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六年级奥数_数论教师版

数论问题本身范围很广，我们考察小学奥数的内容，完全平方数等知识点跟基础课内容结合很紧密，

但又是小奥的重难点，我们有必要加以重视．本讲需要学生掌握的知识点有：平方数性质、平方差公式、约数个数定理、约数和定理、辗转相除法等.

本讲内容中，平方数部分是数论中最基本的部分，学生应当学会熟练运用平方差公式，对于约数和倍数部分，老师应当更注重其中的逻辑过程，可以适当用一些代数的方法将题目讲的更明白和透彻.

【例 1】一个5位数，它的各位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数．

【分析】现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性

质的运用要有具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手．

5位数数字和最大的为9×5=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8．这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989．

【例 2】已知ABCA 是一个四位数，若两位数AB 是一个质数，BC 是一个完全平方数，CA 是一个质数与

一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是_____________.

【分析】本题综合利用数论知识，因为AB 是一个质数，所以B 不能为偶数，且同时BC 是一个完全平方

数，则符合条件的数仅为16、36，当1B =时，满足AB 是一个质数的数有11，31，41，61，71，时，此时同时保证CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，只有3163符合；

当3B =，满足AB 是一个质数的数有13，23，43，53，73，83，此时同时保证CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，只有8368符合．

【例 1】 2001个连续的自然数之和为a b c d ???，若a 、b 、c 、d 都是质数，则a b c d +++的最小值是

多少

【分析】遇到等量关系的表述时，先将其转化为数学语言．设这2001个连续自然数中最小的一个是A ，则

最大的一个是2000A +(遇到多个连续自然数问题，转化时一般均采用假设法，自己需要的量，题目中没有时，可以设未知数)，则它们的和是：

第 5讲

数论(一)

()()()20002001

100020011000323292

A A A A ++=+?=+???，则()1000A +是质数，所以A 的最小值是9．a b c d +++的最小值是：1009323291064+++=.

［拓展］ 101个连续的非零自然数的和恰好是四个不同的质数的积，那么这个最小的和应该是_______．［分析］设这101个自然数中最小的数为a ，则101个连续自然数的和为：

a +(a +1)+(a +2)+……+(a +100)

=(a +a +100)×101÷2=(a +50)×101

因为101是质数，所以a +50必须是3个质数的乘积，要使和最小．

经检验a +50=66=2×3×11最小，所以和最小为66×101=6666．

［铺垫］已知□△×△□×□〇×☆△=□△□△□△，其中□、△、〇、☆分别表示不同的数字，那么

四位数〇△□☆是多少

［分析］因为□△□△□△=□△10101?，所以在题述等式的两边同时约去□△即得△□×□〇

×☆△=10101．作质因数分解得10101371337=???，由此可知该数分解为3个两位数乘积的方法仅有211337??．注意到两位数△□的十位数字和个位数字分别在另外的两位数□〇和☆△中出现，所以△□=13，□〇=37，☆△=21．即〇=7，△=1，□=3，☆=2，所求的四位数是7132．

【例 2】 N 为自然数，

且1N +，2N +、……、9N +与690都有大于l 的公约数．N 的最小值为_______．【分析】 69023523=???，连续9个数中，最多有5个是2的倍数，也有可能有4个是2的倍数，

如果有5个连续奇数，这5个连续奇数中最多有2个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍数，所以必然有一个数不是2、3、5、23的倍数，即与690没有大于l 的公约数．

所以9个数中只有4个奇数，这个数中，有2个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍数，则1N +、3N +、5N +、7N +、9N +是偶数，剩下的4个数中2N +、8N +是3的倍数（5个偶数当中只有5N +是3的倍数），还有4N +、6N +一个是5的倍数，一个是23的倍数.

剩下的可以用中国剩余定理求解，5N +是2和3的倍数，且相邻两个数中一个是23的倍数，另一个是5的倍数，显然524N +=是最小解，所以N 的最小值为19．

【例 3】已知，甲乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，甲乙两数不是288和4中的数，那么甲

乙两数的乘积为多少和为多少

【分析】设甲乙两个数为4x ，4y ，(x 和y 都不等于1或72),则x ，y 两数互质，于是4x ，4y 的最小公

倍数为4xy ，所以288724

xy ==，327223=?，由于x ，y 互质，所以2或3不可能在x ，y 的因子中都出现，所以x ，y 一个是8一个是9，所以两数的乘积等于44441152y x xy ?=?=，和为()4448968x y +=?+=.

【例 4】有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这

个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：⑴说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数⑵如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数．

【分析】 ⑴首先可以断定编号是2，3，4，5，6，7号的同学说的一定都对．不然，其中说的不对的编号乘

以2后所得编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合．因此，这个数能被2，3，4，5，6，7都整除．

其次利用整除性质可知，这个数也能被2×5，3×4，2×7都整除，即编号为10，12，14的同学说的也对．从而可以断定说的不对的编号只能是8和9．

⑵这个数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数，

由于上述十二个数的最小公倍数是60060，

因为60060是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就是60060．

［拓展］一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数和为10，那么此数为几

［分析］最小的三个约数中必然包括约数1，除去1以外另外两个约数和是9，由于9是1个奇数，所以

这两个约数的奇偶性质一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它

一定是2的倍数，即2是它的约数．于是显然的，2是这个数第二小的约数，而第三小的约数是7，所以这个两位数是14的倍数，由于这个两位数的约数中不含3、4、5、6，所以这个数只能是14或98，其中有6个约数的是98．【例 5】两数乘积为2800，而且己知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，那么这两个数分别是

___________、___________．

【分析】 422800257=??，由于其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，所以这两个数中有一个数

的约数为奇数个，这个数为完全平方数．故这个数只能为22、42、25、2225?或4225?．经检验，只有两数分别为42和257?时符合条件，所以这两个数分别是16和175．

［铺垫］在三位数中，恰好有9个约数的数有多少个

［分析］ 91933=?=?，

所以9个约数的数可以表示为一个质数的8次方，

或者两个不同质数的平方的乘积，

前者在三位数中只有256符合条件，后者中符合条件有100、196、484、676、225、441,

所以符合条件的有7个.

【例 6】两个整数A 、B 的最大公约数是C ，最小公倍数是D ，并且已知C 不等于1，也不等于A 或B ，

187C D +=，那么A B +等于多少

【分析】最大公约数C ，当然是最小公倍数D 的约数，因此C 是187的约数，1871117=?，C 不等于1，

只能是11C =或者17C =．如果11C =，那么18711176D =-=．A 和B 都是176的约数，A 和B 不能是11，只能是22，44，88，176这四个数中的两个，但是这四个数中任何两个数的最大公约数都不是11，由此得出C 不能是11．现在考虑17C =，那么18717170D =-=，A 和B 是170的约数，又要是17的倍数，有34，85，170三个数，其中只有34和85的最大公约数是17，因此，A 和B 分别是34和85，3485119A B +=+=．

【例 7】已知A 是一个有12个约数的合数，8A 、10A 有24个约数，12A 有40个约数，求15A 有多少个

约数

【分析】设235a b c A d =???，d 中不含有2、3、5因子，

那么A 的约数个数有()()()11112a b c N +++=L L L L ①(其中N 为d 的约数个数)

8A 的约数个数为()()()41124a b c N +++=，与①比较得到

421

a a +=+,于是2a =， 10A 的约数个数为()()()()()21241224a

c N b c N +++=++=，与①比较2312

c c +=+，于是1c =， 12A 的约数个数为()()()()32110240a b c N b N +++=+=，与①比较得到221

b b +=+，于是0b =，将a 、b 、

c 代入①得到2N =，15A 的约数个数为()()()12236a b c N +++=. ［铺垫］已知偶数A 不是4的整数倍，它的约数的个数为12，求4A 的约数的个数.

［分析］将A 分解，2A B =，其中B 是奇数，它的约数的个数为()1112N +=，(其中N 为B 的约数个数)，

则4A 的约数个数为()1324N +=.

【例 8】要使129m n ?这个积是56的倍数，并要使m n +最小，则___,___m n ==．

【分析】分析题意，为同一个数可以由两种乘积的形式表示．关于因数乘积表示形式，类比联系我们所学

的知识点：质因数的唯一分解式：

则2212923m n m m n +?=?是555623=?的倍数，

则得到()25,25m m n m n ≥??+≥?为整数，使m n +最小，则31m n =??=?

．约数个数定理：

设自然数n 的质因子分解式如312123n a a a a n p p p p L .

那么n 的约数个数为()()()()()1231111n d n a a a a =++++L

自然数n 的约数和为()()()

11221121211111222211a a a a S n P P P P P P P P --=++++++++++L L L

【例 9】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个

【分析】完全平方数，所有质因数必成对出现．

327223266=?=??，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，

2313119222008232322048??=<

［铺垫］有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为_____．

［分析］考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技

巧．设中间数是x ,则它们的和为5x , 中间三数的和为3x ．5x 是平方数，设2255x a =?,则25x a =．2231535x a a ==??是立方数，所以2a 至少含有3和5的质因数各2个, 2a 至少是225,中间的数至少是1125．最小数的最小值为1123．

【例10】志诚小学三四年级的学生人数比一二年级的学生人数多100人，但比五六年级的学生人数少53

人，已知五六年级的学生人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，那么志诚中学总的学生人数有多少人(请写出最现实的答案)

【分析】五六年级的人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，所以可以设五六年级的学生人数为2A ，

一二年级的学生人数为2B ，则()()153A B A B =+-，而1533317=??，所以，()A B +与()A B -可能为153和1；17和9；51和3，由这三个答案得到的A 和B 的值分别为：77和76，13和4，27和24，显然由前两组答案得到的学校人数不符合现实，所以27A =，24B =为最佳结果.此时五六年级的学生人数为729人，一二年级的学生人数为576人，三四年级的学生人数为676，学校的总人数为7295766761981++=人.

［铺垫］能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数

［分析］假设能找到，设这两个完全平方数分别为2A 、2B ，那么这两个完全平方数的差为

()()54A B A B =+-，由于()A B +和()A B -的奇偶性质相同，所以()()A B A B +-不是4的倍数，就是奇数，所以54不可能等于两个平方数的差，所以这样的数找不到.

【例11】一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如16=2253-,16就

是一个“智慧数”，那么从1开始的自然数列中，第2003个“智慧数”是_______．

【分析】 22a b -=()()a b a b +-．因为()a b +与()a b -同奇同偶，

所以“智慧数”是奇数或是4的倍数．

对于任何大于1的奇数21n +(1n ≥)，当1a n =+，b n =时，都有22a b -=22(1)n n +-=21n +．

即任何大于1的奇数都是“智慧数”．

对于任何大于4的4的倍数4n (2n ≥)，当1a n =+，1b n =-时，都有

22a b -=22(1)(1)n n +--=4n ．

即任何大于4的4的倍数都是“智慧数”．除了1和4以外，非“智慧数”都是不能被4整

除的偶数，“智慧数”约占全部正整数的34．3200326714

÷≈，为26724668÷=，加上1和4这两个非“智慧数”，在1～2672中共有非“智慧数”668+2=670(个)，有“智慧数”2672－

670=2002(个)．所以第2003个“智慧数”是2673．

【例12】（2008年清华附中入学考试题）有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个

平方数的末两位数（个位数和十位数）相同，那么这两个两位数是（请写出所有可能的答案）．

【分析】（法一）设这两个数分别是a 和14a +，则2a 与()2

14a +两个数的末两位相同，即2a 与()228196a a ++的末两位相同，所以()28196a +是100的倍数，a 个位只能是3或8．先设

103a k =+，

则28196280280a k +=+，当4k =，9时满足条件，但9k =时较大的两位数大于100不合题意．再设108a k =+，可求得1k =，6时满足条件．

所以一共有(43,57)、(18,32)、(68,82)三组答案．

（法二）()()()()2

2141414287a a a a a a a +-=+++-=+,()287a +是100的倍数，

所以()7a +是 25的倍数，符合条件的a 只有18、43、68．

1．两个连续自然数的平方和等于365，又有三个连续自然数的平方和等于365，则这两个连续自然

数为_______，这三个连续自然数为_______．

【分析】 221314365+=，所以这两个连续自然数为13、14，222101112365++=，所以这三个连续自然

数为10、11、12．

2．有n 个自然数相加：123n aaa ++++=L (和恰好是三个相同数字组成的三位数)，那么

n =__________．

【分析】 (1)1232

n n n aaa +++++==L ，(1)221112337n n aaa a a +==??=???，由于a 是个一位数， n 与1n +是两个相邻的整数，只有当6a =，36n =时满足题意，所以所求的n 为36．

3．已知A 有12个约数，9A 有24个约数，15A 有36个约数，5A 有多少个约数

【分析】设35a b A B =，有()()1112a b N ++=个约数，(N 为B 的约数个数)，于是9A 有()()3124

a b N ++=个约数，所以1a =，15A 有()3236b N +=个约数，由此求得0b =，6N =，所以5A 有()()12424a b N N ++==个约数.

4． A 、B 两数都只含有质因数3和2，它们的最大公约数是18．已知A 有12个约数，B 有8个约数，那么A B +=______．

【分析】 121823=?，A 、B 至少含有两个3和一个2．因为A 有12个约数，121122634=?=?=?，所

以A 可能是1523?、3223?或2323?，B 有8个约数，81824=?=?，所以1323B =?，于是A 只能是3223?，故32132323126A B +=?+?=．

5．把26、33、34、35、63、85、91、143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数为1．那

么最少要分几组

【分析】本题是一道关于最大公约数的问题．我们知道两个数的最大公约数为1，即互质，相当于它们的

质因数分解式中没有相同的质因数．这就提示我们将题目所给的数字质因数分解．将题目中的数字质因数分解如下：26213=?，33311=?，34217=?，3557=?，26337=?，85517=?，91713=?，1431113=?．由于题目要求将这些数字分组，满足每组中任意两个数的最大公约数为1，而26、91、143均含质因数13，因此它们两两不在同一组，于是这些数至少应分为3组．我们这里推出一种分法：将26、35分为一组，91、34、33分为一组，而143、63、85分为一组．

六年级奥数.数论.整除问题(ABC级).学生版

知识框架」、整除的定义：当两个整数a和b （b工0, a被b除的余数为零时（商为整数），则称a被b整除或b整除a,也把a 叫做b的倍数，b叫a的约数，记作b|a，如果a被b除所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a,记作b a. 二、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除； 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、 11或13整除； 5. 如果一个数从数的任何一个位置随意切开所组成的所有数之和是9的倍数，那么这个数能被9整除； 6. 如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。 7. 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被 7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13-3X2 = 7,所以133是7 的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613 —9>2= 595 , 59- 5X2= 49,所以6139是7的倍数，余类推。 8. 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被 13整除。如果和太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数.数论.整除问题（ABC级）.学生版Page 1 of 14

学而思小升初专项训练__数论篇(1) 教师版

名校真题测试卷10 （数论篇一）时间：15分钟满分5分姓名_________ 测试成绩_________ 1 （05年人大附中考题）有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。 2 （05年101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。 3 （05年首师附中考题） 211+2121202+21212121 13131313212121505 =＿＿。 4 （04年人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。 5 (02年人大附中考题) 下列数不是八进制数的是( ) A 、125 B 、126 C 、127 D 、128 【附答案】 1 【解】：6 2 【解】：设原来数为ab ，这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为45。 3 【解】：周期性数字，每个数约分后为211+212+215+21 13=1 4 【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5×3×3×3，所以丙最小应该是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。 5 【解】：八进制数是由除以8的余数得来的，不可能出现8，所以答案是D 。

第十讲小升初专项训练数论篇（一）一、小升初考试热点及命题方向数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。作为一个理论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。二、2007年考点预测 2007年的小升初考试将继续以填空和大题形式考查数论，命题的方向可能偏向小题考察单方面的知识点，大题则需综合运用数的整除，质数与合数，约数倍数以及整数的分拆等方法，希望同学们全面掌握数论的几大知识点，能否在考试中取得高分解出数论的压轴大题是关键。三、基本公式 1）已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地，若(a,b)=1,则有ab|c 。 [讲解练习]：若3a75b 能被72整除，问a=＿＿,b=＿＿.（迎春杯试题） 2）已知c|ab ，(b,c)=1,则c|a 。 3）唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即 n= p11a × p22a ×...×p k ak （#) 其中p1

六年级奥数-第十讲.数论之余数问题.教师版

第十讲：数论之余数问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (1)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 (2)当0 一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了 c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。二、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理

(完整版)六年级奥数-第十一讲.数论综合(二).教师版[1]

第十一讲数论综合（二）教学目标： 1、掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型； 2、重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想例题精讲：板块一质数合数【例 1】有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来．【解析】抽一张卡片，可写出一位数1，2，3；抽两张卡片，可写出两位数12，13，21，23，31，32；抽三张卡片，可写出三位数123，132，213，231，312，321，其中三位数的数字和均为6，都能被3整除，所以都是合数．这些数中，是质数的有：2，3，13，23，31．【例 2】三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数．【解析】设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足11abc a b c =++()，则可知a 、b 、c 中必有一个为11，不妨记为a ，那么11bc b c =++，整理得(1b -)(1c -)12=，又121122634=?=?=?，对应的2b =、13c =或3b =、7c =或4b =、5c = (舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13或3，7，11．【例 3】用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数？【解析】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、 8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数 67．所以这9个数字最多可以组成6个质数．【例 4】有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数．求这两个整数分别是多少？【解析】两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如331322313301617=+=+=+==+L L ，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了．可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每个数都是111的倍数，而111373=?，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37或37的倍数，但只能是37的2倍(想想为什么？)3倍就不是两位数了．把九个三位数分解：111373=?、222376743=?=?、333379=?、4443712746=?=?、5553715=?、6663718749=?=?、7773721=?、88837247412=?=?、9993727=?．把两个因数相加，只有(743+)77=和(3718+)55=的两位数字相同．所以满足题意的答案是74和3，37和18．板块二余数问题【例 5】 (2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【解析】被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113，所以被除数+除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=(2083-13)÷(17+1)=115，所以被除数=2083-115=1968．

(完整)小学六年级奥数基础知识——数论

行程问题基本行程问题平均速度火车过桥流水行船接送问题电梯行程数论问题奇偶分析数的整除约数倍数进位制余数问题完全平方数几何问题小学几何五大模型勾股定理与弦图巧求周长立体图形的体积计数问题加法原理乘法原理容斥原理排列组合枚举法归纳法应用题鸡兔同笼问题年龄问题盈亏问题牛吃草问题工程问题浓度问题计算问题分数列项与整数列项繁分数的计算数学计算公式换元法找规律其他数阵图与数字谜操作与策略抽屉原理逻辑推理不定方程染色问题小学六年级奥数基础知识——数论一一质数和合数（1）一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。（2）自然数除0和1外，按约数的个数分为质数和合数两类。任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。（3）最小的质数是2 ，2是唯一的偶质数，其他质数都为奇数；最小的合数是4。（4）质数是一个数，是含有两个约数的自然数。互质是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数可能是两个质数（３和５），可能是一个质数和一个合数（３和４），可能是两个合数（４和９）或1与另一个自然数。（５）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。（６）１００以内的质数有２５个：２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７．注意：两个质数中差为1的只有3-2 ；除2外，任何两个质数的差都是偶数。二整除性（１）概念一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得

{小学数学}小六数学第21讲：数论综合教师版-——李寒松[仅供参考]

2021年{某某}小学小学数学学习资料教师：年级：日期：

第二十一讲数论综合数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。作为一个理论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。基本公式 1.已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地，若(a,b)=1,则有ab|c。 2.已知c|ab，(b,c)=1,则c|a。 3.唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 n= p11a× p22a×...×p k k a（#) 其中p1

6.自然数是否能被3，4，25，8，125，5，7,9，11，13等数整除的判别方法。 7.平方数的总结： ①平方差：A2-B2=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B， A-B同奇偶性。 ②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。约数个数为3的是质数的平方。 ③质因数分答案：把数字分答案，使他满足积是平方数。 ④立方和：A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2)。 8.十进制自然数表示法，十进制和二进制，八进制，五进制等的相互转化。 9.周期性数字：abab=ab×101 1.全面掌握数论的几大知识点，能否在考试中取得高分，解出数论的压轴大题是关键。 2.牢记基本公式，并在解题中灵活运用公式。例1:将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4×3×2×1=24）。将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。请求出这24个四位数中最大的一个。答案：不妨设这4个数字分别是a>b>c>d 那么从小到大的第5个就是dacb,它是5的倍数，因此b=0或5，注意到b>c>d,所以b=5; 从大到小排列的第2个是abdc,它是不能被4整除的偶数；所以c是偶数，c＜b=5，c=4或2 从小到大的第二十个是adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间，所以a=d+4；因为a>b,所以a至少是6，那么d最小是2，所以c就只能是4。而如果d=2，那么abdc的末2位是24，它是4的倍数，和条件矛盾。因此d=3,从而a=d+4=3+4=7。这24个四位数中最大的一个显然是abcd,我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3 所以这24个四位数中最大的一个是7543。例2：一个5位数，它的各个位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数？答案：现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性质的运用要具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手。 5位数数字和最大的为9×5=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8。这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989符合条件。

六年级奥数.数论.整除问题(ABC级).学生版

一、整除的定义：当两个整数a 和b （b≠0），a 被b 除的余数为零时（商为整数），则称a 被b 整除或b 整除a ，也把a 叫做b 的倍数，b 叫a 的约数，记作b|a ，如果a 被b 除所得的余数不为零，则称a 不能被b 整除，或b 不整除a ，记作b a. 二、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除； 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、 11或13整除； 5. 如果一个数从数的任何一个位置随意切开所组成的所有数之和是9的倍数，那么这个数能被9整除； 6. 如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。 7. 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被 7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。 8. 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被 13整除。如果和太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」知识框架数的整除

数论--综合-第6讲初等数论竞赛班教师版

第六讲初等数论初等数论是主要用算术方法研究整数最基本性质的一个数学分支，是数学中最古老的分支之一.近几十年来，初等数论在计算机科学、组合数学、代数编码、信号的数字处理等领域得到广泛应用.同时，初等数论在各类数学竞赛中占有重要地位，以国际数学奥林匹克为例，约有四分之一的题目是主要用初等数论知识来解的. 一、基础知识 1.整除理论性质1：如果a\b t b\c t那么d|c；性质2：若a\c t则对于任意整数x、y都有a\bx+cy 2.质数与合数性质1：设n为大于1的正整数，p是n的大于1的约数中最小的正整数，则p为质数；性质2：如果对任意1到亦之间的质数p,都有p不整除n,那么n为质数，这里n为大于1的正整数；性质3：质数有无穷多个；性质4：质数中只有一个数是偶数，即2； 3.同余定义：如果a、b除以m (正整数)所得得余数相同，那么称a、b对模m同余，记作 a=b (mod in) 性质X如果a三b (mod 则m\a-bt 性质2：若a = b (mod m) f c = d (mod 加)贝i]a + c = b + d (mod nt) a-c 三b-d (mod /H),ac = bd (mod ni) 性质3：a = b (mod m), n 为正整数，则a n = b" (mod m) 4.费尔马小定理 Fermat小定理：设p为质数，a为整数，则/三?(mod “).特别地，如果a不能被p整除，则三l(mod p) 二、例题部分例1 (2006年希望杯初二培训题)已知一个五位数用4, 5, 6, 7, 8五个数码各一次组成，如64875 等，在这样的五位数中，能被55整除的有几个，它们分别是多少？《数理天地》2005增刊P22, 80 例2 (★★, 86年全国)设a、b. c是三个互不相等的正整数，求证：在—b'c — bF, c3a-ca3三个数中，至少有一个数能被10整除；

完整版六年级奥数数论综合

第19讲数论综合知识点精讲特殊数的整除特征 1. 尾数判断法 1) 能被2整除的数的特征： 2) 能被5整除的数的特征： 3) 能被4 (或25)整除的数的特征： 4) 能被8 (或125)整除的数的特征： 2. 数字求和法： 3. 99的整除特性： 4. 奇偶位求差法： 5. 三位截断法：特别地：7X11X13=1001, abcabc=abcX1001 二、多位数整除问题技巧：1>目的是使多位数变短”途径是结合数的整除特征和整除性质 2>对于没有整除特性的数，利用竖式解决。三、质数合数 1. 基本定义【质数】一一【合数】一一注：自然数包括0、1、质数、合数. 【质因数】一一【分解质因数】一一用短除法和分拆相乘法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。分解质因数的标准表示形式：N=a1Xa2Xa3X X n,其中a1、a2、a3 an都是合数N的质因数，且

a 1

【互质数】【偶数】【奇数】 2. 质数重要性质 1）100以内有25个质数： 2）除了2和5，其余的质数个位数字只能是： 3）1既不是质数，也不是合数 4）在质数中只有2是偶数，其他质数都是奇数 5）最小的质数是2?最小的奇质数是3 6）有无限多个 3. 质数的判断： 1）定义法：判断整除性 2）熟记100以内的质数 3）平方判断法：例如：对2011,首先442<2011<452,然后用1至44中的全部质数去除2011，即可叛断出2011为质数.

4. 合数 1）无限多个 2）最小的合数是4 3）每个合数至少有三个约数 5. 互质数 1）什么样的两个数- -定是互质数？注意：分解质因数是指一个合数写成质因数相乘的形式21=3 7,不能写成：3 7=21. 6. 偶数和奇数 1） 2）偶数；个位数字是1,3,5,7,9的数是奇数 3） 4）数是他们乘积的一半 5）?因此，要分解的合数应写在等号左边，如： 0属于偶数十进制中，个位数字是0,2,4,6,8的数是除2外所有的正偶数均为合数相邻偶数的最大公约数为2，最小公倍奇±奇=偶偶±禺=偶偶埼=奇