第八届数学建模认证杯网络挑战赛第一阶段A题优秀论文

第八届“认证杯”数学中国

数学建模网络挑战赛

承诺书

我们仔细阅读了第八届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们接受相应处理结果。

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我们的参赛队号为：4514

参赛队员(签名) ：

队员1：向苗苗

队员2：余帮美

队员3：章旭

参赛队教练员(签名)：

参赛队伍组别：本科组

第八届“认证杯”数学中国

数学建模网络挑战赛

编号专用页

参赛队伍的参赛队号：4514

竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：

竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：

2015年第八届“认证杯”数学中国

数学建模网络挑战赛第一阶段论文题目A题：绳结矩阵模型的探究

关键词缠绕数分离变量交叉类型编码矩阵受力分析

摘要：

绳索打结是人们在日常生活中的必要技能，在不同的情境中有不同的用处和编法，打结的方式不同，对绳结的缠绕数，松紧度，空间构成，稳定性等方面造成了不同的影响。

针对问题一：我们使用投影映射法、放大法、分类讨论的方法将空间上的点表示在平面上，分析不同打法下的单结在三维空间上的结点、交叉类型，将它们投影到二维平面，写出它们对应的编码矩阵；然后研究将两种打法的单结组合起来后的情形，将连打两次单结形成的结扣，在三维空间的结点、交叉方式、连接线同样投影到平面，写出它们对应的编码矩阵。借助EXCEL、MATLAB工具，剔除测试结果中的无关数据，将空间上的点映射到平面，分析两组数据的不同之处，找出变量，建立绳结矩阵模型，得出两种打法在缠绕数上差别较大，通过查找数学扭结相关知识，得出了缠绕数越小绳结的稳定性越好，从而越不容易自动松脱，所以在连打两个单结的时候，使用相同方向的打法更容易自动松脱。

针对问题二，我们用了分类讨论的方法，讨论了直径、摩擦力等机械能不同时，绳结的稳定性是否改变的问题，利用放大简化法将绳结的状态近似为半个椭圆的形状，综合考虑绳结的受力状态，画出绳结的受力分析图，建立绳结的受力分析模型，运用EXCEL、MATLAB软件，得出直径与绳索张力的关系和摩擦力与绳索机械能的关系。从数据出发，我们得出，在绳结打法相同的情况下，绳索的直径越大，绳结越不稳定，绳索越容易自动松脱；当绳结的直径，材质相同的时候，绳结的打法不同，会对它的摩擦力和绳索打结时所成线圈的面积造成影响，进而影响绳结的稳定性。同时，从绳结受力分析模型中，我们可以得出在打结方式不同的情况下，机械能越小，绳结越稳定，绳结越不容易自动松脱。对于问题二，我们得出绳索的直径、摩擦力、打结方式都会影响绳索的机械能，从而影响绳结的稳定性，机械能越小，绳结越稳定，绳结越不容易自动松脱。

目录

一、问题重述

给绳索打结是人们在日常生活中常用的技能。绳结在登山、航海、垂钓、野

外生存等方面具有专门用途，给绳索打结更是必不可少的技能之一。针对不同的用途，有多种绳结的编制方法。最简单的绳结，有时称为单结，死结或反手结，英文称为Overhand Knot单结，是最常用的绳结之一，在各种复杂绳结中也是经常出现的基本元素。单结有一个特点，如果用于捆扎物体，由于无法彻底拉紧，所以很容易松脱，无法单独使用，但对较软和细的绳子而言，如果能够彻底拉紧，相当难以解开。所以用于捆扎物体时，可以连打两次单结，并将第二个结彻底拉紧，在生活中我们经常连打两个单结来解决其易松脱的问题，但是连打两个单结有两种不同的打法，哪一种打法更容易松脱呢？是什么因素影响了它本身松脱的性质，请尝试建立数学模型讨论下列问题：

1.在连打两次单结的时候，两次使用相同的打法还是互为镜像，得到的结

果是不同的。结的结构不同，是否容易自动松脱的性质可能也有区别。

这可以来判断系紧的鞋带是否容易自动松开。请你建立合理的数学模

型，分析这两种打法中，哪种更容易自动松脱。

2.一般的经验表明，绳索的直径、软硬和表面的摩擦力等机械性能都会影

响打的绳结是否容易自动松脱。请你建立合理的数学模型，向大家解释

在不同的打结方法下，绳索的机械性能与绳结是否容易自动松脱之间的

关系。

二、问题分析

绳索打结的松紧度与绳索自身的内部原因和外部原因息息相关。经验表明，绳索的直径、质量和软硬程度都会影响绳索的松紧，在某些特定的场合下，我们需要不同的打结的方法来适应生活的需要，从而达到想要的目的，所以我们从平时的经验出发，再结合专业知识来考虑。生活中人们给绳索施加外力，使绳索弯曲形成线圈、绳结，而绳索有保持原有的特性的趋势。我们从简单的绳结出发，通过查找数学扭结等相关资料，由浅入深，一步步研究比较复杂的绳索打结后的状态，以及影响绳结稳定性的相关因素，下面是我们针对两个问题的一些思路。

针对问题一：我们首先分析了绳结自动脱结的原因，初始状态下的绳索，它的自动连接数为0，所以在以后绳结形成的过程中，绳索的扭转数和缠绕数相互转化，当绳索的扭转数为a时，其缠绕数为-a。因此在形成绳结时，绳索的扭转数近似于-1，这个意味着在形成绳结时绳索处于高能量状态。形成绳结的绳索一旦被放松，在能量的驱动下，绳索就有增加其缠绕数减少其扭转数的运动变形趋势，这样，绳结在接下来的打结操作中容易产生形变和滑落，导致绳结不稳定。

在本问题的解答中，我们给绳索的一些变量赋予了参数，给出了一些定义。比如，绳结分类，结扣交叉点类型,投影映射,绳结矩阵,缠绕数,绳索扭转数,绳索自连接数等,我们从中研究一些参量的变化，做一些对比，画出一些简单的绳结，也从网上大量寻找资料，希望能找出两种绳结的不同点，再联系到是否容易脱落，其中，我们将是否容易脱落这一变量转化成绳结的能量来看待。绳索在打结后的能量越低，越稳定。这样就方便我们去描述两种绳结的稳定状态了。

针对问题二：不同的打结方法，意味着考虑的参量更多。我们从两个方向去分析，利用分离变量法研究绳索在打结方式相同的情况下，绳索的直径、软硬、摩擦力等机械能对打的结的松脱程度的影响。第二个方向：用同样的绳索进行打结，打结的方式不同，主要研究打结时相同和相反方向结扣的个数和两个绳结之间所留空隙的面积（近似为椭圆），对于第二种方向，我们采取放大法，将每个绳结投影到二维平面，近似看成弧形，求其近似面积，看绳结的稳定状态与角度和面积之间的关系。以此来建立绳结受力分析模型，从绳结所围面积与绳结角度综合研究，绳结机械能对绳结稳定性的影响，从而影响绳结的松脱程度。

三、模型假设

1.假设材料的每一处都是均匀的。

2.忽略绳子总长度的变化。

3.假设在拉紧绳结的过程中，两头受力相同。

4.每一个结扣都是对称的。

四、符号说明

表1：符号对照表

五、模型的建立与求解

评估两种相同的打结方法时，可以从以下几方面去进行探究，使用了投影法、降维法，将空间的物体转化为平面上的点和线，从而对问题进行简化，构建模型。

模型建立的总思路： 问题一模型的建立与求解 绳结分类：

针对两种打结的方法，可将绳结分为两类。如图一所示：

图一：两种绳结示意图

结扣交叉点类型：我们给绳结交叉的方向进行了规定，交叉点P 是有纽结的两部分组成的映射相交叉形成的。如果在上面的有向的曲线经过逆时针旋转一个锐角后和在下面的曲线具有相同的方向，那么这种交叉类型用“+1”表示。否则，如果在下面的曲线逆时针旋转一个锐角后和上面的曲线方向一致，这种交叉类型用“-1”来表示。如图二所示：

图二：交叉类型

投影映射：

绳索打结可以用规则的投影映射来表示。在三维空间研究绳索打结比较复杂，我们将其映射到二维平面上来研究，如果一个空间的纽结用K 来表示 ,那么纽结K 在xy 平面上的投影映射可以用p:23R R →来表示，即

K

K P ?)=（,23?,R K R K ∈∈,该投影映射是满射,另外，这个映射将3维的降低到2

维，也就是说，如果Q 是绳结K 上的一点，那么该点的投影映射K

P p ?)(1-?为一个点；如果Q 是K

?的相交点，则扭结K 上的点K P p ?)(1-为两个点。 绳结矩阵：

首先对绳索K 的结扣靠近穿出点的方向开始编号，第i 个结扣记为i B ，我们只研究两个结扣，可记为[]65

4

3

2

1

B B B B B B K =,则其投影映射记

[

]

6

5432

1???????B B B B B B K =。 然后每个结扣由两断绳索组成，我们事先规定，一条绳索记为线段1，符号表示EX ,另一段绳索记为线段2,符号表示EN 。则i i i EN EX B I =，根据投影映

射有,?)(i i X E EX p =i i N E EN p ?)(=,记[]T i i i EN EX B =，则[

]

T

i

i

i N E X E B ???=。 最后组成结扣i B 的两条连接线i EX 和i EN 有自己的起始点，记起始点为

,,11

i i EN EX Q Q 终点为i i EN EX Q Q 22,，且第i B 个结扣的终点是第1+i B 的起始点。

建立绳结矩阵模型： 代入数据

结扣元素的形态可用一个一个5?2r 的矩阵来表示，点序列}2...2,1{i r ，

和其对应的序列k j 放在矩阵的第一行和第二行；交叉类型应k a （0或者1）表示，放在矩阵第三行，交叉点对应的交叉类型用k m 表示，第五行代表k 属于哪一个线段，用k b （1或者2）。

设为: ???

????

?????????=????????????????=i i i r k

r k r k i r k i b b b b m m m m a a a a j j j j r k M M M M M M 221

221

221

221

54321........................2 (2)

1

对我们所研究的两个结，有如下的矩阵:

通过编码矩阵，我们清晰地知道不同打法下的单结的编码矩阵的不同，根据编码矩阵我们规定，缠绕数为∑==n

k k r a W 1。

由上面的分析可知，相同的打法，所形成的结的结构不同，通过比较可知，两种打法使它们的缠绕度明显不同，所以，我们猜想绳结的松紧程度与缠绕数有关。在所设立的参数中，我们就看到了两种方法所造成的主要是缠绕数不同，所以我们猜想绳结的松紧程度与缠绕数有关，接下来的方向就是研究与缠绕数相关的参数。

表2：编码矩阵表1

表3：编码矩阵表2

a.绳索扭转数w T ：表示绳索打结时相对于定坐标系绕切线轴绕转的圈数，如果绳索的扭转率w 沿着绳索保持不变，即相当于一个常数的时候：

b.绳索自连接数:绳索的中心线轴向切面和绳索的表面一边的交线之间的连接数。

c.当绳索打结固定后，满足CWF 定理，即绳结的缠绕数、自连接数和扭转数满足 i w W T IK +=。

其中：

1) 封闭的绳结线或两端固定的绳结线，当绳结的部分连续变形时其自连接

数IK 为常值。 2) 绳结线在空间均匀膨胀时，扭转数不变；扭转数具有可加性，绳结线总

体的扭转数为各组成部分扭转数之和。 初始状态下的绳索，它的自动连接数为0，所以在以后绳结形成的过程中，绳索的扭转数和缠绕数相互转化，当绳索的扭转数为a 时，其缠绕数为-a 。因此在形成绳结时，绳索的扭转数近似于-1，这个意味着在形成绳结时绳索处于高能量状态。形成绳结的绳索一旦被放松，在能量的驱动下，绳索就有增加其缠绕数减少其扭转数的运动变形趋势，这样，绳结在接下来的打结操作中容易产生形变和滑落，不稳定。在连打两个单结的时候，=，其中，L 是与绳子的本身的性质有关，w 是个不变量，所以IK 的值与的值有很大的关联，在步骤五代入数据中，我们得到连打两个相同的单结的缠绕数较大，而在连打两个单结时成镜面的打法的缠绕数比较小，因此，我们可以根据公式i w W T IK +=，推断出，连打两个单结时，互成镜像的打法不容易自动松脱，使用相同的打法比较容易自动松脱。

问题一小结：

形成绳结的松紧影响着打结质量的好坏，而形成的绳结的稳定性及绳结的质量和绳结的能量有很大的关系。绳结在低能量状态是稳定的。绳结处于高能量状态时，有像低能量状态转变的趋势，转变的方式往往是绳索发生变形，容易脱落。因此，在打结的时候，如果绳索具有较高的能量，容易在接下来的打结操作中发生从正确位置上滑动等不良现象。根据线绳的能量分布图（注明引用），线绳在

表4：绳索自连接数

扭转数接近于零时，处于低能量稳定状态，此时绳结就不容易松，也就不容易脱落，就是我们所研究的其中一种结，两次打结的方向相反时，比较稳定。不同打结方法在绳结形成时绳索产生的扭转数不同，因此不同打结方法在绳结形成过程中使绳索具有不同的能量，只有在绳索扭转数接近于零的打法才能打出稳定而高质量的纽结。

初始状态绳索的自动连接数为零，在以后绳结形成的过程中，绳索的扭转数和缠绕的数相互转化，当绳索的扭转数为a 时，其缠绕数为-a 。因此在形成绳结时，绳索的扭转数近似为-1.?这个意味着在形成绳结时绳索处于一种高能量状态。一旦人为的力消失后，形成绳结的绳索放松在能量的驱动下，绳索就有增加其缠绕数减小其扭转数的运动变形趋势，这样，绳结正在接下来的打结操作中容易产生形变和滑落，很不稳定，这就是两次打法相同的结，比较不稳定，但具有良好的对称性，在医学上有着重要的作用。

综上所述，两次打结时，方向相反的结比较稳定，方向相同的时候比较容易脱落。

问题二的模型的建立与求解

复杂的绳结是由简单的单结组合而成，所以，我们先研究简单的单结，假设绳索不受到重力的影响，那么，单结在拉紧的时候由于两边受力相同，所形成的绳结可以近似看成两个对称的椭圆，在此只用研究一个椭圆即可。绳索在水平面内进行弯曲时，变量应遵循能量最小原则。如图所示，当向下弯曲时，可有无穷多的组合，即形状不唯一。但是只有在时，段间弹性势能最小，也就是说绳结弯曲变形的能量J 最小。

图3：模型简化图1

只有当21θθ=时，2min θk J =，考虑到实际情况中，21θθ，不相等，所以我们考虑21-θθ的值，它们的绝对值越小，它们弯曲变形的能量J 越小，越稳定。 打第二个结是在第一个结拉紧的情况下，在其上打第二个结，类似研究只打单结的方法先测量出打第二个结，由于打法不同记不同种打法所产生的角度为，记它们的弯曲变形的总能量J 越小，绳结就越不容易自动松脱。

由于在连续打结的过程中，会使其空间结构发生一定的改变，从而会使它的角度产生一定的误差，使结果有偏差，因此，我们根据绳结成线圈的对称性，可近似认为其形状为椭圆形。对于椭圆来说，其方程为:

a

b

可以用表示椭圆度，同时，由于绳索本身有直径，记作2r，如图4所示

它会影响椭圆a和b的值，因此我们近似把椭圆的方程写为1

2

2

2

2

)

(=

+

+b

y

r

a

x

：

但是对于线圈来说，不能使用λ=最小偏差/最大偏差来表示线圈椭圆度。需要综合考虑绳结所围线圈的面积、线圈椭圆度等因素。

算法：

例如对于圆来说，a=b，L=2,代入第4个式子，可得，表明圆形线圈打出的结最不易松开。

但是对于绳结打结过程，由于形状不规则，应根据其对称性进行分析。其上半部分按第一部分绳结参数计算其线圈规则度，下半部分按第二部分绳结参数计算其线圈规则度，总线圈规则度为.

即：

.

]

2

)

(3

][

2

)

(3

[

16

2

2

2

2

1

1

1

1

2

2

1

2

1

2

2

1

b

a

b

a

b

a

b

a

L

b

b

a

a

-

+

-

+

=

=

π

ε

ε

ε

∑?

=ε

椭圆

总

S

S

由日常经验可知，在解绳结时，绳结之间的空隙越大，绳结越容易解开，也更容易自动松脱，根据椭圆的面积公式，我们可以推出，绳索的直径越大，在相同的打结方法之下，椭圆的短半轴越大，椭圆的面积越大，根据这个数学模型，我们推出绳索的直径越大，绳结越容易自动松脱。

绳索打结的松紧度与

2

1

θ

θ和的角度只差有关，也与所求的椭圆面积有关。我

图4：椭圆度

们用MATLAB 程序画出了在角度与面积的双重影响下，绳结的能量值的三维图像，如图5所示:

图5：绳结的能量值

从图中我们可以看出，在三维图形下有一个最低值，即当线圈所围面积最小，

21θθ=时，机械能最小，绳结最稳定，绳结最不容易自动脱结。当线圈面积一定是，两边角度差值越大，绳结机械能越大，绳结越不稳定，绳结越容易自动松脱；在角度相同的情况下，线圈所围面积越小，绳结的机械能越小，绳结越不容易自动松脱。

其次建立模型）椭圆s sumk f ?-=221)(max (θθ，当f 越小时，整个绳结的机械能越小，越稳定。可以用matlab 来编写程序，做出其对应的图。

在matlab 中，我们称21θθ和为x,y ，我们对于椭圆的面积ab π，是可以直接用excel 处理的，为了便于matlab 程序，椭圆s 记为z ，则有画图程序：

程序1

x=0:pi/2; y=0:pi/2;

z=1:5;

[x,y,z]=meshgrid(x,y,z);

f=(x-y).^2.*z; isosurface(x,y,z,f)

（1）改变z 值的范围，其对应的f 值也相应变化。f 随着z 的增大而有增大的趋势，也就是说，当21θθ和值是固定的时候，椭圆面积越大越容易脱落。我们可以从图中知道，z 的改变并不会使能量值发生线性变化，在同一次打结中，可以把与绳索自身相关系数的k 记为1，这样就省去了讨论k 的值。

图6：能力值变化图

（2）改变x 值的范围，由于x 和y 的值是可以随机变化的，我们可以只考虑

其中一个的变化。且]2

,0[21π

θθ∈，，当21-θθ的值越小时，越稳定。此时椭圆的

面积是一定的，我们考虑其中一个θ值的变化，得出是f 的值是不一样的。当x 和y 的的绝对值之差越大时，绳索的两次所受张力之和比较大，有利于绳索想保持原来的状态的趋势，当外界给的力撤销以后，比较容易脱落。

图7：张力模型

绳索内部的构造是会影响绳结的松紧度的，在生活中，我们由上面的模型判断绳索的直径越大绳结就越稳定，但是绳索的直径是通过什么来影响绳结的稳定性呢？我们还得考虑其他的因素，综合来。在考虑绳索直径对绳结松紧的时候，我们借鉴了《玉米茎秆成捆直径与捆绳张力关系试验分析》中的一些方法和数据，知道绳的直径能够影响张力的大小，我们知道张力越大，物体想保持原样的趋势越大，产生的形变量越大，捆绳就容易脱落。在我们研究的绳结问题中，绳索的直径能影响结扣的松紧度，我们将其模型简化成绳结问题的模型，当绳索打完结以后，对绳结中的某一段进行受力分析：

通过查资料，我们得到了一组绳索直径与绳索自身张力的数据，根据这些数据，我们使用Excel 、SPSS 工具对数据进行分析，运用物理受力分析的方法建立模型，得出，绳索的直径越大，绳索的张力越大，绳索越容易自动松脱。

????

???

==?π

θ22

12sin 2G

dN u d F dN ,其中由于θd 很小，故2~2sin θθd d =

在研究绳索受力的时候，我们近似把绳索看成是椭圆形的，每一小部分微元话，研究其力的作用方向，同时又方法话，认识绳索是质量可求的，长可求的。

图8：绳索受力椭圆示意图

对给出的两个方程，其解法为：

表5：符号对应表2

利用给出的数据，我们可以将捆绑的直径简化为绳索的直径，其质量可以近似为绳索的质量，则有：

表6：张力对照表

利用上表中给出的数据，作出实际张力大小和理论张力大小的变化图，有：

图9：实际张力和理论张力

在本模型中我们研究了绳索直径对绳索张力的影响，我们采用放大的思想，来推出结论。我从图中知道，绳索的直径大小不同，对绳索的实际张力大小是有影响的。从折线图中我们可以得到：

①绳索的直径越大，绳索的张力越大

②绳索的直径增加一点，绳索的张力增加的较多

③绳索的实际张力与理论张力存在一定的误差，且当直径不断增大的过程中，误差也有增大的趋势。

我们从图中可知绳索的直径越大，绳索的张力越大，与理论张力存在着一定的偏差，我们分析了造成这种现象的主要原因有：

（1）结扣每个点的受力并不是均匀的

（2）在绳结的相互挤压会改变其中的一些参数

（3）绳结处的空间构成对绳索的实际张力产生了影响，我们忽略了打结过

程中对绳索张力的影响。

在《玉米茎秆成捆直径与捆绳张力关系试验分析》一书中，它对绳索直径D 与捆绳张力F ，做回归方程的图像，如图所示

图10绳索直径与捆绳张力的回归分析

由图中的拟合曲线我们可以得出：捆绳张力随着绳索直径的增大而增大，且上升的斜率也在增大，我们写出绳索张力的回归方程：

绳索直径D 与捆绳张力F 的回归方程为：

0F Ae F t

D +=,

其中F —捆绳实际张力(N);D —圆捆直径(cm);Ｒ—判定系数; A = ，t = ，F0 =－，R = 。

根据对试验数据的分析，若绳索直径D 为因变量，绳索实际张力F 为自变量，则两者成指数函数关系。根据拟合得到的指数函数曲线可估算绳索直径为一定数时，实际张力需要达到一定数才能保证绳索比较稳定结实。绳索直径对绳索张力有直接影响，直径越大，所需张力呈近似指数关系增大。当绳索直径较大时，张力很大，对外界所需要提供的物资和能源的要求增加。所以在不同的打结方法中，直径是能影响松紧度的，且直径越大，绳结越容易自动松脱。

在用相同的绳索打结时，打结的方法不同，绳结的空间结构不同，绳结的松紧度也不同，根据我们小组的讨论，不同的打结方式，打出来的结它的结构，缠绕数等因素不同，根据静力平衡原理，绳索打结后，它的静摩擦力越大，绳结越紧，越不容易自动松脱。为了分析绳结的摩擦力，我们队绳索打结受力分析建立模型如图。

图11：绳索打结受力模型图

其中a F 1 表示绳索打结时第一条线端受到的牵引力, b F 1表示绳索打结时第一条线的另一端受到的牵引力，11βα，表示第一条线与水平线间的夹角，

2222,,,βαb a F F 分别表示绳索的下端受到的力和与水平线间的夹角，P P ',表示两

线间的接触点，绳结处于静力平衡状态时有：

为我了简化模型，仅考虑对称绳结的情况 ：

绳结打紧时不松脱处于静力平衡的状态，这时绳结的受力状态应满足下面的

式子：

当发生滑动：

由上面的式子我们可以得出，在角度不变的情况下，摩擦系数越大，绳结的静摩擦力就越大，绳结就越不容易产生滑动，绳结就越稳定，越不容易自动松脱，由高中物理所学知识我们可知，绳子表面越粗糙，绳子的摩擦系数越大，绳结的最大静摩擦力就越大，结合到现实生活，我们可以得出，绳索越软，绳结越稳定，绳结越不容易自动松脱。

形成绳结的松紧影响着打结质量的好坏，而形成的绳结的稳定性及绳结的质量和绳结的能量有很大的关系。绳结在低能量状态是稳定的。绳结处于高能量状态时，有像低能量状态转变的趋势，转变的方式往往是绳索发生变形，容易脱落。因此，在打结的时候，如果绳索具有较高的能量，容易在接下来的打结操作中发生从正确位置上滑动等不良现象。

绳索直径对绳索张力有直接影响，直径越大，所需张力呈近似指数关系增大。当绳索直径较大时，张力很大，对外界所需要提供的物资和能源的要求增加。所以在不同的打结方法中，直径是能影响松紧度的，且直径越大，绳结越容易自动松脱。在角度不变的情况下，摩擦系数越大，绳结的最大静摩擦力就越大，绳结就越不容易产生滑动，绳结就越稳定，越不容易自动松脱，由高中物理所学知识我们可知，绳子表面越粗糙，绳子的摩擦系数越大，绳结的最大静摩擦力就越大，结合到现实生活，我们可以得出，绳索越软，绳结越稳定，绳结越不容易自动松脱。

六、模型的进一步讨论与改进

在本模型中我们采用了放大和变量分离的办法，近似地将绳索打结拉紧后的成像看作椭圆形，近似地将其看作规则图形，在现实生活中，绳子在打结的过程中，所成图形是不规则的，所以实际数据与理论数据会产生偏差，在计算绳索所成线圈的面积的时候，由于空间较小，a和b的值比较难以测量，在数据上存在误差。

模型改进：

1、在给绳索打结时，由于人为地拉紧绳索，很可能造成受力不均，因

此，我们在打结过程中，用机器对绳索两头用力，且用力大小相同。

2、在绳索打结拉紧过程中，绳结由松到紧的过程中，运动速度不同，

可能对绳结最终状态有一定的影响，因此，我们在建立模型的过程中进

一步改进，在拉紧过程中速度缓慢，近似将它看为静力平衡状态。

3、在测量绳索角度和绳子直径的时候我们使用更加精细的测量工具，

将数据误差控制到最小的范围之内。

七、附录

算法：

矩阵1： []

[][][]

????

?

????=====6,...2,1212165

4321i Q Q EN Q Q EX EN EX B B B B B B B K i

i

i

i EN EN i EX EX i T

i

i i

矩阵2： []

[

]

[][

]

??

??

?

????

??=====6

,...2,1?????????????2?1?2

?16

5

4

321i Q Q N E Q Q X E N E X E B B B B B B B K i i i

i N E N E i X E X E i T i i i

矩阵3：???

??

??

?????????=????????????????=i i i r k

r k r k i r k i b b b b m m m m a a a a j j j j r k M M M M M M 221

221

221

221

54321........................2 (2)

1

公式1： ???????

??????????

+-+++==∈=+-++==

+=]

)()(23[)(4))1,0((]

)()(23

[4)r (2b r a b r a b r a S S L L b r a b r a L L S b a S

ππλελλπππ圆椭圆椭圆椭圆圆椭圆 公式3：

公式4： 公式5 公式6：

公式7：

公式8： 公式9：

0F Ae F t

D +=，A = ，t = ，F0 =－，R = 。

程序一：

[x,y]=meshgrid([0,pi]); g=(x-y)^2; surf(x,y,g) 程序二

x=0:pi/2;y=0:pi/2;z=1:5; [x,y,z]=meshgrid(x,y,z); f=(x-y).^2.*z; isosurface(x,y,z,f)

八、参考文献

[1]，王惠娟，面向微创手术机器人系统的缝合打结行为研究，，2015年4月18日

[2]岳龙旺，外科手术机器人缝合打结研究，， 2015年4月18日 [3]杨廷文； 张道林； 卜令昕； 崔萌； 王立兴；玉米茎秆成捆直径与捆绳张力关系试验分析，= ，2015年4月18日

全国数学建模竞赛一等奖论文

交巡警服务平台的设置与调度 摘要 由于警务资源有限，需要根据城市的实际情况与需求建立数学模型来合理地确定交巡警服务平台数目与位置、分配各平台的管辖范围、调度警务资源。设置平台的基本原则是尽量使平台出警次数均衡，缩短出警时间。用出警次数标准差衡量其均衡性，平台与节点的最短路衡量出警时间。 对问题一，首先以出警时间最短和出警次数尽量均衡为约束条件，利用无向图上任意两点最短路径模型得到平台管辖范围，并运用上下界网络流模型优化解,得到A区平台管辖范围分配方案。发现有6个路口不能在3分钟内被任意平台到达，最长出警时间为5.7分钟。 其次，利用二分图的完美匹配模型得出20个平台封锁13个路口的最佳调度方案，要完全封锁13个路口最快需要8.0分钟。 最后，以平台出警次数均衡和出警时间长短为指标对方案优劣进行评价。建立基于不同权重的平台调整评价模型，以对出警次数均衡的权重u和对最远出警距离的权重v 为参数，得到最优的增加平台方案。此模型可根据实际需求任意设定权重参数和平台增数，由此得到增加的平台位置，权重参数可反映不同的实际情况和需求。如确定增加4个平台，令u=0.6，v=0.4，则增加的平台位置位于21、27、46、64号节点处。 对问题二，首先利用各区平台出警次数的标准差和各区节点的超距比例分析评价六区现有方案的合理性，利用模糊加权分析模型以城区的面积、人口、总发案次数为因素来确定平台增加或改变数目。得出B、C区各需改变2个平台的位置，新方案与现状比较，表明新方案比现状更合理。D、E、F区分别需新增4、2、2个平台。利用问题一的基于不同权重的平台调整评价模型确定改变或新增平台的位置。 其次，先利用二分图的完美匹配模型给出80个平台对17个出入口的最优围堵方案，最长出警时间12.7分钟。在保证能够成功围堵的前提下，若考虑节省警力资源，分析全市六区交通网络与平台设置的特点，我们给出了分阶段围堵方案，方案由三阶段构成。最多需调动三组警力，前后总共需要29.2分钟可将全市路口完全封锁。此方案在保证成功围堵嫌疑人的前提下，若在前面阶段堵到罪犯，则可以减少警力资源调度，节省资源。 【关键字】：不同权重的平台调整评价模糊加权分析最短路二分图匹配

第三届“ScienceWord杯”数学中国数学建模网络挑战赛第二阶段B题一等奖论文

目录（CONTENTS） 一、问题重述 (2) 二、问题分析 (2) 2.1方案理论可行性 (2) 2.2波士顿路网实例 (2) 三、条件假设 (2) 四、符号约定 (2) 五、模型的建立与求解 (3) 5.1模型建立 (3) 5.1.1波士顿城市路网抽象图 (3) 5.1.2交通网连通性 (4) 5.1.3非线性规划模型 (4) 5.1.4拥堵评价指标体系 (4) 5.2路网属性参数估计 (5) 5.2.1路网属性参数约束方程 (5) 5.2.2参数曲线拟合求解 (5) 5.3交通流量之NASH均衡求解 (8) 5.3.1非线性规划求解NASH均衡解的可行性分析 (8) 5.3.2 LINGO求解NASH均衡解 (9) 5.4方案优劣性的量化分析 (10) 5.4.1路网流量均衡下的道路拥堵状况 (10) 5.4.2关闭已拥堵路段后的道路拥堵状况 (13) 5.4.3关闭未拥堵路段后的道路拥堵状况 (13) 5.5方案适用范围的数据分析 (14) 5.5.1路网总流量变化对道路拥堵状况的影响 (14) 5.5.2波士顿路网规划方案适用范围 (15) 六、模型的评价 (15) 七、参考文献 (16) 八、附录 (17) 8.1 LINGO求解均衡解程序 (17) 8.2插值多项式曲线的MATLAB程序 (17)

一 问题重述 Braess悖论宣称：提高某一路段的通行能力，反倒可能使整体路网的通行能力下降。那么，在发生交通拥堵的时候，如果暂时关闭其中的某条道路，是否可以缓解交通堵塞的现象？ 请建立合理的模型，研究临时关闭道路以缓解交通堵塞的可行性。如果可行，请给出具体的关闭方案。城区道路网可以使用北京市二环路的地图，也可以使用美国波士顿的部分城区图。 二 问题分析 2.1方案理论可行性 从规划的角度看，理想情况下，司机可以牺牲个人利益成全大局，使得城市路网无时无刻都能达到最优效益，此时关闭其中任何一条道路都有可能使全局最优解降为局部最优解，即在这种情况下关闭道路的方案是不可行的。从实际情况看，具有个性化需求的司机为了追求个人利益最大化往往使得城市路网的整体效益下降，此时有选择有目的的关闭道路会使得个体最优选择服从于或接近于整体最优决策，有利于提升城市路网的整体效益，即政府的调控是可行的。 2.2波士顿路网实例 道路堵塞的评价指标确定为每个车辆通过该段路网的平均时间，选取美国马萨诸塞州的首府--波士顿作为实证对象，用非线性规划的数学思想求得在总流量一定的情况下交通流量的均衡解，比较关闭某条道路前后指标的变化即可判断方案优劣。如果可行，再令总流量在一定范围内变化，求出此方案的适用范围。 三 条件假设 Ⅰ.所有司机的选择是独立的，非合作的。 Ⅱ.城市路网信息完全公开，司机对路网熟悉程度高。 Ⅲ.车辆在转弯或过十字路口时无时间延误。 Ⅳ.道路布局方案的评价指标是车辆通过该路段的平均时间或路网的使用效益。 Ⅴ.假设波士顿城市路网属于对称双通道系统。 Ⅵ.假设波士顿路网均是双向的，但只有单向的增加车流量能使堵塞加剧。 四 符号约定 i 拥堵系数 α 车辆单独通过路段的时间 β 每增加单位流量所增加的通行时间 t车辆实际通行时间 f 路段当前流量 s 路网内某路段车速

葡萄酒的评价_全国数学建模大赛优秀论文

承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：重庆工商大学 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期： 2012 年 9 月 10 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

葡萄酒的评价 摘要 酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定的程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。本论文主要研究葡萄酒的评价、酿酒葡萄的分级以及酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的相互关系问题。 对于问题一:我们从假设检验的角度出发分析，对两组的评分进行均值和方差运算，并在零假设成立的前提下通过使用Matlab 做T 检验，得出两组评酒员对于红葡萄酒的评价结果无显著性差异，而对于白葡萄酒的评价结果存在显著性差异的结果。再建立可信度模型 = H ，计算结果如下表， 对于问题二:根据葡萄酒质量的综合得分，将其划分为优、良、合格、不合格四个等级，并对酿酒葡萄的理化指标进行主成分分析，得出对葡萄影响较大的 到了它们的偏相关系矩阵。利用通径方法建立了数学模型，得出了它们之间的线性回归方程： 11231123=2.001x 0.0680.015x +........=0.0540.7580.753x ......... y x y x x ----+红红红红白白白白 对于问题四:在前面主成分分析和葡萄酒分级的基础上，建立Logistic 回归模型，并利用最大似然估计法求出线性回归方程的参数，得出线性回归方程。运用SPSS 软件，通过matlab 编程运算，求出受它们综合影响的线性回归方程。在验证时，随机从上面选取理化指标，将它们带入P 的计算式中，通过所求P 值判断此时葡萄酒质量所属级别，得出了不能用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量的结论。

数学建模国家一等奖优秀论文

２01４高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》(以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载)。 我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为,我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示(包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等)。 我们参赛选择的题号是(从Ａ/B/C/Ｄ中选择一项填写)：B 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）: 所属学校（请填写完整的全名)： 参赛队员(打印并签名) :1. 2． 3．

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名): ?（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致,只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。) 日期： 20１4 年 9 月15日 赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号）:

２０14高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用）：

2013全国数学建模大赛a题优秀论文

车道被占用对城市道路通行能力的影响 摘要 随着城市化进程加快，城市车辆数的增加，致使道路的占用现象日益严重，同时也导致了更多交通事故的发生。而交通事故发生过程中，路边停车、占道施工、交通流密增大等因素直接导致车道被占用，进而影响了城市道路的通行能力。本文在视频提供的背景下通过数据采集，利用数据插值拟合、差异对比、车流波动理论等对这一影响进行了分析，具体如下： 针对问题一，首先根据视频1中交通事故前后道路通行情况的变化过程运用物理观察测量类比法、数学控制变量法提取描述变量（如事故横断面处的车流量、车流速度以及车流密度）的数据，从而通过研究各变量的变化，来分析其对通行能力的影响。而视频1中有一些时间断层，我们可根据现有的数据先用统计回归对各变量数据插值后再进行拟合，拟合过程中利用残差计算值的大小来选择较好的模型来反应各变量与事故持续时间的关系，进而更好地说明事故发生至撤离期间，事故所处横断面实际通行能力的变化过程。 针对问题二：沿用问题一中的方法，对视频2中影响通行能力的各个变量进行数据采集，同样使用matlab对时间断层处进行插值拟合处理，再将所得到的的变化图像与题一中各变量的变化趋势进行对比分析，其中考虑到两视频的时间段与两视频的事故时长不同，从而采用多种对比方式（如以事故发生前、中、后三时段比较差值、以事故相同持续时间进行对比、以整个事故时间段按比例分配时间进行对比）来更好地说明这一差异。由于小区口的位置不同、时间段是否处于车流高峰期以及1、2、3道车流比例不同等因素的影响，采用不同的数据采集方式使采集的变量数据的实用性更强，从而最后得到视频1中的道路被占用影响程度高于视频2中的影响程度，再者从差异图像的变化波动中得到验证，使其合理性更强。 针对问题三：运用问题1、2中三个变量与持续时间的关系作为纽带，再根据附件5中的信号相位确定出车流量的测量周期为一分钟，测量出上游车流量随时间的变化情况，而事故横断面实际通行能力与持续时间的关系已在1、2问中由拟合得到，所以再根据波动理论预测道路异常下车辆长度模型的结论，结合采集数据得到的函数关系建立数学模型，最后得出事故发生后，车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间以及路段上游车流量这三者之间的关系式。 针对问题四：在问题3建立的模型下，利用问题4中提供的变量数据推导出其它相关变量值，然后代入模型，估算出时间长度，以此检验模型的操作性及可靠性。 关键词：通行能力车流波动理论车流量车流速度车流密度

2020年MathorCup高校数学建模挑战赛A题

2020年第十届MathorCup高校数学建模挑战赛题目 A题 无车承运人平台线路定价问题 国内公路运输市场开放以来，逐渐形成了“小，散，乱”的发展现状。为规范运输市场，国家交通运输部办公厅于2016年9月印发《关于推进改革试点加快无车承运物流创新发展的意见》，并初步公布了48个无车承运人试点平台。随着我国无车承运行业的逐步兴起，承运线路的科学定价问题是众多无车承运人平台亟待解决的问题。 图1 国内无车承运人模式 图1展示了国内无车承运人的主要运营模式，该模式下有三个主要的参与角色，分别为货主、无车承运人平台以及承运人。作为无车承运人平台，既需要面向货主的运输任务进行报价，同时也需要面向承运司机进行报价。 本研究以无车承运人的视角，暂不考虑面向货主的运输任务的报价，仅面向广大拥有运力资源（货车）的承运端司机，将需要承运的线路任务以一定价格提前发布到网络平台上供承运端司机浏览并决定是否承运该运

输任务。平台采用动态定价的形式保证每个任务必须被承运，若任务未被承运将带来一定损失。作为承运端的司机，会根据平台发布的线路任务和价格进行判断是否接单，司机接单则视为该线路任务交易成功，此线路任务随即从平台下架。若在给定的时间内，该任务没有司机接单，则该线路就可以进行调价。每条线路任务最多允许发布3次价格，即首次发布线路价格后仍可刷新两次线路价格，其中附件1数据文件中的线路指导价为平台首次发布的线路价格。假设上述线路任务全部为固定车型的整车任务，即一个任务需要由某种车型的1辆车完成，不考虑拼载任务。本无车承运人平台在当前阶段较为关注的目标是快速促进成交和较低的承运成本。 基于以上背景，请你们的团队根据附件给出的数据（可不限于此），通过数学建模的方法帮助某无车承运人平台解决以下问题： 问题1：通过定量分析的方法，研究影响无车承运人平台进行货运线路定价的主要因素有哪些，并说明理由。 问题2：根据附件1数据，通过建立数学模型，对已经成交货运线路历史交易数据中的定价进行评价。 问题3：建立关于线路定价的数学模型，给出附件2的线路任务的三次报价以及总成本定价，并填充在附件3的表格中；给出你们的调价策略；评价你们对附件2的线路任务所给出的定价。其中附件3的表格以Excel 文件形式，连同论文答卷一起上传至参赛系统，请勿改变附件3中各任务ID的原有顺序。附件3将用于测试报价的准确性，对于某个确定的任务，三次报价中有一次成交，则后续价格将不再考虑。

2016年第九届认证杯数学中国数学建模网络挑战赛

2016年第九届数学中国数学建模网络挑战赛 策 划 书 数学建模协会 二零一六年四月九日

一、活动主题: 2016年第九届数学中国数学建模网络挑战赛 二、活动背景: 数学中国数学建模网络挑战赛，自2008年至今已举办了八届，它是由内蒙古自治区数学学会主办，由数学中国（https://www.wendangku.net/doc/6b6318048.html,）、北京中科院软件中心有限公司和第五维信息技术有限公司协办，由全球数学建模能力认证中心赞助支持的全国性数学建模活动。今年数学中国继续获得全球数学建模能力认证中心的授权，为参赛获奖的学生颁发数学建模能力认证，其目的是激励学生培养数学建模的能力，明确数学建模能力要求及范围，为数模社会效益化积累人才。 三、活动目的及其意义: （1）自主学习与认证赛相结合：我们举办认证赛的目的，是帮助学生的明确数学建模能力范围，从而勉励自己懂得如何自主学习数模且勤学多问。学生只有明确数学建模能力范围，才会去考虑如何利用数模能力来解决问题，从而对数学建模产生浓厚的学习兴趣，而比赛的真正目的不仅是为了获得的认可，还要让学生掌握数学建模技能。 （2）为了进一步推广美赛在中国的普及，进一步提高我国的数学建模整体水平和英文科技论文书写能力。 (3)旨在帮助广大想参加美赛的同学提高对于开放性题目的处理能力； (4)帮助学生提供数学建模能力证明的认证证书，为深造、学术交

流、求职提供便利； (5)凡获取认证资格的认证者，将会进入数学中国的数模人才库，此人才库是由认证中心和数学中国联合维护； (6)数学中国会对一些具有创新性的文章进行赛后的指导，帮助其将论文发表到全球数学建模能力认证中心的国际（英文）刊物上。 四、活动开展形式: 评议参赛者的英文论文 五、活动时间与地点： 时间：北京时间2016年4月15日上午8时-4月18日上午8 时北京时间2016年5月13日上午8时-4月16日上午8 时 地点：吕梁学院电教楼二楼 六、活动对象： 研究生、本科生、专科生、数学建模爱好者； 七、活动内容： 竞赛与教学相结合：我们竞赛分为两个阶段举行，每次竞赛结束三天后，我们会将所有的论文根据赛题、模型等分类在网上公示，同时提供评阅标准及赛题分析。每篇论文都会获得评分和简短的评阅意见。老师可以组织参赛学生以公示的论文为例，系统学习每道题目的不同模型及算法，使学生逐步积累数学模型及参赛经验，同时教会学生如何去评价模型、指出模型的优缺点，便于以后的论文

SARS传播的数学模型 数学建模全国赛优秀论文

SARS传播的数学模型 (轩辕杨杰整理) 摘要 本文分析了题目所提供的早期SARS传播模型的合理性与实用性，认为该模型可以预测疫情发展的大致趋势，但是存在一定的不足.第一，混淆了累计患病人数与累计确诊人数的概念；第二，借助其他地区数据进行预测，后期预测结果不够准确；第三，模型的参数L、K的设定缺乏依据，具有一定的主观性. 针对早期模型的不足，在系统分析了SARS的传播机理后，把SARS的传播过程划分为：征兆期，爆发期，高峰期和衰退期4个阶段.将每个阶段影响SARS 传播的因素参数化，在传染病SIR模型的基础上，改进得到SARS传播模型.采用离散化的方法对本模型求数值解得到：北京SARS疫情的预测持续时间为106天，预测SARS患者累计2514人，与实际情况比较吻合. 应用SARS传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析，得出结论：“早发现，早隔离”能有效减少累计患病人数；“严格隔离”能有效缩短疫情持续时间. 在建立模型的过程中发现，需要认清SARS传播机理，获得真实有效的数据.而题目所提供的累计确诊人数并不等于同期累计患病人数，这给模型的建立带来不小的困难. 本文分析了海外来京旅游人数受SARS的影响，建立时间序列半参数回归模型进行了预测，估算出SARS会对北京入境旅游业造成23.22亿元人民币损失，并预计北京海外旅游人数在10月以前能恢复正常. 最后给当地报刊写了一篇短文，介绍了建立传染病数学模型的重要性.

1．问题的重述 SARS （严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎）的爆发和蔓延使我们认识到，定量地研究传染病的传播规律，为预测和控制传染病蔓延创造条件，具有很高的重要性.现需要做以下工作： （1） 对题目提供的一个早期模型，评价其合理性和实用性. （2） 建立自己的模型，说明优于早期模型的原因；说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，并指出这样做的困难；评价卫生部门采取的措施，如：提前和延后5天采取严格的隔离措施，估计对疫情传播的影响. （3） 根据题目提供的数据建立相应的数学模型，预测SARS 对社会经济的影响. （4） 给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性. 2．早期模型的分析与评价 题目要求建立SARS 的传播模型，整个工作的关键是建立真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型.如何结合可靠、足够这两个要求评价一个模型的合理性和实用性，首先需要明确： 合理性定义 要求模型的建立有根据，预测结果切合实际. 实用性定义 要求模型能全面模拟真实情况，以量化指标指导实际. 所以合理的模型能为预防和控制提供可靠的信息；实用的模型能为预防和控制提供足够的信息. 2.1早期模型简述 早期模型是一个SARS 疫情分析及疫情走势预测的模型， 该模型假定初始时刻的病例数为0N ， 平均每病人每天可传染K 个人（K 一般为小数），K 代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率，与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关.整个模型的K 值从开始到高峰期间保持不变，高峰期后 10天的范围内K 值逐步被调整到比较小的值，然后又保持不变. 平均每个病人可以直接感染他人的时间为L 天.整个模型的L 一直被定为20.则在L 天之内，病例数目的增长随时间t (单位天)的关系是： t k N t N )1()(0+?= 考虑传染期限L 的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢.采用半模拟循环计算的办法，把到达L 天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉. 2.2早期模型合理性评价 根据早期模型对北京疫情的分析与预测，其先将北京的病例起点定在3月1日，经过大约59天在4月29日左右达到高峰，然后通过拟合起点和4月20日以后的数据定出高峰期以前的K =0.13913.高峰期后的K 值按香港情况变化，即10天范围内K 值逐步被调整到0.0273.L 恒为20.由此画出北京3月1日至5月7日疫情发展趋势拟合图像以及5月7日以后的疫情发展趋势预测图像，如图1.

全国数模竞赛优秀论文

一、基础知识 1.1 常见数学函数 如：输入x=[-4.85 -2.3 -0.2 1.3 4.56 6.75]，则： ceil(x)= -4 -2 0 2 5 7 fix(x) = -4 -2 0 1 4 6 floor(x) = -5 -3 -1 1 4 6 round(x) = -5 -2 0 1 5 7 1.2 系统的在线帮助 1 help 命令： 1.当不知系统有何帮助内容时，可直接输入help以寻求帮助: >>help（回车） 2.当想了解某一主题的内容时，如输入： >> help syntax（了解Matlab的语法规定） 3.当想了解某一具体的函数或命令的帮助信息时，如输入： >> help sqrt （了解函数sqrt的相关信息）

2 lookfor命令 现需要完成某一具体操作，不知有何命令或函数可以完成，如输入： >> lookfor line （查找与直线、线性问题有关的函数） 1.3 常量与变量 系统的变量命名规则：变量名区分字母大小写；变量名必须以字母打头，其后可以是任意字母，数字，或下划线的组合。此外，系统内部预先定义了几个有特殊意 1 数值型向量（矩阵）的输入 1．任何矩阵（向量），可以直接按行方式 ．．．输入每个元素：同一行中的元素用逗号（，）或者用空格符来分隔；行与行之间用分号（；）分隔。所有元素处于一方括号（[ ]）内； 例1： >> Time = [11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10] >> X_Data = [2.32 3.43；4.37 5.98] 2 上面函数的具体用法，可以用帮助命令help得到。如：meshgrid(x,y) 输入x=[1 2 3 4]; y=[1 0 5]; [X,Y]=meshgrid(x, y)，则 X = Y =

美国大学生数学建模竞赛优秀论文翻译

优化和评价的收费亭的数量 景区简介 由於公路出来的第一千九百三十，至今发展十分迅速在全世界逐渐成为骨架的运输系统，以其高速度，承载能力大，运输成本低，具有吸引力的旅游方便，减少交通堵塞。以下的快速传播的公路，相应的管理收费站设置支付和公路条件的改善公路和收费广场。 然而，随着越来越多的人口密度和产业基地，公路如花园州公园大道的经验严重交通挤塞收费广场在高峰时间。事实上，这是共同经历长时间的延误甚至在非赶这两小时收费广场。 在进入收费广场的车流量，球迷的较大的收费亭的数量，而当离开收费广场，川流不息的车辆需挤缩到的车道数的数量相等的车道收费广场前。因此，当交通繁忙时，拥堵现象发生在从收费广场。当交通非常拥挤，阻塞也会在进入收费广场因为所需要的时间为每个车辆付通行费。 因此，这是可取的，以尽量减少车辆烦恼限制数额收费广场引起的交通混乱。良好的设计，这些系统可以产生重大影响的有效利用的基础设施，并有助于提高居民的生活水平。通常，一个更大的收费亭的数量提供的数量比进入收费广场的道路。 事实上，高速公路收费广场和停车场出入口广场构成了一个独特的类型的运输系统，需要具体分析时，试图了解他们的工作和他们之间的互动与其他巷道组成部分。一方面，这些设施是一个最有效的手段收集用户收费或者停车服务或对道路，桥梁，隧道。另一方面，收费广场产生不利影响的吞吐量或设施的服务能力。收费广场的不利影响是特别明显时，通常是重交通。 其目标模式是保证收费广场可以处理交通流没有任何问题。车辆安全通行费广场也是一个重要的问题，如无障碍的收费广场。封锁交通流应尽量避免。 模型的目标是确定最优的收费亭的数量的基础上进行合理的优化准则。 主要原因是拥挤的

2011数学中国数学建模网络挑战赛A题特等奖论文.

数学建模网络挑战赛 承诺书 我们仔细阅读了第四届“互动出版杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们允许数学中国网站(https://www.wendangku.net/doc/6b6318048.html,)公布论文，以供网友之间学习交流，数学中国网站以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意。 我们的参赛队号为：1753 参赛队员(签名) ： 队员1：刘少杰 队员2：彭岩 队员3：姚娟娟 参赛队教练员(签名)：无 参赛队伍组别：研究生组

数学建模网络挑战赛 编号专用页 参赛队伍的参赛队号：（请各个参赛队提前填写好）：1753 竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：

2011年第四届“互动出版杯”数学中国 数学建模网络挑战赛 题 目 客机水面迫降时的姿态 关 键 词 水上迫降、 有限元、插值函数、Newmark 摘 要： 随着航空业的不断发展，飞机的不断增多，近年来飞机、直升机在近海或跨海使用越来越频繁，发生水上迫降和坠毁事故也逐渐增多。1959年到1991年以来发生的26起商用飞机水上事故的统计表明，飞机水上迫降安全至少需要考虑两方面因素：飞机着水姿态和结构强度。 水上迫降模型试验表明，客机合适的着水姿态，可以保证客机着水时不出现剧烈的“跳跃”、“翻转”等情况；而且保证机身下部蒙皮不破裂，从而使得机舱在一定时间内不进水，为乘员安全撤离赢得足够时间和空间。 由于客机水上迫降涉及多场耦合，问题十分复杂。基于本问题，从经典的弹性力学出发建立的多场耦合偏微分方程组无法计算。为此，本文采取有限单元法，用三角形壳单元离散了客机模型的求解域，找到了位移插值函数，建立了动力学控制方程。这将问题简化成求解一组常微分方程组，使得客机迫降姿态问题可解。 利用ABAQUS 软件平台，建立了客机的有限元模型，并导入具体参数，基于Newmark 计算方法使控制方程解耦，对4种工况条件进行了动力学计算，得到了如下结果： 工况攻角/° 腹部应力峰 尾翼应力峰 舱门X 方向舱门Y 方向舱门Z 方向2 10 58.79 81.53 9.28 7.73 1.85 3 12 141.2 293.9 16.1 12.5 3.26 4 15 214.6 499.7 25.78 23.75 7.65 结果表明：客机以5°攻角着水时，客机腹部和尾翼应力峰值最小，客机的舱门X 、Y 、Z 三个方向的变形也最小，舱门可安全打开。 参赛队号 1753 所选题目 A

2011年全国数学建模大赛A题获奖论文

城市表层土壤重金属污染分析 摘要 本文旨在对城市土壤地质环境的重金属污染状况进行分析，建立模型对金属污染物的分布特点、污染程度、传播特征以及污染源的确定进行有效的描述、评价和定位。 对于重金属空间分布问题，首先基于克里金插值法，应用Surfer 8软件对各数据点的分布情况进行模拟，得到了直观的重金属污染空间分布图形；随后，分别用内梅罗综合污染指数以及模糊评价标准和模型对城区内不同区域重金属的污染程度进行了评判。 对于金属污染的主要原因分析问题，基于因子分析法、问题一的结果和对各个金属污染物的来源分析等因素，判断出金属污染的主要原因有：工业生产、汽车尾气排放、石油加工并推测该区域是镍矿富集区。随后讨论了污染源之间的相互关系和不同金属的污染贡献率。 针对污染源位置确定问题，我们建立了两个模型：模型一以流程图的形式出现，基于污染传播的一般规律建立模型，求取污染源范围，模型作用更倾向于确定污染源的位置；模型二基于最小二乘法原理，建立了拟合二次曲面方程，在有效确定污染源的同时也反映了其传播特征，模型更加清楚，理论性也更强。 在研究城市地质环境的演变模式问题中，我们对针对污染源位置确定问题所建模型的优缺点进行了评价，同时建立了考虑了时间，地域环境和传播媒介的污染物传播模型，从而反映了地质的演变。 综上所述，本文模型的特点是从简单的模型建立起，强更准确的数学模型发展，逐步达到目标期望。 关键词：重金属污染，克里金插值最小二乘法因子分析流程图

一、问题重述 1.1问题背景 随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。评价和研究城市土壤重金属污染程度，讨论土壤中重金属的空间分布，研究城市土壤重金属污染特征、污染来源以及在环境中迁移、转化机理，并对城市环境污染治理和城市进一步的发展规划提出科学建议，不仅有利于城市生态环境良性发展，有利于人类与自然和谐，也有利于人类社会 健康和城市可持续发展[1] 。按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。 现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS 记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。 1.2 目标任务 (1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。 (2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。 (3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。 (4) 分析所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，分析还应收集的信息，并进一步探索怎样利用收集的信息建立模型及解决问题。 二、 模型假设 1）忽略地下矿源对污染物浓度的影响； 2）认为海拔对污染物的分布较小，故只在少数模型中讨论其作用； 3）认为题目中的采样方式是科学的，能够客观反映污染源的分布。 三、 符号说明 3.1第一问中的符号说明 i p ——污染物i 的环境污染指数 i C ——污染物i 的实测值 i S ——污染物i 的背景值 m ax (/)i i C S ——土壤污染指数的最大值 (/)i i avg C S ——土壤污染指数的平均值

2014年数学建模国家一等奖优秀论文设计

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参 赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等） 与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或 其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文 引用处和参考文献中明确列出。 我们重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违 反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3.

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期： 2014 年 9 月 15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

数学建模各类竞赛时间

数学建模竞赛时间汇总（仅供参考） 国家竞赛： ?全国大学生数学建模竞赛 每年9月(一般在中旬某个周末的星期五至下周星期一共3天，72小时）举行 ?全国研究生数学建模竞赛 （从9月24日上午8时开始，至9月28日中午12时结束。 竞赛报名时间顺延至9月18日。） ?数学中国数学建模挑战赛 数学中国数学建模网络挑战赛于4月-6月举行，竞赛分为“建模基础” 及“模型改进、应用”两个阶段进行，第一阶段比赛于4月22日-4 月25日进行，第二阶段比赛于5月20日-23日进行。 ?美国大学生数学建模竞赛 美国大学生数学建模竞赛将于：2012年2月9号晚上8:01分（美国东部时间）——2012年2月13号晚上8:00（美国东部时间）举行!(注明：北京时间2012年2月10日早上9：01分——2012年2月14日早上9:00截止) ?全国大学生电工建模竞赛 两年一次，竞赛于11月下旬 地区赛： ?华东数学建模邀请赛

报名时间：3月21日—4月30日，各校组织报名； 比赛时间：5月4日—5月10日，正式比赛为三个题目，选做一个； 收题时间：5月11日，各校完成答卷回收工作。 ?苏北数学建模联盟赛 ?东北三省数学建模联赛 ?华中数学建模联盟赛 报名时间： 2011年3月30日开始至2011年4月22日晚上9:00截止。 4月25日至4月27日为报名信息公示时间，届时将在华中数学建网（https://www.wendangku.net/doc/6b6318048.html,）上公布报名参赛队伍信息（为保护大家隐私只公布部分信息）请大家认真核对报名信息。 竞赛时间： 开始时间：2011年4月29日，上午9：00 结束时间：2011年5月3日，上午9：00 竞赛共为连续的96小时，各参赛队竞赛结束时应在规定时间、地点提交论文。

2011年数学建模大赛优秀论文

交巡警服务平台的设置与调度的数学模型 摘要 针对交巡警服务平台的设置与调度问题，本文主要考虑出警速度和各服务平台的工作量来建立合理方案。对于A区的20个交巡警服务平台分配管辖范围的问题，我们采用Dijkstra算法，分别求得在3分钟内从服务台可以到达的路口。根据就近原则，每个路口归它最近的服务台管辖。 对进出A区的13个交通要道进行快速全封锁，我们采用目标规划进行建模，运用MATLAB软件编程，先找出13个交通要道到20个服务台的所有路径。然后在保证全封锁时间最短的前提下，再考虑局部区域的封锁效率，即总封锁时间最短，封锁过程中总路程最小，从而得到一个较优的封锁方案。 为解决前面问题中3分钟内交巡警不能到达的路口问题，并减少工作量大的地区的负担，这里工作量以第一小问中20个服务台覆盖的路口发案率之和以及区域内的距离的和来衡量。对此我们计划增加四个交巡警服务台。避免有些地方出警时间过长和服务台工作量不均衡的情况。 对全市六个区交警平台设计是否合理，主要以单位服务台所管节点数，单位服务台所覆盖面积，以及单位服务台处理案件频率这些因素进行研究分析。以A 区的指标作为参考，来检验交警服务平台设置是否合理。 对于发生在P点的刑事案件，采用改进的深度搜索和树的生成相结合的方法，对逃亡的犯罪嫌疑人进行可能的逃逸路径搜索。由于警方是在案发后3分钟才接到报警，因此需知道疑犯在这3分钟内可能的路线。要想围堵嫌疑犯，服务台必须要在嫌疑犯到达某节点之前到达。用MATLAB编程，搜索出嫌疑犯可能逃跑的路线，然后调度附近的服务台对满足条件的节点进行封锁，从而实现对疑犯的围堵。 关键词：Dijkstra算法；目标规划；搜索；

2017“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛高中组个人赛赛题

地震监测台站的合理布局问题 （高中组个人赛赛题） 2017年8月8日21时19分46秒，四川省北部阿坝州九寨沟县发生了7.0级地震，震中位于北纬33.20度，东经103.82度的九寨沟核心景区西部5公里处的比芒村，震中东距九寨沟县城永乐镇39公里、南距松潘县66公里、东北距舟曲县83公里、东南距文县85公里、西北距若尔盖县90公里，东偏北距陇南市105公里，南距成都市285公里。九寨沟地震致使九寨沟县经济社会遭到重创，所有在建项目和新建项目全面停工或延期开工，全县预估直接经济损失达224.5亿元。 地震监测台站可以对地震时和地震前的各类自然现象进行监测，其对地震发生时的灾情掌握和地震发生前的预报具有重要的意义，是一个国家抗灾减灾综合实力的体现。基于地震监测设施观测内容、原理的不同，其一般可以分为测震监测设施、强震监测设施与前兆监测设施三类。测震、强震监测设施主要用于地震发生时对地震运动状态的观测，测震监测设施精度较高，可观测1.0级强度的地震；强震监测设施精度较低，用于观测4.0以上级别的地震。前兆监测设施主要通过对多类物理和化学场量的持续观测，研究了解地震发生机理并做出地震预报。根据观测的对象，将前兆观测分为三类，即形变（含重力）观测、电磁观测和地下流体观测。 地震监测台站的布局原则如下： 1、均衡全面原则：各类地震监测设施基本做到均衡分布、全面覆盖。 2、新技术原则：结合地震台预报技术发展特点，大力增加技术更加先进、对城市建设干扰较小的地震监测设施，如GPS卫星观测设施，确保地震监测水平不断提升。 3、城乡建设协调原则：新建、迁建的地震监测设施尽量避开对其有影响的干扰要素，如三级公路，高压输电线路，工厂等。 4、经济原则：如果在半径100公里的范围内台站数少于20的，应以增建新的台站为主，如果在25-30之间的，应以改建原有台站提高台站的观测质量为主。 5、精度原则：达到全县1.0级以上的地震监测能够在3分钟内给出，4.0级以上地震的初步测定结果，能够在20分钟内完成，对有显著影响的地震在震后1小时内能够锁定震中位置。 下图是九寨沟县周围的地震监测台站的分布图，请结合该图解决如下问题：问题一、考虑到地震监测台站的重要性，政府希望新建两个台站，请建立数学模型，规划两个台站的位置和类型。 问题二、对于该地区，在新增两个台站的基础上，是否还有必要再新增站点？如果有资金可以改建3个站点，你打算如何使用？请结合数学模型给出合理化建议。

数学建模B题优秀论文

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 王静茹 2. 杨曼 3. 朱元霞 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期：年月日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 2010年上海世博会经济影响力的定量评估 摘要 本文选取2010年上海世博会对上海经济的影响作为研究对象，首先，我们选择了 五届影响力较大的世博会与上海世博会进行了定量的纵向评估。 利用互联网的相关数据，运用层次分析法确定了各级评价指标的相对权重，然后 利用模糊综合评判法给这六届世博会的经济影响力进行了定量评估，利用MATLAB 计算出了1933年芝加哥世博会以来六届综合性世博会的经济影响力的综合评分依次为 75.12、80.01、80、11、77.35、79.35、80.75，由表我们可以肯定上海世博会的经济影响力是继1851年伦敦世博会以来较强的。 其次我们采用投入——产出模型模型的核心思想，以年份与GDP 的对数值的二次 相关关系和上海市社会固定资产总投入与GDP 的对数值的线性关系，利用上海统计年鉴发布的数据，分别建立无世博影响的表达式i i i x x x e Q 21210904.01117.00032.06278.81-++=，与有世博影响的表达式i i i x x x e Q 21212955.00176.00019.01211.82+-+=，两式的预测误差均在1.1%以内。与 2008年真实值比较，用表达式1Q 预测2008年的GDP 的值可以得出世博会对2008年上海市经济贡献率达到20.9%。并且在得知申办世博会后第i 年上海市固定投入总额的前提下由%1002 12?-=Q Q Q η可求出世博会对上海地区经济的持续性积极影响。如假设2011年市固定资产总投资为5600亿元，则世博会对上海经济有16%的积极影响。 最后,经过对2010年上海世博会的经济影响力的两方面的评估,我们得知上海世博 会在历届世博会的经济影响力的综合评分中是最高的。由此得出,上海世博会对上海经济的影响力是非常大的,此次世博会除了对上海的直接收益影响明显外, 世博会对上海地区经济的持续性积极影响。 关键词：层次分析 模糊综合评判 投入——产出模型 回归模型 一、问题重述 2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。 二、问题分析