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集合的基本关系及运算(基础)

集合的基本关系及运算 A

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义．

2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

学习策略：

数形结合思想，如常借助于数轴、维恩图解决问题；分类讨论的思想，如一元二次方程根的讨论．

二、学习与应用

“凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对

知识回顾——复习

学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

1．集合元素的特征

性、性、性.

2．元素与集合的关系：

(1)如果a是集合A的元素，就说a A，记作a

(2)如果a不是集合A的元素，就说a A，记作a

3．集合的分类

(1)空集：元素的集合称为空集(empty set)，记作：.

(2)有限集：元素的集合叫做有限集.

(3)

无限集：元素的集合叫做无限集.

4．常用数集及其表示

非负整数集(或自然数集)，记作

正整数集，记作 *或 +

整数集，记作

有理数集，记作

实数集，记作

要点一：集合之间的关系

1.集合与集合之间的“包含”关系

集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 集合A ；

子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，

称集合A 是集合B 的子集(subset).记作：，当集合A 不包含于集合B 时，记作，

用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)??或

要点诠释：

（1）“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素，

即由任意的x A ∈，能推出x B ∈．

（2）当A 不是B 的子集时，我们记作“A ?B (或B ?A )”，

读作：“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ”）．

真子集：若集合A B ，存在元素x B 且x A ，则称集合A 是集合B

的真子集(proper subset).记作： (或 )

规定：空集是任何集合的集，是任何非空集合的集.

2.集合与集合之间的“相等”关系

A B B A ??且，则A 与B 中的元素是一样的，因此A B

要点梳理——预习和课堂学习

认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听

课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源

ID ：#3072#388901

要点诠释：任何一个集合是它本身的集.

要点二：集合的运算

1.并集

一般地，由所有属于集合A 集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的

并集，记作：A B 读作：“A 并B”，即：A ∪B={x| }

Venn 图表示：

要点诠释：

（1）“x ∈A ，或x ∈B ”包含三种情况：“,x A x B ∈?但”；“,x B x A ∈?但”；

“,x A x B ∈∈且”．

（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的

集合(重复元素只看成一个元素).

2.交集

一般地，由属于集合A 属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集；

记作：A B ，读作：“A 交B”，即A∩B={x| }；交集的Venn 图表示：

要点诠释：

（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B

没有交集，而是A B =?I ．

（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A ∩B 中的任意元素都是A 与B 的公共元素”，

同时“A 与B 的公共元素都属于A ∩B ”．

（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合.

3.补集

全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个

集合为全集，通常记作U.

补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有集合A 的所有元素组成的

集合称为集合A 相对于全集U 的补集(complementary set)，简称为集合A 的补集，

记作：

U U

A A={x|}

；即；

_________

痧补集的Venn图表示：

要点诠释：

（1）理解补集概念时，应注意补集

e是对给定的集合A和()

U A U

?相对而言的

一个概念，一个确定的集合A，对于不同的集合U，补集不同．

（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z为全集；而当问题扩展到实数集时，则R为全集，这时Z就不是全集．

（3）

e表示U为全集时A的补集，如果全集换成其他集合（如R）时，则记号中“U”

也必须换成相应的集合（即

e）．

4.集合基本运算的一些结论

A B A A B B A A=A A=A B=B A

??????????

，，，，

A A

B B A B A A=A A=A A B=B A

?????????

，，，，

U U

(A)A=U(A)A=

???

，

痧

若A∩B=A，则A B

?，反之也成立

若A∪B=B，则A B

?，反之也成立

若x∈(A∩B)，则x∈A且x∈B

若x∈(A∪B)，则x∈A，或x∈B

求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与

并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去

揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想

方法.

类型一：集合间的关系

例1．请判断①0{0} ；②{}

∈

R R；③{}

?∈?；④?{}?；⑤{}0

?=；

典型例题——自主学习

认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完

成举一反三．课堂笔记或者其它补充填在右栏．更多精彩内容请学习网校资源ID：

#3079#388901

⑥{}0∈?；⑦{}0?∈；⑧?

{}0，正确的有哪些？

【解析】

【总结升华】

举一反三：

【变式1】用适当的符号填空：

(1) {x||x|≤1} {x|x 2≤1}；

(2){y|y=2x 2} {y|y=3x 2-1}；

(3){x||x|>1} {x|x>1}；

(4){(x ，y)|-2≤x≤2} {(x ，y)|-1

【答案】

【总结升华】

例2. 写出集合{a ，b ，c}的所有不同的子集.

【解析】

【总结升华】

举一反三：

【变式1】已知{},?a b A

{},,,,a b c d e ，则这样的集合A 有

个.

【答案】

【变式2】同时满足：①{}1,2,3,4,5?M ；②∈a M ，则6-∈a M 的非空集

合M 有（）

A. 16个

B. 15个

C. 7个

D. 6个

【答案】

【解析】

【变式3】已知集合A={1，3，a}， B={a 2}，并且B 是A 的真子集，求实数a 的取值.

【解析】

注意：根据集合元素的互异性，需分类讨论.

例3．设M={x|x=a 2+1，a ∈N +}，N={x|x=b 2-4b+5，b ∈N +}，则M 与N 满足( )

A. M=N

B. M N

C. N M

D. M∩N=?

【解析】

例4．已知{,,},{0,,},=-=M x xy x y N x y 若M =N ，则2()(+++x y x 2100100)()+++L y x y = ．

A ．－200

B ．200

C ．－100

D ．0

【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性．

【答案】

【解析】

【总结升华】

举一反三：

【变式1】设a ，b ∈R ，集合b {1,a+b,a}={0,,b}a

，则b-a=( )

【答案】

【解析】

类型二：集合的运算

例5. （1）已知集合M={y|y=x 2-4x+3，x ∈R }，N={y|y=-x 2+2x+8，x ∈R }，则

M∩N 等于( )。

A. ?

B. R

C. {-1，9}

D. [-1，9]

（2）设集合M={3，a}，N={x|x 2-2x<0，x ∈Z}，M∩N={1}，则M ∪N 为( )。

A. {1，2，a}

B. {1，2，3，a}

C. {1，2，3}

D. {1，3}

【思路点拨】（1）先把集合M 、N 进行化简，在利用数轴进行相应的集合运算．（2）先把

集合N 化简，然后再利用集合中元素的互异性解题．

【答案】

【解析】

举一反三：

【变式1】设A、B分别是一元二次方程2x2+px+q=0与6x2+(2-p)x+5+q=0的解集，

且A∩B={1

}，求A∪B.

【答案】

【解析】

【变式2】设集合A={2，a2-2a，6}，B={2，2a2，3a-6}，若A∩B={2，3}，求A∪B. 【答案】

【解析】

例6. 设全集U={x ∈N +|x≤8}，若A∩(C u B)={1，8}，(C u A)∩B={2，6}，

(C u A)∩(C u B)={4，7}，求集合A ，B.

【答案】

【解析】

类型三：集合运算综合应用

例7．已知全集A={x|-2≤x≤4}， B={x|x>a}.

（1）若A∩B≠?，求实数 a 的取值范围；

（2）若A∩B≠A ，求实数a 的取值范围；

（3）若A∩B≠?且A∩B≠A ，求实数a 的取值范围；

【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点.

【答案】

【解析】

【总结升华】

举一反三：

【变式1】已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是（）

A ．(-∞, -1]

B ．[1, +∞）

C ．[-1，1]

D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞）【答案】

【解析】

例8. 设集合{}{}

222|40,|2(1)10,=+==+++-=∈A x x x B x x a x a a R .

（1）若=I A B B ，求a 的值；

（2）若=U A B B ，求a 的值.

【思路点拨】明确A B I 、A B U 的含义，根据的需要，将其转化为等价的关系式B A ?和A B ?，是解决本题的关键.同时，在包含关系式B A ?中，不要漏掉B =?的情况.

【答案】

【解析】

【总结升华】

举一反三：

【变式1】已知集合{}{}

222,|120=-=++-=A B x x ax a ，若=I A B B ,求实数a 的取值范围.

【答案】

【解析】

三、测评与总结

要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力．

成果测评

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知识点：集合的基本关系及运算

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自我反馈

学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整

理．如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流．

我的收获

注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录．

○网○校○重○要○资○源

知识导学：集合的基本关系及运算（基础）（#388901）

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对本知识的学案导学的使用率：

□ 好（基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等，使用率达到80%以上）

□ 中（使用本学案导学提供的资源、例题和笔记，使用率在50%-80%左右）

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学生：_______________ 家长：______________ 指导教师：_________________

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集合的表示方法测试题

第I卷（选择题）评卷人得分一、选择题已知集合A={a﹣2，2a2+5a，12}，﹣3∈A，则a的值为（） A．﹣1 B．C．D． 2. 集合{x∈N*|x﹣3＜2}的另一种表示法是（） A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5} 3. 集合{x∈N|x＜5}的另一种表示法是（） A．{1，2，3，4} B．{0，1，2，3，4} C．{1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4，5} 4. 下列集合中表示空集的是（） A．{x∈R|x+5=5} B．{x∈R|x+5＞5} C．{x∈R|x2=0} D．{x∈R|x2+x+1=0} 5. 下列各组对象中不能形成集合的是（） A．高一数学课本中较难的题 B．高二（2）班学生家长全体 C．高三年级开设的所有课程 D．高一（12）班个子高于的学生 6.设，集合，则（） A ．1B． C．2D．答案： C 7. 方程组的解集是（） A．（2，1）B．{2，1} C．{（2，1）} D．{﹣1，2} 8.集合{x∈N|x﹣3＜2}，用列举法表示是（） A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5} 9.设不等式3﹣2x＜0的解集为M，下列正确的是（） A．0∈M，2∈M B．0?M，2∈M C．0∈M，2?M D．0?M，2?M 10.已知集合A={1，2，3}，则B={x﹣y|x∈A，y∈A}中的元素个数为（）

A．9 B．5 C．3 D．1 11.若1∈{2+x，x2}，则x=（） A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．0 12.已知x∈{1，2，x2}，则有（） A．x=1 B．x=1或x=2 C．x=0或x=2 D．x=0或x=1或x=2 13. 下列四个集合中，是空集的是（） A．{?} B．{0} C．{x|x＞8或x＜4} D．{x∈R|x2+2=0} 14.已知A={x|3﹣3x＞0}，则有（） A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．﹣1?A 15.已知集合A={x|x2﹣1=0}，用列举法表示集合A=（）A．{1} B．{﹣1} C．（﹣1，1） D．{﹣1，1} 16.已知集合A={1，a，a﹣1}，若﹣2∈A，则实数a的值为( ) A．﹣2 B．﹣1 C．﹣1或﹣2 D．﹣2或﹣3 17.下列关系式中，正确的是( ) A．∈Q B．{（a，b）}={（b，a）} C．2∈{1，2} D．?=0 18.已知集合A={x∈N|x＜6}，则下列关系式错误的是( ) A．0∈A B．?A C．﹣1?A D．6∈A 19.设A={x∈Z||x|≤2}，B={y|y=x2+1，x∈A}，则B的元素个数是( ) A．5 B．4 C．3 D．2 20.下面四个命题正确的是（） A．10以内的质数集合是{0，2，3，5，7} B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2} C．方程x2﹣2x+1=0的解集是{1，1} D．0与{0}表示同一个集合 21.下面给出的四类对象中，构成集合的是（） A．某班个子较高的同学B．长寿的人 C．的近似值D．倒数等于它本身的数下列命题正确的是（） A．很小的实数可以构成集合 B．集合{y|y=x2﹣1}与集合{（x，y）|y=x2﹣1}是同一个集合 C．自然数集N中最小的数是1 D．空集是任何集合的子集 23.下面各组对象中不能形成集合的是（）

1.2集合间的基本关系及运算

集合间的基本关系及运算【知识要点】 1、子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集, 记作 A B 或 B A. 2、集合相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B,记作A=B 3、真子集：如果 A B,且A B,那么集合A称为集合B的真子集,A B . 4、设A S,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作C S A 5、元素与集合、集合与集合之间的关系 6、有限集合的子集个数 1 )n 个元素的集合有2n个子集 2)n 个元素的集合有2n-1 个真子集 3)n 个元素的集合有2n-1 个非空子集 4)n 个元素的集合有2n-2 个非空真子集 7、交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合叫A与B的交集，记作A Bo 8、并集：由所有属于集合A或属于B的元素构成的集合称为A与B的并集，记A B o 9 、集合的运算性质及运用知识应用】 1.理解方法：看到一个集合A里的所有元素都包含在另一个集合里B,那么A就是B的子集，也就是说集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由任意x A能推出x Bo 【J】例1.指出下列各组中集合A与集合B之间的关系 (1)A={-1,1} ，B=Z (2)A={1,3,5,15} ，B={x|x 是15的正约数} 【L】例 2.已知集合A={x|-2 x 5},B={x|m+1 x 2m-1},若B A,求实数m取值范围。

【C】例3.已知集合A {0,1,2,3}，至少有一个奇数，这样的集合A的子集有几个，请

高中数学必修一《集合与函数的概念》经典例题

高中数学必修一第一章《集合与函数概念》综合测试题试题整理：周俞江一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题, 每小题5分，共60分）. 1.已知全集}5,4,3,2{},3,2,1{==B A ，则=B A I ( ) A. }{5,4,3,2,1 B.{}3,2,1 C.{}3,2 D.{}7,6,3 2. 若{{}|0,|12A x x B x x =<<=≤<，则A Y B=( ) A ． {}|0x x ≤ B ．{}|2x x ≥ C ．{0x ≤≤ D ．{}|02x x << 3 .在下列四组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一函数的是（） A.x x y y ==,1 B ．1,112-=+?-=x y x x y C.55 ,x y x y == D ．2)(|,|x y x y == 4.函数x x x y +=的图象是（） 5.0≤f 不是映射的是A ．1:3f x y x ?? →= B ．1 :2 f x y x ??→= C ．1:4f x y x ??→= D ．1:6f x y x ??→= 6.函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是( )． A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 7.函数1)2(++=x k y 在实数集上是增函数，则k 的范围是（） A ．2-≥k B ．2-≤k C ．2->k D ．2-

9.有下面四个命题： ①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称； ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )．其中正确命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10.图中阴影部分所表示的集合是（） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 11.若函数))(12()(a x x x x f -+= 为奇函数，则=a ( ) A.21 B.32 C.43 D.1 12.已知函数x x x x f 22 11)11(+-=+-，则函数)(x f 的解析式可以是（） A.x x 21+ B.x x 212+- C.x x 212+ D.x x 21+- 13.二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是x ＝2，则有( )． A ．f (1)＜f (2)＜f (4) B ．f (2)＜f (1)＜f (4) C ．f (2)＜f (4)＜f (1) D ．f (4)＜f (2)＜f (1) 14.已知函数[](]?????∈--∈-=5,2,32,13)(,2x x x x f x 则方程1)(=x f 的解是（） A.2或2 B.2或3 C.2或4 D.±2或4 15.函数()f x 的定义域为),(b a ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x --<，则()f x 在),(b a 上是 A ．增函数 B ．减函数

集合运算练习题.docx

..... 集合的运算练习题 1、下列命题：（ 1 ）空集没有子集；（ 2 ）任何集合至少有两个子集；（ 3 ）空集是任何集合的真子≠集；（ 4）若 A ，则 A，其中正确的有（） A． 0 个B． 1 个C． 2 个 D ．3 个 2、集合 A{ x | 0x 3 且 x N } 的真子集的个数为（） A． 16B． 8C． 7 D ． 4 3、设集合 A{1,2}, B{ 1,2,3}, C{ 2,3,4} ，则 ( A B) C 等于（） A． {1 ，2 ， 3}B．{1 ， 2 ， 4}C． {2 ， 3，4} D ． {1 ， 2 ， 3 ，4} 4、设集合 A{ x | x 2k, k N }, B{ x | x3k, k N ) ，则A B （） A．{ x | x 5k , k N }B．{ x | x 6k, k N } C．{ x | x 2k, k N }D．{ x | x 3k ,k N } 5 、已知M{ x R | x22}, a，有下列四个式子：① a M ；②{a}M ；③ a M ； ④ { a}M，其中正确的是（） A．①②B．①④C．②③ D ．①②④ 6、设集合 A{ x x Z且 10x1} ， B{ x x Z且x5} ，则 A U B 中元素的个数是（） A． 11B． 10C． 16 D ． 15 7、设 A { x 1x2} ， B{ x x a} ，若 A B ，则a的取值范围是（） A．a 2B．a 1C．a 1 D ．a 2 8、集合 {2 a, a2a} 中 a 的取值范围是（） A．{ a R a 0或a 3}B．{ a R a 0} C．{ a R a 0且a 3} D ．{ a R a 3} 9 、设集合A{( x, y) y ax1}， B {( x, y) y x b}且 A I B ={(2,5)}，则（） A．a3,b2B．a2, b3C．a3,b2 D ．a2, b3 10 ．下列表述中错误的是（） A．若A B ,则 A B A B．若A B B ,则 A B C． ( A B ) A （A B ） D ．? U(A∩B)= ( ? U A) ∪(? U B) 11 、若集合 A={-2,2,3,4}， B={ x x t 2 , t A }，用列举法表示B=. 12 、已知集合 A={1,2,3} ， B={ x x2ax 1 0,a A }，则A B B 时a的值是则 (C U A)B .13 、设集合A{ x Z | x3} ， B { x Z | x 2} ，全集U=Z，.

集合之间的关系与运算

集合之间的关系与运算一、知识回顾 1、集合间的关系：①子集：若集合A的元素都属于集合B，称A是B的子集，记为。 ②若A?B，这个式子有两层意思，即且 ③相等 2、空集：，记为 3、集合的运算：{| A B x = U}，A B= I{x| } 若U为全集，则集合A相对于U的补集，记为C U A=｛x| ｝二、例题： 1、判断下列说法是否正确，对的打“√”错的打“×” （1）{0}＝?；（2）０∈?；（3）??{0} （4）} , { } {b a a∈ 2、设U={|x x是小于9的正整数}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，则A B= U， A B= I，C U A= ，() U A C B= I 3、设集合A={|12} x x -<<，集合B={|13} x x <<，则A B= U，A B= I， R C A= 4、设S={|x x是平行四边形或梯形}，A={|x x是平行四边形}，B={|x x是菱形}， C={|x x是矩形}，则B C= I，C S A= 5、若C=}1 2 ) , {(= -y x y x，D=}5 4 ) , {(= +y x y x，则C∩D= 6、若} , 6 { }, , 3 {N m m x x N N k k x x M∈ = = ∈ = =,则N M,的关系为（） A、N M?B、N M=C、M N?D、N M? 7、集合{,} a b的真子集个数为（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 8．已知全集U={2，4，1-a}，A={-1}，C U A={2，2 2+ -a a},则实数a= 9. 已知U＝R，A＝｛x|－1≤x≤3｝，B＝｛x|x－a＞0｝． A B A B

高中数学必修一集合的基本运算教案

数学汇总第一章集合与函数概念教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。教学重点：集合的交集与并集、补集的概念；教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”；【知识点】 1. 并集一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ）记作：A ∪B 读作：“A 并B ” 即： A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B} Venn 图表示：说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。问题：在上图中我们除了研究集合A 与B 的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A 与B 的交集。 2. 交集一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ）。记作：A ∩B 读作：“A 交B ” 即： A ∩B={x|∈A ，且x ∈B} 交集的Venn 图表示说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合。拓展：求下列各图中集合A 与B 的并集与交集 A B A(B) A B B A A ∪B B A ?

说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，不能说两个集合没有交集 3. 补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U 。补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）,简称为集合A 的补集，记作：C U A 即：C U A={x|x ∈U 且x ∈A} 补集的Venn 图表示 A U C U A 说明：补集的概念必须要有全集的限制 4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且” 与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。 5. 集合基本运算的一些结论： A ∩ B ?A ，A ∩B ?B ，A ∩A=A ，A ∩?=?,A ∩B=B ∩A A ?A ∪B ，B ?A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪?=A,A ∪B=B ∪A （ C U A ）∪A=U ，（C U A ）∩A=? 若A ∩B=A ，则A ?B ，反之也成立若A ∪B=B ，则A ?B ，反之也成立若x ∈（A ∩B ），则x ∈A 且x ∈B 若x ∈（A ∪B ），则x ∈A ，或x ∈B ¤例题精讲：【例1】设集合,{|15},{|39},,()U U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<< 求e. 解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}A B x x =<≤ ， (){|1,9U C A B x x x =<-≥ 或，【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求：（1）()A B C ；（2）()A A B C e. 解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------ . （1）又{}3B C = ，∴()A B C = {}3；（2）又{}1,2,3,4,5,6B C = ， A B B A -1 3 5 9 x

第1章高中数学必修1--集合与函数基础知识讲解

§1．1集合 ¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素及集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. （一）集合的有关概念 ⒈定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。 2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 4.元素及集合的关系：(元素及集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。 5.常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集. 整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R； 6.关于集合的元素的特征 ⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明” （造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.

⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2} ⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 7.元素及集合的关系：(元素及集合的关系有“属于∈”及“不属于?”两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4?A，等等。练：A={2，4，8，16}，则一、集合的表示方法 ⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法。如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；说明：⑴书写时，元素及元素之间用逗号分开；⑵一般不必考虑元素之间的顺序； ⑷集合中的元素可以为数，点，代数式等；⑸列举法可表示有限集，也可以表示无限集。 ⑹含有较多元素的集合，列举法表示时，把元素间的规律显示清楚后用省略号，正整数N*={} 1,2,3,4,5,...... ⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。。方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。一般格式：{} ∈ () x A p x 如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x|直角三角形}，…；

集合的并、交、补集测试题(含答案)

集合的并、交、补集一、单选题(共12道，每道8分) 1.设集合，，则=( ) A.{0} B.{0，2} C.{-2，0} D.{-2，0，2} 答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：并集及其运算 2.若集合，，则=( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：交集及其运算 3.已知集合，，若={2，5}，则a+b的值为( ) A.10 B.9 C.7 D.4 答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：交集及其运算 4.设集合，，若，则a的值为( ) A.0 B.1 C.-1 D.±1 答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：交集及其运算 5.已知全集，集合，则( )

A. B. C. D. 答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：补集及其运算 6.若集合，集合，则( ) A.) B. C. D. 答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：补集及其运算 7.设集合，，则满足的集合有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：交集及其运算 8.满足，且的集合M有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：子集与真子集 9.若，则满足条件的集合共有( )个． A.1 B.2 C.3 D.4 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：并集及其运算 10.如图，U是全集，A，B，C是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：试题难度：三颗星知识点：Venn图表达集合的关系及运算 11.已知全集，，那么下列结论中不成立的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：

第1讲必修1第一章集合的基本含、集合间的基本关系以及基本运算-学生版

新知三：子集、真子集、空集 ①如果集合A B ?，并且存在元素x B ∈且x A ?，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作：A B 。 ②不含任何元素的集合叫做空集，记作?，并规定：空集是任何集合的子集。 ★例3：写出集合{1,0,1}-的所有子集，并指出哪些是它的真子集. ★★变式3：已知集合{}{}1,21,2,3,4,5P ??，那么满足条件的集合P 的个数是（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【点评】若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -，非空子集有21n -个，非空真子集有22 n -个。 ★★例4：已知集合{13}A x x =-≤≤，2{,}B y y x x A ==∈，{2,}C y y x a x A ==+∈，若满C B ?足，求实数a 的取值范围。 ★变式4：集合{}1,2,3,4A =，2{0}B x N x a =∈-=，若满足B A ?，求实数a 的值组成的集合。 ★★例5：已知集合A ={|25}x x -<≤，{|121}B x m x m =+-≤≤且B A ?，求实数m 的取值范围。 ★★变式5：若集合{} 2|20M x x x =--=，{}|10N x ax =-=，且N M ?，求实数a 的值。【点评】当出现“A B ?”这一关系时，首先是讨论A 有没有可能为空集，因为A =? 时满足A B ?。【考点3】集合的新定义问题 ★★例6 若集合A 具有以下性质： (Ⅰ)0∈A,1∈A ；(Ⅱ)若x ∈A ，y ∈A ，则x －y ∈A ，且x ≠0时，1 x ∈A .

集合与函数知识点归纳

集合与函数板块公式 1.集合的运算: (1)交集:A x x B A ∈=|{ 且}B x ∈,即集合B A ,的所有公共元素构成的集合. (2)并集:A x x B A ∈=|{ 或}B x ∈,即集合B A ,的所有元素构成的集合. (3)补集:?U ∈=x x A |{U 且}A x ?,即除A 中元素需补充的所有元素的集合. 2.集合中的关系: (1)元素与集合的关系:属于或不属于关系.(∈或?) (2)集合与集合关系:A 是B 的子集记为B A ?.(开口朝范围大的集合) (3)含有n 个元素的子集有n 2个,真子集有12-n 个,非空真子集有22-n 个. 3.集合表示法:列举法、描述法、区间法、特殊字母(Venn 图象法、数轴表示) 4.常用函数定义域的求法(结果用集合的表示方法表示) (1))(x f y =,0)(≥x f (2))(log x f y a =,0)(>x f (3))()(x g x f y = ,0)(≠x g (4))(tan x f y =,∈+≠k k x f (,2 )(π π)Z 5.函数的单调性 (1)定义法: ①增函数:任意D x x ∈21,且21x x <,都有)()(21x f x f < ②减函数:任意D x x ∈21,且21x x <,都有)()(21x f x f > (2)定义法变形: ①)(x f 增函数? 0)]()()[(0) ()(2121212 1>--?>--x f x f x x x f x f x x ②)(x f 减函数? 0)]()()[(0) ()(2121212 1<--?<--x f x f x x x f x f x x (3)图象法: ①增函数图象上升; ②减函数图象下降 (4)导数法: ①增函数(增区间):令0)('>x f 解得x 的范围为增区间 ②减函数(减区间):令0)('a 为增函数; ②0