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高中数学动点轨迹问题专题讲解

动点轨迹问题专题讲解

一．专题内容：

求动点(, )P x y 的轨迹方程实质上是建立动点的坐标, x y 之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有：

（1）等量关系法．．．．．：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉．（2）定义法．．．：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义，可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程．

（3）转移代入法．．．．．：如果所求轨迹上的点(, )P x y 是随另一个在已知曲线C ：(, )0F x y =上的动点00(, )M x y 的变化而变化，且00, x y 能用, x y 表示，即0(, )x f x y =，0(, )y g x y =，则将00, x y 代入已知曲线(, )0F x y =，化简后即为所求的轨迹方程．

（4）参数法．．．：选取适当的参数（如直线斜率k 等），分别求出动点坐标, x y 与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可．

（5）交轨法．．．：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）．注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！二．相关试题训练

（一）选择、填空题

1．（）已知1F 、2F 是定点，12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是（A ）椭圆（B ）直线（C ）圆（D ）线段

2．（）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ?的周长为36，则MNP ?的顶点P 的轨迹方程是

（A ）

22125169x y +=（0x ≠）（B ）22

1144169x y +=（0x ≠）（C ）

22116925x y +=（0y ≠）（D ）22

1169144

x y +=（0y ≠）

3．与圆22

40x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是；

4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线

1169

x y -=上运动，则12F F P ?的重心G 的轨迹方程是；

5．已知圆C ：22

(3)16x y ++=内一点(3, 0)A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平

分线交CQ 于P 点，则P 点的轨迹方程为．2

214

x y += 6．△ABC 的顶点为(5, 0)A -、(5, 0)B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶

点C 的轨迹方程是；

1916

x y -=（3x >）变式：若点P 为双曲线

1916

x y -=的右支上一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，则△12PF F 的内切圆圆心的轨迹方程是；

推广：若点P 为椭圆

1259

x y +=上任一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，圆M 与线段1F P 的延长线、线段2PF 及x 轴分别相切，则圆心M 的轨迹是；

7．已知动点M 到定点(3,0)A 的距离比到直线40x +=的距离少1，则点M 的轨迹方程是．(2

12y x =)

8．抛物线2

2y x =的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是．

x =（28k y >）)

9．过抛物线2

4y x =的焦点F 作直线与抛物线交于P 、Q 两点，当此直线绕焦点F 旋转时，

弦PQ 中点的轨迹方程为．解法分析：解法1 当直线PQ 的斜率存在时，

设PQ 所在直线方程为 (1)y k x =-与抛物线方程联立，

(1),4y k x y x

=-??=? 消去y 得 2222

(24)0k x k x k -++=．设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PQ 中点为(,)M x y ，则有

21222,22(1).x x k x k y k x k ?++==???

?=-=??

消k 得22(1)y x =-．当直线PQ 的斜率不存在时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程．故所求轨迹方程为2

2(1)y x =-．解法2 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，

由2

112224,4.

y x y x ?=??=?? 得121212()()4()y y y y x x -+=-，设PQ 中点为(,)M x y ，当12x x ≠时，有121224y y y x x -?=-，又1

PQ MF y

k k x ==-，

所以，21

y x ?

=-，即22(1)y x =-．当12x x =时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程．故所求轨迹方程为2

2(1)y x =-．

10．过定点(1, 4)P 作直线交抛物线:C 2

2y x =于A 、B 两点, 过A 、B 分别作抛物线C 的切线交于点M, 则点M 的轨迹方程为_________．44y x =-

（二）解答题

1．一动圆过点(0, 3)P ，且与圆2

(3)100x y ++=相内切，求该动圆圆心C 的轨迹方程．（定义法）

2．过椭圆

1369

x y +=的左顶点1A 作任意弦1A E 并延长到F ，使1||||EF A E =，2A 为椭圆另一顶点，连结OF 交2A E 于点P ，求动点P 的轨迹方程．

（直接法、定义法；突出转化思想）

3．已知1A 、2A 是椭圆22

221x y a b

+=的长轴端点，P 、Q 是椭圆上关于长轴12A A 对称的两

点，求直线1PA 和2QA 的交点M 的轨迹．（交轨法）

4．已知点G 是△ABC 的重心，(0,1), (0,1)A B -，在x 轴上有一点M ，满足

||||MA MC =， GM AB R λλ=(∈)．

（1）求点C 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与点C 的轨迹交于不同两点P 、Q ，且满足||||AP AQ =，试求k 的取值范围．

解：（1）设(,)C x y ，则由重心坐标公式可得(,)33

x y

G ． ∵ GM AB λ=，点M 在x 轴上，∴ (,0)3

x M ．

∵ ||||MA MC =，(0,1)A -，∴

=，即 2213

x y +=．故点C 的轨迹方程为2

213

x y +=（1y ≠±）．（直接法）（2）设直线l 的方程为y kx b =+（1b ≠±），11(,)P x y 、22(,)Q x y ，PQ 的中点为N ．

由22

,3 3.

y kx b x y =+??+=?消y ，得222

(13)63(1)0k x kbx b +++-=． ∴ 22

3612(13)(1)0k b k b ?=-+->，即22

130k b +->． ①

又122

613kb

x x k +=-+，∴21212

2262()221313k b b y y k x x b b k k -+=++=+=++， ∴ 22

3(,)1313kb b

N k k

++． ∵ ||||AP AQ =，∴ AN PQ ⊥，∴ 1AN

k k =-，即 22

13313b

k kb k k ++=--

+，

∴ 2132k b +=，又由①式可得 2

20b b ->，∴ 02b <<且1b ≠．

∴ 20134k <+<且2

132k +≠，解得11k -<<且k ≠．

故k 的取值范围是11k -<<且3

k ≠±

． 5．已知平面上两定点(0,2)M -、(0,2)N ，P 为一动点，满足MP MN PN MN ?=?．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（直接法）

（Ⅱ）若A 、B 是轨迹C 上的两动点，且AN NB λ=．过A 、B 两点分别作轨迹C 的切线，设其交点为Q ，证明NQ AB ?为定值．

解：(Ⅰ)设(,)P x y ．由已知(,2)MP x y =+，(0,4)MN =，(,2)PN x y =--,

48MP MN y ?=+．

4PN MN x ?=分

∵MP MN PN MN ?=?，

∴48y += 整理，得 2

8x y =．

即动点P 的轨迹C 为抛物线，其方程为2

8x y =．

6．已知O 为坐标原点，点(1,0)E -、(1,0)F ，动点A 、M 、

N 满足||||AE m EF =（1m >），0MN AF =?，1

()2

ON OA OF =+，//AM ME ．求点M 的轨迹W 的方程．

解：∵0MN AF ?=，1

()2

ON OA OF =+，

∴ MN 垂直平分AF ．

又//AM ME ，∴ 点M 在AE 上，

∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===，||||MA MF =， ∴ ||||2||ME MF m EF +=>，

∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴a m =，半焦距1c =，

∴ 2222

1b a c m =-=-．

∴ 点M 的轨迹W 的方程为22

2211

x y m m +=-（1m >）．

7．设,x y R ∈，,i j 为直角坐标系内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(2)a xi y j =++，

(2)b xi y j =+-，且||||8a b +=．

（1）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（定义法）

（2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形若存在，求出直线l 的方程，若不存在，试说明理由．

解：（1）

11216

x y +=；（2）因为l 过y 轴上的点(0,3)．若直线l 是y 轴，则,A B 两点是椭圆的顶点．

0OP OA OB =+=，所以P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾．故直线l 的斜率存在，设l 方程为3y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ．

由223,1,1216

y kx x y =+???+

=?? 消y 得22(43)18210,k x kx ++-=此时

22(18)4(43)(21)k k ?=-+-＞0恒成立，且1221843k x x k +=-

+，12

43x x k =-+， OP OA OB =+，所以四边形OAPB 是平行四边形．

若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA OB ⊥，即0OA OB ?=．

1122(,),(,)OA x y OB x y ==，

∴ 12120OA OB x x y y ?=+=．

即2

1212(1)3()90k x x k x x ++++=．

222

2118(1)()3()4343k k k k k +?-

+?-++ 90+=．2

516

k =

，得4k =±．

故存在直线l ：5

y x =±

+，使得四边形OAPB 是矩形． 8．如图，平面内的定点

F 到定直线l 的距离为2，定点E 满足：||EF =2，且EF l ⊥于

G ，点Q 是直线l 上一动点，点M 满足：FM MQ =，点P 满足：//PQ EF ，0PM FQ ?=．（I ）建立适当的直角坐标系，求动点P 的轨迹方程；

（II ）若经过点E 的直线1l 与点P 的轨迹交于相异两点A 、B ，令AFB θ∠=，当3

πθπ≤<时，求直线1l 的斜率k 的取值范围．

解：（1）以FG 的中点O 为原点，以EF 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xoy ，设点(,)P x y ，则(0, 1)F ，(0, 3)E ，:1l y =-．

∵ FM MQ =，//PQ EF ，∴(,1)Q x -，(, 0)2

x M ．

∵0PM FQ ?=，∴ ()()(2)02

x y -?+-?-=，

即所求点P 的轨迹方程为2

4x y =．（2）设点))(,(),,(212211x x y x B y x A ≠

设AF 的斜率为1k ，BF 的斜率为2k ，直线1l 的方程为3+=kx y

由???=+=y

x kx y 432…………6分 01242=--kx x 得 1242121-==+∴x x k

x x …………7分 9)4

(442212

22121==?=∴x

x x x y y

646)(22121+=++=+k x x k y y …………8分

)1)(1()1,(),1,,(21212211--+=?∴-=-=y y x x FB FA y x FB y x FA

41649121)(22212121--=+--+-=++-+=k k y y y y x x

)1)(1(||||21++=?y y FB FA 又16416491)(2

22121+=+++=+++=k k y y y y

4216

484||||cos 2

2++-=+--=?=∴k k k k FB FA θ…………10分

由于

πθπ

<≤43 224

2122cos 122-≤++-<--≤<-∴k k 即θ…………11分 22224

2222≥∴≥

++∴k k k

解得4488-≤≥k k 或…………13分

∴直线1l 斜率k 的取值范围是}8,8|{44-≥≥k k k 或

9．如图所示，已知定点(1, 0)F ，动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且0PM PF ?=，||||PM PN =．（1）求动点N 的轨迹方程；

（2）直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，若4OA OB ?=-

，且||AB ≤求直线l 的斜率k 的取值范围．

解：（1）设(,)N x y ，由||||PM PN =得(,0)M x -，

(0, )2y P ，(,)2y PM x =--，(1,)2

PF =-，

又0PM PF ?=，∴2

04y

x -+=，即动点N

24y x =．

（2）

10．已知点(0, 1)F ，点M 在x 轴上，点N 在y 轴上，P 为动点，满足0MN MF ?=，

0MN MP +=．

（1）求P 点轨迹E 的方程；

（2）将（1）中轨迹E 按向量(0, 1)a =平移后得曲线E '，设Q 是E '上任一点，过Q 作圆

22(1)1x y ++=的两条切线，分别交x 轴与A 、B 两点，求||AB 的取值范围．

解：（1）设(, 0)M a 、(0, )N b 、(,)P x y ，则(,)MN a b =-、(, 1)MF a =-、

(, )MP x a y =-．

由题意得(, )(, 1)0,(, )(,)(0, 0).a b a a b x a y -?-=??-+-=? ∴ 20,

, ,

a b x

a b y ?+=?

?==-?? ∴ 214y x =，故动点P 的轨迹方程为2

y x =．（2）

．如图()A m

和(,)B n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，且12

OA OB ?=-

， O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+．

（1）求m n ?的值；（2）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线

（3）若直线l 过点(2, 0)E 交（2）中曲线C 于M 、N 两点，且3ME EN =，求l 的方程．解：（1

）由已知得1()(,)22

OA OB m n mn ?=?=-=-，

∴ 1

mn =

．（2）设P 点坐标为(,)x y （0x >），由OP OA OB =+得

(,)()(,)x y m n =+

())m n m n =+-，

∴,)

x m n y m n =+???=-?? 消去m ，n 可得2

243y x mn -=，

又因14mn =，∴ P 点的轨迹方程为221(0)3

y x x -=>．

它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线2

y x -=的

右支．

（3）设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得

3(2)3ty y +-= 即 2

(31)1290t y ty -++=，

易知2

(31)0t -≠（否则，直线l

的斜率为

又2

14436(31)36(1)0t t t ?=--=+>，

设1122(,),(,)M x y N x y ，则1212

22129,31

t y y y y t t -+==--

∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧

12121212(2)(2)2()4x x ty ty t y y t y y =++=+++

22291234240313131

t t t t t t t -+=?+?+=->---， ∴ 2

310t -<，即2103t <<，又由120x x +>同理可得 2103

t <<，

由3ME EN =得 1122(2,)3(2,)x y x y --=-， ∴ 1212

23(2)3x x y y -=-??

-=? 由122222

123231t y y y y y t +=-+=-=--得22631

t y t =-，

由21222229(3)331y y y y y t =-=-=-得2

22331

y t =--，

消去2y 得 2

222363(31)31t t t =---考虑几何求法！！解之得：2115t = ，满足2

103

t <<．

故所求直线l

0y --=

0y +-=．

12．设A ，B

分别是直线5y x =

和5

y x =-上的两个动点，并且||20AB =，动点P 满足OP OA OB =+．记动点P 的轨迹为C ．（I ）求轨迹C 的方程；

（II ）若点D 的坐标为（0，16），M 、N 是曲线C 上的两个动点，且DM DN λ=，求实数λ的取值范围．

解：（I ）设(,)P x y ，因为A 、B

分别为直线y x =

和y x =上的点，故可设

11()A x x

，22(,)B x x ． ∵OP OA OB =+，

∴1212,)x x x y x x =+???=-??

．

∴1212,

x x x x x y +=??

?-=??．

又20AB =

， ∴2212124

()()205

x x x x -++=．

∴22

542045

y x +=．即曲线C 的方程为2212516x y +=．（II ）设N （s ，t ），M （x ，y ），则由DN DM λ=，可得（x ，y-16）=λ (s ，t-16)．故x s λ=，16(16)y t λ=+-．

∵ M、N 在曲线C 上， ∴???????=+-+=+ 1.16)1616t (25

s 1,16

t 25s 2

222

2λλλ

消去s 得

116

)1616t (16)

t 16(2

22=+-+-λλλ．

由题意知0≠λ，且1≠λ，解得 1715

2t λλ

-=．又 4t ≤， ∴

421517≤-λλ．解得 3

53≤≤λ（1≠λ）．

故实数λ的取值范围是

53≤≤λ（1≠λ）

． 13．设双曲线22

213

y x a -

=的两个焦点分别为1F 、2F ，离心率为2．（1）求此双曲线的渐近线1l 、2l 的方程；

（3

y x =±

）（2）若A 、B 分别为1l 、2l 上的动点，且122||5||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方

程，并说明是什么曲线．（

317525

x y +=）提示：

||1010AB =?

=，又113y x =

，223

y x =

，则1221)3y y x x +

-，2112)3

y y x x -=+．又 122x x x =+，122y y y =+代入距离公式即可．

（3）过点(1, 0)N 是否存在直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且0OP OQ ?=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．（不存在）

14．已知点(1, 0)F ，直线:2l x =，设动点P 到直

线l 的距离为d ，已知2

||PF d =

，且23

d ≤≤．（1）求动点P 的轨迹方程；（2）若1

PF OF ?=，求向量OP 与OF 的夹角；

（3）如图所示，若点G 满足2GF FC =，点M 满足

3MP PF =，且线段MG 的垂直平分线经过点P ，求

△PGF 的面积．

15．如图，直线:1l y kx =+与椭圆2

:2C ax y +=（1a >）交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB （O 为坐标原点）．

（1）若1k =，且四边形OAPB 为矩形，求a 的值；（3a =）

（2）若2a =，当k 变化时（k R ∈），求点P 的轨迹方程．（2

220x y y +-=（0y ≠））

16．双曲线C ：22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的离心率为2，其中(0,)A b -，(, 0)B a ，

且2

224

||||||||3

OA OB OA OB +=

?．

（1）求双曲线C 的方程；（2）若双曲线C 上存在关于直线l ：4y kx =+对称的点，求实数k 的取值范围．解：（I ）依题意有：

22222c 2,a 4a b a b ,3a b c .?=??

?+=?

?+=??

解得：.2,3,1===c b a

所求双曲线的方程为.13

=-y x ………………………………………6分（Ⅱ）当k=0时，显然不存在．………………………………………7分

当k≠0时，设双曲线上两点M 、N 关于直线l 对称．由l ⊥MN，直线MN 的方程为

y x b k

=-+．则M 、N 两点的坐标满足方程组

由221y x b,k

3x y 3.?

=-+???-=?

消去y 得 2222(3k 1)x 2kbx (b 3)k 0-+-+=．…………………………………9分

显然2

3k 10-≠，

∴2222

(2kb)4(3k 1)(b 3)k 0???=---+>??．

即222

k b 3k 10+->． ①

设线段MN 中点D （00x ,y ）则022

02kb x ,3k 1

3k b y .3k 1-?=??-??=?-?

∵D（00x ,y ）在直线l 上，

∴222

23k b k b

43k 13k 1

-=+--．即22k b=3k 1- ② 把②带入①中得 2

k b +bk 0>，解得b 0>或b 1<-．

∴

223k 10k ->或22

3k 1

<-1k -．

即k >

或1

k 2

<，且k≠0． ∴k

的取值范围是113

(,(,0)(0,)(,)22-∞-+∞．…………………14分 17．已知向量OA =(2，0)，OC =AB =(0，1)，动点M 到定直线y =1的距离等于d ，并且满足OM ·AM =K(CM ·BM -d 2

)，其中O 为坐标原点，K 为参数. （Ⅰ）求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型；

（Ⅱ）如果动点M 的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e 满足33≤e ≤2

2，求实数K 的取值范围.

18．过抛物线2

4y x =的焦点作两条弦AB 、CD ，若0AB CD ?=，1

()2

OM OA OB =

+，1

()2

ON OC OD =+．

（1）求证：直线MN 过定点；（2）记（1）中的定点为Q ，求证AQB ∠为钝角；（3）分别以AB 、CD 为直径作圆，两圆公共弦的中点为H ，求H 的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线．

19．（05年江西）如图，M 是抛物线上2

y x =上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA MB =．

（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；（2）若M 为动点，且90EMF ∠=，求△EMF 的重心G 的轨迹．

思路分析：（1）由直线MF （或ME ）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F 和点E 的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M 点的坐标将E 、F 点的坐标表示出来，进而表示出

G 点坐标，消去0y 即得到G 的轨迹方程（参数法）.

解：（1）法一：设2

00(,)M y y ，直线ME 的斜率为k （0k >），

则直线MF 的斜率为k -，方程为2

00()y y k x y -=-．

∴由2

002()y y k x y y x

?-=-??=??，消x 得2

00(1)0ky y y ky -+-=，

解得0

1F ky y k

-=，∴ 202

(1)F ky x k -=， ∴00220000

222

11214(1)(1)2E F EF

E F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+-

--===

=---+--

(定值)．所以直线EF 的斜率为定值．

法二：设定点00(,)M x y ，11(,)E x y 、22(,)F x y ，

由2002

,y x y x ?=??=?? 得 010101()()y y y y x x -+=-，即011ME k y y =+；同理 021MF k y y =+．

∵ MA MB =，∴ ME MF k k =-，即

0102

y y y y =-++，∴ 1202y y y +=-．

所以，121222

1212120

2EF y y y y k x x y y y y y --=

===---+（定值）．第一问的变式：过点M 作倾斜角互补的直线ME 、MF ，则直线EF 的斜率为定值；根据不同的倾斜角，可得出一组平行弦．

（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==当时所以直线ME 的方程为2

00()y y k x y -=-

由2

002y y x y y x ?-=-??=??得200((1),1)E y y --

同理可得2

00((1),(1)).F y y +-+

设重心G （x , y ），则有2222

00000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x y ?+-+++++===???

+--+++?===-??

消去参数0y 得2122()9273

y x x =

->． 20．如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B 都落在边AD 上，记为B '，折痕l 与AB 交于点E ，点M 满足关系式EM EB EB '=+．

（1）建立适当的直角坐标系，求点M 的轨迹方程；

（2）若曲线C 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，F 是AB 边上的一点，

4BA BF =，过点F 的直线交曲线C 于P 、

Q 两点，且PF FQ λ=，求实数λ的取值范围．

高中数学求轨迹方程的六种常用技法

求轨迹方程的六种常用技法轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。 1．直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。例1．已知线段6=AB ，直线BM AM ,相交于M ，且它们的斜率之积是 4 9 ，求点M 的轨迹方程。解：以AB 所在直线为x 轴，AB 垂直平分线为y 轴建立坐标系，则(3,0),(3,0)A B -，设点M 的坐标为(,)x y ，则直线AM 的斜率(3)3 AM y k x x = ≠-+，直线BM 的斜率(3)3AM y k x x = ≠- 由已知有4 (3)339 y y x x x ?=≠±+- 化简，整理得点M 的轨迹方程为22 1(3)94 x y x -=≠± 练习： 1．平面内动点P 到点(10,0)F 的距离与到直线4x =的距离之比为2，则点P 的轨迹方程是。 2．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2 2 24x y +=交于A 、B 两点，P 是l 上满足 1PA PB ?=的点，求点P 的轨迹方程。 3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（） A ．直线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 2．定义法通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。例2．若(8,0),(8,0)B C -为ABC ?的两顶点，AC 和AB 两边上的中线长之和是30，

高中数学函数解析式求法

函数解析式的表示形式及五种确定方式函数的解析式是函数的最常用的一种表示方法，本文重点研究函数的解析式的表达形式与解析式的求法。一、解析式的表达形式解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。 1、一般式是大部分函数的表达形式，例一次函数：b kx y += )0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、分段式若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n 个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。例1、设函数(]() ???+∞∈∞-∈=-,1,log 1,,2)(81x x x x f x ，则满足41)(=x f 的x 的值为。解：当(]1,∞-∈x 时，由4 12= -x 得，2=x ，与1≤x 矛盾；当()+∞∈,1x 时，由4 1log 81=x 得，3=x 。 ∴ 3=x 3、复合式若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。例2、已知3)(,12)(2 +=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ，[]=)(x f g 。解：[]721)3(21)(2)(2 2+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222 ++=++=+=x x x x f x f g 二、解析式的求法根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等。 1待定系数法若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。

高中数学简单逻辑专题解析(精编版)

全国高考数学试题分类解析——简单逻辑 1.(安徽理科第7题）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是（）（A ）所有不能被2整除的数都是偶数（B ）所有能被2整除的数都不是偶数（C ）存在一个不能被2整除的数是偶数（D ）存在一个不能被2整除的数不是偶数解析：全称命题的否定是特称命题，选D 2.（北京文科第4题）若p 是真命题，q 是假命题，则（）（A ）p q ∧是真命题 (B)p q ∨是假命题 (C)p ?是真命题 (D)q ?是真命题答案: D 3.（福建理科第2题）若R a ∈，则2=a 是0)2)(1(=--a a 的（） A.充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案：A 4.（福建文科3）若a ∈R ，则“a=1”是“|a|=1”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件答案：A 5.（湖北理科9、文科10）若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则称a 与b 互补，记()b a b a b a --+=22,?，那么()0,=b a ?是a 与b 互补（） A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要的条件答案：C 解析：若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则a 与b 至少有一个为0，不妨设0=b ，则()0,2=-=-=a a a a b a ?，反之，若()0,22=--+=b a b a b a ? 则022≥+=+b a b a ，两边平方得ab b a b a 22222++=+0=?ab ，则a 与b 互补，故选C. 6.（湖南理科2）设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M ?”则（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件

高中数学动点轨迹问题专题讲解

动点轨迹问题专题讲解一．专题内容：求动点(, )P x y 的轨迹方程实质上是建立动点的坐标, x y 之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有：（1）等量关系法．．．．．：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉．（2）定义法．．．：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义，可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程．（3）转移代入法．．．．．：如果所求轨迹上的点(, )P x y 是随另一个在已知曲线C ：(, )0F x y =上的动点00(, )M x y 的变化而变化，且00, x y 能用, x y 表示，即0(, )x f x y =，0(, )y g x y =，则将00, x y 代入已知曲线(, )0F x y =，化简后即为所求的轨迹方程．（4）参数法．．．：选取适当的参数（如直线斜率k 等），分别求出动点坐标, x y 与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可．（5）交轨法．．．：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）．

注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！二．相关试题训练（一）选择、填空题 1．（）已知1F 、2F 是定点，12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是（A ）椭圆（B ）直线（C ）圆（D ）线段 2．（）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ?的周长为36，则MNP ?的顶点P 的轨迹方程是（A ）22125169x y + =（0x ≠）（B ）22 1144169 x y +=（0x ≠）（C ） 22116925x y +=（0y ≠）（D ）22 1169144 x y +=（0y ≠） 3．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是； 4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线22 1169 x y -=上运动，则12F F P ?的重心G 的轨迹方程是； 5．已知圆C ： 22(16x y +=内一点)A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平

高中数学圆锥曲线轨迹问题题型分析

有关圆锥曲线轨迹问题根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验）建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”）求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为 122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数 )0(>λλ，求动点M 的轨迹。【解析】设MN 切圆C 于N ，则2 2 2 ON MO MN -=。设),(y x M ,则 2222)2(1y x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(22222=++-+-λλλx y x （1）当1=λ时，方程为4 5 = x ，表示一条直线。（2）当1≠λ时，方程化为2 222 222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 ◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点），使得PM =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 1(20)O -，，2(20)O ，.

高中数学-求函数解析式的六种常用方法

求函数解析式的六种常用方法一、换元法已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式.令g （x ）= t ，求f （t ）的解析式，再把t 换为x 即可. 例1 已知f （x x 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解：设x x 1+= t ，则 x= 1 1-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 1 11)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）. 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域. 二、配凑法例2 已知f （x +1）= x+2 x ，求f （x ）的解析式. 解： f （x +1）= 2)(x +2 x +1－1=2)1(+x －1， ∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ，则有 f （x ）= x 2－1 （x ≥1）. 评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错. 三、待定系数法例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式. 解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ① f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得 ???=++=+822b a b b a 解得 ???==. 7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.

高中数学解析几何专题之椭圆汇总解析版

圆锥曲线第1讲椭圆【知识要点】一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义：平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2（ 2 12F F a >）的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作a 2）大于这两个定点之间的距离 2 1F F （记作c 2），否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下：（ⅰ）当c a 22>时，点的轨迹是椭圆；（ⅱ）当c a 22=时，点的轨迹是线段21F F ；（ⅲ）当c a 22<时，点的轨迹不存在。注2：若用M 表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为 a MF MF 221=+（c a 22>， c F F 221=），即 2 121F F MF MF >+. 注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件： a MF MF 221=+千万不可忘记。 2. 椭圆的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （10<>b a ）；（2）焦点在y 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是122 22=+b x a y （0>>b a ）.

注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴，主要看长半轴跟谁走。长半轴跟x 走，椭圆的焦点在x 轴；长半轴跟y 走，椭圆的焦点在y 轴。（1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设其方程为12222=+b y a x （0>>b a ）或122 22=+b x a y （0>>b a ）；若题目未指明椭圆的焦点究竟是在x 轴上还是y 轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 12 2=+ny mx （0>m ，0>n ，且n m ≠）. 三、椭圆的性质以标准方程122 22=+b y a x （0>>b a ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。（1）范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-；（2）对称性：关于x 轴、y 轴轴对称，关于坐标原点中心对称；（3）顶点：左右顶点分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ；上下顶点分别为),0(1b B ，),0(2b B -；（4）长轴长为a 2，短轴长为b 2，焦距为c 2；（5）长半轴a 、短半轴b 、半焦距c 之间的关系为2 2 2 c b a +=；（6）准线方程：c a x 2 ± =；（7）焦准距：c b 2 ；（8）离心率： a c e = 且10<

动点的轨迹问题

动点的轨迹问题根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验）建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”）求轨迹方程的的基本方法： 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含 x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。 2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。 3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点 P（x,y）却随另一动点Q（x ' ， y ' ）的运动而有规律的运动，且动点 Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将 x ',y ' 表示为 x,y的式子，再代入 Q 的轨迹方程，然而整理得 P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。 4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使 x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。 5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。 6.转移法：如果动点 P 随着另一动点 Q 的运动而运动，且 Q 点在某一已知曲线上运动，那么只需将 Q 点的坐标来表示，并代入已知曲线方程，便可得到 P 点的轨迹方程。

高中数学函数的解析式

课题：___函数的解析式___ 教学任务教学目标知识与技能目标会求简单函数的解析式过程与方法目标学生通过“回顾－反思－巩固－小结”的过程中总结简单函数的解析式三种类型及解法。理解掌握换元法、待定系数法，体会建立数学模型。培养学生分类讨论的数学思想。情感,态度与价值观目标使学生认识到数学与生活紧密相连，数学活动充满着探索与创造，让他们在学习活动中培养独立的分析和建模的能力。重点理解掌握应用换元法、待定系数法求简单函数的解析式难点能初步掌握用数学模型解决实际问题，并能注意实际问题中的定义域教学过程设计问题与情境设计意图活动1课前热身（资源如下） 1、设 ? ? ? ? ? < = > + = )0 (0 )0 ( )0 (1 ) ( x x x x x fπ，则f{f[f(－1)]}=_______ ___ 2、若一次函数f(x)，使f[f(x)]=9x+1，则() f x= 3、已知：) (x f=x2-x+3 ，则 f(x+1) = , f( x 1 )= 4、若 x x x f - = 1 ) 1 (求f(x) = 5、客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是（）. A. B. C. D. . 从正反两种情况出发，让学生回忆体会函数解析式用法和求法。活动2类型解法函数的解析式的几种类型及解法： 1、已知所要求的函数类型（一次、二次、反比例、指对数等），利用待定系数法来求； 2、已知复合函数一般用变量代换（换元）法； 3、涉及实际问题求解析式，需建立数学模型即：把实际问题转化为数学问题。培养学生用自己的语言来总结类型与解法活动3提高探究资源1、求满足下列条件的函数() f x的解析式： ①已知一次函数() f x，满足3(1)2(1)217 f x f x x +--=+. ②若二次函数满足(0)0 f=，且(1)()1 f x f x x +=++ ③设二次函数f(x)满足f(x－2)=f(－x－2),且图象在y轴上的截距为1,在x轴上截得的线段长为2 2. 掌握利用待定系数法求解析式。

高中数学经典解题技巧和方法平面向量

高中数学经典解题技巧：平面向量一、向量的有关概念及运算解题技巧：向量的有关概念及运算要注意以下几点：（1）正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。（2）正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻（3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。例1：（2010·山东高考理科·Ｔ12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=(m,n)，b p,q)= （，令a ⊙b mq np =-，下面说法错误的是（） A.若a 与b 共线，则a ⊙b 0= B. a ⊙b = b ⊙a C.对任意的R λ∈，有()a λ⊙b = (a λ⊙)b D. (a ⊙b )2222()a b a b +?= 【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力. 【思路点拨】根据所给定义逐个验证. 【规范解答】选B ，若a 与b 共线，则有a ⊙b 0mq np =-=，故A 正确；因为b ⊙a pn qm =-,，而a ⊙b mq np =-，所以有a ⊙b ≠ b ⊙a ，故选项B 错误，故选B. 【方法技巧】自定义型信息题 1、基本特点：该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型. 2、基本对策：解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性二、与平面向量数量积有关的问题解题技巧：与平面向量数量积有关的问题 1．解决垂直问题：121200,a b a b x x y y a b ⊥?=?+=其中、均为非零向量。这一条件不能忽视。 2．求长度问题：2||a a a =，特别地1122(,),(,),||(A x y B x y AB x =则 3．求夹角问题：求两非零向量夹角的依据 2 22 222cos(,).||||a b a b a b x x y ==++ 例2：1.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）在Rt ABC ?中，C ∠=90°AC=4，则AB AC ?uu u r uuu r 等于（）

动点的轨迹问题

动点的轨迹问题根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验）建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”）求轨迹方程的的基本方法： 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。 2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。 3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x ’，y ’)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将x ’,y ’表示为x,y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然而整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。 4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。 5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。 6.转移法：如果动点P 随着另一动点Q 的运动而运动，且Q 点在某一已知曲线上运动，那么只需将Q 点的坐标来表示，并代入已知曲线方程，便可得到P 点的轨迹方程。 7.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。 8.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求。 9.点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为),(),,(2211y x B y x A 并代入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。此部分内容主要考查圆锥曲线，圆锥曲线的定义是根本，它是相应标准方程和几何性质的“源”。对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略。二、注意事项： 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。

高中数学求函数解析式的各种方法

函数解析式 1、已知2(21)42f x x x +=-,求()f x 表达式。 2、已知1()2()23f x f x x +=+，求()f x 表达式。 3、已知2(1)21f x x +=+，求(1)f x -，()f x 。 4、已知23()2()23f x f x x --=-，不求()f x 的解析式，直接求(0)f ，(2)f 。 5、已知2 211()11x x f x x --=++，求()f x 解析式。 6、设()f x 是R 上的函数，且满足(0)1f =，并且对任意的实数x,y 都有()()(21)f x y f x y x y -=--+，求()f x 。 7、若函数2 2()1x f x x =+，求111(1)(2)()(3)()(4)()234f f f f f f f ++++++。 8、已知函数()x f x ax b =+，(2)1f =且方程()0f x x -=有唯一解，求()f x 表达式。 9、设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 。 10、已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式。 11、已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式。 12、已知函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式。 13、设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 。 14、设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,1 1)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式。 15、设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f 。 16、已知f （x ＋1）＝x ＋2x ，求()f x 的解析式。 17、已知f （x ＋ x 1）＝x 3＋31x ，求()f x 的解析式。 18、已知函数()f x 是一次函数，且满足关系式3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x 的解析式。 19、已知2(1)lg f x x +=，求()f x 。 20、已知()f x 满足1 2()()3f x f x x +=，求()f x 。

立体几何中的动点轨迹问题讲解

立体几何中的动点轨迹问题讲解这类问题在高考中并不常见，或者说在高考中出现得并不明显，但在用空间向量求二面角时偶尔会遇到一种题目，即需要用到的点并不是一个确定的点，而是在一个面上的动点，且这个点还满足一些特定的值或平面几何关系，此时需要根据条件确定出动点所在的轨迹，在每年高考前的模拟题中也会遇到这种题目，若在选填中，则一般位于压轴或次压轴位置，求几何体中动点的轨迹或者与轨迹求值相关的问题，在解析几何中满足条件的动点都会有特定的轨迹，动点绝不是乱点，在几何体中依旧如此。这种题目做法和平面几何求轨迹方程类似，因为点在面内(非平面)，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型，这四种情况没有过于明显的界限，知道就好，下列题目中就不再分门别类的去叙述了。立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别。题目中可以找到与AM垂直且包含OP的平面，这样动点P的轨迹就知道了，从O点向底面作垂线，垂足为O'，连接BO',可知AM⊥平面OO'B，即可得知P的轨迹。

但题目是在规则的正方体中，直线OP和AM为异面直线，两者成90°的特殊角度，根据射影法求异面直线的夹角方法，我们只需确定出OP在底面上的投影位置即可。与上题类似，需要找到一个与BD1垂直且包含AP的平面，根据三垂线定理可知BD1⊥AC，BD1⊥AB1，所以BD1⊥平面ACB1，平面ACB1与有侧面的交线为B1C，所以点P的轨迹为线段B1C

高中数学-空间图形的轨迹问题

空间图形的轨迹问题 1 判断轨迹的类型问题这类问题常常要借助于圆锥曲线的定义来判断，常见的轨迹类型有：线段、圆、圆锥曲线、球面等。在考查学生的空间想象能力的同时，又融合了曲线的轨迹问题。例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（D）。 A. 线段 B. 一段椭圆弧 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分简析本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义。因为B1C1 面AB1，所以PB1就是P到直线B1C1的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，从而选D。引申1 在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为2：1，则动点P所在曲线的形状为（B）。 A. 线段 B. 一段椭圆弧 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分引申2 在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为1：2，则动点P所在曲线的形状为（C）。 A. 线段 B. 一段椭圆弧 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，点P在其对角面BB1D1D内运动，若EP总与直线AC成等角，则点P的轨迹有可能是（A）。 A. 圆或圆的一部分 B. 抛物线或其一部分 C. 双曲线或其一部分 D. 椭圆或其一部分简析由条件易知：AC是平面BB1D1D的法向量，所以EP与直线AC成等角，得到EP与平面BB1D1D所成的角都相等，故点P的轨迹有可能是圆或圆的一部分。例3已知正方体的棱长为a，定点M在棱AB上（但不在端点A，B上），点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为a2，则点P的轨迹所在曲线为（A）。 A. 抛物线 B. 双曲线 C. 直线 D. 圆简析在正方体中，过P作PF AD，过F作FE A1D1，垂足分别为F、E，连结PE。则PE2=a2+PF2，又PE2-PM2=a2，所以PM2=PF2，从而PM＝PF，故点P到直线AD与到点M的距离相等，故点P的轨迹是以M为焦点，AD为准线的抛物线。点评正方体是空间图形中既简单、熟悉、又重要的几何体，具有丰富的内涵，在

人教版高中数学必修一函数解析式的求法大盘点

函数解析式的求法大盘点函数解析式的求解方法较多，在此，我归纳了几类供大家学习，希望对大家有所帮助。一．方程组法型型和此法主要适用(x) )()()()()(c tx bf x af x c x t bf x af =+=+。。即函数的解析式为得：替换为解析：把。联立方程组，即可解出替换为分析：把的解析式。，求满足函数例3)(3)(-)(2)-()(2)(,)(,)()(2)()(.1x x f x x f x x f x f x x f x f x x x f x x x f x x f x f x f ==????=-=----=-- 。即函数的解析式为得：替换为解析：把。联立方程组，即可解出替换为分析：把的解析式。，求满足函数例)2(31)()2(31)(1 )(2)1()1(2)(,1)(,1)()1(2)()(.2x x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x f x x x f x x f x f x f +--=+--=???? ????-=--=----=-- 点评：方程组法求函数解析式关键是根据所给表达式列出方程组。 )()()()()()()()()()(x f x t c x bf x t af x c x t bf x af x t x x c x t bf x af 即可解出，即替换为型需把???????=+=+=+， ).()()()()()()((x) )()(x f tx c x bf tx af x c tx bf x af tx x c tx bf x af 即可解出，即替换为型需把???=+=+=+

高中数学选择题技巧讲解

专题一数学客观题的解题方法与技巧专题一I 选择题的解法高考数学试题中,选择题注重多个知识点的小型综合,渗透各种数学思想和方法,体现以考查“三基”为重点的导向,能否在选择题上获取高分,对高考数学成绩影响重大.解答选择题的基本要求是四个字—准确、迅速.选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面. 选择题具有题小、量大、基础、快捷、灵活的特点,是高考中的重点题型.在高考试卷中数量最大,占分比例高.全国卷的选择题占60分.因此,正确的解好选择题已成为高考中夺取高分的必要条件. 选择题从难度上讲是比其他类型题目降低了,但知识覆盖面广,要求解题熟练、准确、灵活、快捷.应“多一点想的,少一点算的”,该算不算,巧判断.因而,在解答时应该突出一个“选”字,尽量减少书写解答过程.在对照选项的同时,多方考虑间接解法,依据题目的具体特点,灵活、巧妙、快速的选择巧法,以便快速智取. 选择题的巧解说到底就是要充分利用选项提供的信息,发挥选项的作用.能力稍差的学生解选择题仅仅顾及题干,然后像解答题那样解下去,选项只取了核对的作用.本来像选择题这样的小题应当“小题小作”,但却做成了解答题.至少做成了填空题.这样就“小题大作”了,导致后面的解答题没有充裕的时间思考,这是不划算的. 由于选择题结构特殊,不要求反映过程,再加上解答方式没有固定的模式,灵活多变,具有极大的灵活性.选择题的解题思想,渊源于选择题与常规题的联系与区别,它在一定程度上还保留着常规题的某些痕迹;而另一方面,选择题在结构上具有自己的特点,即至少有一个答案是正确的或合适的.因此,可充分利用题目提供的信息,排除迷惑支的干扰,正确、合理、迅速地从选择支中选出正确支;选择题中的错误支具有双重性,既有干扰的一面,也有可利用的一面.只有通过认真的观察、分析和思考才能揭露其潜在的暗示作用,从而从反面提供信息,迅速做出判断. 1．选择题的解题策略解题的基本策略是：充分地利用题干和选择支的两方面条件所提供的信息作出判断.先定性后定量,先特殊后推理;先间接后直解,先排除后求解. 一般地,解答选择题的策略是： ①熟练掌握各种基本题型的一般解法; ②结合高考单项选择题的结构（由“四选一”的指令、题干和选择项所构成）和不要求书写解题过程的特点,灵活运用特例法、筛选法、图解法等选择题的常用解法与技巧;

函数解析式的几种基本方法及例题

求函数解析式的几种基本方法及例题： 1、凑配法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。此法较适合简单题目。例1、（1）已知f(x+1)=x 2+2x,求f(x)及f(x-2). （2）已知2 2 1)1(x x x x f + =+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式解：（1）f(x+1)=(x+1)2-1,∴f （x ）=x 2-1.f(x-2)=(x-2)2-1=x 2-4x+3. （2） 2)1()1(2 -+ =+ x x x x f ， 21≥+ x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x 2、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例2 （1）已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f (2)如果).(,,)(x f x x x x f 时，求则当1011≠-= 解：（1）令1+= x t ，则1≥t ，2)1(-=t x x x x f 2)1(+=+ ∴,1)1(2)1()(2 2 -=-+-=t t t t f 1)(2 -=∴x x f )1(≥x x x x x f 21)1()1(2 2 +=-+=+∴ )0(≥x

(2)设 .)(,,,1 11 1111 11-= ∴-= - = = =x x f t t t f t x t x t ）（代入已知得则 3、待定系数法:当已知函数的模式求解析式时适合此法。应用此法解题时往往需要解恒等式。例3、已知f(x)是二次函数，且满足f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x). 解：设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0),∴f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c +a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x, 则应有.)(12121 0224 2222 --=∴?? ???-=-==∴?????=+-==x x x f c b a c a b a 四、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例4 设,)1 (2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 解 x x f x f =-)1 (2)( ① 显然,0≠x 将x 换成 x 1，得： x x f x f 1 )(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得： x x x f 323)(-- = 五、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例5 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式

人教A版高中数学必修一专题讲解全套名师教学资料

高中数学必修一专题讲解高中数学必修一专题讲解（集锦）专题一：抽象函数常见题型解法总章——抽象函数的考察范围及类型抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。常见的特殊模型:

一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ?的定义域问题，相当于解内函数()x ?的不等式问题。练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()? ?? ? ??-x f 3log 21 的定义域。例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域。[]11log ,13 评析：已知函数()()x f ?的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ?的值域。练习：定义在(]8,3上的函数f(x)的值域为[]2,2-，若它的反函数为f -1(x)，则y=f -1(2-3x)的定义域为，值域为。(]8,3,34,0?? ??? ?

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