第三节 常见数列的通项及前n项和

第三节 常见数列的通项及前n 项和

[题根3] 求分数数列111,,,122334

??? 的前n 项和n S

[变题1] 求分数数列

111,,,133557

??? 的前n 项和n S 。

2、用裂项法可求解：

（1） 若{}n a 为等差数列，0,1,2,n

a k ≠= ，公差为d ，则

122334111

1111n n n n

a a a a a a a a a a ++++++=????? .

3、常见裂项法求和有两种类型：分式型和根式型。如分式型1111(3)33n

a n n n n ??

=

=?- ?++??

；

根式型

n a =

=

1

a b =-。

[请你试试 3——1]

1、求分数数列1111

,,,,261220

的前n 项和n S

2、求分数数列

2222

1111

,,,,12243648

++++ 的前n 项和n S 。

错位相减法求和

1、 求数列 {2}n n ?……的前n 项和n S 。

2、 已知数列

{}n a ，11,23n a a n =-=- 数列{}n b ，114,2n n b b +==，求数列 {}n n

a

b 的前n 项和n S 。

构造新数列求通项公式 题根三] 数列

{}n a 满足11a =，121n n a a +=+，求通项公式n a 。

[请你试试4——1]

1、数列{}n a 满足 19a =, 134n n a a ++= ， 求 n a 。

2、 数列 {}n a 满足11a =，12n n n a a +=，求通项公式n a 。

3、 数列{}n a 满足 12a =, 1223n n a a n +=+- ， 求 n a 。

利用倒数求通项公式 [变题1] 数列

{}n a 满足11a =，1221

n

n n a a a +=

+ 求通项公式n a 。

[变题2] （06年江西理第22题）数列

{}n a 满足132a =

，11321

n n n na a a n --=+-*(2,)n n N ≥∈ 求通项公式n a 。

[解答]

11321n n n na a a n --=

+-1112

33

n n n n a a --?=?+

，即

11233n n b b -=?+111

1()

33

n n b b -?-=?-，又

132a =，得 1213b =-，所以 1

21(1)33n n b -??

=-? ?

??

，得

331

n

n n n a ?=-。

3、迭代法求数列通项

1、已知数列}{n a 中，11a =，11

(1)n n a a n n

+=+-, 求}{n a 的通项公式。

2、 在数列}{n a 中，12a =, 1(1)n n na n a +=+ , 求}{n a 通项公式。

[请你试试4——5]

1、数列{}n a 满足

11a =, 1235n n n a a +=+? ， 求 n a 。

2、数列{}n a 的前n 项和

21n n S a n +=+，10a =, 求 n a

求数列前N项和的七种方法含例题和答案

求数列前N 项和的七种方法 点拨: 核心提示：求数列的前n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。 1. 公式法 等差数列前n 项和： 11()(1) 22 n n n a a n n S na d ++= =+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。 等比数列前n 项和： q=1时，1n S na = ( )1111n n a q q S q -≠= -，，特别要注意对公比的讨论。 其他公式： 1、)1(211+==∑=n n k S n k n 2、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 3、21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利 用常用公式）

＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n ， )2)(1(2 1 1++=+n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 n n 8= ，即n ＝8时，501)(max =n f 2. 错位相减法 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的 通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1) 1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和.

数列通项公式、前n项和求法总结

一?数列通项公式求法总结： 1?定义法一一直接利用等差或等比数列的定义求通项。 特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）. 例］.等差数列｛%｝是递增数列,前n项和为S”,且也,％5成等比数列,S5=a;.求数列｛%｝的通项公式. 变式练习： 1.等差数列｛陽｝中,吗=4,如=2為,求匕｝的通项公式 2.在等比数列｛%｝中<2-4 =2,且2勺为3纠和他的等差中项,求数列｝的首项、公比及前"项和. 2 ?公式法 求数列｛a…｝的通项①可用公式= 5,................ ""求解。 ①-昭......... n>2 特征：已知数列的前"项和s“与％的关系 例2?已知下列两数列｛色｝的前n项和S“的公式，求｛?｝的通项公式。

变式练习： 1.已知数列｛%｝的前n项和为且S产2n2+m n GN*,数列｛"｝满足山=41。审化+3, n^N*.求色，b「 2.已知数列｛?｝的前门项和S”= —丄“2+如(2皿)，且久的最大值为8,试确泄常数k并求0”。2 3.已知数列仏｝的前"项和$“=伫卩，心".求数列仏｝的通项公式。 2 3 ?由递推式求数列通项法 类型1特征：递推公式为如="”+/(") 对策：把原递推公式转化为a n+1-a…= f(n),利用累加法求解。例3.已知数列｛?… ｝满足a｛=~, % = a n + -J—,求 a”。 2 ir +n

变式练习： 1.已知数列｛色｝满足a^=a n+2n + \9 q=l,求数列｛色｝的通项公式。 2?已知数列:? =皿 =5 +漆通项公式 类型2特征：递推公式为勺屮=/（〃）? 对策：把原递推公式转化为组 = /（〃），利用累乘法求解。例4.已知数列仏｝满足=-, a n^=—a n9求％ 3 ” + 1 变式练习： 1?已知数列｛%｝中,q=2, a n￥l=3n a n9求通项公式?。

几种求数列前n项和的方法

几种求数列前n 项和的常用方法 1、公式法： 如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求. ①等差数列求和公式：()()11122 n n n a a n n S na d +-==+ ②等比数列求和公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q q q ?=?=-?-=≠?--? 常见的数列的前n 项和：， 1+3+5+……+(2n-1)= ，等. 2、倒序相加法： 类似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法。如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法. 例、求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值. 解：设οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++=S …………. …. …. …. ① 将①式右边反序得：οοοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++???++=S ……② 又因为sin cos(90)x x =-o ，22sin cos 1x x +=，①+②得 ： 2222222(sin 1cos 1)(sin 2cos 2)(sin 89cos 89)S =++++???++o o o o o o ＝89 ∴ S ＝ 小结：倒序相加法，适用于倒序相加后产生相同的结果，方便求和. 3、错位相减法： 类似于等比数列的前n 项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法. 例、求和：()2112301n n S x x nx x x -=++++≠≠L ，（课本61页习题组4） 解：设S n =1+2x+3x 2+…+(n-1)x n-2+nx n -1 ， ① 则：x S n = x +2 x 2+…+(n-1) x n-1 + n x n ②

数列通项公式及前n项求和方法

数列通项公式及前n 项和 通项公式 一.公式法 高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。 1、等差数列公式 例1、（2011辽宁理）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式； 解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110, 21210, a d a d +=?? +=-? 解得11, 1. a d =?? =-? 故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- 2、等比数列公式 例2.（2011重庆理）设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+。 （Ⅰ）求{}n a 的通项公式 解：I ）设q 为等比数列{}n a 的公比，则由21322,4224a a a q q ==+=+得， 即2 20q q --=，解得21q q ==-或（舍去），因此 2.q = 所以{}n a 的通项为1*222().n n n a n N -=?=∈ 3、通用公式 若已知数列的前n 项和n S 的表达式，求数列{}n a 的通项n a 可用公式 ?? ?≥-==-21 1n S S n S a n n n n 求解。一般先求出a1=S1，若计算出的an 中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。 例3、已知数列}{n a 的前n 项和12 -=n s n ，求}{n a 的通项公式。 解：011==s a ，当2≥n 时 12]1)1[()1(221-=----=-=-n n n s s a n n n

数列的通项公式与前n项和的关系

数列的通项公式与前n 项和的关系 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

1.（11辽宁T17） 已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）求数列??????-12n n a 的前n 项和． 【测量目标】等差数列的通项，数列的通项公式{}n a 与前n 项和n S 的关系. 【难易程度】容易 【试题解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得11 0,21210,a d a d +=??+=-? 解得11,1. a d =??=-? 故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =-（步骤1） （II ）设数列1{ }2n n a -的前n 项和为n S ，即211,22 n n n a a S a -=+++故11S =（步骤2） 12.2242n n n S a a a =+++ 所以，当1n >时， 1211111222211121()2422 121(1)22 n n n n n n n n n n n S a a a a a S a n n -------=+++--=-+++--=--- = .2 n n （步骤3） 所以1.2n n n S -= 综上，数列11 { }.22n n n n a n n S --=的前项和（步骤4） 2.（10上海T20） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，n +∈N . （1）证明：{}1n a -是等比数列；

（2）求数列{}n S 的通项公式，并求出n 为何值时，n S 取得最小值，并说明理由. 【测量目标】数列的通项公式n a 与前n 项和n S 的关系. 【难易程度】中等 【试题解析】（1）当1n =时，114a =-；当2n 时，11551n n n n n a S S a a --=-=-++，()15116 n n a a -∴-=-，（步骤1） 又11150a -=-≠，∴数列{}1n a -是等比数列；（步骤2） （2）由(1)知：151156n n a -??-=- ??? ，得151156n n a -??=- ???，（步骤3） 从而()1575906n n S n n -+??=+-∈ ???N ；（步骤4） 解不等式1n n S S +<，得15265n -??< ???，562log 114.925n >+≈，（步骤5） ∴当15n 时，数列{}n S 单调递增；（步骤6） 同理可得，当15n 时，数列{}n S 单调递减； 故当15n =时，n S 取得最小值．（步骤7） 3.（09辽宁T14） 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655,S S -=则4a = . 【测量目标】数列的通项公式{}n a 与前n 项和n S 的关系. 【难易程度】中等 【参考答案】13 【试题解析】∵11(1)2 n S na n n d =+-∴5131510,33S a d S a d =+=+. ∴5311114653060(1515)154515(3)15S S a d a d a d a d a -=+-+=+=+=. ∵53655,S S -=故413 a = . 4.（09全国II T19） 设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+

数列前n项和的求和公式

数列求和的基本方法和技巧 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2) 1(2) (11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11) 1() 1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6 1 12++==∑=n n n k S n k n 5、 213)]1(2 1[+==∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：13 2)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①

[例4] 求数列 ??????,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 三、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值 四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+???+++-n a a a n ，… [例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.

求数列通项公式和前n项和的常用方法(含高考题精选)

求数列通项公式和前n 项和的常用方法 一、求数列通项公式的常用方法 1.公式法：等差数列或等比数列的通项公式。 2.归纳法：由数列前几项猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性。 3.累乘法:利用3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥型如: 1()n n a g n a += 4.构造新数列: 类型1累加法 )(1n f a a n n +=+ 类型2 累乘法 n n a n f a )(1=+ 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。解法（待定系数法）：把原递 推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=1，转化为等比数列求解。 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ） 。 （或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 解法：先在原递推公式两边同除以1 +n q ，得：q q a q p q a n n n n 111+?=++引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：q b q p b n n 1 1+=+再待定系数法解决。 类型5 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =) 解法：1.利用?? ?≥???????-=????????????????=-) 2() 1(11n S S n S a n n n 2.升降标相减法 二、数列求和的常用方法 1.直接或转化等差、等比数列的求和公式求和 （1）等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 2.错位相减法 设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则求数列{}n n b a 的前n 项和n S 。 3.裂项求和法 （1）1 1 1)1(1+- =+=n n n n a n （2）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n 等。4.分组求和法：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为 几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 5.逆序相加法 把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）

求前n项和公式的常用方法

求数列前N项和的常用方法 核心提示：求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。 一.用倒序相加法求数列的前n项和 如果一个数列{a n}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 例题1：设等差数列{a n}，公差为d，求证：{a n}的前n项和S n=n(a1+a n)/2 解：S n=a1+a2+a3+...+a n① 倒序得：S n=a n+a n-1+a n-2+…+a1② ①+②得：2S n=(a1+a n)+(a2+a n-1)+(a3+a n-2)+…+(a n+a1) 又∵a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1 ∴2S n=n(a2+a n) S n=n(a1+a n)/2 点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。 二.用公式法求数列的前n项和 对等差数列、等比数列，求前n项和S n可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。 例题2：求数列的前n项和S n 解： 点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。 三.用裂项相消法求数列的前n项和 裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。 例题3：求数列(n∈N*)的和

数列通项公式方法大全很经典

1，数列通项公式的十种求法： （1）公式法（构造公式法） 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222 n n n n a a ++-= ，故数列{}2n n a 是以1 2 22a 11==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31 ()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3 1(1) 22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 （2）累加法 例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出 11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。 变式：已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 （3）累乘法 例3已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

数列的通项公式与前n项和练习题

数列练习题 一、选择题： （ ）1．若数列}{n a 的通项公式为122-+=n a n n ，则数列}{n a 的前n 项和为 A 、122-+n n B 、1221-++n n C 、2221-++n n D 、22-+n n （ ）2．数列}{n a 的通项公式为)34()1(1-?-=-n a n n ，则它的前100项之和100S 等于 A 、200 B 、-200 C 、400 D 、-400 （ ）3．在数列}{n a 中，21=a ，)11ln(1n a a n n ++=+，则n a 等于 A 、n ln 2+ B 、n n ln )1(2-+ C 、n n ln 2+ D 、n n ln 1++ （ ）4．数列}{n a 对任意的q p ,*∈N 满足q p q p a a a +=+，且62-=a ，那么10a 等于 A 、-165 B 、-33 C 、-30 D 、-21 （ ）5.已知数列{n a }中，11=a ，2 21+=+n n n a a a （*∈N n ），则5a 等于 A 、52 B 、31 C 、32 D 、2 1 （ ）6．在数列}{n a 中，11=a ，52=a ，n n n a a a -=++12（*∈N n ），则1000a 等于 A 、5 B 、-5 C 、1 D 、-1 （ ）7．在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5…中100a 等于 A 、13 B 、100 C 、10 D 、14 （ ）8．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是 A 、???∈+==*+)( 11 1N n n a a a n n B 、???≥∈+==*-)2,( 111n N n n a a a n n C 、???≥∈++==*+)2,( 1 111n N n n a a a n n D 、???∈-+==*-)( 1 111N n n a a a n n （ ）9．数列}{n a 的通项)3 sin 3(cos 222ππn n n a n -=，其前n 项和为n S ，则30S 为 A 、470 B 、490 C 、495 D 、510 （ ）10．数列}{n a 首项为3，}{n b 为等差数列，且n n n a a b -=+1（*∈N n ），若23-=b ， 1210=b ，则=8a A 、0 B 、3 C 、8 D 、11

数列通项公式前n项和求法总结全

数列通项公式前n项和 求法总结全 YUKI was compiled on the morning of December 16, 2020

一.数列通项公式求法总结： 1.定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。 特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）． 例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2 55a S =．求数 列{}n a 的通项公式. 变式练习： 1.等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==求{}n a 的通项公式 2. 在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的首项、公比 及前n 项和. 2.公式法 求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-21 11n S S n S a n n n 求解。 特征：已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系 例2.已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。 （1）13-+=n n S n 。 （2）12-=n s n 变式练习：

1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S =2n 2+n ，n ∈N ﹡，数列{b }n 满足n a =4log 2n b +3，n ∈N ﹡.求n a ，n b 。 2. 已知数列{}n a 的前n 项和21 2n S n kn =-+（*k N ∈）,且S n 的最大值为8，试确定常数k 并求n a 。 3. 已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n n S n ，2 2.求数列{}n a 的通项公式。 3.由递推式求数列通项法 类型1 特征：递推公式为 ) (1n f a a n n +=+ 对策：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法求解。 例3. 已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 变式练习： 1. 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列： 求通项公式 类型2 特征：递推公式为 n n a n f a )(1=+ 对策：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法求解。 例4. 已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，求n a 。 变式练习：

数列通项公式、前n项和求法总结全

一.数列通项公式求法总结： 1.定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。 特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）． 例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2 55a S =．求数列{}n a 的通项公式. 变式练习： 1.等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==求{}n a 的通项公式 2. 在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和. 2.公式法 求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-21 11n S S n S a n n n 求解。 特征：已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系 例2.已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。 （1）13-+=n n S n 。 （2）12 -=n s n

变式练习： 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S =2n 2 +n ，n ∈N ﹡，数列{b }n 满足n a =4log 2n b +3，n ∈N ﹡.求n a ，n b 。 2. 已知数列{}n a 的前n 项和2 12 n S n kn =-+（*k N ∈）,且S n 的最大值为8，试确定常数k 并求n a 。 3. 已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n n S n ，2 2.求数列{}n a 的通项公式。 3.由递推式求数列通项法 类型1 特征：递推公式为 ) (1n f a a n n +=+ 对策：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法求解。 例3. 已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。

数列通项公式和前n项和求解方法全

数列通项公式的求法详解 一、 观察法（关键是找出各项与项数n 的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999， (2) ,1716 4,1093 ,542,21 1（3） ,52,21,32 ,1（4） ,5 4 ,43,32 ,21-- 答案：（1）110-=n n a （2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1 )1(1+? -=+n n a n n . 二、 公式法 公式法1：特殊数列 例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2 ，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，求数列{ a n }和{ b n }的通项公式。 答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 答案：(D) 例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

数列通项公式和前n项和的常见解题方法

一、 观察法：已知数列的前几项，要求写出数列的一个通项公式 例1、求下列数列的一个通项公式。 ①1 3572,4,8,165101520 -- ②1，0，1，0 ③3，33，333，3333 ④11，103，1005，10007 二、定义法：主要应用于可定性为等差或等比数列的类型，可直接利用等差或等比数列的通项公式进行求解。例2、求下列数列的通项公式 ①已知数列{}a n 中() *112,3n n a a a n N +==+∈求通项公式。 ②已知{}a n 中a 13=-且n n a a 21=+求此数列的通项公式。 ③已知等比数列2，a ，a ＋4，…写出其通项a n 的表达式． ④已知数列{}n a 中，满足a 1＝６，a 1+n +1=2(a n +1) （n ∈N + ），则数列{}n a 的通项公式 三、 递推关系式形如1()n n a a f n +=+ (其中()f n 不是常数函数) 此类问题要利用累加法, 利用公式121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+???+-来求解. 例.若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。 变式：（1）数列{a n }满足a 1=1且132(2),n n n a a n n a -=+-≥求 （2）数列{a n }满足a 1=1且11(2),2 n n n n a a n a -=+ ≥求 四、 递推关系式形如1()n n a a f n += (其中()f n 不是常数函数) 此类问题要利用累乘法,利用公式321121n n n a a a a a a a a -=??? 来求解. 例.在数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 21=+（* N n ∈），求通项n a 。 变式：若1124,n n n a a a n ++==，求n a 五、 (构造数列法) 递推关系式形如 1n n a pa q +=+(,,1,0)q p p q ≠≠为常数且 此类问题可化为1()11n n q q a p a p p ++=+--,即数列{}1 n q a p +-是一个以p 为公比的等比数列. 例．已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式 变式：115,23n n n a a a a -==+且，求 六、利用前n 项和S n 求通项 利用{11,1 ,2n n a n n S S n a -=-≥= ，一定要验证首项。 例：已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。 （1）223n S n n =-。 （2）12-=n s n （2）若数列{a n }的前n 项和S n ＝32 a n －3，求{a n }的通项公式．

数列的通项公式与前n项和的关系资料讲解

1.（11辽宁T17） 已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）求数列??????-12n n a 的前n 项和． 【测量目标】等差数列的通项，数列的通项公式{}n a 与前n 项和n S 的关系. 【难易程度】容易 【试题解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210, a d a d +=??+=-? 解得11,1.a d =??=-? 故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =-（步骤1） （II ）设数列1{}2n n a -的前n 项和为n S ，即211,22 n n n a a S a -=+++L 故11S =（步骤2） 12.2242 n n n S a a a =+++L 所以，当1n >时， 1211111222211121()2422 121(1)22 n n n n n n n n n n n S a a a a a S a n n -------=+++--=-+++--=---L L = .2n n （步骤3） 所以1.2n n n S -= 综上，数列11{ }.22 n n n n a n n S --=的前项和（步骤4） 2.（10上海T20） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，n +∈N . （1）证明：{}1n a -是等比数列； （2）求数列{}n S 的通项公式，并求出n 为何值时，n S 取得最小值，并说明理由. 【测量目标】数列的通项公式n a 与前n 项和n S 的关系.

数列前n项和的求和公式

For personal use only in study and research; not for commercial use 数列求和的基本方法和技巧 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2) 1(2) (11-+=+= 2、等比数列求和公式：????? ≠--=--==) 1(11)1() 1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6 1 12++== ∑=n n n k S n k n 5、 213)]1(2 1[+==∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①

[例4] 求数列 ??????,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 三、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值 四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+???+++-n a a a n ，… [例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.

数列通项、数列前n项和的求法例题练习

通项公式和前n 项和 一、新课讲授： 求数列前N 项和的方法 1. 公式法 （1）等差数列前n 项和： 11()(1) 22 n n n a a n n S na d ++= =+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+g ，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。 （2）等比数列前n 项和： q=1时，1n S na = ( )1111n n a q q S q -≠= -，，特别要注意对公比的讨论。 （3）其他公式较常见公式： 1、)1(211+==∑=n n k S n k n 2、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 3、21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值.

2. 错位相减法 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 练习： 求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1 答案： 当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n 当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n ) 1-x +1-（4n-3）x n ] 3. 倒序相加法求和 这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求ο ο ο ο ο 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2 2 2 2 2++???+++的值

求数列前N项和的常用方法

求数列前n项和的常用方法 核心提示：求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。 一.用倒序相加法求数列的前n项和 如果一个数列{a n}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 例题1：设等差数列{a n}，公差为d，求证：{a n}的前n项和S n=n(a1+a n)/2 解：S n=a1+a2+a3+...+a n① 倒序得：S n=a n+a n-1+a n-2+…+a1② ①+②得：2S n=(a1+a n)+(a2+a n-1)+(a3+a n-2)+…+(a n+a1) 又∵a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1 ∴2S n=n(a2+a n) S n=n(a1+a n)/2 点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。 二.用公式法求数列的前n项和 对等差数列、等比数列，求前n项和S n可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

数列通项公式和前n项和求解方法

数列通项公式的求法详解 关键是找出各项与项数n 的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2）K ,1716 4,1093 ,542,21 1（3） K ,52,21,32 ,1（4）K ,5 4 ,43,32,21-- 答案：（1）110-=n n a （2）;1 22++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1)1(1+? -=+n n a n n . 公式法1：特殊数列 例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2 ，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，求数列{ a n }和{ b n }的通项公式。 答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 答案：(D) 例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<