当前位置：文档库 › 三角形的倒角模型(答案)

三角形的倒角模型(答案)

三角形的倒角模型：

各种三角形边长的计算公式

各种三角形边长的计算公式解三角形解直角三角形（斜三角形特殊情况）：勾股定理 ,只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”） a^2+b^2=c^2, 其中 a 和 b 分别为直角三角形两直角边,c 为斜边 .勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数.比如：3,4,5. 他们分别是 3,4 和 5 的倍数 .常见的勾股弦数有： 3,4,5 ；6,8,10 ； 5,12,13;10,24,26; 等等 . 解斜三角形：在三角形ABC a/SinA=b/SinB=中 , 角A,B,C c/SinC=2R 的对边分别为a,b,c. 则有 (R 为三角形外接圆半径 ) （ 1 ）正弦定理（ 2 ）余弦定理 a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB c^2=a^2+b^2-2ab*CosC注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况（.3）余弦定理变形公式cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab 斜三角形的解法：已知条件定理应用一般解法一边和两角（如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180˙,求角A,由正弦定理求出 b 与 c,在有解时有一解. 两边和夹角(如 a、b 、c) 余弦定理由余弦定理求第三边c,由正弦定理求出小边所对的角 ,再由 A+B+C=180˙求出另一角,在有解时有一解. 三边 (如 a、 b、 c) 余弦定理由余弦定理求出角 A 、B,再利用 A+B+C=180˙,求出角 C 在有解时只有一解 .

两边和其中一边的对角( 如 a 、 b 、 A)正弦定理由正弦定理求出角B,由A+B+C=180˙求出角C,在利用正弦定理求出C边,可有两解、一解或无解. 勾股定理（毕达哥拉斯定理）内容：在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.几何语言：若△ABC 满足∠ABC=90 °,则 AB2+BC 2=AC 2 勾股定理的逆定理也成立 ,即两条边长的平方之和等于第三边长的平方 ,则这个三角形是直角三角形几何语言：若△ABC 满足 ,则∠ABC=90 °. [3] 射影定理（欧几里得定理）内容：在任何一个直角三角形中 ,作出斜边上的高 ,则斜边上的高的平方等于高所在斜边上的点到不是两直角边垂足的另外两顶点的线段长度的乘积 .几何语言：若△ABC 满足∠ABC=90 °,作 BD ⊥AC,则 BD2 ＝AD ×DC 射影定理的拓展：若△ ABC满足∠ABC=90°,作BD ⊥ AC,(1)AB 2 =BD ·BC(2)AC 2 ;=CD ·BC (3)ABXAC=BCXAD 正弦定理内容：在任何一个三角形中,每个角的正弦与对边之比等于三角形面积的两倍与三边边长和的乘积之比几何语言：在△ABC 中,sinA/a=sinB/b=sinC/c=2S三角形 /abc结合三角形面积公式,可以变形为a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R是外接圆半径）余弦定理内容：在任何一个三角形中,任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边的 2 倍乘以它们夹角的余弦几何语言：在△ABC中,a2=b 2+c 2-2bc×cosA此定理可以变形为： cosA= （ b 2+c 2-a 2 ）÷2bc

初中几何导角问题

几何导角基础技巧一．常见几何导角模型 1.外角性质（小旗模型）如图（a ）：B A BCD ∠+∠=∠ 由 180=∠+∠+∠ACB B A 和 180=∠+∠ACB BCD 得： B A BCD ∠+∠=∠ 2.“飞镖”模型如图（b ）：ACD A ABD BDC ∠+∠+∠=∠ 证明思路：延长BD 交AC 于点E ，在CDE ?和ABE ?中，由BEC A ABD ∠=∠+∠和BDC ACD BEC ∠=∠+∠得： ACD A ABD BDC ∠+∠+∠=∠ 3.“8”字模型如图（c ）：D C B A ∠+∠=∠+∠ 证明思路：由 180=∠+∠+∠AOB B A ， 180=∠+∠+∠COD D C ，COD AOB ∠=∠ 可得，D C B A ∠+∠=∠+∠。 4.“内角平分线”模型点P 是ABC ∠和ACB ∠的角平分线的交点。如图（d ）：A P ∠+ =∠2 1 90 证明思路：由“飞镖”模型可得： ACP ABP A P ∠+∠+∠=∠ 再利用角平分线的性质可得：）（A ACP ABP ∠-=∠+∠ 18021，进而可得：A P ∠+=∠2 190 5.“内外平分线”模型点P 是ABC ∠和外角ACD ∠的角平分线的交点如图（e ）：A P ∠= ∠2 1 证明思路：由“小旗”模型可得： P PBC PCD ∠+∠=∠， A PBC A ABC PCD ∠+∠=∠+∠=∠22 即可得出： A P ∠=∠2 1

6.“外角平分线”模型点P 是外角CBF ∠和外角BCE ∠的角平分线的交点如图（f ）：A P ∠- =∠2 1 90 证明：)(180PCB PBC P ∠+∠-=∠ )E F (21 180CB BC ∠+∠-= )2(21 180ACB ABC A ∠+∠+∠-= )180(21 180 +∠-=A A ∠-=2 1 90 技巧与方法三角形中倒角技巧及角分线重要结论几何倒角技巧： 1.三角形内角和：三角形的内角和为180° 2.三角形外角定理：三角形的外角等于与之不相邻的两个内角之和 3.角平分线：角的角平分线把这个角分为两个完全相等的角 4.直角三角形：直角三角形两锐角互余 5.平行线：平行线的性质 6等腰三角形：三角形等边对等角，底角相等 7.四边形内角和：四边形内角和为360° 8.三角形两大基本模型：“8字”模型和“飞镖”模型的角度关系 9.方程思想：设角度为未知数，利用上述倒角技巧找出等量关系

三角形中的边角关系

三角形中的边角关系 1、 A+B+C=π ， 2C = 2 π-( 2A + 2 B ) 2、 sinC=sin(A+B)， cosC=-cos(A+B) sin 2 C =cos( 2 A +2 B )， cos 2 C =sin( 2 A + 2 B )， tan 2 C =cot( 2 A + 2 B ) sin2C=-sin2(A+B)， cos2C=cos2(A+B) 3、三角形面积公式 S ?= 12 absinC= 12 bcsinA= 12 casinB p= 12 （a+b+c ） 4、正弦定理sin sin sin a b c A B C = = =2R sinA ?sinB ? sinC ?a = b ? c sinA= 2a R ，sinB=2b R ，sinC= 2c R a=2RsinA ， b=2RsinB ， c=2RsinC 适用类型：AAS →S ，SSA →A (2,1,0解) 5、余弦定理2222cos a b c bc A =+- 2 2 2 co s 2b c a A b c +-= 适用类型：SSS →A ，SAS →S ，AAS →S(2,1,0解) 5、判定三角形是锐角直角钝角三角形设c 为三角形的最大边 2c <2a +2b ??ABC 是锐角三角形 2 c =2 a +2 b ??ABC 是直角三角形 2 c >2 a +2 b ??ABC 是钝角三角形 6、 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 tan 2 A tan 2 B +tan 2 B tan 2 C +tan 2 C tan 2 A =1 7* 、若三角形三内角成等差数列，则B=3 π 三边成等差数列，则0

三角形边长的计算公式

解三角形解直角三角形（斜三角形特殊情况）：勾股定理,只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）a^2+b^2=c^2,其中a和b 分别为直角三角形两直角边,c为斜边.勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数.比如：3,4,5.他们分别是3,4和5的倍数.常见的勾股弦数有：3,4,5；6,8,10；5,12,13;10,24,26;等等. 解斜三角形：在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.则有（1）正弦定理a/SinA=b/SinB= c/SinC=2R (R为三角形外接圆半径) （2）余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB c^2=a^2+b^2-2ab*CosC 注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况.（3）余弦定理变形公式cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab 斜三角形的解法：已知条件定理应用一般解法一边和两角（如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180˙,求角A,由正弦定理求出b与c,在有解时有一解. 两边和夹角(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求第三边c,由正弦定理求出小边所对的角,再由A+B+C=180˙求出另一角,在有解时有一解. 三边(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求出角A、B,再利用A+B+C=180˙,求出角C 在有解时只有一解. 两边和其中一边的对角(如a、b、A) 正弦定理由正弦定理求出角B,由A+B+C=180˙求出角C,在利用正弦定理求出C边,可有两解、一解或无解.

三角形的角及倒角模型

三角形的角及倒角模型 Revised on November 25, 2020

第二讲三角形的角及倒角模型 1、如图1，求证：AB＋AE＞BC＋CD＋DE 1 2、如图2，AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O，求证：AC＋BD＞ 2（AB＋BC＋CD＋AD）。 3、如图3，⊿ADE和⊿ABC中，∠EAD＝∠AED＝∠BAC＝∠BCA＝45°又有∠BAD＝∠BCF，（1）求∠ECF＋∠DAC＋∠ECA的度数；（2）判断ED与FC的位置关系，并对你的结论加以证明。 4、求∠a的度数。 5、如图5，∠A＝30°，求∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数。 6、将图6-1中线段AD上一点E（点A、D除外）向下拖动，依次可得图6-2、图6-3、图6-4，分别探究图6-2、图6-3、图6-4中∠A、∠B、∠C、∠D、∠E（∠AED）之间有什么关系 7、如图7，在⊿ABC中D是BC上任意一点，E是AD上任意一点，试说明：AB＋AC＞BE＋EC。 8、如图8，已知DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，且∠A＝27°，∠M＝33°，则∠C ＝。 9、如图9所示，点E和点D分别在⊿ABC的边BA和CA的延长线上，CF、EF分别平分∠ACB和∠AED，试探索∠F与∠B，∠D的关系：。

10、如图10，⊿ABC的一条外角平分线是CE，F是CA延长线上一点，FG∥EC交AB于点G，已知∠DCE＝50°，∠ABC＝40°，求∠FGA的度数。 11、如图11，在⊿ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，ED⊥AB，∠AFD＝158°，则∠EDF ＝。 12、如图12-1，BP、CP是任意⊿ABC的∠B、∠C的角平分线。（1）探求∠BPC与∠A的数量关系。（2）∠BPC能等于90度吗说明理由。（3）当∠A为多少度时，∠BPC＝2∠A （4）把图12-1中的⊿ABC变成图12-2中的四边形ABCD，BP、CP仍然是∠B、∠C的角平分线，猜想∠BPC与∠A，∠D有何数量关系（只写出猜想结果，不写说理过程）。 13、如图13，在⊿ABC中，∠ABC的两个外角平分线交于点F，探索∠F和∠A的关系。 14、如图14，在⊿ABC中，∠ABC的平分线与∠ABC的外角平分线交于点A 1 ，若∠A＝ 40°，则∠A 1为度；同样的方法作出∠A 2 ，则∠A 2 的度数是度；依次下去，当作出∠A n 时，它的度数是度。 15、如图15，由图15-1的⊿ABC沿DE折叠得到图15-2；图3；图4。（1）如图2，猜想∠BDA＋CEA与∠A的关系，并说明理由；（2）如图3，猜想∠BDA＋CEA与∠A的关系，并说明理由；（3）如图4，猜想∠BDA＋CEA与∠A的关系，并说明理由；

相似三角形典型模型及例题

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 1：相似三角形模型一：相似三角形判定的基本模型（一）A字型、反A字型（斜A字型）（平行）（不平行）（二）8字型、反8字型 B C B C（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：（五）一线三直角型：三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。（六）双垂型：二：相似三角形判定的变化模型一线三等角的变形

. 一线三直角的变形 2：相似三角形典型例题（1）母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．求证：OE OA OC ?=2 ．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ?=2；（2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：EG EF BE ?=2 ． 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2 ． 2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2 =NC·NB 3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。求证：EB·DF=AE·DB 4.在?ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。求证：∠=?GBM 90 5 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ．（1）求证：AE =2PE ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．（2）双垂型 A C D E B D E

多边形内角和中常用倒角模型

第二讲三角形的倒角模型黑逗小可爱【要点梳理】知识点一、多边形内角和定理 n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．要点诠释： (1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数； (2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180 n g° ； (1 ( ( （证明过程：结论：∠1+∠2=180°+∠C （2）飞镖模型证明过程：结论：∠BOC=∠A+∠B+∠C

（3）八字模型证明过程：结论：∠A+∠B=∠D+∠C 精讲精练 1.如图，四边形ABCD中，∠B＝40°，沿直线MN剪去∠B，则所得五边形AEFCD中，∠1+∠2＝ 2.如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝320°，则∠6＝． 3.如图，∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A等于（） A.360° B.300° C.180° D.240°

4.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小． 5.如图所示，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为() A．135°B．240°C．270°D．300° 6. 7.如图，∠1=∠2，∠A=60°，则∠ADC=度．

模块二、三角形折叠问题解题关键：折叠前后对应角相等精讲精练 1.如图把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，∠A与∠1＋∠2之间的数量关系保持不变，请找一找这个规律，你发现的规律是（） A、∠A＝∠1＋∠2 B、2∠A＝∠1＋∠2 C、2∠A＝2∠1＋∠2 D、3∠A＝2（∠1＋∠2） 2.如图，把∠ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（） A.2∠A=∠1-∠2 B.3∠A=2（∠1-∠2） C.3∠A=2∠1-∠2 D.∠A=∠1-∠2 3.如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内部点A′的位置．通过计算我们知道：2∠A=∠1+∠2．请你继续探索： (1)如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED外部点A′的位置，如图②所示．此时∠A与∠1、∠2之间存在什么样的关系?并说明理由。 (2)如果把四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在四边形BCFE内部点A′、D′的位置，如图③所示．你能求出∠A′、∠D′、∠1 与∠2之间的关系吗?并说明理由。

三角形边长公式

三角形边长公式解三角形解直角三角形（斜三角形特殊情况）：勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）a^2+b^2=c^2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如：3，4，5。他们分别是3，4和5的倍数。常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；5,12,13;10,24,26;等等. 解斜三角形：在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c. 则有（1）正弦定理 a/SinA=b/SinB= c/SinC=2R (R为三角形外接圆半径) （2）余弦定理 a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB c^2=a^2+b^2-2ab*CosC 注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。（3）余弦定理变形公式cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab 斜三角形的解法：已知条件定理应用一般解法一边和两角（如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时有一解。两边和夹角(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。三边(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180˙，求出角C 在有解时只有一解。两边和其中一边的对角(如a、b、A) 正弦定理由正弦定理求出角B，由 A+B+C=180˙求出角C，在利用正弦定理求出C边，可有两解、一解或无解。勾股定理（毕达哥拉斯定理）内容：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。几何语言：若△ABC满足∠ABC=90°，则AB2+BC2=AC2勾股定理的逆定理也成立，即两条边长的平方之和等于第三边长的平方，则这个三角形是直角三角形几何语言：若△ABC满足，则∠ABC=90°。 [3]射影定理（欧几里得定理）内容：在任何一个直角三角形中，作出斜边上的高，则斜边上的高的平方等于高所在斜边上的点到不是两直角边垂足的另外两顶点的线段长度的乘积。几何语言：若△ABC满足∠ABC=90°，作BD⊥AC，则BD2＝AD×DC 射影定理的拓展：若△ABC满足∠ABC=90°，作BD⊥AC，(1)AB2=BD·BC (2)AC2;=CD·BC (3)ABXAC=BCXAD 正弦定理内容：在任何一个三角形中，每个角的正弦与对边之比等于三角形面积的两倍与三边边长和的乘积之比几何语言：在△ABC中，sinA/a=sinB/b=sinC/c=2S

初中几何导角问题

几何导角基础技巧一.常见几何导角模型 1、外角性质(小旗模型) 如图(a):B A BCD ∠+∠=∠ 由ο180=∠+∠+∠ACB B A 与ο180=∠+∠ACB BCD 得: B A BCD ∠+∠=∠ 2、“飞镖”模型如图(b):ACD A ABD BDC ∠+∠+∠=∠ 证明思路: 延长BD 交AC 于点E,在CDE ?与ABE ?中, 由BEC A ABD ∠=∠+∠与BDC ACD BEC ∠=∠+∠得: ACD A ABD BDC ∠+∠+∠=∠ 3、“8”字模型如图(c):D C B A ∠+∠=∠+∠ 证明思路:由ο180=∠+∠+∠AOB B A , ο180=∠+∠+∠COD D C ,COD AOB ∠=∠ 可得,D C B A ∠+∠=∠+∠。 4、“内角平分线”模型点P 就是ABC ∠与ACB ∠的角平分线的交点。如图(d):A P ∠+=∠21 90ο 证明思路:由“飞镖”模型可得: ACP ABP A P ∠+∠+∠=∠ 再利用角平分线的性质可得:

）（A ACP ABP ∠-=∠+∠ο18021,进而可得:A P ∠+=∠2 190ο 5、“内外平分线”模型点P 就是ABC ∠与外角ACD ∠的角平分线的交点如图(e):A P ∠=∠21 证明思路:由“小旗”模型可得: P PBC PCD ∠+∠=∠, A PBC A ABC PCD ∠+∠=∠+∠=∠22 即可得出: A P ∠=∠21 6、“外角平分线”模型点P 就是外角CBF ∠与外角BCE ∠的角平分线的交点如图(f):A P ∠-=∠21 90ο 证明:)(180PCB PBC P ∠+∠-=∠ο )E F (21 180CB BC ∠+∠-=ο )2(21 180ACB ABC A ∠+∠+∠-=ο )180(21 180οο+∠-=A A ∠-=21 90ο 技巧与方法三角形中倒角技巧及角分线重要结论几何倒角技巧: 1、三角形内角与:三角形的内角与为180°

三角形的角及倒角模型

第二讲三角形的角及倒角模型 1、如图1，求证：AB ＋AE ＞BC ＋CD ＋DE 2、如图2，AC 、BD 是四边形ABCD 的对角线，且AC 、BD 相交于点O ，求证：AC ＋BD ＞2 1（AB ＋BC ＋CD ＋AD ）。 3、如图3，⊿ADE 和⊿ABC 中，∠EAD ＝∠AED ＝∠BAC ＝∠BCA ＝45°又有∠BAD ＝∠BCF ，（1）求∠ECF ＋∠DAC ＋∠ECA 的度数；（2）判断ED 与FC 的位置关系，并对你的结论加以证明。 4、求∠a 的度数。 5、如图5，∠A ＝30°，求∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 的度数。 6、将图6-1中线段AD 上一点E （点A 、D 除外）向下拖动，依次可得图6-2、图6-3、图6-4，分别探究图6-2、图6-3、图6-4中∠A 、∠B 、∠C 、∠D 、∠E （∠AED ）之间有什么关系？ 7、如图7，在⊿ABC 中D 是BC 上任意一点，E 是AD 上任意一点，试说明：AB ＋AC ＞BE ＋EC 。 8、如图8，已知DM 平分∠ADC ，BM 平分∠ABC ，且∠A ＝27°，∠M ＝33°，则∠C ＝。 9、如图9所示，点E 和点D 分别在⊿ABC 的边BA 和CA 的延长线上，CF 、EF 分别平分∠ACB 和∠AED ，试探索∠F 与∠B ，∠D 的关系：。 10、如图10，⊿ABC 的一条外角平分线是CE ，F 是CA 延长线上一点，FG ∥EC 交AB 于点G ，已知∠DCE ＝50°，∠ABC ＝40°，求∠FGA 的度数。 11、如图11，在⊿ABC 中，∠B ＝∠C ，FD ⊥BC ，ED ⊥AB ，∠AFD ＝158°，则∠EDF

三角形的四大模型

三角形的四大模型令狐采学一、三角形的重要概念和性质 1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180° 2、三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 3、三角形角平分线（角分线）中线（分面积等）高（直角三角形两锐角互余）二、八字模型：证明结论：∠A＋∠B＝∠C＋∠D 三、飞镖模型：证明结论：1．∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C 四、角分线模型：如图，BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，BD、CD相交于点D，试探索∠A与∠D之间的数量关系，并证明你的结论．如图，△ABC两个外角（∠CAD、∠ACE）的平分线相交于点P．探索∠P与∠B有怎样的数量关系，并证明你的结论．题型一、三角形性质等应用

1．如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了米数是（） A．120 B．150 C．240 D．360 2．如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．如果AB=8cm，BE=4cm，DH=3cm，则图中阴影部分面积为cm2． 3．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm2，则S阴影=cm2． 4．A、B、C是线段A1B，B1C，C1A的中点，S△ABC的面积是1，则S△A1B1C1的面积． 5．一个四边形截去一个角后，剩下的部分可能是什么图形？画出所有可能的图形，并分别说出内角和和外角和变化情况．6．如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；

第二节与三角形有关的角-学而思培优

第二节与三角形有关的角一、课标导航二、核心纲要 1.三角形内角和定理及其应用 180 (1)三角形内角和定理：三角形三个内角的和是. (2)三角形内角和定理的应用 ①在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角之间关系，求各角； ②证明角之间的关系． 2．三角形的外角 (1)定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． (2)性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角． 360 (3)三角形外角和定理：三角形外角和是. (4)三角形外角的性质的应用 ①已知外角和与它不相邻两个内角中的一个可求“另一个”； ②可证一个角等于另两个角的和； ③利用它作为中间关系式证明两个角相等； ④利用它证明角的不等关系． 3．几何模型

4．思想方法 (1)分类讨论． (2)方程思想，本节重点讲解：一个性质（外角的性质），两大定理（三角形内、外角和定理），两个思想，四个模型（“小旗”模型，“飞镖”模型，“8”字模型和角平分线相关模型）．三、全能突破基础演练 1．-副三角板，按图11-2—1所示方式叠放在一起，则图中α∠的度数是( )． 75.A o B 60. 65.C o D 55. 2．如图11-2 -2所示，在△ABC 中，,,ABD A BDC C ABC ∠=∠∠=∠=∠则A ∠的度数为( )． 36.A 72.B 108.C 144.D 3．我们知道：等腰三角形的两个底角相等，已知等腰三角形的一个内角为,40 则这个等腰三角形的顶角为( )． 40.A 100.B o C 10040.或 005070.或D

三角形的角及倒角模型

第二讲三角形的角及倒角模型 1、如图1，求证：AB＋AE＞BC＋CD＋DE 2、如图2，AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O，求证：AC＋BD1。AD）BC＋CD＋＞（AB＋2＝∠BADBCA＝45°又有∠中，∠EAD＝∠AED＝∠BAC＝∠ 3、如图3，⊿ADE和⊿ABC ，BCF 的度数；DAC ＋∠ECA求∠（1） ECF＋∠的位置关系，并对你的结论加以证明。ED与FC（2）判断的度D＋∠EB＝30°，求∠＋∠C＋∠ 4、求∠a的度数。 5、如图5，∠A 数。、、图6-3D除外）向下拖动，依次可得图6-2上一点 6、将图6-1中线段ADE（点A、）之（∠AEDC、∠D、∠E6-2、图6-3、图6-4中∠A、∠B、∠，分别探究图图6-4 间有什么关系？AC＋是EAD上任意一点，试说明：AB、如图7，在⊿ABC中D是BC上任意一点，7 。＞BE ＋ECC°，则∠M＝33平分∠ABC，且∠A＝27°，∠DM8、如图8，已知平分∠ADC，BM ＝。分别、EFBA的边和CA的延长线上，CF99、如图所示，点E和点D分别在⊿ABC 。∠D的关系： B平分∠ACB和∠AED，试探索∠F与∠， AB∥EC交，CEF是CA延长线上一点，FG，⊿10、如图10ABC的一条外角平分线是的度数。＝40°，求∠FGA°，∠，已知∠于点GDCE＝50ABCEDF°，则∠158＝AFD，∠AB⊥ED，BC⊥FD，C＝∠B中，∠ABC，在⊿11、如图11．＝。 12、如图12-1，BP、CP是任意⊿ABC的∠B、∠C的角平分线。（1）探求∠BPC与∠A的数量关系。

（2）∠BPC能等于90度吗？说明理由。（3）当∠A为多少度时，∠BPC＝2∠A？（4）把图12-1中的⊿ABC变成图12-2中的四边形ABCD，BP、CP仍然是 ∠B、∠C的角平分线，猜想∠BPC与∠A，∠D有何数量关系？（只写出猜想结果，不写说理过程）。 13、如图13，在⊿ABC中，∠ABC的两个外角平分线交于点F，探索∠F和∠A的关系。 14、如图14，在⊿ABC中，∠ABC的平分线与∠ABC的外角平分线交于点A，若∠A1＝40°，则∠A为度；同样的方法作出∠A，则∠A的度数是度；221依次下去，当作出∠A时，它的度数是度。、如图15，由图15-1的⊿ABC沿DE折叠得到图15-2；图3； n15 图4。（1）如图2，猜想∠BDA＋CEA与∠A的关系，并说明理由；（2）如图3，猜想∠BDA＋CEA与∠A的关系，并说明理由；（3）如图4，猜想∠BDA＋CEA与∠A的关系，并说明理由； 16、如图16，已知⊿ABC，将点A向下拖动，依次可得到图1、图2、图3。分别探究图中 ∠A、∠B、∠C、∠D、∠E有什么关系？ 17、（1）小明有两根5㎝、8㎝的木棒，他想以这两根木棒为边做一个等腰三角形，）长的木棒。还需再选用一根（． A、5㎝ B、8㎝ C、5㎝或8㎝ D、大于3㎝且小于13㎝的任意长

初中数学倒角知识点总结

不可不知的倒角一、基础知识等角：角平分线，等腰三角形底角，对顶角，平行线同位角、内错角，同角、等角的余角或补角，同弧、等弧圆周角，余角（补角）：垂直，直角三角形，共线，平行线同旁内角，三角形内角和，外角等于内对角转换：全等三角形，相似三角形，圆周角与圆心角倒角（1）题目已知条件（如角度，角分线，垂直，平行）（2）最基本的等角（角分线，对顶角，同角余角，）（2）特殊三角形内角（等腰三角形，直角三角形，含已知角的三角形）（3）位置关系（平行、垂直）（4）等量转化（相似、全等对应角，圆周角圆心角） 2方法：（a）路径法（b）计算法二、∠A=∠B的方法解析 1. 路径法——倒角最基本的方法路径法的基本步骤是首先识别∠A与∠B各是上述六类角度中的哪一类角，然后利用等角或者余、补角关系，把∠A、∠B分别转化为相应的∠A1、∠B1，然后继续转化∠A1、∠B1,，如果角度无法转换，从上一步重新出发，寻找新的转换路径。最后将转换的角度还原到题目条件中，即可完成角度相等的证明。路径法中最重要的是（1）识别角度身份（2）寻找倒角路径路径法是倒角的基础，但具体的问题也会有倒角的具体注意事项【例一】如图，在△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ ABC，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，求∠CDF度数【例二】如图，AB 是圆O的直径，D是弧AC的中点，已知∠A=40°，求∠CBD的度数【分析】从所需要的∠CDF出发，需要求∠CDF的度数，只要知道∠FCD，而∠FCD可以由∠CED（74°）求出，∠CED由可以由∠A（40°）和 ∠ACE（34°）求出。【分析】从∠CBD出发，∠CBD是圆周角，利用等弧，发现∠ DBA=∠CBD。从题目条件出发，AB是直径，∠C=90°，∠A=40°，所以∠CBA=50°，所以∠CBD=25°

直角三角形的边角关系--知识点

直角三角形的边角关系知识考点知识讲解: 1.锐角三角函数的概念如图，在ABC 中，∠C 为直角，则锐角A 的各三角函数的定义如下： (1)角A 的正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA ＝a c (2)角A 的余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA ＝b c (3)角A 的正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作t an A ，即t an A ＝a b (4)角A 的余切：锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作c ot A ，即c ot A ＝b a 2.直角三角形中的边角关系 (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2 (2)锐角之间的关系：A ＋B ＝90° (3)边角之间的关系： sinA ＝cosB ＝a c ， cosA ＝sinB ＝b c t an A ＝c ot B ＝a b ， cot A ＝t an B ＝b a

3.三角函数的关系 (1)同角的三角函数的关系 1)平方关系：sinA2＋cosA2＝1 2)倒数关系：t an A·c ot A＝1 3)商的关系：t an A＝sinA cosA ，c ot A＝cosA sinA (2)互为余角的函数之间的关系 sin(90°－A)＝cosA，cos(90°－A)＝sinA t an(90°－A)＝c ot A， cot(90°－A)＝t an A 4．一些特殊角的三角函数值

5．锐角α的三角函数值的符号及变化规律. (1)锐角α的三角函数值都是正值 (2)若0＜α＜90°则sinα，tanα随α的增大而增大，cosα，cotα随α的增大而减小. 6．解直角三角形 (1)直角三角形中的元素：除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角. (2)解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知的元素的过程叫做解直角三角形. 7．解直角三角形的应用，解直角三角形的应用，主要是测量两点间的距离，测量物体的高度等，常用到下面几个概念： (1)仰角、俯角视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角 (2)坡度=坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度，常用字母i表示，即i=h l (3)坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示，则tanα＝i=h l (4)方位角:从某点的指北方向线，按顺时针方向转到目标方向线所成的角.

奥数几何三角形五大模型带解析

三角形五大模型【专题知识点概述】本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。重点模型重温一、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等( 长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、等分点结论（“鸟头定理”） D C B A b a s 2 s 1

如图，三角形AED 占三角形ABC 面积的23×14=1 6 三、任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”） ① S 1︰S 2=S 4︰S 3 或者S 1×S 3=S 2×S 4 ② ②AO ︰OC=（S 1+S 2）︰（S 4+S 3）梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”） ① S 1︰S 3=a 2︰b 2 ②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ; ③S 的对应份数为（a+b ）2 模型四：相似三角形性质如何判断相似 (1)相似的基本概念：两个三角形对应边城比例，对应角相等。 (2)判断相似的方法： ①两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似； ②两个三角形若有两条边对应成比例，且这两组对应边所夹的角相等则两个 S 4 S 3 s 2 s 1O D C B A S 4 S 3s 2 s 1 b a

三角形的边与角试题与答案

三角形的边与角一、选择题 1. （2016·）如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE ，下列结论： ①BC DE =21； ②S S COB DOE △△=21； ③AB AD =OB OE ； ④S S ADE ODE △△=31. 其中正确的个数有（） A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个（第1题）【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质．【分析】①DE 是△ABC 的中位线，根据三角形的中位线等于第三边长度的一半可判断；②利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可判定；③利用相似三角形的性质可判断；④利用相似三角面积的比等于相似比的平方可判定．【解答】解：①∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE=21BC ，即BC DE =21 ；故①正确； ②∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC ∴△DOE ∽△COB ∴S S COB DOE △△=（BC DE ）2=(21）2=41 , 故②错误； ③∵DE ∥BC ∴△ADE ∽△ABC ∴AB AD =BC DE △DOE ∽△COB ∴OB OE =BC DE ∴AB AD =OB OE ，故③正确； ④∵△ABC 的中线BE 与CD 交于点O 。

∴点O 是△ABC 的重心，根据重心性质，BO=2OE ，△ABC 的高=3△BOC 的高，且△ABC 与△BOC 同底（BC ） ∴S △ABC =3S △BOC ，由②和③知， S △ODE =41S △COB ，S △ADE =41 S △BOC ， ∴S S ADE ODE △△=31. 故④正确. 综上，①③④正确. 故选C. 【点评】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质．要熟知：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边长度的一半；相似三角形面积的比等于相似比的平方． 2. （2016··3分）下列说法： ①三角形的三条高一定都在三角形 ②有一个角是直角的四边形是矩形 ③有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ④两边及一角对应相等的两个三角形全等 ⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形其中正确的个数有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【考点】矩形的判定；三角形的角平分线、中线和高；全等三角形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．【分析】根据三角形高的性质、矩形的判定方法、菱形的判定方法、全等三角形的判定方法、平行四边形的判定方法即可解决问题．【解答】解：①错误，理由：钝角三角形有两条高在三角形外． ②错误，理由：有一个角是直角的四边形是矩形不一定是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形． ③正确，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

三角形四大模型

三角形的四大模型、三角形的重要概念和性质 1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于 180° 2、三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 3、三角形角平分线（角分线）中线（分面积等）高（直角三角形两锐角互余）、八字模型：三、飞镖模型：证明结论： 1．∠BOC ＝∠ A ＋∠B ＋∠ C 四、角分线模型：如图， BD 、CD 分别是∠ ABC 和∠ ACB 的角平分线， BD 、CD 相交于点 D ，试探索∠ A 与∠D 之间的数量关系，并证明你的结论．

如图，△ ABC 两个外角（∠ CAD 、∠ ACE ）的平分线相交于点 P ．探索∠ P 与∠B 有怎样的数量关系，并证明你的结论．题型一、三角形性质等应用 5．一个四边形截去一个角后，剩下的部分可能是什么图形？画出所有可能的图形，并分别说出内角和和外角和变化情况． 6．如图，直线 AC ∥ BD ，连接 AB ，直线 AC ，BD 及线段 AB 把平面分成①、②、③、④ 四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点 P 落在某个部分时，连接 PA ，PB ，构成∠ PAC ，∠APB ，∠PBD 三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是 0°角）（ 1）当动点 P 落在第①部分时，求证：∠ APB= ∠PAC+∠ PBD ；（ 2）当动点 P 落在第②部分时，∠ APB= ∠ PAC+∠PBD 是否成立？（直接回答）（ 3）当动点 P 在第③部分时，全面探究∠ PAC ，∠ APB ，∠ PBD 之间的关系，并写出动点 P 的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明． 1．如图，小亮从 A 点出发前进下去，他第一次回到出发点 A ．120 B ． 150 2．如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿如果 AB=8cm ， BE=4cm ， DH=3cm ， 10m ， A 时， C ．向右转 15°，再前进10m ，又向右转 15°，这样一直走一共走了米数是（） 240 D ．360 则图中阴影部分面积为 BC 方向平移得到 △ DEF ． 2 3．如图，在 △ ABC 中，已知点 D ，且 S △ABC =4cm 2，则 S 阴影= 4． A 、B 、C 是线段 A 1B ，B 1C ，C 1A 的中点， E ， F 分别为边 BC ，AD ， 2 cm ． S △ABC 的面积是 1，则 S △ A 1B 1C 1 的面积 CE 的中点，

三角形的倒角模型(答案)

各种三角形边长的计算公式

初中几何导角问题

三角形中的边角关系

三角形边长的计算公式

三角形的角及倒角模型

相似三角形典型模型及例题

最新五大模型——三角形等积变形、共角模型教学文案

多边形内角和中常用倒角模型

三角形边长公式

初中几何导角问题

三角形的角及倒角模型

三角形的四大模型

第二节 与三角形有关的角-学而思培优

三角形的角及倒角模型

初中数学倒角知识点总结

直角三角形的边角关系--知识点

奥数几何 三角形五大模型带解析

三角形的边与角试题与答案

三角形四大模型

第二节与三角形有关的角-学而思培优

奥数几何三角形五大模型带解析