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变上限积分求导

变上限定积分求导法则：例如：原函数存在定理：()(

)()0x

f t dt

f x '

如果该函数()f t 再添一个变量x ，那么公式就变为

()()

()()0

xf t dt f t dt xf x '=+?

相当于：x 是一个常数，提取在变上限定积分()0x

f t dt ?的前面。举例：（2008年高职升本试卷）

若()f x 在(),-∞+∞内连续，()()()02x

F x x t f t dt =-? 证明：（1）若()f x 为奇函数，则()F x 为奇函数。（2）若()f x 非增，则()F x 非减。

证明：（1）若()f x 为奇函数，则证明()()F x F x -+=0即可。

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x F x x t f t dt xf t dt ''????'=-=-??????????()02x tf t dt '??????

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由积分中值定理，可得：[]0,x ξ∈

上式()F x '=()()()()()()()0f x xf x xf xf x x f f x ξξξ--=-=-???? 依题意，得：不妨设0x >，则()()0x f f x ξ->???? 即

：

命

题

得

证.

常用的求导和定积分公式(完美)

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 一．基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211 )(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21 (arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则设)(x u u =， )(x v v =都可导，则

（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'='??? ?? 反函数求导法则若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数 )]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或()()y f u x ?'''= 二、基本积分表（1）kdx kx C =+? （k 是常数）

考研数学利用变限积分求导计算函数极限的方法

考研数学：利用变限积分求导计算函数极限的方法在考研数学中，利用变限积分求导来计算定积分、函数极限和证明积分等式或不等式是常考的题型，事实上，变限积分是与微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）紧密联系在一起的，其重要性不言而喻。在上一篇文章中，文都考研数学辅导老师向大家介绍了利用变限积分求导来计算定积分的技巧，下面对利用变限积分求导来计算函数极限这类题的解题方法进行分析介绍，供各位考生参考，希望对大家有所裨益。变限积分求导的基本公式：公式1：若()f x 连续，则 ()()x a d f t dt f x dx =?；公式2：若()f x 连续，12(),()x x ??可导，则21 () 2211()()(())()(())()x x d f t dt f x x f x x dx ??????''=-? 利用变限积分求导计算函数极限的基本方法： 1）如果函数是含变限积分的分式，可以考虑使用变限积分求导法计算极限； 2）通常是对 00型和∞ ∞ 型不定式积分使用，并结合洛必达法则使用； 3）如果被积函数中含参数x ，应该先将参数x 分离出来，提到积分号前面去。例1. 求极限2 2 2lim x t x x te dt x e →∞ ? 解析：这是一个 ∞ ∞ 型不定式极限，可以运用洛必达法则，而分子是一个变上限积分函数，因此可如下计算：2 2 2 2 2 20 232lim lim 22x t x x x x x x te dt x e x x e xe x e →∞ →∞ ?==+?2 2 lim 11x x x →∞=+ 例2. 0 ()()(0)0,lim ()x x x tf x t dt f x f x f t dt →-≠??若连续，求解析：这是一个型不定式极限，可以运用洛必达法则，但分子中的被积函数含参数x ，需要先将x 分离出来，提到积分号外面去，这可以通过积分换元法实现，具体过程如下： 1.()()()()()()()x t u x x x x x tf x t dt x u f u du x t f t dt x f t dt -=-= --= -=-?? ? ? ?

常用基本初等函数求导公式积分公式.doc

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) ， (13) (14) (15) (16) 函数的和、差、积、商的求导法则设，都可导，则（ 1）（ 2）（是常数）（ 3）（ 4）反函数求导法则若函数在某区间内可导、单调且，则它的反函数在对应区间内也可导，且或复合函数求导法则设，而且及都可导，则复合函数的导数为或２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．

可以推出下表列出的公式：常用积分公式表·例题和点评 ⑴kdx kx c ( k 为常数) ⑵x dx( 1) 1 x 1 c 1 特别， 1 dx 1 c , x d x 2 x23 c , 1 dx 2 x c x 2 x 3 x ⑶1 dx ln | x | c x ⑷ a x d x a x c , 特别，e x d x e x c ln a

⑸ sin x dx cos x c ⑹ cos x d x sin x c ⑺ 1 d x csc 2 x dx cot x c sin 2 x ⑻ 1 d x sec 2 x dx tan x c cos 2 x ⑼ 1 dx x c ( a 0) , 特别， a 2 x 2 arcsin a ⑽ 1 dx 1 x c (a 0) , 特别， a 2 x 2 arctan a a ⑾ 1 1 a x a 2 x 2 d x 2a ln a x c ( a 0) 或 1 1 x a x 2 a 2 dx 2a ln x a c ( a 0) ⑿ tan x dx ln cos x c ⒀ cot x dx ln sin x c 1 arcsin x c 1 d x x 2 1 1 x 2 dx arctan x c 1 ln csc x cot x c ⒁ csc x d x x dx ln tan c sin x 2 1 ln sec x tan x c ⒂ secx d x x dx c cos x ln tan 4 2 1 ( a 0) x 2 a 2 ⒃ a 2 dx ln x c x 2 ⒄ a 2 x 2 dx ( a 0) a 2 x x a 2 x 2 c arcsin 2 2 a ⒅ x 2 2 (a 0) x x 2 a 2 a 2 ln x x 2 a 2 c a d x 2 2

考研高数重要知识点讲解：变限积分求导

凯程考研历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！考研高数重要知识点讲解：变限积分求导在考研复习的初期，打好基础是学好数学的关键。下面，考研高数重要知识点讲解之变限积分求导，希望能帮助到大家。数学虽然属于理科科目，但是仍然有许多重要的知识点需要记忆和运用。特别为广大考生归纳一下高等数学的部分知识点。这次我们介绍的是变限积分求导。变限积分求导是考研试卷中每年必考的内容，该知识点可以和高等数学中所有内容都可以结合起来考查综合题，重点是考查变限积分函数求导，其基本原理是如下三个公式：在这三个公式中，被积函数中不含有参数x，而考试的时候经常被积函数中间含有参数x，处理的时候有两种情况，第一种情况是参数x和积分变量t是可以分离;第二种情况参数x 和积分变量t是没法分离的，用定积分的换元法来处理。

凯程考研历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！

凯程考研历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！凯程考研：凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯；凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里；信念：让每个学员都有好最好的归宿；使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构；激情：永不言弃，乐观向上；敬业：以专业的态度做非凡的事业；服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方网站有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。如何选择考研辅导班：在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢

常用求导积分公式及不定积分基本方法

常用求导积分公式及不定积分基本方法 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.

一、基本求导公式 1. ()1x x μμμ-'= ()ln 1x x '= 2. (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=- 3. 2(tan )sec x x '= 2(cot )csc x x '=- 4. (sec )tan sec x x x '= (csc )cot csc x x x '=- 5. ()ln x x a a a '=，()x x e e '= 6. () 2arctan 11x x '+= ()arcsin x '= () 2arccot 11x x '+=- ()arccos x '= 二、基本积分公式 1. 1d (111)x x x C μμμμ+=+ =-/ +?， 1ln ||+dx x C x =? 2. d ln x x a a x C a =+?，d x x e x e C =+? 3. sin d cos x x x C =-+?， cos d sin x x x C =+? 4. 2sec d tan x x x C =+? 2csc d cot x x x C =-+? 5. tan d ln |cos |x x x C =-+? cot d ln |sin |x x x C =+?

6. sec d ln |sec tan |x x x x C =++? csc d ln |csc cot |x x x x C =-+? 7. 2 1d arctan 1x x C x =++? arcsin x x C =+ 2211d arctan x x C a x a a =++? arcsin x x C a =+ 8. ln x x C =+ ( ln x x C =++ 9. 221 1d ln 2x a x C a x a x a -=+-+? 三、常用三角函数关系 1. 倍角公式 21cos 2sin 2x x -= 21cos 2cos 2x x += 2. 正余切与正余割正割 1 sec cos x x = 22sec 1tan x x =+ 余割 1csc sin x x = 2 2csc 1cot x x =+ 四、常用凑微分类型 1. 1 1 ()d d ()ln ()()()f x x f x f x C f x f x '==+??;

考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结

考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点 ()()x a F x f t dt =? 形如上式的积分，叫做变限积分。注意点： 1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。 2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。（即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。）关于积分上限函数的理论定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，则?=x a dt t f x F )()(在],[b a 上连续。定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则?=x a dt t f x F )()(在],[ b a 上可导，而且有 ).(])([)(x f dt t f dx d x F x a == '? ========================================== 注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。这是积分上限函数的良好性质。而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。

常用的求导和定积分公式(完美)

一．基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则设)(x u u =， )(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则

若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数) (x f y =在对应区间 x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1 = 复合函数求导法则设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx =g 或()()y f u x ?'''=g 二、基本积分表（1）kdx kx C =+? （k 是常数）（2）1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- （3）1 ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+? （6）cos sin xdx x C =+?

定积分导数

高三数学第一轮复习教案—导数、定积分、极限一．课标要求： 1．导数及其应用（1）导数概念及其几何意义 ①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。（2）导数的运算 ①能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=x 的导数； ②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b））的导数； ③会使用导数公式表。（3）导数在研究函数中的应用 ①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ②结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。（4）生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。（5）定积分与微积分基本定理 ①通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ②通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。（6）数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。二．命题走向导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：（1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；（2）今年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。定积分是新课标教材新增的内容，主要包括定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应

变上限定积分函数及其导数教案

高等数学教案变上限定积分函数及其导数教学内容：变上限定积分函数及其导数。知识目标：使学生掌握变上限定积分函数的定义；使学生了解原函数存在定理的证明；使学生会熟练运用原函数存在定理求导数。情感目标：通过原函数存在定理体会积分和微分之间的联系。教学重点：通过对变上限定积分的掌握和原函数存在定理的结论会求变上限定积分函数的导数。教学难点：原函数存在定理的证明。教学设计：对高职生来说，原函数存在定理的证明过程是本节课的难点，所以采用提前给出储备知识减弱学生负担，同时又辅以数形结合来形象展示。对变上限积分函数的导数采用讲练结合来强化重点。教学方法：讲练结合+任务驱动教学过程：一课程导入在前面我们通过两个实例曲边梯形的面积和变速直线运动的路程引入了定积分的概念。求定积分的过程实际上是求和式的极限一般来说，根据定义求定积分计算是很复杂的，所以，必须寻求一种简单而有效的方法。牛顿-莱布尼兹在创建微积分时，就发现定积分和不定积分有密切的联系。我们第二讲要讲的牛顿-莱布尼兹公式，从而把求定积分的问题转化为求不定积分（既原函数）的问题，为人们计算定积分提供了简便的方法。本节课所要讲的原函数存在定理，在微分

和积分之间建立了关系，牛顿和莱布尼兹利用这种关系用来计算计算定积分，得出了著名的牛顿-莱布尼兹公式。二储备知识引导学生复习下面一些知识点，为后面的知识做准备。 1 原函数：若)()(x f x =Φ'，则)(x Φ是)(x f 的一个原函数。 2 可导的概念：若x x f x ??→?)(lim 0存在，则)(x f 可导。 3 复合函数求导：)()())(((x u u f x u f dx d '?'= 4 定积分的积分区间可加性：dx x f dx x f dx x f b c b ???+=c a a )()()(。 5 定积分积分中值定理：)())(()(b a a b f dx x f b a ≤≤-=?ξξ。三给出课堂任务目标给出本节课的任务目标，以便让学生明白本节课的主要任务。本堂课主要有三个任务目标：1 掌握变上限积分函数的概念； 2 了解原函数存在定理的证明； 3 会熟练运用原函数存在定理求导数。四课程内容 1变上限定积分函数的概念设)(x f 在],[b a 上连续，],[b a x ∈，则)(x f 在],[x a ，即定积分?x a dx x f )(存在，这样很容易混淆，又定积分的值与积分变量无关，我们把积分变量换成t,即得?x a dt f )t (。若固定积分下限a ，则对任意一个],[ b a x ∈，定积分?x a dt f )t (都有唯一的值与x 对应，所以?x a dt f )t (是上限变量x 的函数，称它为变上限定积分函数，记作?=Φx a dt f x )t ()(。从定积分的几何意义来解释变上限积分是x 的函数。

变上限积分求导

变上限定积分求导法则：例如：原函数存在定理：()( )()0x f t dt f x ' =? 如果该函数()f t 再添一个变量x ，那么公式就变为 ()() ()()0 x x xf t dt f t dt xf x '=+? ? 相当于：x 是一个常数，提取在变上限定积分()0x f t dt ?的前面。举例：（2008年高职升本试卷）若()f x 在(),-∞+∞内连续，()()()02x F x x t f t dt =-? 证明：（1）若()f x 为奇函数，则()F x 为奇函数。（2）若()f x 非增，则()F x 非减。证明：（1）若()f x 为奇函数，则证明()()F x F x -+=0即可。 ()()()()002x x F x x t f t dt xf t dt ''????'=-=-??????????()02x tf t dt '?????? ? =()()()()()002x x f t dt xf x xf x f t dt xf x +-=-?? ()()()()00 2()x x F x x t f t dt x f t dt --''????'-=--=--????? ?????()02x tf t dt -'??????? =()()()()()0 ()(1)2()(1)x x f t dt x f x x f x f t dt xf x ---+-------=---?? 故：()()()()()()00 x x F x F x f t dt xf x f t dt xf x -''+-=----?? ()()()0 0 0x x x x f t dt f t dt f t dt --=+==??? 由拉格朗日定理，可知：()() F x F x C ''+-≡（C 为常数）当0x =时代入，可得：()()F x F x -+=0。（2）若()f x 非增，则证明()0F x '>。由()F x '= ()()0 x f t dt xf x -?

三角函数积分公式求导公式

一．三角函数二．常用求导公式三．常用积分公式第一部分三角函数同角三角函数的基本关系式诱导公式

两角和与差的三角函数公式万能公式 sin（α＋β）＝sin αcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tanα＋tanβtan（α＋β）＝—————— 1－tanα·tanβ tanα－tanβtan（α－β）＝—————— 1＋tanα·tanβ 2ta sinα＝————— 1＋tan 1－ /2) cosα＝————— 1＋tan 2ta tanα＝————— 1－tan2 半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公

化asin α ±bcos α为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式) 第二部分求导公式 1．基本求导公式 ⑴ 0)(='C （C 为常数）⑵ 1)(-='n n nx x ；一般地，1)(-='αααx x 。特别地：1)(='x ，x x 2)(2='，21 )1(x x -='，x x 21)(='。 ⑶ x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。 ⑷ x x 1 )(ln ='；一般地，)1,0( ln 1 )(log ≠>='a a a x x a 。 2．求导法则 ⑴ 四则运算法则设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±；

3变限积分函数的性质及其应用

404 §3 变限积分函数的性质及其应用由于定积分概念是利用极限工具给出的，所以利用定积分的定义计算定积分是十分困难的，有时甚至是不可能的。为了让定积分概念能得到实际应用，必须寻找简便有效的计算定积分的方法，那么我们必须探求定积分更加深刻的性质。本节将介绍两个重要的定理，通过沟通定积分与不定积分的关系，给出了一个解决定积分计算问题的有效途径。 3.1 变限积分定积分有一个十分特殊而重要的性质，它对进一步考察微分和积分的关系起十分关键的作用。但需要先介绍一个概念：注由于 ?? -=x b b x dt t f dt t f )()(，因此，只要讨论变上限函数即可。证利用连续函数的定义及定积分的性质即可证得。对[a ，b ]上的任一点x ，只要[],x x a b +?∈，按照Φ的定义有 ()()x x x a a x x x fdt f dt +??Φ=Φ+?-Φ=- ? ? 。又函数 ) (x f 在[a ， b ]上可积，则 ) (x f 在[a ， b ]上有界，即存在正数M ，对一切[],x a b ∈有()f x M ≤。又当0x ?≥时有 x x x x x x x x x f d t f d t M d t M x +?+?+??Φ=≤≤=?? ? ? 。

405 又不难验证，当0x ?<时，上述不等式M x ?Φ≤?仍然成立。从而有 lim 0x ?→?Φ=。这就证得Φ在[],a b 上的连续性。 3.2 微积分学基本定理 1 变限积分的可微性 ——微积分学基本定理当函数得可积性问题获得解决后，接着是要找到一种计算定积分得有效方法。下面将通过揭示定积分与不定积分之间的内在联系来完成这一任务。下面的两个定理，由于所起的重要作用而被称为微积分学基本原理。证 ],[b a x ∈?，任取0≠?x ，且],[b a x x ∈?+，则 ? ? - = Φ-?+Φ=?Φ?+x a x x a t d t f t d t f x x x )()()()( ? ? ? ? ?+?+= - + = x x x x a x x x x a t d t f t d t f t d t f t d t f )()()()(，由积分中值定理知，存在ξ 介于x 与x +?x 之间，使得 x f ?=?Φ)(ξ，由于x x →?→?ξ0，再由导数定义及) (x f 的连续性知 )()(l i m )(l i m l i m )(00x f f f x x x x x ===??Φ =Φ'→→?→?ξξξ。注 (1) 当],[b a C f ∈时， ? = Φx a dt t f x )()(可导且在点∈x ] , [b a 的导数恰为被积函数在上限的值。亦即 )(x Φ是)(x f 的一个原函数。即连续函数必有原函数，因此定理1又称原函数存在定理。 (2) 变上限函数与分段函数有点类似，是一个难点，从而也是一个考试的热点，它常与极限、求导、最值等知识结合出现形成综合性的题目，应与重视。我们将这里拓宽一下。若)(x ?可导，则)(x ?与变上限函数)(x Φ构成了复合函数?) ()(x a t d t f ?，由复合函数求导法则知

关于积分上限函数的小结.doc

关于积分上限函数积分上限函数(或变上限定积分)F(x)= 的自变量是上限变量兀， Ja 在求导时，是关于兀求导，但在求积分时，则把兀看作常数，积分变量r在积分区间上变动。弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提。 1.关于积分上限函数的理论定理1如果/(X)在［。,饲上可积，则F(X)= ( 在［a,h］上连续. 定理2如果/⑴在［a.b］±连续，则F(x)=［f(t)dt在⑷切上可导，且r(x) = ￡［f/(r)t/z］= /(%). 注：(I)从以上两个定理可看出，对门力作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。这是积分上限函数的良好性质。而我们知道，可导函数/(兀)经过求导后，其导函数广(兀)甚至不一定是连续的。 (n)定理(2)也称为原函数存在定理。它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。定理(2)把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。推论1 = -/(%) 推论2 f I=川0⑴］0(0 dx 4 推论3 ⑴如=⑴］0⑴一/"⑴］0(兀)

2.积分限函数的几种变式 (1)比如F(x) = ^(x-t)f(t)dt (被积函数中含X,但X可提到积分号外面来.) 在求”(兀)时，先将右端化为f xf^dt -［=⑴刃的形式，再对尢求导。 (2)比如F(x)= ^tf(t-x)dt (f的自变量中含X,可通过变量代换将X置换到f的外面来) 在求F(力时，先对右端的定积分做变量代换u=t-x(把兀看作常数)，此时, dt = du , / = 0时，w = -x ; t = x时，w = 0 ,这样，FO)就化成了以”作为积分变量的积分下限函数：F(x) = f (x + u)f(u)du = x f(u)du + uf(u)du ,然后再对x求导。 J-x J-x 丄JV (3)比如F(x) = ^f(xt)dt (这是含参数x的定积分，可通过变量代换将x变换到积分限的位置上去) 在求F(力时，先对右端的定积分做变量代换u = xt(把兀看作常数)，此时, dt = —y t = 0时,w = 0 ; t = 1时,u = x ,于是，F(x)就化成了以“作为积 x 分变量的积分上限函数：F(兀) = ￡(/(u)du ,然后再对x求导。 3.有积分限函数参与的题型举例 (1)极限问题： .2 3 f sin 2 tdt 例1 lini ------------------ (答：12) ' >0 ￡ t(t - sin t)dt

导数、微分、不定积分公式

一、导数的概念及其计算 1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00。如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0 x x =。即f （x 0）=0 lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数（2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）；（2）求平均变化率 x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。 3．常见函数的导出公式．（１）0)(='C （C 为常数）（２）1)(-?='n n x n x

导数与定积分知识汇总

高考数学----导数、定积分知识清单一、导数的概念 ●（一）导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量△x ，那么函数y 相应地有增量 △y=f （x 0+△x ）－f （x 0），比值△y △x 叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+△x 之间的平均变化率，即 △y △x = f （x 0+△x ）－f （x 0）△x 。如果当0→?x 时，△y △x 有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y’ | x = x0 即f ‘（x 0）=0 lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。（例如：函数y = |x|在x = 0处得左极限与右极限不相等，所以函数y = |x|在x = 0处不存在极限，所以在x = 0处不可导）（2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： ① 求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； ② 求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； ③ 取极限，得导数f ’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 ●（二）导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率 x x f x x f x f k x ?-?+==→?) ()(lim )(000 0' 切。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0 = f ’（x 0）（x －x 0）。

导数及定积分知识点的总结及练习(经典)

导数的应用及定积分（一）导数及其应用 1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx .我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 。 2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，就是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx . 3．函数的导数对于函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数．当x 变化时，f ′(x )便是一个关于 x 的函数，我们称它为函数y ＝f (x )的导函数(简称为导数)，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx . 4．函数y ＝f(x)在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x)在点x ＝x 0处的函数值，即f ′(x 0)＝f ′(x)|x ＝x 0。 5．常见函数的导数 (x n )′＝__________.( 1 x )′＝__________.(sin x )′＝__________.(cos x )′＝__________. (a x )′＝__________.(e x )′＝__________.(log a x )′＝__________.(ln x )′＝__________. （1）设函数f (x )、g (x )是可导函数，则： (f (x )±g (x ))′＝________________；(f (x )·g (x ))′＝_________________．（2）设函数f (x )、g (x )是可导函数，且g (x )≠0，? ?? ?? f (x ) g (x )′＝___________________. （3）复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为yx ′＝y u ′·u x ′.即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 6．函数的单调性设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内可导，

导数微分不定积分公式

一、导数的概念及其计算 1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即 x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。即f （x 0）=0 lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数（2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）；（2）求平均变化率 x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。 3．常见函数的导出公式．（１）0)(='C （C 为常数）（２）1 )(-?='n n x n x （３）x x cos )(sin =' （４）x x sin )(cos -=' 4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

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