2020届安徽省皖江名校联盟高三第一次联考数学(理)
2020届安徽省皖江名校联盟高三第一次联考
数 学(理科) ★祝考试顺利★ 注意事项：
1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A 3x 2},B {lnx 0}x x =-≤≤=≥{，则A
B =
A.3,2,1,0,1}---{
B.1,2}{
C.3x 1}x -≤≤{
D.1x 2}x ≤≤{
2.已知复数1
34z i
=
+，则下列说法正确的是 A.复数z 的实部为3 B.复数z 的虚部为425
i C.复数z 的共轭复数为
34
2525
i + D.复数z 的模为1 3.椭圆
22
1916
x y +=的一个焦点坐标为
A.(5，0)
B.(0，5) ，0) D.(04.已知m ＝1og 40.4，n ＝40.4，p ＝0.40.5，则
A.m B.m C.p D.n 2 ()x y x x e =+在x ＝1处的切线方程为 A.y ＝7ex －5e B.y ＝7ex ＋9e C.y ＝3ex ＋5e D.y ＝3ex －5e 6.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝11，S 15＝15，则a 2＝ A.18 B.16 C.14 D.12 7.要得到函数y sin3x 的图象，只需将函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图象 A.向右平移 34π个单位长度 B.向右平移2π 个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 D.向左平移2 π 个单位长度 8.若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为 A. 12 B.14 C.16 D.18 9.定义在R 上的奇函数f(x)满足，当0x ≤时，()x x f x e e -=-，则不等式f(x 2－2x)－f(3)<0的解集为 A.(－1，3) B.(－3，1) C.(,1) (3,)-∞-+∞ D. (,3)(1,)-∞-+∞ 10.过原点O 作直线l ：(2m ＋n)x ＋(m －n)y －2m ＋2n ＝0的垂线，垂足为P ，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离的最大值为 1 2 C.1 D.2 11.已知圆锥的母线长l 为4，侧面积为S ，体积为V ，则 V S 取得最大值时圆锥的侧面积为 A. B. C. D. 12.已知点A 是双曲线22 221x y a b +=（a>0，b>0）的右顶点，若存在过点N(3a ，0)的直线与双 曲线的渐近线交于一点M ，使得△AMN 是以点M 为直角顶点的直角三角形，则双曲线的离心率 A. B.存在最大值3 C. D.存在最小值3 第Ⅱ卷 注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答， 答案无效。 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在横线上。 13.已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，m)，且a 与a ＋b 垂直，则m ＝ 14.已知所有项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 4＝a 4＋21，则公比q ＝ 15.二项式7( x 的展开式中，x 4的系数为 16.已知角3(, ),(0,)22 ππ απβ∈∈，且满足1sin tan cos βαβ+= ，则β＝ (用a 表示)。 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内。 17.(本小题满分12分) 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos 2C －cos 2B=sin 2A －sinAsinC 。 (Ⅰ)求角B 的值； (Ⅱ)若△ABC 的面积为b =，求a ＋c 的值。 18.【本小题满分12分】 如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，ED//FB ，DE ＝1 2 BF ，AB ＝FB ，FB ⊥平面ABCD 。 (Ⅰ)设BD 与AC 的交点为0，求证：OE ⊥平面ACF ； (Ⅱ)求二面角E －AF －C 的正弦值。 19.(本小题满分12分) 抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点是F ，直线y ＝2与C 的交点到F 的距离等于2。 (Ⅰ)求抛物线C 的方程； (Ⅱ)一直线l ：x ＝kx ＋b(b1，k0)交C 于A 、B 两点，其中点(b ，k)在曲线(x －3)2－4y 2＝8上，求证：FA 与FB 斜率之积为定值。 20.(本小题满分12分) 设函数()sin ,(0,)2 f x ax x x π =-∈，a 为常数。 (Ⅰ)若函数f(x)在(0, )2 π上是单调函数，求a 的取值范围； (Ⅱ)当1a ≤时，证明：3 1()6 f x x =。 21.(本小题满分12分) 某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G 有3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为 1 2 ，且每个电子元件能否正常工作相互独立。若系统G 中有超过一半的电子元件正常工作，则G 可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为500元。 (Ⅰ)求系统不需要维修的概率； (Ⅱ)该电子产品共由3个系统G 组成，设ξ为电子产品需要维修的系统所需的费用，求ξ的分布列与期望； (Ⅲ)为提高G 系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p ，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则G 可以正常工作，问：p 满足什么条件时，可以提高整个G 系统的正常工作概率？ 请考生从第22、23题中任选一题做答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的 首题进行评分。 22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系中，曲线C 1的参效方程为2cos 1cos 2x y φ φ =?? =+?(φ为参数)，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为()3 R π θρ==。 (Ⅰ)求曲线C 2的直角坐标方程； (Ⅱ)求曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标。 23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 己知函数()124f x x x =-++。 (Ⅰ)求不等式f(x)>6的解集； (Ⅱ)若()10f x m --≥恒成立，求实数m 的取值范围。 数学参考答案（理科） 1.【解析】{|12}A B x x =<<，故选D. 3.【解析】因为3,4a b ==，故双曲线 22 +1916 x y =的右焦点的坐标是. 4.【解析】因为0.4 0.54log 0.40,4 1,00.41m n p =<=><=<，所以m p n <<. 5.【解析】2 3 2 (32)()x x y x x e x x e '=+++，所以1|7x y e ='=，又1x =时，2y e =，所以所求切线方程为27(1)y e e x -=-，即75y ex e =- 6.【解析】因为11515815() 15152 a a S a += ==，所以81a =，又411a =，所以公差 1115 42 d -= =-，所以24211516a a d =-=+=． 7.【解析】因为sin 3cos3)4y x x x π=+=+， 所以将其图象向左平移4 π 个单位长度， 可得)])2y x x x ππ =++=+π=，故选C. 9.【解析】由题意可知，当x R ∈时，()x x f x e e =- ，所以()0x x f x e e '=+>为R 上的单 调递增函数，故由2 (2)(3)0f x x f --<，得2 (2)(3)f x x f -<，即2 230x x --<，解得 13x -<<，故选A. 10.【解析】(2)()220m n x m n y m n ++--+=整理得(22)(2)0x y m x y n +-+--=，由 题意得22020x y x y +-=?? --=?，解得0 2 x y =??=?，所以直线l 过定点(0,2)Q .因为OP l ⊥，所以点P 的 轨迹是以OQ 为直径的圆，圆心为(0,1)，半径为1，因为圆心(0,1)到直线30x y -+=的距 11.【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则2 2 2 2 4=16r h l +==， 所以2 221111623121221223 r h V rh r h S rl ππ+==≤?=? =， 当且仅当r h ==时取等号.此时侧 面积为 1 242 ?π?=. 则(A M m =-，(NM m =-的直角三角形，则0AM NM ?=，即 13. 11 3 -【解析】向量(2,3)a =，(1,)b m =-，∴(1,3)a b m +=+， a 与a b +垂直，∴23(3)0m ++=，解得11 3 m =-． 14.【答案】4 【解析】由题意得4421S a -=， 所以321S =，又11,a =，所以3 31211q S q -= =-，解得4q =或5q =-（舍），所以4q =. 15.【答案】283 【解析】7 x ? ? 展开式的通 项公式为 13 77221772233r r r r r r r T C x x C x ---+????=??-=?-? ? ????? 2r =，故所求系数为 2 27228 33C ???-= ??? . 16.【答案】 5 22 απ- 【解析】法一：由1sin tan cos βαβ+= 得sin 1sin cos cos αβαβ+=， 所以sin cos cos (1sin )αβαβ=+，即sin()cos αβα-=. 结合诱导公式得sin()sin()2 π αβα-=-. 因为3(, ),(0,)22ππαπβ∈∈，所以3(,),(,)222 πππ αβπαπ-∈-∈--. 由诱导公式可得sin()sin[2( )]2π αβπα-=+-，易知3 2()(,)22 ππαππ+-∈， 因为sin y x =在3(,)22ππ上单调递减，所以2()2παβπα-=+-，即5 22 βαπ=-. 法二：由1sin tan cos β αβ +=得sin cos tan 1 2 22 tan tan( )24 cos sin 1tan 2 2 2 β ββ β π αβ β β ++= = =+--， 所以tan tan()24 β π α=+. 因为3(, ),(0,)22ππαπβ∈∈，所以(,)2442 βπππ+∈. 由诱导公式可得tan()tan απα-=，即tan()tan()24 β π απ-=+ 因为tan y x =在(0, )2 π上单调递增，所以2 4 β π απ-= + ，即522 βαπ=- . 17．【解析】(1) 由2 2 2 cos cos sin sin sin C B A A C -=-， 得2 2 2 sin sin sin sin sin B C A A C -=-． 由正弦定理，得2 2 2 b c a ac -=-，即2 2 2 a c b a c +-=，…………………………3分 所以2221 cos 222 a c b a c B ac ac +-= ==．………………………………………………5分 因为0C π<<，所以3 B π =．……………………………………………………6分 （2）由（1）知3 π=B ，∴22222 2cos b a c ac B a c ac =+-=+-．①…………8分 又1 sin 2 S ac B = =9分 ∴12ac =，②…………………………………………………………………………10分 又b =Q ，∴据①②解，得7a c +=．…………………………………………12分 18.【解析】（1）证明：由题意可知：ED ⊥面ABCD ， 从而Rt EDA Rt EDC ???，EA EC ∴=，又O 为AC 中点， DE AC ∴⊥，在EOF ? 中，3OE OF EF ===， 222OE OF EF ∴+=，OE OF ∴⊥又AC OF O =， OE ∴⊥面ACF ．……………………………………………………………………5分 （2）ED ⊥面ABCD ，且DA DC ⊥， 如图以D 为原点，DA ，DC ，DE 方向建立空间直角坐标系， 从而(0E ，0，1)，(2A ，0，0)，(0C ，2，0)，(2F ，2，2)，(1O ，1，0) 由（1）可知(1EO =，1，1)-是面AFC 的一个法向量，…………………………7分 设(n x =，y ，)z 为面AEF 的一个法向量， 由22020 AF n y z AE n x z ?=+=??=-+=??，令1x =得(1n =，2-，2)，………………………………9分 设θ为二面角E AF C --的平面角， 则||3 |cos ||cos , |3|||| EO n EO n EO n θ=<>= = ，sin 3θ∴=． ∴二面E AF C --12分 19.【解析】（1）由||2PF =知P 到准线的距离也是2， P ∴点横坐标是22 p - ， 将(2,2)2 p P - 代入22y px =，得2p =， ∴抛物线C 的方程为24y x =.………………………………………………………………5分 （2）证明：联立24y x x ky b ?=?=+?得2 440y ky b --=， 设2 11(,)4 y A y ，222(,)4y B y ，则124y y k +=，124y y b =-.………………………………7分 因为点(,)b k 在曲线22 (3)49x y --=上，所以代入整理可得22461b k b -=-.………8分 则121222 22221212121241()()421(1)(1)1441642 FA FB y y y y b k k y y y y y y y y b k b -====-+--+---++. …………………………………………………………………………………………………12分 20.【解析】（1）由()sin f x ax x =-得导函数()cos f x a x '=-，其中0cos 1x <<. 当1a ≥时，()0f x '>恒成立， 故()sin f x ax x =-在(0,)2 π 上是单调递增函数，符合题意； ……………………2分 当0a ≤时，()0f x '<恒成立， 故()sin f x ax x =-在(0,)2 π上是单调递减函数，符合题意；……………………3分 当01a <<时，由()cos 0f x a x '=-=得cos x a =， 则存在0(0,)2 x π∈，使得0cos x a =. 当00x x <<时，0()0f x '<，当02 x x π << 时， 0()0f x '>，所以()f x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)2 x π 上单调递增， 故()f x 在(0,)2 π 上是不是单调函数，不符合题意. 综上，a 的取值范围是] [(,01,)-∞+∞. ……………………………………………6分 （2）由（1）知当1a =时，()sin (0)0f x x x f =->=， 即sin x x <，故2 2sin ()22x x <.…………………………………………………………9分 令3311()()sin ,(0,)662 g x f x x ax x x x π =-=--∈， 则22222111()cos 12sin 12()122222 x x g x a x x a x a x a '=--=-+-<-+-=-， 当1a ≤时，()10g x a '=-≤，所以()g x 在(0,)2 π 上是单调递减函数， 从而()(0)0g x g <=，即3 1()6 f x x ≤.………………………………………………12分 21.【解析】（1）系统不需要维修的概率为223 3331111()()2222C C ??+?=.…………2分 （2）设X 为维修维修的系统的个数，则1 (3,)2 X B ，且500X ξ=， 所以3311(500)()()(),0,1,2,322 k k k P k P X k C k ξ-====??=. 所以ξ的分布列为 所以ξ的期望为()50037502 E ξ=?? =.…………………………………………6分 （3）当系统G 有5个电子元件时， 原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，G 系统的才正常工作. 若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作， 则概率为1 222 3113()228C p p ? ??=； 若前3个电子元件中有两个正常工作，同时新增的两个至少有1个正常工作， 则概率为2 2 1222232311113 ()(1)()(2)2 2228 C C p p C p p p ?? ???-+???=-； 若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作， 系统G 均能正常工作，则概率为3 3 31 1()2 8 C ?= . 所以新增两个元件后系统G 能正常工作的概率为 2233131(2)88 848 p p p p +-+=+， 于是由3113(21)4828 p p +-=-知，当210p ->时，即1 12p <<时， 可以提高整个G 系统的正常工作概率.………………………………………………12分 22.【解析】（I ）依题意，曲线2C 的直角坐标方程为y =.…………………………3分 （II ）因为曲线1C 的参数方程为2cos ,1cos 2,x y ??=? ?=+? （?为参数）， 所以曲线1C 的直角坐标方程为[]()2 12,22 y x x = ∈-，……………………………………7分 联立2 , 1, 2 y y x ?=??=??解方程组得0,0,x y =??=?或6,x y ?=??=?? 根据x 的范围应舍去6, x y ?=? ? =??故交点的直角坐标为(0,0).……………………………10分 23.【解析】（1）依题意，1246x x -++>， 当2x <-时，原式化为1246x x --->，解得3x <-，故3x <-； 当21x -≤≤时，原式化为1246x x -++>，解得1x >，故无解； 当1x >时，原式化为1246x x -++>，解得1x >，故1x >； 综上所述，不等式()6f x >的解集为() (),31,-∞-+∞；………………………………5分 （2）因为()124122123f x x x x x x x x =-++=-++++≥-++≥， 当且仅当2x =-时，等号成立. 故()10f x m --≥恒成立等价于13m -≤；即313m -≤-≤，解得24m -≤≤ 故实数m 的取值范围为[2,4]-.……………………………………………………………10分2020届安徽省皖江名校联盟2017级高三第一次联考数学(文)试卷及答案
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