17.1.1 反比例函数的意义教案
17．1．1 反比例函数的意义
数学目标
1．知识与技能
会识别相关量之间的反比例关系，理解反比例函数的意义，能确定简单的反比例函数关系式．
2．过程与方法
通过对实际问题的分析、类比、归纳，培养学生分析问题的能力，并体会函数在实际问题中的应用．
3．情感、态度与价值观
让学生体会数学来源于生活，又能为社会服务，在实际问题的分析中感受数学美．教学重点难点
重点：反比例函数意义的理解．
难点：反比例函数的建模．
课时安排 1课时
教与学互动设计
（一）创设情境，导入新课
问题：
1．京沪线铁路全长1 463km，某次列车的平均速度vkm/h?随此次列车的全程运行问
题th的变化而变化，其关系可用函数式表示为： v·t =1 463或v= 1463
t．
2．某住宅小区要种植一个面积为1 000m2矩形草坪，草坪的长ym随宽xm?的变化而变
化，可用函数式表示为 y·x =1 000或y= 1000
x．
3．已知北京市的总面积为1.68×104km2，人均占有的土地面积Skm2/人，随全市总人口n
人的变化而变化，其关系可用函数式表示为 s·h =1.68×104或S=
4
1.6810
n
．
（二）合作交流，解读探究
【分析】上述问题中的函数关系式都有y=k
x的形式，其中k为常数．
归纳一般地，形如y=k
x（k为常数，且k?≠0）?的函数称为反比例函数。
（?inverseprorportional function）
注意 在y=k x 中，自变量x 是分式k x 的分母，当x=0时，分式k
x 无意义，所以x?的取值范围 x ≠0 ．
探究 在上面的三个问题中，两个变量的积均是一个常数（或定值），这也是识别的两个量是否成反比例函数关系的关键． （三）应用迁移，巩固提高
例1已知y 是x 的反比例函数，当x=2时，y=6． （1）写出y 与x 的函数关系式； （2）求当x=4时y 的值．
【点拨】（1）由题意，可设y=k
x ，把x=2，y=6代入即可求得k ，进而求得y 关于x 的函数关系式．（2）在（1）所求得的函数关系式中，把x=4代入即可求得y 的值．
解：（1）设设求函数解析式为y=k x ，把x=2，y=6代入得6=2k
，解得k=12，所以
解析式为y=12
x ；
（2）将x=4代入y=12x ，得y=12
4=3，所以当x=4时，y=3．
例2（2005年中考·盐城）反比例函数y=k
x 与直线y=-2x 相交于点A ，?且点A 的横
坐标为-1，则此反比例函数的解析式为 （ ）
A ．y=2x
B ．y=1
2x C ．y=-2x D ．y=-12x
【点拨】 将x=-1代入y=-2x 得，y=2，所以A 点坐标为（-1，2）；因为点A?在反
比例函数y=k x 的图象上，所以2=1k
，所以k=-2，因此选C ． 【答案】 C
例3下列关系中说法不正确的是（ ）
A ．在y=1
x -1中，y+1与x 成反比例 B ．在xy=-2中，y 与1x 成正比例
C ．在y=2
12x 中，y 与x 成反比例 D ．在xy=-3中，y 与x 成反比例
【分析】 两个量是否成反比例，关键是看这两个量的积是否是一个定值．从题中
可以看出A 中的y+1与x 之积为-1，C 中的y 与x 2
的积为1
2，但y 与x 的积不是定值，?
所以C 是错误的． 【答案】 C 备选例题
（2005年中考变式·扬州）若反比例函数y=k
x 与一次函数y=2x-4的图象都过点A （m ，2）．
（1）求点A 坐标．
（2）求反比例函数解析式．
【答案】 （1）（3，2），（2）y=6
x ．
（四）总结反思，拓展升华
1．两个量的乘积是一个定值，是识别两个量成反比例关系的一个重要特征． 2．反比例函数的定义的理解是解决反比例函数问题的基础和保证． 3．知识应用：
（1）识别两个量是否成反比例关系．
（2）识别两个变量构成关系式是否成反比例函数式． （3）确定简单的反比例函数关系式．
（五）课堂跟踪反馈 夯实基础
1．写出下列函数关系式，并指出它们各是什么函数
（1）平行四边形面积是24cm 2
，它的一边长xm 和这边上的高hcm 之间的关系是 xh=24 ．
（2）小明用10元钱与买同一种菜，买这种菜的数量mkg 与单价n 元/kg?之间的关系是 mn=10 ．
（3）老李家一块地收粮食1 000kg ，这块地的亩数S 与亩产量tkg/亩之间的关系是 st=1 000 ．
（4）刘飞骑自行车行驶了100千米的路程，他行驶的时间t 小时和速度v 千米/时之间的关系是 vt=100 ．
（5）某小区绿地总面积是400m 2，该小区的人口数y 和人均绿地面积数x 之间的关系是 xy=400 ．
2．若y 是x-1的反比例函数，则x 的取值范围是 x ≠1 ．
3．若y=1
1n x 是y 关于x 的反比例函数关系式，则n 是 2 ．
4．把xy=-1化为y=k
x 的形式，其中k= -1 ．
5．指出下列函数关系式中，哪一个成反比例函数关系，并指出k 的值．
（2）y=-3x （2）
（3）2y
x =1 （4）
（5）
（6）y=21x
【答案】 成反比例函数关系的是（2）（5），它们的k
提升能力
6．已知y 是2x 的反比例函数，当x=1
2时，y=1．
（1）求y 与2x 的函数关系式；
（2）当x=-1
4时，求y 的值；
（3）当y=-1
2时，求x 的值．
【答案】 （1）y=1
2x ； （2）y=-2； （3）x=-1．
开放探究
7．若y 与x 3
成反比例，且x=2是y=1
4．
（1）求y 与x 3
的函数关系式； （2）求y=-16时x 的值．
【答案】 （1）y=3
2
x ； （2）x=-12．
教学反思
17．1．2 反比例函数的图象和性质
教学目标
1．知识与技能
会画反比例函数的图象，并知道该图象与正比例函数、一次函数图象的区别，能从反比例函数的图象上分析出简单的性质．能用反比例函数的定义和性质解决实际问题． 2．过程与方法
通过画图象，进一步培养“描点法”画图的能力和方法，并提高对函数图象的分析能力．同时尝试用类比和特殊到一般的思路方法，归纳反比例函数一些性质特征． 3．情感、态度与价值观
由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，并通过图象的直观教学激发学习兴趣．
教学重点难点
重点：反比例函数图象的画法及探究，反比例函数的性质的运用．
难点：反比例函数图象是平滑双曲线的理解及对图象特征的分析．
课时安排 2课时
第1课时
（一）创设情境，导入新课
问题：1．若y=(21)(1)
n n
x
-+
是反比例函数，则n必须满足条件 n≠
1
2或n≠-1 ．
2．用描点法画图象的步骤简单地说是列表、描点、连线．
3．试用描点法画出下列函数的图象：（1）y=2x；（2）y=1-2x．（二）合作交流，解读探究
问题：我们已知道，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，?那么反比例函数
y=k
x（k为常数且k≠0）的图象是什么样呢？
尝试用描点法来画出反比例函数的图象．画出反比例函数y=
6
x和y=-
6
x的图象．解：列表
6 x 6
x（请把表中空白处填好）
描点，以表中各对应值为坐标，在直角坐标系中描出各点．连线，用平滑的曲线把所描的点依次连接起来．
探究 反比例函数y=6x 和y=-6
x 的图象有什么共同特征？它们之间有什么关系？
做一做 把y=6x 和y=-6
x 的图象放到同一坐标系中，观察一下，看它们是否对称．
归纳 反比例函数y=6x 和y=-6
x 的图象的共同特征： （1）它们都由两条曲线组成．
（2）随着x 的不断增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴（x 轴、y 轴）． （3）反比例函数的图象属于双曲线（hyperbola ）．
此外，y=6x 的图象和y=-6
x 的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称．
做一做 在平面直角坐标系中画出反比例函数y=3
x 和y=-3x 的图象． 交流 两个函数图象都用描点法画出？
【分析】 由y=6x 和y=-6x 的图象及y=3x 和y=-3
x 的图象知道， （1）它们有什么共同特征和不同点？
（2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？
（3）在每一个象限内，y 随x 的变化而如何变化？
猜想 反比例函数y=k
x （k ≠0）的图象在哪些象限由什么因素决定？?在每一个象限内，y 随x 的变化情况如何？它可能与坐标轴相交吗？
【归纳】 （1）反比例函数y=k
x （k 为常数，k ≠0）的图象是双曲线．
（2）当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y?值随x 值的增大而减小．
（3）当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y?值随x 值的增大而增大．
（三）应用迁移，巩固提高
例题 指出当k>0时，下列图象中哪些可能是y=kx 与y=k
x （k ≠0）?在同一坐标系中的图象 （ ）
【分析】 对于y=kx 来说，当k>0时，图象经过一、三象限，当k<0时，图象经过
二、四象限；对于y=k
x 来说，当k>0时，图象在一、三象限，当k<0时，图象在二、四象限，所以应选B ．
【答案】
B
备选例题
1．（2005年中考·泉州）请你写出一个反比例函数的解析式，使它的图象在第一、三象限．
2．（2005年中考·宣昌）如图所示的函数图象的关系式可能是（? ）
A ．y=x
B ．y=1
x C ．y=x 2
D ．y=1||x （四）总结反思，拓展升华 1．画反比例函数的图象． 2．反比例函数的性质．
3．反比例函数的图象在哪个象限由k 决定，且y 值随x 值变化只能在“每一个象限内”研究．
4．在y=k
x （k ≠0）中，由于x ≠0，同
时y ≠0，因此双曲线两个分支不可能到达坐标轴． （五）课堂跟踪反馈 夯实基础
1．已知反比例函数y=k
x 的图象如图所示，则k > 0，在图象的每一支上，?y 值
随x 的增大而 减小 ．
2．下列图象中，是反比例函数的图象的是 （D ）
3．（2005年中考·东营）在反比例函数y=k
x （k<0）的图象上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且x 1>x 2>0，则y 1-y 2的值为 （A ）
（A ）正数 （B ）负数 （C ）非正数 （D ）非负数 提升能力
4．（2005年中考·苏州）已知反比例函数y=2
k x 的图象在第一、三象限内，则k 的值可是________（写出满足条件的一个k 值即可）． 【答案】 略
5．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为倒数，?则这点一定在函数图象
上 y=1
x （填函数关系式）．
6．若一次函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数y=kb
x 的图象一定在 二、四 象限． 开放探究
7．两个不同的反比例函数的图象是否会相交？为什么？
【答案】 不会相交，因为当k 1≠k 2时，方程1k x ＝2
k x 无解．
8．点A （a ，b ）、B （a-1，c ）均在反比例函数y=1
x 的图象上，若a<0，则b < c ．
第2课时
（一）创设情境，导入新课
老师在黑板上写了这样一道题：“已知点（2，5）在反比例函数y=?
x 的图象上，?试
判断点（-5，-2）是否也在此图象上．”题中的“？?”是被一个同学不小心擦掉的一个数字，请你分析一下“？”代表什么数，并解答此题目． （二）合作交流，解读探究
探究 点（2，5）在反比例函数图象上，其坐标当然满足函数解析式，因此，代入
后易求得？=10，即反比例函数关系式为y=10
x ，再当x=-5时，代入易求得y=-2，说明点（-5，?-2）适合此函数解析式，进而说明点（-5，-2）一定在其函数图象上． 交流 与同学们分享成功的喜悦． （三）应用迁移，巩固提高
例1已知反比例函数的图象经过点A （2，6）
（1）这个函数的图象分布在哪些象限？y 随x 的增大而如何变化？
（2）点B （3，4）、C （-212，-44
5）和D （2，5）是否在这个函数的图象上？
解：（1）设这个反比例函数为y=k
x ，因为它过点A （2，6），所以把坐标代入得6=2k ，?解得k=12，此反比例函数式为y=12
x ，又因k=12>0，所以图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小．
（2）把点B 、C 、D 的坐标分别代入y=12
x ，知点B 、C 的坐标满足函数关系式，点
D?的坐标不满足函数关系式，所以点B 、C 在函数y=12
x 的图象上，点D 不在这个函数的图象上．
例2（2005年中考·河南）三个反比
例函数
y=1k x （2）y=2k x （3）y=3
k x 在x 轴上方的图象如图所示，由此推出k 1，k 2，k 3的大小关系
【分析】 由图象所在的象限可知，
k 1<0，k 2>0，k 3>0；在（2）（3）中，为了比较k 2与k 3的大小，可取x=a>0，作直线x=a ，
与两图象相交，找到y=2
k x 与y=3k x 的对应函数值b?和c ，由于k 2=ab ，k 3=ac ，而c>b>0，因而k 3>k 2>k 1．
【答案】 k 3>k 2>k 1．
例3直线y=kx 与反比例函数y=-6
x 的图象相交于点A 、B ，过点A 作AC 垂直于y 轴于点C ，求S △ABC ．
解：反比例函数的图象关系原点对称，又y=kx 过原点，故点A 、B 必关于原点对称，从而有OA=OB ，所以S △AOC =S △BOC ．
设点A 坐标为（x 1，y 1），则xy=-6，且由题意AC=│x 1│，OC=│y 1│．
故S △AOC =12AC ·OC=12│x 1y 1│=1
2×6=3， 从而S △ABC =2S △AOC =6． 备选例题
1．（2005年中考·兰州）已知函数y=-kx （k ≠0）和y=-4
x 的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为C ，则S △BOC =_________．
2．（2005年中考·常德）已知正比例函数y=kx 和反比例函数y=3
x 的图象都过点A （m ，1），求此正比例函数解析式及另一交点的坐标．
【答案】 1．2； 2．y=1
3x ，（-3，-1） （四）总结反思，拓展升华 反比例函数的性质及运用
（1）k 的符号决定图象所在象限．
（2）在每一象限内，y 随x 的变化情况，在不同象限，不能运用此性质．
（3）从反比例函数y=k
x的图象上任一点向一坐标轴作垂线，这一点和垂足及坐标
原点所构成的三角形面积S△=1
2│k│．
（4）性质与图象在涉及点的坐标，确定解析式方面的运用．
（五）课堂跟踪反馈
夯实基础
1．判断下列说法是否正确
（1）反比例函数图象的每个分支只能无限接近x轴和y轴，?但永远也不可能到达x 轴或y轴．（∨）
（2）在y=3
x中，由于3>0，所以y一定随x的增大而减小．（×）
（3）已知点A（-3，a）、B（-2，b）、C（4，c）均在y=-2
x的图象上，则a （4）反比例函数图象若过点（a，b），则它一定过点（-a，-b）．（∨） 2．设反比例函数y=3m x 的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2），且当x1<0 时，有y1 3．点（1，3）在反比例函数y=k x的图象上，则k= 3 ，在图象的每一支上，y随 x?的增大而减小． 4．正比例函数y=x的图象与反比例函数y=k x的图象有一个交点的纵坐标是2，求（1） x=-3时反比例函数y的值；（2）当-3 【答案】（1）-4 3，（2）-4<9- 4 3 提升能力 5．（2005年中考·资阳）已知正比例函数y=k1x（k1≠0）与反比例函数y= 2 k x（k 2≠0） ?的图象有一个交点的坐标为（-2，-1），则它的另一个交点的坐标是（A） A．（2，1） B．（-2，-1） C．（-2，1） D．（2，-1） 6．（2005年中考·沈阳）如图所示，已知直线y1=x+m与x轴、y?轴分别交于点A、B， 与双曲线y2=k x（k<0）分别交于点C、D，且C点坐标为（-1，2）． （1）分别求直线AB与双曲线的解析式； （2）求出点D的坐标； （3）利用图象直接写出当x在什么范围内取何值时，y1>y2． 【答案】 （1）直线：y=x+3，双曲线：y=-2 x ； （2）（-2，1）； （3）-2 7．画出y=-2 x 与y=-2||x 的图象，并加以区别． 【答案】 略 开放探究 8．（2005年中考·湖州）两个反比例函数y=3x ，6 x ，在第一象限内的图象如图所示， 点P 1，P 2，P 3，…，P 2005在反比例函数y=6 x 图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，…， x 2005，?纵坐标分别1，3，5，…，共2005年连续奇数，过点P 1，P 2，P 3，…，P 2005分别作 y 轴的平行线，与y=3 x 的图象交点依次是Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），Q 3（x 3，y 3），…，Q 2005（x 2005，y 2005），则y 2005= 2004.5 ． 教学反思 第17章 反比例函数复习与交流 知识框架 重点知识阐述与剖析 1．反比例函数 如果两个变量x、y之间的关系可以表示为y=k x（k为常数，k≠0）的形式，?那么y 是x的反比例函数，其中x是自变量，y是因变量． 在反比例函数中，两个变量x、y和常数均不能为0，?另外要注意的是实际问题中自变量的取值范围； 变式：k=xy反比例函数中的常数是就是两个变量x、y的乘积，这一点在求反比例函数解析式时要经常运用． 2．反比例函数的图象和性质 3．灵活运用反比例函数的有关知识解决实际问题运用反比例函数的有关知识去解决实际问题，首先要对实际问题进行观察、分析、抽象，从实际问题中寻找两个变量之间的关系，建立反比例函数模型，即把实际问题抽象成数学问题，再运用反比例函数的有关知识去解决这个数学问题． 综合．应用．创新例题选讲 电压一定时，电流I与电阻R的函数图象大致是（A）． 【解析】当电压U一定时，电流I与电阻R的关系为I=U R，所以电流I与电阻 R?成反比例函数关系，又考虑到电阻R>0，因此电流I与电阻R?的函数图象应该是双曲线在第一象限内的一支，故选A． 【提升】本题是跨学科知识之间的联系，问题的解决需要相关的物理学知识，首先知道物理学中的电流I与电阻R的反比例函数关系．同时还必须兼顾到在这个实际问题中自变量R的取值范围． 例2 在函数y=-2 x的图象上有三点（-1，y 1），（- 1 4，y 2），（ 1 2，y 3），则函数 值y1，y2，y3?的大小关系是（D） 【解析】由于k=-2<0，所以此函数的图象在二、四象限，且在每个象限中函数值随着自变量值的增加而增加，?根据所给出的三点的横坐标知道其中的两个点在第三象限，一个点在第四象限，那么在第四象限的纵坐标y最小，第二象限内的两个点，?横坐标大的，其纵坐标也大，所以y1 【提升】对于函数值与自变量值的对应关系，前提是在每个象限内，本题给出的三个点不在同一象限内，所以不能简单地用“y随x的增大而增大”，?这是容易疏忽的地方．另外，本题也可由已知各点的自变量的值，求出相应的函数值来比较大小． 例3如图所示，在反比例函数y=6 x的图象上取一点B，过B作AB垂直x轴于点A， 作BC垂直y轴于点C． （1）求矩形OABC的面积S1； （2）作类似矩形OA1B1C1，求矩形OA1B1C1的面积S2； （3）你发现了什么？ （4）利用（3）的结论解决：在y=k x的图象上有一点M，作MN垂直x轴于N点，MH 垂直y?轴于H，已知矩形OMNH面积为9 ，求解析式． 解：（1）设B（m，n），所以n=6 m，mn=6，而OA=│m│，OC=│n│， 则S1=OA·OC=│m│·│n│=6，（2）类似（1）可得S2=6，（3）对于函数y=k x，矩形的面积 为定值│k│值，（4）y=9 x或y= 9 x ． 【提升】对于函数y=k x，在其图象上任取一点，过这个点分别作x轴、y轴的垂 线，它们与两条坐标轴围成的面积为定值│k│． 例4 如图所示是某个函数图象的一部分，根据图象回答下列问题： （1）这个函数图象所反映的两个变量之间是怎样的函数关系？ （2）请你根据所给出的图象，举出一个合乎情理且符合图象所给出的情形的实际例子． （3）写出你所举的例子中两个变量的函数关系式，并指出自变量的取值范围． （4）说出图象中A点在你所举例子中的实际意义． 解：（1）由图象知：两个变量成反比 例函数关系． （2）例如：路程一定时，速度与时间之间（质量一定时，物体的体积与密度之间等）． （3）v=S t，1≤t≤6（p= m V，1≤V≤6） （4）当t=2时，v=3． 【提升】反比例函数和其他数学知识一样，都不是彼此孤立的，掌握反比例函数与其他知识之间的内在联系，既有利于我们学好反比例函数和其他知识本身，更有利于提高我们综合运用数学知识解决问题的能力．同时“函数”内容的本身，?就较好的体现了数形结合思想． 例5 小明在某一次实验中，测得两个变量之间的关系如下表所示： 请你根据表格回答下列问题： （1）这两个变量之间可能是怎样的函数关系？你是怎样作出判断的？?请你简要说明理由． （2）请你写出这个函数的解析式． （3）表格中空缺的数值可能是多少？请你给出合理的数值． 解：（1）反比例函数：观察表格分析发现x与y的积约等于12，所以x与y成反比例关系，也可以通过描点画图来分析得出x与y之间的关系． （2）y=12 x （3）表格中所缺的x值为6，y值近似于4即可 【提升】本题是对实验数据的分析处理问题，实验过程中受各种因数的影响，数据一定会出现多多少少的误差，所以在对数据进行分析处理时，要考虑到这一点．事实上在现实生活中各种数据的出现难免会出现误差，学会处理这类问题才达到真正的学以致用． 教学反思 能力测试平台 一、选择题（每题4分，共24分） 1．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则k 的取值范围是（C ） A ．k>0 B ．k>1 C ．k<0 D ．k=0 2．若y 与x 成正比例，x 与1 z 成反比例，则y 与z 之间的关系为（A ） A ．成正比例 B ．成反比例 C ．既不成正比例，也不成反比例 D ．无法确定 3．下列几个关系中，成反比例关系的是（C ） A ．正三角形的面积与其周长 B ．人的身高与年龄 C ．三角形面积一定时，一边与这边上的高 D ．矩形的长与宽 4．函数y=-x 与y=1 x 在同一直角坐标系中的图象是（B ） 5．已知，如图所示的P 是反比例y=k x 函数 图象上的一点，?若图中阴影部分的矩形面积为2，则这个反比例函数的关系式为（B ） A ．y=2x B ．y=-2x C ．y=1 2x D ．y=-12x 6．已知反比例函数的图象经过点（a ，b ），则它的图象一定也经过（A ） A ．（-a ，-b ） B ．（a ，-b ） C ．（-a ，b ） D ．（0，0） 二、填空题（每题4分，共24分） 7．双曲线y=-2 x 经过点（-2， 1 ）； 8．若函数y=k x 的图象经过点-4），则，此图象在 二、四 象限，在每一个象限内y 随x 的减小而 减小 ； 9．u 与t 成反比例，且当u=6时，t=18，这个函数解析式为 t=3 4t 10．已知y-2与x成反比例，当x=3时，y=1，则y与x间的函数关系式为 y=-3 x+2 ； 11．已知一次函数y=mx与反比例函数y=3 x的图象相交于点（1，3），?求该直线与 双曲线的另一个交点坐标（ -1，-3 ）； 12．函数y=2 x和y=-x+4的图象的交点在第一象限． 三、解答题（13题6分，14题8分，15题8分，16题10分，17题10分，18题10分，共52分） 13．已知y与x成反比例，且当x=2时，y=6，求y与x的函数关系式． 【答案】 y=12 x 14．已知y1是正比例函数，y2是反比例函数，并且当自变量取1时，y1=y2；?当自变量取2时，y1-y2=9，求y1和y2的解析式． 【答案】 y1=6x；y2=6 x． 15．如图所示，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=k x与直线y=-x-（k+1）?在第二象限的 交点，AB垂直x轴于B且S△ABO=3 2．求这两个函数的解析式． 【答案】 y=-3 x，y=-x+2 16．在某一电路中，保持电压不变，电流I（安培）与电阻R（欧姆）成反比例，当电阻R=5欧姆时，电流I=2安培． （1）求I与R之间的函数关系式； 【答案】 I=10 R （2）当电流I=0.5安培时，求电阻R的值；【答案】 R=20欧姆 17．如图所示，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=m x 的图象相交于A 、B 两点， （1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式； 【答案】 y=-2 x ，y=-x-1 （2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围． 【答案】 x<-2或0 18．我们知道，两条直线的交点坐标就是这两直线解析式联列时所组成的方程组的解．你能据此思想对下列方程组（或方程）的解进行讨论呢？ （1）22;2;y x y x =-???=?? （2）2,1;y x y x =-?? ?=?? （3）3x =2x-6. 【答案】 （1）有两个解 （2）没有解 （3）有两个解（以上均根据图象交点情 况判定）． 初中反比例函数习题集合（经典） （1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11 += x y ③21x y = ④.x y 21-=⑤2 x y =-⑥13y x = ； 其中是y 关于x 的反比例函数的有：_________________。 （2）函数2 2 )2(--=a x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．2或－2 （3）如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 （4）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） （5）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的（ ） （6）反比例函数(0k y k x = ≠） 的图象经过（—2，5）和（2， n ）， 求（1）n 的值；（2）判断点B （24，2-）是否在这个函数图象上，并说明理由 （7）已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1； x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝2时，y 的值． （8）若反比例函数2 2)12(--=m x m y 的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ） A 、 －1或1; B 、小于 1 2 的任意实数; C 、－1; Ｄ、不能确定 （9）已知0k >，函数y kx k =+和函数k y x =在同一坐标系内的图象大致是（ ） （10）正比例函数2x y = 和反比例函数2 y x =的图象有 个交点． （11）正比例函数5y x =-的图象与反比例函数(0)k y k x =≠的图象相交于点A （1，a ）， 则a ＝ ． （12）下列函数中，当0x <时，y 随x 的增大而增大的是（ ） A ．34y x =-+ B ．123y x =-- C ．4 y x =- D ．12y x =． x y O x y O x y O x y O A B C D 初中函数知识点总复习 姓名 正比例函数的概念 一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数。 正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数y=kx+b 中，若b＝0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数） 当K＞0时（一三象限），K越大，图像与y轴的距离越近。函数值y随着自变量x的增大而增大． 当K＜0时（二四象限），k越小，图像与y轴的距离越近。自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小．正比例函数的性质 1.定义域：R（实数集） 2.值域：R（实数集） 3.奇偶性：奇函数 4.单调性：当k>0时，图象位于象限，y随x的增大而增大（单调递增）；当k<0时，图象位于象限，y随x的增大而减小（单调递减）。 5.周期性：不是周期函数。 6.对称轴：直线，无对称轴。 正比例函数解析式的求法 设该正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），将已知点的坐标带入上式得到k，即可求出正比例函数的解析式。 另外，若求正比例函数与其它函数的交点坐标，则将两个已知的函数解析式联立成方程组，求出其x，y 值即可。 正比例函数的图像 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（x，kx）两点的一条直线，它的斜率是k，横、纵截距都为0。 正比例函数图像的作法 1.在x允许的范围内取一个值，根据解析式求出y值 2.根据第一步求的x、y的值描出点 3.做过第二步描出的点和原点的直线 正比例函数的应用 正比例函数在线性规划问题中体现的力量也是无穷的。 比如斜率问题就取决于K值，当K越大，则该函数图像与x轴的夹角越大，反之亦然 还有，y=kx 是y=k/x 的图像的对称轴。 ①正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系．①用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，（一定）正比例关系可以用以下关系式表示：②正比例关系两种相关联的量的变化规律：对于比值为正数的,即y=kx(k>0),此时的y与x,同时扩大，同时缩小，比值不变．例如：汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？ 以上各种商都是一定的，那么被除数和除数．所表示的两种相关联的量，成正比例关系．注意：在判断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量，虽然也是一种量，随着另一种的变化而变化，但它们相对应的两个数的比值不一定，它们就不能成正比例．例如：一个人的年龄和它的体重，就不能 3 反比例函数的应用 教材跟踪训练 （一）填空题：（每空2分，共12分） 1．长方形的面积为60cm2，如果它的长是ycm，宽是xcm，那么y是x的 函数关系，y写成x的关系式是。 2．A、B 途中是匀速直线运动，速度为v km/h，到达时所用的时间是t h， 那么t是v的函数，t可以写成v的函数关系式 是。 3．如图，根据图中提供的信息，可以写出正比例函数的关系式 是；反比例函数关系式是。 （二）选择题（5′×3＝15′） 1．三角形的面积为8cm2，这时底边上的高y（cm）与底边x（cm） 之间的函数关系用图象来表示是。 2．下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是 A：小明完成100m赛跑时，时间t（s）与跑步的平均速度v（m/s）之间的关系。 B：菱形的面积为48cm2，它的两条对角线的长为y（cm）与x（cm）的关系。 C：一个玻璃容器的体积为30L 间的关系。 D：压力为600N时，压强p与受力面积S之间的关系。 3．如图，A、B、C为反比例函数图象上的三个点，分别从A、 B、C向xy轴作垂线，构成三个矩形，它们的面积分别是S1、 S2、S3，则S1、S2、S3的大小关系是 A：S1＝S2＞S3B：S1＜S2＜S3 C：S1＞S2＞S3D：S1＝S2＝S3 x y -1 O 2 x y B A O C （三）解答题（共21分） 1．（12分）如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V （m 3/h ）与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数关系图象。 ①请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量。 ②写出此函数的解析式 ③若要6h 排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？ ④如果每小时排水量是5m 3，那么水池中的水将要多少小时排完？ 2．（9分）如图正比例函数y=k 1x 与反比例函数x y 2 交于点A ，从A 向x 轴、y 轴分别作垂线，所构成的正方形的面积为4。 ①分别求出正比例函数与反比例函数的解析式。 ②求出正、反比例函数图象的另外一个交点坐标。 ③求△ODC 的面积。 D x y B A O C 《反比例函数的意义》说课稿 尊敬的各位老师： 大家好！ 今天我要说课的题目是《反比例函数的意义》。《反比例函数的意义》是人教版年八级下册第十七章第一节的内容，共分为三个课时，今天我要说的是第一课时。 运用新课标理念，我将从以下五个方面进行说课： 教材分析 教法学法分析 教学过程设计 板书设计 教学反思 教材分析 首先先进行教材分析，它分为三个方面： 1、教材的作用与地位 函数本身就是数学学习的重要内容，而反比例函数是在继平面直角坐标系和一次函数学习的基础上，再次进入函数范畴学习的又一类新的函数。它是初中阶段三大函数之一，是最基本、最初步的函数。在此之前，学生已经学习过反比例关系和分式的知识，为本节课的学习打下了良好的基础。通过本节课的学习，又为以后更高层次函数的学习作好了铺垫，为以后处理函数、方程、不等式间的关系奠定了基础。因此，本节课在知识结构上呈现了承前启后的重要作用。 2、教学目标 教学目标是教学的出发点和归宿。根据新课程的要求，考虑到学生的认知规律和心理特点，结合本课特点，我特制定教学目标如下： 知识与技能 1、理解反比例函数的意义。 2、能够根据已知条件确定反比例函数的表达式。 数学思考让学生经历从实际问题中抽象出反比例函数模型的过程，体会反比例函数来源于实际. 解决问题能从实际问题中抽象出反比例函数并确定其表达式.. 情感与态度 1、经历反比例函数的形成过程，使学生体验函数是描述变量间对应关系的重要数学模型。 2、通过反比例函数的学习，培养学生合作交流意识和探索能力. 3、教学重难点 重点理解反比例函数的意义，确定反比例函数表达式。 难点理解反比例函数的内涵。 教法学法分析 众所周知，教学就是教师的教和学生的学，教法促进学法的形成，学法促进教法的发展。 教法选择讲解与引导探究相结合的教学方法。 学法指导由于初中学生维持有意注意时间，一般在10―20分钟，通过听、看、做、交 谈相结合获得的知识保持率最高，所以我指导学生在课堂上要注意听、仔细看、勤动手， 多交流用心想 教学手段多媒体与黑板相结合 反比例函数练习题 一、填空题（每空3分，共42分） 1．已知反比例函数()0≠= k x k y 的图象经过点（2，－3），则k 的值是_______,图象在__________象限，当x>0时，y 随x 的减小而__________. 2.已知变量y 与x 成反比，当x =1时，y =－6,则当y = 3时，x=________。 3．若反比例函数y=(2m-1)2 2 m x -的图象在第一、三象限,则函数的解析式为___________. 4．已知反比例函数x m y )23(1 -= ，当m 时，其图象的两个分支在第一、三象限内；当m 时，其图象在每个象限内y 随x 的增大而增大； 5.在函数（为常数）的图象上有三个点（-2，），(-1，)，（，）， 函数值，，的大小为； 6．已知111222(,),(,)P x y P x y 是反比例函数x k y = (k≠0)图象上的两点,且12x x <<0时,12y y < ,则k________。 7．已知正比例函数y=kx(k≠0),y 随x 的增大而减小,那么反比例函数y= k x ,当x< 0时,y 随x 的增大而_______. 8.已知y 1与x 成正比例(比例系数为k 1),y 2与x 成反比例(比例系数为k 2),若函数y=y 1+y 2 的图象经过点(1,2),(2, 1 2 ),则8k 1+5k 2的值为________. 9. 若m ＜－1，则下列函数：①()0 x x m y = ;② y =－mx+1; ③ y = mx; ④ y =(m + 1)x 中，y 随x 增大而增大的是___________。 10．当＞0,＜0时，反比例函数的图象在__________象限。 11．老师给出一个函数，甲、乙、丙、丁四人各指出这个函数的一个性质，甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：y 随x 的增大而减小；丁：当2 反比例函数经典中考例题解析一 一、 填空题（每空3分，共36分） 1、任意写出一个图象经过二、四象限的反比例函数的解析式:__________ 2、若正比例函数y =mx (m ≠0)和反比例函数y =n x (n ≠0)的图象有一个交点为点(2,3)，则m =______，n =_________ . 3、已知正比例函数y=kx 与反比例函数y= 3 x 的图象都过A （m ，1）点，求此正比例函数解析式为________,另一个交点的坐标为________. 4、已知反比例函数2k y x -=，其图象在第一、三象限内，则k 的值可为 。 （写出满足条件的一个k 的值即可） 5、已知反比例函数x k y = 的图象经过点)2 1 4(，，若一次函数1+=x y 的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B （2，m ），求平移后的一次函数图象与x 轴的交点坐标为______________ 6、已知双曲线x k y = 经过点（－1，3），如果A (11,b a )，B (22,b a )两点在该双曲线上，且1a ＜2a ＜0，那么1b 2b ． 7、函数y=x 2的图象如图所示，在同一直角坐标系内，如果将直线y=－x+1沿y 轴向上平 移2个单位后，那么所得直线与函数y= x 2 的图象的交点共有 个 8、已知函数y kx =- (ｋ≠０)与ｙ＝4x -的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直于ｙ轴，垂足为点C ，则△BOC 的面积为＿＿＿＿ （第9题） 9．如图,11POA V 、 212P A A V 是等腰直角三角形,点1P 、2P 在函数4 (0)y x x =>的图象上,斜边1OA 、12A A 都在x 轴上,则点2A 的坐标是____________. 10. 两个反比例函数x y 3= ，x y 6 =在第一象限内的图象如图 所示, 点P 1，P 2，P 3，…，P 2 005在反比例函数x y 6 = 图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，…，x 2 005，纵坐标分别是1，3，5，…，共2 005个连续奇数，过点P 1， P 2，P 3，…，P 2 005分别作 y 轴的平行线，与x y 3 = 的图象交点依次是Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），Q 3（x 3，y 3），…，Q 2 005（x 2 005，y 2 005），则 y 2 005= ． 二、选择题（每题3分，共30分） 11、反比例函数k y x = 与直线2y x =-相交于点A ，A 点的横坐标为－1，则此反比例函数的解析式为（ ） A ．2y x = B ．12y x = C ．2y x =- D ．12y x =- 12、如图所示的函数图象的关系式可能是（ ）. （A ）y = x （B ）y =x 1 （C ）y = x 2 (D) y = 1x 13、若点（3,4）是反比例函数2 21m m y x +-=图象上一点，则此函数图象必须经过点 （ ）. O x y （第12题） 第10 正比例函数的图象与性质教学设计 教学目标 知识与技能 1、认识正比例函数的意义，理解正比例函数。 2、会用描点法画正比例函数图象，掌握正比例函数的性质。 3、能利用正比例函数知识解决相关实际问题。 过程与方法 1、通过作出函数图象和从图象上获取信息，体会数形结合思想。 2、亲自经历“问题情境——函数解析式——函数图象——从图象 中获取信息——解决问题”的过程，体验数学知识在实际生活 中的广泛应用。 情感态度与价值观 1、通过对实际问题的解决，亲身感觉数学来源于生活。 2、体会在学习活动中与同学合作和独立思考的重要性，并在学习 活动中获得成功的体验，增强学习的自信心。 教学重难点 重点：正比例函数图象的画法和性质的理解。 难点：利用正比例函数图象与性质灵活解题。 教学过程： 一、问题研讨： 问题：1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；大约128天后，人们在25600千米外的澳大利亚发现了它。 （1）这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？ （2）25600÷128＝200（km） （3）这只燕鸥的行程y（单位：千米）与飞行的时间x（单位：天）之间有什么关系？ y=200x （0≤x≤128） （4）这只燕鸥飞行1个半月(一个月按30天计算)的行程大约是多少千米？ 当x=45时，y=200×45=9000 二、新知构建： 下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？ （1）圆的周长L随半径r 大小变化而变化； （2）铁的密度为7.8g/立方cm，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：立方cm）大小变化变化； （3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本撂在一起的总厚度h （单位cm）随这些练习本的本数n的变化而变化； （4）冷冻一个0℃物体，使它每分下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化。 观察以下函数： （1）l=2πr（2）m=7.8V （3）h=0.5n （4）T= -2t 《反比例函数的意义》教学设计 一、内容和内容解析 1．内容 反比例函数的意义． 2．内容解析 本课是反比例函数这一章的第一课时，其主要功能是在学生学习过的一次函数的基础上，通过实际例子帮助学生认识并归纳出反比例函数的意义．反比例函数作为初中三个基本函数（还有一次函数和二次函数）中最特殊的一个，明确其意义是最为重要的内容．另外本节课的学习可以给学生研究其它函数做好引领工作，帮助他们养成良好的思维品质和学习习惯． 学生需要对从实际问题中得出的三个关系式进行观察、归纳，结合已学知识来得出反比例函数的概念，并且深入的理解其意义．在此过程中，教师需要给学生一些必要的指引，具体到课堂教学实际中就是通过问题的引领，帮助学生做好问题的探究．学生是这个环节的主体，教师是辅助者，在实际教学中要尊重学生所提出的问题和看法，不应该把教师的观点强加给学生． 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解反比例函数的概念． 二、目标和目标解析 1．教学目标 （1）理解反比例函数的意义； （2）能够根据已知条件确定反比例函数的解析式． 2．目标解析 达成目标（1）的标志是：通过对实际问题和数学问题的分析，抽象概括得出反比例函数的概念，知道自变量和对应函数成反比例的特征． 达成目标（2）的标志是：能根据问题中的变量关系,确定反比例函数的解析式． 三、教学问题诊断分析 学生已经学习过了一次函数、二次函数、分式等预备知识，对函数的图象、性质和特征具有了一定的认知能力．再加上小学已经学习过的反比例关系，学生对反比例函数的引入不会感到突然．在对实际问题和数学问题进行分析过程中，需加强对函数概念的理解：对于自 变量每一个确定的值，有唯一确定的值与之对应．反比例函数与一次函数、二次函数的不同在于两个变量的乘积为定值．同时，学习过程中要回顾类比反比例关系，分式的概念及其运算． 但是反比例函数与学生已学过的一次函数、二次函数有着根本的不同．虽然从形式上和正比例函数很类似，但是其自变量取值范围不再是全体实数，所以相比于学生熟悉的函数类型，反比例函数的研究方式会有所不同，而本节课的学习就是所有这些改变的起点．本课的教学难点是：抽象得到反比例函数概念的过程． 四、教学过程设计 1．创设情境，引入新知 问题1京广高铁全程为2 298km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）与此次列车的全程运行时间t（单位：h）有什么样的关系？ 问题2冷冻一个0℃的物体，使它的温度下降到零下273℃，每分钟变化的温度（单位：℃）与冷冻时间（单位：分）有什么样的关系？ 师生活动：教师提出问题，学生思考、得出答案．教师板书学生给出的答案，同时提醒学生关注零下273℃的表示方法． 设计意图：用实际问题引出现实中的反比例关系，为后续的反比例函数的意义教学做好铺垫．创设问题情境，让学生感受量与量之间的函数关系，体会实际问题中蕴涵的函数关系，激发探究兴趣． 2．观察感知，理解概念 针对学生的答案，提出一系列问题： 问题3这些关系式有什么共同点？ 问题4这两个量之间是否存在函数关系？ 问题4.1这个变化过程中的常量和变量分别是什么？ 问题4.2变量x、y在什么范围内变化？ 问题4.3 y是x的函数吗？ 师生活动：教师针对学生的答案进行提问，引导学生进行思考，并鼓励学生提出问题，以推动对问题的进一步思考．开始渗透研究函数的一般步骤，帮助学生探究函数关系．学生需要调动原有知识储备，经过思考和讨论来回答问题． 设计意图：通过对问题的讨论分析，让学生学会用函数的观点分析生活中变量之间的关系，并能够用反比例关系式表示出来，初步建立反比例函数的模型． 反比例函数的意义习题 【自主领悟】 1． 苹果每千克x 元，花10元钱可买y 千克的苹果，则y 与x 之间的函数关系式为 ． 2． 某立方体的体积为1000cm 3 ，立方体的高h 随底面积S 的变化而变化，那么h 与S 之 间的函数关系式为 ． 3 ． 下 列 函 数 中 ， 是 反 比 例 函 数 的 是 （ ） A ．(1)1y x +- B ．11y x = - C ．21y x = D ．23y x = 4． 若y 与－2x 成反比例函数关系，x 与3 z 成正比例，则y 与z 的关系 （ ） A ．成正比例函数 B ．成反比例函数 C ．成一次函数 D ．不能确定 5． 已知y 是x 的反比例函数，当2x =时，6y =，（1）写出y 与x 的函数关系式；（2） 求当4x = 时，y 的值． 6． y 是x 的反比例函数，下表给出了x 与y 的一些值： （1）写出这个反比例函数的表达式； （2）根据函数表达式完成上表． 【自主探究】 问题1 下列等式中，哪些是反比例函数 （1）5x y = （2）x y 2-= （3）xy ＝21 （4）25+=x y （5）x y 23- = （6）31 +=x y （7）y ＝x ＋4 名师指导 根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成x k y =（k 为常数，k ≠0）的形式，容易看出，这里（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只单独含x ，（6）改写后是x x y 31+=， 分子不是常数，只有（2）、（3）、（5）能写成定义所给定的形式． 问题2 当m 取什么值时，函数2 3)2(m x m y --=是反比例函数？ 名师指导 反比例函数x k y = （k ≠0）的另一种表达式是1-=kx y （k ≠0），后一种写法中x 的次数是－1，因此m 的取值必须满足两个条件，即m －2≠0且3－m 2 ＝－1，特别注意不要遗漏 k ≠0这一条件，也要防止出现3－m 2＝1的错误． 解题示范 解：因为2 3)2(m x m y --=是反比例函数，所以有 231, 20,m m ?-=-? -≠? 解得2m =-． 即当2m =-时，函数2 3)2(m x m y --=是反比例函数． 问题3 已知函数y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝4；当x ＝2时，y ＝5． （1）求y 与x 的函数关系式； （2）当x ＝－2时，求函数y 的值． 名师指导 本题中，函数y 是由y 1和y 2两个函数组成的，要用待定系数法来解答．先根据题意分别设出y 1、 y 2与x 的函数关系式，再代入已知条件中的数值，通过解方程或方程组求出待定系数的值．这里要注意y 1与x 和y 2与x 的函数关系中的待定系数不一定相同，故不能都设为k ，为了区分开，要用不同的字母表示． 反比例函数知识点归纳总结与典型例题 （一）反比例函数的概念： 知识要点： 1、一般地，形如 y = x k ( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。 注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数； （2）解析式有三种常见的表达形式： （A ）y = x k （k ≠ 0） ， （B ）xy = k （k ≠ 0） （C ）y=kx -1 （k ≠0） 例题讲解：有关反比例函数的解析式 （1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11+= x y ③21x y = ④.x y 21 -=⑤2 x y =-⑥13y x = ；其中是y 关 于x 的反比例函数的有：_________________。 （2）函数2 2)2(--=a x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．2或－2 （3）若函数1 1-= m x y (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________． （4）反比例函数(0k y k x = ≠） 的图象经过（—2，52， n ）， 求1）n 的值； 2）判断点B （24，2- (二)反比例函数的图象和性质： 知识要点： 1、形状：图象是双曲线。 2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第________象限内；（2）当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。 3、增减性：（1）当k>0时,_________________,y 随x 的增大而________； （2）当k<0时,_________________,y 随x 的增大而______。 4、变化趋势：双曲线无限接近于x 、y 轴,但永远不会与坐标轴相交 5、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点____________；（2）对于k 取互为相反数的两个反比例函数（如：y = x 6 和y = x 6 -）来说，它们是关于x 轴，y 轴___________。 例题讲解： 反比例函数的图象和性质： （1）写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限 ． （2）若反比例函数 2 2 )12(--=m x m y 的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ） A 、 －1或1; B 、小于 1 2 的任意实数; C 、－1; Ｄ、不能确定 （3）下列函数中，当0x <时，y 随x 的增大而增大的是（ ） A ．34y x =-+ B ．123y x =-- C ．4 y x =- D ．12y x =． 正比例函数的概念 一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数。 正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数y=kx+b 中，若b＝0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数） 当K＞0时（一三象限），K越大，图像与y轴的距离越近。函数值y随着自变量x的增大而增大． 当K＜0时（二四象限），k越小，图像与y轴的距离越近。自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小． [编辑本段]正比例函数的性质 1.定义域：R（实数集） 2.值域：R（实数集） 3.奇偶性：奇函数 4.单调性：当k>0时，图象位于第一、三象限，y随x的增大而增大（单调递增）；当k<0时，图象位于第二、四象限，y随x的增大而减小（单调递减）。 5.周期性：不是周期函数。 6.对称轴：直线，无对称轴。 [编辑本段]正比例函数解析式的求法 设该正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），将已知点的坐标带入上式得到k，即可求出正比例函数的解析式。 另外，若求正比例函数与其它函数的交点坐标，则将两个已知的函数解析式联立成方程组，求出其x，y值即可。 [编辑本段]正比例函数的图像 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（x，kx）两点的一条直线，它的斜率是k，横、纵截距都为0。 [编辑本段]正比例函数图像的作法 1.在x允许的范围内取一个值，根据解析式求出y值 2.根据第一步求的x、y的值描出点 3.做过第二步描出的点和原点的直线 [编辑本段]正比例函数的应用 正比例函数在线性规划问题中体现的力量也是无穷的。 比如斜率问题就取决于K值，当K越大，则该函数图像与x轴的夹角越大，反之亦然 还有，y=kx 是y=k/x 的图像的对称轴。 ①正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系．①用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，（一定）正比例关系可以用以下关系式表示： ②正比例关系两种相关联的量的变化规律：对于比值为正数的,即y=kx(k>0),此时的y与x,同时扩大，同时缩小，比值不变．例如：汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？ 反比例函数经典中考例题解析二 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、反比例函数y ＝ x n 5 图象经过点（2，3），则n 的值是（ ）． A 、－2 B 、－1 C 、0 D 、1 2、若反比例函数y ＝ x k （k ≠0）的图象经过点（－1，2），则这个函数的图象一定经过点（ ）． A 、（2，－1） B 、（－ 2 1 ，2） C 、（－2，－1） D 、（ 2 1 ，2） 3、(08双柏县)已知甲、乙两地相距s （km ），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t （h ）与行驶速度v （km/h ）的函数关系图象大致是（ ） 4、若y 与x 成正比例，x 与z 成反比例，则y 与z 之间的关系是（ ）． A 、成正比例 B 、成反比例 C 、不成正比例也不成反比例 D 、无法确定 5、一次函数y ＝kx －k ，y 随x 的增大而减小，那么反比例函数y ＝ x k 满足（ ）． A 、当x ＞0时，y ＞0 B 、在每个象限内，y 随x 的增大而减小 C 、图象分布在第一、三象限 D 、图象分布在第二、四象限 6、如图，点P 是x 轴正半轴上一个动点，过点P 作x 轴的垂 线PQ 交双曲线y ＝ x 1 于点Q ，连结OQ ，点P 沿x 轴正方向运动时， Rt △QOP 的面积（ ）． A 、逐渐增大 B 、逐渐减小 C 、保持不变 D 、无法确定 Q p x y o t /h v /(km/ O t /h v /(km/ O t /h v /(km/ O t /h v /(km/ O A ． B ． C ． D ． 7、在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量 m 的某种气体，当改变容积V 时，气体的密度ρ也随之改变． ρ与V 在一定范围内满足ρ＝ V m ，它的图象如图所示，则该 气体的质量m 为（ ）． A 、1.4kg B 、5kg C 、6.4kg D 、7kg 8、若A （－3，y 1），B （－2，y 2），C （－1，y 3）三点都在函数y ＝－x 1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大 小关系是（ ）． A 、y 1＞y 2＞y 3 B 、y 1＜y 2＜y 3 C 、y 1＝y 2＝y 3 D 、y 1＜y 3＜y 2 9、已知反比例函数y ＝ x m 21-的图象上有A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2，则m 的取值范围是（ ）． A 、m ＜0 B 、m ＞0 C 、m ＜2 1 D 、m ＞ 2 1 10、如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A 、B 两 点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围 是（ ）． A 、x ＜－1 B 、x ＞2 C 、－1＜x ＜0或x ＞2 D 、x ＜－1或0＜x ＜2 二、填空题（每小题3分，共30分） 11.某种灯的使用寿命为1000小时，它的可使用天数y 与平均每天使用的小时数x 之间的函数关系式 为 . 12、已知反比例函数 x k y = 的图象分布在第二、四象限，则在一次函数b kx y +=中，y 随x 的增大而 （填“增大”或“减小”或“不变”）． 13、若反比例函数y ＝x b 3 -和一次函数y ＝3x ＋b 的图象有两个交点，且有一个交点的纵坐标为6，则b ＝ ． 14、反比例函数y ＝（m ＋2）x m 2 － 10的图象分布在第二、四象限内，则m 的值为 ． 反比例函数的意义教学反思 一、掌握方面 通过本节课的教学,使学生理解反比例函数的意义。并会识别反比例函数, 在掌握反比例函数的同时, 并会建立反比例函数基本模型, 学生由正比例函数向反比例 函数认识转变,两个变量对应关系(比为定值或积为定值的区别。通过回顾已有知识, 在行程问题中路程一定时, 时间与速度成反比, 引导学生用函数关系式表示时间与 速度的关系式, 为后面进一步建立反比例函数关系式基本模型做铺垫。在通过对基本问题的讨论, 激发起学生的强烈的求知欲和探索愿望, 使学生用函数观点从新认 识日常生活中变量之间的关系, 并能用反比例函数关系式表示出来, 初步建立反比 例函数表达式基本模型。最后让学生从上述不同关系式中抽象出反比例函数的一般情形,让学生感受从特殊到一般数学思考问题方法, 发展学生抽象思维和概括能力, 从而得反比例函数的概念。学生在理解. 掌握要注意反比例函数与正比例函数的区别。本节教学需由浅入深, 循序渐进, 逐步深入,学生探究的问题愈来愈有挑战性,教师适当点拨和学生充分讨论从而共性, 形成共识, 教师利用对反比例函数的认识, 设置由浅入深一些练习题, 加深对概念的理解与把握。通过例题学习, 习题的训练, 归纳出求反比例函数的一般步骤。二、不足方面 在教学中,有部分学生对反比例函数理解不透,不明确 x 与 y 之间关系,对 y=KX 与 y=KX 易混淆不清,正比例与反比例的区别。另外,遇到实际问题时,不能准确的 审题, 不能准确的确定两个变量之间的关系, 因此不能正确的列出函数关系式解决 问题, 还有不明确两个变量的意义, 也就是题目中给定数据不知道哪一个变量对应 的数值,还需培养学生的审题能力,从而进一步提高解题速度。 三、需注意的几个问题: (1注意师生互动,提高学生的思维效率。 (2针对学生的盲区,出相应的练习巩固。 初中数学反比例函数组卷 一．选择题（共10小题） 1．（2015?温州模拟）在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y=和y=kx+3的图象大 致是（） A．B．C．D． 2．（2015?本溪模拟）在反比例函数的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小， 则k的值可以是（） A．﹣1B．1C．2D．3 3．（2015?于洪区一模）如果函数y=kx﹣2（k≠0）的图象不经过第一象限，那么函数y= 的图象一定在（） A．第一，二象限B．第三，四象限C．第一，三象限D．第二，四象限4．（2015?杭州模拟）如图，点A是反比例函数（x＜0）的图象上的一点，过点A 作平行四边形ABCD，使B、C在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形ABCD的面积为（） A．1B．3C．6D．12 5．（2015?宜宾校级模拟）若点（3，4）是反比例函数图象上一点，则此函 数图象必须经过点（） A．（2，6）B．（2，﹣6）C．（4，﹣3）D．（3，﹣4）6．（2015春?安岳县期中）下列四个点中，在反比例函数y=﹣的图象上的点是（）A．（2，4）B．（﹣2，﹣4）C．（﹣2，4）D．（4，2） 7．（2015春?江津区校级月考）若反比例函数经过（﹣2，3），则这个反比 例函数一定经过（） A．（﹣2，﹣3）B．（3，2）C．（3，﹣2）D．（﹣3，﹣22）8．（2014?常州）已知反比例函数y=的图象经过点P（﹣1，2），则这个函数的图象位于 （） A．第二，三象限B．第一，三象限C．第三，四象限D．第二，四象限9．（2014?兰州）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是（）A．0B．1C．2D．以上都不是10．（2015?潮南区一模）已知一次函数y=kx+k﹣1和反比例函数y=，则这两个函数在同 一平面直角坐标系中的图象不可能是（） A．B．C．D． 二．填空题（共15小题） 11．（2015?闸北区模拟）已知：反比例函数的图象经过点A（2，﹣3），那么 k= ． 12．（2015?济南校级一模）如图，等腰Rt△ABC的斜边BC在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，连接OA，则OC2﹣OA2= ． 13．（2014?瑞安市校级模拟）若反比例函数y=（2k﹣1）的图象在二、四象限，则k= ． 反比例函数知识点归纳和典型例题 知识点归纳 （一）反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点． （二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象： （1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限； 在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限； 在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上， 则（，）在双曲线的另一支上． 图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上， 则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）． 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称 点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三 角形PQC的面积为． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论． （2）直线 与双曲线的关系： 当 时，两图象没有交点； 当 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称． 授课类型 T - 函数的概念 C - 正比例函数的概念 C 正比例函数的图像与性质 授课日期及时段 教学内容 函数的概念 知识要点一：常量和变量 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，而数值始终保持不变的量为常量. 判断一个量是常量还是变量，需看两个方面： ①看它是否在一个变化的过程中；②看它在这个变化过程中的取值情况。 知识要点二：定义 在某个变化过程中有两个量x 和y ，如果在x 的允许范围内，变量y 随x 的变化而变化，它们之间存在确定的依 么变 量y 叫做变量x 的函数，x 叫自变量，y 叫做因变量。 自变量与函数概念的形成过程：①一个变化过程；②两个变量；③一个量随另一个量的变化而变化。 若两个量满足上述三个条件，就说这两个量具有函数关系。 对于函数的关系，即两个变量的对应关系，有三种表示方法：（1）解析法（2）列表法（3）图象法 表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式. 知识要点三：定义域与函数值 函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域。 求自变量的取值范围的两个依据是：（1）自变量取值范围是使函数解析式(即是函数表达式)有意义． （2）自变量取值范围要使实际问题有意义． 对自变量x 在定义域内的每一个值，变量y 都有唯一确定的值与它对应。在定义域内，取x=a 对应的y 值叫x=a 时的函数值。 有时把y 用()f x 来代替，所以x=a 时的函数值也可以用()f a 来表示。如 ()()()()211,0,1,,12x f x f f f f a x +??=- ?-?? 求 理解函数概念把握三点：①一个变化过程，②两个变量，③一种对应关系。判断两个量是否具有函数关系也以这三点为依据。 各类型函数的定义域（1）整式-----一切实数 （2）分式-----分母不为零 （3）根式-------()()? ??≥被开方数为一切实数奇数根式被开方数偶数根式0 （4）零指数-----底数≠0 1．汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y (千米)与行驶时间x 之间的函数关系是 。 2．圆的面积y (厘米2)与它的半径x 之间的函数关系是 。 函数的定义域： 1、下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（ ） A ．y=2x 2中，x 取全体实数 B ．y= 11x +中，x 取x ≠-1的实数 C ．y=2x -中，x 取x ≥2的实数 D ．y=13 x +中，x 取x ≥-3的实数 2、已知函数y=212 x x -+中，当x=a 时的函数值为1，则a 的值是（ ） A ．-1 B ．1 C ．-3 D ．3 3、已知函数y = 2x －1x ＋2 ，当x=m 时的函数值为1，则m 的值为（ ） （A ） 1 （B ）3 （C ）－3 （D ）－1 4、函数y =x －2＋3－x 中自变量x 的取值范围是（ ） （A ）x ≥2 （B ）x ≤3 （C ）2≤x ≤3 （D ）x ≥3或x ≤2 1.写出下列函数关系式,并指出式中的自变量与因变量. 17·1·1反比例函数的意义 一、知识与技能 1．从现实情境和已有的知识、经验出发、讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数、函数概念的理解。 2经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。 二、过程与方法 1、经历对两个变量之间相依关系的讨论，培养学生的辨别唯物主义观点。 2、经历抽象反比例函数概念的过程，发展学生的抽象思维能力，提高数学化意识。 三、情感态度与价值观 1．经历抽象反比例函数概念的过程，体会数学学习的重要性，提高学生的学习数学的兴趣。 2、通过分组讨论，培养学生合作交流意识和探索精神。 教学重点：理解和领会反比例函数的概念。 教学难点：领悟反比例的概念。 教学过程： 一、创设情境，导入新课 活动1 问题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示这些函数有什么共同特点 (1)京沪线铁路全程为1463km ，乘坐某次列车所用时间t （单位:h ）随该列车平 均速度v （单位:km/h ）的变化而变化； （2）某住宅小区要种植一个面积为1000m 2的矩形草坪，草坪的长为y 随宽x 的变 化； （3）已知北京市的总面积为×104平方千米，人均占有土地面积S （单位：平方 千米/人）随全市人口n （单位:人）的变化而变化. 师生行为: 先让学生进行小组合作交流,再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看着函数,了解所讨论的函数的表达形式. 教师组织学生讨论,提问学生,师生互动. 在此活动中老师应重点关注学生: ① 能否积极主动地合作交流。 ② 能否用语言说明两个变量间的关系。 ③ 能否了解所讨论的函数表达形式，形成反比例函数概念的具体形象。 分析及解答：（1）v t 1463 = （2）x y 1000 = （3）n s 4 1068.1?= 其中v 是自变量，t 是v 的函数； x 是自变量，y 是x 的函数； n 是自变量，s 是n 的函数； 上面的函数关系式，都具有x k y =的形式，其中k 是常数。 二、联系生活，丰富联想 活动2 下列问题中，变量间的对应关系可用这样的函数式表示 （1）一个游泳池的容积为2000m 3,注满游泳池所用的时间随注水速度u 的变化而变化； （2）某立方体的体积为1000cm 3，立方体的高h 随底面积S 的变化而变化； （3）一个物体重100牛顿，物体对地面的压力p 随物体与地面的接触面积S 的变化而变化。] 师生行为 学生先独立思考，在进行全班交流。 教师操作课件，提出问题，关注学生思考的过程，在此活动中，教师应重点关注学生： （1） 能否从现实情境中抽象出两个变量的函数关系； （2） 能否积极主动地参与小组活动； （3） 能否比较深刻地领会函数、反比例函数的概念。 分析及解答：（1）v t 2000 = （2）s h 1000 = （3）s p 100 = 概念：如果两个变量x,y 之间的关系可以表示成x k y =的形式，那么y 是x 的反比例函数，反比例函数的自变量x 不能为零。 活动3 做一做： 一个矩形的面积为20cm 2, 相邻的两条边长为x cm 和y cm 。那么变量y 是初中反比例函数经典例题
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