自动控制系统的数学模型

第二章自动控制系统的数学模型

教学目的：

（1）建立动态模拟的概念，能编写系统的微分方程。

（2）掌握传递函数的概念及求法。

（3）通过本课学习掌握电路或系统动态结构图的求法，并能应用各环节的传递函数，求系统的动态结构图。

（4）通过本课学习掌握电路或自动控制系统动态结构图的求法，并对系统结构图进行变换。

（5）掌握信号流图的概念，会用梅逊公式求系统闭环传递函数。

（6）通过本次课学习，使学生加深对以前所学的知识的理解，培养学生分析问题的能力

教学要求：

（1）正确理解数学模型的特点；

（2）·

（3）了解动态微分方程建立的一般步骤和方法；

（4）牢固掌握传递函数的定义和性质，掌握典型环节及传递函数；

（5）掌握系统结构图的建立、等效变换及其系统开环、闭环传递函数的求取，并对重要的传递函数如：控制输入下的闭环传递函数、扰动输入下的闭环传递函数、误差传

递函数，能够熟练的掌握；

（6）掌握运用梅逊公式求闭环传递函数的方法；

（7）掌握结构图和信号流图的定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法则，简化图形结构，掌握从其它不同形式的数学模型求取系统传递函数的方法。

教学重点：

有源网络和无源网络微分方程的编写；有源网络和无源网络求传递函数；传递函数的概念及求法；由各环节的传递函数，求系统的动态结构图；由各环节的传递函数对系统的动态结构图进行变换；梅逊增益公式的应用。

教学难点：举典型例题说明微分方程建立的方法；求高阶系统响应；求复杂系统的动态结构

。

图；对复杂系统的动态结构图进行变换；求第K条前向通道特记式的余子式

k

教学方法：讲授

本章学时：10学时

》

主要内容：

引言

动态微分方程的建立

线性系统的传递函数

典型环节及其传递函数

系统的结构图

信号流图及梅逊公式

引言：

什么是数学模型为什么要建立系统的数学模型

1. <

2. 系统的数学模型：描述系统输入输出变量以及各变量之间关系的数学表达式。

１） 动态模型：描述系统处于暂态过程中个变量之间关系的表达式，他一般是时间函

数。如：微分方程，传递函数，状态方程等。

２） 静态模型：描述过程处于稳态时各变量之间的关系。一般不是时间函数 3. 建立动态模型的方法

１） 机理分析法：用定律定理建立动态模型。

２） 实验法： 运用实验数据提供的信息，采用辨识方法建模。

3. 建立动态模型的意义：找出系统输入输出变量之间的相互关系，以便分析设计系统，使系统控制效果最优。

动态微分方程的建立

无论什么系统，输入输出量在暂态过程中都遵循一定的规律，来反映该系统的特征。

)

为了使系统满足暂态性要求，必须对系统暂态过程进行分析，掌握其内在规律，数学模型可以描述这一规律。

一、编写系统或元件微分方程的步骤：

1. 根据实际情况，确定系统的输入输出变量。

2. 从系统输入端开始，按信号传递顺序，以此写出组成系统的各个元件的微分 方程（或运动方程）。

3. 消去中间变量，写出输入输出变量的微分方程。

二、举例

例1 R —L —C 电路

根据电路基本原理有:

??

?

?

?==++dt du c i u u L R c r c dt

di

i

r

c

c

c u

u

dt

du

Rc

dt

u

d

Lc=

+

+

?

2

2

/

例2 质量－弹簧－阻尼系统

由牛顿定律：∑=ma

F

2

2

dt

y

d

m

dt

dy

f

ky

F=

-

-

F

ky

dt

dy

f

dt

y

d

m=

+

+

?

2

2

3）电动机：

[

电路方程：a

a

a

a

a

r

i

R

dt

di

L

E

u+

=

-(1)

动力学方程：

dt

d

J

M

M

c

Ω

=

-(2)（

?

?

?

=

Ω

=

(4)

(3)

a

d

d

a

i

k

M

k

E

(4) →(2) 得：(5) d

c

d a k M dt d k J i +Ω=

(3)(5)→(1) 得：

)(22c d

a

c a a r

d d a d a M k R dt dM R L u k dt d k J R dt d k J L --=Ω+Ω+Ω 整理并定义两个时间常数

m d

a

T k JR =2 机电时间常数

a a

a

T R L = 电磁时间常数 ∴ 电机方程

(........)

1

22-=Ω+Ω+Ωr d m m a u k dt d T dt

d T T 如果忽略阻力矩 即0=c M ，方程右边只有电枢回路的控制量r u ，则电机方程是一典型二阶方程

…

如果忽略a T （0=a T ）电机方程就是一阶的

r d

m

u k dt d T 1

=Ω+Ω

小结：本节通过讲授介绍了自动控制系统的数学模型，介绍了系统的动态以及静态数学模型，

描述了系统的动态微分方程，并通过几个典型实例给出了求自动控制系统动态微分方程的步骤。

线性系统的传递函数

求解微分方程,可求出系统的输出响应,但如果方程阶次较高,则计算很繁,因此对系统的设计分析不便,所以应用传递函数将实数中的微分运算变成复数中的代数运算,可是问题分析大大简化.

1. 传递函数的定义： &

传递函数：线性系统,在零初始条件下,输出信号的拉氏变换与输入拉氏变换之比，叫做系统的传递函数。

线性定常控制系统微分方程的一般表达式：

设线性定常系统由下述n 阶线性常微分方程描述：

)

()()()()

()()()(1111011110t r b t r dt d

b t r dt d b t r dt d b t

c a t c dt d

a t c dt

d a t c dt d a m m m m m m n n n n n n ++???++=++???++------

式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，),,3,2,1(n i a i ???=和)

,,2,1(m j b j ???=是与系统结

构和参数有关的常系数。

设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令c(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s 的代数方程为：

)

(][)(][11101110s R a s b s b s b s C a s a s a s a m m m m n n n n ++???++=++???++----

于是，由定义得系统传递函数为：

)()()()()(11101110s N s M a s a s a s a b s b s b s b s R s C s G n n n n m m m m =

++???++++???++==---- 式中

m

m m m b s b s b s b s M ++???++=--1110)(

，

n

n n n a s a s a s a s N ++???++=--1110)(

2. 关于传递函数的几点说明：

1） 传递函数的概念只适应于线性定常系统。

2） G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。

3） 传递函数只与系统本身的特性参数有关，与系统的输入量无关。 4） 传递函数不能反映系统非零初始条件下的运动规律。

5） 传递函数分子多项式阶次（m ）小于等于分母多项式的阶次（n ）。 6） 传递函数与微分方程之间的关系。

)

()

()(s R s C s G =

如果将dt

d

S ?

置换 微分方程传递函数? 》

7） 脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单位脉冲)(t δ输入时的输出响应。 因为

1)]([)(==t L s R δ

??-=-===--t

t d g t r d t g t r s R s C L s C L t c 0

1

1)()()()()]()([)]([)(τττττ

传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)

3.传递函数的求法：

图 2-6

输入量Xr=u ，输出量Xc=i 。列回路电压方程：

u=Ri+L

dt

di

（2—27） 即Xr(s)=RXc(s)+LSXc(s) （2-28）

经整理得：

)()(s Xr s Xc =1

/11+s T R

（2—29） )

其中 T l =

R

L

,为电路的时间常数。

思考题：

)0()0()(][('2

22y sy s y s dt

y d L --=-，什么是零初始条件 如何从该框图求得?与ψ之间的关系

传递函数从微分方程?

典型环节及其传递函数

任何系统都是由各环节构成，知道了各典型环节的传递函数就不难求出系统的传递函数，从而对系统进行分析。这些典型环节包括：比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节和时滞环节。下面分别加以介绍：

/

1． 比例环节

K s G =)(

式中 K ——增益

特点： 输入输出量成比例，无失真和时间延迟。

实例：电子放大器，齿轮，电阻（电位器），感应式变送器等。 2． 惯性环节

1

1

)(+=TS s G

式中 T ——时间常数

特点： 含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即复现，输出无振荡。 实例：图2-4所示的RC 网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。 《

3． 微分环节

理想微分 KS s G =)( 一阶微分 1)(+=S s G τ

二阶微分 12)(22++=S S s G ξττ

特点： 输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。 实例： 测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。 4．积分环节

S

s G 1

)(=

特点： 输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。 实例： 电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。 —

5． 振荡环节

121

2)(2

2222++=++=TS S T S S s G n

n n ξωξωω 式中 ξ——阻尼比)10(<≤ξ n ω——无阻尼自然振荡频率

n

T ω1

=

特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。 实例：RLC 电路的输出与输入电压间的传递函数。

6． 纯时间延时环节 )()(τ-=t r t c

·

s e s G τ-=)(

式中 τ——延迟时间

特点： 输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。

实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。

小结：通过本节的讲授使学生掌握了传递函数的基本概念及典型环节传递函数。并了解了典

型二阶环节各参数的物理意义。

'

2．4 系统的结构图

一、结构图的定义及其组成

1. 结构图：是描述系统各组成元件之间信号传递关系的数学图形，它表示了系统的输入输出之间的关系。

2. 结构图的组成：

（1） 信号线：带箭头的直线，箭头表示信号传递方向。 （2） 分支点（引出点）：表示信号引出或测量的位置。

注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。（3）比较点：对两个以上信号加减运算。

—

（4）方框：方框图内输入环节的传递函数。

3．动态结构图的绘制步骤：

（1）建立控制系统各元件的微分方程（传递函数）要标明输入输出量。

（2）对元件的微分方程进行拉氏变换，并作出各元件的结构图。

}

（3）按系统各变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来。

二、系统动态结构图的求法

例如图2-9是闭环调速系统

、

U d

20

R

20

R

ST K S

)

n

i d

i

C0

R0

R1

i r

I c

i f

%

U k

C r

U f

-

·

图2-9

（一）求各环节的传递函数和方框图

1. 比较环节和速度调节器的传递函数和方框图

s

c R R R R s u s I s f 000001222

)()(1++

=-，2)()(01010R s c s c s I I f +==--δ，s c R s u s I c 111)

()(+= 01)()(R s u s I r r =, )()()(s I s I s I f r c -=

)11

)()((1)(011s

T s u s u s s k s u f r c

k +-+=ττ 式中 00410c R T = 为滤波常数 111c R =τ为时间常数

~

1

R R k c =为比例系数 )(1s w 为速度调节器函数

)(2s w 为速度反馈滤波传递函数

方框图如

【

图2-10

2. 速度反馈传递函数

)()(s n k s u sp f = sp k 为速度反馈系数

n(S)

~

图2-11

3. 电动机及功率放大器装置的传递函数 函数：s s s k s u s u s w ==)

()

()( s k 为功放电压放大系数

《

图2-12

电动机电框回路的微分方程：n c dt

d l i R u

e id

d

d d d ++= 零初始条件下拉氏变换：)()]()([)

1()

()()(4s w s n c s u s T R s n c s u s I e d d d e d d -=+-=

)(4s w —电框回路传递函数

图2-13

电动机带负载时运动方程：dt

dn

GD c i c i m z m d 3752=-

拉氏变换： )()(375)()(2s Sn R c

T s Sn R c c R c GD s I s I d

e m d e m d e z d ==-

)()]()([)]

()([)(s w s I s I S

T c R s I s I s n s z d m e d

z d -=-= （2-47） （二）系统动态结构图

图2-14

(

三、框图的等效变换

1．框图几种常见的连接方式 (1)环节串联连接的传递函数

图2-15

证明：)()()(11s x s w s x r =

)()()(112s x s w s x = )()()(233s x s w s x =

消去中间变量得几个环节串联的传递函数

)()()()(321s w s w s w s w = （2-50）

、

若有几个环节串联，则等效函数：

∏===n

i i n s w s w s w s w s w 1

21)()()......()()( （2-51）

(2)环节并联的传递函数

@

图2-16

证明：

)

()()()]()()([)()()()()()()

()()()(321321321s x s w s x s w s w s w s w s x s x s w s x s w s x s x s x s x r r r r r c =++=++=++= （2-52）

)()()()()

()

(321s w s w s w s w s x s x r c ++==∴

（2-53）

若有几个环节并联：∑===n

i i n s w s w s w s w s w 1

21)()()......()()( （2-54）

(3)反馈连接的等效传递函数

`

图2-17

特点：将输出量返回系统输入形式闭环。有两个通道（正向通道 反馈通道）。 传递函数的推导：

)()()(1s E s w s x c = )()(

)(s x s x s E f r = )()()(2s x s w s x c f = )()()()(2s x s w s x s E c r = )]()()()[()(21s x s w s x s w s x c r c = )()()()()()(121s x s w s x s w s w s x r c c =±

)

()(1)

()(211s w s w s w s w ±=

∴传递函数为 （2-55）

2．框图的等效变换 ]

(1)相加点从单元输入端移到输出端

变换后： )]()()[()()()()()(21112113s x s x s w s w s x s w s x s x +=+= (2)相加点从单元输出端移到输入端

:

图2-19

变换前：)()()()(2113s x s x s w s x +=

变换后：)()()()()()(1

)()(21112113S X S W S X S W S X S W S X S X +=??

????+=

|

(3)分支点从单元输入端移到输出端

#

图2-30

(4)分支点从单元输出端移到输入端

、

图2-31

(5)分支点及相加点可以互换

~

图2-32

±± 图2-33

~

四、几个基本概念及术语

R(s)——给定输入 C(s)——输出 B(s)——主反馈量 E(s)——误差 (1) 前向通路传递

函数

假设N(s)=0

打开反馈后，输出C(s)与R(s)之比。在图中等价于C(s)与误差之比E(s)。 打开反馈后，输出量拉氏与输入量拉氏之比。

~

)()()()

()

(21s G s G s G s E s C ==

(2) 反馈回路传递函数 （Feedforward Transfer Function ）假设N(s)=0 主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。

X 3(S)

| X (S)X 4(S)

±

+

X 2(S)

±

+

X 1(S)

X 4(S)

±

+

X 2(S)

±

+

，

X (S)

图2-34 反馈控制系统方框图

)()

()

(s H s C s B = (3) 开环传递函数 （Open-loop Transfer Function ）假设N(s)=0 主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。

(4)只有给定输入作用（N （S ）=0） )

()()(1)

()()(2121s H s G s G s G s G s G r +=

系统输出：)

()()(1)

()()()(2121s H s G s G s R s G s G s C r +=

^

(5)只有扰动作用 []0)(=s N

)

()()(1)

()(212s H s G s G s G s G n +=

)

()()(1)

()()(212s H s G s G s N s G s C n +=

系统总输出：

)]()()([)

()()(1)

()()()(1212s N s R s G s H s G s G s G s C s C s C n r ++=

+=

小结：通过本课学习使学生掌握电路或系统动态结构图的求法，并能应用各环节的传递函数，

求系统的动态结构图；掌握等效的概念及等效变换的基本原则，能够求出复杂结构图的传递函数。

】

2．5 信号流图及梅逊公式

一、信号流图

由系统的结构图可以求出系统的传递函数，但是系统很复杂时，结构图简化很繁，采用信号流图，不必对信号流图简化，应用统一公式，可求出系统的传递函数。

1．绘制方法：

(1)由代数方程绘制： 例： 描述系统的方程组为：

信号流图是由节点和支路组成的信号传递网络，节点表示系统的变量或是信号用“O ”表示，支路用有向线段表示。

该系统的信号流图： >

）

图2-35

(2)由系统结构图绘制

X 2=aX 1+bX 2+gX 5

!

X =cX X 4=dX 1+lX 3+fX 4 X 5=X 1+hX 4

X 5

"

图2-36

图2-37

2.信号流图使用术语

源点 ；汇点 ；混合节点 ；闭通路（回环）；回路增益 ；前向通路；自回路 ；不接触回路。

讲法：结合信号流图讲述。

3.梅逊增益公式求传递函数

利用梅逊增益公式，不用对系统结构图变换，一点写出系统的传递函数。

∑=??==n

K K K r c T X X T 1

1 （2-65）

X r ---系统输出量；X c ---系统的输出量；T----系统总传输；T k ---第K 条前向通路的传输；

/

n —从输入节点到输出节点的前向通路数；?---信号流图的特征式。

∑∑∑∑-++-+-=?m m L L L L )1(...1321 (2-66)

-

X c

∑-1

L 信号流图中所有不同回环传输之和。

∑-2

L 信号流图中每两个互不接触回环的传输乘积之和。 ∑3

L --信号流图中每三个互不接触回环的传输乘积之和。

∑-m

L

信号流图中每m 个互不接触回环的传输乘积之和。

-?k 第K 条前向通路特征式的余子式，是在中除去与第K 条前向通路相接触的各回环传

输（即将其置零）。

例1：如图求系统总的传输。 -

图2—38

根据梅逊增益公式：T=∑=??n

k k k T 1

1

此系统有两条前向通路n=2,其传输1T =abcd,T 2=fd;三个回环：L a =be,L b =-abcdg,L c =-fdg

'

三个回环只有L a 和L b 互不接触

∑∑==∴0,32L L L L c a

∴系统的特征方程式 ：∑∑+-=?211L L

=1-（L c a c b a L L L L +++)

=1-be+(abc+f-bef)dg

建立数学模型的方法、步骤、特点及分类

建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 [学习目标] 1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非 预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；； 3.能表述数学建模的分类； 4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 5.培养建模的想象力和洞察力。 一、建立数学模型的方法和步骤 —般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数． 可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从 §16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示． 图16-5 建模步骤示意图 模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样．

数学建模知识及常用方法

数学建模知识——之新手上路 一、数学模型的定义现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明：数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。二、建立数学模型的方法和步骤 1. 模型准备要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 5. 模型分析 对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。例题：一个笼子里装有鸡和兔若干只，已知它们共有 8 个头和 22 只脚，问该笼子中有多少只鸡和多少只兔？解：设笼中有鸡 x 只，有兔 y 只，由已知条件有 x+y=8 2x+4y=22 求解如上二元方程后，得解 x=5,y=3，即该笼子中有鸡 5 只，有兔 3 只。将此结果代入原题进行验证可知所求结果正确。根据例题可以得出如下的数学建模步骤： 1）根据问题的背景和建模的目的做出假设（本题隐含假设鸡兔是正常的，畸形的鸡兔除外） 2）用字母表示要求的未知量 3）根据已知的常识列出数学式子或图形（本题中常识为鸡兔都有一个头且鸡有 2 只脚，兔有 4 只脚） 4）求出数学式子的解答 5）验证所得结果的正确性这就是数学建模的一般步骤三、数模竞赛出题的指导思想传统的数学竞赛一般偏重理论知识，它要考查的内容单一，数据简单明确，不允许用计算器完成。对此而言，数模竞赛题是一个“课题”，大部分都源于生产实际或者科学研究的过程中，它是一个综合性的问题，数据庞大，需要用计算机来完成。其答案往往不是唯一的（数学模型是实际的模拟，是实际问题的近似表达，它的完成是在某种合理的假设下，因此其只能是较优的，不唯一的），呈报的成果是一篇论文。由此可见“数模竞赛”偏重于应用，它是以数学知识为引导计算机运用能力及文章的写作能力为辅的综合能力的竞赛。四、竞赛中的常见题型赛题题型结构形式有三个基本组成部分： 1. 实际问题背景涉及面宽——有社会，经济，管理，生活，环境，自然现象，工程技术，现代科学中出现的新问题等。一般都有一个

matlab电力系统潮流计算

华中科技大学 信息工程学院课程设计报告书题目: 电力系统潮流计算 专业：电气工程及其自动化 班级： 学号： 学生姓名： 指导教师： 2015年 11 月 10 日

2015年11月12日

信息工程学院课程设计成绩评定表

摘要 电力系统稳态分析包括潮流计算和静态安全分析。本文主要运用的事潮流计算，潮流计算是电力网络设计与运行中最基本的运算，对电力网络的各种设计方案及各种运行方式进行潮流计算，可以得到各种电网各节点的电压，并求得网络的潮流及网络中的各元件的电力损耗，进而求得电能损耗。本位就是运用潮流计算具体分析，并有MATLAB仿真。 关键词：电力系统潮流计算 MATLAB仿真

Abstract Electric power system steady flow calculation and analysis of the static safety analysis. This paper, by means of the calculation, flow calculation is the trend of the power network design and operation of the most basic operations of electric power network, various design scheme and the operation ways to tide computation, can get all kinds of each node of the power grid voltage and seek the trend of the network and the network of the components of the power loss, and getting electric power. The standard is to use the power flow calculation and analysis, the specific have MATLAB simulation. Key words: Power system; Flow calculation; MATLAB simulation

数学模型课程设计一

课程设计名称： 设计一：MATLAB 软件入门 指导教师： 张莉 课程设计时数： 8 课程设计设备：安装了Matlab 、C ++软件的计算机 课程设计日期： 实验地点： 第五教学楼北902 课程设计目的： 1. 熟悉MA TLAB 软件的用户环境； 2. 了解MA TLAB 软件的一般目的命令； 3. 掌握MA TLAB 数组操作与运算函数； 4. 掌握MATLAB 软件的基本绘图命令； 4. 掌握MA TLAB 语言的几种循环、条件和开关选择结构。 课程设计准备： 1. 在开始本实验之前，请回顾相关内容； 2. 需要一台准备安装Windows XP Professional 操作系统和装有数学软件的计算机。 课程设计内容及要求 要求：设计过程必须包括问题的简要叙述、问题分析、实验程序及注释、实验数据及结果分析和实验结论几个主要部分。 1. 采用向量构造符得到向量[1,4,7,,31] 。 //a=[1:3:31] 2. 随机产生一向量x ，求向量x 的最大值。 // a=rand(1,6) max(a) 3. 利用列向量(1,2,3,,6)T 建立一个范德蒙矩阵A ，并利用位于矩阵A 的奇数行偶数列的元素建立一个新的矩阵B ，须保持这些元素的相对位置不变。 4. 按水平和竖直方向分别合并下述两个矩阵： 100234110,5670018910A B ????????==???????????? 5. 当100n =时，求1121n i y i ==-∑的值。 6. 一个三位整数各位数字的立方和等于该数本身则称该数为水仙花数。输出全部水仙花数。 7. 求[1000,2000]之间第一个被17整除的整数。 8. 用MATLAB 绘制两条曲线，[0,2]x π∈，以10 π为步长，一条是正弦曲线，一条是余弦曲线，线宽为6个象素，正弦曲线为绿色，余弦曲线为红色，线型分别为实线和虚线，并给所绘的两条曲线增添图例，分别为“正弦曲线”和“余弦曲线”。

什么是数学模型与数学建模

1. 什么是数学模型与数学建模 简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。 具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。 更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。 数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 2.美国大学生数学建模竞赛的由来： 1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型（1987年全称为Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为Mathematical Contest in Modeling,其所写均为MCM）。这并不是偶然的。在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛（The william Lowell Putnam mathematial Competition,简称Putman(普特南）数学竞赛），这是由美国数学协会（MAA--即Mathematical Association of America的缩写）主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每年一次。在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年2月或3月进行。 我国自1989年首次参加这一竞赛，历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开，1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛（简称CMCM），该项赛事每年9月进行。

自动控制系统的数学模型

第二章自动控制系统的数学模型 教学目的： （1）建立动态模拟的概念，能编写系统的微分方程。 （2）掌握传递函数的概念及求法。 （3）通过本课学习掌握电路或系统动态结构图的求法，并能应用各环节的传递函数，求系统的动态结构图。 （4）通过本课学习掌握电路或自动控制系统动态结构图的求法，并对系统结构图进行变换。 （5）掌握信号流图的概念，会用梅逊公式求系统闭环传递函数。 （6）通过本次课学习，使学生加深对以前所学的知识的理解，培养学生分析问题的能力 教学要求： （1）正确理解数学模型的特点； （2）了解动态微分方程建立的一般步骤和方法； （3）牢固掌握传递函数的定义和性质，掌握典型环节及传递函数； （4）掌握系统结构图的建立、等效变换及其系统开环、闭环传递函数的求取，并对重要的传递函数如：控制输入下的闭环传递函数、扰动输入 下的闭环传递函数、误差传递函数，能够熟练的掌握； （5）掌握运用梅逊公式求闭环传递函数的方法； （6）掌握结构图和信号流图的定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法则，简化图形结构，掌握从其它不同形式的数学模型求取系统传递函 数的方法。 教学重点： 有源网络和无源网络微分方程的编写；有源网络和无源网络求传递函数；传递函数的概念及求法；由各环节的传递函数，求系统的动态结构图；由各环节的传递函数对系统的动态结构图进行变换；梅逊增益公式的应用。 教学难点：举典型例题说明微分方程建立的方法；求高阶系统响应；求复杂系统的动态结构图；对复杂系统的动态结构图进行变换；求第K条前向通道特记式 的余子式 。 k 教学方法：讲授 本章学时：10学时 主要内容： 2.0 引言 2.1 动态微分方程的建立 2.2 线性系统的传递函数 2.3 典型环节及其传递函数 2.4系统的结构图 2.5 信号流图及梅逊公式

高斯赛德尔法潮流计算

高斯——赛德尔法潮流计算 潮流计算高斯——赛德尔迭代法(Gauss一Seidel method)是求解电力系统潮流的方法。潮流计算高斯——赛德尔迭代法又分导纳矩阵迭代法和阻抗矩阵迭代法两种。前者是以节点导纳矩阵为基础建立的赛德尔迭代格式;后者是以节点阻扰矩阵为基础建立的赛德尔迭代格式。高斯——赛德尔迭代法这是数学上求解线性或非线性方程组的一种常用的迭代方法。 本实验通过对电力网数学模型形成的计算机程序的编制与调试，获得形成电力网数学模型：高斯---赛德尔法的计算机程序，使数学模型能够由计算机自行形成，即根据已知的电力网的接线图及各支路参数由计算程序运行形成该电力网的节点导纳矩阵和各节点电压、功率。通过实验教学加深学生对高斯---赛德尔法概念的理解，学会运用数学知识建立电力系统的数学模型，掌握数学模型的形成过程及其特点，熟悉各种常用应用软件，熟悉硬件设备的使用方法，加强编制调试计算机程序的能力，提高工程计算的能力，学习如何将理论知识和实际工程问题结合起来。 高斯---赛德尔法潮流计算框图

［1］系统节点的分类 根据给定的控制变量和状态变量的不同分类如下 ①P、Q节点（负荷节点），给定Pi、Qi求Vi、Si，所求数量最多； ②负荷节点，变电站节点（联络节点、浮游节点），给定P Gi、Q Gi的发电机 节点，给定Q Gi的无功电源节点； ③PV节点（调节节点、电压控制节点），给定P i、Q i求Q n、S n，所求数量 少，可以无有功储备的发电机节点和可调节的无功电源节点； ④平衡节点（松弛节点、参考节点（基准相角）、S节点、VS节点、缓冲节 点），给定V i，δi=0，求P n、Q n(V s、δs、P s、Q s)。 ［2］潮流计算的数学模型 1)线性的节点电压方程YV=I 根据S=V错误!未找到引用源。可得非线性的节点电压方程(错误!未找到引用源。为I的共轭) YV=I=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。

《数学建模》课程设计报告--常染色体遗传模型

《数学建模》课程设计 报告 课题名称：___常染色体遗传模型 系（院）：理学院 专业：数学与应用数学 班级： 学生姓名：巫荣 学号： 指导教师：陈宏宇 开课时间：2011-2012 学年二学期 常染色体遗传模型摘要 为了揭示生命的奥秘, 遗传特征的逐代传播, 愈来愈受到人们更多的注意。我们通过问题分析，模型的建立，去解决生物学的问题。为了去研究理想状态下常染色体遗传的情况，我们通过建立随机组合时常染色体的遗传模型，可以计算出各种情况随机出现的百分率，并且可以通过常染色体遗传模型，算出各个情况的概率分布，并且通过模型，分析情况出现的稳定性。揭示了常染色体遗传的分布规律，揭示了下一代各情形变化的规律性和稳定性。 关键词：遗传; 随机; 百分率; 概率分布; 稳定 一、问题重述 问题产生背景

常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对，基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因A和a控制的，那么就有三种基因对，记为AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基因型是AA的金鱼草开红花，Aa 型的开粉红色花，而aa型的开白花。又如人类眼睛的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是AA或Aa 的人，眼睛为棕色，基因型是aa的人，眼睛为蓝色。这里因为AA和Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因A支配基因a，也可以认为基因a对于A来说是隐性的。当一个亲体的基因型为Aa ，而另一个亲体的基因型是aa时，那么后代可以从aa型中得到基因a，从Aa 型中或得到基因A，或得到基因a。这样，后代基因型为Aa或aa的可能性相等。下面给出双亲体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。 父体—母体的基因型 AA ??AA AA ??Aa AA ??aa Aa ??Aa Aa ??aa aa ??aa 后代AA 1 1/2 0 1/4 0 0 基因Aa 0 1/2 1 1/2 1/2 0 型aa 0 0 0 1/4 1/2 1 问题描述 题目：农场的植物园中某种植物的基因型为AA, Aa和aa。农场计划采用AA型的植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任一代的三种基因型分布如何？ 二、问题分析 在本问题中要知道每一代的基因分布，首先要知道上一代的基因型分布，在自由组合后的所有子代可能出现的基因型（上面已经给出）。为了求出每一代的基因型分布，第一步写出第一代的基因型分布；第二步推出第n+1代的基因型分布与第n代的基因型分布的关系；第三步利用差分方程求出每一代的每种基因型分布通项从而求得任一子代三种基因型的概率分布。 现该农场的植物园中某种植物的基因型为AA,Aa和aa.采用AA型基因的植物相结合培育后代，求若干年后这种植物的任一代的三种基因型分布，首先分析出初始里，AA,Aa,aa这三种基因型植物的大致分布，首先必须分析出初

数学建模的基本步骤

数学建模的基本步骤 一、数学建模题目 1）以社会，经济，管理，环境，自然现象等现代科学中出现的新问题为背景，一般都有一个比较确切的现实问题。 2）给出若干假设条件： 1. 只有过程、规则等定性假设； 2. 给出若干实测或统计数据； 3. 给出若干参数或图形等。 根据问题要求给出问题的优化解决方案或预测结果等。根据问题要求题目一般可分为优化问题、统计问题或者二者结合的统计优化问题，优化问题一般需要对问题进行优化求解找出最优或近似最优方案，统计问题一般具有大量的数据需要处理，寻找一个好的处理方法非常重要。 二、建模思路方法 1、机理分析根据问题的要求、限制条件、规则假设建立规划模型，寻找合适的寻优算法进行求解或利用比例分析、代数方法、微分方程等分析方法从基本物理规律以及给出的资料数据来推导出变量之间函数关系。 2、数据分析法对大量的观测数据进行统计分析，寻求规律建立数学模型，采用的分析方法一般有： 1）. 回归分析法(数理统计方法)-用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式。 2）. 时序分析法--处理的是动态的时间序列相关数据，又称为过程统计方法。 3）、多元统计分析（聚类分析、判别分析、因子分析、主成分分析、生存数据分析）。 3、计算机仿真（又称统计估计方法）：根据实际问题的要求由计算机产生随机变量对动态行为进行比较逼真的模仿，观察在某种规则限制下的仿真结果（如蒙特卡罗模拟）。 三、模型求解： 模型建好了，模型的求解也是一个重要的方面，一个好的求解算法与一个合

适的求解软件的选择至关重要，常用求解软件有matlab，mathematica，lingo，lindo，spss，sas等数学软件以及c/c++等编程工具。 Lingo、lindo一般用于优化问题的求解，spss，sas一般用于统计问题的求解，matlab，mathematica功能较为综合，分别擅长数值运算与符号运算。 常用算法有：数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法,通常使用spss、sas、Matlab作为工具. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划、动态规划等通常使用Lindo、Lingo,Matlab软件。 图论算法,、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法, 模拟退火法、神经网络、遗传算法。 四、自学能力和查找资料文献的能力： 建模过程中资料的查找也具有相当重要的作用，在现行方案不令人满意或难以进展时，一个合适的资料往往会令人豁然开朗。常用文献资料查找中文网站：CNKI、VIP、万方。 五、论文结构： 0、摘要 1、问题的重述，背景分析 2、问题的分析 3、模型的假设，符号说明 4、模型的建立（局部问题分析，公式推导，基本模型，最终模型等） 5、模型的求解 6、模型检验:模型的结果分析与检验，误差分析 7、模型评价:优缺点，模型的推广与改进 8、参考文献 9、附录 六、需要重视的问题 数学建模的所有工作最终都要通过论文来体现，因此论文的写法至关重要：

数学模型课程设计

数学模型课程设计

文档仅供参考，不当之处，请联系改正。 攀枝花学院 学生课程设计（论文） 题目：蔬菜的运输问题 学生姓名：孟蕾 学号： 1080 所在院(系)：数学与计算机学院 专业：信息与计算科学 班级：级信本 指导教师：李思霖 6 月 29 日 攀枝花学院教务处制

攀枝花学院本科学生课程设计任务书

课程设计（论文）指导教师成绩评定表

摘要 本文针对蔬菜的运输问题进行分析，针对蔬菜运输时所需要注意的蔬菜供应量，需求量，运输距离，运输补贴，短缺补偿等约束性条件，运用lingo编程的方法解决如何进行蔬菜运输来分别使各类要求的支出最少的问题。 问题一中，要求如果不考虑短缺补偿，只考虑运费补贴最少，请为该市设计最优蔬菜运输方案。我们将供货商和销售点需求分别编号a和b，数量是从1~8和1~35。从题中能够看出其约束条件，所有销售点从第 A基地获得的蔬菜数量应该等于该基地所 i 生产的蔬菜数量；所有基地给 B销售点提供的蔬菜数量要大于等 j 于0，而且应该小于或等于该点的需求量。 问题二中，增添了对短缺补缺的考虑，规定各蔬菜销售点的短缺量一律不超过需求量的30%，在同时考虑短缺补偿和运费补贴的情况下再次设计最有蔬菜方案。由题意即是要求总费用，具体步骤仍同问题一，需要变化的分别是总费用w的表示式和关于销售点需求的约束条件。w变为原运输补贴的公式再加上每个销售点每吨短缺蔬菜的数量乘上各个销售点不同的短缺补偿，短缺数量需要用各个销售点的需求减去所有基地供给给这个的销售点的蔬菜数量之和。 问题三中，要求增加任意两个基地的生产数量，使得不存在短缺情况出现，然后视运费补贴最小的情况来确定哪两个基地分

数学建模常用方法

数学建模常用方法 建模常用算法,仅供参考： 1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,是比赛时必 用的方法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用M a t l a b作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通 常使用L i n d o、L i n g o软件实现） 4、图论算法（这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用） 7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种 暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计 算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文 中也应该要不乏图片的,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用M a t l a b进行处理） 一、在数学建模中常用的方法： 1.类比法 2.二分法 3.量纲分析法 4.差分法 5.变分法 6.图论法 7.层次分析法 8.数据拟合法 9.回归分析法 10.数学规划（线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、目标规划） 11.机理分析 12.排队方法

数学建模课程设计——优化问题

在手机普遍流行的今天，建设基站的问题分析对于运营商来说很有必要。本文针对现有的条件和题目的要求进行讨论。在建设此模型中，核心运用到了0-1整数规划模型，且运用lingo 软件求解。 对于问题一： 我们引入0-1变量，建立目标函数：覆盖人口最大数=所有被覆盖的社区人口之和，即max=15 1j j j p y =∑，根据题目要求建立约束条件，并用数学软件LINGO 对其模型求解，得到最优解。 对于问题二： 同样运用0-1整数规划模型，建立目标函数时，此处假设每个用户的正常资费相同，所以68%可以用减少人口来求最优值，故问题二的目标函数为：max=∑=15 1j j j k p 上述模型得到最优解结果如下： 关键字：基站; 0-1整数规划；lingo 软件

1 问题的重述．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 2 问题的分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 3 模型的假设与符号的说明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 3.1模型的假设．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 3.2符号的说明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 4 模型的建立及求解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 5 4.1模型的建立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 4.2 模型的求解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6 5 模型结果的分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 6 优化方向．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 7 参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 8、附录．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 9

建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 ()

薅§16.3建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 螁[学习目标] 蚀1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 蒆2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；； 羆3.能表述数学建模的分类； 蒃4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 葿5.培养建模的想象力和洞察力。 薆一、建立数学模型的方法和步骤 膃—般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.§16.2节的示例都属于机理分析方法。测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(SystemIdentification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数． 袁可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。 膈建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从 薆§16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示． 薄图16-5建模步骤示意图 蚃模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 芁模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样．

数学建模方法模型

数学建模方法模型 一、统计学方法 1 多元回归 1、方法概述: 在研究变量之间的相互影响关系模型时候用到。具体地说:其可以定量地描述某一现象和某些因素之间的函数关系，将各变量的已知值带入回归方程可以求出因变量的估计值，从而可以进行预测等相关研究。 2、分类 分为两类:多元线性回归和非线性线性回归;其中非线性回归可以通过一定的变化转化为线性回归，比如:y=lnx 可以转化为 y=u u=lnx 来解决;所以这里主要说明多元线性回归应该注意的问题。 3、注意事项 在做回归的时候，一定要注意两件事: (1) 回归方程的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决) (2) 回归系数的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决) 检验是很多学生在建模中不注意的地方，好的检验结果可以体现出你模型的优劣，是完整论文的体现，所以这点大家一定要注意。 4、使用步骤: (1)根据已知条件的数据，通过预处理得出图像的大致趋势或者数据之间的大致关系; (2)选取适当的回归方程; (3)拟合回归参数; (4)回归方程显著性检验及回归系数显著性检验 (5)进行后继研究(如:预测等)

2 聚类分析 1、方法概述 该方法说的通俗一点就是，将 n个样本，通过适当的方法(选取方法很多，大家可以自行查找，可以在数据挖掘类的书籍中查找到，这里不再阐述)选取 m 聚类中心，通过研究各样本和各个聚类中心的距离 Xij，选择适当的聚类标准，通常利用最小距离法(一个样本归于一个类也就意味着，该样本距离该类对应的中心距离最近)来聚类，从而可以得到聚类结果，如果利用sas 软件或者 spss 软件来做聚类分析，就可以得到相应的动态聚类图。这种模型的的特点是直观，容易理解。 2、分类 聚类有两种类型: (1) Q型聚类:即对样本聚类; (2) R型聚类:即对变量聚类; 通常聚类中衡量标准的选取有两种: (1) 相似系数法 (2) 距离法 聚类方法: (1) 最短距离法 (2) 最长距离法 (3) 中间距离法 (4) 重心法 (5) 类平均法 (6) 可变类平均法 (7) 可变法

数学建模课程设计

营销生产策略的制定 姓名：xxxxxxx 时间：xxxxxxx 问题描述： 现有企业（甲）想在杭州市场上推销某种新产品A，请你用所学知识，根 据下设情形，分别为企业（甲）制定一个合理的营销生产策略。 1、假定杭州市场上还没有出现过产品A或类似的产品； 2、假定杭州市场上有类似的产品，且市场占有率已达到15%； 3、假定杭州市场上还没有产品A或类似的产品，但新产品A有一个服从均值为5（年）的寿命分布。

摘要： 在数学建模中，产品营销问题是一类常见的典型问题。对于产品的销售情况 一般都用Logistic模型去描述，所以本实验都用了Logistic销售模型的建模思路。Logistic回归模型，主要是用来对多因素影响的事件进行概率预测，它是普通多元线性回归模型的进一步扩展，Logistic模型是非线性模型。对于题中的三种假定，结合微分方程基本理论对在杭州市场上推销的新产品A进行研究，并为企业（甲）制定一个合理的营销生产策略。 问题1：设定新产品A价格、质量以及销售人员的销售情况等其他影响新产品销售的外在因素是相对稳定，杭州市场对产品的需求量有限，产品的销售速度与销售量和剩余需求量的积成正比三个假设，建立了Logistic销售模型并求解。得出结论，在销售量达到最大销售量的一半时，产品最为畅销。 问题2：设定类似产品A的销售速度与销售量和剩余需求量的积成正比，新产品A的需求量、类似产品的需求量、剩余需求量之和为总需求量，在假定一和假定二下，不考虑新产品A的使用寿命三个假设，不考虑消费者同时拥有新产品A 和其类似产品，建立了微分方程组销售模型并求解。得出结论，问题2中的微分方程组的驻定解不稳定。 问题3：设定了新产品A服从均值为5（年）的指数寿命分布，其的报废量与新产品A的销售量成正比，新产品A报废后，人们仍愿意进行购买三个假设，参照Logistic销售模型，建立了微分方程销售模型并求解。给出了最大需求量A及销售速度的曲线。 问题分析与解题思路 在杭州市场还没有出现过A产品或类似产品的条件下，A产品刚刚进入市场，人们对A产品不熟悉，A产品的销售速度较慢，但在逐渐的增加，人们对A产品的熟悉度增加，此时A产品的销售速度逐渐增快，当产品销售到一定数量时，人们就会停滞购买，A的销售速度减慢。 在杭州市场上有类似的产品，且市场占有率已达到15%的条件下，不考虑消费者同时拥有新产品A和其类似产品的情况，认为类似产品的市场占有率会影响新产品A的销售，且类似产品的销售模型与新产品A的销售模型相同。 在杭州市场上还没有出现过产品A或类似的产品时，考虑新产品A的寿命是有限的，即新产品A有一个服从均值为5（年）的寿命分布，新产品A的报废会使市场上的剩余销售量增加，所以，有理由认为新产品的销售速度不仅受销售量，剩余量的影响，还受到新产品A的寿命的影响。

数学建模课程设计论文

数学建模课程设计 题目：最佳捕鱼方案 第九组：组员一组员二组员三 姓名：崔健萍王晓琳吴晓潇 学号： 021340712 021341009 021341014 专业：数学与应用数学数学与应用数学数学与应用数学成绩： 湖北民族学院理学院 二零一五年五月三十一日

最佳捕鱼方案问题 摘要 捕鱼方案问题在实际生活中应用广泛，如何捕鱼投放市场效益最佳这是一个一直需要讨论的问题。 本文通过建立一个数学模型的方式把捕鱼方案问题这种实际问题转化为数学模型的方式进行解答。 在本文中，首先我们对于这个问题进行了分析假设，排除了一些实际生活中不可避免但是我们又无法预计的实际情况，然后对本题进行了分析，选择了最合适的建模方式。在已知鱼的总量、水位、水位随时间的变化关系、鱼损失的变化率随水位的变化关系、捕鱼成本随水位的变化关系及不同供应量时鱼的价格的情况如下，要求下面几个问题： 问题一：建立草鱼的销售收益随供应量变化的函数关系，主要是考虑当随捕鱼量取不同值时，鱼的价格，然后再把其联系在一块，做出其函数关系。 问题二：建立草鱼的捕捞成本随时间变化的函数关系，由于是自然放水，所以水的深度和时间是一个一次函数的关系，但水的深度降低时，捕捞成本越来越低，并且降低的速度越来越快。经过一系列的模型建立与求解最终得出捕捞成本随时间的函数关系。 问题三：当水位下降时捕鱼的损失率会越来越大，并且其损失率会加速增大，据查询的可靠资料，最后得出水位和损失率的关系跟反函数图像最接近，最后就采用以水位为自变量，损失率为因变量建立模型，最终得出其函数模型，然后再联系水位与时间的关系，最终可以得出草鱼的损失率与时间变化的函数关系。问题四：为取得最大的总经济效益，保证在放水的过程中，每一天都达到了最大的经济效益，其中要考虑到捕鱼成本随水深的变化和损失率随水深的变化，同时水深又是随时间的变化，建立相应的目标规划模型。 关键词：0-1变量规划问题多目标 LINGO

数学模型等级结构

攀枝花学院学生课程设计（论文） 题目： 学生姓名：学号： 所在院(系)：数学与计算机学院 专业：信息与计算科学 班级： 指导教师：职称：讲师 2014年 12月 19 日 攀枝花学院教务处制

攀枝花学院本科学生课程设计任务书 年

注：任务书由指导教师填写。

摘要 按照人们的职位或职位划分为许多等级，如大学教师分为教授，讲师，助教，工厂技术员分为高级工程师，工程师，技术员，学生有大学生，研究生，中学生等。不同等级人员比例不一样的等级结构。合适的，稳定的等级结构有利于教学，研究，生产等各个方面工作顺利进行，因此希望建立一个模型来描述等级结构变化情况，预知未来的结构。 引起等级结构变化的因素有两个，一是系统中等级间转移，即是升级或降级。二是系统外的交流，即是调入或退出。系统变化本是一个确定转移问题，但是当我们的人员时期按照一定比例成员提升，降级或退出，就转化为马氏链模型等级描述变化。 关键词等级结构、预知，变化，转移，马氏链 目录 摘要 (4) 1问题重述与问题分析 (5) 问题重述 (5) 问题分析： (6) 2模型假设与符号解释 (6) 模型假设 (6)

符号说明 (6) 3建立模型与分析 (9) 建立模型 (9) 模型1 (9) ..................................... 错误!未定义书签。 模型二 (10) 用调入比例进行动态调节 (10) 4模型结果 (12) 模型解释 (12) 结束语 (12) 参考文献 (12) 1问题重述与问题分析 问题重述 随着经济全球化的发展，推动生活节奏的加快，社会上常常要求按照人们的职位或职位划分为许多等级，如大学教师分为教授，讲师，助教，工厂技术员分为高级工程师，工程师，技术员，学生有大学生，研究生，中学生等。不同等级人员比例不一样的等级结构。合适的，稳定的等级结构有利于教学，研究，生产等各个方面工作顺利进行，因此希望建立一个模型来描述等级结构变化情况，预知未来的结构. 社会系统中的等级结构，适当的、稳定的结构的意义，描述等级结构的演变过程，预测未来的结构，确定为达到某个理想结构应采取相应

常用数学建模方法

数学建模常用方法以及常见题型 核心提示： 数学建模方法一、机理分析法从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型 1.比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。 2.代数方法--求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。3. 逻辑方法--是数学理论研的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。4.常微分方程--解决两个变量之间的变化规律，关键是建立"瞬时变化率"的表达式。 5.偏微分方程--解决因变量与两个以上自 数学建模方法 一、机理分析法从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型 1.比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。 2.代数方法--求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。 3. 逻辑方法--是数学理论研的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。 4.常微分方程--解决两个变量之间的变化规律，关键是建立"瞬时变化率"的表达式。 5.偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。 二、数据分析法从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型 1.回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）I=1,2,…,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。

2.时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。 3.回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）I=1,2,…,n，确定函数的表达式，于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。 4.时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。 三、仿真和其他方法 1.计算机仿真（模拟）--实质上是统计估计方法，等效于抽样试验。 ①离散系统仿真--有一组状态变量。 ②连续系统仿真--有解析达式或系统结构图。 2.因子试验法--在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构。 3.人工现实法--基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考虑到系统有关因素的可能变化，人为地组成一个系统。 数学建模题型 赛题题型结构形式有三个基本组成部分： 一、实际问题背景 1.涉及面宽--有社会，经济，管理，生活，环境，自然现象，工程技术，现代科学中出现的新问题等。 2.一般都有一个比较确切的现实问题。