圆锥曲线大题专题训练答案和题目
圆锥曲线大题专题训练
1．如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心．以(0)t t >为半径的圆分别 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ． （Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式
（Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a +， 求证：直线CD 的斜率为定值． 1.解：
（Ⅰ）由题意知，(A a ．
因为OA t =，所以222a a t +=．由于0t >
由点(0)(0)B t C c ，，，的坐标知，直线BC 的方程为1c t
+=．
又因点A 在直线BC 上，故有1a c +=，将（1）代入上式，得1a c +=，
解得2c a =+
（Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为
1CD k =
===-．
所以直线CD 的斜率为定值． 2．设F 是抛物线2:4G x y =的焦点．
（I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程；
（II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值．
2.解：（I ）设切点2
004x Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．由2x
y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线
方程为2000()42x x y x x -=-． 即2
04
24x x y x =-． 因为点(0)P -4，
在切线上． 所以2
044
x -=-，2
16x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-． （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，．
由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >． 因直线AC 过焦点(01)F ，，所以直线AC 的方程为1y kx =+．
点A C ，的坐标满足方程组214y kx x y =+⎧⎨=⎩，，
得2440x kx --=，
由根与系数的关系知1212
44.x x k x x +=⎧⎨=-⎩，
24(1)AC k ===+． 因为AC BD ⊥，所以BD 的斜率为1k -，从而BD 的方程为1
1y x k
=-+．
同理可求得22214(1)
41k BD k k ⎛⎫+⎛⎫=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 222
22
18(1)18(2)322ABCD
k S AC BD k k k +===++≥． 当1k =时，等号成立．所以，四边形ABCD 面积的最小值为32．
3．如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．
（I ）求面积S 以x
（II ）求面积S 的最大值． 3．解：（I ）依题意，以AB 的中点O 系 O xy -（如图）
，则点C 的横坐标为x ． 点C 的纵坐标y 满足方程22
221(0)4x y y r r
+=≥，
解得)y x r =<<
222()x r r x =+-，其定义域为{}0x x r <<．
（II ）记222()4()()0f x x r r x x r =+-<<，
， 则2()8()(2)f x x r r x '=+-． 令()0f x '=，得1
2
x r =． 当02r x <<
时，()0f x '>；当2
r
x r <<时，()0f x '<，所以12f r ⎛⎫
⎪⎝⎭
是()f x 的最大值．
因此，当1
2
x r =
时，S
22r =．
即梯形面积S
2
． 4．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=点(11)T -，在AD 边所在
直线上．
（I ）求AD 边所在直线的方程； （II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；
（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 外接圆外切，求动圆P 的圆心轨迹方程． 4.解：（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为3-．又因为点(11)T -，在直线AD 上，
所以AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．即320x y ++=．
（II ）由36032=0x y x y --=⎧⎨++⎩
，解得点A 的坐标为(02)-，，
因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(20)M ，．所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．
又AM ==ABCD 外接圆方程为22(2)8x y -+=． （III ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，
所以PM PN =+
PM PN -=
故点P 的轨迹是以M N ，
为焦点，实轴长为的双曲线的左支．
因为实半轴长a =2c =
．所以虚半轴长b ==
从而动圆P
的圆心的轨迹方程为22
1(22
x y x -
=≤． 5．已知函数y kx =与22(0)y x x =+≥的图象相交于11()A x y ，，22()B x y ，，1l ，2l 分别是
22(0)y x x =+≥的图象在A B ，两点的切线，M N ，分别是1l ，2l 与x 轴的交点．
（I ）求k 的取值范围；
（II ）设t 为点M 的横坐标，当12x x <时，写出t 以1x
为自变量的函数式，并求其定义域和
值域；
（III ）试比较OM 与ON 的大小，并说明理由（O 是坐标原点）．
5．解：（I ）由方程2
2y kx y x =⎧⎨=+⎩，消y 得220x kx -+=． ① 依题意，该方程有两个正实根，
故212
800k x x k ⎧∆=->⎨+=>⎩，，
解得k >
（II ）由()2f x x '=，求得切线1l 的方程为1112()y x x x y =-+， 由2112y x =+，并令0y =，得11
1
2x t x =
- 1x ，2x 是方程①的两实根，且12x x <
，故12k x ==
k > 1x 是关于k 的减函数，所以1x
的取值范围是(0．
t 是关于1x
的增函数，定义域为(0，所以值域为()-∞，0， （III ）当12x x <时，由（II ）可知11
1
2x OM t x ==-
+． 类似可得2212x ON x =
-．121212
2x x x x
OM ON x x ++-=-+． 由①可知122x x =．从而0OM ON -=．
当21x x <时，有相同的结果0OM ON -=．所以OM ON =．
6．如图，已知(10)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ =．
（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l
（1）已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值； （2）求MA MB 的最小值．
6.解：（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由QP QF FP FQ =得：
(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=--，，，，，化简得2:4C y x =．
（Ⅱ）（1）设直线AB 的方程为：1(0)x my m =+≠．
设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭，， 联立方程组241y x x my ⎧=⎨=+⎩，
，
，消去x 得：2440y my --=，2(4)120m ∆=-+>，
由1MA AF λ=，2MB BF λ=得：
1112y y m λ+=-，2222y y m
λ+=-
1121my λ=--
，22
2
1my λ=--， 12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--+ ⎪⎝⎭121222y y m y y +=--44m
-解法二：（Ⅰ）由QP QF FP FQ =得：()0FQ PQ PF +=，
()()0PQ PF PQ PF ∴-+=，
22
0PQ PF ∴-=，
PQ PF ∴=．
所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：24y x =． （Ⅱ）（1）由已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，得120λλ<． 则：
12MA AF MB
BF
λλ=-
．…………①
过点A B ，分别作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ， 则有：
11
MA AA AF MB
BB BF
=
=
．…………②
由①②得：12AF
AF BF BF λλ-=
，即120λλ+=． （Ⅱ）（2）解：由解法一，(
2
121M M MA MB y y y y =
--
2222114(2)4216m m m ⎛⎫=++
+= ⎪ ⎪⎝
⎭≥．
当且仅当221
m m
=
，即1m =±时等号成立，所以MA MB 最小值为16． 7
．在平面直角坐标系xOy ，已知圆心在第二象限、半径为C 与直线y x =相切于坐
标原点O ．椭圆22
219
x y a +
=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． （1）求圆C 的方程；
（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 7.解：（1）圆C ：22(2)(2)8x y ++-=；
（2）由条件可知a=5，椭圆22
1259
x y +=，∴F （4，0），若存在，则F 在OQ 的中垂线上，又O 、
Q 在圆C 上，所以O 、Q 关于直线CF 对称； 直线CF 的方程为y-1=1(1)3
x --,即340x y +-=，设
Q （x,y ），则3340
22y
x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，解得45
125x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
所以存在，Q 的坐标为412(,)55。
8
．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2
212
x y +=有两个不
同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；
（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量
OP OQ +与AB 共线如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．
8．解：
（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为y kx =+
代入椭圆方程得22(12x kx ++
=．整理得221102k x ⎛⎫
+++= ⎪⎝⎭ ①
直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫
∆=-+=-> ⎪⎝⎭
，
解得k <
或k >
k 的取值范围为222⎛⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，∞∞． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，
由方程①，122
12x x k +=-
+． ② 又1212()y y k x x +=++ ③
而(01)(A B AB =-，，．
所以OP OQ +与AB 共线等价于1212)x x y y +=+，
将②③代入上式，解得2
k =
．
由（Ⅰ）知2k <-
或2
k >，故没有符合题意的常数k ． 9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2212320x y x +-+=的圆心为Q ，过点(02)P ，且斜率为
k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A B ，． （Ⅰ）求k 的取值范围；
（Ⅱ）是否存在常数k ，使得向量OA OB +与PQ 共线如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．
9．解：（Ⅰ）圆的方程可写成22(6)4x y -+=，所以圆心为(60)Q ，，过(02)P ，且斜率为k 的直线方程为2y kx =+．代入圆方程得22(2)12320x kx x ++-+=， 整理得22(1)4(3)360k x k x ++-+=． ① 直线与圆交于两个不同的点A B ，等价于
2222[4(3)]436(1)4(86)0k k k k ∆=--⨯+=-->，
解得304k -<<，即k 的取值范围为304⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
． （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，则1212()OA OB x x y y +=++，， 由方程①，122
4(3)
1k x x k -+=-
+ ② 又1212()4y y k x x +=++． ③ 而(02)(60)(62)P Q PQ =-，，
，，，． 所以OA OB +与PQ 共线等价于1212()6()x x y y +=+，
将②③代入上式，解得34
k =-．
由（Ⅰ）知304k ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，故没有符合题意的常数k ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，过定点(0)C p ，作直线与抛物线22x py =（0p >）相交于A B ，两点．
（I ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB △面积的最小值；
（II ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．
10.解法1：（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为(0)N p -，，可设1122()()A x y B x y ，，，，
直线AB 的方程为y kx p =+，与2
2x py =联立得22x py y kx p ⎧=⎨=+⎩，．
消去y 得22220x pkx p --=．
由韦达定理得122x x pk +=，2122x x p =-．
于是121
22
ABN BCN ACN S S S p x x =+=-△△△·．
2p
==，
∴当0k =
时，2min ()ABN S =△．
（Ⅱ）假设满足条件的直线l
AC 的中点为O '，l 与AC 为直径的圆相交于点P ，Q PQ ，的中点为H ，
则O
H PQ '⊥，Q '点的坐标为112
2x y p +⎛⎫
⎪⎝⎭，．
12O P AC '=
==∵ 111
222
y p O H a a y p +'=-
=--， x
1()2p a y a p a ⎛
⎫=-+- ⎪⎝
⎭，
2
2(2)PQ PH =∴14()2p a y a p a ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
．
令02p a -
=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2p
y =， 即抛物线的通径所在的直线． 解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得
2= 又由点到直线的距离公式得
d =
从而
112222ABN S d AB p ===△···
∴当0k =时，2min ()ABN S =△．
（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，则以AC 为直径的圆的方程为
11(0)()()()0x x x y p y y -----=，
将直线方程y a =代入得211()()0x x x a p a y -+--=，
则21114()()4()2p x a p a y a y a p a ⎡⎤
⎛⎫=---=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△．
设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为3344()()P x y Q x y ，，，，
则有34PQ x x =-==
令02p a -
=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2p
y =， 即抛物线的通径所在的直线． 11．已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B
，两点．
（I ）若动点M 满足1111FM F A F B FO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程； （II ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB 为常数若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
11．解：由条件知1(20)F -，
，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，． 解法一：（I ）设()M x y ，，则则1
(2)FM x y =+，，111(2)F A x y =+，， 1221(2)(20)F B x y FO =+=，，，，由1111FM F A F B FO =++得 121226x x x y y y +=++⎧⎨
=+⎩，即1212
4x x x y y y +=-⎧⎨+=⎩， 于是AB 的中点坐标为422x y -⎛⎫
⎪⎝⎭
，． 当AB 不与x 轴垂直时，1212
24822
y
y y y x x x x -==
----，即1212()8y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，222
22x y -=，两式相减得 12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y --=-．
将1212()8
y
y y x x x -=
--代入上式，化简得22(6)4x y --=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=．
（II ）假设在x 轴上存在定点(0)C m ，，使CA CB 为常数． 当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．
则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421
k x x k +=-，
于是21212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+--
22
222
2(12)2442(12)11
m k m m m m k k -+-=+=-++--． 因为CA CB 是与k 无关的常数，所以440m -=，即1m =，此时CA CB =1-．
当AB 与x 轴垂直时，点A B ，
的坐标可分别设为(2
，(2，， 此时(12)(12)1CA CB =-=-，，
．
故在x 轴上存在定点(10)C ，，使CA CB 为常数．
解法二：（I ）同解法一的（I ）有1212
4x x x y y y +=-⎧⎨+=⎩，
当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．
则12x x ，是上述方程的两个实根，所以2
12241
k x x k +=-．
212122
44(4)411
k k
y y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭． 由①②③得22441k x k -=-．…………④ 241
k
y k =-．……………⑤
当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，
4
x k y
-=，将其代入⑤有 222
2
4
44(4)(4)(4)1x y x y y x x y
y -⨯
-==----．整理得22
(6)4x y --=． 当0k =时，点M 的坐标为(40)，，满足上述方程．
当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程． 故点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=．
（II ）假设在x 轴上存在定点点(0)C m ，，使CA CB 为常数，
当AB 不与x 轴垂直时，由（I ）有212241k x x k +=-，2122421
k x x k +=-．
以下同解法一的（II ）．
12．已知双曲线222x y -=的右焦点为F ，过点F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点，点C
的坐标是(10)，
． （I ）证明CA ·CB 为常数；
（II ）若动点M 满足CM CA CB CO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程．
12．解：由条件知(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．
（I ）当AB 与x 轴垂直时，可设点A B ，
的坐标分别为(2
，(2，， 此时(12)(12)1CA CB =-=-，，
． 当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入222x y -=，有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．
则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421
k x x k +=-，
于是212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--
2222222
(1)(42)4(21)4111
k k k k k k k +++=-++--22
(42)411k k =--++=-． 综上所述，CA CB 为常数1-．
（II ）解法一：设()M x y ，，则(1)CM x y =-，，11(1)CA x y =-，，
22(1)CB x y =-，，(10)CO =-，
，由CM CA CB CO =++得： 121213x x x y y y -=+-⎧⎨
=+⎩，即12122x x x y y y
+=+⎧⎨+=⎩，
于是AB 的中点坐标为222x y +⎛⎫
⎪⎝
⎭，． 当AB 不与x 轴垂直时，1212
22222
y
y y y x x x x -==
+---，即1212()2y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，222
22x y -=，两式相减得 12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(2)()x x x y y y -+=-．
将1212()2
y
y y x x x -=
--代入上式，化简得224x y -=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，
，也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是224x y -=．
解法二：同解法一得1212
2x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩，
……………………………………①
当AB 不与x 轴垂直时，由（I ） 有2
12241
k x x k +=-．…………………②
212122
44(4)411k k
y y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭
．………………………③ 由①②③得22421k x k +=-．………④ 241
k
y k =-．……………⑤
当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，
2
x k y
+=，将其代入⑤有 222
2
2
44(2)(2)(2)1x y x y y x x y
y +⨯
+==++--．整理得22
4x y -=． 当0k =时，点M 的坐标为(20)-，，满足上述方程．
当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程． 故点M 的轨迹方程是224x y -=．
13．设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，的距离分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=． （1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程； （2）过点B 作直线交双曲线C 的右支于M N ，两点，试确定λ的
范围，使OM ON =0，其中点O 为坐标原点．
13．解法一：（1）在PAB △中，2AB =，即222121222cos 2d d d d θ=+-，
2212124()4sin d d d d θ=-+
，即122d d -==<（常数），
故点P 的轨迹C 是以A B ，
为焦点，实轴长2a =的双曲线．
方程为：
22
11x y λλ
-=-． （2）设11()M x y ，，22()N x y ，
①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．
即
211111012
λλλλλ-±-=⇒+-=⇒=-，因为01λ<<
，所以1
2λ=．
②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．
由22
11(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩
得：2222
(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦
， 由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦，
所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122(1)()
(1)k x x k λλλλ--+=--．
于是：22
2
12122
(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--．
因为0OM ON =，且M N ，在双曲线右支上，所以
2121222
122212(1)0(1)21011310
01x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒
<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩．
由①②知，
12
23
λ<≤． 14．已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线22y x =上，其中O 为坐标原点，设圆C 是
OAB △的内接圆（点C 为圆心）
（I ）求圆C 的方程；
（II ）设圆M 的方程为22(47cos )(7sin )1x y θθ--+-=，过圆M 上任意一点P 分别作圆C 的两条切线PE PF ，，切点为E F ，，求CE CF 的最大值和最小值．
14.（I ）解法一：设A B ，两点坐标分别为2112y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，2
222y y ⎛⎫
⎪⎝⎭
，，由题设知
== 解得22
12
12y y ==，
所以(6A ，(6B -，或(6A -，，(6B ． 设圆心C 的坐标为(0)r ，，则2
643
r =⨯=，所以圆C 的方程为
22(4)16x y -+=． ························ 4分
解法二：设A B ，两点坐标分别为11()x y ，，22()x y ，，由题设知
22221122x y x y +=+．又因为2112y x =，22
22y x =，可得22
112222x x x x +=+． 即1212()(2)0x x x x -++=．
由10x >，20x >，可知12x x =，故A B ，两点关于x 轴对称，所以圆心C 在x 轴上．
设C 点的坐标为(0)r ，，则A 点坐标为32r ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，于是有2
322r ⎫=⨯⎪⎪⎝⎭，解得4r =，所以圆C 的方程为22(4)16x y -+=． ················· 4分 （II ）解：设2ECF a ∠=，则
2||||cos 216cos 232cos 16CE CF CE CF ααα===-． ········· 8分
在Rt PCE △中，4
cos ||||
x PC PC α=
=，由圆的几何性质得 ||||17PC MC +=≤18+=，||||1716PC MC -=-=≥，
所以12cos 23α≤≤，由此可得 1689
CE CF --≤≤．
则CE CF 的最大值为16
9
-，最小值为8-．
15.已知椭圆22
132
x y +
=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．
（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：22
00
132
x y +
<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．
15.证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，
由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22
01x y +=， 所以，2222
00021
132222
y x y x ++
=<≤．
（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程
22
132
x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则
2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+
2
2
2
12221(1)()4BD x x
k x x x x ⎡
=-=++-=⎣；
因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1
k
-，
所以，222
2111)12332k k AC k k
⎫+⎪
+⎝⎭==+⨯+． 四边形ABCD 的面积
222222222124(1)(1)962(32)(23)25
(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥
⎣⎦
≥．
当21k =时，上式取等号．
（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为96
25．
16．在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线4x =相切． （1）求圆O 的方程；
（
2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P
使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB 的取值范围．
16．解：（1）依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线4x -=的距离，
即 2r =
=． 得圆O 的方程为224x y +=． （2）不妨设1212(0)(0)A x B x x x <，，
，，．由24x =即得 (20)(20)A B -，，，．
设()P x y ，，由PA PO PB ，，成等比数列，得
2222(2)x x y -+=+， 即
222x y -=． 由于点P 在圆O 内，故22
22
42.
x y x y ⎧+<⎪⎨-=⎪⎩， 由此得2
1y <． 所以PA PB 的取值范围为[20)-，．
17.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，
最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． 17.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，
由已知得：3a c +=，1a c -=，2a ∴=，1c =，2223b a c ∴=-=．
∴椭圆的标准方程为22
143
x y +=．
（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，
得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，
又222
2
121212122
3(4)
()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+，
因为以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点(20)D ，，
1AD BD k k ∴=-，即
12
12122
y y x x =---，
1212122()40y y x x x x ∴+-++=，
222222
3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k
--∴+++=+++， 2291640m mk k ∴++=．
解得：
12m k =-，227
k
m =-
，且均满足22340k m +->， 当12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点(20)，，与已知矛盾； 当227k m =-
时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，直线过定点207⎛⎫
⎪⎝⎭，
． 所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭
，． 18．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，坐标原点O 到直线l
AOB △面积的最大值．
18．解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c
，依题意3c a a ⎧=⎪
⎨⎪=⎩
1b ∴=，∴所求椭圆方程为2
213
x y +=．
（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，． （1）当AB x ⊥
轴时，AB ． （2）当AB 与x 轴不垂直时， 设直线AB 的方程为y kx m =+．
=
，得223(1)4m k =+．
把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，
122631
km
x x k -∴+=+，2122
3(1)31m x x k -=+． 2422
2121212
33(0)34196123696
k k k k k k
=+=+≠+=++⨯+++≤．
当且仅当22
1
9k k
=
，即3k =±时等号成立．当0k =
时，AB =，
综上所述max 2AB =．
∴当AB 最大时，AOB △
面积取最大值max 1222
S AB =
⨯⨯=． 19.设1F 、2F 分别是椭圆14
22
=+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ·2PF 的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围. 19.解：
（Ⅰ）解法一：易知2,1,a b c ===
所以(
))
12
,F F ，设(),P x y ，则
因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2- 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值1
解法二：易知2,1,a b c ===
(
))
12
,F F ，设(),P x y ，则
(
(2
2
222211232x y x y x y ⎡
⎤=
+++-=+-⎢⎥⎣
⎦
（以下同解法一）
（Ⅱ）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线()()1222:2,,,,l y kx A x y B x y =-，
联立22
2
1
4y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得：22
14304k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ ∴12122243,114
4
k x x x x k k +=-
⋅=
+
+
由()2214434304k k k ⎛
⎫∆=-+⨯=-> ⎪⎝⎭
得：k <
或k >
又000090cos 000A B A B OA OB <∠<⇔∠>⇔⋅> ∴12120OA OB x x y y ⋅=+>
又()()()2
121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++2
22238411
44
k k k k -=++++
221
14k k -+=+
∵
2223
101144
k k k -++>++
，即24k < ∴22k -<<
故由①、②得22
k -<<-
或22k << 20.设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，
原点O 到直线1AF 的距离为11
3OF ．
（Ⅰ）证明a =；
（Ⅱ）求(0)t b ∈，使得下述命题成立：设圆222x y t +=上任意点00()M x y ，处的切线交椭圆于1Q ，2Q 两点，则12OQ OQ ⊥．
20.（Ⅰ）证法一：由题设212AF F F ⊥及1(0)F c -，
，2(0)F c ，，不妨设点()A c y ，，其中 0y >，由于点A 在椭圆上，有22
221c y a b +=，
222
221a b y a b
-+=， 解得2
b y a =，从而得到2b A
c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，
直线2AF 的方程为2
()2b y x c ac =+，整理得 2220b x acy b c -+=．
由题设，原点O 到直线1AF 的距离为11
3
OF ，即
23c =
， 将222c a b =-代入原式并化简得222a b =
，即a =．
证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，，
过点O 作1OB AF ⊥，垂足为H ，易知112F BC F F A △∽△
圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案)
圆锥曲线综合训练题 一、求轨迹方程： 1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：22 13649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的 离心率2e 之比为 7 3 ，求双曲线1C 的方程． （2）以抛物线2 8y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e = 由127 3 e e =得113e =设双曲线的方程为2 2 221(,0)y x a b a b -=>则22222 13 139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪ ⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为 22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00 62 2 x x y y +⎧ =⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩． 代入2008y x =得：2 412y x =-．此即为点P 的轨迹方程． 2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三 角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=5 3sinA,求 点A 的轨迹方程． 解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ， 有6=b ，故其方程为 ()0136 1002 2≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()01361002 2 ≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧='='33 y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）． （2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB= 53sinA 2RsinC-2RsinB=5 3 ·2RsinA ∴BC AC AB 5 3 = - 即6=-AC AB （*） ∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4 所求轨迹方程为 116 92 2=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后， 反射光线恰好通过椭圆C ：122 22=+b y a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率 为 21 ，且x 2-x 1=5 6，求椭圆C 的方程. 解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为13422 22=-k y k x . 由题设条件得： 1 14) 2(120x x k ----=--+， ① 2 24) 2(120x x k ----=--+， ②
圆锥曲线练习题含答案
圆锥曲线 一、选择题（共13小题；共65分） 1. 已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 2. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为 A. B. C. D. 3. 如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是 A. B. C. D. 4. 是双曲线上一点，，分别是双曲线左右焦点，若，则 A. B. C. 或 D. 以上答案均不对 5. 已知椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个 交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为，则椭圆的方程为 A. B. C. D. 6. 已知椭圆的左焦点为，上顶点为，若直线与平 行，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 7. 已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，，则线段的 中点到轴的距离为 A. B. C. D. 8. 以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线 的离心率为 A. 或 B. 或 C. D. 9. 已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 10. 已知椭圆：的左、右焦点为，，离心率为，过的直线交 于，两点，若的周长为，则的方程为 A. B. C. D.
11. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，满足，则 A. B. C. D. 12. 已知双曲线右支上一点到左、右焦点的距离之差为，到左准线的距离为， 则到右焦点的距离为 A. B. C. D. 13. 已知椭圆的左右顶点分别为，，上顶点为，若是底角为 的等腰三角形，则 A. B. C. D. 二、填空题（共5小题；共25分） 14. 已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为． 15. 设，是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，设为线段的中点，为 坐标原点，若，则，． 16. 已知点，是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线交椭圆于，两点， 且，那么椭圆的方程为． 17. 若拋物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的倍，则． 18. 设是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到直线的距 离之和的最小值为． 三、解答题（共6小题；共78分） 19. 在抛物线上求一点，使到焦点与到点的距离之和最小． 20. 已知，是双曲线的两个焦点，过的直线交双曲线右支于，两点，且 ，求的周长． 21. 已知，为双曲线的焦点，过作垂直于轴的直线交双曲线于 点，且．求双曲线的渐近线方程． 22. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点，，且两曲线的一个公共点满足： 是直角三角形且，求双曲线的标准方程． 23. 在中，，如果一个椭圆通过，两点，它的一个焦点为点，另一个 焦点在边上，求这个椭圆的焦距． 24. 如图，已知，为双曲线的焦点，过作垂直于轴的直线交双 曲线于点，且．求：
圆锥曲线大题专题及答案
解析几何大题专题 第一类题型 弦长面积问题 1．（本小题满分14分） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率是2，且过点P ．直线2y x m =+与椭圆C 相交于,A B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求PAB △的面积的最大值； （Ⅲ）设直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ．判断||PM ，||PN 的大小关系，并 加以证明． 2. （本小题14分） 已知椭圆22 :13+=x y C m m ，直线:20+-=l x y 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，与x 轴交于点B ，点,P Q 与点B 不重合. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）当2∆=OPQ S 时，求椭圆C 的方程； （Ⅲ）过原点O 作直线l 的垂线，垂足为.N 若λ=PN BQ ，求λ的值.
3．（本小题共14分） 已知椭圆 22 22 :1(0) x y C a b a b +=>>离心率等于 1 2 ，(2,3) P、(2,3) Q-是椭圆上的 两点. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）,A B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，若直线AB的斜率为1 2 ，求四边 形APBQ面积的最大值. 4．（本小题满分14分） 已知椭圆 C：22 31(0) mx my m +=>的长轴长为O为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率； （Ⅱ）设点(3,0) A，动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若|||| BA BP =，求四边形OPAB面积的最小值.
5．（本小题共14分） 已知椭圆C： 2 21 4 x y +=，F为右焦点，圆O：221 x y+=，P为椭圆C上 一点，且P位于第一象限，过点P作PT与圆O相切于点T，使得点F，T在OP两侧. （Ⅰ）求椭圆C的焦距及离心率; （Ⅱ）求四边形OFPT面积的最大值. 6.（本小题13分） 已知抛物线C：y2=2px经过点P(2，2)，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点． （I）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （II）若OA OB，求△AOB面积的最小值.
圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案
1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线 22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB 的交点为Q 。 （1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋； （2）求证：112||||PC PD PQ +=. 2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==⋅ （1）动点N 的轨迹方程； （2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=⋅AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围. 3. 如图，椭圆13 4: 2 21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的
面积相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角. 4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||22PM PN -=.记动点P 的轨迹为 W . （Ⅰ）求W 的方程； （Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值. 5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围；
（Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程； （Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。 6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN += (1)求点P 的轨迹方程； (2)若2 ·1cos PM PN MPN -∠＝,求点P 的坐标. 7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线 12 2 2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3 MON π∠= ，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。
圆锥曲线与方程练习题7套(含答案)
圆锥曲线与方程练习题7套(含答案) 双基限时练(九) 1．命题“曲线上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下面命题中正确的是( ) A．方程f(x，y)＝0的曲线是 B．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是 ．f(x，y)＝0是曲线的方程 D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线上 解析由题设知曲线与方程f(x，y)＝0不是对应关系，所以答案B正确． 答案 B 2．下列各对方程中，表示相同曲线的一组是( ) A．y＝x与y＝x2 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝0与(x－1)(y＋2)＝0 ．y＝1x与xy＝1 D．y＝lgx2与y＝2lgx 解析易知A，B，D中两方程不是同一曲线，中两方程表示的是同一曲线，故应选. 答案 3．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是( ) A．两个点B．四个点
．两条直线 D．四条直线 解析由方程⇔x2－4＝0且y2－4＝0，即x＝±2且y＝±2，因此方程表示四个点(2,2)，(2，－2)，(－2,2)，(－2，－2)． 答案 B 4．已知0≤α≤2π，点P(sα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为( ) A.π3 B.5π3 .π3或5π3 D.π3或π6 解析依题意有(sα－2)2＋sin2α＝3，化简得sα＝12，又0≤α≤2π，∴α＝π3或5π3，故选. 答案 5．直线x－y＝0与曲线xy＝1的交点是( ) A．(1,1) B．(－1，－1) ．(1,1)和(－1，－1) D．(0,0) 解析x－y＝0，xy＝1⇒x＝1，y＝1或x＝－1，y＝－1. ∴直线x－y＝0与曲线xy＝1的交点是(1,1)和(－1，－1)． 答案 6．方程y＝|x|x2表示的曲线是( ) 解析y＝|x|x2＝1x x>0，－1x
圆锥曲线大题20道(含答案)
1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+ =kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其 中O 为原点）. 求k 的取值范围. 解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-b y a x ).0,0(>>b a 由已知得.1,2,2,32222==+== b b a c a 得再由 故双曲线C 的方程为.13 22 =-y x （Ⅱ）将得代入13 222 =-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-. 0)1(36)31(36)26(, 0312 222 k k k k 即.13 1 22<≠ k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319 ,31262 2>+>⋅--=-= +B A B A B A B A y y x x OB OA k x x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x .1 37 3231262319)1(22222 -+=+-+--+=k k k k k k k 于是解此不等式得即,01393,213732 222>-+->-+k k k k .33 1 2< 完整版)圆锥曲线综合练习题(有答案) 圆锥曲线综合练 1.已知椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 的长轴在 $y$ 轴上，焦距为 4，则 $m$ 等于（） A。4 B。5 C。7 D。8 2.直线 $x-2y+2=0$ 经过椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$ 的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为 frac{\sqrt{5}}{2} 3.设双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0)$ 的渐近线方程为$3x\pm 2y=0$，则 $a$ 的值为 2 4.若 $m$ 是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 的离心率是 frac{\sqrt{5}}{2} 5.已知双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0)$，$N$ 两点，$O$ 为坐标原点，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 $M$ 点。若 $OM\perp ON$，则双曲线的离心率为 frac{\sqrt{5}+1}{2} 6.已知点$F_1,F_2$ 是椭圆$x^2/2+y^2/2=1$ 的两个焦点，点 $P$ 是该椭圆上的一个动点，则 $|PF_1+PF_2|$ 的最小值是 sqrt{2} 7.双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ 上的点到一个焦点的距离 为 12，则到另一个焦点的距离为 2\sqrt{5} 8.$P$ 为双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ 的右支上一点，$M$，则 $|PM|-|PN|$ 分别是圆 $(x+5)^2+y^2=4$ 和 $(x- 5)^2+y^2=1$ 上的点，的最大值为 9 9.已知点 $P(8,a)$ 在抛物线 $y^2=4px$ 上，且 $P$ 到焦点 的距离为 10，则焦点到准线的距离为 2 圆锥曲线测试题（文） 时间：100分钟 满分100分 一、选择题：（每题4分，共40分） 1．0≠c 是方程 c y ax =+22 表示椭圆或双曲线的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．不充分不必要条件 2．如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为 （ ） A ．（1, 0） B ．（2, 0） C ．（3, 0） D ．（－1, 0） 3．直线y = x +1被椭圆x 2+2y 2=4所截得的弦的中点坐标是（ ） A ．( 31, -3 2 ) B ．(- 32, 3 1) C.( 21,-31) D ．(-31,2 1 ) 4．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（ ） A ．6m B ．26m C ．4.5m D ．9m 5. 已知椭圆 15 92 2=+y x 上的一点P 到左焦点的距离是34，那么点P 到椭圆的右准线的距离是（ ） A ．2 B ．6 C ．7 D ．143 6．曲线2 25 x ＋ 2 9 y =1与曲线 2 25k x -＋ 2 9k y -=1(k ＜9 ）的（ ） A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 7．已知椭圆 2 5 x ＋ 2 m y ＝1的离心率 则m 的值为（ ） A ．3 B. 253或 3 8．已知椭圆C 的中心在原点，左焦点F 1，右焦点F 2均在x 轴上，A 为椭圆的右顶点，B 为 椭圆短轴的端点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，则此椭圆的离心率等于（ ） A ． 12 B ．2 C ．13 D 9 2 )0>>n m 的曲线在同一坐标系 高中数学圆锥曲线 一．选择题（共20小题） 1．已知F1、F2是椭圆＝1的左、右焦点，点P是椭圆上任意一点，以PF1为直径作圆N，直线ON与圆N交于点Q（点Q不在椭圆内部），则＝（） A．2B．4C．3D．1 2．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0），过左焦点F（﹣2，0）倾斜角为的直线交椭圆上 半部分于点A，以F A，FO为邻边作平行四边形OF AB，若点B在椭圆上，则b2等于（） A．B．2C．3D．4 3．已知双曲线的右焦点到其中一条新近线的距离等于，抛物线E：y2＝2px（p＞0）的 焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线l1：4x﹣3y+6＝0和l2：x＝﹣1的距离之和的最小值为（） A．1B．2C．3D．4 4．已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为2，右顶点为A．过原点与x轴不重合的直线交C于M，N两点，线段AM的中点为B，若直线BN经过C的右焦点，则C的方程为（） A．B．C．D． 5．已知经过原点O的直线与椭圆相交于M，N两点（M在第二象限），A，F分别是该椭圆的右顶点和右焦点，若直线MF平分线段AN，且|AF|＝4，则该椭圆的方程为（） A．B．C．D． 6．已知椭圆T：的焦点F（﹣2，0），过点M（0，1）引两条互相垂直的两直线l1、l2，若P为椭 圆上任一点，记点P到l1、l2的距离分别为d1、d2，则d12+d22的最大值为（） A．2B．C．D． 7．点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F的直线交抛物线C于A，B两点（点A在第一象限），过A、B分别作抛物线C的准线的垂线段，垂足分别为M、N，若|MF|＝4，|NF|＝3，则直线AB的斜率为（） 圆锥曲线历年高考题(整理)附答案 数学圆锥曲线测试高考题 一、选择题： 1.（2006全国II）已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=1$的一条渐近线方程为$y=x$，则双曲线的离心率为（）。 A。$\frac{\sqrt{2}}{2}$ B。$\frac{\sqrt{3}}{2}$ C。$\frac{\sqrt{5}}{2}$ D。$\frac{\sqrt{7}}{2}$ 2.（2006全国II）已知$\triangle ABC$的顶点B、C在椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则$\triangle ABC$的周长是（）。 A。2.B。3.C。4.D。6 3.（2006全国卷I）抛物线$y=-x^2$上的点到直线$4x+3y- 8=0$的距离的最小值是（）。 A。2.B。$\frac{4}{3}$。C。$\sqrt{2}$。D。$\sqrt{3}$ 4.（2006广东高考卷）已知双曲线$3x^2-y^2=9$，则双曲 线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比 等于（）。 A。2.B。$\frac{1}{2}$。C。$\sqrt{2}$。D。4 5.（2006辽宁卷）方程$2x^2-5x+2=0$的两个根可分别作 为（）。 A。一椭圆和一双曲线的离心率B。两抛物线的离心率C。一椭圆和一抛物线的离心率 D。两椭圆的离心率 6.（2006辽宁卷）曲线$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{6- m}=1(m<6)$与曲线$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m- 4}=1(5 圆锥曲线40道特训 1．已知双曲线122 22=-b y a x C ：的离心率为3，点)0,3(是双曲线的一个顶点． （1）求双曲线的方程； （2）经过的双曲线右焦点2F 作倾斜角为30°直线l ，直线l 与双曲线交于不同的B A ,两点,求AB 的长． 2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1 2 ，过椭圆右 焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 斜率为0时，7AB CD +=． （1）求椭圆的方程； （2）求AB CD +的取值范围． 3．已知椭圆C ：2222+1(0)x y a b a b =>>的一个焦点为(1,0)F ，离心率为2 2．设P 是椭圆 C 长轴上的一个动点，过点P 且斜率为1的直线l 交椭圆于A ，B 两点. （1）求椭圆C 的方程； （2）求2 2 ||||PA PB +的最大值. 4．已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，短轴的一个端点B 到F 的距离 等于焦距. （1）求椭圆C 的方程； （2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，是否存在直线l ，使得△BFM 与△BFN 的面积比值为2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 5．已知椭圆C ：22 22x y a b +＝1(a ＞b ＞0)过点P(－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c 2b ．过 点P 作两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N ． （1）求椭圆C 的方程； （2）若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积； 圆锥曲线 一、填空题 1、对于曲线C ∶1 42 2-+-k y k x =1，给出下面四个命题： ①由线C 不可能表示椭圆； ②当1＜k ＜4时，曲线C 表示椭圆； ③若曲线C 表示双曲线，则k ＜1或k ＞4; ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜ 2 5 其中所有正确命题的序号为_____________. 2、已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上，且满足021=⋅PF PF ，2tan 21=∠F PF ，则该椭圆的离心率为 3.若0>m ，点⎪⎭ ⎫ ⎝⎛25,m P 在双曲线15422=-y x 上，则点P 到该双曲线左焦点的距离为 . 4、已知圆22:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ． 5、已知点P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是（4，a ）， 则当||a >4时，||||PA PM +的最小值是 ． 6. 在ABC 中,7,cos 18AB BC B ==- ．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ． 7.已知ABC ∆的顶点B ()-3,0、C ()3,0，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，AB 和AC 边上 的中线交于G ，且5|GF |+|GE |=，则点G 的轨迹方程为 8.离心率35= e ，一条准线为x ＝3的椭圆的标准方程是 . 9.抛物线)0(42<=a ax y 的焦点坐标是_____________; 10将抛物线)0()3(42≠-=+a y a x 按向量v =（4，－3）平移后所得抛物线的焦点坐标为 . 11、抛物线)0(12<= m x m y 的焦点坐标是 . 圆锥曲线大题专题训练 1•如图，曲线G的方程为y2 3 4=2x(y > 0) •以原 点为圆心•以t(t .0)为半径的圆分别 与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B .直 线AB与x轴相交于点C . (I)求点A的横坐标a与点C的横坐标 c的关系式 (U)设曲线G上点D的横坐标为a 2 , 求证： 直线CD的斜率为定值. 1. 解：(I)由题意知，A(a,、、2a). 因为OA =t，所以a2 +2a =t2.由于t >0 , 由点 x B(0, t), C(c,0)的坐标知，直线BC的方程为 -+^=1 . c t 又因点A在直线BC上，故有a•土=1，将(1) 代入上式，得？ ・=2a / , c t c Ja(a + 2) 解得c = a • 22”2). (U)因为D(a 2, 2(a 2))，所以直线CD的斜率为 _、2"2) _ 2(a 2) ______ =2(a k 2) = CD a+2_c a +2_(a +2 + J2(a + 2)) -J2(a +2) 所以直线CD的斜率为定值. 2. 设F是抛物线G :x2 =4y的焦点. (I)过点P(0,- 4)作抛物线G的切线，求切线方 程； (II )设A, B为抛物线G上异于原点的两点，且 满足F^LFB =0，延长AF , BF分别交抛物线G 于点C, D，求四边形ABCD面积的最小值. 2 所以-4 =, x0 =16 , x°=4 .所求切线方程 为y = 2x-4 . 4 2.解：(I )设切点Q冷,皿.由丫」，知抛物线在 Q点处的切线斜率为 $，故所求切线 I 4 丿 2 2 2 2 方程为y='(x「X。).即y = . 因为点P(0, - ■)在切线上. 4 2 2 4 (II )设A%,y i), C(X2, y2). 圆锥曲线大题专题训练 1．如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心．以(0)t t >为半径的圆分别 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ． （Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式 （Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a +， 求证：直线CD 的斜率为定值． 1.解： （Ⅰ）由题意知，(A a ． 因为OA t =，所以2 2 2a a t +=．由于0t > 由点(0)(0)B t C c ，，，的坐标知，直线BC 的方程为 1c t +=． 又因点A 在直线BC 上，故有 1a c +=，将（1）代入上式，得1a c =， 解得2c a =+ （Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为 1CD k = ===-． 所以直线CD 的斜率为定值． 2．设F 是抛物线2 :4G x y =的焦点． （I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =u u u r u u u r g ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求 四边形ABCD 面积的最小值． 2.解：（I ）设切点2 004x Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为 2000()42x x y x x -=-． 即2 04 24x x y x =-． 因为点(0)P -4，在切线上． 所以2 044 x -=-，2 016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-． （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，． 由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >． 专题4.5 圆锥曲线 1．已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>过点M （2，3），点A 为其左顶点，且AM 的斜率 为 1 2 ， （1）求C 的方程； （2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值． 【试题来源】2020年新高考全国卷Ⅱ（海南卷） 【答案】（1）22 11612 x y +=； （2）18． 【解析】（1）由题意可知直线AM 的方程为1 3(2)2 y x -=-，即24-=-x y ． 当y =0时，解得4x =-，所以a =4， 椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>过点M (2，3)，可得 249116b +=， 解得b 2 =12．所以C 的方程：22 11612 x y +=． （2）设与直线AM 平行的直线方程为2x y m -=， 如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值． 联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612 x y +=， 可得()2 2 32448m y y ++=，化简可得2216123480y my m ++-=， 所以() 22 1444163480m m ∆=-⨯-=，即m 2=64，解得m =±8， 与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=，直线AM 方程为24-=-x y ， 点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离， 利用平行线之间的距离公式可得 d = =， 由两点之间距离公式可得||AM ==． 所以△AMN 的面积的最大值： 1182⨯=． 【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 2．已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =， 其中O 为原点． （1）求椭圆的方程； （2）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程． 【试题来源】2020年天津市高考数学试卷 【答案】（1）22 1 189 x y +=；（2）132y x =-，或3y x =-． 【分析】（1）根据题意，并借助222a b c =+，即可求出椭圆的方程；（2）利用直线与圆相切，得到CP AB ⊥，设出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，求出B 点坐标，进而求出 P 点坐标，再根据CP AB ⊥，求出直线AB 的斜率，从而得解．完整版)圆锥曲线综合练习题(有答案)
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