基本不等式15种题型
基本不等式15种题型【题型一】基础型
【题型二】“1”的代换型
【题型三】“和”与“积”互消型
【题型四】以分母为主元构造型
【题型五】构造分母：待定系数
【题型六】分子含参型：分离分子型
【题型七】反解代入型:消元法
【题型八】因式分解型
【题型九】均值不等式用两次
【题型十】换元法型
【题型十一】“和”与所求和系数不一致性【题型十二】“均值裂项”凑成配型
【题型十三】整体化同乘方程型
【题型十四】三元最值型
【题型十五】恒成立求参数型
不等式知识点总结及题型归纳
不等式的基本知识 一、解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?，则 不等式的解的各种情况如下表： 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}2 1 x x x x x ><或 ???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是： 1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； 2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回； 3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()如：x x x +--<11202 3
3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0() ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 二、线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念： ①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数： 关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标
基本不等式题型大全
基本不等式题型大全 知识点： 1.几个重要不等式 ①()2 2 2a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2 a b ab +≤ ②（基本不等式） 2 a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： a b +≥ 2 .2a b ab +⎛⎫ ≤ ⎪⎝⎭ 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 3 a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时 取等号） ⑦ b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，其中(000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+ 2.几个著名不等式
①平均不等式： 1122a b a b --+≤≤≤+()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. （即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）. 变形公式：2 22 ;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222 ().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式： 222212121 ...(...).n n a a a a a a n +++≥ +++ 1122(,,,).x y x y R ∈ ④二维形式的柯西不等式： 22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当 ad bc =时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++ ⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++ ⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立. ⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是 12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122.... n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和. ⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数） 若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有 12121212()() ()()( )( ). 22 22 x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.
不等式知识点总结及题型归纳
不等式知识点总结及题型归纳 一、解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?，则 不等式的解的各种情况如下表： 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}2 1 x x x x x ><或 ???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是： 1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； 2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回； 3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()如：x x x +--<11202 3
3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0() ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 二、线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念： ①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数： 关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标
基本不等式(很全面)
基本不等式 【知识框架】 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ （2）若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则22?? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2 211122b a b a ab b a +≤+≤≤+ 6、柯西不等式 （1）若,,,a b c d R ∈，则22222 ()()()a b c d ac bd ++≥+
（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 【题型归纳】 题型一：利用基本不等式证明不等式 题目1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥b a 112 + 题目2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222 题目3、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥ 题目4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 题目5、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118??????---≥ ?????
(完整版)基本不等式全题型
题型1 基本不等式正用a ＋b ≥2ab 例1：(1)函数f (x )＝x ＋1x (x >0)值域为________；函数f (x )＝x ＋1 x (x ∈R )值域为________； (2)函数f (x )＝x 2 ＋ 1 x 2 ＋1 的值域为________． 解析：(1)∵x >0，x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2，∴f (x )(x >0)值域为[2，＋∞)； 当x ∈R 时，f (x )值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)； (2)x 2 ＋ 1x 2 ＋1＝(x 2 ＋1)＋1x 2＋1 －1≥2x 2＋1·1 x 2＋1 －1＝1，当且仅当 x ＝0 时等号成立． 答案：(1)[2，＋∞) (－∞，－2]∪[2，＋∞) (2)[1，＋∞) 4．(2013·镇江期中)若x >1，则x ＋4 x －1 的最小值为________． 解析：x ＋ 4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1 ，即x ＝3时等号成立．答案：5 [例1] (1)已知x ＜0，则f (x )＝2＋4 x ＋x 的最大值为________． (1)∵x ＜0，∴－x ＞0，∴f (x )＝2＋4x ＋x ＝2－???? ??4 －x ＋ －x .∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4 －x ，即x ＝－2时等号成立．∴f (x )＝2－???? ? ?4－x ＋－x ≤2－4＝－2，∴f (x )的最大值为－2. 例：当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2 ＋1 的最大值为________． 解析：(1)∵x ＞0，∴f (x )＝ 2x x 2 ＋1＝2x ＋ 1x ≤22＝1，当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时取等号． 3．函数y ＝x 2＋2 x －1 (x >1)的最小值是________． 解析：∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2x －1＋3x －1 ＝ x －1 2 ＋2x －1＋3 x －1 ＝x － 1＋ 3 x －1 ＋2≥2 x －1 3x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1 ，即x ＝1＋3时，取等号．答案：23＋2 10．已知x ＞0，a 为大于2x 的常数，求y ＝1 a －2x －x 的最小值． 解：y ＝ 1a －2x ＋a －2x 2－a 2 ≥2 12－a 2＝2－a 2.当且仅当x ＝a －22时取等号．故y ＝1a －2x －x 的最小值为2－a 2 . 题型2 基本不等式反用ab ≤ a ＋b 2 例：(1)函数f (x )＝x (1－x )(0
基本不等式典型常见题型
基本不等式典型常见题型 基本不等式典型常见题型 不等式是数学中的一种重要关系式，它可以描述数字之间的大小关系。考察不等式的题目在各 类数学考试中都是常见的。下面我们将介绍一些基本的不等式题型，并给出解题方法和技巧。 一、一次不等式 一次不等式是由一次多项式构成的不等关系。它的一般形式为ax + b > 0（或<0）或ax + b ≥ 0（或≤0）。其中，a和b是常数，x是未知数。 解一次不等式的关键是找到x的取值范围。我们可以通过变形和移项来求解。 例题1：解不等式3x + 7 > 4。 解法：首先，我们可以通过移项得到3x > 4 - 7，即3x > -3。然后，除以3得到x > -1。所以， 不等式的解集为x > -1。 例题2：解不等式2x + 5 ≤ 9。 解法：首先，我们可以通过移项得到2x ≤ 9 - 5，即2x ≤ 4。然后，除以2得到x ≤ 2。所以， 不等式的解集为x ≤ 2。 二、绝对值不等式 绝对值不等式是含有绝对值符号的不等式。它的一般形式为|ax + b| > c或|ax + b| ≥ c。其中，a、b和c是常数，x是未知数。 解绝对值不等式的关键是考虑x的取值范围，并分情况讨论。 例题3：解不等式|2x - 3| > 4。 解法：我们可以分两种情况讨论： 情况1：当2x - 3 > 0时，不等式化为2x - 3 > 4，即2x > 7。解得x > 7/2。 情况2：当2x - 3 < 0时，不等式化为-(2x - 3) > 4，即-2x + 3 > 4，解得x < -1/2。 综上所述，不等式的解集为x < -1/2或x > 7/2。 三、二次不等式
高中数学常见的10类基本不等式问题汇总
高中数学常见的10类基本不等式问题汇总 一、基本不等式的基础形式 1．222a b ab +≥，其中,a b R ∈，当且仅当a b =时等号成立。 2 ．a b +≥[),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。 3 ．常考不等式：2 222 1122a b a b ab ++⎛⎫≥≥≥ ⎪⎝⎭+ ，其中(),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。 二、常见问题及其处理办法 问题1：基本不等式与最值 解题思路： （1）积定和最小：若ab 是定值，那么当且仅当a b =时，( )min a b +=。其中[),0,a b ∈+∞ （2）和定积最大：若a b +是定值，那么当且仅当a b =时，() 2 max 2a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，其中,a b R ∈。 例题1：若实数,a b 满足221a b +=，则a b +的最大值是 ． 解析：很明显，和为定， 当且仅当1a b ==-时取等号。 变式：函数1(0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ，若点在直线1mx ny +=上，则mn 的最大值为______。 解析：由题意可得函数图像恒过定点()1,1A ，将点()1,1A 代入直线方程1mx ny +=中可得1m n +=，明 12m n ==时取等号。 例题2：，则()f x 取最小值时对应的x 的值为__________． 解析：很明显，积为定，根据积定和最小法则可得 当且仅当 2 1212 x x x += ⇒=-时取等号。 变式：已知2x >-，则1 2 x x + +的最小值为 。
解析：由题意可得()1 20,212 x x x +>+⨯ =+，明显，积为定，根据和定积最大法则可得： 1 22112x x x x +=⇒+= ⇒=-+时取等号，此时可 例题3：若对任意x >0， x x 2 ＋3x ＋1 ≤a 恒成立，则a 的取值范围是 ________． 解析： 解法1： 解法2： 问题2：“1”的代换 例题4：若两个正实数x 、y 满足 141x y += ，且不等式234y x m m +-＜有解，则实数m 的取值范围是 。 解析：由题意可得141x y +=，左边乘以14 1x y +=可得：14441y x x y y x ⎛⎫⎛ ⎫++ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭+=，化简可得：
基本不等式全题型
. . 题型1 根本不等式正用a ＋b ≥2ab 例1：(1)函数f (x )＝x ＋1x (x >0)值域为________；函数f (x )＝x ＋1 x (x ∈R )值域为________； (2)函数f (x )＝x 2 ＋1 x 2＋1 的值域为________． 解析：(1)∵x >0，x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2，∴f (x )(x >0)值域为[2，＋∞)； 当x ∈R 时，f (x )值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)； (2)x 2＋ 1x 2＋1＝(x 2 ＋1)＋1x 2＋1 －1≥2x 2＋1·1 x 2＋1 －1＝1，当且仅当 x ＝0 时等号成立． 答案：(1)[2，＋∞) (－∞，－2]∪[2，＋∞) (2)[1，＋∞) 4．(2021·期中)假设x >1，那么x ＋4 x －1 的最小值为________． 解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4 x －1，即x ＝3时等号成立．答案：5 [例1] (1)x ＜0，那么f (x )＝2＋4 x ＋x 的最大值为________． (1)∵x ＜0，∴－x ＞0，∴f (x )＝2＋4x ＋x ＝2－⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤ 4 －x ＋ －x .∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4－x ，即x ＝－2 时等号成立．∴f (x )＝2－⎣⎢ ⎡⎦ ⎥⎤ 4－x ＋－x ≤2－4＝－2，∴f (x )的最大值为－2. 例：当x ＞0时，那么f (x )＝2x x 2＋1的最大值为________． 解析：(1)∵x ＞0，∴f (x )＝ 2x x 2＋1＝2x ＋ 1x ≤22＝1，当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时取等号． 3．函数y ＝x 2＋2 x －1 (x >1)的最小值是________． 解析：∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2x －1＋3x －1 ＝ x －1 2 ＋2x －1＋3 x －1 ＝x －1 ＋ 3 x －1 ＋2≥2 x －1 3x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1 ，即x ＝1＋3时，取等号．答案：23＋2 10．x ＞0，a 为大于2x 的常数，求y ＝1 a －2x －x 的最小值． 解：y ＝1a －2x ＋a －2x 2－a 2 ≥2 12－a 2＝2－a 2.当且仅当x ＝a －22时取等号．故y ＝1a －2x －x 的最小值为2－a 2 .
基本不等式题型
基本不等式题型 基本不等式是数学中常见的一类题型，它们涉及到不等式符号（如大于、小于、大于等于、小于等于）以及数的大小关系。掌握基本不等式的解法可以帮助我们解决各种实际问题和数学计算。以下是一些常见的基本不等式题型及其解法举例： 1.求解线性不等式： 线性不等式是一类形如ax+b>c或ax+b
首先，将不等式转化为对应的二次方程x^2-3x-4=0，并求出它的根为x=-1和x=4。然后，根据二次函数的图像可以确定x轴上的区间，使得二次函数大于0。由此可知，解为-1
基本不等式题型总结
基本不等式题型总结 基本不等式是数学中的重要概念，其中包括很多不等式题型。下面将对基本不等式的常见题型进行总结，并提供一些解题思路和方法。 1. 一次不等式：一次不等式是最简单的不等式形式，通常是形如 ax + b > 0 的形式。解这类不等式时，可以将不等式转化为 等式，求出等式的解集，然后根据不等号的方向确定不等式的解集。 2. 二次不等式：二次不等式是一次不等式的推广，形如 ax^2 + bx + c > 0 的形式。解这类不等式时，可以利用二次函数的性质，首先求出二次函数的零点，然后根据二次函数的图像确定不等式的解集。 3. 绝对值不等式：绝对值不等式是一种常见的不等式形式，形如 |ax + b| > c 的形式。解这类不等式时，可以根据绝对值的定义，分别考虑 ax + b > c 和 ax + b < -c 两种情况，然后求出每 种情况下的解集。 4. 分式不等式：分式不等式是包含有分式的不等式，形如 p(x)/q(x) > 0 的形式。解这类不等式时，可以找出分式的零点，然后根据分式的正负性确定不等式的解集。 5. 根式不等式：根式不等式是带有根号的不等式，形如√(ax + b) > c 的形式。解这类不等式时，可以根据根式的定义，将不 等式平方后再进行求解。
6. 微分不等式：微分不等式是用微分的方法解决的不等式，通常涉及函数的导数。解这类不等式时，可以求出函数的导数，然后根据导数的正负性确定函数在不同区间上的增减性以及函数的极值点，从而确定不等式的解集。 7. 参数不等式：参数不等式是含有参数的不等式，通常涉及参数的范围和取值。解这类不等式时，可以根据参数的取值范围，分析不等式在不同情况下的解集，并给出参数的取值条件。 8. 不等式组：不等式组是由多个不等式组成的集合，通常需要在平面上找出满足所有不等式条件的解集。解这类不等式组时，可以利用图像解法、代数解法或线性规划等方法，确定不等式组的解集。 在解不等式题型时，还需注意以下一些常用技巧和注意事项： 1. 将不等式化为等式，然后求解等式的解集。 2. 利用数轴图像表示不等式的解集。 3. 利用不等式的性质进行转化，求解更简单的不等式。 4. 注意不等式中的绝对值、分式、根式等特殊形式，使用相应的解法和技巧求解。 5. 需要注意不等式中参数的范围和取值条件，以及求解过程中的约束条件。
基本不等式题型20种
基本不等式题型20种 基本不等式是初等数学中的重要内容，涉及到多种类型的问题。以下是一些常见的基本不等式题型： 1. 一元一次不等式，例如 2x + 3 > 7。 2. 一元二次不等式，例如 x^2 4x + 3 > 0。 3. 绝对值不等式，例如 |2x 1| < 5。 4. 有理不等式，例如 (x-1)/(x+2) > 0。 5. 混合不等式，例如 2x + 3 < 5 或 3x 2 > 7。 6. 复合不等式，例如 2 < x < 5。 7. 线性不等式组，例如 {2x + y > 3, x y < 1}。 8. 二元二次不等式，例如 x^2 + y^2 < 25。
9. 分式不等式，例如 (x+1)/(x-2) > 0。 10. 绝对值分式不等式，例如 |(x-1)/(x+2)| < 1。 11. 参数不等式，例如若 a > 0, 则 ax < 5。 12. 根式不等式，例如√(x+1) > 2。 13. 指数不等式，例如 2^x > 16。 14. 对数不等式，例如 log(x) < 3。 15. 三角不等式，例如 sin(x) < 1。 16. 求最值问题，例如求函数 f(x) = x^2 4x + 3 的最小值。 17. 区间问题，例如求不等式 2 < x < 5 的解集。 18. 图形法解不等式，例如用图形法解不等式 2x + 3 < 7。 19. 实际问题，例如某商品的售价要高于成本价的 20%。
20. 复杂不等式的综合运用，例如将多种不等式类型结合运用解决问题。 这些是基本不等式的一些常见题型，涵盖了初等数学中常见的不等式问题。希望这些例子可以帮助您更好地理解基本不等式。
基本不等式题型及常用方法总结
基本不等式题型及常用方法总结 基本不等式题型包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值 不等式和有理不等式等。 1. 一元一次不等式： - 解法1：通过移项和化简来求解，确保不等号方向的正确性。 - 解法2：将不等式转化为等价的集合表示，再通过集合的交、并 运算求解。 2. 一元二次不等式： - 解法1：将不等式化为一元二次函数的图像，通过观察图像求解 或者利用函数的性质来求解。 - 解法2：通过移项和配方法将不等式转化为二次函数的标准形式，再判断二次函数图像的位置与不等号关系来求解。 3. 绝对值不等式： - 解法1：将绝对值不等式分段求解，分别讨论绝对值内部是正数 还是负数的情况。 - 解法2：通过绝对值的定义和不等式的性质，将绝对值不等式转 化为两个简单的不等式来求解。 4. 有理不等式： - 解法1：将有理不等式化为分式的形式，然后通过分式的性质来 求解。 - 解法2：通过变量的替换来将有理不等式转化为一元二次不等式 或者一元一次不等式，再利用对应的方法来求解。 常用方法总结： 1. 对于一元一次不等式和一元二次不等式，常用的方法是移项和化简、画函数图像和利用函数的性质来求解。 2. 对于绝对值不等式，常用的方法是分段求解和利用绝对值的性质来 求解。 3. 对于有理不等式，常用的方法是化为分式形式和利用分式的性质来 求解。
4. 在求解不等式的过程中，经常需要进行合并同类项、开方、取倒数、乘除等基本运算，需要注意运算法则和符号的变化。 5. 在不等式的求解过程中，需要注意不等式两边的平方值是否相等， 以及是否存在不等式的等价变换等。同时，在进行运算过程中，需要 根据不等式的符号关系来选择合适的方式。
《基本不等式》17种题型高一
基本不等式是高中数学中非常重要且基础的一部分。它在高一数学中占据着重要的地位，对于学生的数学基础和逻辑推理能力的培养起着至关重要的作用。在高一数学教学中，基本不等式的学习也是一个重要的环节，不仅需要掌握它的概念和性质，还需要学会运用它解决实际问题。本文将从基本不等式的概念入手，详细介绍其性质和运用方法，并列举17种题型，帮助学生全面理解和掌握基本不等式的相关知识。 一、基本不等式的概念 基本不等式是指在任意三个实数a、b、c之间，必有以下基本不等式成立： 1）正数的不等式： a > b ⟹ a + c > b + c a > 0, b > 0 ⟹ a c > bc a > b, c > 0 ⟹ ac > bc a > b, c < 0 ⟹ ac < bc 2）负数的不等式： a < b ⟹ a + c < b + c a < 0, b < 0 ⟹ a c > bc a < b, c > 0 ⟹ ac < bc
a < b, c < 0 ⟹ ac > bc 以上基本不等式是学习基本不等式的基础，对于解决实际问题是非常 重要的。 二、基本不等式的性质 基本不等式还具有一些重要的性质，包括： 1）传递性：若a > b，b > c，则a > c 2）对称性：若a > b，则-b > -a 3）倒置性：若a > b，则1/a < 1/b，且a/b > 0 这些性质对于运用基本不等式解决实际问题时起着重要的作用，可以 帮助学生更好地理解和运用基本不等式。 三、基本不等式的运用方法 基本不等式在解决实际问题时有着广泛的应用，其运用方法主要包括： 1）利用基本不等式的性质化简题目； 2）利用基本不等式构造等式或方程组，进而求解问题； 3）利用基本不等式证明不等式关系，讨论最值等问题。
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2 2⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2)2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则 22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式 （1）若,,,abc d R ∈，则22222 () ()()a b c d a c b d ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 222 2222 1 2311 23112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有 2 2 2 (a a a ++⋅⋅⋅+)2 2 2 )b b b ++⋅⋅⋅+(2 ()a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知 c b a ,,为两两不相等的实数，求证： ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：222 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： a b c c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： 1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222 1a b c b c a ++≥. 7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 2 2 3 3 22-≥- 题型二：利用不等式求函数值域 1、求下列函数的值域 （1）2 2 21 3x x y += （2）)4(x x y -=
基本不等式全题型
2 题型1基本不等式正用 a + b ≥2 ab 1 例1: (1)函数f (X ) = X + x (x >0)值域为 1 ⑵函数f (X ) = X 2+ 带的值域为 1 • X = 2, ∙ f (x )( X >0)值域为[2 , +∞)； X 当 x ∈ R 时，f (x )值域为(一8, — 2] U [2 , +∞); ⑵ X 2+ 土= (X 2 + 1) + Xr^- 1 ≥2 X + 1 X + 1 1 χ2+1- 1= 1,当且仅当X = 0时等号成立. 1 1 1 ⑵ V 0
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