第一讲：数学的起源与发展

一、数学史研究什么？为什么要学习数学史？

数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会、经济和一般文化的联系。对于深刻认识作为科学的数学本身，及全面了解整个人类文明的发展都具有重要的意义。

庞加莱（法，1854－1912 年）语录：如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。

萨顿（比——美，1884-1956 年）：学习数学史倒不一定产生更出色的数学家，但它产生更温雅的数学家，学习数学史能丰富他们的思想，抚慰他们的心灵，并且培植他们高雅的质量。

二、关于数学的论述

培根说：数学是思维的体操

恩格斯说：“要辩证而又唯物地了解自然，就必须掌握数学。”

英国著名哲学家培根说：“数学是打开科学大门的钥匙。”

著名数学家霍格说：“如果一个学生要成为完全合格的、多方面武装的科学家，他在其发展初期就必定来到一扇大门并且通过这扇门。在这扇大门上用每一种人类语言刻着同样一句话：‘这里使用数学语言。'”

数学是一门逻辑性很强的基础科学，人们通过运用数学推导出了种种概念、原理与规律指导日常生活。有人把数学对于人类的意义比作生活中不能缺少盐。

数学是盐，所以，离开了数学，人们的生活将寸步难行。

数学是盐，所以，它将自己融化在生活的水里，让人们很难一眼看出它的存在，但是细细品味和体会，数学又是无处不在的，它对于生活的各个方面都有潜在的影响，当然，这种影响是用思维来实现的。

数学有一个美誉叫做“思维体操” ，多做一些“枯燥”的数学题, 能够提高人的逻辑思维能力。

康托尔说：“数学的本质在于它的自由。”数学是一门艺术，是一种生活工具，是一门让我们的头脑变得更灵敏的科学。

数学史的分期：

（1）数学的起源与早期发展（公元前6 世纪）；

（2）初等数学时期（公元前6 世纪－16世纪）；

（3）近代数学时期（17世纪－18 世纪）；

（4）现代数学时期（1820 年至今）。

二、教学工作安排

授课形式：讲解与自学相结合，分13 讲。第一讲：数学的起源与早期发展；第二讲：古代希腊数学；第三讲：中世纪的东西方数学

I ；第四讲：中世纪的东西方数学II ；第五讲：文艺复兴时期的

数学；第六讲：牛顿时代：解析几何与微积分的创立；第七讲：

18世纪的数学：分析时代；第八讲：19 世纪的代数；第九讲：

19世纪的几何与分析I；第十讲：19世纪的几何与分析II；第

十一讲：20 世纪数学概观I；第十二讲：20 世纪数学概观

II；第十三讲：20世纪数学概观III ；选讲：数学论文写作初

步。

作业：每一讲写600 字左右的读书笔记，30%记入学期总成绩。考查：每位同学选取一名数学家，以这数学家为主题写一篇数学史讲稿（约2000字），并把讲稿内容制作成PowerPoint文档（约15 分钟，5－8 张文档），70%记入学期总成绩。

要求：讲稿用A4纸单面打印，连同PowerPoint文档于2008年6月18日（第

17 周星期三）上交

第一讲数学的起源与早期发展

【主要内容】数与形概念的产生、河谷文明与早期数学、西汉以前的中国数学。

第一节数与形概念的产生从原始的“数”到抽象的“数”概念的形成，是一个缓慢、渐进的过程。人从生产活动中认识到了具体的数，导致了记数法。“屈指可数”表明人类记数最原始、最方便的工具是手指。

如，手指计数（伊朗，1966），结绳计数（秘鲁，1972）（美国自然史博物馆藏有古代南美印加部落用来记事的绳结，当时人称之为基普），文字5000 年（伊拉克，2001）（楔形数字），西安半坡遗址出土的陶器残片。

早期几种记数系统，如古埃及、古巴比伦、中国甲骨文、古希腊、古印

度、玛雅（玛雅文明诞生于热带丛林之中，玛雅是一个地区、一支民族和一

种文明，

分布在今墨西哥的尤卡坦半岛、危地马拉、伯利兹、洪都拉斯和萨尔瓦多西部）

世界上不同年代出现了五花八门的进位制和眼花缭乱的记数符号体系，

足以证明数学起源的多元性和数学符号的多样性。

第二节河谷文明与早期数学

一、河谷文明

历史学家常把兴起于埃及、美索不达米亚、中国和印度等地域的古代文明称为河谷文明。早期数学就是在尼罗河、底格里斯河与幼发拉底河、黄河与长江、印度河与恒河等河谷地带首先发展起来的。

1．古代埃及的数学古埃及是世界上文化发达最早的几个地区之一，位于尼罗河两岸，公元前3200 年左右，形成一个统一的国家。尼罗河是埃及人生命的源泉，他们靠耕种河水泛滥后淤土覆盖的田地谋生。尼罗河定期泛滥，淹没全部谷地，水退后，要重新丈量居民的耕地面积。由于这种需要，多年积累起来的测地知识便逐渐发展成为几何学。由于他们也得准备好应付洪水的危害，因此就得预报洪水到来的日期。这就需要计算。

埃及人还把他们的天文知识和几何知识结合起来用于建造他们的神庙，使一年里某几天的阳光能以特定方式照射到庙宇里。公元前2900 年以后，埃及人建造了许多金字塔，作为法老的坟墓。从金字塔的结构，可知当时埃及人已懂得不少天文和几何的知识。例如基底直角的误差与底面正方形两边同正北的偏差都非常小。

埃及文明上溯到距今6000 年左右，从公元前3500 年左右开始出现一些小国家，公元前3000 年左右开始出现初步统一的国家。

古代埃及可以分为5 个大的历史时期：早期王国时期（公元前3100－前2688 年）、古王国时期（前2686－前2181年）、中王国时期（前2040－前1768 年）、新王国时期（前1567－前1086年）、后期王国时期（前1085－前332 年）。

（1）古王国时期：前2686－前2181 年。埃及进入统一时代，开始建

造金字塔，是第一个繁荣而伟大的时代。

（2）新王国时期：前1567－前1086 年。埃及进入极盛时期，建立了地跨亚非两洲的大帝国。

直到公元前332 年亚历山大大帝征服埃及为止

埃及人创造了连续3000 多年的辉煌历史，建立了国家，有了相当发达的农业和手工业，发明了铜器、创造了文字、掌握了较高的天文学和几何学知识，建造了巍峨宏伟的神庙和金字塔。

吉萨金字塔（公元前2600年）（刚果，1978），它显示了埃及人极其精确的测量能力，其中它的边长和高度的比例约为圆周率的一半。

古埃及最重要的传世数学文献：纸草书，来自现实生活的数学问题集。

莱茵德纸草书（1858年为苏格兰收藏家莱茵德购得，现藏伦敦大英博物馆，主体部分由84 个数学问题组成，其中还有历史上第一个尝试“化圆为化”的公式）。

莫斯科纸草书（1893 年由俄国贵族戈列尼雪夫购得，现藏莫斯科普希金精细艺术博物馆，包含了25 个数学问题）。

埃及纸草书（民主德国，1981）。

数学贡献：记数制，基本的算术运算，分数运算，一次方程，正方形、矩形、等腰梯形等图形的面积公式，近似的圆面积，锥体体积等。

公元前4世纪希腊人征服埃及以后，这一古老的数学完全被蒸蒸日上的希腊数学所取代。

2．古代巴比伦的数学

古巴比伦是世界最早的文明——美索不达米亚（Mesopotamia，希腊语的意思是两河之间的土地。）文明（又称两河文明）发源于底格里斯河（Tigris）和幼发拉底河（Euphrates）之间的流域——苏美尔（Sumer）地区（中下游地区），这个地区没有天然险阻可以抵挡入侵者，所以有着多样性的民族文化。美索不达亚是古巴比伦（Babylon）的所在，在今伊拉克（Iraq）共和国境内

公元前3500年进入文明,公元前4000年到公元前2250 年是两河文明的鼎盛时期，《旧约全书》称其为"希纳国"（Land of Shinar）。两河沿

岸因河水泛滥而积淀成肥沃土壤，史称"肥沃的新月地带"（南美的那个和"金三角"齐名的地区堪称"罪恶的新月地带" ）。由于两河不象尼罗河一样是定期泛滥的，所以确定时间就必须靠观测天象。住在下游的苏美人发明了太阴历，以月亮的阴晴圆缺作为计时标准，把一年划分为12 个月，共354天，并发明闰月，放置与太阳历相差的11 天。把一小时分成60分，以7 天为一星期。还会分数、加减乘除四则运算和解一元二次方程，发明了10进位法和16进位法。他们把圆分为360 度，并知道π近似于3。甚至会计算不规则多边形的面积及一些锥体的体积。

两河流域（美索不达米亚）文明上溯到距今6000年之前，几乎和埃及人同时发明了文字“楔形文字” 。

（1）古巴比伦王国：公元前1894－前729 年。汉穆拉比（在位前1792－前1750）统一了两河流域，建成了一个强盛的中央集权帝国，颁布了著名的《汉穆拉比法典》。

（2）亚述帝国：前8 世纪－前612年，建都尼尼微（今伊拉克的摩苏尔市）。

（3）新巴比伦王国：前612－前538 年。尼布甲尼撒二世（在位前604－前

562 年）统治时期达到极盛，先后两次攻陷耶路撒冷，建成世界古代七大奇观之一的巴比伦“空中花园” 。世界古代七大奇观指埃及金字塔、巴比伦空中花园、阿苔密斯神殿、摩索拉斯陵墓、宙斯神像、亚历山大灯塔、罗德岛太阳神铜像，他们是分布于西亚、北非和地中海沿岸的古迹，是古代西方人眼中的全部世界，而中国的长城距他们太远了。记录者古希腊哲学家费隆·拜占廷说过：“心眼所见，永难磨灭”。

公元前6 世纪中叶，波斯国家逐渐兴起，并于公元前538 年灭亡了新巴比伦王国。

了解古代美索不达米亚文明的主要文献是泥版，迄今已有约50 万块泥版出土。苏美尔计数泥版（文达，1982）。

现在泥版文书中大约有300 多块是数学文献：以60 进制为主的楔形文记数系统，长于计算，发展程序化算法的熟练技巧（开方根），能处理三项

二次方程，有三次方程的例子，三角形、梯形的面积公式，棱柱、方锥的体积公式。

泥版楔形文，普林顿322（现在美国哥伦比亚大学图书馆，年代在公元前1600 年以前，数论意义：整勾股数）。

巴比伦泥板和彗星（不丹，1986）。

3．西汉以前的中国数学

黄河壶口瀑布（中国，2002）

《史记·夏本纪》大禹治水（公元前21 世纪）中提到“左规矩，右准绳” ，表明使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，而且知道“勾三股四弦五” 。

考古学的成就，充分说明了中国数学的起源与早期发展。

1952 年在陕西西安半坡村出土的，至今六七千年的陶器上刻画的符号中，有一些符号就是表示数字的符号。

在殷墟出土的商代甲骨文中，有一些是记录数字的文字，表明中国已经使用了完整的十进制记数，包括从一至十，以及百、千、万，最大的数字为三万。殷墟甲骨上数学（商代，公元前1400－前1100年，1983－1984 年间河南安阳出土）。

算筹（1971 年陕西千阳县西汉墓出土）是中国古代的计算工具，它的起源大约可上溯到公元前5 世纪，后来写在纸上便成为算筹记数法。至迟到春秋战国时代，又开始出现严格的十进位制筹算记数（约公元前300 年）。怎样用算筹记数呢？公元3－4 世纪成书的《孙子算经》记载说：“凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”

为了避免涂改，在唐代以后，我国又创用了一种商业大写数字，又叫会计体：壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、佰、仟、万。

中国传统数学的最大特点是建立在筹算基础之上，是中国传统数学对人类文明的特殊贡献，这与西方及阿拉伯数学是明显不同的。

我国是世界上首先发现和认识负数的国家。战国时法家李悝（约公元前455 －前395 年）曾任魏文侯相，主持变法，我国第一部比较完整的法典《法经》（现已失传）中已应用了负数，“衣五人终岁用千百不足四百五

十” ，意思是说，5个人一年开支1500钱，差450 钱。甘肃居延海附近（今甘肃省张掖市管领）发现的汉简中有“负四筭（suàn，筹码，同算），得七筭，相除得三筭”的句子。

在2002 年中国考古发现报告会上，介绍了继秦始皇陵兵马俑坑之后秦代考古的又一重大发现：湖南龙山里耶战国－秦汉时期城址及秦代简牍。2002 年7 月，考古人员在湖南龙山里耶战国－秦汉古城出土了36000 余枚秦

简，记录的是秦始皇二十六年至三十七年（即公元前221－前210 年）的秦朝历史，其中有一份完整的“九九乘法口诀表” 。在《管子》、《荀子》、《战国策》等先秦典籍中，都提到过“九九”，但实物还是首次发现，这是我国有文字记录最早的乘法口诀

4．古印度的数学

古印度在数学方面取得了辉煌的成就，在世界数学史上占有重要的地位

自哈拉巴文化时期起，古印度人用的就是十进制记数法，大约到了7 世纪以后，才有位值法记数，开始时还没有“零”的符号，只用空一格表示，直到9 世纪后半叶才有“零”的符号。这时古印度的十进位值制记数法才算完备了。这项发明是古印度人对人类进步的一大贡献。科学史还表明：古印度的十进位值制记数法有可能源自中国。

现存最早的古印度数学著作是《准绳经》，这是一部讲述祭坛修筑的书，大约成书于公元前5 世纪到公元前4世纪，书中讲到了一些几何学知识，如勾股定理，圆周率D_Dd ________________ á_ e?? _____________

D_Dd ________ áe?? ____________ 8888888888888888888888888888888888888888888 88888888888888888888888888888888888888888888888 年写戍《赞明满悉擅多》，书中对许多数学问题进行了深入的探讨。梵藏是古印度最早引进负数概念的人，他提出了负数的运算方法。他对“零”作为一个数已有一定认识，但他错误地认为零除以零等于零。梵藏提出了解一般二次方程的规则。在几何学方面，他给出了以四边形的边长求四边形面积的正确公式。他给出的圆周率为D_Dd_ 大雄继续前人的工作。他约于830 年写成《计算精华》一书，在书

中大雄认识到零乘以汪一数都等于零，但他错误地认为零除一个数仍等于这个数。一个分数除另一个分数等于把这个分数的分子、分母颠倒后与那个分数相乘。有迹象表明大雄可能已接触过中国古代的数学著作，因而受到中国古代数学的影响。

室利驮罗也是一位数学家。现存的室利驮罗的数学著作有《算法概要》一书（1020年成书）。据说他还有一部专门论述二次方程的著作。他的主要工作是研究二次方程的解法。在古印度数学发展史上作明的贡献最大，在他著的《历数全书头珠》中的《嬉有章》和《因数算法章》反映了古印度数学的最高成就。

作明正确地指出：以零除一个数为无限大。零号是印度人的卓越发明，没有零号，就没有完整的位值创记数法，这种记数法能用简单的几个数码表示一切的数，尽管世界上也有不少民族懂得零的道理，然而系统地研究、处理和介绍零，还是以印度人的功劳最大。作明在研究二次方程求解问题时指出：一个数的平方根有两个数，一正一负，需依题意选取适当的根。他明确地指出：负数的平方根没有意义。他还给出了求不定方程整数解的方法。在几何学方面，他给出的圆周串是88888888888888888888888888888 七世纪中叶，巴格达的印度天文学家，开始将古印度的天文学和数学书籍译成阿拉伯文，从而也把印度的数码介绍到中亚细亚。12 世纪初，欧洲人开始将大量的阿拉伯文数学著作译成拉丁文。意大利人斐波那契用拉丁文将印度—阿拉伯数码和记数法介绍给欧洲人。阿拉伯数码虽早在13—14 世纪就传人中国，但直到20 世纪初，中国数学与世界数学合流后，国际通用的印度一阿拉伯数码才被中国采用。

最后给一首数字诗，取自宋朝理学家邵康节（公元1011－1077 年，中国占卜界的主要代表人物）写的一首诗，描绘像花园一样美丽的地方，一幅朴实自然的乡村风俗画，宛如一副淡雅的水墨画：

一去二三里，烟村四五家。

亭台六七座，八九十枝花。

思考题

1、您对《数学史》课程的期望。

2、谈谈您的理解：数学是什么?

3、数学崇拜与数学忌讳。

4、从数学的起源简述人类活动对文化发展的贡献。

5、数的概念的发展给我们的启示。

6、探讨古代埃及和古代巴比伦的数学知识在现实生活中的意义

数学的起源与早期发展

第一讲数学的起源与早期发展 主要内容：数与形概念的产生、河谷文明与早期数学、西汉以前的中国数学。 1、数与形概念的产生 从原始的“数”到抽象的“数”概念的形成，是一个缓慢、渐进的过程。原始社会末期，人们对数的概念比较模糊，因而在进行物物交换时显得很不方便，“数”概念的形成就显得非常迫切。也就是说，人从社会生产活动中认识到了具体的数，导致了记数法。“屈指可数”表明人类记数最原始、最方便的工具是手指。 如，手指计数（伊朗，1966），结绳计数（秘鲁，1972）（美国自然史博物馆藏有古代南美印加部落用来记事的绳结，当时人称之为基普），文字5000年（伊拉克，2001）（楔形数字），西安半坡遗址出土的陶器残片。 早期几种记数系统，如古埃及、古巴比伦、中国甲骨文、古希腊、古印度、玛雅（玛雅文明诞生于热带丛林之中，玛雅是一个地区、一支民族和一种文明，分布在今墨西哥的尤卡坦半岛、危地马拉、伯利兹、洪都拉斯和萨尔瓦多西部）等。 世界上不同年代出现了五花八门的进位制和眼花缭乱的记数符号体系，足以证明数学起源的多元性和数学符号的多样性。 2、河谷文明与早期数学 2.1 古代埃及的数学 背景：古代埃及简况 埃及文明上溯到距今6000年左右，从公元前3500年左右开始出现一些小国家，公元前3000年左右开始出现初步统一的国家。 古代埃及可以分为5个大的历史时期：早期王国时期（公元前3100－前2688年）、古王国时期（前2686－前2181年）、中王国时期（前2040－前1768年）、新王国时期（前1567－前1086年）、后期王国时期（前1085－前332年）。 （1）古王国时期：前2686－前2181年。埃及进入统一时代，开始建造金字塔，是第一个繁荣而伟大的时代。 （2）新王国时期：前1567－前1086年。埃及进入极盛时期，建立了地跨亚非两洲的大帝国。

第一章 数学起源与早期发展

为什么选《数学史》？有几种原因： (1)听故事 (2)找思想 (3)解疑问 (4)补遗憾 (5)猎奇 (6)无奈（为学分） 本课程或多或少能满足以上需求． 对多数人而言，数学恐怕是花力气最多而收效甚少的一门学科。原因固然是多方面的，但僵化呆板的教科书和多年来因急功近利而形成的应试教育无疑是罪魁祸首。将定义、定理、推论一古脑地堆砌在一起是国内数学教科书一成不变的模式，似乎只有这样才能体现数学的严谨。数学家的智慧之光不见了，我们看到的只是些既不知出自谁手，又不知有何用途的空洞理论。同学们对数学的那种与生俱来的好奇心也不见了，我们看到的只是些在那无边的题海中苦苦挣扎的身影。不少同学视数学为畏途已是不争的事实，这为我们的教育工作者敲响了警钟。如何使同学们对数学有兴趣呢？捷径只有一条，那就是要让同学们了解数学的历史。 俗话说：内行看门道，外行看热闹。你可能因抽象的符号或概念而一时感到困惑，但这不能成为你拒绝这门课的理由，因为这对我们来说或许不是最重要的，重要的是历代数学家的工作和生活能给我们以什么样的启示。你或许为数学家们为克服困难而表现出的睿智而惊讶，或许为他们身处逆境但仍对事业孜孜以求的精神而感动，或许为他们因触犯传统势力而受到不公正的待遇而愤怒，或许为他们正值事业顶峰时英年早逝而唏嘘。不管你出于什么目的来到了这个课堂，相信在听完这门课之后都会重新认识数学、感悟数学。到那时，你可能会对没有选这门课的同学说：你该去听听《数学史》，那课听起来还有点儿意思。

第一章数学起源与早期发展 1.1数与形概念的形成 数的概念和计数远在有文字记载以前就发展起来了，因而对其发展方式大都只能揣测，想象它大概会是怎么发生的并不困难。我们有相当的理由说，人类在最原始的时代就有了数的意识，至少在为数不多的一些东西中增加或取出几个时，能够辨认其多寡。因为研究表明，有些动物也具有这种意识。随着社会的逐步进化，简单的计算成为必不可少的了。一个部落必须知道它有多少成员、有多少敌人；一个人也感到需要知道他羊群里的羊是否少了。或许最早的计数方法是使用简单的算筹以一一对应的原则来进行的。例如，当数羊的只数时，每有一只羊就扳一个手指头。数的概念的形成大概与火的使用一样古老，大约是在30万年以前，它对于人类文明的意义绝不亚于火的使用。 当对数的认识越来越明确时，人们感到有必要以某种方式来表达事物的这一属性，于是就导致了记数，而记数是伴随着计数的发展而发展的。最早可能是手指计数，以至手上的五个手指头可以被现成地用来表示五个以内事物的集合。两只手上的指头和在一起，可以用来表示不超过10个元素的集合。正如亚里士多得早就指出的那样，今天十进制的广泛采用，只不过是我们绝大多数人生来具有10个手指这样一个解剖学事实的结果。 当指头不够用时，就出现了石子记数等，以便表示同更多的集合元素的对应。但记数的石子堆很难长久保存信息，于是又有结绳记数和刻痕记数。中国古代文献《周易?系辞下》有“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”之说。“结绳而治”，即结绳记事或结绳记数，“书契”就是刻划符号。 结绳方法不仅在中国而且在世界其他许多地方都曾使用过，有些结绳 实物甚至保存下来。如美国自然史博物馆就藏有古代南美印加部落用来记 事的绳结，当事人称之为基普（quipu）：在一根较粗的绳上拴系有颜色的 细绳，再在细绳上打各种各样的结，不同的颜色和结的位置、形状表示不 同的事物或数目。右图是一个基普的实物照。这种记事方法在秘鲁高原一 直盛行到19世纪，而世界上有些地方如日本的琉球岛居民至今还保持着结绳记事的传统。 迄今发现的人类刻痕记数的最早证据，是1937年在捷克的摩拉维亚(Moravia)出土的一块幼狼胫骨，如图， 其上有55道刻痕。这块狼骨的年代，据考大约在3万年前。又经历了数万年的发展，直到距今大约五千多年前，终于出现了书写记数以及相应的记数系统。以下按时代顺序列举世界

数学的发展历史

七年级九班 李蕙茹 一、探究背景： 研究数学发展历史的学科，是数学的一个分支，也是自然科学史研究下属的一个重要分支。和所有的自然科学史一样，数学史也是自然科学和历史科学之间的交叉学科。数学史研究所使用的方法主要是历史科学的方法，在这一点上，它与通常的数学研究方法不同。它研究的对象是数学发展的历史，因此它与通常历史科学研究的对象又不相同，所以，我们既可以在数学中学到历史，又可以在历史中学到数学。数学是研究现实世界的图形和数量关系的科学，包括代数、几何、三角、微积分等。它来源于生产，服务于生活，并不是空中楼阁，而是人类智慧的结晶。 二、目的意义： 对数学产生兴趣，轻松学好数学。通过查找名人趣事、数学常识等资料，对数学的功用问题有一个正确的认识，从而让我们对数学产生兴趣，提高数学成绩，开发我们的脑力，使自己不断提高能力，从而达到事倍功半的效果。 三、探究方法： 1、历史研究法，又叫历史考证法。数学自东汉以来的《九章算术》到现代的《微积分》，上上下下经历了几千年的时间，与现代数学联系起来，对数学历史的考证有巨大的作用。 2，自主探究法。所谓自主探究，就是通过各种途径找到对自己有用

的资料，进行整理，这是一种比较常见的方法。 四、探究结果： （一）数学的起源与早期发展 据《易?系辞》记载：「上古结绳而治，后世圣人易之以书契」。在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有13个独立符号，记数用合文书写，其中有十进制制的记数法，出现最大的数字为三万。 算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。算筹的产生年代已不可考，但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。 用算筹记数，有纵、横两种方式： 表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间〔法则是：一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当〕，并以空位表示零。算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。 筹算直到十五世纪元朝末年才逐渐为珠算所取代，中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。 在几何学方面《史记?夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现「勾三股四弦五」这个勾股定理〔西方称勾股定理〕的特例。战国时期，齐国人着的《考工记》汇总了当时手工业技术的规范，包含了一些测量的内容，并涉及到一些几何知识，例如角的概念。

中国数学的起源与早期发展

中国数学的起源与早期发展 据《易·系辞》记载：「上古结绳而治，后世圣人易之以书契」．在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字．从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有13个独立符号，记数用合文书写，其中有十进制制的记数法，出现最大的数字为三万．算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算．算筹的产生年代已不可考，但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍． 用算筹记数，有纵、横两种方式： 表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左到右 排列，纵横相间﹝法则是：一纵十横，百立千僵，千、十相望，并以空位表示零．算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件． 筹算直到十五世纪元朝末年才逐渐为珠算所取代，中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的． 在几何学方面《史记·夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现「勾三股四弦五」这个勾股定理（西方称勾股定理）的特例．战国时期，齐国人着的《考工记》汇总了当时手工业技术的规范，包含了一些测量的内容，并涉及到一些几何知识，例如角的概念． 战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念．著名的有《墨经》中关于某些几何名词的定义和命题，例如：「圆，一中同长也」、「平，同高也」等等．墨家还给出有穷和无穷的定义．《庄子》记载了惠施等人的名家学说和桓团、公孙龙等辩者提出的论题，强调抽象的数学思想，例如「至大无外谓之大一，至小无内谓之小一」、「一尺之棰，日取其半，万世不竭」等．这些许多几何概念的定义、极限思想和其它数学命题是相当可贵的数学思想，但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想未能得到很好的继承和发展．

第一讲：数学的起源与发展

一、数学史研究什么？为什么要学习数学史？ 数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会、经济和一般文化的联系。对于深刻认识作为科学的数学本身，及全面了解整个人类文明的发展都具有重要的意义。 庞加莱（法，1854－1912 年）语录：如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。 萨顿（比——美，1884-1956 年）：学习数学史倒不一定产生更出色的数学家，但它产生更温雅的数学家，学习数学史能丰富他们的思想，抚慰他们的心灵，并且培植他们高雅的质量。 二、关于数学的论述 培根说：数学是思维的体操 恩格斯说：“要辩证而又唯物地了解自然，就必须掌握数学。” 英国著名哲学家培根说：“数学是打开科学大门的钥匙。” 著名数学家霍格说：“如果一个学生要成为完全合格的、多方面武装的科学家，他在其发展初期就必定来到一扇大门并且通过这扇门。在这扇大门上用每一种人类语言刻着同样一句话：‘这里使用数学语言。'” 数学是一门逻辑性很强的基础科学，人们通过运用数学推导出了种种概念、原理与规律指导日常生活。有人把数学对于人类的意义比作生活中不能缺少盐。 数学是盐，所以，离开了数学，人们的生活将寸步难行。 数学是盐，所以，它将自己融化在生活的水里，让人们很难一眼看出它的存在，但是细细品味和体会，数学又是无处不在的，它对于生活的各个方面都有潜在的影响，当然，这种影响是用思维来实现的。 数学有一个美誉叫做“思维体操” ，多做一些“枯燥”的数学题, 能够提高人的逻辑思维能力。 康托尔说：“数学的本质在于它的自由。”数学是一门艺术，是一种生活工具，是一门让我们的头脑变得更灵敏的科学。

第一讲数学的起源与发展 (2)

前言 一、数学史研究什么？为什么要学习数学史？ 数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会、经济和一般文化的联系。对于深刻认识作为科学的数学本身，及全面了解整个人类文明的发展都具有重要的意义。 庞加莱（法，1854－1912年）语录：如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。 萨顿（比——美，1884-1956年)：学习数学史倒不一定产生更出色的数学家，但它产生更温雅的数学家，学习数学史能丰富他们的思想，抚慰他们的心灵，并且培植他们高雅的质量。 二、关于数学的论述 培根说：数学是思维的体操。 恩格斯说：“要辩证而又唯物地了解自然，就必须掌握数学。” 英国著名哲学家培根说：“数学是打开科学大门的钥匙。” 著名数学家霍格说：“如果一个学生要成为完全合格的、多方面武装的科学家，他在其发展初期就必定来到一扇大门并且通过这扇门。在这扇大门上用每一种人类语言刻着同样一句话：‘这里使用数学语言。’” 数学是一门逻辑性很强的基础科学，人们通过运用数学推导出了种种概念、原理与规律指导日常生活。有人把数学对于人类的意义比作生活中不能缺少盐。 数学是盐，所以，离开了数学，人们的生活将寸步难行。 数学是盐，所以，它将自己融化在生活的水里，让人们很难一眼看出它的存在，但是细细品味和体会，数学又是无处不在的，它对于生活的各个方面都有潜在的影响，当然，这种影响是用思维来实现的。 数学有一个美誉叫做“思维体操”，多做一些“枯燥”的数学题, 能够提高人的逻辑思维能力。 康托尔说：“数学的本质在于它的自由。”数学是一门艺术，是一种生活工具，是一门让我们的头脑变得更灵敏的科学。

第一章数学的起源与早期发展

哪里有数，哪里就有美 --------普洛克拉斯（古希腊） 如果我们想要预见数学的将来,适当的途径是研究这门科学的历史和现状. --------庞加莱(法) 第1章数学的起源与早期发展 §1.1 数与形概念的产生 一、数概念的产生 最早的数量概念是“有”与“无”。 人类关于数概念认识的第一次飞跃是从“有”中分辨出“多”与“少”。 人类关于数概念认识的第二次飞跃是从多与少中分离出具体数目。这一过程大体经历了如下五个阶段： 第一阶段为“身体指代”（或“它物指代”）阶段； 第二阶段为“集合指代” 阶段； 第三阶段为“刻痕记事” 阶段； 第四阶段是语言表达阶段； 第五阶段是科学记数阶段。 科学记数法三要素：数字符号、基数、记数法则。 历史上，2、3、4、5都曾被用作原始的数基；12、16、20、60也曾被用作数基；但使用最多的还是以10为基数的记数法。 各民族记数法介绍： 公元前3500年，古埃及人创造的象形文字中就出现以10为基数的数字符号： 记数法则为加法法则（从右往左）。 古巴比伦人的楔形文字： 公元前2500年，古巴比伦人用三角形硬笔在泥板上倾斜刻字： 古巴比伦人的楔形文字中有两个基本数字符号： 巴比伦人采用混合基记数法：60以下的数采用10为基，记数法为加法法则；对大于60的数，采用60为基的位置制记数法。 古希腊人开始时学习埃及的记数方法，公元前5世纪左右创立自己的数字系统，分别用Δ 字母I H X M

表示1、10、100、1000、10000，用字母∏或( Γ) 表示5，记数采用加法法则（显然以10为基）。 受希腊记数法影响，形成的罗马记数法，采用字母表示数，且保留了五进制痕迹。它共 有七个基本数字符号： 记数方法为加减法则：相同符号并列，对应数相加；不同符号并列，左大则相加，左小则相减（右减左）。对较大的数，在字母符号上加一横线，表示该数扩大1000倍。 居住在墨西哥尤卡坦半岛的玛雅人，远古时代创造了灿烂的文化。他们的数字符号只有两个：“?”（豆子、玉米或卵石）和“—”（豆荚或枝条），分别表示1和5。采用20进位制，用加法法则（书写时自上而下）。 印度人大约在公元前三世纪创造出自己的计数符号，最迟从公元六世纪开始就已经普遍使用十进制的位置制计数法了。这是印度数学的一个重要成就。采用位置制，必须有一个表示空位的符号，大约公元三、四世纪，印度人开始用一个点表示空位，最迟到公元六世纪又改进为用一个圆圈表示。数学史界公认数字0是印度人发明的。这是印度人对世界数学的又一大贡献。印度人的十进位置制数码于公元七世纪传入中国、美索不达米亚等地，八世纪传入阿拉伯地区，后又经阿拉伯传入欧洲，一直形成今天通用的印度——阿拉伯数码。下图给出了这些数码的演变经过： 我国大约在六千年前的新石器时代就出现数字符号，到了商代（约公元前16~前11世纪）已经形成十进制数字符号系统，采用加法法则计数。到春秋战国时期（公元前770~前221年）我国出现出现了筹算数码，这种数码分为两种： 其计数方法为：“先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当”。（《孙子算经》）这表明我国是世界上最早采用十进制位置制计数法的国家。 二、形概念的产生 1510501005001000 I V X L C D M

中国的数学历史之一--中国数学的起源与早期发展

中国数学的起源与早期发展 据《易?系辞》记载：「上古结绳而治,后世圣人易之以书契」.在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字.从一到十,及百、千、万是专用的记数文字,共有13个独立符号,记数用合文书写,其中有十进制制的记数法,出现最大的数字为三万. 算筹是中国古代的计算工具,而这种计算方法称为筹算.算筹的产生年代已不可考,但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍. 用算筹记数,有纵、横两种方式： 表示一个多位数字时,采用十进位值制,各位值的数目从左到右排列,纵横相间〔法则是：一纵十横,百立千僵,千、十相望,万、百相当〕,并以空位表示零.算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件. 筹算直到十五世纪元朝末年才逐渐为珠算所取代,中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的. 在几何学方面《史记?夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具,并早已发现「勾三股四弦五」这个勾股定理〔西方称勾股定理〕的特例.战国时期,齐国人着的《考工记》汇总了当时手工业技术的规范,包含了一些测量的内容,并涉及到一些几何知识,例如角的概念. 战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展,一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念.著名的有《墨经》中关于某些几何名词的定义和命题,例如：「圆,一中同长也」、「平,同高也」等等.墨家还给出有穷和无穷的定义.《庄子》记载了惠施等人的名家学说和桓

团、公孙龙等辩者提出的论题,强调抽象的数学思想,例如「至大无外谓之大一,至小无内谓之小一」、「一尺之棰,日取其半,万世不竭」等.这些许多几何概念的定义、极限思想和其它数学命题是相当可贵的数学思想,但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想未能得到很好的继承和发展. 此外,讲述阴阳八卦,预言吉凶的《易经》已有了组合数学的萌芽,并反映出二进制的思想.

数学的起源与早期发展教案资料

数学的起源与早期发 展

数学的起源与早期发展 当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西（数字2）时，数学就诞生了。 ——伯特兰·罗素 1 数与形概念的产生 如同古代世界的许多伟人一样，数学史上的先驱人物也消失在历史的迷雾中。然而，数学每前进一步，都伴随着人类文明的一次进步。亿万年前，那些居住在岩洞里的人就有了数的概念，在为数不多的事物中间增加或取出几个同样的事物，他们能分辨出多寡（不少动物也具有这类意识）。慢慢地，人类就有了明确的数的概念：1，2，3，……正如部落的头领需要知道有多少成员，牧羊人也需要知道他拥有多少只绵羊。 在有文字记载以前，记数和简单的算术就发展起来了。打猎的人知道，把2枚箭矢和3枚箭矢放在一起就有了5枚箭矢。就像不同种族称呼家庭主要成员的声音大同小异一样，人类最初的计数方法也是相似的，最早可能是手指计数，一只手上的五个指头可以被现成地用来表示五个以内事物的集合。两只手上的指头合在一起，不超过10个元素的集合就有办法表示。例如，当数羊的只数时，每有一只羊就扳一个手指头。后来，才逐渐衍生出三种有代表性的记数方法——石子记数（有的是用小木棍）、结绳记数和刻痕记数（土坯、木头、石块或兽骨上），这样不仅可以记录较大的数字，也便于累计和保存。 在古希腊的荷马史诗《奥德赛》中有这样一则故事：当主人公奥德修斯刺瞎了独眼巨人波吕斐摩斯仅有的一只眼睛以后，那个不幸的盲老人每天都坐在自己的山洞里照料他的羊群。早晨羊儿外出吃草，每出来一只，他就从一堆石子里捡出一颗。晚上羊儿返回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗石子。当他把早晨捡起的石子全都扔光时，他就确信所有的羊儿返回了山洞。

数学的起源与早期发展

数学的起源与早期发展 当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西（数字2）时，数学就诞生了。 ――伯特兰罗素 1 数与形概念的产生 如同古代世界的许多伟人一样，数学史上的先驱人物也消失在历史的迷雾中。然而，数学每 前进一步，都伴随着人类文明的一次进步。亿万年前，那些居住在岩洞里的人就有了数的概念，在为数不多的事物中间增加或取出几个同样的事物，他们能分辨出多寡（不少动物也具有这类意识）。慢慢地，人类就有了明确的数的概念：1, 2, 3,……正如部落的头领需要知道有多少成员，牧羊人也需要知道他拥有多少只绵羊。 在有文字记载以前, 记数和简单的算术就发展起来了。打猎的人知道, 把2枚箭矢和3枚箭矢放在一起就有了5 枚箭矢。就像不同种族称呼家庭主要成员的声音大同小异一样, 人类最初的计数方法也是相似的, 最早可能是手指计数, 一只手上的五个指头可以被现成地用来表示五个以内事物的集合。两只手上的指头合在一起,不超过10 个元素的集合就有办法表示。例如,当数羊的只数时, 每有一只羊就扳一个手指头。后来, 才逐渐衍生出三种有代表性的记数方法――石子记数（有的是用小木棍）、结绳记数和刻痕记数（土坯、木头、石块或兽骨上） ,这样不仅可以记录较大的数字,也便于累计和保存。 在古希腊的荷马史诗《奥德赛》中有这样一则故事：当主人公奥德修斯刺瞎了独眼巨人波吕斐摩斯仅有的一只眼睛以后, 那个不幸的盲老人每天都坐在自己的山洞里照料他的羊群。早晨羊 儿外出吃草,每出来一只,他就从一堆石子里捡出一颗。晚上羊儿返回山洞,每进去一只,他就扔掉一颗石子。当他把早晨捡起的石子全都扔光时,他就确信所有的羊儿返回了山洞。 说来有点残酷, 一些美洲印第安人通过收集被杀者的头皮来算计他们杀敌的数目, 而一些非 洲的原始猎人通过积累野猪的牙齿来算计他们杀死野猪的数目。 当指头不敷运用时, 就出现了石子记数等, 以便表示同更多的集合元素的对应。但记数的石子堆很难长久保存信息，于是又有结绳记数和刻痕记数。我国《周易?系辞下》有“上古结绳而治,后世圣人,易之以书契”的说法。“结绳而治”即结绳记事或结绳记数, “书契”就是在物体上刻痕,以后逐渐发展成为文字。 结绳记事、记数,并不限于中国,世界各地都有,如希腊、波斯、罗马、巴勒斯坦以及伊斯兰国家都有记载或实物标本。纽约美国自然史博物馆就藏有古代南美印加部落用来记事的绳结, 在一根较粗的绳子上拴系涂有颜色的细绳, 再在细绳上打各种各样的结, 不同的颜色和结的位置、形状表示不同的事物和数目。结好的绳有一个专名叫“基普” 。日本的琉球群岛的某些小岛至今还保留这种结绳记数的古老方法。（课件展示古印加人的结绳）在物体上刻痕记数,最迟在旧石器时代的晚期已经出现。1937 年在捷克摩拉维亚的洞穴中 发现一根幼狼胫骨,长约18厘米,上有很深的人工刻痕,时间据考大约在3万年前。刻痕共55 道,分为两组,第一组25 道,第二组30 道,每一组刻痕又按五个一群排列。 后来,就产生了各种各样的语言,包括对应于大小不同的数的语言符号。再后来,又经历了数万年的发展后, 直到距今大约五千多年前, 才出现了书写记数以及相应的记数系统。早期记数系统有：①公元前3400 年左右的古埃及象形数字；②公元前2400 年左右的巴比伦楔形数字；③ 公元前1600年左右的中国甲骨文数字；④公元前 500年左右的希腊阿提卡数字；⑤公元前500年左右的中国筹算数码；⑥公元前300年左右的印度婆罗门数字⑦以及年代不详的玛雅数字。 （课件展示古埃及的象形数字。）埃及有四种文字,最古老的是象形文字。后来经过简化, 成为僧侣文，再进一步简化成通俗文字。还有一种科普特文是公元后2—3世纪时用希腊字母拼 写的埃及文字。象形数字用一根垂直棒或一竖表示1 ,一根足械或轭表示10,一卷轴或一圈绳表示100,一朵莲花表示1000。10, 000 是一个手指头,有时向左弯,有时向右弯。100, 000有好几种写法, 有时像青蛙或鱼,有时像小鸟。1, 000, 000是一个跪着的人,象征埃及管空间之神。当在一个数中出现某个数码的若干倍时, 就将它的符号重复写若干次, 这说明古埃及人的记数系

数学的起源

数学大世界 数学史话 数学的起源 相传，在非常遥远的古代，有一天，从黄河中忽然跳出一匹龙马”，马背 上驮着一幅图，图上画着许多神秘的数学符号；后来，从奔腾的洛水中又爬出一只神龟”来，龟背上驮着一卷书，书中写的是数的排列方法。 出现了河图洛书”之后，数学也就诞生了。 小朋友，这个神奇的传说有趣吗？不过，它只是个传说而已。 那么，数学是怎样产生的呢？远古时代人类以打猎、采野果为生。在狩猎中，他们发现只有人比兽多，才有可能对付那些猛兽；采果时，他们发现只有当野果堆得老高时，才有可能帮助他们度过漫长的冬天，这样的实践中，他们才逐步领悟了多”与少”的概念。 分配食物时，由于人们通常用一只手拿一件物品，这样就把』”从多”的概 念中分离出来。有了』”，人们又逐渐形成了土”的概念，这可能是因为人的双手各拿一件物品吧！那怎样表示三”呢？人们并没有三只手呀！后来人们用巧妙”的办法： 把第三件物品放在白己的脚边，这样问题不就解决了！ 从一些出土的原始社会的文物中也可以看到一些与数目有关的内容，如陶器上有两只耳朵，三只脚等。 形成』”、土”、三”这些数的概念经历了很长的时间。但那时人类还没有表示数的名称，他们表示数时，是靠手势和相应的身体动作。小朋友，你看这多不方便呀！ 怎样解决这个问题呢？请看看下节最美妙的数学发明”。 最美妙的数学发明

远古的人类用手建立了』”、二”、花”等数的概念。但是因为要用手去干别的活，不能老拿着物品记数呀，于是人们就变着法用别的物体来代替要记的事物， 绳结呀，石子呀，都成了他们记数的工具。例如，打了两只羊，结两个绳结；米两 堆野果摆两个小石子，等等。在他们打绳结，摆石子的时候，数学就发生了第一次 抽象！可以说这是最美妙的数学发明。 随着生产的发展，人们感觉到摆石子，打绳结太麻烦，就去寻找更方便的方法来记数。后来人们用刻画符号来代替结绳，如在青海发现的带有刻口的骨片。我国 的少数民族和汉族一样，在没有文字以前也都是采用结绳和刻划记数法。（云南澜 沧拉枯族白治县的拉祜族人，直到1957年还用木刻记载家禽家畜 的帐目呢！）这样就产生了最初的文字，产生了最初的数学符号。 随着生产的发展，人们创造出了愈来愈多的产品，因而需要发明更多的数字符号来记录。我国古时候的人在龟甲和兽骨上刻字，后人把它叫做甲骨文。 小朋友，从朦胧的多”和少”的概念到最初的数学符号，可不是神灵展示的奇迹，而是原始人类极其艰辛的创造性劳动的产物。为了获得这些原始的数学的概念，人类至少经历了数万年的漫长岁月！ 记数法是最美妙的数学发明，下节要讲的斗进位值制记数法和筹算”更是锦上添花！ 十进位值制记数法和簿算 我国是世界上最早发明十进位值制记数法”的国家。位值制”是千百年来人类智慧的结晶，它使人们能用少数简单的记号代替复杂难记的符号，能用少数的记号表示全部的数，为进一步研究事物的数量关系创造了有利的条件。斗进 位值制”更是精彩！它有两个特点： ①十进制。即逢十进一”，也就是说十个一记成十，十个十记成百等；② 位值制，即一个数码表示什么数要由它所处的位置来决定。比如487, 4在百位上，表示有4个百，8在十位上表示有8个十。 半进位值制记数法”是当时世界上最先进的！

2020-浅谈中国数学的起源与早期发展

浅谈中国数学的起源与早期发展 据《易系辞》记载：「上古结绳而治，后世圣人易之以书契」。在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有13个独立符号，记数用合文书写，其中有十进制制的记数法，出现最大的数字为三万。 算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。算筹的产生年代已不可考，但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。 用算筹记数，有纵、横两种方式： 表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间﹝法则是：一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当﹞，并以空位表示零。算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。 筹算直到十五世纪元朝末年才逐渐为珠算所取代，中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。 在几何学方面《史记夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现「勾三股四弦五」这个勾股定理﹝西方称勾股定理﹞的特例。战国时期，齐国人着的《考工记》汇总了当时手工业技术的规范，包含了一些测量的内容，并涉及到一些几何知识，例如角的概念。 战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和

概括出与数学有关的`许多抽象概念。著名的有《墨经》中关于某些几何名词的定义和命题，例如：「圆，一中同长也」、「平，同高也」等等。墨家还给出有穷和无穷的定义。《庄子》记载了惠施等人的名家学说和桓团、公孙龙等辩者提出的论题，强调抽象的数学思想，例如「至大无外谓之大一，至小无内谓之小一」、「一尺之棰，日取其半，万世不竭」等。这些许多几何概念的定义、极限思想和其它数学命题是相当可贵的数学思想，但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想未能得到很好的继承和发展。 此外，讲述阴阳八卦，预言吉凶的《易经》已有了组合数学的萌芽，并反映出二进制的思想。

中国数学的起源与早期发展

一、中国数学的起源与早期发展 据《易·系辞》记载：上古结绳而治，后世圣人易之以书契」。在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有13个独立符号，记数用合文书写，其中有十进制制的记数法，出现最大的数字为三万。 算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。算筹的产生年代已不可考，但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。用算筹记数，有纵、横两种方式, 表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间﹝法则是：一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当﹞，并以空位表示零。算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。筹算直到十五世纪元朝末年才逐渐为珠算所取代，中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。 在几何学方面《史记·夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现「勾三股四弦五」这个勾股定理﹝西方称勾股定理﹞的特例。战国时期，齐国人着的《考工记》汇总了当时手工业技术的规范，包含了一些测量的内容，并涉及到一些几何知识，例如角的概念。 战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。著名的有《墨经》中关于某些几何名词的定义和命题，例如：「圆，一中同长也」、「平，同高也」等等。墨家还给出有穷和无穷的定义。《庄子》记载了惠施等人的名家学说和桓团、公孙龙等辩者提出的论题，强调抽象的数学思想，例如「至大无外谓之大一，至小无内谓之小一」、「一尺之棰，日取其半，万世不竭」等。这些许多几何概念的定义、极限思想和其它数学命题是相当可贵的数学思想，但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想未能得到很好的继承和发展。 此外，讲述阴阳八卦，预言吉凶的《易经》已有了组合数学的萌芽，并反映出二进制的思想。 二、中国数学体系的形成与奠基 这一时期包括从秦汉、魏晋、南北朝，共400年间的数学发展历史。秦汉是中国古代数学体系的形成时期，为使不断丰富的数学知识系统化、理论化，数学方面的专书陆续出现。 现传中国历史最早的数学专著是1984年在湖北江陵张家山出土的成书于西汉初的汉简《算数书》，与其同时出土的一本汉简历谱所记乃吕后二年（公元前186年），所以该书的成书年代至晚是公元前186年（应该在此前）。 西汉末年﹝公元前一世纪﹞编纂的《周髀算经》，尽管是谈论盖天说宇宙论的天文学著作，但包含许多数学内容，在数学方面主要有两项成就：(1)提出勾