第四章 信息率失真函数练习题
高考数学异构异模复习第四章三角函数4.4.2解三角形及其综合应用撬题文
2018高考数学异构异模复习考案 第四章 三角函数 4.4.2 解三角形 及其综合应用撬题 文 1．钝角三角形ABC 的面积是1 2，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( ) A ．5 B. 5 C ．2 D ．1 答案 B 解析 由题意知S △ABC ＝1 2AB ·BC ·sin B ， 即12＝12×1×2sin B ，解得sin B ＝22. ∴B ＝45°或B ＝135°. 当B ＝45°时，AC 2 ＝AB 2 ＋BC 2 －2AB ·BC ·cos B ＝12 ＋(2)2 －2×1×2×2 2 ＝1. 此时AC 2 ＋AB 2 ＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意； 当B ＝135°时，AC 2 ＝AB 2 ＋BC 2 －2AB ·BC ·cos B ＝12 ＋(2)2 －2×1×2×? ?? ?? －22＝5，解得AC ＝ 5.符合题意．故选B. 2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋1 2，面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( ) A ．bc (b ＋c )>8 B ．ab (a ＋b )>16 2 C ．6≤abc ≤12 D．12≤abc ≤24 答案 A 解析 由sin2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋1 2得，sin2A ＋sin[A －(B －C )]＋sin[A ＋(B －C )]＝12，所以sin2A ＋2sin A cos(B －C )＝12.所以2sin A [cos A ＋cos(B －C )]＝1 2，所以 2sin A [cos(π－(B ＋C ))＋cos(B －C )]＝12，所以2sin A [－cos(B ＋C )＋cos(B －C )]＝1 2 ， 即得sin A sin B sin C ＝18.根据三角形面积公式S ＝1 2 ab sin C ，① S ＝12ac sin B ，② S ＝12 bc sin A ，③ 因为1≤S ≤2，所以1≤S 3≤8.将①②③式相乘得1≤S 3 ＝18a 2b 2c 2sin A sin B sin C ≤8，即 64≤a 2b 2c 2 ≤512，所以8≤abc ≤162，故排除C ，D 选项，而根据三角形两边之和大于第三
第四章_信息率失真函数-习题答案
4.1 一个四元对称信源? ?????=??????4/14/1324/14/110)(X P X ，接收符号Y = {0, 1, 2, 3}，其失真矩阵为????? ???????0111 101111011110，求D max 和D min 及信源的R(D)函数，并画出其曲线（取4至5个点）。 解： 0041041041041),(min )(43041141141141),()(min min min max =?+?+?+?===?+?+?+?===∑∑i j i j i i j i i j j y x d x p D y x d x p D D 因为n 元等概信源率失真函数： ?? ? ??-??? ??-+-+=a D a D n a D a D n D R 1ln 11ln ln )( 其中a = 1, n = 4, 所以率失真函数为： ()()D D D D D R --++=1ln 13 ln 4ln )( 函数曲线： D 其中： symbol nat D R D symbol nat D R D symbol nat D R D symbol nat R D /0)(,4 3/12ln 2 14ln )(,21/3 16ln 214ln )(,41/4ln )0(,0==-==-==== 4.2 若某无记忆信源??????-=??????3/113/13/101)(X P X ，接收符号??????-=21,21Y ，其失真矩阵???? ??????=112211D 求信源的最大失真度和最小失真度，并求选择何种信道可达到该D max 和D min 的失真度。
复变函数复习题
复变函数复习题（2012-4-10） 第一章自测题 (一)填空题（每题3分，共15分） 1．复数10 3 (cos5sin 5)(cos3sin 3)i z i θθθθ+=-的复指数表示式为__________________; 2．设11i z i += -，则1005025____________________;z z z ++= 3．设35,arg(),4 z z i π =-=则______________;z = 4．不等式225z z -++<所表示的区域是_____________________; 5．方程232z i +-=所代表的曲线是__________________________. （二）选择题（每题3分，共15分） 1．设34,z i =-+则幅角的主值arg ( )z 4 4 .arctan .arctan 33 4 4 .arctan .arctan 3 3 A B C D π π π +-+- 2．41( )-= 22222 2 2 2 .cos sin .cos sin 4 4 4 4 33222222 2 2 .cos sin .cos sin 44 4 4 k k k k A i B i k k k k C i D i π π π π πππππππ π ππ ππ++- +- +++++-+- ++- (0,1,2,3)k = 3．设(i z t t t =+为参数)，则其表示( )图形。 .A 直线； .B 双曲线； .C 圆； . D 抛物线。 4．一个向量顺时针旋转 ,3 π 向右平移3个单位，再向下平移1个单位后对应的复数为13i -，
三角函数习题及答案
第四章 三角函数 §4-1 任意角的三角函数 一、选择题： 1．使得函数lg(sin cos )y θθ=有意义的角在（ ） （Ａ）第一，四象限 （Ｂ）第一，三象限 （Ｃ）第一、二象限 （Ｄ）第二、四象限 ２．角α、β的终边关于У轴对称，（κ∈Ζ）。则 （Ａ）α＋β＝２κπ （Ｂ）α－β＝２κπ （Ｃ）α＋β＝２κπ－π （Ｄ）α－β＝２κπ－π ３．设θ为第三象限的角，则必有（ ） （Ａ）tan cot 2 2 θ θ （Ｂ）tan cot 2 2 θ θ （Ｃ）sin cos 2 2 θ θ （Ｄ）sin cos 2 2 θ θ ４．若4 sin cos 3 θθ+=-，则θ只可能是（ ） （Ａ）第一象限角 （Ｂ）第二象限角 （C ）第三象限角 （Ｄ）第四象限角 ５．若tan sin 0θθ 且0sin cos 1θθ+ ，则θ的终边在（ ） (A)第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 二、填空题： 6．已知α是第二象限角且4sin 5α= 则2α是第▁▁▁▁象限角，2 α 是第▁▁▁象限角。 7．已知锐角α终边上一点A 的坐标为（2sina3,-2cos3）,则α角弧度数为▁▁▁▁。 8．设1 sin ,(,)sin y x x k k Z x π=+ ≠∈则Y 的取值范围是▁▁▁▁▁▁▁。 9．已知cosx-sinx<-1，则x 是第▁▁▁象限角。 三、解答题： 10．已知角α的终边在直线y =上，求sin α及cot α的值。 11．已知Cos(α+β)+1=0, 求证：sin(2α+β)+sin β=0。 12．已知()()cos ,5n f n n N π +=∈，求?（1）+?（2）+?（3）+……+?（2000）的值。 §4-2 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 一、选择题： 1．()sin 2cos 22ππ?? --- ??? 化简结果是（ ） （A ）0 （B ）1- （C ）2sin 2 ()2s i n 2 D - 2．若1 sin cos 5 αα+= ，且0απ ，则tan α的值为（ ） ()43A - ()34B - ()34C ()43D -或34 - 3. 已知1sin cos 8αα=，且42 ππ α ，则cos sin αα-的值为（ ）
复变函数期末考试分章节复习题
第一章复习题 1. 设z=1+2i ，则Im z 3=（ ） A. -2 B. 1 C. 8 D. 14 2. z=2-2i ，|z 2 |=（ ） A. 2 B. 8 C. 4 D. 8 3. z=(1+cost)+i(2+sint),0≤t<2π所表示的曲线为（ ） A.直线 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 4. 设z=x+iy,则（1+i ）z 2的实部为（ ） A.x 2-y 2+2xy B.x 2-y 2-2xy C.x 2+y 2+2xy D.x 2+y 2-2xy 5. arg(2-2i)=（ ） A.43π- B.4π- C.4π D.4 3π 6．设2,3z w i z =+=,则（ ） A ．3 arg π = w B ．6 arg π = w C ．6 arg π - =w D ．3 arg π - =w 7．设z 为非零复数，a ,b 为实数，若ib a z z +=_ ，则a 2+b 2的值（ ） A ．等于0 B ．等于1 C ．小于1 D ．大于1 8．设1 1z i = -+，则z 为（ ） A ．21i +- B ．21i -- C ．21i - D ．21i + 9. 设z=x+iy ，则|e 2i+2z |=（ ） A. e 2+2x B. e |2i+2z| C. e 2+2z D. e 2x 10. Re(e 2x+iy )=（ ） A. e 2x B. e y C. e 2x cosy D. e 2x siny 11. 包含了单位圆盘|z|<1的区域是（ ） A.Re z<-1 B.Re z<0 C.Re z<1 D.Im z<0 12. 复数方程z=3t+it 表示的曲线是（ ） A.直线 B.圆周 C.椭圆 D.双曲线 13 .下列集合为无界多连通区域的是（ ） A.0<|z-3i|<1 B.Imz>π C.|z+ie|>4 D.π<<π2z arg 2 3 14.复数方程z=cost+isint 的曲线是（ ） A.直线 B.圆周 C.椭圆 D.双曲线 15.下列集合为有界单连通区域的是（ ） A.0<|z-3|<2 B.Rez>3 C.|z+a|<1 D. π≤<πargz 2 1 16．下列集合为有界闭区域的是（ ） A ．0< arg (z+3)≤ 2 π B ．Re (z-i)<1 C ．1≤Imz ≤2 D ． 1≤||z i -≤4
第四章 信息率失真函数-习题答案
4.1 一个四元对称信源? ?????=??????4/14/1324/14/110)(X P X ，接收符号Y = {0, 1, 2, 3}，其失真矩阵为????? ???????0111 101111011110，求D max 和D min 及信源的R(D)函数，并画出其曲线（取4至5个点）。 解： 0041041041041),(min )(43041141141141),()(min min min max =?+?+?+?===?+?+?+?===∑∑i j i j i i j i i j j y x d x p D y x d x p D D 因为n 元等概信源率失真函数： ?? ? ??-??? ??-+-+=a D a D n a D a D n D R 1ln 11ln ln )( 其中a = 1, n = 4, 所以率失真函数为： ()()D D D D D R --++=1ln 13 ln 4ln )( 函数曲线： D 其中： sym bol nat D R D sym bol nat D R D sym bol nat D R D sym bol nat R D /0)(,4 3/12ln 2 14ln )(,21/3 16ln 214ln )(,41/4ln )0(,0==-==-==== 4.2 若某无记忆信源??????-=??????3/113/13/101)(X P X ，接收符号??????-=21,21Y ，其失真矩阵???? ??????=112211D 求信源的最大失真度和最小失真度，并求选择何种信道可达到该D max 和D min 的失真度。 4.3 某二元信源??????=??????2/12/110)(X P X 其失真矩阵为?? ????=a a D 00求这信源的D max 和D min 和R(D)
2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4_3三角函数的图像与性质教师用书文北师大版
2018版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.3 三角 函数的图像与性质教师用书 文 北师大版 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π 2， －1)，(2π，0)． 余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1)，(π 2，0)，(π，－1)， ( 3π 2 ，0)，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 图像 定义域 R R {x |x ∈R 且x ≠π 2 ＋ k π，k ∈Z } 值域 [－1,1] [－1,1] R 单调性 在[－π2＋2k π，π2 ＋ 2k π](k ∈Z )上是增加的； 在[π2＋2k π，3π 2＋ 2k π](k ∈Z )上是减少的 在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上是增加 的； 在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上是减少的 在(－π2＋k π，π 2 ＋ k π)(k ∈Z )上是增加 的 最值 当x ＝π 2＋2k π(k ∈Z )时， y max ＝1； 当x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1； 当x ＝π＋2k π(k ∈Z )
【知识拓展】 1．对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是1 4 个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π 2＋k π(k ∈Z )； (2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )． 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × ) (2)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( √ ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin |x |是偶函数．( √ ) (6)若sin x > 22，则x >π 4 .( × )
复变函数总练习题1
第一章练习题 1、已知方程i e z 31+=，则z Im 为 （ ） A. ln2 B. 32π C. ,...1,0,2±=k k π D. ,...1,0,23 ±=+k k ππ 2、设210z z ++=，则1173z z z ++= （ ） A.0 B. i C.－i D.1 3、设iy x z +=，则z w 1 =将圆周222=+y x 映射为 （ ） A ．通过0=w 的直线 B ．圆周2 1= w C ．圆周22=-w D ．圆周2=w 4、已知方程(1+2i)z=4+3i ，则z 为 ( ) A. 2+i B. -2+i C. 2-i D. -2-i 5、复数)3sin 3(cos z π πi +-=的三角形式是 ( ) A. 32sin 32cos ππi + B. 3sin 3cos ππi + C. 32sin 32cos ππ-+i D. 3sin 3cos ππ-+-i 6、方程1Re 2=z 所表示的平面曲线为 （ ） A.圆 B.直线 C.椭圆 D.双曲线 7、(1cos )(2sin ),02z t i t t π=+++≤≤所表示的曲线为 A. 直线 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 椭圆 8、点集{}:5E z i i +- 表示的图形是（ ） A.半平面 B.圆域 C.直线 D.点 9、下列集合为有界单连通区域的是（ ） A. 10<
第36-37课时：第四章 三角函数——数学巩固练习(4)
高三数学巩固练习题（四） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的答案填在后面的表格中） 1．已知4 (,0),cos ,tan 225 x x x π∈-==则 A ．247 B ．247- C ．724 D ．724- 2．函数R x y 是)0)(sin(π??≤≤+=上的偶函数，则?= A ．0 B ． 4 π C ． 2 π D ．π 3．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，方程()0f x =的解集为M ，且M 中有有限个元素，则 A ．M 可能是? B ．M 中元素个数是偶数 C.M 中元素个数是奇数 D.M 中元素个数可以是偶数，也可以是奇数 4．甲、乙两人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点后改为跑步，而乙则是先跑步到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B 地．又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，并且两人骑车速度均比跑步速度快．若某人离开A 地的距离S 与所用时间t 的函数关系可用图①~④中的某一个来表示，则甲、乙两人的图象只可能分别是 A ．甲是图①，乙是图② B ．甲是图①，乙是图④ C ．甲是图③，乙是图② D ．甲是图③，乙是图④ 5．等比数列{}n a 的首项11a =-,前n 项和为,n S 若 32 31 510=S S ，则公比q 等于 A ． 12 B ．1 2 - C ．2 D ．2- 6．=++++++++∞→)(lim 11413122242322n n n C C C C n C C C C A ．3 B ．3 1 C ． 6 1 D ．6 7．数列{}n a 的通项公式是32(1)(32) 2 n n n n n n a ----++--=()n N *∈，则 12lim()n n a a a →∞ +++ 等于
复变函数习题答案第4章习题详解
第四章习题详解 1． 下列数列{}n a 是否收敛？如果收敛，求出它们的极限： 1) mi ni a n -+= 11； 2) n n i a -?? ? ? ?+=21； 3) ()11++ -=n i a n n ； 4) 2i n n e a π-=； 5) 21i n n e n a π-= 。 2． 证明：??? ????≠==>∞<=∞→1111110a a a a a a n n ,,,,lim 不存在， 3． 判别下列级数的绝对收敛性与收敛性： 1) ∑∞ =1n n n i ； 2) ∑∞ =2n n n i ln ； 3) ()∑∞=+0856n n n i ； 4) ∑∞=0 2n n in cos 。 4． 下列说法是否正确？为什么？ 1) 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛；
2) 每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点； 3) 每一个在0z 连续的函数一定可以在0z 的邻域内展开成泰勒级数。 5． 幂级数()∑∞ =-02n n n z c 能否在0=z 收敛而在3=z 发散？ 6． 求下列幂级数的收敛半径： 1) ∑∞ =1n p n n z （p 为正整数）； 2) ()∑∞=12n n n z n n !； 3) ()∑∞=+01n n n z i ； 4) ∑∞=1n n n i z e π； 5) ()∑∞=-??? ??1 1n n z n i ch ； 6) ∑∞=??? ? ?1n n in z ln 。 7． 如果 ∑∞=0n n n z c 的收敛半径为R ，证明()∑∞=0n n n z c Re 的收敛半径R ≥。[提示：()n n n n z c z c 第四章信息率失真函数（第九讲） （2课时） 主要内容：（1）平均失真和信息率失真函数（2）离散信源和连续信源的R（D）计算重点：失真函数、平均失真、信息率失真函数R（D）、信息率失真函数的计算。 难点：信息率失真函数R（D）、信息率失真函数的计算。 作业：4、lo 说明：本堂课推导内容较多，枯燥平淡，不易激发学生兴趣，要注意多讨论用途。另外，注意，解题方法。多加一些内容丰富知识和理解。 §4-1引言 （一）引入限失真的必要性： 失真在传输中是不可避免的； 接收者（信宿）无论是人还是机器设备，都有一定的分辨能力与灵敏度，超过分辨能力与灵敏度的信息传送过程是毫无意义的； 即使信宿能分辨、能判别，但对通信质量的影响不大，也可以称它为允许范围内的失真； 我们的目的就是研究不同的类型的客观信源与信宿，在给定的Qos要求下的最大允许（容忍）失真D,及其相应的信源最小信息率R（D）. 对限失真信源，应该传送的最小信息率是R（D）,而不是无失真情况下的信源爛H（U）. 显然H（U）2R（D）. 当且仅当D=0时，等号成立； 为了定量度量D,必须建立信源的客观失真度量，并与D建立定量关系； R（D）函数是限失真信源信息处理的理论基础； （二）R（D）函数的定义 信源与信宿联合空间上失真测度的定义：d （见叩:t/xV^/r[0,oo） 其屮：u*U（单消息信源空I'可） v y eV （单消息信宿空间） 则有 万=Y工〃（吧 称7为统计平均失真，它在信号空I'可屮可以看作一类“距离”，它有性质 1〉= 0,当比=Vj 2〉min 〃（吧）=° 3〉05〃(比/匕)<00 对离散信源：i=j=l,2............. n , d(upj) = djj, 则有： d 」0,当；可(无失真) 厂］〉0,当iHj (有失真) 若取冷为汉明距离，则有： Jo,当i = j (无失真) 厂［1,当iHj (有失真) 对连续信源，失真可用二元函数d(u,v)表示。 推而广之，d(u,v)可表示任何用V 表达U 时所引进的失真，误差，损失，风险，甚至是 主观感觉 上的差异等等。 进一步定义允许失真D 为平均失真的上界: D>d =工=工工〃￡皿???对离散 ? ? ? ? 在讨论信息率失真函数时，考虑到信源与信宿之I'可有一个无失真信道，称它为试验信 道，对离散信源可记为p 〃，对限失真信源这一试验信道集合可定义为： P D =\P ji -D>d = YLP ：P J^ 根据前面在互信息中已讨论过的性质: 1(U\ I,p ；j\ 且互信息是门的上凸函数，其极限值存在且为信道容量：C = max/(卫: p< ? 这里，我们给出其对偶定义： R(D)= mi 1Y U # ) m"pQp2,_ D P j f P D 陆 j i P D 即互信息是◎的下凸函数。其极限值存在且为信息率失真函数。 它还存在下列等效定义： D(R) = minD>d =工工门叽 < P 泸 P R i J P R = {? : /(t/；V) < R (给定速率)} 称D(R)为失真信息率函数，是R(D)的逆函数，它是求在允许最大速率情况下的最大 失真Do 至此，我们已给定R(D)函数一个初步描述。 则有: d(u. v)= (w-仍 H = \u-v 第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z 习题四 1. 复级数1 n n a ∞=∑与1 n n b ∞=∑都发散,则级数1 ()n n n a b ∞ =±∑和 1 n n n a b ∞ =∑发散.这个命题是否成立?为什 么? 答.不一定．反例: 2211111111 i ,i n n n n n n a b n n n n ∞∞∞∞ =====+=-+∑∑∑∑发散 但2 1 1 2()i n n n n a b n ∞ ∞ ==+=? ∑∑收敛 112()n n n n a b n ∞ ∞ ==-=∑∑发散 2411 11 [()]n n n n a b n n ∞∞ ===-+∑∑收敛. 2.下列复数项级数是否收敛,是绝对收敛还是条件收敛? (1)2111i n n n +∞ =+∑ (2)115i ( )2n n ∞=+∑ (3) π 1 e i n n n ∞=∑ (4) 1i ln n n n ∞ =∑ (5) 0 cosi 2n n n ∞=∑ 解 (1) 21111 1i 1(1)i 1(1)i n n n n n n n n n n +∞ ∞∞===++-?-==+?∑∑∑ 因为11n n ∞ =∑发散,所以21 1 1i n n n +∞ =+∑发散 (2)11 15i (22n n n n ∞ ∞ ==+=∑∑发散 又因为15i 15lim()lim(i)0222 n n n n →∞ →∞+=+≠ 所以1 15i ()2n n ∞ =+∑发散 (3) πi 1 1e 1 n n n n n ∞ ∞===∑ ∑发散,又因为π11 1 ππcos isin e 1ππ(cos isin )i n n n n n n n n n n n ∞ ∞ ∞ ===+==+∑∑∑收敛,所以不绝对收敛. 九年级上数学第四章锐角三角函数测试题 一、 选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分) 1、 sin30°的值等于（）。 A 、2 1B 、22C 、23D 、1 2、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值、余弦值都（）。 A 、缩小2倍B 、扩大2倍C 、不变D 、不能确定 3、已知sin α= 2 3 ，且α为锐角，则α=（）。 A 、75°B 、60°C 、45°D 、30° 4、有一个角是30°的直角三角形，斜边为1cm ，则斜边上的高为（）。 A 、41cm B 、2 1C 、43D 、23 5.三角形在方格纸中的位置如图所示，则αcos 的值是（） 43345354 在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为（） A ． 55B ．25 5C ．12 D ．2 7.在Rt ABC ?中，∠C=90°，若12 5 tan = A ，则 B sin 的值是（） 135******** 12 如图所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡比（指 坡面的铅直高度BC 与水平宽度CA 的比）是1：3，堤高BC =5m ，则坡面AB 的长度是（） A ．10m B ．103m C ．15m D ．53m 9、等腰三角形底边长为10cm ，周长为36cm ，则底角的正弦值为（）。 A 、 185B 、165C 、1513D 、13 12 10.将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕， ∠BAE ＝30°，3AB =，折叠后，点C 落在AD 边上的 C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（） 3.2 C.3D.23 二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分) A B C D E C B F 提高测试（二） （一）选择题（每题3分，共30分） 1．“a ＝1”是“函数y ＝cos 2 ax －sin 2 ax 的最小正周期为 π ”的（ ）． （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【提示】 由于y ＝cos 2 ax －sin 2 ax ＝cos 2ax ，当a ＝1时，函数的最小正周期为π ，当a ＝－1时，函数的最小正周期也是π ，所以 a ＝1是函数的最小正周期为π 的充分而不必要条件． 【答案】（A ）． 【点评】本题考查倍角公式和三角函数的周期性以及充要条件的知识． 2．函数f （x ）＝M sin （ωx ＋?）（ω ＞0）在区间[a ，b ]上是增函数，且f （a ）＝－M ， f （b ）＝M ，则函数g （x ）＝M cos （ω x ＋?）在[a ，b ]上（ ）． （A ）是增函数 （B ）是减函数 （C ）可以取得最大值M （D ）可以取得最小值－M 【提示】 利用特殊值法，令M ＝ω ＝1，? ＝0，则有 f （x ）＝sin x ，g （x ）＝cos x ，同时a ＝－2π，b ＝2π，可见，g （x ）在[a ，b ]（即[－2π，2 π]）上既不是增函数，也不是减函数，但可以取得最大值1，故排除（A ）、（B ）、（D ）．本题也可以用作图法求解． 【答案】（C ）． 【点评】本题考查正弦函数、余弦函数的性质以及灵活运用这些知识解决问题的能力． 3．已知α 、β 是锐角三角形的两个内角，则下列各式中成立的是（ ）． （A ）cos α ＞sin β ，cos β ＞sin α （B ）cos α ＜sin β ，cos β ＜sin α （C ）cos α ＞sin β ，cos β ＜ sin α 高中数学第四章三角函数复习教案2 复习已知三角函数值求角1 第二教时 教材：复习已知三角函数值求角 目的：要求学生对反正弦、反余弦、反正切函数的认识更加深，并且能较正确的 根据三角函数值求角。 过程： 一、复习：反正弦、反余弦、反正切函数 已知三角函数值求角的步骤 二、例题： 例一、1?用反三角函数表示)2 3,(,65sin ππ∈-=x x 中的角x 2?用反三角函数表示)2 7,3(,5tan ππ∈=x x 中的角x 解：1?∵23π5)sin(-=-πx ∴)65arcsin(-=-πx ∴)6 5a r c s i n (--π=x 2?∵273π30π∴5arctan 3=π-x ∴5a r c t a n 3+π=x 例二、已知2 1)32cos(-=π+x ，求角x 的集合。解：∵21)32cos(-=π+x ∴)(3 2232Z k k x ∈π±π=π+ 由32232π+π=π+k x 得)(3 24Z k k x ∈π+π= 由3 2232π-π=π+k x 得)(24Z k k x ∈π-π= 故角x 的集合为},243 24|{Z k k x k x x ∈π-π=π+π=或例三、求3arctan 2arctan 1arctan ++的值。 解：arctan2 = α, arctan3 = β则tan α= 2，tan β= 3 且24π4π2132t a n t a n 1t a n t a n )t a n (-=?-+=βα-β+α=β+α而π3π 又arctan1 = 4 π∴3arctan 2arctan 1arctan ++= π例四、求y = arccos(sin x ), (3 23π≤≤π-x )的值域解：设u = sin x ∵3 23π≤≤π-x ∴123≤≤-u ∴65)a r c c o s (s i n 0π≤≤x ∴所求函数的值域为]6 4.1 一个四元对称信源，接收符号Y = {0, 1, 2, 3}，其失??????=??????4/14/1324/14/110)(X P X 真矩阵为，求D max 和D min 及信源的R(D)函数，并画出其曲线（取4至5个点）。????????????0111101111011110解： 0041041041041),(min )(43041141141141),()(min min min max =?+?+?+?===?+?+?+?===∑∑i j i j i i j i i j j y x d x p D y x d x p D D 因为n 元等概信源率失真函数：??? ??-??? ??-+-+=a D a D n a D a D n D R 1ln 11ln ln )(其中a = 1, n = 4, 所以率失真函数为： ()()D D D D D R --++=1ln 13ln 4ln )(函数曲线： D 其中：symbol nat D R D symbol nat D R D symbol nat D R D symbol nat R D /0)(,43/12ln 214ln )(,21/316ln 214ln )(,41/4ln )0(,0==-==-====4.2 若某无记忆信源，接收符号，其失真矩阵求信??????-=??????3/113/13/101)(X P X ??????-=21,21Y ??????????=112211D 源的最大失真度和最小失真度，并求选择何种信道可达到该D max 和D min 的失真度。 4.3 某二元信源其失真矩阵为求这信源的D max 和D min 和R(D)??????=??????2/12/110)(X P X ?? ????=a a D 00函数。解：0021021),(min )(202121),()(min min min max =?+?===?+?===∑∑i j i j i i j i i j j y x d x p D a a y x d x p D D 因为二元等概信源率失真函数：??? ??-=a D H n D R ln )(其中n = 2, 所以率失真函数为： ????????? ??-??? ??-+-=a D a D a D a D D R 1ln 1ln 2ln )(4.4 已知信源X = {0, 1}，信宿Y = {0, 1, 2}。设信源输入符号为等概率分布，而且失真函数，求信源的率失真函数R(D)。??????∞∞=1100D 4.5 设信源X = {0, 1, 2, 3}，信宿Y = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}。且信源为无记忆、等概率分布。失真函数定义为 证明率失真函数R(D)如图所示。???????∞ ======且且且且53,21 41,010),(j i j i j i y x d j i log22log2D 4.6 设信源X = {0, 1, 2}，相应的概率分布p (0) = p (1) = 0.4，p (2) = 0.2。且失真函数为)2,1,0,(10),(=???≠==j i j i j i y x d j i (1) 求此信源的R(D)； (2) 若此信源用容量为C 的信道传递，请画出信道容量C 和其最小误码率P k 之间的曲线关系。 4.7 设0 < α, β < 1, α + β = 1。试证明：αR(D’) +βR(D”) ≥ R(αD’ +βD”) 4.8 试证明对于离散无记忆N 次扩展信源，有R N (D) = NR(D)。其中N 为任意正整数，D ≥ D min 。 4.9 设某地区的“晴天”概率p (晴) = 5/6，“雨天”概率p (雨) = 1/6，把“晴天”预报为“雨天”，把“雨天”预报为“晴天”造成的损失为a 元。又设该地区的天气预报系统把“晴天”预报为“晴天”，“雨天”预报为“雨天”的概率均为0.9；把把“晴天”预报为“雨天”，把“雨天”预报为“晴天”的概率均为 第4章 锐角三角函数 一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 1．如图1，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝2，AC ＝3，则sin B 的值是( ) 图1 A.23 B.32 C.34 D.43 2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，当∠A 的度数不断增大时，cos A 的值的变化情况是( ) A ．不断变大 B ．不断减小 C ．不变 D ．不能确定 3．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝3 5，则tan B 的值为( ) A.43 B.45 C.54 D.34 4．若角α，β是直角三角形的两个锐角，则sin αcos β－tan α＋β2的值为( ) A ．0 B ．1 C ．1－ 2 D. 2 2 －1 5．如图2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 为线段AB 上一点，且AE ∶EB ＝4∶1，EF ⊥AC 于点F ，连接FB ，则tan ∠CFB 的值为( ) A. 33 B.2 33 C.5 33 D ．5 3 图2 图3 6．如图3，无人机在A 处测得正前方河流两岸B ，C 的俯角分别为α＝70°，β＝40°，此时无人机的高度是h ，则河流的宽度BC 为( ) A ．h ( 1tan50°－1 tan20° ) B ．h (tan50°＋tan20°) C ．h ????1tan40°－1tan70° D ．h ??? ?1tan70°＋1 tan40° 二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分) 7．已知α是锐角，且sin α＝5 13，那么cos(90°－α)＝________，tan α＝________． 8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝3 4，则cos B ＝________． 9．计算：sin 230°＋tan44°tan46°＋sin 260°＝________． 10．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，P 是第二象限内一点，连接OP .若OP 与x 轴的负半轴之间的夹角α＝50°，OP ＝13.5，则点P 到x 轴的距离约为________．(用科学计算器计算，结果精确到0.01) 11．如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD ⊥AB ，垂足为D ，则tan ∠BCD 的值是________米． 图4 图5 12．河堤横断面如图5所示，堤高BC ＝6米，迎水坡AB 的坡度为1∶3，则AB 的长为________． 13．如图6，在一笔直的海岸线l 上有A ，B 两个观测站，AB ＝2 km ，从A 处测得船C 在北偏东45°的方向上，从B 处测得船C 在北偏东22.5°的方向上，则船C 离海岸线l 的距离(即CD 的长)为________km. 图6 14．因为cos30°＝ 32，cos210°＝－3 2 ， 第四章习题详解 1．下列数列a是否收敛？如果收敛，求出它们的极限： n 1)a n 1 1 ni mi ； 2) a n n i 1； 2 3)a i n n1； n1 4) ni 2 a n e； 1ni a n e。 n 5)2 0,a1 2．证明：lim n a n 1 , , a a1 1 不存在，a1,a1 3．判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：n i 1) ；n n1 n i 2) ；ln n n2 3) 65i n 08 n； 4) n cos 02 n in 。 4．下列说法是否正确？为什么？ 1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛； 1 2)每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点； 3)每一个在z连续的函数一定可以在z 0的邻域内展开成泰勒级数。 5．幂级数 n c能否在z0收敛而在z3发散？ n z2 n0 6．求下列幂级数的收敛半径： 1) n1 n z p n （p为正整数）； 2 n! n 2)z ； n nn1 3) 1 n n iz； n0 4) i n ez； n n1 5) n1 i n chz1； n nz 6) 。ln in n1 7．如果 n c n z的收敛半径为R，证明 n Re的收敛半径R。[提示： c n z n n Re c n zcz] n n0n0 8．证明：如果 c n1 lim存在，下列三个幂级数有相同的收敛半径 nc n n c n z； c n1z n1 n1 ； n1 nc n z。 2 9．设级数c收敛，而 n c发散，证明 n n c n z的收敛半径为1。 n0n0n0 10．如果级数 n c n z在它的收敛圆的圆周上一点z0处绝对收敛，证明它在收敛圆所围的闭区域上绝对收n0 敛。 11．把下列各函数展开成z的幂级数，并指出它们的收敛半径： 1) 11 3 z ； 2) 11 z 22 ； 3) 2 cos z； 4)shz； 5)chz； 6)e 2 z sin； 2 z z 7) z1 e； 8) 1 sin。 1z 12．求下列各函数在指定点z处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半 径： 1) z z 1 1 ，z1； 2) z z 1z2 ，z2； 3 第四章 解析函数的幂级数表示方法 第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是： 111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数， ,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。按照|}{|n z 是有界或无界序列， 我们也称}{n z 为有界或无界序列。 设0z 是一个复常数。如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当 n>N 时 ε<-||0z z n , 那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作 0lim z z n n =+∞ →。 如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。 令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。由不等式 0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及 容易看出，0lim z z n n =+∞ →等价于下列两极限式： ,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞ →+∞ → 因此，有下面的注解： 注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。 注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于 0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个 邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z 在这个邻域内。 注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。 定义4.1复数项级数就是 12......n z z z ++++ 或记为1 n n z +∞ =∑，或n z ∑，其中n z 是复数。定义其部分和序列为： 12...n n z z z σ=+++ 如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是 σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作 1 n n z σ+∞ ==∑， 如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。 注1、对于一个复数序列{}n z ，我们可以作一个复数项级数如下 121321()()...()...n n z z z z z z z -+-+-++-+ 则序列{}n z 的敛散性和此级数的敛散性相同。 注2级数 n z ∑收敛于σ的N ε-定义可以叙述为： 0,0,,N n N ε?>?>>使得当时有 1 ||n k k z σε=-<∑， 注3如果级数n z ∑收敛，那么信息率失真函数.doc
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