九年级线段成比例知识点

九年级线段成比例知识点

一、什么是线段成比例？

线段成比例是指两个线段之间的比值相等。即如果两个线段的长度之比等于另外两个线段的长度之比，那么这四个线段就成比例。

二、线段成比例的判定方法

1. 基于长度的判定方法：

设有四个线段AB、CD、EF和GH，我们可以使用以下方法判定它们是否成比例。

（1）如果AB/CD = EF/GH，即两个比值相等，那么线段AB 和CD与线段EF和GH成比例。

（2）如果AB/CD = EF/GH = k（常数），即三个比值相等，那么线段AB和CD与线段EF和GH成比例。

2. 基于相似三角形的判定方法：

我们也可以利用相似三角形的性质来判定线段成比例。

（1）如果三角形ABC与三角形DEF相似，那么线段AB和CD与线段AC和DF成比例。

（2）如果三角形ABC与三角形DEF相似，并且线段AB与线段DE相等，那么线段AB和CD与线段AC和DF成比例。

三、线段成比例的性质

1. 线段成比例的交叉乘积性质：

设AB/CD = EF/GH，那么有以下等式成立：

AB × GH = CD × EF

这条性质可以用来解决一些与线段成比例相关的问题。

2. 平行线段上的线段成比例性质：

如果线段AB与线段CD平行，并且线段AD与线段BC相交于点O，那么有以下等式成立：

AO/OD = BO/OC

这个性质可以帮助我们在平行线段上找到线段成比例的关系。

四、线段成比例的应用

线段成比例广泛应用于几何学和代数学中。在几何学中，我们可以使用线段成比例来证明两个三角形相似或者证明平行线段之间的关系。在代数学中，线段成比例可以用来求解未知长度和方程的解等问题。

简单来说，线段成比例在数学中是一个重要的概念，它帮助我们理解和解决与线段长度和比值有关的问题。在学习几何学和代

数学的过程中，我们需要掌握线段成比例的判定方法、性质和应用，以便能够灵活运用这一概念解决各种数学问题。

以上就是九年级线段成比例的相关知识点，希望能够帮助你更好地理解和掌握这一概念。要在数学学习中多加练习和应用，相信你能够在线段成比例及其他数学知识上取得更好的成绩。

北师大数学九年级上册第四章比例线段

第01讲_比例线段 知识图谱 比例与比例线段 知识精讲 一．比例的性质 1.比例的基本性质： a c ad bc b d =⇔=； 2.反比定理：a c b d b d a c =⇔=； 3.更比定理：a c a b b d c d =⇔=(或d c b a =)； 4.合比定理：a c a b c d b d b d ++=⇔= ； 5.分比定理：a c a b c d b d b d --=⇔= ； 6.合分比定理：a c a b c d b d a b c d ++=⇔= --； 7.等比定理：(0)a c m a c m a b d n b d n b d n b ++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+． 二．成比例线段 1.比例线段：对于四条线段a b c d ，，，，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如 a c b d =（即::a b c d =） ，那么这四条线段a b c d ，，，叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的项：在比例式a c b d =（::a b c d =）中，a d ，称为比例外项，b c ，称为比例内项，d 叫做a b c ，，的 第四比例项．三条线段a b b c =（2b ac =）中，b 叫做a 和c 的比例中项． 3.黄金分割：如图，若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中 510.618AC AB AB -=≈，35 0.382BC AB AB -=≈，AC 与AB 的比叫做黄金比．

九年级成比例线段知识点

九年级成比例线段知识点 成比例线段在九年级的数学课程中占据了重要的地位。本文将 对九年级学生需要掌握的成比例线段的相关知识点进行介绍和解析。 一、成比例线段的定义 成比例线段指的是在同一直线上的两个线段，它们的长度比相等。即若线段AB与线段CD成比例，记作AB∶CD，那么有 AB/CD=常数k。 二、成比例线段的特性 1. 定比分点性质：若在线段AB上有一点M，使得AM/MB=k，则称M为AB的一个定比分点。定比分点的特性是，若M是AB 的定比分点，则AM/MB=k或MB/AM=1/k。 2. 分段问题：设线段AB上有一点E，使得AE为AB的α部分（即AE/AB=α），则BE为AB的β部分（即BE/AB=β）。若已 知α和β，求线段AE和BE的具体长度时，可以使用分段比例定理：AE/BE=α/β。

3. 三点共线问题：若已知A、B、C三点共线，且AB∶BC=k，那么可以得出结论，点A、B、C是成比例线段。 三、成比例线段的性质和定理 1. 外分比例定理：在线段AB的延长线上取一点C，使得AC 为AB的α倍，BC为AB的β倍，则有AC/BC=α/β。 2. 内分比例定理：在线段AB上取一点C，使得AC为AB的α倍，BC为AB的β倍，那么有AC/BC=α/β。 3. 同位角定理：若两条平行线被一条交叉线所切分，那么所得 的各对共线点所构成的线段成比例。 四、成比例线段的应用 成比例线段在实际问题中具有广泛的应用。以下举例说明： 例1：已知在一条长为10cm的铁丝上，从一端开始分别距离 1cm和9cm的两个固定点，现在要找到距离这两个固定点等距离 的一个点M，该点在铁丝上的位置离起点较近。求点M在铁丝上 的位置。

比例性质及比例线段

比例性质及比例线段（初二4.16） 一、知识点与方法概述： 1、比例的性质： 基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d. 合比性质： 等比性质：如果，那么. 2、（成）比例线段： 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比. 那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项. 3、黄金分割： 如图，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC)，且使AC 是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点. 注意：1、AC 0.618AB；2、0.618叫做黄金比；3、一条线段有两个黄金分割点. 4、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的线段对应成比例. 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.（三角形一边平行线的性质） 推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（三角形一边平行线的判定定理） 5、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. 根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）:

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰. 已知：在梯形ACFD 中，CF AD //，AB=BC 求证：DE=EF 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 已知：在△ACF 中，CF BE //，AB=BC 求证：AE=EF 6、三角形的中位线定理： 三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 已知：如图，D 、E 分别为AB 、AC 的中点 求证：BC DE //，BC DE 21= 7、梯形的中位线定理 梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位 线。 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于 两底和的一半。 已知：梯形ABCD 中，BC AD //，E 、F 分别是AB 、CD 的中点 求证：BC AD EF ////，)(2 1BC AD EF += . 二、典型例题： 1. 如图，CE 是?ABC 的中线，AC EG BD EF AD CD //,//,21=. 若EF=18cm ，则BG= cm ；若CD=9cm ，则AF= cm. 2. 如图，?ABC 中，E 为BC 上一点，CD 平分ACB ∠交AE 于点 D ，且CD ⊥A E ，BC D F //交AB 于F 。若AF=2cm ，则AB= cm. 3. 已知：如图，?ABC 中，AB:BC:CA=3:2:4,AB=9cm,D 、E 、F 分别 是AB 、BC 、AC 的中点，求?DEF 的周长.

九年级数学上册比例线段

比例线段 学习目标： 1.学习并掌握比例线段的相关概念并学会运用. 2.掌握比例的性质，并能够运用比例的性质求值. 3.了解黄金分割的意义. 学习重点：比例线段的概念及性质. 学习难点：黄金分割的运用. 一、知识链接 1 .已知线段AB和CD的长度分别是2cm,6cm,则AB和CD的比是_______,表示为_______. 2.小学里已学过了比例的有关知识，那么，什么是比例？怎样表示比例？说出比例中各部分的名称，比例的基本性质是什么？ 二、新知预习 3.观察如图所示的三个长方形，你认为哪两个长方形的大小不同但形状相同？理由是什么？ 如果选用同一长度单位，图中每个长方形的长和宽分别是a、b，则可得

在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即我们就把这个四条线段叫做成比例线段，简称比例比例线段，此时也成这四条线段成比例. 可知图中____，____，____，____是成比例线段，____，____，____，____不是成比例线段. 三、自学自测 1.已知四条线段a，b，c，d的长度，试判断它们是否成比例？ (1) a＝16cm，b＝8cm，c＝5cm，d＝10cm；(2)a＝8cm，b＝5cm，c＝6cm，d＝10cm. 四、我的疑惑 _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 一、要点探究 探究点1：成比例线段 例1：下列四组线段中，是成比例线段的是（） A.3cm，4cm，5cm，6cm B.4cm，8cm，3cm，5c m C.5cm，15cm，2cm，6cm D.8cm，4cm，1cm，3cm

初中数学知识点精讲精析 比例线段

第一节比例线段 要点精讲 （一）比例线段 1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说 这两条线段的比是a:b=m:n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项。 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项． 4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项． （二）比例的性质： (1)比例的基本性质： (2)反比性质： (3)更比性质: 或 (4)合比性质: (5)等比性质: 且 (三) 平行线分线段成比例定理 1.定理: 三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例。 2.推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。 3.平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例。 4.如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。 这四个定理主要提出由平行线可得到比例式;反之,有比例可得到平行线。首先要弄清三个基本图形。

这三个基本图形的用途是: 1.由平行线产生比例式 基本图形(1): 若l1//l2//l3，则或或或 基本图形(2): 若DE//BC，则或或或 基本图形(3): 若AC//BD，则或或或 在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置。 2．由比例式产生平行线段 基本图形(2):若, , , ,, 之一成立，则DE//BC。 基本图形(3):若, , , , , 之一成立，则AC//DB。 典型例题 【例1】已知: a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28, 求3a-2b+c的值。 【答案】解:∵a:b:c=3:5:7 设a=3k, b=5k, c=7k ∵2a+3b-c=28 ∴6k+15k-7k=28，∴k=2 ∴3a-2b+c=9k-10k+7k=6k=12 【解析】题目中已知三个量a,b,c的比例关系和有关a,b,c的等式,我们可以利用这个等量关系,通过设参数k, 转化成关于k的一元方程,求出k后,使得问题得解。 【例2】若, 求的值。 【答案】设 则x=3k, y=4k, z=5k ∴ 【解析】在这个问题中,不必求出K的值,就可以把问题解决了。

北师大版九年级(上)数学第10讲：成比例线段(教师版)——王琪

成比例线段 一、有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是 a ： b ＝m ：n （或 n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d c b a = 4、比例外项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和 c 的比例中项。 8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ） ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位） 二、比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =⇔= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c d a b d c b a = ⇒= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ⎧=⎪⎪ ⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 4.合比性质： d d c b b a d c b a ±= ±⇒=（分子加（减）分母,分母不变）

九年级线段成比例知识点

九年级线段成比例知识点 一、什么是线段成比例？ 线段成比例是指两个线段之间的比值相等。即如果两个线段的长度之比等于另外两个线段的长度之比，那么这四个线段就成比例。 二、线段成比例的判定方法 1. 基于长度的判定方法： 设有四个线段AB、CD、EF和GH，我们可以使用以下方法判定它们是否成比例。 （1）如果AB/CD = EF/GH，即两个比值相等，那么线段AB 和CD与线段EF和GH成比例。 （2）如果AB/CD = EF/GH = k（常数），即三个比值相等，那么线段AB和CD与线段EF和GH成比例。

2. 基于相似三角形的判定方法： 我们也可以利用相似三角形的性质来判定线段成比例。 （1）如果三角形ABC与三角形DEF相似，那么线段AB和CD与线段AC和DF成比例。 （2）如果三角形ABC与三角形DEF相似，并且线段AB与线段DE相等，那么线段AB和CD与线段AC和DF成比例。 三、线段成比例的性质 1. 线段成比例的交叉乘积性质： 设AB/CD = EF/GH，那么有以下等式成立： AB × GH = CD × EF

这条性质可以用来解决一些与线段成比例相关的问题。 2. 平行线段上的线段成比例性质： 如果线段AB与线段CD平行，并且线段AD与线段BC相交于点O，那么有以下等式成立： AO/OD = BO/OC 这个性质可以帮助我们在平行线段上找到线段成比例的关系。 四、线段成比例的应用 线段成比例广泛应用于几何学和代数学中。在几何学中，我们可以使用线段成比例来证明两个三角形相似或者证明平行线段之间的关系。在代数学中，线段成比例可以用来求解未知长度和方程的解等问题。 简单来说，线段成比例在数学中是一个重要的概念，它帮助我们理解和解决与线段长度和比值有关的问题。在学习几何学和代

【湘教版】九年级数学上册：3.1.2《成比例线段》教案(含答案)

成比例线段 教学目标 【知识与技能】 1.掌握比例线段的概念及其性质. 2.会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例. 3.知道黄金分割的定义，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点. 【过程与方法】 能够灵活运用比例线段的性质解决问题. 【情感态度】 感知知识的实际应用，增强对知识就是力量的客观认识，进一步加强理论联系实际的学习方法. 【教学重点】 能够灵活运用比例线段的性质解决问题. 【教学难点】 掌握黄金分割的概念，并能解决相关的实际问题. 教学过程 一、情景导入，初步认知 1.1、2、4、8这四个数成比例吗？如何确定四个数成比例？ 2.比例基本性质是什么？ 【教学说明】复习回顾，引入新课. 二、思考探究，获取新知 1.如下图，在方格纸上（设小方格边长为单位1）有△ABC与△A′B′C′，它们的顶点都在格点上，试求出线段AB,BC,AC,A′B′,B′C′,A′C′的长度，并计算AB与A′B′,BC 与B′C′,AC与A′C′的长度的比值.

【教学说明】注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定； (2)度量线段的长，单位有多种，但求比值必须在同一长度单位下，比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关. (3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB∶CD. 2.什么是比例线段？ 【归纳结论】在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称比例线段. 3.能否将一条线段AB分成不相等的两部分，使较短线段CB与较长线段AC的比等于线 段AC与线段AB的比呢？即，使得：CB AC AC AB . 【教学说明】引导学生用一元二次方程的知识解决问题. 【教学说明】学生通过“计算、证明”等活动，得到并加深对黄金分割的理解. 三、运用新知，深化理解 1.已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否成比例. （1）a=16cm，b=8cm，c=5cm，d=10cm;

九年级数学 平行线分线段成比例 知识点精讲 教案 课件

九年级数学平行线分线段成比例知识点精讲 平行线分线段成比例定理 平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例。 推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例。 1简介编辑 平行线分线段成比例亦称平行截割定理，平面几何术语，指三条平行线截两条直线，所得的四条线段对应成比例，如图1，，则平行截割定理是研究相似形最常用的一个性质，它的重要特例：在一直线上截得相等线段的一组平行线，也把其他直线截成相等的线

段，称其为平行线等分线段。[1] 图1 2定理证明编辑 设三条平行线与直线m 交于A、B、C 三点，与直线n 交于D、E、F 三点。 连结AE、BD、BF、CE 根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE，S△BCE=S△BEF， ∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE 根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得：AB/BC=DE/EF。 由更比性质、等比性质得：AB/DE=BC/EF=(AB+BC)/(DE+EF)=AC/DF。 3定理推论编辑 过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。 平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。 平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 平行线分线段成比例定理：

三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。 推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。 定理推论： ①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。 ②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 01 平行线分线段成比例的基本事实 1.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.符号表示：如图 02 平行线分线段成比例的基本事实的推论 1.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 2.符号表示：如图

湘教版九年级上册数学比例线段专题

比例线段专题 1.线段的比 定义：在同一长度单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比。 说明： （1）统一单位： 如果用同一长度单位量得线段a 、b 的长度分别是m 、n ，那么 n m b a ::=或 n m b a =。 （2）前项后项： 在b a :或b a 中，a 叫比的前项， b 叫比的后项。 （3）应用：（比例尺） 若实际距离是250m ，图上距离是5cm ，求比例尺. 解析： 比例尺＝ 实际距离 图上距离 ， 5000 1 250005＝ ∴ ， ∴比例尺为1：5000. 注意： （1）若k b a =:，说明a 是b 的k 倍； （2）两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长单位必须一致。（单位要统一）； （3）两条线段的比值是一个没有单位的正数； （4）线段的比是有顺序性，即a b b a ::≠。

2.比例线段 定义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 图解： 注意： （1）顺序性：如 d c b a =叫做线段a、b、c、d成比例，而不能说成是b、a、c、d成比例。 如 d c b a =中，线段d叫做a、b、c的第四比例项，而不能说成“线段d 叫做b、a、c的第四比例项”。 3．比例性质 （1）基本性质： ad b d b b a bc ad d c b a = ⇔ = = ⇔ = 2 : : : : （简称：外项积等于内项积） 深层推导：① d c b a =⇒② d b c a =（交换bc）；③ a c b d =（交换ad）；④ c d a b = （上下对称）；⑤ b a d c =（左右对称）；⑥ c a d b =（左右对称）；⑦ b d a c =（左 右对称）；⑧ a b c d =（左右对称）。 （2）更比性质：① d c b a =⇒② d b c a =（交换bc）；③ a c b d =（交换ad）。 （3）合比性质： d c b a =⇔ d d c b b a+ = + （4）分比性质： d c b a =⇔ d d c b b a- = - （5）合分比性质： d c d c b a b a - + = - +或 d a d c b a b a + - = + -

线段比例计算方法知识点总结

线段比例计算方法知识点总结线段比例是数学中的一个重要概念，用于描述和比较线段之间的长度关系。在实际应用中，线段比例计算方法经常被使用到，比如在测量和绘图中。本文将对线段比例的概念和计算方法进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这一知识点。 1. 线段比例的定义 线段比例指的是两个线段之间的长度比值。设有两个线段AB和CD，线段比例可以表示为AB:CD。其中，AB称为第一个线段，CD 称为第二个线段。如果两个线段长度的比值相等，即AB:CD=EF:GH，那么我们就说这两组线段的比例相等。 2. 线段比例的基本性质 线段比例具有以下基本性质： - 任意线段与自身的比例为1:1，即线段与自身的比例相等。 - 如果线段AB与线段CD的比例为m:n，那么线段CD与线段AB 的比例为n:m。 - 如果线段AB与线段CD的比例为m:n，线段CD与线段EF的比例为n:p，那么线段AB与线段EF的比例为m:p。即线段比例具有传递性。 3. 线段比例计算方法 线段比例的计算可以通过几何方法或代数方法来实现。

3.1 几何方法 几何方法是通过直观的图形分析和测量来计算线段比例。常用的方 法包括倍量法和相似三角形法。 3.1.1 倍量法 倍量法是通过在一侧或两侧同时乘以同一个倍数来计算线段比例。 具体步骤如下： - 将线段AB分为若干等分，选取其中一份作为第二个线段的起点。 - 逐步倍量，完成对另一个线段的划分。 - 根据划分结果，得出线段的比例关系。 3.1.2 相似三角形法 相似三角形法是利用相似三角形的性质，通过线段的长度比值来计 算线段比例。具体步骤如下： - 构造与给定线段具有一定几何关系的相似三角形。 - 利用相似三角形的对应边长比例关系，求解线段比例。 3.2 代数方法 代数方法是通过运用代数学中的变量和方程来计算线段比例。常用 的方法包括“等式法”和“移项法”。 3.2.1 等式法

九年级数学图形的相似和比例线段学生版知识点典型例题

图形的相似和比例线段 [学习目标] 1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似； 2、了解比例线段的概念与有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义； 3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力. [要点梳理] 要点一、比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是 a:b=m:n，或写成a m b n ． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d，则ad=bc； （2）若a:b=b:c，则2b =ac（b称为a、c的比例中项）． 要点二、相似图形 在数学上，我们把形状一样的图形称为相似图形(similar figures). 要点诠释：(1)相似图形就是指形状一样，但大小不一定一样的图形； (2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状一样”且“大小一样”时，两个图形是全等； 要点三、相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 要点诠释： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． [典型例题] 类型一、比例线段 1. 下列四组线段中，成比例线段的有( ) A．3cm、4cm、5cm、6cm B．4cm、8cm、3cm、5cm C．5cm、15cm、2cm、6cm D．8cm、4cm、1cm、3cm 2.求证：如果，那么. 举一反三： 1、判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：

北师大版九年级数学4.1成比例线段(1)教案

《成比例线段1》教学设计 教学目标 1.了解两条线段的比和比例线段的概念； 2.能根据条件写出比例线段； 3.会运用比例线段解决简单的实际问题. 教学重点、难点 教学重点：比例线段的概念. 教学难点：例题中要求根据具体问题发现等量关系，找出比例式，有一定的隐蔽性，是本节教学的难点. 知识要点 1.两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 2.四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b =c d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段. 重要提示 1.用方程思想寻找几何图形中四条线段成比例是常用方法. 2.四条线段成比例可以解决一些实际问题 教学过程 一、创设情境、引入新课 欣赏几组图片，你发现了什么？ 图形的形状相同，但是大小不同 二、讲授新课、探索新知 1、线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD 的长度分别是m 、n ，那这 两条线段的比就是两条线段的长度比。 ）（或记作：n m CD AB n m CD AB ==:: 注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定； (2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关. (3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB :CD . 巩固练习1：（1）若线段AB ＝6cm ，CD ＝4cm ，则 （2）.若线段AB ＝8cm ，CD ＝2dm ，则 =CD AB =CD AB

2、比例线段：一般地，四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 比，即a b =c d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段. 巩固练习2：判断下列a 、b 、c 、d 是否成比例线段，为什么？ 10,5,2,4)1(====d c b a 35,152,5,2)2(====d c b a 三、典例精讲、新知应用 例1 一块矩形绸布的长AB =a m ，宽AD =1 m ，按照图中所示方式将它裁成相同的三面 矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即 那么a 的值应当是多少？ 变式练习：如图所示，一张矩形纸片ABCD 的长AB ＝acm ，宽BC ＝bcm ，E 、F 分别 为AB 、CD 的中点，这张纸片沿直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形 ABCD 的长与宽之比，则a ：b 等于（ ） 1:2.A 2:1.B 1:3.C 3:1.D 四、课堂小结 1.两条线段的比及比例线段的概念； 2.方程思想的体现； 3.比例线段在实际问题中的应用. 必做作业：习题4.1第1，2题. 选做作业：习题4.1第3题.

北师大版九年级数学上册_平行线分线段成比例解读

平行线分线段成比例解读 一、知识要点： 1、 平行线分线段成比例定理 2、 平行于三角形一边的直线的判定和性质（“A”、“X”型） 主要的基本图形 E D C B A A B C D E F E D C B A （图1） 平行线分线段成比例 （图2） 图1、2中，有定理：平行于三角形一边的直线截其他两边或延长线，所得的对应线段成比例。（可看作性质1）及其的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。（可看作判定） 以及定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线所截得的三角形与原三角形的三边对应成比例。（可看作性质2 ） 对“A”、“X”型的特征分析：A 点是两相交直线的交点，D 、E 和B 、C 是两平行线和相交直线的交点，（共5点），其中作比的三点在一条直线上（AD ∶AB=AE ∶AC 中，A 、D 、B 在一条直线上，A 、E 、C 在一条直线上。）在作辅助线的时候我们可以观察这些特征。而可以作比的六个点中如果有两个点是同一个点，那么过这个点作平行线往往可以一举多得。 注意点：（1）平行线分线段成比例没有逆定理 （2）判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线 的对应线段成比例（被判断的平行线本身不能参与作比例） （3）有些时候我们也要注意图3，DE//BC ，则DF ∶ FE=BG ∶GC （4）由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中。 CF 平移至过点A CF 平移至过点D G F E D C B A

初三数学第5讲：平行线分线段成比例定理

教学内容 一、 知识要点： 1、平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行线的直线所截，截得的对应线段成比例。 2、平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段 相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。 F E D C B A F E D C B A 问题：如果两条直线被三条直线所截，截得的线段成比例，那么这三条线段互相平行吗？ 牛刀小试： 1、如图AB ∥CD ∥EF ，AC=3，AE=8，BF=10。求BD 、DF 的长。 A B C D E F 2、 如图，1L ∥2L ∥3L ，AB=2，AC=5，DF=10，则DE=_________ L 3 L 2 L 1F E D C B A 3、在（1）题中，AB ∥CD ∥EF ，AB=2，CD=3，EF=5，BD=2，AE=8。求BF 、CE 的长。

第 1 页 共 9 页 4、已知如图，AD ∥CF ∥EB ，AB=3，AC=5，DF=9，DA=2，CF=8，求DE 、EF 、BE 的长。 F C E D B A 二、典型例题： 1、如图，已知：AB 、CD 、EF 都垂直于L,AB=12，EF=7，BD ：DF=2：3，求CD 的长。 L F C E D B A 巩固练习： 1、已知a bc x ,求作x,则下列作图正确的是（ ） A x c b a B x c b a C x c b a D x c b a 2、如图，1L ∥2L ∥3L ，两直线AC 、DF 与1L 、2L 、3L 分别交于A 、B 、C 和D 、E 、F ，下列各式中，不一定成立的是（ ） A 、 AB DE =BC EF B 、AB DE =AC DF C 、EF BC =FD CA D 、AD BE =BE CF

北师大版九年级数学上册《图形的相似》知识点归纳

北师大版九年级数学上册《图形的相似》 知识点归纳 北师大版九年级数学上册《图形的相似》知识点归纳第四章图形的相似 一、成比例线段 1、定义： （1）、线段比：如果选用一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m,n，那么这两条线段的比就是它们长 度的比，即AB：CD=m:n,或者写成AB/CD=m/n. （2）、成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a 与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段 a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。 2、定理：如果a/b=c/d==m/n(b+d++n≠0), 那么（a+c+m）/(b+d++n)=a/b 二、平行线分线段成比例 1、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2、平行于三角形一边的直线与其他两边相交。截得的线 段成比例。 三、相似多边形 定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相 似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 四、探索三角形相似的条件

1、两角分别相等的两个三角形相似。 2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 3、三边成比例的两个三角形相似。 4、概念：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C 叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。 五、相似三角形判定定理的证明 六、利用相似三角形测高 1、利用阳光下的影子 2、利用标杆 3、利用镜子的反射 七、相似三角形的性质 1、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。 2、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 八、图形的位似 定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P1所在的直线都经过同一个点O，且有 OP1=k*OP(k≠0),那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心。实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。

比例的性质及成比例线段(知识讲解)九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)

专题27.1 比例的性质及成比例线段（知识讲解） 【学习目标】 1.了解两条线段的比和比例线段的概念； 2.能根据条件写出比例线段； 3.会运用比例线段解决简单的实际问题. 【要点梳理】 线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a 、b 长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a :b=m :n ，或写成 a m b n =． 注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定； (2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关. (3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB :CD . 成比例线段： 对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 比例的基本性质： ;a c ad bc b d =⇔=（1） 2;a b b a c b c =⇔=（2） 几个重要的比例定理： a c a b b d c d =⇔=更比定理： a c b d b d a c =⇔= 反比定理： a c a b c d b d b d ++=⇔=合比定理：

--a c a b c d b d b d =⇔=分比定理： ...=...==(b d ...+f 0)...a c e a c e b d f b d f +++=++≠++等比定理： = a c a mc b d b md ±=±等比定理： 【典型例题】 类型一、线段的比 1．如图所示，有矩形ABCD 和矩形A B C D ''''， AB ＝8cm ，BC ＝12cm ，A B ''＝4cm ，B C ''＝6cm ． (1)求 A B AB '' 和B C BC ''； (2)线段A B ''，AB ，B C ''，BC 是成比例线段吗？ 【答案】(1)1 2，1 2(2)线段A B ''，AB ，B C ''，BC 是成比例线段． 【分析】 （1）根据已知条件，代入A B AB '' 和B C BC ''，即可求得结果； （2）根据 A B AB '' 和B C BC ''的值相等，即可判断线段A ′B ′，AB ，B ′C ′，BC 是成比例线段． 解：(1)∵AB ＝8cm ，BC ＝12cm ，A ′B ′＝4cm ，B ′C ′＝6cm ． ∵ A B AB ''＝48＝12 ，B C BC ''＝612 ＝12 (2)由（1）知A B AB ''＝48＝12 ，B C BC ''＝612 ＝1 2； ∵A B AB '' ＝B C BC ''， ∵线段A′B′，AB ，B ′C ′，BC 是成比例线段． 【点拨】本题考查了比例线段，知道成比例线段的条件是解题的关键． 【变式1】（1）若 x y =115 ，求代数式2x y y -的值；

九年级数学上册第四章图形相似知识点归纳北师大版

第四章 图形的相像 1 成比率线段 2 平行线分线段成比率 3 相像多边形 4 探索三角形相像的条件 * 5 相像三角形判断定理的证明 6 利用相像三角形测高 7 相像三角形的性质 8 图形的位似 一 . 成比率线段 ※1. 如果采用同一个长度单位量得两条线段 AB, CD 的长度分别是 m 、 n, 那么就说这两条线 段的比 AB:CD=m:n , 或写成 A m . B n ※2. 四条线段 a 、b 、c 、d 中 , 如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比 , 即 a c , 那么这四条线段 b d a 、 b 、 c 、 d 叫做成比率线段 , 简称比率线段 . ※ 3. 注意点 : ① a :b=k, 说明 a 是 b 的 k 倍 ; ②由于线段 a 、 b 的长度都是正数 , 所以 k 是正数 ; ③比与所选线段的长度单位无关 , 求出时两条线段的长度单位要一致 ; ④除了 a=b 之外 ,a:b ≠ b:a, a 与 b 互为倒数 ; b a ⑤比率的基本性质 : 若 a c , 则 ad=bc; 若 ad=bc, 则 a c A C B b d b d ※1. 如图 1, 点 C 把线段 AB 分红两条线段 AC 和 BC,如果 AC 图 1 BC , 那么称线段 AB 被点 C AB AC 黄金切割,点 C 叫做线段 AB 的黄金切割点,AC 与 AB 的比叫做黄金比. 5 1 AC: AB 0.618 :1 2 ※2. 黄金切割点是最优美、最令人心旷神怡的点. 二．平行线分线段成比率 ※1. 平行线分线段成比率定理 : 三条平行线截两条直线 , 所得的对应线段成比率 . 如图 2, l 1 // l 2 // 3 则 AB BC . A D l , DE EF l 1 三. B E 相像多边形 l 2 ¤1. 一般地 , 形状相同的图形称为相像图形 . C F l 3 ※2. 对应角相等、对应边成比率的两个多边形叫做相像 多边形 . 相像多边形对应边的比叫做相像比. ※相像多边形的周长等于相像比 ; 面积比等于相像比的平 图 2 方. 四. 探索三角形相像的条件

初三数学线段的比知识精讲试题

卜人入州八九几市潮王学校初三数学线段的 比知识精讲 一.本周教学内容： §线段的比 1.知识与技能 结合现实情境理解线段的比和成比例线段的概念，理解并掌握比例的根本性质及其简单应用；理解黄金分割的概念及其在生活中的应用；在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容。 2.过程与方法 经历探究成比例线段的过程，并利用其解决一些简单问题；经历对黄金分割的探究过程，体会其中的文化价值，体验用所学的知识解决实际问题。 3.情感、态度与价值观 通过现实情境，开展从数学的角度提出问题、分析和解决问题的才能，培养应用意识，体会到数学与自然、社会的亲密联络，感受数学美，并在学习活动会与别人交流。 二.重点、难点： 〔一〕教学重点 1.线段的比和成比例线段的概念。 2.比例的根本性质、黄金分割的概念。 〔二〕教学难点 1.会判断四个数或者四条线段成比例。 2.利用比例的根本性质来解决各类问题。 1.求两条线段的比时必须将线段的长度单位统一。 2.理解四条线段成比例的意义及相关概念。 3.利用等式性质和分式的根本性质得出比例的根本性质，遇到等比时，可设辅助未知数k。

4.通过黄金分割的学习，进一步增强线段的比，成比例线段等相关内容的理解，理解黄金分割是一种特殊分割。 〔一〕线段的比和成比例线段 1.在同一单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比。 强调几个注意的问题： 〔1〕a ：b ＝k ，说明a 是b 的k 倍，这是线段的比的本质。 〔2〕由于线段a 、b 的长度都是正数，所以k 是正数且没有单位。 〔3〕比与所选线段的长度单位无关，求比时两条线段的长度单位要一致。 2.成比例线段： 在四条线段中，假设其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。 其中，a 、d 叫做外项，b 、c 叫做内项，d 称为a 、b 、c 的第四比例项。 注意：线段的比与成比例的线段是不同的两个概念。 〔二〕比例的根本性质、黄金分割 1.比例的根本性质 〔2〕合分比性质 〔3〕等比性质： 2.黄金分割： 〔1〕假设线段AB 被点C 分割成不相等的两局部，假设较长线段AC 是较短线段BC 和全线段AB 的比例中项。 点C 叫做线段AB 的黄金分割点。 〔2〕黄金分割点的画法 ：线段AB 求作点C ，使点C 是线段AB 的黄金分割点。 作法：①经过点作⊥，使；B BD AB BD AB 12 ②连接AD ，在AD 上取DE ＝DB ；

数学人教版九年级下册平行线分线段成比例

第课时 1.了解相似三角形的概念,掌握平行线分线段成比例这一基本事实. 2.经历利用平行线判定三角形相似的证明过程,掌握利用平行线判定三角形相似的方法. 1.通过平行线分线段成比例这一基本事实在三角形中的转化,体会数学中的化归思想及数形结合思想. 2.通过平行线判定三角形相似及利用相似三角形的性质解决问题,提高学生分析问题、解决问题的能力. 1.通过观察、测量、归纳平行线分线段成比例定理,培养学生动手操作能力及直觉思维. 2.探究利用平行线判定三角形相似的证明,培养学生合情推理及演绎推理能力,提高逻辑思维能力. 3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯. 【重点】 1.掌握平行线分线段成比例基本事实. 2.能利用平行线判定三角形相似. 【难点】 探索利用平行线判定三角形相似的方法. 【教师准备】多媒体课件. 【学生准备】准备距离相等的一组平行线(或语文横格本).

导入一: 【课件展示】你知道金字塔有多高吗?传说法老命令祭师们测量金字塔的高度,祭师们为此伤透了脑筋,为了帮助祭师们解决困难,古希腊一位伟大的数学家泰勒斯利用巧妙的办法测量金字塔的高度(在金字塔旁边竖立一根木桩,当木桩影子的长度和木桩的长度相等时,只要测量金字塔的影子的长度,便可得出金字塔的高度),展示了他非凡的数学及科学才能.如图所示. 导入二: 【复习提问】 (1)什么是相似多边形?相似多边形有什么性质? (2)当相似比为1时,两个相似多边形有什么关系? 【师生活动】学生独立回答,教师点评. [设计意图]通过数学家测量金字塔的高度导入新课,激发学生学习的兴趣,从而向学生进行要刻苦学习的思想教育,同时让学生体会数学在实际生活中的应用;通过复习相似多边形的概念及性质,让学生用类比法得到相似三角形的概念及性质,为本节课的学习做好铺垫. 一、认识相似三角形 思考并回答: (1)类比相似多边形的概念,你能说出相似三角形的概念吗? (2)如果相似比是1,那么这两个三角形是什么关系? (3)△ABC与△A'B'C'的相似比为k,那么△A'B'C'与△ABC的相似比是多少? (4)类比相似多边形的性质,说出相似三角形的性质,并用几何语言表示. 【师生活动】学生思考回答,教师对每个问题点评后展示课件,规范数学语言. (课件展示)