan 2 2 tan 1 tan 2 两倍角公式中 sin 2 2 sin cos 是两个函数之积，可在(sincos ) 2 中产生。两倍角是“相对的” ，应该广义地理解。 如 cos4 cos2 2 sin 2 2 2 cos2 2 1 1 2 sin 2 2 tan( ) 2tan 2 等等tan 2 1 2 升次公式： sin2 1 cos2 、 cos2 1 cos2 ； 2 2 见到平方就降次，降次角加倍 降次公式： 1 cos 2 cos2 2 1 cos 2 sin 2 2 见到 1 cos 、 1 cos 就升次，升次角减半并项公式 : 1 sin 2 = (sin cos ) 2 半角公式： sin =±1 cos , 2 2 cos =±1 cos , 2 2 1
tg =± 1 cos = sin = 1 cos . 2 1 cos 1 cos sin 半角公式中的正负号如何选取？依照左边的函数值而定。 2 如果给你象限角，如I ，的终边在第几象限？公式前的号如何选取？ 2 如果给你区间角，如 3 ,4 ，的终边在第几象限？公式前的号如何选取？ 2 如果给你三角比值，如sin cos 0 的终边在第几象限？公式前的号如何选取？tan cos ， 0 2 半角的正切公式中的后两个tg = sin =1 cos 前面没有正负号， 2 1 cos sin 万能公式：（并非万能，仅是用tan 可将 sin 、 cos 、 tan 都表示出来的含义） 2 sin α = 2 tan 2 ， 1 tan2 2 1 tan 2 cos α = 2 , 1 tan2 2 2 tan tan α = 2 1 tan2 2 题型一、求值问题 补充问题 已知 cos( ) 1 ， sin( ) 2 ，且 4 2 ， 4 2 9 2 3 4 求 cos( ) 的值 解：考虑目标角和已知角的关系：（）—（）= 22 2 再运用两倍角公式求值 题型二、化简问题 2
倍角公式和半角公式推导过程
这篇文章小编给大家分享三角函数倍角公式和半角公式以及倍角公式和半角公式的推导过程，一起看看具体内容。 三角函数半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) 三角函数倍角公式 Sin2A=2SinA·CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=2tanA/1-tanA^2 二倍角公式推导过程 sin2A=sin(A+A)=sinAcosA+cosAsinA=2sinAcosA cos2A=cos(A+A)=cosAcosA-sinAsinA=(cosA)^2-(sinA)^2=2(cosA)^2-1 =1-2(sinA)^2 tan2A=tan(A+A)=(tanA+tanA)/(1-tanAtanA)=2tanA/[1-(tanA)^2] 半角公式推导过程 已知公式 sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα cos2α=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α① 半角正弦公式
由等式①，整理得：sin2α=1-cosα/2 将α/2带入α，整理得：sin2α/2=1-cosα/2 开方，得sinα/2=±√((1-cosα)/2) 半角余弦公式 由等式①，整理得：cos2α+1=2cos2α 将α/2带入，整理得：cos2α/2=cosα+1/2 开方，得cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) 半角正切公式 tan(α/2)=[sin(α/2)]/[cos(α/2)]=±√((1-cosα)/((1+cosα))
倍角公式和半角公式
第三章 第六节 倍角公式和半角公式 一、选择题 1．定义运算a b ＝a 2－ab －b 2，则sin π6cos π6 ＝ ( ) A ．－12＋34 B ．－12－34 C ．1＋34 D ．1－34 2．若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin2α＋2cos2α的值是 ( ) A ．－145 B ．－75 C ．－2 D.45 3．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos(2α－π4)sin(α＋π2 )等于 ( ) A.25 B.75 C.145 D ．－25 4.sin(180°＋2α)1＋cos2α·cos 2αcos(90°＋α) 等于 ( ) A ．－sin α B ．－cos α C ．sin α D ．cos α 5．当0 两角和与差的三角函数 1．若4 cos 5α= ，且()0,απ∈，则tg 2 α= ． 2．（本小题满分12分）已知函数 ()sin() 6f x A x π ω=+(0,0)A ω>>的最小正周期为6T π=，且(2)2f π=． （1）求()f x 的表达式； （2）设 ,[0,] 2π αβ∈， 16(3)5f απ+= ，520 (3)213f πβ+=- ，求cos()αβ-的值． 3．在非等腰△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，且a=3，c=4，C=2A ． （Ⅰ）求cosA 及b 的值； （Ⅱ）求cos(3π –2A)的值． 4．已知31)6sin(=-απ，则)3 (2cos απ +的值是（ ） A ． 97 B ．31 C ．31- D ．9 7- 5．若4cos 5θ=- ，θ是第三象限的角,则 1tan 21tan 2 θ θ-+=（ ） A ．12 B ．12- C ．3 5 D ．-2 6．己知 ,sin 3cos 5a R a a ∈+=，则tan 2a=_________． 7．已知==+ απ α2sin ,54 )4cos(则 . 8．已知==+απα2sin ,5 4 )4cos(则 . 9．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且a b >，已知4 cos 5 C = ，32c =，2 221sin cos sin cos sin 222 B A A B C ++=． （Ⅰ）求a 和b 的值； （Ⅱ）求cos()B C -的值． 10．已知函数()2sin()(0,)6 f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π. （1）求ω的值； （2）若2 ()3 f α= ，(0,)8πα∈，求cos 2α的值. 11．已知函数2 ()2sin cos 2sin 1()f x x x x x R =-+∈． 倍角公式和半角公式一目标认知：Ej 学习目标：in 1.能从两角和差公式导出二倍角的正弦，余弦，正切公式； 2.能运用倍角公式进行简单的恒等变换(包括导出半角公式，积化和差，和差化积公式); 3.体会换元思想，化归思想，方程思想等在三角恒等变换中的作用. 学习重点：Q 倍角公式及其变形. 学习难点：s 倍半角公式变形及应用. 内容解析：Ei 1 .倍角公式口 在和角公式中令凸=Q，即得二倍角公式: sm3Q；= ^EincK 匚os a ； F r *"■a cos2□:= CCS a- sin a = 2cos G-1 = 1-2sin a ； 亠r 2 tan ft tan 2Q:=--- 2—— 1 - tan a 注意： (1)二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三 角函数之间的互化问题. a 0；+ P e + Q (2) “倍角”的意义是相对的，不局限于2◎与^的形式.例如□■与3,2 与4 等，也为 引出半角作准备. 二倍角公式的记忆可联想相应的和角公式. 二倍角的正切公式成立的条件: U丰此兀+ 理— + —,归E Z 2 2 A 熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角一降次，降角一升次) (6) 3 COE or = 公式的逆用及变形： 1 +cos 2a . 1 1 - c 2.半角公式E1 由倍角公式变形得到: 曲吧=上更竺 2 l-HCOSd ：； 前两个公式在化简中多用于降次，而开方即得到半角公式: a 其中正负号由2的象限确定. 不必考虑正负. 3.积化和差与和差化积（整理的方向，适当换元） S3 （1）积化和差： sin 戸=—凶n （臂+ Q ） +徂口（说一用］. COE sin 戸二一Win （臂十 戸）- COE cos 戸=—+ 戸）+UQ 占（◎一 戸打. sin iXsin # = — — + Q-cos （门;一0）］. 2 （2）和差化积: .C r .时 0 口一 0 sm ci' + sin p=2ELn ----- c os ----- . 2 2 .c r 6r+0 . a sin sin Q = ￡ COE ------- s in ----- . 2 2 . 0^+ 8 a- 6 COE O^ + COE Q = 2 COS --- cos ---- . L 2 2 - r . a+声.a-fi COE ①一匚OK 0 = —2 fin Ein ---- L 2 2 本周典型例题：闺 沁■X = 2.otE 〔卫加 1 .已知 口 2 ，求 sin2a , cos2a , tan2a 的值.庄3 飢￡ ”中図鼻，盟￡ = ±旗心厘 2^2； 2 2 y 1+ COSO ：； 借助倍角公式还可得到另一个半角公式: tan — 1 1 + CCS sin a _ 1- cosct 左口 H ，好处在于可以 三角函数半角公式 复习重点:半角角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 复习难点:半角公式的应用 复习内容: 倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.推导过程中可得到一组降次公式，即，进一步得到半角公式: 降次公式在三角变换中应用得十分广泛，“降次”可以作为三角变换中的一个原则.半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取，而是正是负取决于所在的象限.而半角的正切可用α的正弦、余弦表示，即:.这个公式可由二倍角公式得出，这个公式不存在符号问题，因此经常采用.反之用tan也可表示sinα, cosα, tanα，即: ，，这组公式叫做“万能” 公式. 教材中只要求记忆两倍角公式，其它公式并没有给出，需要时可根据二倍角公式及同角三角函数公式推出. 例3．化简求值:(1) csc10°-sec10°(2) tan20°+cot20°-2sec50°解:(1) csc10°-sec10° (2) tan20°+cot20°-2sec50° 例4．求:sin220°+cos250°+sin30°sin70° 解:sin220°+cos250°+sin30°sin70° 例5．已知:.求:cos4θ+sin4θ的值. 解:∵, 1.积化和差公式 证明方法:用和(差)角公式将右边展开即得公式. 积化和差公式记忆口诀 积化和差角加减,二分之一排前边 正余积化正弦和,余正积化正弦差 余弦积化余弦和,正弦积化负余差 2.和差化积公式 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】 和差化积公式记忆口诀 和差化积2排前,半角加减放右边 正弦和化正余积,正弦差化余正积 余弦和化余弦积,余弦差化负正积。 以上四组公式可以由积化和差公式推导得到 证明过程 sin α+sin β=2sin[（α+β）/2]·cos[（α-β）/2]的证明过程因为 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ， sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ， 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ， 设α+β=θ，α-β=φ 那么 α=（θ+φ）/2，β=（θ-φ）/2 把α，β的值代入，即得 sinθ+sinφ=2sin[（θ+φ）/2]cos[(θ-φ）/2] 正切的和差化积 tanα±tanβ=sin（α±β）/(cosα·cosβ）（附证明） cotα±cotβ=sin（β±α）/(sinα·sinβ） tanα+cotβ=cos（α-β）/(cosα·sinβ） tanα-cotβ=-cos（α+β）/(cosα·sinβ）【注意右式前的负号】证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ =(sinα·cosβ±cosα·sinβ）/(cosα·cosβ） =sin（α±β）/(cosα·cosβ）=右边 ∴等式成立 半角公式 利用某个角（如A）的正弦，余弦，正切，及其他三角函数，来求某个角的半角（如A/2）的正弦，余弦，正切，及其他三角函数的公式。 sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=+或-[1-cosα）/（1+cosα）]开二次方 倍角公式是三角函数中非常实用的一类公式. 现列出公式如下: sin2α=2sinαcosα tan2α=2tanα/(1-tan^2(α)) cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) 可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用. 号外: tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] ·倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 其他一些公式 ·三倍角公式： sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα tan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2) ·半角公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] ·积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] ·其他： 倍角公式和半角公式： 目标认知： 学习目标： 1．能从两角和差公式导出二倍角的正弦，余弦，正切公式； 2．能运用倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出半角公式，积化和差，和差化积公式）； 3．体会换元思想，化归思想，方程思想等在三角恒等变换中的作用． 学习重点： 倍角公式及其变形． 学习难点： 倍半角公式变形及应用． 内容解析： 1．倍角公式 在和角公式中令=，即得二倍角公式： ； ； ． 注意： （1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三 角函数之间的互化问题． （2）“倍角”的意义是相对的，不局限于与的形式．例如与，与 等，也为 引出半角作准备． （3）二倍角公式的记忆可联想相应的和角公式． （4）二倍角的正切公式成立的条件：． （5）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）． （6）公式的逆用及变形：． 2．半角公式 由倍角公式变形得到： ；；； 前两个公式在化简中多用于降次，而开方即得到半角公式： ；；； 其中正负号由的象限确定． 借助倍角公式还可得到另一个半角公式：，好处在于可以不必考虑正负． 3．积化和差与和差化积（整理的方向，适当换元） （1）积化和差： （2）和差化积： 例题： 1．已知，求sin2a，cos2a，tan2a的值． 解析：∵∴ ∴sin2a = 2sinacosa = cos2a = tan2a = 2．已知，求． 解析：注意公式的选择，避开不必要的计算和讨论． =． 3．求值： （1）；（2）； （3）；（4）； （5）cos20°cos40°cos80°； 解析：（1）=； （2）＝； （3）＝； （4）＝； （5）cos20°cos40°cos80°= 注意：关注（5）的结构特点． 4．化简： （1） 倍角公式和半角公式一 Prepared on 24 November 2020 倍角公式和半角公式一 目标认知： 学习目标： 1．能从两角和差公式导出二倍角的正弦，余弦，正切公式； 2．能运用倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出半角公式，积化和差，和差化积公式）； 3．体会换元思想，化归思想，方程思想等在三角恒等变换中的作用． 学习重点： 倍角公式及其变形． 学习难点： 倍半角公式变形及应用． 内容解析： 1．倍角公式 在和角公式中令=，即得二倍角公式： ； ； ． 注意： （1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三 角函数之间的互化问题． （2）“倍角”的意义是相对的，不局限于与的形式．例如与，与等，也为 引出半角作准备． （3）二倍角公式的记忆可联想相应的和角公式． （4）二倍角的正切公式成立的条件：．（5）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）． （6）公式的逆用及变形：． 2．半角公式 由倍角公式变形得到： ；；； 前两个公式在化简中多用于降次，而开方即得到半角公式： ；；； 其中正负号由的象限确定． 借助倍角公式还可得到另一个半角公式：，好处在于可以不必考虑正负． 3．积化和差与和差化积（整理的方向，适当换元） （1）积化和差： （2）和差化积： 本周典型例题： 1．已知，求sin2a，cos2a，tan2a的值．解析：∵∴ ∴sin2a = 2sinacosa = cos2a = tan2a = 2．已知，求． 解析：注意公式的选择，避开不必要的计算和讨论． =． 3．求值： 三角函数半角公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 三角函数半角公式 复习重点:半角角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 复习难点:半角公式的应用 复习内容: 倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.推导过程中可得到一组降次公式，即，进一步得到半角公式: 降次公式在三角变换中应用得十分广泛，“降次”可以作为三角变换中的一个原则.半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取，而是正是负取决于所在的象限.而半角的正切可用α的正弦、余弦表示，即:.这个公式可由二倍角公式得出，这个公式不存在符号问题，因此经常采用.反之用tan也可表示sinα, cosα, tanα，即: ，，这组公式叫做“万能”公式. 教材中只要求记忆两倍角公式，其它公式并没有给出，需要时可根据二倍角公式及同角三角函数公式推出. 例3．化简求值:(1) csc10°-sec10°(2) tan20°+cot20°-2sec50° 解:(1) csc10°-sec10° (2) tan20°+cot20°-2sec50° 例4．求:sin220°+cos250°+sin30°sin70°倍角公式与半角公式习题(绝对物超所值)
倍角公式和半角公式一
三角函数半角公式
积化和差 和差化积 倍角公式 半角公式
倍角公式和半角公式
半角及倍角
倍角公式和半角公式一
三角函数半角公式