圆中的动点问题精编版

圆中的动态问题

【方法点拨】

圆中的动态问题实际是圆的分类讨论问题，做这种题型重要的是如何将动点转化为固定的点，从而将题型变为分类讨论

【典型例题】

题型一：圆中的折叠问题

例题一 （2012江西南昌12分）已知，纸片⊙O 的半径为2，如图1，沿弦AB 折叠操作． （1）①折叠后的AB 所在圆的圆心为O ′时，求O ′A 的长度； ②如图2，当折叠后的AB 经过圆心为O 时，求AOB 的长度； ③如图3，当弦AB =2时，求圆心O 到弦AB 的距离； （2）在图1中，再将纸片⊙O 沿弦CD 折叠操作．

①如图4，当AB ∥CD ，折叠后的AB 与CD 所在圆外切于点P 时，设点O 到弦AB ．CD 的距离之和为d ，求d 的值； ②如图5，当AB 与CD 不平行，折叠后的AB 与CD 所在圆外切于点P 时，设点M 为AB 的中点，点N 为CD 的中点，试探究四边形OMPN 的形状，并证明你的结论．

【答案】解：（1）①折叠后的AB 所在圆O ′与⊙O 是等圆，∴O ′A =OA =2。

②当AB 经过圆O 时，折叠后的AB 所在圆O ′在⊙O 上，如图2所示，连

接O ′A ．OA ．O ′B ，OB ，OO ′。

∵△OO ′A ，△OO ′B 为等边三角形，

∴∠AO ′B =∠AO ′O +∠BO ′O =60°+60°=120°。

∴AOB 的长度120241803

ππ

??=

=

。 ③如图3所示，连接OA ，OB ， ∵OA =OB =AB =2，

∴△AOB 为等边三角形。

过点O 作OE ⊥AB 于点E ，∴OE =OA ?sin 60°=3。

（2）①如图4，当折叠后的AB 与CD 所在圆外切于点P 时，

过点O 作EF ⊥AB 交AB 于点H 、交A E B 于点E ，

交CD 于点G 、交C F D 于点F ，即点E 、H 、P 、O 、G 、F 在直径EF 上。

∵AB ∥CD ，∴EF 垂直平分AB 和CD 。 根据垂径定理及折叠，可知PH =

12PE ，PG =1

2

PF 。 又∵EF =4，∴点O 到AB ．CD 的距离之和d 为： d =PH +PG =

12PE +12PF =1

2

（PE +PF ）=2。 ②如图5，当AB 与CD 不平行时，四边形是OMPN 平行四边形。证明如下：

设O ′，O ″为APB 和CPD 所在圆的圆心，

∵点O ′与点O 关于AB 对称，点O ″于点O 关于CD 对称， ∴点M 为的OO ′中点，点N 为OO ″的中点。 ∵折叠后的APB 与CPD 所在圆外切， ∴连心线O ′O ″必过切点P 。

∵折叠后的APB 与CPD 所在圆与⊙O 是等圆， ∴O ′P =O ″P =2，∴PM =

12OO ″=ON ，PN =1

2

OO ′=OM ， ∴四边形OMPN 是平行四边形。

【考点】翻折变换（折叠问题）相切两圆的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，垂径定理，弧长的计算，解直角三角形，三角形中位线定理。

【分析】（1）①折叠后的AB 所在圆O ′与⊙O 是等圆，可得O ′A 的长度。

②如图2，过点O 作OE ⊥AB 交⊙O 于点E ，连接OA ．OB ．AE 、BE ，可得△OAE 、△OBE 为等边三角

形，从而得到AOB 的圆心角，再根据弧长公式计算即可。

③如图3，连接O ′A ．O ′B ，过点O ′作O ′E ⊥AB 于点E ，可得△AO ′B 为等边三角形，根据三角函数的知识

可求折叠后求AOB 所在圆的圆心O ′到弦AB 的距离。

（2）①如图4，AEB 与CFD 所在圆外切于点P 时，过点O 作EF ⊥AB 交AEB 于于点E ，交CFD 于点F ，根

据垂径定理及折叠，可求点O 到AB ．CD 的距离之和。

②由三角形中位线定理，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得证。

变式一 如图是一圆形纸片，AB 是直径，BC 是弦，将纸片沿弦BC 折叠后，劣弧BC 与AB 交于点D ，得到BDC ． （1）若BD ︵＝CD ︵

，求证：BDC 必经过圆心O ； （2）若AB ＝8，BD ︵＝2CD ︵

，求BC 的长．

变式二 如图，△ABC 内接于⊙O ，AD ⊥BC ，OE ⊥BC ，OE=1

2BC ．

（1）求∠BAC 的度数；

（2）将△ACD 沿AC 折叠为△ACF ，将△ABD 沿AB 折叠为△ABG ，延长FC 和GB 相交于点H ；求证：四边形AFHG 是正方形；

（3）若BD=6，CD=4，求AD 的长．

题型二：圆中的旋转问题

例题二 (2011湖南常德,25.10分)已知△ABC ，分别以AC 和BC 为直径作半圆12O O 、，P 是AB 的中点。

（1）如图8，若△ABC 是等腰三角形，且AC=BC ，在 AC BC 、

上分别取点E 、F ，使12AO E BO F ∠=∠，则有结论①12PO E FO P ???.②四边形12PO CO 是菱形。请给出结论②的证明；

（2）如图9，若（1）中△ABC 是任意三角形，其它条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；

O

D

C

A B

（3）如图10，若PC 是⊙1O 的切线，求证：222

3AB BC AC =+

（1）∵BC 是⊙O2直径，则O2是BC 的中点又P 是AB 的中点．，∴P O2是△ABC 的中位线∴P O2 ＝1

2AC 又AC 是⊙O1直径∴P O2＝ O1C ＝12AC 同理P O1＝ O2C ＝1

2BC

∵AC ＝BC ∴P O2＝ O1C ＝P O1＝ O2C ∴四边形12

PO CO 是菱形

（2）结论①△PO1E ≌△PO2F 成立，结论②不成立

证明：在（1）中已证PO2＝12AC ，又O1E ＝1

2AC

∴PO2＝O1E 同理可得PO1＝O2F

∵PO2是△ABC 的中位线 ∴PO2∥AC ∴∠PO2B ＝∠ACB

同理∠P O1A ＝∠ACB ∴∠PO2B ＝∠P O1A ∵∠AO1E ＝∠BO2F ∴∠P O1A+∠

AO1E ＝∠PO2B+∠BO2F

即∠P O1E ＝∠F O2 P 、 ∴△EO1P ≌△PO2F ； （3）延长AC 交⊙O2于点D ，连接BD ． ∵BC 是⊙O2的直径，则∠D ＝90°， 又PC 是⊙O1的切线，则∠ACP ＝90°， ∴∠ACP ＝∠D 又∠PAC ＝∠BAD ∴△APC ∽△BAD 又P 是AB 的中点

∴1

2AC AP AD AB ==

∴AC ＝CD ∴在

Rt

△

BCD

中，

2

2

2

2B

C C D

B

D A C B D

=

+=+

在Rt △ABD 中，2

2

2

AB AD BD =+

∴

()222222

43AB AC BD AC BD AC =+=++

∴2

2

2

3AB BC AC =+

评析：要证一个四边形是菱形，可证它的四条边相等，也可证明它是有一组邻边相等的平行四边形或对角线互相垂直的平行四边形；要证两三角形全等，可通过SSS ，SAS ，ASA ，或AAS 来加以判断；当待证式中出现多个平方的形式时，应首先考虑勾股定理及等量代换．

变式一 阅读下列材料，然后解答问题。

经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆。圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫作这个圆的内接正四边形。

如图（十三），已知正四边形ABCD 的外接圆⊙O ，⊙O 的面积为S 1，正四边形ABCD 的面积为S 2，以圆心O 为顶点作∠MON ，使∠MON =90°，将∠MON 绕点O 旋转，OM 、ON 分别与⊙O 相交于点E 、F ，分别与正四边形ABCD 的边相交于点G 、H 。设OE 、OF 、EF 及正四边形ABCD 的边围成的图形（图中阴影部分）的面积为S

（1）当OM 经过点A 时（如图①），则S 、S 1、S 2之间的关系为：S ＝ （用含S 1、S 2的代数式表示）； （2）当OM ⊥AB 时（如图②），点G 为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由。 （3）当∠MON 旋转到任意位置时（如图③，）则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由．

【答案】解：（1）

12

4

S S - （2）成立。理由：连OB ，可证图中的两个阴影部分的面积之和等于图①的阴影部分的面积

（3）成立。过点O 分别作AB 、B C 的垂线交AB 、BC 于点P 、Q ，交圆于点X 、Y ，可证直角三角形OPG 全等于直角三角形OQH ，可说明两阴影部分面积之和等于图①的阴影部分面积．

变式二 （2012?杭州）如图，AE 切⊙O 于点E ，AT 交⊙O 于点M ，N ，线段OE 交AT 于点C ，OB ⊥AT 于点B ，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2． （1）求∠COB 的度数；

（2）求⊙O 的半径R ； （3）点F 在⊙O 上（

是劣弧），且EF=5，把△OBC 经过平移、

旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E ，F 重合．在EF 的

同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在 ⊙O 上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形 与△OBC 的周长之比． 考点： 切线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；平移的性质；旋转的性质；相似三角形的判定与

性质。 专题： 计算题。

分析：（1）由AE与圆O相切，根据切线的性质得到AE与CE垂直，又OB与AT垂直，可得出两直角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形AEC与三角形OBC相似，根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与∠A相等，由∠A的度数即可求出所求角的度数；

（2）在直角三角形AEC中，由AE及tanA的值，利用锐角三角函数定义求出CE的长，再由OB垂直于MN，由垂径定理得到B为MN的中点，根据MN的长求出MB的长，在直角三角形OBM中，由半径OM=R，及MB的长，利用勾股定理表示出OB的长，在直角三角形OBC中，由表示出OB及cos30°的值，利用锐角三角函数定义表示出OC，用OE﹣OC=EC列出关于R的方程，求出方程的解得到半径R的值；

（3）把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有6个，如图所示，每小图2个，顶点在圆上的三角形，延长EO与圆交于点D，连接DF，由第二问求出半径，的长直径ED的长，根据ED为直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到三角形EFD为直角三角形，由∠FDE为30°，利用锐角三角函数定义求出DF的长，表示出三角形EFD的周长，再由第二问求出的三角形OBC的三边表示出三角形BOC的周长，即可求出两三角形的周长之比．

解答：解：（1）∵AE切⊙O于点E，

∴AE⊥CE，又OB⊥AT，

∴∠AEC=∠CBO=90°，

又∠BCO=∠ACE，

∴△AEC∽△OBC，又∠A=30°，

∴∠COB=∠A=30°；

（2）∵AE=3，∠A=30°，

∴在Rt△AEC中，tanA=tan30°=，

即EC=AEtan30°=3，

∵OB⊥MN，∴B为MN的中点，又MN=2，∴MB=MN=，

连接OM，在△MOB中，OM=R，MB=，

∴OB==，

在△COB中，∠BOC=30°，

∵cos∠BOC=cos30°==，∴BO=OC，

∴OC=OB=，

又OC+EC=OM=R，∴R=+3，

整理得：R2+18R﹣115=0，即（R+23）（R﹣5）=0，

解得：R=﹣23（舍去）或R=5，

则R=5；

（3）在EF同一侧，△COB经过平移、旋转和相似变换后，这样的三角形有6个，

如图，每小图2个，顶点在圆上的三角形，如图所示：

延长EO交圆O于点D，连接DF，如图所示，

∵EF=5，直径ED=10，可得出∠FDE=30°，

∴FD=5，

则C △EFD =5+10+5=15+5， 由（2）可得C △COB =3+， ∴C △EFD ：C △COB =（15+5）：（3+）=5：1． 点评： 此题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，平移及

旋转的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．

题型三：圆中的动点

例题三 （2012江苏南京10分）如图，A 、B 为⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点（P 不与A 、B 重合），我们称∠APB 为⊙O 上关于A 、B 的滑动角。 （1）已知∠APB 是

O 上关于点A 、B 的滑动角。

① 若AB 为⊙O 的直径，则∠APB = ② 若⊙O 半径为1，AB =2，求∠APB 的度数 （2）已知2O 为

1O 外一点，以2O 为圆心作一个圆与1O 相交于A 、B 两点，∠APB 为1O 上关于点A 、B 的滑动角，

直线P A 、PB 分别交2O 于点M 、N （点M 与点A 、点N 与点B 均不重合），连接AN ，试探索∠APB 与∠MAN 、∠ANB

之间的数量关系。

【答案】解：（1）①900。

②如图，连接AB 、OA 、OB ．

在△AOB 中，∵OA =OB =1．AB =2，∴OA 2+OB 2=AB 2。 ∴∠AOB =90°。

当点P 在优弧 AB 上时（如图1），∠APB =1

2

∠AOB =45°； 当点P 在劣弧 AB 上时（如图2）， ∠APB =

1

2

（360°－∠AOB ）=135°。

（2）根据点P 在⊙O 1上的位置分为以下四种情况．

第一种情况：点P 在⊙O 2外，且点A 在点P 与点M 之间，点B 在点P 与

点N 之间，如图3，

∵∠MAN =∠APB +∠ANB ，

∴∠APB =∠MAN -∠ANB 。

第二种情况：点P 在⊙O 2外，且点A 在点P 与点M 之间，点N 在点P 与点B

之间，如图4，

∵∠MAN =∠APB +∠ANP =∠APB +（180°－∠ANB ）， ∴∠APB =∠MAN +∠ANB －180°。

第三种情况：点P 在⊙O 2外，且点M 在点P 与点A 之间，点B 在点P 与点N

之间，如图5，

∵∠APB +∠ANB +∠MAN =180°， ∴∠APB =180°－∠MAN －∠ANB 。 第四种情况：点P 在⊙O 2内，如图6， ∠APB =∠MAN +∠ANB 。

【考点】圆周角定理，勾股定理逆定理，三角形内角和定理和外角性质。 【分析】（1）①根据直径所对的圆周角等于90°即可得∠APB =900。

②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB =90°，再分点P 在优弧AB 上；点P 在劣弧AB 上两种情况讨论即可。 （2）根据点P 在⊙O 1上的位置分为四种情况得到∠APB 与∠MAN 、∠ANB 之间的数量关系。

变式一 如图12-1所示，在ABC △中，2AB AC ==，90A =∠，O 为BC 的中点，动点E 在BA 边上自由移动，动点F 在AC 边上自由移动．

（1）点E F ，的移动过程中，OEF △是否能成为45EOF =∠的等腰三角形？若能，请指出OEF △为等腰三角形时动点E F ，的位置．若不能，请说明理由．

（2）当45EOF =∠时，设BE x =，CF y =，求y 与x 之间的函数解析式，写出x 的取值范围． （3）在满足（2）中的条件时，若以O 为圆心的圆与AB 相切（如图12-2），试探究直线EF 与O 的位置关系，并证

明你的结论．

解：如图，

图12-1

A

B C O

E

F 图12-2 A B

C

O

E

F A E

F O C B A E

F

O

C

B （图12－1）

（图12－2）

（1）点E F ，移动的过程中，OEF △能成为45EOF ∠=°的等腰三角形．此时点E F ，的位置分别是： ①E 是BA 的中点，F 与A 重合． ②2BE CF ==

．③E 与A 重合，F 是AC 的中点

（2）在OEB △和FOC △中，135EOB FOC ∠+∠=°，135EOB OEB ∠+∠=°，

FOC OEB ∠=∠∴．又B C ∠=∠∵，OEB FOC ∴△∽△．BE BO

CO CF

=

∴． BE x =∵，CF y =，2212222

OB OC ==

+=，2

(12)y x x =∴≤≤．

（3）EF 与O 相切．OEB FOC ∵△∽△，BE OE CO OF =∴．BE OE BO OF =∴．即BE BO

OE OF

=

． 又45B EOF ∠=∠=∵°，BEO OEF ∴△∽△．BEO OEF ∠=∠∴．∴点O 到AB 和EF 的距离相等． AB ∵与O 相切，∴点O 到EF 的距离等于O 的半径．EF ∴与O 相切．

变式二 如图，在⊙O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，AC=1

2AB ，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 两点重

合），过点C 作直线PB 的垂线CD 交PB 于D 点． （1）如图1，求证：△PCD ∽△ABC ；

（2）当点P 运动到什么位置时，△PCD ≌△ABC ？请在图2中画出△PCD 并说明理由； （3）如图3，当点P 运动到CP ⊥AB 时，求∠BCD 的度数．

【课后练习】

1、（2012?湘潭）如图，在⊙O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，AC=AB ，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 两点重合），过点C 作直线PB 的垂线CD 交PB 于D 点．

（1）如图1，求证：△PCD ∽△ABC ；

（2）当点P 运动到什么位置时，△PCD ≌△ABC ？请在图2中画出△PCD 并说明理由；

（3）如图3，当点P 运动到CP ⊥AB 时，求∠BCD 的度数．

考点： 圆周角定理；全等三角形的性质；垂径定理；相似三角形的判定。 专题： 几何综合题。 分析： （1）由AB 是⊙O 的直径，根据直径对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由PD ⊥CD ，可得∠D=∠ACB ，

又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠P ，根据有两角对应相等的三角形相似，即可判定：△PCD ∽△ABC ；

（2）由△PCD ∽△ABC ，可知当PC=AB 时，△PCD ≌△ABC ，利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得；

（3）由∠ACB=90°，AC=AB ，可求得∠ABC 的度数，然后利用相似，即可得∠PCD 的度数，又由垂径定理，

求得

=

，然后利用圆周角定理求得∠ACP 的度数，继而求得答案．

解答： （1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，

∵PD ⊥CD ，∴∠D=90°，∴∠D=∠ACB ，

∵∠A 与∠P 是

对的圆周角，∴∠A=∠P ，∴△PCD ∽△ABC ；

（2）解：当PC 是⊙O 的直径时，△PCD ≌△ABC ， 理由：∵AB ，PC 是⊙O 的半径， ∴AB=PC ，

∵△PCD ∽△ABC ， ∴△PCD ≌△ABC ；

（3）解：∵∠ACB=90°，AC=AB ， ∴∠ABC=30°，

∵△PCD ∽△ABC ， ∴∠PCD=∠ABC=30°，

∵CP ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，

∴

=

，

∴∠ACP=∠ABC=30°，

∴∠BCD=∠AC ﹣∠ACP ﹣∠PCD=90°﹣30°﹣30°=30°．

点评： 此题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性

质等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用．

2、如图，已知射线DE 与x 轴和y 轴分别交于点D （3，0）和点E （0，4），动点C 从点M （5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向左作匀速运动，与此同时，动点P 从点D 出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE 的方向作匀速运动．设运动时间为t 秒．

（1）请用含t 的代数式分别表示出点C 与点P 的坐标； （2）以点C 为圆心、

2

1

t 个单位长度为半径的⊙C 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），连接P A 、PB ． ① 当⊙C 与射线DE 有公共点时，求t 的取值范围； ② 当△P AB 为等腰三角形时，求t 的值．

y

3、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90o，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝22cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t(s)．

（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？

（2）当t为何值时，PQ与⊙O相切？P

A D

O

Q

B C

圆的动点问题--经典习题及答案

圆的动点问题 25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分） 已知：在Rt ABC △中，∠ACB =90°，BC =6，AC =8，过点A 作直线MN ⊥AC ，点E 是直线 MN 上的一个动点， （1）如图1，如果点E 是射线AM 上的一个动点(不与点A 重合)，联结CE 交AB 于点P ．若 AE 为x ，AP 为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； (2) 在射线AM 上是否存在一点E ，使以点E 、A 、P 组成的三角形与△ABC 相似，若存在求 AE 的长，若不存在，请说明理由； （3）如图2，过点B 作BD ⊥MN ，垂足为D ，以点C 为圆心，若以AC 为半径的⊙C 与以ED 为半径的⊙E 相切，求⊙E 的半径． A B C P E M 第25题图1 D A B C M 第25题图2 N

25．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题2分，第（3）小题6分） 在半径为4的⊙O 中，点C 是以AB 为直径的半圆的中点，OD ⊥AC ，垂足为D ，点E 是射线AB 上的任意一点，DF //AB ，DF 与CE 相交于点F ，设EF =x ，DF =y ． （1） 如图1，当点E 在射线OB 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域； （2） 如图2，当点F 在⊙O 上时，求线段DF 的长； （3） 如果以点E 为圆心、EF 为半径的圆与⊙O 相切，求线段DF 的长． A B E F C D O A B E F C D O

25．如图，在半径为5的⊙O中，点A、B在⊙O上，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点，AC与OB的延长线相交于点D，设AC=x，BD=y． （1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （2）如果⊙O1与⊙O相交于点A、C，且⊙O1与⊙O的圆心距为2，当BD=OB时，求⊙O1 的半径； （3）是否存在点C，使得△DCB∽△DOC？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．

动点问题--圆(含答案)

2.如图7，梯形中，，，, ，，点 为线段上一动点（不与点重合），关于的轴对称图 形为，连接，设，的面积为， 的面积为． 1）当点落在梯形的中位线上时，求的值；（全等） 2）试用表示，并写出的取值范围；（相似） 3）当的外接圆与相切时，求的值．（垂径定理+中线+等面积+ 相似） 答案】解：（1）如图1，为梯形的中位线，则，过点作 于点，则有： 在中，有 在中， 解得： 2）如图2，交于点，与关于对称， 则有：， 又与关于对称， 3）如图3，当的外接圆与相切时，则为切点. 的圆心落在的中点，设为

则有，过点作， 连接，得 解得：（舍去） 3.已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t>0） （1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；（全等） （2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；（全等+分类讨论）（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与

【分析】：（1）连接PM，PN，运用△PMF≌△PNE证明， （2）分两种情况①当t>1 时，点E在y轴的负半轴上，02 时，三角形相似时还各有两种情况，根据比例式求出时间t． 【解答】： 证明：（1）如图，连接PM，PN， ∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N， ∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN， ∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，∵PE⊥PF， ∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE， 在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA）， ∴PE=PF， （2）解：①当t>1时，点E在y轴的负半轴上，如图， 由（1）得△PMF≌△PNE，∴NE=MF=t，PM=PN=1， ∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE﹣ON=t﹣1， ∴b﹣a=1+t﹣（t﹣1）=2，∴b=2+a，②0

圆中动点问题2

圆中动点问题 一、选择题 【题1】如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确 ．．．的是（ C ） A、当弦PB最长时，ΔAPC是等腰三角形。 B、当ΔAPC是等腰三角形时，PO⊥AC。 C、当PO⊥AC时，∠ACP=300. D、当∠ACP=300，ΔPBC是直角三角形 【答案】 【题2】如图，以M（－5,0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C、D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F两点，则EF的长（ C ）

A.等于 B.等于 C.等于6 D.随P点位置的变化而变化 【题3】如图，已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，将⊙O1，⊙O2放置在直线l上，如果⊙O1在直线l上任意滚动，那么圆心距O1O2的长不可能是0.5cm 【答案】解：∵⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，∴当两圆内切时，圆心距为1，∵⊙O1在直线l上任意滚动，∴两圆不可能内含，∴圆心距不能小于1，故选D． 【题4】如图，⊙O的半径为4cm，直线l与⊙O相交于A、B两点，AB=4cm，P为直线l上一动点，以1cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点．设PO=dcm，则d的范围是d＞5cm或2cm≤d＜3cm．

【答案】解：连接OP 、OA ， ∵⊙O 的半径为4cm ，1cm 为半径的⊙P ，⊙P 与⊙O 没有公共点， ∴d ＞5时，两圆外离， 当两圆内切时，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，OP′=4-1=3cm ，OD=2cm ， ∴以1cm 为半径的⊙P 与⊙O 没有公共点时，2≤d ＜3， 故答案为：d ＞5或2≤d ＜3． 【题5】如图，在Rt △AOB 中，O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则切线PQ 【答案】解：连接OP 、OQ ．∵PQ 是⊙O 的切线，∴OQ ⊥PQ ；根据勾股定理知PQ 2 =OP 2 ﹣OQ 2 ， ∴当PO ⊥AB 时，线段PQ 最短，∵在Rt △AOB 中，OA=OB=，∴ OP= ·OA OB AB =3，∴PQ= 【题6】如图，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点，且∠ACB=30°，点E 、F 分别是AC 、BC 的中 点，直线EF 与⊙O 交于G 、H 两点，若⊙O 的半径为7，则GE+FH 的最大值为 10.5 ．

隐含圆的动点问题

挖掘隐含条件 破解动点问题 本文剖析一类隐含圆的动点问题，供同学们学习参考. 一、动点问题中可构建圆的基本结论 1.“定线定角”隐藏着外接圆 如图1，已知线段4AB =，点C 是直线AB 上方的一个动点，30ACB ∠=?，动点C 的路径是什么? 想一想:在直线AB 上方找这样的点C ，能找到多少个?把这些点连起来成的图形是怎样的图形? 通过思考可知，在直线AB 上方可以找到无数个点C ，把这些点连结起来是一条圆弧. 再想一想:如何画出弧所在的圆? 根据条件，圆周角是30°，圆心角是60°,画等边三角形ABO ?就可以了. O 点就是圆心，半径就是线段AB 的长，可以画出一个圆. 实际上，这个问题可以这样理解:如图1,因为点C 是动点，则,,A B C 三点构成的ABC ?是一个动三角形，其中线段AB 是定长，C ∠是一个定角，且线段AB 所对的角是C ∠.由“同圆或等圆中相等的圆周角所对的弦相等”可知，点C 是在ABC ?的外接圆上运动.画圆的关键是找圆心，定半径.因为AB 是弦，⊙O 的圆心是在AB 的垂直平分线上，C ∠是圆周角，所以在圆中C ∠所对的圆心角是60°，即60,AOB OA OB ∠=?=，画等边三角形AOB ?，圆的半径4R AB ==，动点C 构成⊙O 的一段优弧ACB ，即点C 的路径长就是优弧ACB 的长. 变式 其它条件不变，C ∠的度数改为45°,60°, α(0°<α<90°)，求点C 路径.

如图2，线段4AB =是定值，当C α∠=时，C α∠=的大小确定，即“定线定角”，根据“同圆或等圆中相等的圆周角所对的弦相等”，可知这些问题中所求C 点应在某个圆上运动.构画出圆，从而使问题中原本隐含的条件和信息在圆中展现出来. 2.“公共料边的直角三角形”隐藏着外接圆 如图3，已知线段4AB =，画出平面内满足90ACB ∠=?的所有动点C 组成的图形. 想一想，能画出的是什么图形? 经过分析思考可知，所有动点C 组成的图形是圆(图4). 再想一想: 圆心怎么找?半径是多少?⊙O 各点都是使90ACB ∠=?的点C 吗? 通过画图可让我们联想到:直径所对的圆周角是90°直角，从而画出隐藏的圆. 再根据“90°的圆周角所对的弦是直径”可知，AB 是圆的直径，圆心是AB 的中点，所以半径是2.点C 在点A 、点B 处不能构成直角三角形，所以动点C 组成的图形是除,A B 两点的圆. 二、实际应用 例1 如图5，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，,,A B C 三点的坐标分别为 ，且60ADB ∠=?，点D 在第一象限.求线段CD 的最小值. 解 如图6，由60ADB ∠=?，作等腰APB ?,且120APB ∠=?，则P 为圆心，过P 点作PE AB ⊥于E ，垂足为E .

圆中动点问题

圆中的动态问题 【方法点拨】 圆中的动态问题实际是圆的分类讨论问题，做这种题型重要的是如何将动点转化为固定的点，从而将题型变为分类讨论 【典型例题】 题型一：圆中的折叠问题 例题一 （2012江西南昌12分）已知，纸片⊙O 的半径为2，如图1，沿弦AB 折叠操作． （1）①折叠后的?AB 所在圆的圆心为O ′时，求O ′A 的长度； ②如图2，当折叠后的?AB 经过圆心为O 时，求?AOB 的长度； ③如图3，当弦AB =2时，求圆心O 到弦AB 的距离； （2）在图1中，再将纸片⊙O 沿弦CD 折叠操作． ①如图4，当AB ∥CD ，折叠后的?AB 与?CD 所在圆外切于点P 时，设点O 到弦AB ．CD 的距离之和为d ，求d 的值； ②如图5，当AB 与CD 不平行，折叠后的?AB 与?CD 所在圆外切于点P 时，设点M 为AB 的中点，点N 为CD 的中点，试探究四边形OMPN 的形状，并证明你的结论． 【答案】解：（1）①折叠后的?AB 所在圆O ′与⊙O 是等圆，∴O ′A =OA =2。 ②当?AB 经过圆O 时，折叠后的?AB 所在圆O ′在⊙O 上，如图2所示，连接O ′A ．OA ．O ′B ，OB ，OO ′。 ∵△OO ′A ，△OO ′B 为等边三角形， ∴∠AO ′B =∠AO ′O +∠BO ′O =60°+60°=120°。 ∴?AOB 的长度120241803 ππ ??== 。 ③如图3所示，连接OA ，OB ， ∵OA =OB =AB =2，

∴△AOB 为等边三角形。 过点O 作OE ⊥AB 于点E ，∴OE =OA ?sin 60°=3。 （2）①如图4，当折叠后的?AB 与?CD 所在圆外切于点P 时， 过点O 作EF ⊥AB 交AB 于点H 、交?AEB 于点E ，交CD 于点G 、交?CFD 于点F ，即点E 、H 、P 、O 、G 、F 在直径EF 上。 ∵AB ∥CD ，∴EF 垂直平分AB 和CD 。 根据垂径定理及折叠，可知PH = 12PE ，PG =1 2 PF 。 又∵EF =4，∴点O 到AB ．CD 的距离之和d 为： d =PH +PG =12PE +12PF =1 2 （PE +PF ）=2。 ②如图5，当AB 与CD 不平行时，四边形是OMPN 平行四边形。证明如下： 设O ′，O ″为?APB 和?CPD 所在圆的圆心， ∵点O ′与点O 关于AB 对称，点O ″于点O 关于CD 对称， ∴点M 为的OO ′中点，点N 为OO ″的中点。 ∵折叠后的?APB 与?CPD 所在圆外切， ∴连心线O ′O ″必过切点P 。 ∵折叠后的?APB 与?CPD 所在圆与⊙O 是等圆， ∴O ′P =O ″P =2，∴PM = 12OO ″=ON ，PN =1 2 OO ′=OM ， ∴四边形OMPN 是平行四边形。 【考点】翻折变换（折叠问题）相切两圆的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，垂径定理，弧长的计算，解直角三角形，三角形中位线定理。 【分析】（1）①折叠后的?AB 所在圆O ′与⊙O 是等圆，可得O ′A 的长度。 ②如图2，过点O 作OE ⊥AB 交⊙O 于点E ，连接OA ．OB ．AE 、BE ，可得△OAE 、△OBE 为等边三角形，从而 得到?AOB 的圆心角，再根据弧长公式计算即可。 ③如图3，连接O ′A ．O ′B ，过点O ′作O ′E ⊥AB 于点E ，可得△AO ′B 为等边三角形，根据三角函数的 知识可求折叠后求?AOB 所在圆的圆心O ′到弦AB 的距离。

动点问题(与圆相关)

动点问题（与圆相关） 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，BC ∥AO ，顶点O 在坐标原点，顶点A （4，0），顶点B （1，4）．动点P 从O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA 的方向向A 运动；同时，动点Q 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿A →B →C 的方向向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一个也随之停止．设运动时间为t 秒． （1）当t 为何值时，PB 与AQ 互相平分 （2）设△PAQ 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．当t 为何值时，S 有最大值最大值是多少 （3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得以PQ 为直径的圆与y 轴相切若存在，求出相应的t 值；若不存在，请说明理由． B y C O x A P Q B y C O x A 备用图 B y C O x A 备用图

2．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，动点M、N分别从点A、B同时出发，动点M沿AB边以每秒1 个单位的速度向点B运动，动点N沿BC→CD边以每秒3 2 个单位的速度向点D运动，连结MN，设运动时 间为t（s）． （1）当t为何值时，MN∥BC （2）当点N在CD边上运动时，设MN与BD相交于点P，求证： 点P的位置固定不变； （3）以AD为直径作半圆O，问：是否存在某一时刻t，使得 MN与半圆O相切若存在，求t的值，并判断此时△MON的形状；若 不存在，请说明理由．A C B D M N

3（乌鲁木齐）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6米，BC＝8米，动点P以2米/秒的速度从A点 出发，沿AC向点C移动，同时，动点Q以1米/秒的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点 到达终点时，它们都停止移动，设移动的时间为t秒． ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P、Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，直接写出t （3）以P为圆心，PA为半径的圆与以Q为圆心，QC 求出t的值． C

中考数学动点问题专题讲解

中考动点专题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式 例1(2000年2上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2 1 32?OP=2. (2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴ 2362 1 21x OH MH -== . 在Rt △MPH 中, . 222223362 1 419x x x MH PH MP +=- +=+=H M N G P O A B 图1 x y

动点问题总结

动点问题及练习题 一．概念 ：“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点 二． 关键 : 动中求静. 数学思想：分类 函数 方程 数形结合 转化 三、 类型： 专题一：建立动点问题的函数解析式 1、应用勾股定理建立函数解析式。 2、应用比例式建立函数解析式。 3、应用求图形面积的方法建立函数关系式。 专题二：函数中因动点产生的相似三角形问题 1. 相似三角形的证明 2. 相似三角形的性质 例题2. 正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点,当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直， （1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△； （2）设BM x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积； （3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求此时x 的值． D M A C N

专题三：以圆为载体的动点问题 例题3：如图,已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90o，∠C=60o，AD=3cm，BC=9cm．⊙O1的圆心O1从点A开始沿A—D—C折线以1cm/s 的速度向点C运动，⊙O2的圆心O2从点B开始沿BA边以3cm/s的速度向点A运动，如果⊙O1半径为2cm，⊙O2的半径为4cm，若O1、O2分别从点A、点B同时出发，运动的时间为ts 请求出⊙O2与腰CD相切时t的值； 练习题 1. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=4 cm，∠A=60°，BD⊥AD. 一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD . (1) 当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积； (2) 当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2 cm的速度匀速运动. 过Q作直线QN，使QN∥PM. 设点Q运动的时间为t

与圆有关的动点问题

与圆有关的动点问题 G D M D C 0 6 B (1)求/ APC 与Z ACD 的度数 ⑶OD 动点M 从点F 出发，按逆时针方向运动半周 Z A = 60o,以点D 为圆心的OD 与边AB 相切于点E S A HD M 3 S △ MDF 时，求动点 M 2、如图，在菱形 ABCD 中, A 吐 ⑴求证：OD 与边BC 也相切 向左移动正 M , N 分别是边BC , AD ⑵设OD 与BD 相交于点H,与边CD 相交于点F ,连接HF,求图中阴影部分的面积(结果保留二) 经过的弧长(结果保留二) (2)当点P 移动到CB 弧的中点时，求证：四边形 OBP (是菱形 DC 在I 上. 过点B 作的一条切线BE , E 为切点. 如图1,当点A 在。O 上时，Z EBA 的度数是 __________ 2,当E , A , D 三点在同一直线上时，求线段 OA 的长 以正方形ABCD 的边AD 与OF 重合的位置为初始位置， (图3),至边BC 与OF 重合时结束移动 MON 的面积的范围. (3) P 点移动到什么位置时，△ APW A ABC 全等，请说明理由 1、如图,?O 的直径AB=4 C 为圆周上一点,AC=2过点C 作。0的切线DC , P 点为优弧CBA 上一动 3、半径为2cm 的与O O 边长为2cm 的正方形ABCD 在水平直线I 的同侧 O O 与I 相切于点F (1) ① 填空：如图1,当点 ②如图2,当E ,A , I (2)以正方形ABCD 方形(图3),至边BC 与O O 的公共点，求扇形 D C 團2 与AB 、 过点 、AD 及O O 半径的长 求y 关于x 的函数关系式 求相应的y 值. &旦刈 A B 点(不与A. C 重合) F D C ( F 图1 4、如图，Rt △ ABC 的内切圆O O BC=3，点P 在射线AC 上运动 (1) 直接写出线段AC (2) 设 PH=x , PC=y , (3) 当PH 与O O 相切时 DFC / 图3 BC 、CA 分别相切于点 D 、E 、F ,且Z ACB=90 ° ° AB=5 P 作PH 丄AB ,垂足为H . t 7』 B\ / 1

动点问题中的最值、最短路径问题(解析版)

专题01 动点问题中的最值、最短路径问题 动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数学，自数轴起始，至几何图形的存在性、几何图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中. 其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法. 一、基础知识点综述 1. 两点之间，线段最短； 2. 垂线段最短； 3. 若A、B是平面直角坐标系内两定点，P是某直线上一动点，当P、A、B在一条直线上时，PA PB 最大，最大值为线段AB的长（如下图所示）； （1）单动点模型 ~ 作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置. 如下图所示，P是x轴上一动点，求PA+PB的最小值的作图.

P是∠AOB内一点，M、N分别是边OA、OB上动点，求作△PMN周长最小值. 作图方法：作已知点P关于动点所在直线OA、OB的对称点P’、P’’，连接P’P’’与动点所在直线的交点M、N即为所求. O 5. 二次函数的最大（小）值 ()2 y a x h k =-+，当a>0时，y有最小值k；当a<0时，y有最大值k. 二、主要思想方法 利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答. （详见精品例题解析） ~ 三、精品例题解析 例1. （2019·凉山州）如图，正方形ABCD中，AB=12，AE=3，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为

与圆有关的动点问题

与圆有关的动点问题的教学设计 一、教学内容分析 与圆有关的动点问题是动态问题中的一类问题，它以圆为载体，主要研究几何图形在点的运动中的位置关系和数量关系；它集几何、代数知识于一体，是数形结合的完美表现，具有较强的综合性、灵活性和多样性。而做这种题就是要抓住图形运动的本质规律，用“静态”的方法来分解图形的运动的过程，用静态的方法来研究运动当中的变与不变的函数关系，把复杂的运动过程化为简单的数学问题。复习时，除了深刻理解图形的基本性质外，还必须注重数形结合、转化等数学思想方法的学习，努力发展空间观念，切实提高分析解决问题的能力。 二、学情分析 九年级的学生已经具备了抽象、概括和分析问题解决问题的能力，通过合作交流、共同探讨，形成了一定的探究能力，此年龄段的学生独立意识、表现欲望较为强烈，要培养他们敢于面对挑战和勇于克服困难的意志。因此在课程内容的安排中创设了一些具有一定难度的问题，加强学生在学习过程中自主探索与合作交流的紧密结合，鼓励他们大胆尝试，敢于发表自己的看法，从中获得成功的体验，激发学习热情。 三、教学目标：

（1）知识与技能： 培养学生观察图形，探索动点运动的特点和规律的能力。引导学生正确分析变量与其它量之间的内在联系，建立它们之间的关系，（2）过程与方法： 通过观察、动手操作培养学生发现问题、解决问题的能力；（3）情感、态度与价值观 让学生通过观察图形，探索动点运动的特点和规律的能力，培养学生数形结合的思想。 四、教学重难点： 重点：如何探索动点运动的特点和规律。 难点：如何探索动点运动的特点和规律。 五、教学方法分析 根据本专题的特点，为了较好的达成本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我采用教师启发引导，学生合作交流的方式来组织本节课的教学。同时利用Z Z动态演示图形的运动变化过程，化抽象为直观，采取动中觅静、动静互化、以动制动的策略来帮助学生寻找图形中的基本关系，突破难点。 六、教学策略与手段： 新教材倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以

动点问题--圆(含答案)初三数学

2.如图7，梯形中，，，,，，点 为线段上一动点（不与点重合），关于的轴对称图 形为，连接，设，的面积为， 的面积为． （1）当点落在梯形的中位线上时，求的值；(全等) （2）试用表示，并写出的取值围；（相似） （3）当的外接圆与相切时，求的值．（垂径定理+中线+等面积+相似）【答案】解：（1）如图1，为梯形的中位线，则，过点作于点，则有： 在中，有 在中， 又 解得： （2）如图2，交于点，与关于对称， 则有：， 又 又与关于对称， （3）如图3，当的外接圆与相切时，则为切点. 的圆心落在的中点，设为

则有，过点作， 连接，得 则 又 解得：（舍去） ①②③ 3.已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0） （1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；（全等） （2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；（全等+分类讨论）（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存 在，请说明理由．（讨论对称轴+全等+相似） 【分析】：（1）连接PM，PN，运用△PMF≌△PNE证明，

（2）分两种情况①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，0＜t≤1时，点E在y轴的正半轴或原点上，再根据（1）求解， （3）分两种情况，当1＜t＜2时，当t＞2时，三角形相似时还各有两种情况，根据比例式求出时间t． 【解答】： 证明：（1）如图，连接PM，PN， ∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N， ∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN， ∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，∵PE⊥PF， ∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE， 在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA）， ∴PE=PF， （2）解：①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，如图， 由（1）得△PMF≌△PNE，∴NE=MF=t，PM=PN=1， ∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE﹣ON=t﹣1， ∴b﹣a=1+t﹣（t﹣1）=2，∴b=2+a， ②0＜t≤1时，如图2，点E在y轴的正半轴或原点上， 同理可证△PMF≌△PNE， ∴b=OF=OM+MF=1+t，a=ON﹣NE=1﹣t， ∴b+a=1+t+1﹣t=2， ∴b=2﹣a， （3）如图3，（Ⅰ）当1＜t＜2时， ∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称， ∴F′（1﹣t，0） ∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q， ∴Q（1﹣t，0）∴OQ=1﹣t， 由（1）得△PMF≌△PNE [来源:学,科,网] ∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1

2018年中考与圆有关的动点问题(答案)

1.【答案】D 【解析】如解图，点D 运动的路径是以AO 中点M 为圆心，AO 一半的长为半径的圆，∵AB 为⊙O 的直径，AB ＝8，∴AO ＝ 1 2 AB ＝4，∴点D 运动的路径长为：π×4＝4π． 2.【答案】B 【解析】如解图，过A 作⊙O 的直径AE ，连接ED ，AD ，∴∠ADE ＝90°，∵∠E ＝∠B ＝30°，∴∠EAD ＝60°．在Rt △ADE 中，AD ＝ 1 2 AE ＝6，∵AC 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AC ，∴∠OAC ＝90°，∴∠CAD ＝90°－60°＝30°，过点D 作AC 的垂线，垂足为C ＇，在Rt △DA C ＇中，∵∠DA C ＇＝30°，∴DC ＇＝1 2 AD ＝3，∴当点C 在C ＇点时，CD 有最小值，最小值为3． 3.【答案】D 【解析】如解图，连接OA ，OB ，∵∠ACB ＝30°，∴∠AOB ＝60°．∵OA ＝OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴AB ＝6．当GH 为⊙O 的直径时，GE ＋FH 有最大值．∵当GH 为直径时，E 点与O 点重合，∴AC 也是直径，AC ＝12．∵∠ABC 是直径所对的圆周角，∴∠ABC ＝90°，∠C ＝30°，∴AB ＝1 2 AC ＝6．∵点E 、F 分别为AC 、BC 的中点，∴EF ＝ 1 2 AB ＝3．∴GE ＋FH ＝GH －EF ＝12－3＝9． 4.【答案】D 【解析】∵AB ＝15，AC ＝9，BC ＝9，∴2AB ＝2AC ＋2BC ，∴△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝90°，点C 在圆上，所以EF 为圆的直径，若求线段EF 的最值，即要使圆最小，圆与AB 的切点为D ，如解图，连接CD ，当CD 垂直于AB 时，即CD 是圆的直径时，EF 长度最小，即最小值是斜边AB 上的高CD ，利用三角形面积可得： 12AB ·CD ＝12AC ·BC ＝12×15×CD ＝12×12×9，解得CD ＝365 ． 5.【答案】C 【解析】当点C 为劣弧AB 的中点时，△ABC 内切圆半径r 最大，如解图，连接OC 交AB 于D 点，⊙M 为△ABC 内切圆，作ME ⊥AC 于E 点，∵点C 为劣弧AB 的中点，∴OC ⊥AB ，AD ＝BD ＝ 1 2 AB ＝3，AC ＝BC ，∴点M 在CD 上，∴ME 和MD 都为⊙M 的半径，设ME ＝MD ＝r ，∵∠ACB ＝120°，∴∠A ＝30°，∠ACD ＝60°，在Rt △ACD 中，CD 在Rt △CEM 中，∠ECM ＝60°，∠CME ＝30°，CE EM r ， 第1题解图 B 第2题解图 第3题图 D 第4题解图 A F E C B

与圆有关的动点问题

与圆有关得动点问题 1、如图，⊙O得直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O得切线DC，P点为优弧CBA上一动点（不与A．C重合）． （1）求∠APC与∠ACD得度数； （2）当点P移动到CB弧得中点时，求证：四边形OBPC就是菱形． （3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由． 2、如图，在菱形ABCD中，AB＝23，∠A＝60o，以点D为圆心得⊙D与边AB相切于点E． (1)求证：⊙D与边BC也相切； (2)设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分得面积(结果保留π)； (3)⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF＝3 S△MDF时，求动点M 经过得弧长(结果保留π)． 3、半径为2cm得与⊙O边长为2cm得正方形ABCD在水平直线l得同侧， ⊙O与l相切于点F，DC在l上． （1）过点B作得一条切线BE，E为切点． ①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA得度数就是； ②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA得长； （2）以正方形ABCD得边AD与OF重合得位置为初始位置，向左移动正 方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别就是边BC，AD 与⊙O得公共点，求扇形MON得面积得范围． 4、如图，Rt△ABC得内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H． （1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径得长； （2）设PH=x，PC=y，求y关于x得函数关系式； （3）当PH与⊙O相切时，求相应得y值．

动点问题(与圆相关)

动点问题(与圆相关)

动点问题（与圆相关） 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，BC ∥AO ，顶点O 在坐标原点，顶点A （4，0），顶点B （1，4）．动点P 从O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA 的方向向A 运动；同时，动点Q 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿A →B →C 的方向向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一个也随之停止．设运动时间为t 秒． （1）当t 为何值时，PB 与AQ 互相平分？ （2）设△PAQ 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．当t 为何值时，S 有最大值？最大值是多少？ （3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得以PQ 为直径的圆与y 轴相切？若存在，求出相应的t 值；若不存在，请说明理由． B y C O x A 备用图备用图

2．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，动点M、N分别从点A、B同时出发，动点M沿AB边以每秒1个单位 的速度向点B运动，动点N沿BC→CD边以每秒3 2 个单 位的速度向点D运动，连结MN，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，MN∥BC？ （2）当点N在CD边上运动时，设 MN与BD相交于点P，求证：点P的位置固定不变；A C B D M N

（3）以AD为直径作半圆O，问：是否存在某一时刻t，使得MN与半圆O相切？若存在，求t的值，并判断此时△MON的形状；若不存在，请说明理由．

3（乌鲁木齐）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6米，BC＝8米，动点P以2米/ 沿AC向点C移动，同时，动点Q以1C 点出发，沿CB向点B Q 它们都停止移动，设移动的时间为t秒． （1）①当t＝2.5秒时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P、Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，直接写出t的值； （3）以P为圆心，PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时， 求出t的值．

人教版数学九年级上 圆中动点问题的解法探解

人教版数学九年级上圆中动点问题的解法探解 一、动点在弦上 1.1圆心与弦上一点构成动线段，求圆的半径 例1、如图1所示，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（） A．5 B．4 C．3 D．2 分析： 根据前面所学的知识，知道点到直线的距离以垂线段为最短，即当OM与弦AB垂直时，OM 最小，如图2所示，此时，恰好又符合了垂径定理的条件，在直角三角形AOM中，AM=3,OM=4，根据勾股定理，非常轻松地求得圆的半径是5. 解：选A． 1.2 圆心与弦上一点构成动线段，求动线段的范围 例2、如图1所示，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（）A．2 B．3 C．4 D．5 分析： 点M在弦AB上移动时，线段OM的长度是这样变化的，当与点A重合时，OM最长，等于圆的半径5，向B运动时，逐渐变小，当点M运动到如图8所示的位置时，OM的值达到最小值，根据垂径定理，易知道此时的最小值是3，接着再继续运动，线段OM的长度就逐渐增大，当与点B重合时，又变成最大，等于圆的半径5， 这样，线段OM的变化范围是：3≤OM≤5，根据我们所确定的范围，就比较轻松的找出答案来了． 解：选A． 二、动点在弧上 2.1动点在弧上求周长的最大值 例3、如图3所示，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周， P为弧AD 上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是（） A． 15 B． 20 C．15+．15+ 分析： 连接AP，BP， 则四边形的周长为：AC+CB+BP+AP．

由于弧AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周， 所以，AC=CB=BP=5， 因此，四边形的最大值就有AP 的值来决定，显然当点P 与点D 重合时，AP 有最大值． 同学们可以利用勾股定理求得这个最大值． 在直角三角形APB 中， AP==+22BP AB =+225552, 所以，四边形的最大值为15+52． 解：选C ． 2.2动点在弧上，求角的度数 例4、如图5所示，正方形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧AB 上 不同于点B 的任意一点，则∠BPC= 度． 分析： （1）确定所求角的属性 根据图形知道，∠BPC 是一个圆周角，其所对的弧是BC 弧. (2)确定圆周角所对的圆心角 BC 弧所对的圆心角是∠BOC ，即∠BPC 、∠BOC 构成同弧上的圆周角和圆心角． （3）求出圆心角的度数 根据正方形ABCD 是⊙O 的内接正方形，我们就得到∠BOC=90°． （4）根据同弧上圆周角与圆心角的关系，求圆周角 圆周角等于圆心角的一半，∠BPC=2 1∠BOC ， 所以，∠BPC=45°． 解：∠BPC=45°． 三、动点在半圆上，用图像刻画距离与时间的函数关系 例5、如图6所示，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿BO AB OA --弧的路径运动一周．设OP 为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间关系的是（ ） 分析： 在这里，起点是O ，此时，点O 与点P 重合，且此时OP=0，所以，在函数的图像上就表现为图像一定要经过原点，这样，我们就可以排除A 选项；

与圆有关的动点问题

与圆有关的动点问题 1、如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧CBA上一动点（不与A．C重合）． （1）求∠APC与∠ACD的度数； （2）当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形． （3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由． 2、如图，在菱形ABCD中，AB＝23，∠A＝60o，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E． (1)求证：⊙D与边BC也相切； (2)设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分的面积(结果保留π)； (3)⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF＝3S△MDF时，求动点M 经过的弧长(结果保留π)． 3、半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC 在l上．

（1）过点B作的一条切线BE，E为切点． ①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是； ②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长； （2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF 重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围． 4、如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H． （1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径的长； （2）设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式； （3）当PH与⊙O相切时，求相应的y值． 5、如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C 重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F，切点为E． （1）求证：OF∥BE； （2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

圆的动点问题经典习题

圆的动点问题 25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分） 已知：在Rt△ ABC中，/ ACB90°, BC=6, AC=8,过点A作直线MNLAC点E是直线MNk的一个动点， （1）如图1,如果点E是射线AM上的一个动点（不与点A重合），联结CE交AB于点P.若AE为x , AP为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； ⑵在射线AM上是否存在一点E使以点E、A P组成的三角形与厶ABC相似，若存在求 AE的长，若不存在，请说明理由； （3）如图2,过点B作BD丄MN垂足为D，以点C为圆心，若以AC为半径的O C与以ED 为半径的O E相切，求O E的半径. M D A

25.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题2分，第（3）小题6分） 在半径为4的O O 中， 点C 是以AB 为直径的半圆的中点， ODLAC ,垂足为D,点E 是射 线AB 上的任意一点，DF / AB, DF 与 CE 相交于点F ,设EF= x , DF= y . 如图1,当点E 在射线0B 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域； 如图2,当点F 在O O 上时，求线段 DF 的长； 如果以点E 为圆心、EF 为半径的圆与O (1) (2) (3) 0相切，求线段 DF 的长. E

25.如图，在半径为5的O O中，点A、B在O O上，/ AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点，AC 与OB的延长线相交于点D，设AC=x , BD=y . (1 )求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； (2) 如果O O i与O O相交于点A、C,且O O1与O O的圆心距为 2,当BD=-OB 时，求O O1 的半径; (3) 是否存在点C,使得△ DCBDOC ?如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由. A