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北邮版概率论答案(4)

习题四

1.设随机变量X 的分布律为

求E （X ），E （X ），E （2X +3）. 【解】(1) 11111

()(1)012;82842

E X =-?

+?+?+?= (2) 22

22211115()(1)012;82844

E X =-?+?+?+?=

(3) 1

(23)2()32342

E X E X +=+=?+=

2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.

故 ()0.58300.34010.07020.0073E X =?

+?+?+?+?+?

0.501,= 5

()[(

)]i

i D X x E X P ==

-∑

222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432.

=-?+-?++-?=

3.设随机变量且已知E （X ）=0.1,E (X )=0.9,求P 1，P 2，P 3. 【解】因1231P P P ++=……①,

又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-= ……②,

2222

12313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+= ……③

由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P ===

4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？

【解】记A ={从袋中任取1球为白球}，则

(){|}{}N

k P A P A X k P X k ===∑ 全概率公式

1{}{}

1().N

k k k P X k kP X k N N

n E X N N

=====

===∑∑

5.设随机变量X 的概率密度为

f （x ）=??

??≤≤-<≤.,0,21,2,

10,其他x x x x

求E （X ），D （X ）. 【解】1

()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞

-∞

=+-?

32011 1.33x x x ??

??=+-=???????

()()d d (2)d 6

E X x f x x x x x x x +∞

-∞

==+-=

?? 故 2

1()()[()].6

D X

E X E X =-=

6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望.

（1） U =2X +3Y +1；（2） V =YZ -4X .

【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++ 25311144.=?+?+=

(2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=- ,()()4()Y Z E Y E Z E X - 因独立

1184568.=?-?= 7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X -2Y ），

D （2X -3Y ）. 【解】(1) (32)3()2()3323 3.

E X Y E X E Y -=-=?-?=

(2) 2

(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=?+?= 8.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=??

?<<<<.,

0,10,其他x y x k

试确定常数k ，并求E （XY ）. 【解】因

(,)d d d d 1,2

f x y x y x k y k +∞+∞

-∞

=??

??故k =2 1

()(,)d d d 2d 0.25x

E XY xyf x y x y x x y y +∞

+∞

-∞

===?

??.

9.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为

f X （x ）=???≤≤;,

10,2其他x x f Y （y ）=(5)e ,5,0,.

y y --?>?

?其他

求E （XY ）.

【解】方法一：先求X 与Y 的均值

()2d ,3

E X x

x x ==? 5

(5)5

()e d

e d e d 51 6.

z y y z

E Y y y z z

z +∞

+∞+∞=-----=

+=+=?

令由X 与Y 的独立性，得

()()()6 4.3

E XY E X E Y ==?=

方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X 与Y 独立，故联合密度为

(5)2e ,01,5,

(,)()()0,

,y X Y x x y f x y f x f y --?≤≤>==?

? 其他于是

(5)

(5)5

()2e

d d 2d

e d 6 4.3

y y E XY xy x x y x x y y +∞

+∞

----===?=?

10.设随机变量X ，Y 的概率密度分别为

f X （x ）=??

?≤>-;0,

22x x x e f Y （y ）=???≤>-.

0,44y y y e 求（1） E （X +Y ）;（2） E （2X -3Y 2）. 【解】22-200

()()d 2e d [e ]

e d x

x x X X xf x x x x x x +∞

+∞

--+∞

-∞==-?

e d .2

x x +∞

-==?

1()()d 4e d y .

Y E Y y f y y y +∞

+∞--∞=

? 2

242021()()d 4e d .48

y Y E Y y f y y y y +∞

+∞

--∞=

=??

从而(1)113

()()().244

E X Y E X E Y +=+=+=

(2)22

115(23)2()3()23288

E X Y E X E Y -=-=?

-?= 11.设随机变量X 的概率密度为

f （x ）=????

?<≥-.

2x x cx x

求（1）系数c ;（2） E （X ）;（3） D （X ）. 【解】(1) 由

()d e

d 12k x c

f x x cx x k

+∞

--∞

?得22c k =. (2) 22

()()d()2e

d k x E X xf x x x k x x +∞

+∞

--∞

2e d k x k

x x +∞

-==

(3) 22

22220

1()()d()2e .k

E X x f x x x k x k

+∞

--∞

==?

故

2214π()()[()].24D X E X E X k k k

?-=-=-= ?? 12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X ，求E （X ）和D （X ）. 【解】设随机变量X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X 的可能取值为0，1，2，

3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知

9{0}

0.750,12P X === 39{1}0.204,1211P X ==?= 329{2}0.041,121110P X ==??= 3219{3}0.005.1211109P X ==???= 于是，得到X 的概率分布表如下：

由此可得()00.75010.20420.04130.0050.301.E X =?+?+?+?=

222222

()075010.20420.04130.0050.413()()[()]0.413(0.301)0.322.

E X D X E X E X =?+?+?+?==-=-=

13.一工厂生产某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为

f （x ）=???

??≤>-.0,

0,0,414x x x

为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，

工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利Y 只有两个值：100元和 -200元

1/4

{100}{1}e d e

x P Y P X x +∞

≥==?

1/4

{200}{1}1e

P Y P X -=-=<=- 故1/41/41/4()100e (200)(1e )300e 20033.64E Y ---=?+-?-=-= (元).

14.设X 1，X 2，…，X n 是相互独立的随机变量，且有E （X i ）=μ，D （X i ）=σ2，i =1，2，…，

n ，记

∑==n i i S X n X 12,1，S 2

=∑=--n i i X X n 1

2)(11. （1）验证)(X E =μ，)(X D =n

σ；

（2）验证S 2

=)(111

∑=--n

i i X n X n ；

（3）验证E （S 2）=σ2.

【证】(1) 11111

11()()().n n

n i i i i i i E X E X E X E X nu u n n n n ===??===== ???

∑∑∑

2211111

1()()n n

n i i i i i i i D X D X D X X DX n n

n ===??== ???∑∑∑ 之间相互独立 22

21.n n n

σσ==

(2) 因

()(2)2n

i i

i i i i i X

X X X X X X nX X X ====-=+-=+-∑∑∑∑

221

i i i X nX X nX X nX ===

+-=-∑∑

故22

()1n

i i S X nX n ==--∑.

(3) 因2(),()i i E X u D X σ==,故2222

()()().i i i E X D X EX u σ=+=+ 同理因2

(),()E X u D X n

σ==,故2

2()E X u n

σ=

从而

222

21111()()[()()]11n n

i i i i E s E X nX E X nE X n n ==??=-=-??--??∑∑

221

222

221[()()]11().1n

i i E X nE X n n u n u n n σσσ==--????=+-+=?? ?-????

∑

15.对随机变量X 和Y ，已知D （X ）=2，D （Y ）=3，Cov(X ,Y )= -1,

计算：Cov （3X -2Y +1，X +4Y -3）. 【解】Cov(321,43)3()10Cov(,)8()X Y X Y D X X Y D Y -++-=+- 3210(1)8328=?+?--?=- (因常数与任一随机变量独立，故Cov(X ,3)=Cov(Y ,3)=0,其余类似). 16.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=22

1,1,

π0,

.x y ?+≤????其他

试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的. 【解】设22{(,)|1}D x y x y =+≤.

221

()(,)d d d d πx y E X xf x y x y x x y +∞

+∞

-∞

+≤==

?? 2π1

1=cos d d 0.πr r r θθ=??

同理E (Y )=0. 而 C o v (,)

[()][()](,X Y x E x y E Y f x y x y

+∞+∞-∞

-∞

=--??

222π12

001

11d d sin cos d d 0ππx y xy x y r r r θθθ+

≤===????, 由此得0XY ρ=,故X 与Y 不相关. 下面讨论独立性，当|x |≤1

时，1()

X f x y 当|y |≤1

时，1()

Y f y x 显然()()(,).X Y f x f y f x y ≠

故X 和Y 不是相互独立的.

17.

验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的.

【解】联合分布表中含有零元素，X 与Y 显然不独立，由联合分布律易求得X ，Y 及XY 的

分布律，其分布律如下表

由期望定义易得E （X ）=E （Y ）=E （XY ）=0. 从而E (XY )=E (X )·E (Y ),再由相关系数性质知ρXY =0, 即X 与Y 的相关系数为0，从而X 和Y 是不相关的. 又331

{1}{1}{1,1}888

P X P Y P X Y =-=-=

?≠==-=- 从而X 与Y 不是相互独立的.

18.设二维随机变量（X ，Y ）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均

匀分布，求Cov （X ，Y ），ρXY . 【解】如图，S D =

，故（X ，Y ）的概率密度为

题18图

2,(,),

(,)0,x y D f x y ∈?=?

其他.

()(,)d d D

E X xf x y x y =??11001

d 2d 3x x x y -==??

()(,)d d D

E X x f x y x y =??1

120

1d 2d 6

x x y -==

从而2

111

()()[()].6318

D X

E X E X ??=-=-= ???

同理11(),().318

E Y D Y =

= 而 110

()(,)d d 2d d d 2d .12

E XY xyf x y x y xy x y x xy y -====

??????

所以

1111Cov(,)()()()123336

X Y E XY E X E Y =-=

-?=- . 从而

112XY ρ-

19.设（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=1

ππsin(),0,0,

2220.x y x y ,

?+≤≤≤≤????其他

求协方差Cov （X ，Y ）和相关系数ρXY . 【解】π/2

π/2

1π()(,)d d d sin()d .24

E X xf x y x y x x x y y +∞

+∞

-∞

=+=??

220

1ππ()d sin()d 2.282

E X x x x y y =

+=+-?

从而

ππ()()[()] 2.162

D X

E X E X =-=+-

同理 2πππ

(),() 2.4162

E Y D Y ==

+- 又 π/2

π/2

()d sin()d d 1,2

E XY x xy x y x y =

+=-?

故 2

πππ

π4C o v (,)()()()1.

244

4X Y E X Y E X E Y -???

?=-=--?

=- ? ?????

222

π4

(π4)π8π16

πππ8π32π8π32

162

- ?

--+

===-=-

+-+-

20.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为?

，试求Z1=X -2Y和Z2=2X -Y的相关

系数.

【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.

从而

()(2)()4()4Cov(,)1444113,

()(2)4()()4Cov(,)414414,

D Z D X Y D X D Y X Y

=-=+-=+?-?=

=-=+-=?+-?=

Cov(,)Cov(2,2)

Z Z X Y X Y

=--

2Cov(,)4Cov(,)Cov(,)2Cov(,)

2()5Cov(,)2()215124 5.

X X Y X X Y Y Y

D X X Y D Y

=--+

=-+=?-?+?=故

Z Z

ρ===

21.对于两个随机变量V，W，若E（V2），E（W2）存在，证明：

［E（VW）］2≤E（V2）E（W2）.

这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy -Schwarz）不等式.

【证】令2

(){[]},.

g t E V tW t R

=+∈

显然

2222

0()[()][2]

g t E V tW E V tVW t W

≤=+=++

222

[]2[][],.

E V t E VW t E W t R

=++?∈

可见此关于t的二次式非负，故其判别式Δ≤0，

即222

0[2()]4()()

E VW E W E V

≥?=-

222

4{[()]()()}.

E VW E V E W

故222

[()]()()}.

E VW E V E W

≤

22.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现

故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F（y）.

【解】设Y表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间

X ~E (λ),E (X )=

=5.

依题意Y =min(X ,2).

对于y <0,f (y )=P {Y ≤y }=0. 对于y ≥2,F (y )=P (X ≤y )=1.

对于0≤y <2,当x ≥0时，在(0,x )内无故障的概率分布为 P {X ≤x }=1 -e -λx ,所以

F (y )=P {Y ≤y }=P {min(X ,2)≤y }=P {X ≤y }=1 -e -y/5.

23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装

有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数Z 的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 【解】（1） Z 的可能取值为0，1，2，3，Z 的概率分布为

333

C C {}C k k

P Z k -==

, 0,1,2,3.k =

因此，()0123.202020202

E Z =?+?+?+?= (2) 设A 表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有

(){}{|}k P A P Z k P A Z k ====∑

191921310.202062062064

?+?+?+?= 24.假设由自动线加工的某种零件的内径X （毫米）服从正态分布N （μ,1），内径小于10或

大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T （单位：元）与销售零件的内径X 有如下关系

T =??

??>-≤≤<-.12,5,1210,20,10,

1X X X 若若若问：平均直径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？

【解】(){10}20{1012}5{12}E T P X P X P X =-<+≤≤->

{10}20{1012}5{12(10)20[(12)(10)]5[1(12

)]25(1

2)21(10) 5.

P X u u P u X u u P X u u

u u u u u u =--<-+-≤-≤--->

-=-Φ-+Φ--Φ---Φ-=Φ--Φ--

故

2/2d ()25(12)(1)21(10)(1)0(()),d x E T u u x u ???-=-?---?-= 令

这里

得 22(12)/2

(10)/2

25e 21e

u u ----=

两边取对数有

2211

ln 25(12)ln 21(10).22u u --=--

解得 1251

11ln 11ln1.1910.91282212

u =-=-≈(毫米)

由此可得，当u =10.9毫米时，平均利润最大.

25.设随机变量X 的概率密度为

f (x )=?????≤≤.,

0,0,2

cos 21其他πx x 对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于π/3的次数，求Y 2的数学期望.

（2002研考）

【解】令 π1,,3

(1,2,3,4)π0,3i X Y i ?

>??==?

?≤??

X .

则4

~(4,)i i Y Y B p ==

∑.因为

ππ{}1{}33p P X P X =>=-≤及π/30π11

{}cos d 3222

x P X x ≤==?,

所以111

(),(),()42,242

i i E Y D Y E Y ===?=

2211

()41()()22

D Y

E Y EY =??==-,

从而222

()()[()]12 5.E Y D Y E Y =+=+=

26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间T i (i =1,2)服从参数为5的指数分布，首先

开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T =T 1+T 2的概率密度f T (t )，数学期望E （T ）及方差D （T ）. 【解】由题意知：

55e ,0,()0,

0t i t f t t -?≥=?

因T 1,T 2独立，所以f T (t )=f 1(t )*f 2(t ).

当t <0时，f T (t )=0;

当t ≥0时，利用卷积公式得

55()5120

()()()d 5e 5e d 25e t

x t x t T f t f x f t x x x t +∞

-----∞

=-==?

故得

525e ,0,

()0,

0.t T t t f t t -?≥=?

15,D (T i )=1

25 (i =1,2) 因此，有E (T )=E (T 1+T 2)=2

又因T 1,T 2独立，所以D （T ）=D （T 1+T 2）=2

27.设两个随机变量X ，Y 相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变

量|X -Y |的方差.

【解】设Z =X -Y

，由于22~0,,~0,,X N Y N ????

? ? ? ?????

且X 和Y 相互独立，故Z ~N （0，1）.

因

22()()(||)[(||)]D X Y D Z E Z E Z -==-

22()[()],E Z E Z =-

而

22/2

()()1,(||)||

d z E Z D Z E Z z z +∞

--∞

===?

2/20e d z z z +∞-=

= 所以 2

(||)1π

D X Y -=-

. 28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p (0

一个不合格产品时，即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X ，求E （X ）和D （X ）.

【解】记q =1 -p ,X 的概率分布为P {X =i }=q i -1p ,i =1,2,…，

故1

111

()().1(1)i i

i i q p E X iq p p q p q q p ∞

∞

-=='??'===== ?--??

∑∑ 又2

()()i i i i i i E X i q

p i i q p iq p ∞

∞∞

---====

=-+∑∑∑

223221

1()12112.(1)i

i q pq q pq p q p pq q p q p p p

∞

=''??''=+=+

?-??+-=+==-∑

所以 22

222211()()[()].p p

D X

E X E X p p p

--=-=

题29图

29.设随机变量X 和Y 的联合分布在点（0，1），（1，0）及（1，1）为顶点的三角形区域上

服从均匀分布.（如图），试求随机变量U =X +Y 的方差. 【解】D (U )=D (X +Y )=D (X )+D (Y )+2Cov(X ,Y )

=D (X )+D (Y )+2[E (XY ) -E (X )·E (Y )]. 由条件知X 和Y 的联合密度为

2,(,),

(,)0,0.

x y G f x y t ∈?=?

从而1

1()(,)d 2d 2.X x

f x f x y y y x +∞

-∞

-===?

因此

11122300031

()()d 2d ,()2d ,22

X E X xf x x x x E X x x =====???

22141

()()[()].2918

D X

E X E X =-=-=

同理可得 31

(),().218

E Y D Y ==

()2d d 2d d ,12

E XY xy x y x x y y -===

????

541Cov(,)()()(),12936

X Y E XY E X E Y =-=

-=- 于是 1121()().18183618

D U D X Y =+=

+-= 30.设随机变量U 在区间[ -2,2]上服从均匀分布，随机变量

X =1,1,1,1,U U -≤-??

>-? Y =1,1,

1, 1.

U U -≤??>?若

试求（1）X 和Y 的联合概率分布；（2）D （X +Y ）.

【解】（1）为求X 和Y 的联合概率分布，就要计算（X ，Y ）的4个可能取值( -1, -1),( -1,1),(1, -1)及(1,1)的概率.

P {x = -1,Y = -1}=P {U ≤ -1,U ≤1} 1

12d d 1{1}444x x P U ---∞-=≤-=

==??

P {X = -1,Y =1}=P {U ≤ -1,U >1}=P {?}=0, P {X =1,Y = -1}=P {U > -1,U ≤1}

1d 1{11}44

x P U -=-<≤==?

d 1

{1,1}{1,1}{1}44

x P X Y P U U P U ===>->=>=?

. 故得X 与Y 的联合概率分布为

(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(,)~1110

424X Y ----??

??????

. (2) 因22()[()][()]D X Y E X Y E X Y +=+-+,而X +Y 及（X +Y ）2的概率分布相应

为

2~11

142

4X Y -????+?

???, 2

4()~1122X Y ??

??+????

. 从而11

()(2)20,44E X Y +=-?

+?= 2

11[()]042,22

E X Y +=?+?=

所以22()[()][()] 2.D X Y E X Y E X Y +=+-+= 31.设随机变量X 的概率密度为f (x )=x

-e

，（ -∞

(1) 求E （X ）及D （X ）；

（2）求Cov(X ,|X |),并问X 与|X |是否不相关？（3）问X 与|X |是否相互独立，为什么？

【解】(1)||1()e d 0.2x E X x x +∞

--∞=

=? 2||201()(0)e d 0e d 2.2

x x

D X x x x x +∞+∞

---∞=-==??

(2) Cov(,|)(||)()(||)(||)X X E X X E X E X E X X =-=

||1

||e d 0,2

x x x x +∞

--∞

所以X 与|X |互不相关.

(3) 为判断|X |与X 的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域

-∞

0000{}{||}{}.x X x X x X x -<<=

所以000{||}{} 1.P X x P X x <<<<<

故由

00000{,||}{||}{||}{}P X x X x P X x P X x P X x <<=<><<

得出X 与|X |不相互独立.

32.已知随机变量X 和Y 分别服从正态分布N （1，32）和N （0，42），且X 与Y 的相关系数

ρXY = -1/2，设Z =

X +. （1）求Z 的数学期望E （Z ）和方差D （Z ）；（2）求X 与Z 的相关系数ρXZ ；

（3）问X 与Z 是否相互独立，为什么？【解】(1) 1

().323X Y E Z E ??=+=

? ()2Cov ,3232X

Y X Y D Z D D ??????=++

? ? ???????

1111

9162Cov(,),9432

X Y =

?+?+?? 而

Cov(,)3462XY X Y ρ??

==-??=- ???

所以 1

()146 3.3

D Z =+-?= (2) 因()()11

Cov(,)Cov ,

Cov ,Cov ,3232

X Y X Z X X X X Y ??=+=+ ??? 119

()(6)3=0,323

D X =

+?-=- 所以

XZ ρ=

(3) 由0XZ ρ==，得X 与Z 不相关.又因1~,3,~(1,9)3

Z N X N ?? ???

，所以X 与Z 也相互独立.

33.将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 表示正面向上和反面向上的次数.试求X 和Y 的相关系

数XY ρ.

【解】由条件知X +Y =n ，则有D （X +Y ）=D （n ）=0.

再由X ~B (n ,p ),Y ~B (n ,q )，且p =q =

, 从而有 ()()4

D X npq D Y ==

所以

0()()()2XY D X Y D X D Y ρ=+=++ 2,24

XY n n

ρ=

+ 故XY ρ= -1. 34.

试求X 和Y 【解】由已知知E (X )=0.6,E (Y )=0.2，而XY 的概率分布为

所以E （XY ）= -0.08+0.2=0.12

Cov(X ,Y )=E (XY ) -E (X )·E (Y )=0.12 -0.6×0.2=0 从而

XY ρ=0

35.对于任意两事件A 和B ，0

ρ=

())

()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P ?-为事件A 和B 的相关系数.试证：

（1）事件A 和B 独立的充分必要条件是ρ=0；

（2） |ρ|≤1. 【证】（1）由ρ的定义知，ρ=0当且仅当P (AB ) -P (A )·P (B )=0.

而这恰好是两事件A 、B 独立的定义，即ρ=0是A 和B 独立的充分必要条件. (2) 引入随机变量X 与Y 为

1,,0,A X A ??=???若发生若发生; 1,,0,B Y B ??=???若发生若发生.

由条件知，X 和Y 都服从0 -1分布，即

01~1()()X P A P A ??

-? 0

1~1()()Y P B P B ??-?

从而有E (X )=P (A ),E (Y )=P (B ),

D (X )=P (A )·P (A ),D (Y )=P (B )·P (B ),

Cov(X ,Y )=P (AB ) -P (A )·P (B )

所以，事件A 和B 的相关系数就是随机变量X 和Y 的相关系数.于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得|ρ|≤1. 36. 设随机变量X 的概率密度为

f X (x )=????

?????<≤<<-.,

0,20,4

,01,21

其他x x

令Y =X 2，F （x ,y ）为二维随机变量（X ，Y ）的分布函数，求：

(1) Y 的概率密度f Y (y )； (2) Cov(X ,Y ); (3)1

(,4)2

F -

. 解： (1) Y 的分布函数为

2(){}{}Y F y P Y y P X y =≤=≤.

当y ≤0时， ()0Y F y =，()0Y f y =；当0＜y ＜1时，

(){{0}{0Y F y P X P X P X =≤≤

=<+≤≤=

，

()Y f y =

；

当1≤y <4时，

1(){10}{02Y F y P X P X =-≤<+≤≤

()Y f y =

；

当y ≥4时，()1Y F y =，()0Y f y =. 故Y 的概率密度为

1,()04,0,.

Y y f y y <<=≤

(2) 0210111

()()d d d 244

+X E X =xf x x x x x x ∞∞=+=???--, 0222

2210115()()()d d d )246

+X E Y =E X =x f x x x x x x ∞∞=+=???--, 02233

310117()()()d d d 248

+X E XY =E Y =x f x x x x x x ∞∞=+=???--, 故 Cov(X,Y ) =2

()()()3

E XY E X E Y =?-.

(3) 2111

(,4){,4}{,4}222

F P X Y P X X -

=≤-≤=≤-≤ 11

{,22}{2}22

P X X P X =≤--≤≤=-≤≤-

{1}24

P X =-≤≤-=.

37. 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布,求P{X=E(X 2)}.

解：因为其分布律为P{x=k}=1

e k -,k=0,1,2,…,

0111

21111()!(1)!(1)!

11(2)!(1)!() 2.

k k k k k e k k E X k e e k k k e k k e e e -∞

∞∞

--===∞∞

-==--+===--??

=+ ?--??

=+=∑∑∑

∑∑ 所以

211{()}{2}.

2!2

P x E X P X e e --=====所以

北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案

第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ，（4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随机地取一个球，求取到红球的概率。 §1 .7 贝叶斯公式 1．某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1）该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。 2．将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为，

(完整版)北邮研究生概率论与随机过程2012-2013试题及答案

北京邮电大学2012——2013学年第1学期《概率论与随机过程》期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-；（B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==；（C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++；（D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ；

北邮版概率论标准答案(7)

习题七 1.设总体X 服从二项分布b （n ，p ），n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本，求参数p 的矩法估计. 【解】1(),(),E X np E X A X ===因此np =X 所以p 的矩估计量 ?X p n = 2.设总体X 的密度函数 f （x ,θ）=22 (),0, 0, .x x θθθ?-<

(2) 似然函数1 1 ,01n n i i i L x x θ θ-==<<∏g ,i =1,2,…,n. 1 ln ln (1)ln n i i L n x θθ==+-∏ 由1 d ln ln 0d n i i L n x θθ==+=∏知 1 1?ln ln n n i i i i n n x x θ ===-=- ∑∏ 所以θ的极大似然估计量为 1 ?ln n i i n x θ ==-∑ 求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值. 【解】 0.094x =- 0.101893s = 9n = ?0.094.EX x ==- 由2 2 2 2 21 ()()[()],()n i i x E X D X E X E X A n ==+==∑知222 ??[()]E X A σ+=,即有 ?σ =于是 ?0.101890.0966σ === 所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966. 5.随机变量X 服从［0，θ］上的均匀分布，今得X 的样本观测值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计. 【解】(1) ()2 E X θ = ,令()E X X =，则 ?2X θ =且?()2()2()E E X E X θθ===, 所以θ的矩估计值为?220.6 1.2x θ ==?=且?2X θ=是一个无偏估计.

北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案

2. 设}4 B =x ≤ x ≤ A S：则 x x = x < 3 1: }, { 2: { }, ≤ = {≤< 5 0: （1）= A，（2） ?B = AB，（3）=B A，（4）B A?= ，（5）B A= 。 §1 .3 概率的定义和性质 1.已知6.0 A P ?B = P A B P，则 ( ,5.0 ( ) ) ,8.0 (= ) = (1) =) (AB P, (2)() P)= , (B A (3)) P?= . (B A 2. 已知, 3.0 P A P则 =AB ( (= ) ,7.0 ) P= . A ) (B §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1 A P =B A P则 = A P B | ( | ) ,3/1 ) ) ,4/1 ( (=

北邮版概率论答案

习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+

ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A；（2）随机变量（X，Y）的分布函数；（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12 (34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k （1）确定常数k；（2）求P{X＜1，Y＜3}；（3）求P{X<1.5}；（4）求P{X+Y≤4}. 【解】（1）由性质有

北邮版概率论答案(2)

习题二 1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】 3535 24 35 3,4,51 (3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6 C X P X P X P X ====== ==== 2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求：（1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； (3) 133 {},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】 3 1331512213 3151133 150,1,2. C 22 (0). C 35C C 12(1). C 35 C 1 (2).C 35 X P X P X P X ========== （2）当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0 当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)= 2235

当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数 0, 022 ,0135()34,12351,2x x F x x x

北邮概率论与数理统计条件概率1.3

§1.3 条件概率条件概率是概率论中的一个基本概念，也是概率论中的一个重要工具，它既可以帮助我们认识更复杂的随机事件，也可以帮助我们计算一些复杂事件的概率。 1. 条件概率的定义及计算在一个随机试验中或随机现象中，当我们已知一个事件B 发生了，这时对另外一个事件A 发生的概率往往需要重新给出度量.称事件A 的这个新概率为在事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率,记为)|(B A P .为了对条件概率有一个直观的认识以及考虑该如何给出条件概率的数学定义,我们先看一个例子. 例1 一批同类产品由甲、乙两个车间生产，各车间生产的产品数及正品和次品的情况如下表甲车间乙车间合计正品 465 510 975 次品 15 10 25 合计 480 520 1000 从这批产品中任取一件，则这件产品是次品的概率为 %5.21000 25= 现在假设被告知取出的产品是由甲车间生产的，那么这件产品为次品的概率就不再是 %5.2，而是 %125.3480 15= 在本例中，设B 表示事件“取出的产品是由甲车间生产的”，A 表示事件“取出的产品是次品”，前面算出的事件A 的概率是在没有任可进一步的信息的情况下得到的，而后面算出的事件A 的概率是在有了 “事件B 发生了”这一信息的情况下得到的.后一个概率就是在事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率.与此对应，我们可以把前一个概率称为无条件概率。经过简单计算有 ) ()(1000/4801000/1548015)|(B P AB P B A P === 这个关系式尽管是从本例得出的，但它具有普遍意义.受由启发,我们可以在一般的样本空间中给出条件概率的数学定义. 定义设B A ,是样本空间Ω中的两个事件，且0)(>B P ，在事件B 发生的条件下，事件A 的条件概率定义为 ) ()()|(B P AB P B A P = 根据条件概率的定义，不难验证条件概率满足概率定义中的三条公理：（1）非负性：对任一事件B ，有0)|(≥A B P ；（2）规范性：1)|(=ΩA P ；

概率论与数理统计课后答案北邮版(第四章)

习题四 1.设随机变量X 的分布律为 1 0 1 2 求E （X ），E （X 2 ），E （2X +3）. 【解】(1) 11111 ()(1)012;8 2842 E X =-?+? +?+?= (2) 22 22211115()(1)012;82844 E X =-?+?+?+?= (3) 1 (23)2()32342 E X E X +=+=?+= 2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取出的5个产品中的次品数为X ，则X 的分布律为故 ()0.58300.34010.07020.00730405E X =?+?+?+?+?+? 0.501,= 5 2 ()[()]i i i D X x E X P == -∑ 222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)0 0.432. =-?+-?++-?= 3.设随机变量X 的分布律为 1 0 1 且已知E （X ）=,E (X 2 )=,求P 1，P 2，P 3.

【解】因1231P P P ++=……①, 又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-=……②, 2222 12313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+=……③ 由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P === 4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白球的概率是多少【解】记A ={从袋中任取1球为白球}，则 (){|}{}N k P A P A X k P X k ===∑全概率公式 1 {}{} 1().N N k k k P X k kP X k N N n E X N N ===== ===∑∑ 5.设随机变量X 的概率密度为 f （x ）=?? ? ??≤≤-<≤.,0,21,2, 10,其他x x x x 求E （X ），D （X ）. 【解】12 20 1 ()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞ -∞ = =+-? ?? 2 1 3 32011 1.33x x x ?? ??=+-=??????? ? 1 2 2 2 3 20 1 7 ()()d d (2)d 6 E X x f x x x x x x x +∞ -∞ ==+-= ? ?? 故 2 2 1()()[()].6 D X E X E X =-= 6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望. （1） U =2X +3Y +1；（2） V =YZ 4X .

北邮版概率论答案

习题二 2?设在15只同类型零件中有 2只为次品，在其中取 3次，每次任取1只，作不放回抽样, 以X 表示取出的次品个数，求：（1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； ⑶ 1 3 3 P{X -}, P{1 X -}, P{1 X }, P{1 X 2}. 2 2 2 【解】 X 0,1,2. C ；3 22 P(X 0) J C 15 35 1 2 C ； 12 P(X 1) J — C 15 35 C 1 1 P(X 2) 3 C 15 35 故X 的分布律为 X 0 \ 1 2 P 22 12 1 .Z ........... 35 35 / 35 (2)当 x<0 时，F (x ) =P (X w x ) =0 当0 w x<1时， F (x ) =P (X w x ) \ Z 22 =P(X=0)=—— 35 2, 3, 4, 5，在其中同时取 3只，以X 表示取出的3只 X 的分布律. X 3,4,5 P(X 1 3) -3 0.1 / P(X 3 4) -3 0.3 2 / P(X 5) C 3 0.6 C ；故所求分布律为 1?一袋中有5只乒乓球，编号为1，球中的最大号码，写出随机变量【解】

4.( 1)设随机变量X 的分布律为当1 < x<2时, F (x ) =P (X W x ) =P(X=0)+P(X=1)=34 35 当 x >2 时，F (x ) =P (X W x ) =1 故X 的分布函数 0, x 0 F(x) 22 35 34 35 1, x 2 22 35 3 3 34 34 P(1 X ) F(：) F(1) 0 2 2 35 35 3 3 12 P(1 X -) P(X 1) P(1 X -)- 2 2 35 34 P(1 X 2) F(2) F(1) P(X 2) 1 - 35 1 0. 35 3?射手向目标独立地进行了 3次射击，每次击中率为，求 3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求 3次射击中至少击中2次的概率? 【解】设X 表示击中目标的次数?则X=0，1，2，3. P(X 0) (0.2)3 0.008 P(X 1) C ；0.8(0.2)2 0.096 P(X 2) C 3(0.8)20.2 0.384 P(X 3) 3 (0.8) 0.512 X \ 0 1 2 3 P 分布函数 0, x 0 0.008, 0 x 1 F(x) 0.104, 1 x 2 0.488, 2x3 1, x 3 P(X 2) P(X 2) P(X 3) 0.896 P(X F(2) 故X 的分布律为

北邮版概率论答案(7)

所以θ的极大似然估计量为1 ?X θ =. (2) 似然函数1 1 ,01n n i i i L x x θ θ -==<<∏,i =1,2,…,n. 1 ln ln (1)ln n i i L n x θθ==+-∏ 】由1 d ln ln 0d n i i L n x θθ==+=∏知 1 1?ln ln n n i i i i n n x x θ ===-=- ∑∏ 所以θ的极大似然估计量为 1 ?ln n i i n x θ ==-∑ 求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值. 【解】 0.094x =- 0.101893s = 9n = 0.094.EX x = =- 由2 2 2 2 21()()[()],()n i i x E X D X E X E X A n ==+==∑知222 ??[()]E X A σ+=,即有￥ ?σ =于是 ?0.101890.0966σ === 所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为和. 5.随机变量X 服从［0，θ］上的均匀分布，今得X 的样本观测值：,,,,,,,，求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计. 【解】(1) ()2 E X θ = ,令()E X X =，则

概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案 1．用切比雪夫不等式估计下列各题的概率． (1)废品率为03.0，1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率； (2)200个新生儿中，男孩多于80个而少于120个的概率(假设男孩和女孩的概率均为5.0)．解：(1)设X 为1000个产品中废品的个数，则X ～)1000,03.0(B ，有 30)(=X E ，1.29)(=X D ，由切比雪夫不等式，得 ) 3040303020()4020(-<-<-=<

北邮版概率论答案

习题七 1.设总体Ｘ服从二项分布b (n ，p ），n 已知，X 1,X 2，…,X ｎ为来自X 的样本，求参数p 的矩法估计. 【解】1(),(),E X np E X A X ===因此n ｐ＝X 所以p 的矩估计量 ?X p n = 2.设总体X 的密度函数ｆ（x ,θ）＝22 (),0, 0, .x x θθθ?-<

(２) 似然函数1 1 ,01n n i i i L x x θ θ -==<<∏,i =1，２,…,n. 1 ln ln (1)ln n i i L n x θθ==+-∏ 由1 d ln ln 0d n i i L n x θθ==+=∏知 1 1?ln ln n n i i i i n n x x θ ===-=- ∑∏ 所以θ的极大似然估计量为 1 ?ln n i i n x θ ==-∑ 【解】 0.094x =- 0.101893s = 9n = 0.094.EX x ==- 由2 2 2 2 21()()[()],()n i i x E X D X E X E X A n ==+==∑知222 ??[()]E X A σ+=，即有 ?σ=于是 ?0.101890.0966σ === 所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.９4和0.９66. ５.随机变量Ｘ服从［0,θ]上的均匀分布,今得X 的样本观测值：0.9,0.8,0．2,0.8,０.4,0.４, ０.7,0.6，求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计. 【解】(1） ()2 E X θ = ,令()E X X =,则 ?2X θ =且?()2()2()E E X E X θθ===, 所以θ的矩估计值为?220.6 1.2x θ ==?=且?2X θ=是一个无偏估计.

(完整版)2019概率论与数理统计课后习题及答案.doc

概率论与数理统计课后习题及答案第1章三、解答题 1．设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的？ (1) A 和B 不相容； (2) A 和B 相容； (3) AB 是不可能事件； (4) AB 不一定是不可能事件； (5) P (A ) = 0或P (B ) = 0 (6) P (A – B ) = P (A ) 解：(4) (6)正确. 2．设A ，B 是两事件，且P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7，问： (1) 在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？解：因为)()()()(B A P B P A P AB P ，又因为)()(B A P B P 即.0)()( B A P B P 所以 (1) 当)()(B A P B P 时P (AB )取到最大值，最大值是)()(A P AB P =0.6. (2) 1)( B A P 时P (AB )取到最小值，最小值是P (AB )=0.6+0.7-1=0.3. 3．已知事件A ，B 满足)()(B A P AB P ，记P (A ) = p ，试求P (B )．解：因为)()(B A P AB P ，即)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P AB P ，所以 .1)(1)(p A P B P 4．已知P (A ) = 0.7，P (A – B ) = 0.3，试求)(AB P ．解：因为P (A – B ) = 0.3，所以P (A )– P(AB ) = 0.3, P(AB ) = P (A )– 0.3, 又因为P (A ) = 0.7，所以P(AB ) =0.7– 0.3=0.4，6.0)(1)( AB P AB P . 5．从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？解：显然总取法有410C n 种，以下求至少有两只配成一双的取法k ：法一：分两种情况考虑：15C k 24C 212 )(C +25C 其中：2 122 41 5)(C C C 为恰有1双配对的方法数法二：分两种情况考虑：! 21 61815 C C C k +2 5C 其中：! 216 1815 C C C 为恰有1双配对的方法数法三：分两种情况考虑：)(142815C C C k +25C 其中：)(142 8 1 5C C C 为恰有1双配对的方法数法四：先满足有1双配对再除去重复部分：2 815C C k -25C 法五：考虑对立事件：410C k -45C 4 12)(C

概率论与数理统计第四版答案习题答案

习题解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{ =B （正，正），（反，反） } {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件：（1）只订阅日报；（2）只订日报和晚报；（3）只订一种报；（4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报；（6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报；（8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。解：（1）C B A ；（2）C AB ；（3）C B A C B A C B A ++；（4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++；（6）C B A ；（7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++

概率论与数理统计课后答案北邮版(第三章)

习题三 1.将一硬币抛掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以 Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值 .试写出 X 和 Y 的联合分布律 . 【解】 X 和 Y 的联合分布律如表： X 0 1 2 3 Y 1 1 1 1 1 3 2 1 1 1 C 3 2228 C 3 222 3/ 8 3 1 0 1 1 1 1 8 2 2 2 8 2.盒子里装有 3 只黑球、 2 只红球、 2 只白球，在其中任取 4 只球，以 X 表示取到黑球的只数，以 Y 表示取到红球的只数 .求 X 和 Y 的联合分布律 . 【解】 X 和 Y 的联合分布律如表： X 0 1 2 3 Y C 32 C 22 3 C 33 C 12 2 C 74 35 C 74 35 1 C 13 C 12 C 22 6 C 32 C 12 C 12 12 C 33 C 12 2 C 4 35 C 4 35 C 4 35 7 7 7 2 P(0 黑,2 红,2 白)= C 13 C 22 C 12 6 C 32 C 22 3 0 C 22 C 22 / C 74 1 C 74 35 C 74 35 35 3.设二维随机变量（ X ， Y ）的联合分布函数为 π π F （ x ， y ） = sin x sin y, 0 x 2 ,0 y 2 0, 其他 . 求二维随机变量（ X ， Y ）在长方形域 0 π π y π 内的概率 . x , 6 3 4 【解】如图 P{0 X π π Y π 4 , }公式 (3.2) 6 3 π π F ( π π F (0, π F (0, π F ( , ) , ) 3) ) 4 3 4 6 6

北邮概率论讲议第10讲习题答案

练习2： (),(0,),(0,1),()X t Vt b t b V N X t =+∈∞设随机过程为常数，～求的一维概率密度、均值和相关函数。解：X(t)服从正态分布，故可通过求其均值和方差写出X(t)的一维概率密度 2 [()]()[()]()E X t E Vt b b D X t D Vt b t =+==+= 故X(t)的一维概率密度为 22 ()2()x b t x f t --= 均值函数[()]()E X t E Vt b b =+= 相关函数121212222 121212(,)[()()][()()][]R t t E X t X t E Vt b Vt b E V t t bVt bVt b t t b ==++=+++=+ 练习3： -()()(0,0),()Yt Y f y X t e t Y X t =>>设随机变量具有概率密度，令求随机过程的一维概率密度、均值和相关函数。解：由随机变量函数的概率密度公式知，X(t )的一维概率密度 (){()}{}ln() {ln()}{} Yt X F t P x t x P e x x P Yt x P Y t -=≤=≤=-≤=≥- ' ln()' ()()'()ln()ln()ln()/,0x t X t f x F t f y dy x x x f f tx t t t t +∞-?? ==?? ?? ?????? =---=-> ??? ??????? ? 因为' ()()x a f y dy f x ??=???? ? X(t)的均值函数和相关函数分别为： [()]()()Yt yt E X t E e f y e dy ∞ --==? 1212()12120 (,)[()()][]()Yt Yt y t t X R t t E X t X t E e e e f y dy ∞---+===?

概率论与数理统计答案_北邮版_(第一章)【精选】

概率论与数理统计习题及答案习题一 1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点 . （1）掷一颗骰子，出现奇数点 . （2）掷二颗骰子， A =“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.” B =“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” （3）将一枚硬币抛两次， A =“第一次出现正面.” B =“至少有一次出现正面.” C =“两次出现同一面.” 【解】{}{}1123456135A Ω==（），，，，，，，，； {}{}{}{}{}(2)(,)|,1,2,,6, (12),(14),(16),(2,1),(4,1),(6,1), (22),(24),(26),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6);(3)(,),(,),(,),(,), (,),(,),(,),(,),(i j i j A B A B ΩΩ=======，，，，，，正反正正反正反反正正正反正正正反反{}{},),(,),(,), C =正正正反反 2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ， C （1） A 发生，B ，C 都不发生；（2） A 与B 发生， C （3） A ，B ，C 都发生；（4） A ，B ， C （5） A ，B ，C 都不发生；（6） A ，B ， C （7） A ，B ，C 至多有2个发生；（8） A ，B ，C 至少有2个发生 . 【解】（1） A BC （2） AB C （3） ABC （4） A ∪B ∪C =AB C ∪A B C ∪A BC ∪A BC ∪A B C ∪AB C ∪ABC =ABC

概率论与数理统计课后答案北邮版

习题三 1、将一硬币抛掷三次,以X 表示在三次中出现正面的次数,以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值、试写出X 与Y 的联合分布律、 2、盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X 表示取到黑球的只数,以Y 表示取到红球的只数、求X 与Y 的联合分布律、 3、设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为 F (x ,y )=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量(X ,Y )在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率、【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππ sin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 434636 1).=--+=g g g g

题3图说明:也可先求出密度函数,再求概率。 4、设随机变量(X ,Y )的分布密度 f (x ,y )=???>>+-., 0,0,0,)43(其他y x A y x e 求:(1) 常数A ; (2) 随机变量(X ,Y )的分布函数; (3) P {0≤X <1,0≤Y <2}、【解】(1) 由 -(34)0 (,)d d e d d 112 x y A f x y x y A x y +∞+∞ +∞ +∞ +-∞ -∞ == =?? ? ? 得 A =12 (2) 由定义,有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ = ?? (34)340012e d d (1 e )(1e )0,0, 0,0, y y u v x y u v y x -+--??-->>?==?? ?????其他 (3) {01,02}P X Y ≤<≤< 1 2 (34)3800 {01,02} 12e d d (1e )(1e )0.9499. x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈? ? 5、设随机变量(X ,Y )的概率密度为 f (x ,y )=? ? ?<<<<--.,0, 42,20),6(其他y x y x k (1) 确定常数k; (2) 求P {X ＜1,Y ＜3}; (3) 求P {X <1、5}; (4) 求P {X +Y ≤4}、【解】(1) 由性质有 2 4 2 (,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞ -∞ -∞ =--==?? ? ? 故 1 8 R = (2) 13 {1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞ <<= ??

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