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基本不等式专题练习(含参考答案)

数学基本不等式

[基础题组练]

1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab

D.b a ＋a b ≥2

2．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1

xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－3

2的最小值为( )

A ．0 B.12 C ．1

D.32 4．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12

D ．16

5．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________． 6．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．

7．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．

8．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．

[综合题组练]

1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1

b ，则3a ＋81b 的最小值为( ) A ．6 B ．9 C ．18

D ．24

2．不等式x 2

＋x

a 对任意a ，

b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )

A ．(－2，0)

B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

C ．(－2，1)

D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)

3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________． 4．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1

b ＋3的最小值为

【参考答案】

[基础题组练]

1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab

≥2 解析：选D.因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．

对于D ，因为ab >0，所以b a ＋a b

＝2. 2．(2019·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1

xy ≥M 恒成立，则M 的最大

解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，所以xy ≤（x ＋y ）24＝22

≥M 恒成立，所以M ≤1，即M 的最大值为1.

3．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－3

2的最小值为( )

A ．0 B.12 C ．1

解析：选A.y ＝x ＋

22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋1

⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋

－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12

，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A. 4．(2019·长春市质量检测(一))已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12

解析：选B.由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1

x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫4y ＋1x ＝4x y ＋y x ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝y

，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.

5．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________．

解析：xy ＝2xy 2＝12×2xy ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＝98，当且仅当2x ＝y ＝3

2时取等号．答案：98

6．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．

解析：一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600

x ×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900

·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.

7．函数y ＝x 2x ＋1

(x >－1)的最小值为________．

解析：因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1

x ＋1－2，x >－1，

所以y ≥21－2＝0，

当且仅当x ＝0时，等号成立．答案：0

8．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2

y ＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y ≥2

. 得xy ≥64，

当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.

(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2

则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫

8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8y

＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.

[综合题组练]

1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1

b ，则3a ＋81b 的最小值为( )

解析：选C.因为a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1

b ，所以ab (a ＋b )＝a ＋b >0，所以ab ＝1.则3a ＋

＝18，当且仅当a ＝4b ＝2时取等号．所以3a ＋81b 的

最小值为18.故选C.

2．不等式x 2＋x

a 对任意a ，

b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )

A ．(－2，0)

B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

C ．(－2，1)

D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)

解析：选C.根据题意，由于不等式x 2＋x

对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋

x <⎝⎛⎭⎫a b ＋b a min ，因为a b ＋b a ≥2 a b ·b

＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2

3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．

解析：令t ＝x ＋2y ，则2x ＋4y ＋xy ＝1可化为1＝2x ＋4y ＋xy ≤2(x ＋2y )＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22

8.因为x >0，y >0，所以x ＋2y >0，即t >0，t 2＋16t －8≥0，解得t ≥62－8.即x ＋2y 的最小值是62－8.

答案：62－8

4．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则

1a ＋1＋1b ＋3

的最小值为________．解析：因为a ＋b ＝4，所以a ＋1＋b ＋3＝8，所以

1a ＋1＋1b ＋3＝18

[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3≥18

2，当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号，所以1a ＋1＋1b ＋3

的最小值为1

基本不等式练习题含答案

基本不等式 1．函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.12 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值为________．利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝2x x 2＋1 的最大值为________．【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1x －1的最小值为________． (2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c .

【训练2】已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9. 利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1 ≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．考向三利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？ (2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b ) 的最小值是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

基本不等式专题练习(含参考答案)

数学基本不等式 [基础题组练] 1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b ≥2 2．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1 xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－3 2的最小值为( ) A ．0 B.12 C ．1 D.32 4．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12 D ．16 5．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________． 6．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________． 7．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________． 8．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．

[综合题组练] 1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1 b ，则3a ＋81b 的最小值为( ) A ．6 B ．9 C ．18 D ．24 2．不等式x 2 ＋x 0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________． 4．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1 b ＋3的最小值为 ________．【参考答案】 [基础题组练] 1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b ≥2 解析：选D.因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，因为ab >0，所以b a ＋a b ≥2 b a ·a b ＝2. 2．(2019·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1 xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，所以xy ≤（x ＋y ）24＝22 4 ＝1，

基本不等式练习题(含答案)

基本不等式 1．函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________．利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2 ＋1 的最大值为________．【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c .

【训练2】已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1 c ≥9. 利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是 ________．【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．考向三利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？ (2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋ 1 a (a － b ) 的最小值是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

高中数学基本不等式训练题(含答案)

高中数学基本不等式训练题(含答案)

高中数学基本不等式训练题(含答案) 1．若xy＞0，则对 xy＋yx说法正确的是() A．有最大值－2 B．有最小值2 C．无最大值和最小值 D．无法确定答案：B 2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是() A．400 B．100 C．40 D．20 答案：A 3．已知x2，则当x＝____时，x＋4x有最小值____．答案：2 4 4．已知f(x)＝12x＋4x. (1)当x＞0时，求f(x)的最小值； (2)当x＜0 时，求f(x)的最大值．解：(1)∵x＞0，12x，4x＞0. 12x＋4x212x4x＝83. 当且仅当12x＝4x，即x＝3时取最小值83，当x＞0时，f(x)的最小值为83. (2)∵x＜0，－x＞0. 则－f(x)＝12－x＋(－4x)212－x－4x＝83，当且仅当12－x＝－4x时，即x＝－3时取等号．

A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑． ①∵a，b(0，＋)，ba，ab(0，＋)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确； ②虽然x，y(0，＋)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的； ③∵aR，不符合基本不等式的条件， 4a＋a24aa＝4是错误的； ④由xy＜0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy ＋yx提出负号后，(－xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确． 5．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是() A．2 B．22 C．4 D．5 解析：选C.∵1a＋1b＋2ab2ab＋2ab222＝4.当且仅当a＝bab ＝1时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4. 6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有() A．最大值64 B．最大值164 C．最小值64 D．最小值164 解析：选C.∵x、y均为正数， xy＝8x＋2y28x2y＝8xy，

基本不等式练习题(带答案)

《基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若 a ∈R ，下列不等式恒成立的是（） A ．21a a +> B ．2111 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是（）Ａ．1 2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为（）Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. 63 C. 46 D. 183 5. 若x , y 是正数，且 14 1x y +=，则xy 有（）Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是（） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 11123a b c + + ≥ D ．3a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是（） A ．114x y ≤+ B ．11 1x y +≥ C ．2xy ≥ D ．11xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,, 2 a b ab ab a b ++三个数的大小顺序是（）Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b ab ab a b +≤≤ + Ｃ． 22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22 ab a b ab a b +≤≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（）Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是（）Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ． 3log 4log 3x y x =+ 二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上. 11. 函数21y x x =-的最大值为 .

基本不等式练习题及答案

基本不等式练习题及答案 1.函数y＝x＋x/(x>0)的值域是什么？正确答案：B．(0，＋∞) 解析：当x>0时，x/x=1，所以函数可以简化为y=2x。因为x>0，所以函数的值域为(0，＋∞)。 2.下列不等式中正确的个数是多少？正确答案：C．1 解析：只有第一组不等式a^2+1>2a成立，其他两个不等式都不成立。 3.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为多少？正确答案：B．1

解析：将a＋2b－2＝0变形得到2b=2－a，所以b=1－a/2.因为a>0，所以1－a/2<1，所以b<1.所以ab的最大值为a(1－a/2)=a－a^2/2，当a=1时取得最大值为1/2. 4.若函数f(x)＝x＋1/(x－2)在x＝a处取最小值，则a等于多少？正确答案：C．3 解析：f(x)可以写成x+1/(x－2)=x－2+3+1/(x－2)，所以 f(x)的最小值在x=3时取得，此时f(3)=3+1=4. 5.已知t＞0，则函数y＝(t^2－4t＋1)/t的最小值为多少？正确答案：1 解析：将分子t^2－4t＋1写成(t－2)^2－3，所以y=(t－2)^2/t－3/t。因为t>0，所以y的最小值为3/t－(t－2)^2/t，当t=2时取得最小值1.

某单位要建造一间背面靠墙的矩形小房，地面面积为12 平方米，房子侧面的长度x不得超过5米。房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，墙高为3米，不计房屋背面的费用。求侧面的长度为多少时，总造价最低。去年，XXX年产量为10万件，每件产品的销售价格为 100元，固定成本为80元。今年起，工厂投入100万元科技成本，每年递增100万元科技成本，预计产量每年递增1万件。每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)=80.若水晶产品的销售价格不变，求第n次投入后的年利润f(n)。设a>b>0，则a^2+ab+b^2/a-b的最小值是多少？解析：去掉格式错误和明显有问题的段落后，文章内容如上。例2】证明：由题意可得，a＞0，b＞0，c＞0，因此有： a+b≥2√ab b+c≥2√bc

高考数学专题《基本不等式及其应用》习题含答案解析

专题2.2 基本不等式及其应用 1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知(),,0,a b c ∈+∞，320a b c -+=的（） A B C D ．最小值是 3 【答案】B 【解析】由题意得32 a c b +=，再代入所求式子利用基本不等式，即可得到答案；【详解】因为320a b c -+=，所以32 a c b += ， =≤3a c =. 故选：B. 2．（2021·山东高三其他模拟）已知a b ，均为正实数，则“2ab a b ≤+”是“16ab ≤”的（） A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】取100,2a b ==可得由2ab a b ≤+推不出16ab ≤，反过来，由基本不等式可得由16ab ≤能推出2ab a b ≤+，然后可选出答案. 【详解】取100,2a b ==，则 2002102ab a b =<+，但20016ab =>，所以由2ab a b ≤+推不出16ab ≤，练基础

反过来，若16ab ≤，则 2 ab a b ≤=≤+，当且仅当4a b ==时取等号，所以由16ab ≤能推出2ab a b ≤+，所以“2ab a b ≤+”是“16ab ≤”的必要不充分条件，故选：C 3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积是()22 14 S b c = + ，则ABC 的三个内角大小为（） A ．60A B C === B ．90,45A B C === C ．120,30A B C === D ．90,30,60A B C === 【答案】B 【解析】由ABC 的面积是()22 14 S b c =+，利用面积公式及基本不等式判断出90A =︒，由b=c 得45B C ==. 【详解】因为222b c bc +≥，所以()2211 42 S b c bc =+≥（当且仅当b=c 时取等号）. 而ABC 的面积是1 sin 2 S bc A =, 所以11 sin 22 S bc A bc = ≥，即sin 1A ≥，所以sin =1A ，因为A 为三角形内角，所以90A =︒. 又因为b=c ，所以90,45A B C ===. 故选：B 4．（2021·浙江高三月考）已知实数x ，y 满足22 44x y +=，则xy 的最小值是（） A ．2- B ． C ． D ．1- 【答案】D 【解析】运用三角代换法，结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】

基本不等式练习题(带答案)

基本不等式 1. 若 a ∈R ，下列不等式恒成立的是（） A ．21a a +> B ．2111 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是（）Ａ． 1 2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为（）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. C. D. 5. 若x , y 是正数，且 14 1x y +=，则xy 有（）Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是（） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 111a b c + + ≥ D ．a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是（） A ．114x y ≤+ B ．111x y +≥ C 2≥ D ．1 1xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,2 a b ab a b ++三个数的大小顺序是（）Ａ．22a b ab a b ++ 22a b ab a b +≤≤ + Ｃ． 22ab a b a b ++ Ｄ．22 ab a b a b +≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（）Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是（）Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+ 11. 函数y =的最大值为 .

高考数学复习基本不等式专题训练(含答案)

2021高考数学复习根本不等式专题训练〔含答案〕通常不等式中的数是实数，字母也代表实数。以下是查字典数学网整理的根本不等式专题训练，请考生练习。一、填空题 1.(2021徐州期中检测)假如log2x+log2y=1，那么x+2y的最小值是________. [解析] 由log2x+log2y=1得log2(xy)=1， xy=2且x0，y0，x+2y2=4. 当且仅当x=2y即x=2，y=1时，x+2y获得最小值4. [答案] 4 2.(2021山东高考改编)设正实数x，y，z满足 x2-3xy+4y2-z=0，那么的最大值是________. [解析] 由题设，得z=x2-3xy+4y2，又x，y，z大于0， +4，故1. 当且仅当x=2y时，等号成立，那么的最大值为1. [答案] 1 3.(2021苏州调研)假设x2，那么x+的最小值为________. [解析] x2， x-20，x+=x-2++22+2=4，当x-2=即x=3时等号成立，

x+的最小值为4. [答案] 4 4.(2021扬州中学检测)设x，y均为正实数，且+=1，那么xy的最小值为________. [解析] 由解出y=-2，那么xy=x=-2x=x+9+， x，y为正实数，y0，那么x1，x-10， x+9+=(x-1)++102+10=16，当且仅当x-1=，即x=4时等号成立，故所求最小值为16. [答案] 16 5.(2021泰州调研)关于x的方程x2+2px+2-q2=0(p0，q0)有两个相等的实根，那么p+q的取值范围是________. [解析] 由题意，=4p2-4(2-q2)=0，即p2+q2=2，又(p+q)2=p2+q2+2pq2(p2+q2)=4. 所以00，b0，假设不等式+恒成立，那么m的最大值是 ________. [解析] a0，b0， +恒成立，等价于m5++恒成立. 又5++5+2=9，当且仅当=，即a=b时，等号成立. m9，那么m的最大值为9. [答案] 9 8.某公司购置一批机器投入消费，据市场分析每台机器消费

基本不等式练习题(含答案)

基本不等式 1 1 .函数y=x+ -(x>0)的值域为(). X A. 2] U [2,+x) B. (0,+x) C. [2 ,+x) D . (2,+x) a + b i 2. 下列不等式：①a2+ 1>2a；②- -<2；③/ +三 > 1,其中正确的个数是 p ab x 十3 (). A. 0 B . 1 C. 2 D . 3 3. 若a>0, b>0,且a + 2b — 2 = 0,则ab的最大值为(). 1 B. 1 C. 2 D. 4 1 4. (2011重庆)若函数f(x) = x+ (x>2)在x= a处取最小值，则a=( ). X —2 A. 1+ 2 B. 1+ 3 C. 3 D. 4 t2—4t+ 1 5. 已知t>0,则函数y= t 的最小值为利用基本不等式求最值 1 1 【例1】?(1)已知x>0, y>0,且2x+y= 1,则x + y的最小值为 X y 2x 2 (2)已知0v x v 5,贝U y= 2x—5x2的最大值为________ . ⑶若x, y€ (0,+x)且2x+ 8y—xy= 0,贝U x+ y的最小值为_________ . 利用基本不等式证明不等式【例2] ?已知a>0, b>0, c>0,求证：bC+ 学+ ab>a+ b+ c. a b c 3 1 （2010四川）设a>b>0,贝U a2+ + 的最小值是（）. ab a a—b C. 3

⑵当x>0时，贝U f(x)= x2+ 1的最大值为 1 【训练1】(1)已知x> 1,则f(x) = x+一的最小值为_____________ x—I

基本不等式练习题(带部分答案)

基本不等式练习题（1） 1、若实数x ，y 满足224x y +=，求xy 的最大值解：∵x 2+y 2=4 ∴4-2xy=（x-y ）2 又∵（x-y ）2≥0 ∴4-2xy ≥0 ∴xy ≤2 即xy 的最大值为2 2、若x>0,求的最小值; 解： ∵ƒ（x ）=4x+9x 、x ＞0 ∴ƒ(x)≥12 √4x ×9x ∴ƒ（x ）≥3 即ƒ（x ）的最小值为3 3、若0x <，求的最大值解：∵x ＜0、y=x+1x ∴y ≤12 √x ×1x ∴y ≤12 即y=x+1x 的最大值为12 4、若x<0,求的最大值解：∵x ＜0、ƒ（x ）=4x+9x ∴ƒ（x ）≤12 √4x ×9x ∴ƒ（x ）≤3 即ƒ（x ）的最大值为3 5、求(x>5)的最小值. 解：∵ƒ（x ）=4x+9x-5 （x ＞5） 6、若x ，y R +∈，x+y=5，求xy 的最值 7、若x ，y R +∈，2x+y=5，求xy 的最值 8、已知直角三角形的面积为4平方厘米，求该三角形周长的最小值基本不等式练习题（2） 1、求的最小值. 2、求(5) (05)y x x x =-<<的最大值.

3、求 1 (14)(0) 4 y x x x =-<<的最大值。 4、求的最大值. 5、若2 x>，求的最小值 6、若0 x<，求的最大值。 7、求的最小值. 8（1）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？（2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?

基本不等式练习题及答案

双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________．考向一利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2 ＋1 的最大值为________．【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．考向二利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . ．

【训练2】已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1 c ≥9. 考向三利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是 ________．【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．考向三利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？【训练3】 (2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )＝ 80 n ＋1 .若水晶产品的销售价格不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元． (1)求出f (n )的表达式； (2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？【试一试】 (2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1 ab ＋1 a (a － b ) 的最小值是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 双基自测 D ．(2，＋∞) 答案 C 2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋ 1x 2＋1＝(x 2 ＋1)＋1x 2＋1 －1≥2－1＝1.答案 B 3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤1 2.答案 A

基本不等式试题(含答案)

1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是（） A ．21a a +> B ．2 1 11 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若 0a b <<且 1 a b +=，则下列四个数中最大的是（）Ａ． 1 2 Ｂ． 22 a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设 x >0,则 133y x x =-- 的最大值为（）Ａ．3 Ｂ． 3- Ｃ．3- Ｄ．－1 4. 设,, 5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. C. D. 5. 若x , y 是正数，且141x y +=，则xy 有（）Ａ．最大值16 Ｂ．最小值1 16 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值 1 16 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是（） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 111 a b c ++≥．a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是（）

A ． 11 4x y ≤+ B ．11 1x y +≥ C 2≥ D ．11xy ≥ 8. a ,b 是正数，则2 , 2 a b ab a b ++三个数的大小顺序是（）Ａ．2 2 a b ab a b +≤ ≤ + 22a b ab a b +≤ + Ｃ． 2 2 ab a b a b +≤≤ + Ｄ． 22 ab a b a b +≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（）Ａ．2 p q x += Ｂ．2 p q x +< Ｃ．2 p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是（）Ａ．4y x x =+ Ｂ．4 sin sin y x x =+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+ 11. 函数y =的最大值为 . 12. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为元. 13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 . 14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x y y x y x +-++的值恒为正，对吗？答 . 15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值. 16. 已知)R ,10(log )(+∈≠>=x a a x x f a 且．若1x 、+∈R 2x , 试比较

2022年高考数学基本不等式及其应用知识点专项练习含答案

专题26 基本不等式及其应用一、单选题（本大题共12小题，共60分） 1. 建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为( ) A. 1680元 B. 1760元 C. 1800元 D. 1820元 2. 为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体A 1B 1C 1D 1，该项目由长方形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD 的面积为1000m 2，绿化带的宽分别为2 m 和5m(如图所示).当整个项目占地A 1B 1C 1D 1面积最小时，则核心喷泉区BC 的边长为( ) A. 20 m B. 50 m C. 10√10m D. 100 m 3. 设a >0，b >0，a +b =1，则下列说法错误的是( ) A. ab 的最大值为1 4 B. a 2+b 2的最小值为1 2 C. 4 a +1 b 的最小值为9 D. √a +√b 的最小值为√2 4. 已知m >0，xy >0，当x +y =2时，不等式2 x + m y ≥4恒成立，则m 的取值范围是 ( ) A. [√2,+∞) B. [2,+∞) C. (0,√2] D. (0,2] 5. 在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即d =m k ，其中d 是距离( 单位，m 是质量(单位，k 是弹簧系数(单位弹簧系数分别为k 1，k 2的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数k 满足1 k =1 k 1 +1 k 2 ，并联时得到的弹簧系数k 满足k =

专题07 基本不等式学霸必刷100题(解析版)

基本不等式学霸笔刷100题 1．在ABC ∆中，点P 满足3BP PC =，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若 AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（） A ． 212 + B ． 312 + C ． 32 D ． 52 【答案】B 【解析】如下图所示： 3BP PC =，即() 3AP AB AC AP -=-，13 44 AP AB AC ∴= +， AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，1 AB AM λ ∴= ，1 AC AN μ = ， 1344AP AM AN λμ∴= +，M 、P 、N 三点共线，则13 144λμ +=. ()13333 1211444444λμλμλμλμλμμλ μλ⎛⎫∴+=++=++≥⋅=+ ⎪ ⎝⎭，当且仅当3μλ= 时，等号成立，因此，λμ+3 1+，故选B.

2．已知,,2a b R a b ∈+=，则 22 11 11 a b +++的最大值为（） A ．1 B ． 65 C ． 1 2 D ．2 【答案】C 【解析】因为,,2a b R a b ∈+=，则()2222 222112 111 +++=+++++a b a b ab a b ()()()()()()()2 22222 22421626221251414 +-+----====++-+-+-+-+a b ab ab ab ab ab a b ab ab ab ab ab ，令1=-t ab ，则 () () 2 242142414 ---= +-+ab t t ab ，再令42-=t m ，则42 -=m t ，所以()22 24244 3248324844 -===+-+-+-+t m m t m m m m m ，由基本不等式可得32+ ≥m m ，当且仅当m = ，2=-t 4328≤= +-m m ，所以221111a b +++ 的最大值为12 . 故选：C 3．正数a ,b 满足9a b ab +=,若不等式2218a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A ．[)3,+∞ B ．(]3,-∞ C ．(],6-∞ D ．[)6,+∞ 【答案】A 【解析】 9a b ab +=,19 1a b ∴+=，且a ,b 为正数， 199()()1010216b a b a b a b a b a b a ∴+=++=+++=，当且仅当 9b a a b =，即4,12a b ==时，()16min a b +=，

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