北师大数学九年级上册第四章比例线段

第01讲_比例线段

知识图谱

比例与比例线段

知识精讲

一．比例的性质

1.比例的基本性质：

a c

ad bc b d =⇔=； 2.反比定理：a c b d

b d a

c =⇔=；

3.更比定理：a c a b b d c d =⇔=(或d c

b a =)；

4.合比定理：a c a b c d

b d b d ++=⇔=

； 5.分比定理：a c a b c d

b d b d --=⇔=

； 6.合分比定理：a c a b c d

b d a b

c

d ++=⇔=

--； 7.等比定理：(0)a c m a c m a

b d n b d n b d n b

++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+．

二．成比例线段

1.比例线段：对于四条线段a b c d ，，，，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如

a c

b d

=（即::a b c d =）

，那么这四条线段a b c d ，，，叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的项：在比例式a c

b d =（::a b

c

d =）中，a d ，称为比例外项，b c ，称为比例内项，d 叫做a b c ，，的

第四比例项．三条线段a b

b c

=（2b ac =）中，b 叫做a 和c 的比例中项．

3.黄金分割：如图，若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中

510.618AC AB AB -=≈，35

0.382BC AB AB -=≈，AC 与AB 的比叫做黄金比．

三点剖析

一．考点：比例与成比例线段

二．重难点：比例的性质

三．易错点：注意等比定理在运用时的时候一定要对分母为0或不为0进行讨论．比例的基本性质

例题1、已知23

a b

=（0

ab≠），下列比例式成立的是（）

A.

3

2

a

b

= B.

32

a b

= C.

2

3

a

b

= D.

3

2

b

a

=

【答案】B

【解析】本题考查比例的基本性质，内项积等于外项积。因此23

a b

=就可以转变为:3:2

a b=。例题2、如果x︰（x＋y）＝3︰5，那么x︰y＝（）

A.8

5

B.

3

8

C.

2

3

D.

3

2

【答案】D

【解析】∵x︰（x＋y）＝3︰5，∴5x＝3x＋3y，

2x＝3y，

∴

3

:3:2

2

x y==．

例题3、设

1

4

a c e

b d f

===，则

a c e

b d f

+-

=

+-

__________．

【答案】1 4

【解析】由等比例定理易得

1

4

a c e a

b d f b

+-

==

+-

．

例题4、已知x y z

、、满足235

x y z z x

==

-+

，则

5

2

x y

y z

-

+

的值为多少？

【答案】1 3

【解析】由235

x y z z x

==

-+

，得3

y x

=，

3

2

z x

=．所以，

5531

2333

x y x x

y z x x

--

==

++

．

随练1、下列各组中得四条线段成比例的是（）

A.4cm、2cm、1cm、3cm

B.1cm、2cm、3cm、5cm

C.3cm、4cm、5cm、6cm

D.1cm、2cm、2cm、4cm 【答案】D

【解析】A、从小到大排列，由于1×4≠2×3，所以不成比例，不符合题意；

B、从小到大排列，由于1×5≠2×3，所以不成比例，不符合题意；

C、从小到大排列，由于3×6≠4×5，所以不成比例，不符合题意；

D、从小到大排列，由于1×4=2×2，所以成比例，符合题意．

随练2、已知

5

13

a

b

=，则

a-b

a+b

的值是（）

A.

2

3

- B.

3

2

- C.

9

4

- D.

4

9

-

【答案】 D

【解析】 解：由513a b =，得5

13a b =，∴58a-b 41313=518a+b 9

1313

b b b

b b b --==-+

随练3、 已知

y z z x x y x y z +++==

（0x y z ++≠），求x y z

x y z +-++的值． 【答案】 1

3

x y z x y z +-=++

【解析】 设y z z x x y

k x y z

+++===，

则y z kx +=，z x ky +=，x y kz +=，

所以，()()2x y z k x y z ++=++， ∵0x y z ++≠，∴2k =， ∴2123x y z z z x y z z z +--==+++．

成比例线段

例题1、 下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A.5cm ，6cm ，7cm ，8cm B.3cm ，6cm ，2cm ，5cm C.2cm ，4cm ，6cm ，8cm D.12cm ，8cm ，15cm ，10cm

【答案】 D

【解析】 该题考查的是比例线段的定义．

对四条线段a ，b ，c ，d 如果a c

b d

=，则这四条线段成比例．

A ：58404267⨯=≠=⨯，不成比例；

B ：26121535⨯=≠=⨯，不成比例；

C ：28162446⨯=≠=⨯，不成比例；

D ：1210120815⨯==⨯，成比例； 故本题选D ．

例题2、 在相同时刻，物高与影长成正比．如果高为1.5米的标杆影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高为（ ） A.20米 B.18米 C.16米 D.15米 【答案】 B

【解析】 标杆的高标杆影长=旗杆的高

旗杆的影长

，

即1.5=2.530

旗杆高， ∴旗杆的高=1.530

2.5

⨯=18米．

例题3、 已知线段a=4，c=9，那么a 和c 的比例中项b= ． 【答案】 6

【解析】 ∵b 是a 、c 的比例中项， ∵b 2=ac ， 即b 2=36，

∵b=6（负数舍去）， 故答案是6． 例题4、 美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一种美感．已知某女士身高160cm ，

下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为__________． 【答案】 8cm

【解析】 根据已知条件得下半身长是1600.696cm ⨯=，

设需要穿的高跟鞋是ycm ，则根据黄金分割的定义得：960.618160y

y +=+，解得：8y cm ≈．

随练1、 把长为8cm 的线段进行黄金分割，则较长线段的长为_______cm 【答案】 (

)

4

51-

【解析】 该题考查的是一元二次方程问题．

把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即::AB AC AC BC =），叫做

把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，设AC x =，则8BC x =-，则88x

x x

=-，解得()

451

x =-（舍去小于0的根），故答案为(

)

451-．

平行线分线段成比例定理

知识精讲

一．平行线分线段成比例定理

1.定理：三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例．

2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．

3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．

二．梯型

如图，////AB CD EF ，则有AC BD CE DF AC BD CE DF

CE DF AC BD AE BF AE BF

====

，，，．

三．“8”字型

如图，////AB CD EF ，则有

AD BC DF CE AD BC DF CE

DF CE AD BC AF BE AF BE

====

，，，．

三点剖析

一．考点：平行线分线段成比例

二．重难点：

1.平行线分线段成比例线段的对应关系；

2.需要构造平行线来证明的问题．

3.看似两组不相干线段的比例问题找到中间量，通过中间量进一步证明．

三．易错点：

1.成比例线段之间对应关系；

2.在利用平行线分线段成比例的时候中间水平线段的比例不一定与两侧线段成比例．

梯型

例题1、如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，

若AB

BC

=1

2

，则

DE

EF

=（）

A.1

3

B.

1

2

C.

2

3

D.1

【答案】B

【解析】∵a∥b∥c，

∴DE

EF

=

AB

BC

=

1

2

．

例题2、如图，已知在△ABC中，DE∥AC，DF∥AB，那么下面各等式中，错误的有（）

A.::

BD DC BE EA

= B.::

BD BC AF AC

=

C.::

BE EA AF FC

= D.::

DF BA DE CA

=

【答案】D

【解析】∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四边形AEDF为平行四边形，

∴::

BD DC BE EA

=，

::

BD BC AF AC

=，

::

BE EA AF FC

=，

D选项中::

DF BA CD DE

=．

例题3、如图，在∵ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∵BC，EF∵AB．若AB=8，BD=3，BF=4，则FC的长为．

【答案】．

【解析】∵DE∵BC，EF∵AB，

∵==，

∵AB=8，BD=3，BF=4，

∵=，

解得：FC=．

例题4、如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，若AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝（）

A.7

B.7.5

C.8

D.8.5

【答案】B

【解析】暂无解析

例题5、如图，ABC

∆中，AB AC

=，D为BC中点，在BA的延长线上取一点E，使得ED EC

=，ED与AC交于

点F ，则AF

CF

的值为多少？

【答案】1 3

【解析】解：过点D作DG∥AC，交EB于点G，连接AD，如图所示：D为BC中点，DG∥AC，

G

∴为AB的中点，EAC DGE

∠=∠，

DG

∴是ABC

∆的中位线，2

AC DG

∴=，

AB AC

=，ED EC

=，

B ACB

∴∠=∠，EDC ECD

∠=∠，

EDC B DEG

∠=∠+∠，ECD ACB ACE

∠=∠+∠，

ACE DEG

∴∠=∠，

在ACE

∆和GED

∆中，

EAC DGE

ACE DEG EC ED

∠=∠

⎧⎪

∠=∠

⎨

=

⎪⎩

，

()

ACE GED AAS

∴∆≅∆，AE DG

∴=，

AB AC =，D 为BC 中点， AD BC ∴⊥，90ADB ∴∠=︒，

1

2

DG AB AG BG ∴===，AE AG ∴=，

//DG AC ，::1:2AF DG AE GE ∴==，

即2DG AF =，4AC AF ∴=，1

3

AF CF ∴=．

随练1、 如图，四条平行直线1234l l l l ，，，被直线56l l ，所截，123AB BC CD =::::，若3FG =，则线段EF 和线段GH 的长度之和是（ ）

A.5

B.6

C.7

D.8

【答案】 B

【解析】 解：123////l l l ， EF AB FG BC ∴=，即132EF =，解得，3

2EF =，

234////l l l ， FG BC GH CD ∴=，即32

3

GH =，

解得92GH =，则线段EF 和线段GH 的长度之和39

622

=+=．

随练2、 如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若1AD =，3BC =，则

AO

CO

的值为（ ）

A.12

B.13

C.14

D.19

【答案】 B

【解析】 该题考查平行线分线段成比例定理． ∵AD ∥BC ， ∴13AO AD CO BC ==， 所以答案为B

随练3、 如图，////AB EF CD ，BC 、AD 相交于点O ，F 是AD 的中点，则下列结论中错误的是（ ）

A

O

B

C

D

A.AO BO

AD BC =

B.

OB OA

CE DF

=

C.

EF OE

CD BE

=

D.

2BE OE

AD OF

=

【答案】 C

【解析】 解：A ．由//AB CD 得

AO BO

AD BC

=

，所以A 选项的结论正确； B ．由//AB EF 得OA OB OF OE =，即OB OE OA OF =，由//EF CD 得OE OF EC FD =，即OE EC

OF FD

=

， 则OB EC OA FD =，即OB OA CE DF

=，所以B 选项的结论正确； C ．由//EF CD 得EF OE

CD OC =

，所以C 选项的结论错误； D ．由//EF CD 得OE OF EC FD =，即OE EC OF FD =，而F 是AD 的中点，所以22OE CE OF DF =，即2OE BE

OF AD

=

，所以D 选项的结论正确

随练4、 如图7，直线a ∥b ∥c ，点B 是线段AC 的中点，若DE ＝2，则EF ＝________．

【答案】 2

【解析】 暂无解析 随练5、 如图，点1A ，2A ，3A ，…，点1B ，2B ，3B ，…，分别在射线OM ，ON 上．11OA =，121112A A A B OA ==，2313A A OA =，3414A A OA =，…．11A B ∥22A B ∥33A B ∥44A B …．则22A B =________，n n A B =___________（n 为正整数）

【答案】 6；()1n n +

【解析】 该题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，找规律． ∵11OA = ∴12212A A =⨯=

图7

23342113134131

n n n n A A A A A A n A A n

---=⨯==⨯==-=

∵11A B ∥22A B ∥33A B ∥44A B ∴111222OA A B OA A B = ∴22

12112A B ⨯=

+ ∴2262(21)A B ==⨯+ 3344123(31)204(41)A B A B ==⨯+==⨯+

∴()1n n A B n n =+

“8”字型

例题1、 如图，直线l 1∥l 2∥l 3，另两条直线与l 1、l 2、l 3分别交于点A 及点D ，点E 及点B ，点F 及点C ，且AB ＝3，DE ＝4，FE ＝2，那么下列等式正确的是（ ）

A.BC ︰DE ＝1︰2

B.BE ︰DE ＝2︰3

C.BC·DE ＝8

D.BC·DE ＝6 【答案】 D

【解析】 根据题意可得：BC·

DE ＝AB·EF ＝6． 例题2、 如图，AD ∥EG ∥BC ，EG 分别交AB 、DB 、AC 于点E 、F 、G ，已知6AD =，10BC =，3AE =，5AB =，求EG 、FG 的长．

【答案】 6EG =，185

FG =

． 【解析】 ∵△ABC 中，EG ∥BC ， ∴EG AE BC AB

=， ∵10BC =，3AE =，5AB =， ∴3105EG =， ∴6EG =，

∵△BAD 中，EF ∥AD ， ∴EF BE AD AB

=，

∵6AD =，3AE =，5AB =， ∴5365

EF -=

， ∴12

5

EF =．

∴18

5

FG EG EF =-=．

例题3、 如图，//AC BD ，AD 与BC 交于点E ，过点E 作//EF BD ，交线段AB 于点F ，则下列各式错误的是（ ）

A.AF AE

BF DE =

B.

BF BE

AF CE

=

C.

1AE BE

AD BC

+= D.

AF CE

BF DE

=

【答案】 D

【解析】 解：//AC BD ，//EF BD ，//EF AC ∴， AF AE BF ED ∴=，BF BE

AF EC =

，故A 、B 正确． AE AF AD AB =，BE BF

BC AB

=

， 1AE BE AF BF AF BF AB AD BC AB AB AB AB +∴+=+===，故C 正确． =

AF CE

BF EB

，而DE EB ≠，故D 错误． 例题4、 已知，在ABC △中，AB AC >，AD AE =，DE 与BC 的延长线交于点M ．求证：::CE BM CM BD =．

【答案】 见解析

【解析】 该题考查的是平行线分线段成比例定理．

过点C 作CF ∥BA ，交DM 于点F ， ∴::BM CM BD CF =， ∵CF ∥BA ，

∴::AD CF AE CE =． 又∵AD AE =，

∴CF CE =． ∴::BM CM BD CE =．

例题5、 如图1，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AE ⊥BC 于点E ，连结OE ． （1）若OE =2，OB =4，求AE 的长；

（2）如图2，若∠ABC =45°，∠AEB 的角平分线EF 交BD 于点F ，求证：BF =2OE ；

（3）如图3，若∠ABC =45°，AE 与BD 交于点H ，连接CH 并延长交AB 于点G ，连EG ，直接写出

的

B

C

E

D

M

A

值．

【答案】 （1）855． （2）答案见解析 （3）2

【解析】 （1）如图1中，∵四边形ABCD 是菱形，

∴OA =OC ，OB =OD ，BD ⊥AC ，

∵AE ⊥BC ，

∴∠AEC =90°，

∴AC =2OE =4，OA =OC =2，BC =22224225OB OC +=+=，

∵12

×BD ×AC =BC ×AE ， ∴12

×8×4=25×AE ， ∴AE =855

． （2）如图2中，连接AF ．

∵四边形ABCD 是菱形，

∴BF 平分∠ABC ，∵∠ABC =45°

∴∠ABF =22.5°，

∵EF 平分∠AEB ，

∴AF 平分∠BAE ，

∴∠BAF =22.5°，

∴∠FBA =∠F AB ，

∴BF =AF ，∠AFO =∠FBA +∠F AB =45°，

∴△AOF 是等腰直角三角形，

∴AF =2OA ，

∵OA =OE ，

∴BF =2OE ．

（3）结论：2BH EG

=． 理由：如图3中，∵BO ⊥AC ，AE ⊥BC ，

∴CG ⊥AB ，∵∠ABC =45°，

∴∠CBG =∠BCG =45°，

∴BG =CG ，

∵∠HBG +∠BHG =90°，∠ACG +∠CHO =90°，

∵∠BHG =∠CHO ，

∴∠HBG =∠ACG ，

在△BHG 和△CAG 中，

BGH CGA HBG ACG BG CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

，

∴△BHG ≌△CAG ，

∴BH =AC ，

∵12×AB ×CG =12

×BC ×AE ，AB =CB ，

∴AE =CG ，

∵BE =AE ，BG =CG ，

∴BG =BE ， ∴BG BE BA BC =， ∴EG ∥AC ， ∴22

EG BG BG AC BA BC ===， ∴2BH AC EG EG

==．

随练1、 如图，△ABC 中，AB AC =，AD 交BC 边于点M ，12

BD AC =

，120BAC ABD ∠=∠=︒，请问（1）:BM MC 的值；（2）作ABC ∆的中线CF 交AM 与G ，则:CG GF 的值是多少？

【答案】

13

；6． 【解析】 （1）过A 作AE BC ⊥于E ．

AB AC =，120BAC ∠=︒，BE CE ∴=，30C ABE ∠=∠=︒．

设BD k =，则2AB AC k ==．

在BDM ∆中，90DBM ABD ABM ∠=∠-∠=︒，

在ABE ∆中，90AEB ∠=︒，30ABE ∠=︒，2AB k =，AE k ∴=，

在AME ∆与DMB ∆中，

AME DMB AEM DBM AE DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

()AME DMB AAS ∆≅∆，EM BM ∴=，

2CE BE BM EM BM ==+=，

3MC EM CE BM ∴=+=，

1:33

BM MC BM BM ∴:==． （2）如图，作ABC ∆的中线CF 交AM 于G ，交AE 于H ，连接FM ．

EM BM =，AF FB =，

////FM AE BD ∴，

2CH CE HF EM ∴==，23

HE CE FM CM ==， 2CH HF ∴=，2213323

k HE FM k ==⨯=， 233

k AH AE HE k k ∴=-=-=，

43HG AH GF FM ==， 令4HG t =，则3GF t =，7HF t =，14CH t =，

18CG CH HG t ∴=+=，

:18:36CG GF t t ∴==．

拓展

1、 已知线段a 、b 、c ，其中c 是a b 、的比例中项，若9cm a =，4cm b =，则线段c 长（ ）

A.18cm

B.5cm

C.6cm

D.6cm ±

【答案】 C

【解析】 暂无解析

2、 若20a b

=，10b c =，则a b b c ++的值为（ ） A.1121 B.2111 C.11021 D.21011

【答案】 D

【解析】 由题设得，1201210111

1110

a a

b b

c b c b +++===+++． 3、 在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm ，则该道路的实际长度是 km ．

【答案】 2.8

【解析】 设这条道路的实际长度为x ，则：1740000x

=， 解得x=280000cm=2.8km ．∴这条道路的实际长度为2.8km ．故答案为：2.8

4、 如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，EF ∥AB ．若2AD BD =，则CF BF

的值为___________

【答案】

12

【解析】 ∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，2AD BD =，

∴2AD AE BD EC ==，2AE BF EC CF

==， ∴12CF BF = 5、 如图，已知////AD BE CF ，它们依次交直线1l ，2l 于点A 、B 、C 和D 、E 、F ，

25

DE EF =，14AC =． （1）求AB 、BC 的长；（2）如果7AD =，14CF =，求BE 的长．

【答案】 （1）4AB =，10BC =；（2）9BE =．

【解析】 解：（1）////AD BE CF ， 25AB DE BC EF ∴==，27AB AC ∴=，57BC AC =，则247AB AC ==，5107

BC AC ==． （2）过A 作//AH DF ，交BE 于G ，交CF 于H ．

则有AD GE HF ==，25

AB AG DE BC GH EF ===，7CH CF FH =-=， 25AB BC =，27AB BG AC CH ∴==，则有227

BG CH ==，279BE BG GE =+=+=．

6、 如图，在ABC ∆中，D 为BC 边上的中点，AE 平分BAC ∠交BC 于E ，//DF AE 交AC 于F ，2AC =，1AB =，求CF 的长．

【答案】

32

【解析】 解：延长DF 交BA 延长线于点G ，延长FD 到H 使得HD FD =，连接BH ．

AE 平分BAC ∠，//DG AE ，

BAE EAC DFC AFG DGA ∴∠=∠=∠=∠=∠，FA GA ∴=，

又DH DF =，CD DB =，易得CFD BHD ∆≅∆，

CF BH ∴=，CFD BHD AGF ∠=∠=∠，

则BH BG CF ==，设AF x =，则1BG x =+，21CF AC AF x BH BG x =-=-===+，

解得，12x =，322CF x =-=．

7、 如图，平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ︰FC 等于（ ）

A.1︰1

B.1︰2

C.1︰3

D.2︰3

【答案】 B

【解析】 暂无解析 8、 在ABCD □中，E 在DC 上，若:1:2DE EC =，则:BF BE =_________．

【答案】 3：5

【解析】 该题考察相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质。

∵:1:2DE EC =

∴:2:3EC CD =,即:2:3EC AB =

∵AB //CD

∴△ABF ∽△CEF

∴::3:2BF EF AB EC ==,

∴:3:5BF BE =

9、 如图，直线123////l l l ，等腰直角三角形ABC 的三个顶点A ，B ，C 分别在1l ，2l ，3l 上，90ACB ∠=︒，AC 交2

l 于点D ，已知1l 与2l 的距离为1，2l 与3l 的距离为3，则AB BD 的值为（ ） A.425 B.345

C.528

D.20223

【答案】 A

【解析】 解：如图，作3BF l ⊥，3AE l ⊥， 90ACB ∠=︒，90BCF ACE ∴∠+∠=︒，

90BCF CBF ∠+∠=︒，ACE CBF ∴∠=∠，

A

B

C D E F

在ACE ∆和CBF ∆中，

BFC CEA

CBF ACE BC AC

∠=∠⎧⎪∠=∠⎨=⎪⎩ ，

ACE CBF ∴∆≅∆，3CE BF ∴==，4CF AE ==， 1l 与2l 的距离为1，2l 与3l 的距离为3， 1AG ∴=，7BG EF CF CE ==+= 2252AB BG AG ∴=+=，

23//l l ，14

DG AG CE AE ∴==， 1344DG CE ∴==，325744

BD BG DG ∴=-=-=， 5242255

4

AB BD ∴==．

10、 如图，在直角梯形ABCD 中，//DC AB ，90DAB ∠=︒，AC BC ⊥，AC BC =，ABC ∠的平分线分别交AD 、

AC 于点E ，F ，则BF EF

的值是（ ）

A.21-

B.22+

C.21+

D.2

【答案】 C 【解析】 解：作FG AB ⊥于点G ，

90DAB ∠=︒，

//AE FG ∴，

BF BG EF GA

∴=， AC BC ⊥，

90ACB ∴∠=︒，

又BE 是ABC ∠的平分线，FG FC ∴=，

在Rt BGF ∆和Rt BCF ∆中，

{

BF BF CF GF == ()Rt BGF Rt BCF HL ∴∆≅∆，

CB GB ∴=，

AC BC =，

45CBA ∴∠=︒，

2AB BC ∴=，

121221

BF BG BC EF GA BC BC ∴====+--．

北师大版九年级数学上册《成比例线段》第1课时示范公开课教学设计

第四章图形的相似 4.1 成比例线段 第1课时 一、教学目标 1.结合现实情境感受学习线段的比的必要性，借助几何直观了解线段的比和成比例线段. 2.学会求两条线段的比，体会用比值表示两条线段之间的关系；掌握比例的基本性质及其简单应用. 3.能利用比例的基本性质解决有关问题. 4.通过现实情境，进一步发展学生从数学角度提出问题、分析和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识. 二、教学重难点 重点：理解线段比的概念及其求解，掌握比例的基本性质及简单应用. 难点：利用比例的基本性质解决有关问题. 三、教学用具 电脑、多媒体、课件、教学用具等. 四、教学过程设计 【观察思考】 教师活动：教师展示两组图片，引导学生分别 观察他们的特征，教师引导学生观察并回答下 面问题. 问题：第一组图中两个亭子比较，你发现了什

【合作探究】 教师活动：那我们现在观察一组的几何图形，你能在下面图形中找出形状相同的图形吗？ 预设答案： 教师引导，就上面一组图进一步观察思考下面问题： 1.图中形状相同的图形有什么不同？ 2.形状相同的图形其中的一个如何由另一个得到？ 3.形状相同的图形对应线段如何变化？ 4.形状相同而大小不同的两个图形，你认为如何描述它们的大小关系？ 预设答案： 1.形状相同，大小不同 2.图形之间的“放大、缩小” 3.图形上相应的线段也被“放大、缩小” 4.对于形状相同而大小不同的两个图形，可以用相应“线段长度的比”来描述图形的大小关系.【归纳】 教师活动：展示ppt中讲解线段的比的定义并讲解：

如果选用同一个长度单位量的两条线段AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比就是它们长度的比. 记住：AB ∶CD =m ∶n ，或写成 ，其中，线段AB ，CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.若我们把m ∶n 表示成比值k ，则 或AB =k ﹒CD. 总结：两条线段的比实际上就是两个数的比. 【思考】 提出问题： (1)在求两条线段的比时应注意哪些问题？ (2)两条线段的比结果有单位吗？ (3)两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？ 预设答案并总结： ①两条线段的比就是长度的比，它没有单位； ②两条线段的比是有顺序的； ③两条线段比与所选的长度单位无关； ④求两条线段比时.如果单位不同，那么必须先化成同一单位，再求它们的比. 【想一想】 如图，五边形 ABCDE 与五边A′B′C′D′E′形状相同，AB =5cm ，A′B′=3cm.线段AB 与线段A′B′的比是________. 答案：5∶3 n m CD AB =k CD AB =

北师大版九年级上册数学 第四章 成比例线段、平行线段成比例(解析版)

第四章成比例线段、平行线段成比例 一、单选题 1．下列各组线段的长度成比例的是（） A．1cm，2cm，3cm，4cm B．3cm，4cm，5cm，6cm C．5cm，10cm，15cm，20cm D．6cm，4cm，3cm，2cm 【答案】D 【解析】 【分析】 根据成比例线段的定义，把线段按照由大到小或由小到大的顺序排列，验证第一项×第四项是否与中间两项乘积相等即可． 【详解】 A、1×4≠2×3，因此不成比例； B、3×6≠4×5，因此不成比例； C、5×20≠10×15，因此不成比例； D、6×2＝4×3，因此成比例； 故选D． 【点睛】 本题考查成比例线段的定义，属于基础题． 2．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，则下列各式不正确的是（）

A ．AP ：BP=A B ：AP B ．AP AB = C ．12BP AB = D ．0.618AP AB ≈ 【答案】C 【解析】 【分析】 直接根据黄金分割的概念排除选项即可． 【详解】 由题意得： ∴ AP ：BP=AB ：AP ，故A 正确； 12 AP AB =，故B 正确； AP AB = ∴32 BP AB AP AB =-=，故C 错误； 2.236≈，∴0.618 AP AB AB =≈，故D 正确． 故选C ． 【点睛】 本题主要考查黄金分割点，熟记黄金分割点的概念是解题的关键．

3．如图，// DE BC，下列各式不正确的是（） A．AD AE AB AC =B． AD AE BD CE =C． AD AE AC AB =D． AD AB AE AC = 【答案】C 【解析】 【分析】 根据平行线分线段成比例列出比例式，即可判断．【详解】 ∵// DE BC, ∵AD AE BD CE =， AD AE AB AC =，即 AD AB AE AC =，， ∵选项A、B、D均正确， 故选：C． 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例，解答的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并注意比例中的线段的顺序． 4．如图，l1∵l2∵l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若 2 3 = AB BC ，DE＝4.2，则 DF的长是（）

北师大数学九年级上册第四章比例线段

第01讲_比例线段 知识图谱 比例与比例线段 知识精讲 一．比例的性质 1.比例的基本性质： a c ad bc b d =⇔=； 2.反比定理：a c b d b d a c =⇔=； 3.更比定理：a c a b b d c d =⇔=(或d c b a =)； 4.合比定理：a c a b c d b d b d ++=⇔= ； 5.分比定理：a c a b c d b d b d --=⇔= ； 6.合分比定理：a c a b c d b d a b c d ++=⇔= --； 7.等比定理：(0)a c m a c m a b d n b d n b d n b ++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+． 二．成比例线段 1.比例线段：对于四条线段a b c d ，，，，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如 a c b d =（即::a b c d =） ，那么这四条线段a b c d ，，，叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的项：在比例式a c b d =（::a b c d =）中，a d ，称为比例外项，b c ，称为比例内项，d 叫做a b c ，，的 第四比例项．三条线段a b b c =（2b ac =）中，b 叫做a 和c 的比例中项． 3.黄金分割：如图，若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中 510.618AC AB AB -=≈，35 0.382BC AB AB -=≈，AC 与AB 的比叫做黄金比．

北师大版九年级数学上册教案-第四章第一节成比例线段

第四章图形的相似 第一节成比例线段 第1课时成比例线段(一) 教学目标 1．结合现实情景了解线段的比和成比例线段． 2．理解并掌握比例的性质及其简单应用． 3．通过现实情景，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系． 教学重点 理解并掌握比例的性质及其简单应用． 教学难点 利用引入比值k的方法研究比例的主要性质． 教学设计(设计者：×××) 教学过程设计 一、创设情景明确目标 活动内容：形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的，较小图形可以看成由较大图形“缩小”而成的．在这个过程中，两个图形上的相应的线段也被“放大”或“缩小”．因此，对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段的长度之比来描述它的大小关系． 让同学们举出一些实例来：例如：全班男生与女生人数之比为几比几？黑板的长与宽之比为几比几？等等． 二、自主学习指向目标 自学教材第76至78页．

见学生用书“课前预习”部分． 三、合作探究 达成目标 探究点一 比和比例线段 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB ∶CD ＝m ∶n ，或写成AB CD ＝m n ，其中，线段AB ，CD 分别叫做这个线段比的前项和后项，如果把m n 表示成比值k ，那么AB CD ＝k ，或AB ＝k ·CD ，两条线段的比实际上就是两个数的比． 【针对训练】 ①已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a ＝3cm ，b ＝2cm ，c ＝6cm ，求线段d 的长． ②下列四组线段中，a ，b ，c ，d 能成比例线段的是( ) A ．a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4 B ．a ＝0.5，b ＝3，c ＝2，d ＝10 C ．a ＝1.1，b ＝2.2，c ＝3.3，d ＝4.4 D ．a ＝2，b ＝3，c ＝6，d ＝3 探究点二 如果a b ＝c d ，那么ad ＝bc ，反之：如果ad ＝bc ，那么a b ＝c d 两条线段的比实际上就是两个数的比．如果a ，b ，c ，d 四个数满足a b ＝c d ，那么ad ＝bc 吗？反过来，如果ad ＝bc ，那么a b ＝c d 吗？与同伴交流． (学生相互间讨论，从数取值的情况来讨论，经过交流后得出正确的结论．) 在引出成比例线段的概念后，研究比例的一些性质，比例的性质不仅适用于有关线段的比例，而且也适用于有关数的比例． 第一个问题可以通过引入比值k 的方法，借助代数推理得到解决：设a b ＝c d ＝k ，那么a ＝kb ，c ＝kd ，ad ＝kb ·d ＝b ·kd ＝bc ；对于第二个问题，要注意：由ad ＝bc 得出a b ＝c d 是有条件的． 如果a b ＝c d ，那么ad ＝bc .(比例的基本性质) 如果ad ＝bc (a ，b ，c ，d 都不等于0)，那么a b ＝c d (注意指出这个结论与基本性质是互逆关系．) [例题讲解]见教材P78例1 【针对训练】①见教材P79随堂练习第2，3题. ②见学生用书第57页“当堂训练”第1，2题． 四、总结梳理 内化目标 1．比和比例线段的定义． 2．如果a b ＝c d ，则ad ＝cb ，反之也成立． 五、达标检测 反思目标 1．如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条 线段的比就是它们长度的比，即AB ∶CD ＝________，或写成AB CD ＝________．

数学北师大版九年级上册 《4.1 成比例线段》教案

数学北师大版九年级上册《4.1 成比例线段》 教案 第四章图形的相似 4.1 成比例线段 第1课时 一、教学目标 1．结合现实情境感受学习线段的比的必要性，借助几何直观了解线 段的比和成比例线段． 2．掌握比例的性质． 3．掌通过现实情境，进一步发展从数学的角度发现问题、提出问题、 解决问题的能力，培养数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切 联系． 二、教学重点及难点 重点：比例的基本性质． 难点：比例的基本性质的运用． 三、教学用具 多媒体课件、直尺或三角板． 四、相关资源 《生活中的相似》图片. 五、教学过程 【情境引入】

在实际生活中，我们经常会看到许多形状相同的图片，这些形状相同的图片之间有什么关系呢？ 带着这个问题让我们开始今天的学习吧！ 师生活动：教师展示图片并出示问题，学生思考、讨论． 设计意图：通过生活中的图片引入本课，激发学生学习本节课的兴趣．【探究新知】 想一想你能在下面这些图形中找出形状相同的图形吗？这些形状相同的图形有什么不同？用什么刻画、描述形状相同图形的不同点呢？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师分析、引导学生回答． 答：第一个图形和最后一个图形形状相同，第三个图形和第六个图形形状相同，第四个图形和第五个图形形状相同；这些形状相同的图形的大小不同．对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系． 设计意图：让学生亲自观察、分析、探究，培养学生的观察能力，分析和解决问题的能力． 形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的，较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的．在这个过程中，两个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小”．如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB∶ CD=m∶ n，或写成．其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把表示成

北师大版九年级数学上册《图形的相似》知识点归纳

北师大版九年级数学上册《图形的相似》 知识点归纳 北师大版九年级数学上册《图形的相似》知识点归纳第四章图形的相似 一、成比例线段 1、定义： （1）、线段比：如果选用一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m,n，那么这两条线段的比就是它们长 度的比，即AB：CD=m:n,或者写成AB/CD=m/n. （2）、成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a 与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段 a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。 2、定理：如果a/b=c/d==m/n(b+d++n≠0), 那么（a+c+m）/(b+d++n)=a/b 二、平行线分线段成比例 1、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2、平行于三角形一边的直线与其他两边相交。截得的线 段成比例。 三、相似多边形 定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相 似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 四、探索三角形相似的条件

1、两角分别相等的两个三角形相似。 2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 3、三边成比例的两个三角形相似。 4、概念：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C 叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。 五、相似三角形判定定理的证明 六、利用相似三角形测高 1、利用阳光下的影子 2、利用标杆 3、利用镜子的反射 七、相似三角形的性质 1、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。 2、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 八、图形的位似 定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P1所在的直线都经过同一个点O，且有 OP1=k*OP(k≠0),那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心。实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。

4.1.1线段的比与比例的基本性质(教案)北师大版数学九年级上册

第四章图形的相似 1成比例线段 第1课时线段的比与比例的基本性质 教学目标： 1.结合实际情境了解线段比的概念,并会计算两条线段的比. 2.结合实际情境了解比例线段的概念. 3.理解并掌握比例的基本性质,并能进行简单应用. 4.通过现实情境,进一步提高学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力,培养学生的数学应用意识. 教学重难点： 重点:理解线段的比与成比例线段的概念及求解. 难点:判断四条线段是否成比例及比例基本性质的灵活应用. 教学方法：讲授法、练习法 教学课时：1 教学过程： 导入新课 请观察下列几幅图片,你能发现些什么?你能对观察到的图片特点进行归纳吗? 解:这些例子都是形状相同、大小不同的图形.它们之所以大小不同,是因为它们图上对应的线段的长度不同. 讲授新知 知识点1线段的比 已知线段a=30 cm,b=60 cm,c=0.15 m,d=30 cm. (1)求线段a与线段b的比; (2)求线段c与线段d的比. [点拨]先化为相同单位,然后进行计算. 解:(1)a∶b=30∶60=1∶2. (2)0.15 m=15 cm,c∶d=15∶30=1∶2.

[归纳]如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ,CD 的长度分别是m ,n ,那么就说这两条线段的比AB ∶CD=m ∶n 或写成AB CD =m n .其中,AB ,CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把m n 表示成比值k ,那么AB CD =k 或AB=k ·CD. 知识点2 成比例线段 计算下列四条线段中a ∶b 与c ∶d 的值,你能发现什么? (1)a=2 cm,b=4 cm,c=3 m,d=6 m; (2)a=0.8,b=1,c=2.4,d=3. 解:(1)a ∶b=2∶4=1∶2;c ∶d=3∶6=1∶2,两个比相等. (2)a ∶b=0.8∶1=4∶5;c ∶d=2.4∶3=4∶5,两个比相等. [归纳]四条线段a ,b ,c ,d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即a b =c d ,那么这四条线段a ,b ,c ,d 叫做成比例线段,简称比例线段. 注意:(1)若a ∶b=k ,说明a 是b 的k 倍; (2)两条线段的比与所采用的长度单位无关,但求比时两条线段的长度单位必须一致; (3)两条线段的比值是一个没有单位的正数. 知识点3 比例的基本性质 有四条线段:a=3,b=4,c=6,d=8,它们成比例吗?计算ad 与bc 的值,你能发现什么? 解:它们成比例,ad=bc. [归纳]如果a ,b ,c ,d 四个数成比例,即a b = c d . 那么ad=bc. 如果ad=bc (a ,b ,c ,d 都不等于0), 那么a b = c d . 范例应用 例1 如图所示,已知在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=8 cm,AC=6 cm,CD 是斜边AB 上的高,求CD ∶

新北师大版九年级上册初中数学 4-2平行线分线段成比例 教案

第四章图形的相似 4.2 平行线分线段成比例 1.了解平行线分线段成比例的基本事实,会用平行线分线段成比例定理解决实际问题. 2.掌握推理证明的方法,发展演绎推理能力. 掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论. 平行线分线段成比例基本事实的灵活运用. 回答下列问题. 问题1:线段的比如何计算? 问题2:线段AB,CD,EF,GH成比例是什么意思? 问题3:教师展示绳子. (1)你能快速地将这根绳子分成相等的两根吗? (2)你能快速地将它分成长度比为1∶3的两根吗? (3)你能快速地将它分成长度比为2∶3的两根吗? 这节课我们就来学习如何将绳子分成规定的比. ·做一做 在图4-2-1中,小方格的边长均为1,直线l1∥l2∥l3,分别交直线m,n于格点A1,A2,A3,B1,B2,B3.

(1)计算A1A2A2A3与B1B2B2B3,A1A2A1A3与B1B2B1B3,A2A3A1A3与B2B3B1B3的值,你有什么发现? (2)将l2向下平移到如图4-2-2的位置,直线m,n与l2的交点分别为A2,B2,你在问题(1)中发现的结论还成立吗?如果将l2平移到其他位置呢? (3)在平面上任意作三条平行线,用它们截两条直线,截得的线段成比例吗? (2)成立.无论将l2平移到什么位置,上述结论都成立. (3)成比例. 平行线分线段成比例的基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例. ·做一做 如图4-2-3,直线a∥b∥c,分别交直线m,n于点A1,A2,A3,B1,B2,B3,过点A1作直线n的平行线,分别交直线b,c于点C2,C3(如图4-2-4).图4-2-4中有哪些成比例线段?

(完整word版)北师大版九年级上册数学线段成比例

6．已知三条线段的长分别为1 cm ，2 cm ， 2 cm ，如果另外一条线段与它们是成比例线段，试求出另外一条线段的长． 7．若a ＋23＝b 4＝c ＋56 ，且2a －b ＋3c ＝21.试求a ∶b ∶c . 8．如图所示，若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB ＝10，AP BP ＝AQ BQ ＝3 2 ，求线段PQ 的长． （二）平行线分线段成比例 【知识梳理】 1．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段__成比例__． 2．平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段__成比例__． 【典型例题】 考点1：平行线分线段成比例定理 【例4】如图，l 1∥l 2∥l 3，下列比例式错误的是( ) A.AC CE ＝BD DF B.AC AE ＝BD BF C.CE AE ＝DF BF D.AE BF ＝BD AC

,例4题图) ,变式题图) 【变式1】如图，直线l 1∥l 2∥l 3，已知AG ＝0.6 cm ，BG ＝1.2 cm ，CD ＝1.5 cm ，则CH ＝__ __cm. 【变式2】已知：如图，l 1∥l 2∥l 3，AB ＝3，DE ＝2，EF ＝4，求AC 的长． 知识点二：平行线分线段成比例定理的推论 【例5】如图，已知AB ∥CD ，下列结论不成立的是( ) A.AO OD ＝BO OC B.AO AD ＝OB BC C.OA OB ＝OD OC D.OA OB ＝BC AD 例5图) （例6） 【例6】如图，AD 是△ABC 的中线，AE ＝EF ＝FC ，BE 交AD 于点G ，则AG AD ＝ ． 【变式1】如图，在三角形ABC 中，点E ，F 分别是AB ，AC 边上的点，且有EF ∥BC ，如果EB AB ＝45，则AC FC ＝( ) A.94 B.59 C.54 D.95 【课堂训练】 1．如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB ＝3∶5，那么CF ∶CB 等于( ) A ．5∶8 B ．3∶8 C ．3∶5 D ．2∶5 ,第1题图) ,第2题图) 2．如图，已知直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 分别与l 1，l 2，l 3相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，如果AB ＝1，EF ＝3，那么下列各式中，正确的是( ) A ．BC ∶DE ＝3 B ．B C ∶DE ＝1∶3

北师大版九年级上册1成比例线段第四章：成比例线段教学设计

北师大版九年级上册1成比例线段第四章：成比例线段教学 设计 一、教学背景 针对应用题，学生往往会找到一些比例关系，但是对于成比例线段的理解较为 模糊，因此需要对成比例线段进行系统的教学。本节课作为第四章，是对正式学习成比例线段的教学内容，有利于为进一步学习成比例图和相似三角形打下坚实基础。 二、教学目标 1.掌握成比例线段的基础概念。 2.理解成比例线段的性质及应用。 3.能够解决简单的成比例线段应用题。 三、教学重点 1.成比例线段的定义和性质。 2.应用成比例线段解决实际问题。 四、教学难点 1.运用已知比例关系判断成比例线段。 2.解决实际问题中不确定比例关系的选取。 五、教学方法 1.归纳法、演绎法相结合。 2.经验法。 3.体验法。 4.问题解决法。 5.课堂讨论法。

1. 导入 1.通过赛车主题视频引入，游览一下汽车比例，引出比例的概念。 2.利用“男女身高比例，找寻其他生活中的比例关系”的问题引导学生 思考比例关系的应用。 2. 新课讲解 1.定义和性质： –成比例线段的定义：同一直线上的任意两个线段长度之比相等，则这两个线段互为成比例线段。 –成比例线段的性质：若两组成比例线段分别有两个相等的线段，则这两组成比例线段相等。 2.运用成比例线段解决实际问题： –通过案例让学生感受成比例线段在实际生活中的应用。 3. 练习 1.针对成比例线段的比例关系，让学生练习选出正确的比例关系。 2.列举一些典型的应用题，带领学生掌握成比例线段的解决方法。 4. 总结与归纳 总结成比例线段的概念和性质，以及应用成比例线段解决实际问题的方法。 5. 课后拓展 1.钻研成比例线段的不同应用场景。 2.搜集实际问题，练习运用成比例线段。

北师大版九年级数学上册 4.2平行线分线段成比例 导学案(含答案)

北师大版九年级数学上册第四章 4.2平行线分线段成比例 导学案 1、预习目标 1．平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 如图1，∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB BC ＝DE EF ，AB AC ＝DE DF ，BC AC ＝EF DF . 2．推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例． 如图2，∵DE ∥BC ，∴AD DB ＝AE EC ，AD AB ＝AE AC ，DB AB ＝EC AC . 【补充】如图3，∵DE ∥BC ，∴AD AC ＝AE AB . 2、课堂精讲精练 【例1】如图，直线l 1∥l 2∥l 3，两条直线AC 和DF 与l 1，l 2，l 3分别相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F.则下列比例式不正确的是(D) A. AB BC ＝DE EF B.AB AC ＝DE DF C. AC AB ＝DF DE D.EF ED ＝BC AC 【跟踪训练1】如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；直线DF 分 别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F.已知AB AC ＝13，则EF DE ＝2． 【例2】如图，直线l 1，l 2，l 3分别交直线l 4于点A ，B ，C ，交直线l 5于点D ，E ，F ，且l 1 ∥l 2∥l 3，直线l 4，l 5相交于点O ，已知EF ∶DF ＝5∶8，AC ＝24.

(1)求AB 的长； (2)当DE ＝3，OE ＝1时，求OB OC 的值． 解：(1)∵l 1∥l 2∥l 3， ∴EF ∶DF ＝BC ∶AC ＝5∶8， ∴BC ＝15. ∴AB ＝AC －BC ＝9. (2)OB OC ＝14 . 【跟踪训练2】如图，AB ∥CD ∥EF ，AF 与BE 相交于点G ，且AG ＝2，GD ＝1，DF ＝5，那么 BC BE 的值等于3 8 ． 【例3】如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，DE ∥BC ，点F 为BC 边上一点，连接AF 交DE 于点G ，则下列结论中一定正确的是(C) A. AD AB ＝AE EC B.AG GF ＝AE BD C. BD AD ＝CE AE D.AG AF ＝AC EC 【跟踪训练3】如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB ＝3∶5，那么CF ∶CB 等于(C)

北师大版九年级数学上册 4.1成比例线段 导学案(含答案)

北师大版九年级数学上册第四章 4.1 成比例线段 导学案 第1课时 线段的比和成比例线段 1、教学目标 1．线段的比：是指选用同一个长度单位量得的两条线段长度的比，叫做两条线段的比． 2．比例尺：在地图或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为比例尺． 3．线段比AB ∶CD 中，AB 叫线段比的前项，CD 叫线段比的后项． 4．成比例线段：四条线段a ，b ，c ，d ，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b ＝c d ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 5．比例的基本性质：如果a b ＝c d ，那么ad ＝bc ；反之，如果ad ＝bc(a ，b ，c ，d 都不为0)，那么a b ＝c d . 2、课堂精讲精练 【例1】在1∶40 000的地图上，村犀路的距离是7厘米，则实际距离是2.8千米． 【跟踪训练1】 在比例尺为1∶6 000的地图上，图上尺寸为1 cm ×2 cm 的矩形操场，实际尺寸为60m ×120m ． 【例2】下列各组中的四条线段成比例的是(C) A ．a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝ 3 B ．a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10 C ．a ＝2，b ＝5，c ＝23，d ＝15 D ．a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝1 【跟踪训练2】已知a ，b ，c ，d 成比例线段，其中a ＝3 cm ，b ＝2 cm ，c ＝6 cm ，则d 的长度为(A) A ．4 cm B ．5 cm C ．6 cm D ．9 cm 【例3】已知x ∶y ＝3∶2，则下列各式中正确的是(A) A.x ＋y y ＝52 B.x －y y ＝13 C.x y ＝23 D.x ＋1y ＋1＝43

4.1成比例线段习题精练 2021-2022学年北师大版数学九年级上册(含答案)

北师大版九年级第四章4.1成比例线段习题精练 一、选择题 1.已知三条线段的长分别为1.5，2，3，则下列线段中不能与它们组成比例线段的是() A. 1 B. 2.25 C. 4 D. 2 2.四条线段a，b，c，d成比例，即a b =c d ，其中a=3cm，d=4cm，c=6cm，则b等于 () A. 8cm B. 9 2cm C. 2 9 cm D. 2cm 3.比例尺为1︰800的学校地图上，某条路的长度约为5cm，它的实际长度约为() A. 400cm B. 40m C. 200cm D. 20m 4.已知线段a，b，c的长度分别为1，2，3，如果线段d和已知的三条线段是成比例线段， 那么线段d的长度不等于() A. 6 B. 3 2C. 2 3 D. 16 5 5.下列四组线段中，是成比例线段的是() A. 3cm，4cm，5cm，6cm B. 4cm，8cm，3cm，5cm C. 5cm，15cm，2cm，6cm D. 8cm，4cm，1cm，3cm 6.将两块长a米，宽b米的长方形红布，加工成一个长c米，宽d米的长方形，有人就a， b，c，d的关系写出了如下四个等式，不过他写错了一个，写错的那个是() A. 2a c =d b B. a c =d 2b C. 2a d =c b D. a 2c =d b 7.若x:y=1:3，2y=3z，则2x+y z−y 的值是() A. −5 B. −10 3C. 10 3 D. 5 8.已知x 2=y 3 ，那么下列式子中一定成立的是() A. x+y=5 B. 2x=3y C. xy=6 D. x y =2 3 9.已知a b =c d =e f =4 3 ，若b+d+f=9，则a+c+e=() A. 12 B. 15 C. 16 D. 18 10.已知x y =2 3 ，则下列结论一定正确的是() A. x=2，y=3 B. 2x=3y C. x 3=y 2 D. x x+y =2 5 二、填空题 11.若m x =x n ，则称x是m，n的比例中项，当m=5，n=8时，x的值为． 12.已知线段a=20cm，b=30cm，c=4m，d=6m，那么这四条线段是不是成比例线 段⋅.(填“是”或“不是”)

北师大版数学九年级上册 第四章 图形的相似 4.2 平行线分线段成比例 同步练习题及答案

北师大版数学九年级上册 第四章 图形的相似 4.2 平行线分线段成比例 同步练习题 1. 如图，已知l 1∥l 2∥l 3，如果AB ∶BC ＝2∶3，DE ＝4，则EF 的长是( ) A.103 B ．6 C.2 3 D ．1 2. 如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 分别交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 分别交直线a ，b ，c 于点D ， E ，F.若AB BC ＝12，则DE EF 等于( ) A.13 B.12 C.2 3 D ．1 3. 如图，已知AB ∥CD ，下列结论不成立的是( ) A.AO OD ＝BO OC B.AO AD ＝OB BC C.OA OB ＝OD OC D.OA OB ＝BC AD 4. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD DB ＝23，则AE EC 等于( ) A.13 B.25 C.23 D.3 5 5. 已知线段a ，b ，c ，求作线段x ，使ax ＝bc ，下列每个图中的两条虚线都是平行线，则作法正确的是( ) 6. 如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB ＝3∶5，那么CF ∶CB 等于( ) A ．5∶8 B ．3∶8 C ．3∶5 D ．2∶5 7. 如图，已知直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 分别与l 1，l 2，l 3相交于点A ，B ，

C 和点 D ， E ， F ，如果AB ＝1，EF ＝3，那么下列各式中，正确的是( ) A ．BC ∶DE ＝3 B ．BC ∶DE ＝1∶3 C ．BC ·DE ＝3 D ．BC ·DE ＝1 3 8. 如图，在△ABC 中，已知MN ∥BC ，DN ∥MC.小红同学由此得出了以下四个结论：①AN CN ＝AM AB ；②AD DM ＝AM MB ；③AM MB ＝AN NC ；④AD AM ＝AN AC .其中正确结论的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段__________． 9. 如图，在△ABC 中，DE∥BC，DE 分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，若AE ＝4，EC ＝2，则AD∶AB 的值为________． 10. 如图，直线l 1∥l 2∥l 3，已知AG ＝0.6 cm ，BG ＝1.2 cm ，CD ＝1.5 cm ，则CH ＝_______cm. 11. 如图，AD 是△ABC 的中线，AE ＝EF ＝FC ，BE 交AD 于点G ，则AG AD ＝_________． 12. 如图，l 1∥l 2∥l 3，AB BC ＝2 3，DF ＝15，则DE ＝____，EF ＝____． 13. 如图，△ABC 中有菱形AMPN ，如果AM BM ＝12，那么BP BC ＝_____． 14. 如图，l 1∥l 2∥l 3，AB ＝3，DE ＝2，EF ＝4，求AC 的长． 15. 如图，EG ∥BC ，GF ∥DC ，AE ＝3，EB ＝2，AF ＝6，求AD 的值． 16. 如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l 1，l 2于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，如果AB ＝6，BC ＝8，DF ＝21，求DE 的长．

北师大版九年级 上册 第四章 4.1成比例线段 同步练习(及答案)

北师大版九年级上册 第四章图形的相似 4.1成比例线段同步练习 1.已知AB=3 m,CD=30 cm,则AB：CD= . 2.在一张地图上,甲、乙两地间的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1 500 m,则这张地图的比例尺为. 3.如果,那么;如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0),那么. 4.已知3、4、5、a成比例,则a= . 5.如图4-1-1所示,甲、乙、丙三个矩形中,长与宽的比分别是多少?哪两个矩形的长和宽的比值是相等的? 图4-1-1 6.如图4-1-2所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是AB边的中线,则CD：AB= .

图4-1-2 7.若(a+2b)：(a-2b)=9：5,则a：b= . 8.已知线段a=2,b=3,c=6,且,则d= . 9.已知线段a,b,c满足关系式,且b=4,则ac= . 10.若a=5 cm,b=2 cm,c=10 cm,d=4 cm,则a,b,c,d这四条线段比例.(填“成”或“不成”) 11.如图4-1-3所示,已知,AD=6.4 cm,DB=4.8 cm,EC=4.2 cm,求AC的长. 图4-1-3 12.若,则的值为( ) A.1 B. C. D. 13.在Rt△ABC中,AC=8,斜边BC=10,则△ABC中的最短边与最长边的比值是. 14.已知四条线段a,b,c,d之间有如下关系：a：b=c：d,且a=12,b=8,c=15,则线段d= . 15.已知三条线段长为5 cm、3 cm、6 cm,请再写出一条线段之长,使之与前面三条线段长能够组成一 个比例式,则你写出的线段长度可能为. 16.下面四组线段中,不能组成比例的是.(填序号) ①a=3,b=6,c=5,d=10; ②a=1,b=,c=,d=; ③a=4,b=6,c=2,d=4;

九年级数学上册 第四章 图形的相似 1 成比例线段 名师e线 帮你把好知识关素材 (新版)北师大版

帮你把好知识关 为了帮助同学们更好地掌握本期的内容，下面就本期内容涉及的知识点进行详细讲解，供同学们学习时参考． 知识点一：线段的比 例1 线段a ，b ，c ，d 的长度如下，试判断它们能否组成比例线段. （1）a=4 cm ，b=3 cm ，c=10.5 cm ，d=14 cm. （2）a=8 cm ，b=0.05 m ，c=0.6 dm ，d=10 cm. 分析：将四条线段的长度化为同一单位后，再按由小到大或由大到小的顺序排列起来，然后比较第一与第二，第三与第四两对线段长度的比是否相等或比较最大和最小的两条线段长度的乘积与另两条线段长度的乘积是否相等. 解：（1）先把四条线段的长度按从小到大的顺序排列b=3 cm ，a=4 cm ，c=10.5 cm ，d=14 cm ，再求第一与第二，第三与第四两对线段长度的比.因为b ∶a=3∶4，c ∶d=10.5∶14=3∶4，所以b ∶a=c ∶d.故这四条线段能组成比例线段. （2）把四条线段的长度化成同一单位，则a=8 cm ，b=0.05 m=5 cm ，c=0.6 dm=6 cm ，d=10 cm.并按从小到大的顺序排列为b ，c ，a ，d.因为bd=5×10=50，ac=6×8=48.所以bd ≠ac.故这四条线段不能组成比例线段. 跟踪训练1 已知线段a=0.4 m ，b=30 cm ，c=20 cm ，d=0.6 m.试判断这四条线段是否成比例线段. 知识点二：比例的三条性质 1．依据基本性质求值 例2 已知（x+y ）∶（x-y ）=5∶2，则x ∶y=_________. 解析：根据比例的基本性质，得2（x+y ）=5（x-y ）. 所以2x+2y=5x-5y.即3x=7y.故x ∶y=7∶3. 跟踪训练2 已知（x ＋2y ）∶（x －y ）＝5∶2，则x ∶y=___. 2.依据合比性质求值 例3 已知45=y x ，则y y x +=______________. 解析：由比例的合比性质可得 y y x +=445+=49. 跟踪训练3 已知43=y x ，求y y x -的值. 3.依据等比性质求值 例4 若 23==c d a b （a+c ≠0），则c a d b ++=______. 解析：由比例的等比性质可知 c a d b ++=2 3. 跟踪训练4 若43==x y m n （m+x ≠0），则x m y n ++=____. 答案

北师大版九年级数学上册 4.1 成比例的线段 线段的比 同步课时练习题含答案

第四章 图形的相似 4.1 成比例的线段 线段的比 1. 下列线段的长度成比例的是( ) A. 1.5cm,2.5cm,4cm,5cm B. 2cm,3cm,4cm,5cm C.1.1cm,2.2cm,3.3cm,4.4cm D.1cm,2cm,3cm,6cm 2. 已知两地的实际距离为1800m ，在地图上量得这两地的距离为2cm ，则这张地图的比例尺为( ) A ．1∶900 B ．1∶9000 C ．1∶90000 D ．1∶36000 3. 已知四条线段满足ab ＝mn ，把它改成比例式正确的是( ) A.a b ＝m n B ．a m ＝b n C ．a m ＝n b D ．a n ＝b m 4. 在比例尺为1∶10000的地图上，相距2cm 的A 、B 两地的实际距离为( ) A ．200m B ．200cm C ．200dm D ．200km 5．若y x ＝34，则x ＋y x 的值为( ) A ．1 B ．54 C ．47 D ．74 6. 下列各组线段(单位：cm)中，成比例线段的是( ) A ．1,2,3,4 B ．1,2,2,4 C ．3,5,9,13 D ．1,2,2,3 7．已知A 、B 两地的实际距离AB ＝5km ，画在图上的距离A ′B ′＝2cm ，则图上距离与实际距离的比是( ) A ．2∶5 B ．1∶2500 C ．250000∶1 D ．1∶250000 8. 已知2x ＝3y(y≠0)，则下面结论成立的是( ) A.x y ＝32 B ．x 3＝2y C ．x y ＝23 D ．x 2＝y 3

9. 已知线段a=3厘米，线段b=13毫米，则a与b的比是( ) 10. 在比例尺为1∶3800的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm,它的实际长度为( ) A.0.266km B.2.66km C.26.6km D.266km 11. 直角三角形的斜边与斜边上的中线的比是 . 12. 已知一矩形的长a＝1.35m，宽b＝60cm，则a∶b＝. 13. 在同一时刻，小明测得一棵树的影长是身高为1.6米的小华影长的4.5倍，则这棵树的高度为米． 14. 已知8a＝6b，则a b ＝. 15．已知点P在线段AB上，且AP∶PB＝2∶5，则AB∶PB的值为. 16. 从一张矩形纸片上剪去一个正方形，剩余矩形长边与短边的比与原矩形的长边与短边的比相等，则原矩形长边与短边的比为. 17. 某图纸的比例尺是1∶20,图上零件长32mm,则实际长为cm. 18. 两地的实际距离是2000m，在地图上量得这两地的距离为2cm，这个地图的比例尺为多少？

9年级数学北师大版上册教案第4章《平行线分线段成比例》

4.2 平行线分线段成比例 一、教学内容分析 本节为北师大版九年级教材第四章《图形的相似》第2节，继探究了成比例线段、比例的性质及其简单应用后，本课以“特殊——一般——特殊”的探究方法，先引导学生借助方格纸，通过观察、计算，由特殊到一般地逐步归纳、猜想，进而明确“平行线分线段成比例”的基本事实，然后把这一基本事实特殊化（应用在三角形中）得到其推论，从而为后面证明相似三角形的判定定理作准备。 二、教学目标 1、通过在方格纸上研究几种特殊情况，逐步归纳、猜想和明确“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”这一基本事实及其推论，体会由特殊到一般的归纳推理的思想和方法； 2、通过将此基本事实应用在三角形中，得出推论，为后续学习做好准备。 三、学习者特征分析 学生已掌握成比例线段的定义和比例的基本性质，但对比例的基本性质可能还不够熟练。通过本节的学习，既是对新知识的探索，又是对上节内容的巩固和后面内容的准备。 四、教学重点及难点 重点：探索和掌握基本事实及其推论 难点：在复杂图形中找准平行线所截的成比例线段。 五、教学过程 教学环节 设计意图 一、旧知回顾 1、以下四组线段，成比例的是（ ） A ．2cm ，3cm ，4cm ，6cm B ．2cm ，4cm ，6cm ，8cm C ．3cm ，4cm ，5cm ，6cm D ．4cm ，6cm ，6cm ，8cm D ．4cm ，6cm ，6cm ，8cm 2、如果2x ＝3y ，那么下列比例式中正确的是（ ） A ．＝ B ．＝ C ．＝ D ．＝ 3、已知 a b c c a b c b a += +=+=k,则k=_______. 学生刚学完成比例线段和比例的性 质，部分学生对其掌握还不够熟练，因此 设计回顾环节，既可以复习旧知，又能帮助学生较快进入课堂状态。

北师大九年级数学上第四章图形的相似(共3讲)_第01讲_比例与相似三角形的性质1讲义

一、图形的相似 一、 比例的性质 1．比例的基本性质：a c ad bc b d =⇔=； 2．反比定理：a c b d b d a c =⇔=； 3．更比定理：a c a b b d c d =⇔=(或d c b a =)； 4．合比定理：a c a b c d b d b d ++=⇔= ； 5．分比定理： a c a b c d b d b d --=⇔= ； 6．合分比定理：a c a b c d b d a b c d ++=⇔= --； 7．等比定理： (0)a c m a c m a b d n b d n b d n b ++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+. 二、 成比例线段 1．比例线段：对于四条线段a b c d ， ，，，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a c b d =（即::a b c d =） ，那么这四条线段a b c d ，，，叫做成比例线段，简称比例线段． 2．比例的项：在比例式 a c b d =（::a b c d =） 中，a d ，称为比例外项，b c ，称为比例内项，d 叫做a b c ，，的第四比例项． 三条线段 a b b c =（2b ac =）中，b 叫做a 和c 的比例中项． 3．黄金分割：如图，若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中510.6182AC AB AB -= ≈，35 0.3822 BC AB AB -=≈，AC 与AB 的比叫做黄金比． 比例与相似三角形的性质 知识点