求最大子矩阵及两种思路

求最大子矩阵的两种思路

长沙市雅礼中学贺一骏

编者：求最大子矩阵问题是很常见的一类问题，具有很强的代表性，通过这个问题，可以派生出更加复杂的问题，也可以学到很多常用的问题处理手段。

问题描述

一个被分为 n*m个格子的月饼盒，第 i 行第 j 列位置的格子里面有 a [ i , j ]个月饼。本来CCC老师打算送这盒月饼给某人的，但是就在要送出月饼盒的前一天晚上，一只极其可恶的老鼠夜袭月饼盒，有部分格子被洗劫并且穿了洞。CCC老师必须尽快从这个月饼盒里面切割出一个矩形月饼盒，新的月饼盒不能有洞，并且CCC老师希望保留在新月饼盒内的月饼的总数尽量多。

任务：请帮CCC老师设计一个程序，计算一下新月饼盒最多能够保留多少月饼。

输入

文件的第一行有两个整数 n、m。第 i + 1 行的第 j 个数表示 a [ i , j ]，如果这个数为 0 ，则表示这个位置的格子被洗劫过。其中：1 ≤ n，m ≤ 300，0 ≤a [ i , j ]≤ 255

输出

在文件中写入最大月饼数。

样例

Sample Input

3 4

1 2 3 4

5 0

6 3

10 3 4 0

Sample Output

17

分析

该问题实际上是求在给定平面区域中找出一个最大的子矩形，要求该矩形不能包含某些限定的格子。

方法一：

我们初次见到这个问题，可能最直接的想法就是枚举。即枚举每个矩阵的左上角坐标（x1,y1）和右下角坐标(x2,y2)，然后统计这个矩阵是否满足题设条件。

我们可以先预处理从左上角（1,1）出发到任意一点（i,j）的月饼数目area(i,j)，预处理的时间复杂度为O(mn),程序如下：

For i:=1 to n do

For j:=1 to m do

Area[I,j]:=area[i-1,j]+area[i,j-1]-area[i-1,j-1]+mooncake[i,j];

其边界条件为area[0,i]=0,area[i,0]=0

Mooncake[i,j]表示(i,j)这个点的上月饼数目，如果(i,j)这个点被破坏，则设mooncake[i,j]=-30000000，那么有area[i,j]<0。

显然，对于给定的两个点A（x1,y1）、B(x2,y2)，我们可以算术方法计算该矩形的和，如下图所示：

图1 预处理计算过程图

主程序如下：

For x1:=1 to n do

For x2:=x1 to n do

For y1:=1 to m do

For y2:=y1 to m do

Begin

Sum:=area[x2,y2]-area[x1-1,y2]-area[x2,y1-1]+area[x1-1,y1-1];

If sum>0 then updateans(sum);

End;

因此算法的时间复杂度为O(m2n2)。

从上述程序中可以看出，枚举点的坐标和预处理的过程有多次重复操作，也就是说在上述算法的运算中存在着很多冗余运算，如果我们能消除这些冗余运算，将能提高程序效率。下面请看算法二。

方法2

如何减少冗余呢？我们不妨这样的思考，上面的枚举实际将所有的矩形，不管有用无用全部枚举了出来。其实，对于大部分无用的矩形是可以不需要枚举就可以排除在最优解之外的，而有用的矩形指的是那些极大化矩形。

所谓极大化的矩形就是指那些不能再通过扩展边来再次增大面积的矩形。这样的矩形之所以无法再扩展是因为它们的四条边要么靠障碍物，要么靠着边界。例如下图中A的黄色部分就是一个极大化矩形，而B不是（它的右边界还可以向右延伸到边界），因此我们可以根据这一特点来找到所有的极大化矩形。

图2 极大化矩形

为了完成寻找极大化矩形的工作，我们先来看一个这样的子问题：

问题描述：给出若干个连在一起的高塔，已知每个塔的高度，询问对于每个高塔而言向左、右延伸的距离分别是多少（所谓延伸就是指向一个方向不断的寻找，直到找到一个高度低于本身的高塔或者边界为止，如下图）。

图3 塔的示意图及相关变量定义

说明：上图中p[i]为塔的坐标，h[i]为塔的高度，l[i]为塔尖向左延伸的最远坐标位置，r[i]为塔尖向右延伸的最远坐标位置

这里，我们只考虑向右的情况。向左操作类似。

我们从右向左扫描，当求r[i]时，r[i+1..n]已求出。首先，令r[i]=i，当h[i]<=h[r[i]+1]时，就表示位置i向右最多可以延伸到位置r[r[i]+1]，更新r[i]，然后，继续比较h[i]与h[r[i]+1]的大小，不断的更新r[i]，直到h[i]>h[r[i]+1]为止。

图4、5、6演示了k=4时的操作过程。

图4 步骤1，赋初值r[4]=4

图5 步骤2，向右更新 r[4]=6

图6 步骤3，向右更新 r[4]=9

代码如下（向右延伸）：

For i:=m downto 1 do

Begin

R[i]:=I;

While (r[i]<>m)and(h[i]<=h[r[i]+1]) do r[i]:=r[r[i]+1];

End;

这样做完后r[i]里保存的就是每个位置向右扩展的最远距离了。因为每个位置最多被后面的位置合并一次，因此这个算法的时间复杂度为O(N)。

回到原问题，下面来看看如何求极大化矩形。

枚举原矩形的每一行，首先更新h[i]，这里的h[i]表示第i列从当前行往上数有多少格连续没有被损坏的格子（直到上边界为止）。显然，这里的h[i]和子问题中的h[i]相同。因此利用处理子问题的方法，求出l[i]和r[i]，接着根据l[i]和r[i]，对于当前行的每一个位置k，有长为r[k]-l[k]+1，宽为h[k]的符合题设要求的矩形，并且这个矩形就是极大化矩形，算法一中的预处理方法，可求出这个矩形中月饼数目。

下面来分析一下时间复杂度：

枚举每一行，时间复杂度为O(N)，更新h[i] 为O(M)，求l[i]和r[i]为O(M)，枚举k，为O(M)，因此，总时间复杂度为O(NM)，是一个非常优秀的算法。

思考与总结：

对于这类问题往往一开始就会有一些简单的想法，虽然实际效果并不是非常好，但是其思考方法总是可以借鉴的。像本题中就由简单的枚举出发，利用枚举矩形这个思考方式不断的优化，从而得到一个优秀的算法。

像这类问题的还有：

Zoj2069 white rectangles

Zoj1985 largest rectangle in a histogram等

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最大子矩阵问题

学习材料：王知昆《浅谈用极大化思想解决最大子矩阵问题》 【最大子矩阵问题】 在一个给定的矩形中有一些障碍点，找出内部不包含障碍点的、轮廓与整个矩形平行或重合的最大子矩形。 【定义子矩形】 有效子矩形：内部不包含障碍点的、轮廓与整个矩形平行或重合的子矩形。 极大子矩形：每条边都不能向外扩展的有效子矩形。 最大子矩形：所有有效子矩形中最大的一个（或多个）。 【极大化思想】 在一个有障碍点的矩形中最大子矩形一定是极大子矩形。 设计算法的思路：枚举所有的极大子矩形，找到最大子矩形。 设NM分别为整个矩形的长和宽，S为内部的障碍点数。 【算法1】 时间复杂度：O（S^2）空间复杂度：O（S） 由于极大子矩形的每一条边都不能向外扩展，那么极大子矩阵的每条边要么覆盖了障碍点，要么与整个矩形的边界重合 基本算法：枚举上下左右四个边界，然后判断组成的矩形是否是有效子矩形。 复杂度：O（S^5）可以改进的地方：产生了大量的无效子矩形。 初步改进的算法：枚举左右边界，然后对处在边界内的点排序，每两个相邻的点和左右边界组成一个矩形。 复杂度：O（S^3）可以改进的地方：枚举了部分不是极大子矩形的情况。 综上，设计算法的方向： 1、保证每一个枚举的矩形都是有效的。 2、保证每一个枚举的矩形都是极大的。 算法的过程： 枚举极大子矩形的左边界——>根据确定的左边界，找出相关的极大子矩形——>检查和处理遗漏的情况 (1)按照横坐标从小到大的顺序将所有的点编号为1，2，3... (2)首先选取1号点作为要枚举的极大子矩形的左边界，设定上下边界为矩形的上下边界

(3)从左到右扫描，第一次到2号点，确定一个极大子矩形，修改上下边界；第二次找到3号点，以此类推。 (4)将左边界移动到2号点，3号点，，，以同样的方法枚举 遗漏的情况： 1、矩形的左边界与整个矩形的左边界重合。解决方法：用类似的方法从左到右扫一遍 2、矩形的左边界与整个矩形的左边界重合，且矩形的右边界与整个矩形的右边界重合。解决方法：预处理时增加特殊判断。 优点：利用的极大化思想，复杂度可以接受，编程实现简单。 缺点：使用有一定的局限性，不适合障碍点较密集的情况。 【算法2】 时间复杂度O(NM) 空间复杂度O(NM) 定义 有效竖线：除了两个端点外，不覆盖任何一个障碍点的竖直线段。 悬线：上端覆盖了一个障碍点或者到达整个矩形上边界的有效线段。 每个悬线都与它底部的点一一对应，矩形中的每一个点（矩形顶部的点除外）都对应了一个悬线。 悬线的个数=(N-1)*M； 如果把一个极大子矩形按照横坐标的不同切割成多个与y轴平行的线段，那么其中至少有一个悬线。 如果把一个悬线向左右两个方向尽可能的移动，那么就得到了一个矩形，我们称它为悬线对应的矩形。 悬线对应的矩形不一定是极大子矩形，因为下边界可能还可以向下扩展。 设计算法： 原理：所有悬线对应矩形的集合一定包含了极大子矩形的集合。 通过枚举所有的悬线，找出所有的极大子矩形。 算法规模： 悬线个数＝(N－1)×M 极大子矩形个数≤悬线个数 具体方法： 设H[i,j]为点(i,j)对应的悬线的长度。

现代控制理论矩阵的复习

矩阵的复习(现代控制理论用) (线性代数的复习) 一． 矩阵 矩阵定义为矩形阵列表，它的元素可能是实数、复数、函数或算子，表中每一个元素表示一定的数学概念或工程信息，则此矩形表整体称为矩阵。 ?? ??? ?? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 ??? ? ?? ? ??=jk j k k b b b b b b B 1221111 其中A 具有n 行与m 列，ij a 表示矩阵A 的第i 行，第j 列元素。 矩阵B 为第j 行，k 列，即=A （ij a ），=B （jk b ） 当n=m 时称为方阵，可表示为 ?? ?? ? ? ? ??=?nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 2222111211 ＝det(A) 称为方阵A 的n 阶行列式。 1． 子式或子行列式 给定n 阶行列式及其任一元素jk a ，划去△的j 行第k 列的全部元素而得到一个（n-1）阶行列式，称为原行列式的一个子行列式，简称子式，以jk ?表示。 即:33 32 31 2322 21 131211 a a a a a a a a a =? 划掉23a 的子行列式 32 3112 1123a a a a = ? 23?=?jk j=2 k=3 23a a jk = n 阶行列式则有n 行n 列共2n 个子式。 2． 余因子或代数余子式 如果用() k j +-1去乘jk a 的子式jk ?得到的结果称为jk a 的余因子或代数余子式。 () 3 2231+-=A - =?2332 3112 11a a a a 一般为() jk k j jk A ?-=+1 ，其余类推。

最大子矩阵问题总结

Largest Rectangle in a Histogram Time Limit : 2000/1000ms (Java/Other) Memory Limit : 65536/32768K (Java/Other) Total Submission(s) : 53 Accepted Submission(s) : 8 Problem Description A histogram is a polygon composed of a sequence of rectangles aligned at a common base line. The rectangles have equal widths but may have different heights. For example, the figure on the left shows the histogram that consists of rectangles with the heights 2, 1, 4, 5, 1, 3, 3, measured in units where 1 is the width of the rectangles: Usually, histograms are used to represent discrete distributions, e.g., the frequencies of characters in texts. Note that the order of the rectangles, i.e., their heights, is important. Calculate the area of the largest rectangle in a histogram that is aligned at the common base line, too. The figure on the right shows the largest aligned rectangle for the depicted histogram. Input The input contains several test cases. Each test case describes a histogram and starts with an integer n, denoting the number of rectangles it is composed of. You may assume that 1 <= n <= 100000. Then follow n integers h1, ..., hn, where 0 <= hi <= 1000000000. These numbers denote the heights of the rectangles of the histogram in left-to-right order. The width of each rectangle is 1. A zero follows the input for the last test case. Output For each test case output on a single line the area of the largest rectangle in the specified histogram. Remember that this rectangle must be aligned at the common base line. Sample Input 7 2 1 4 5 1 3 3 4 1000 1000 1000 1000

矩阵文档

成都信息工程学院 课程设计 题目：魔方矩阵 作者姓名： 班级： 学号： 指导教师： 日期：年月日 作者签名

摘要 我的实践题目是对C语言程序设计——魔方矩阵，主要的要求：采用菜单形式，至少包含输入矩阵、保存矩阵、载入矩阵、退出；输入整数N，输出N*N 的二阶矩阵；每一行，每一列以及两条对角线之和相等；程序中应能判断N的合法性及合理性； N最大值不得小于20；并指定行的排序，排序方法不限，排序后且能按排序后的结果保存到文件中，并且能够下一次载入；每次输出一个矩阵，同时在下面输出素数、水仙花数。此次的系统我还添加了一个注册模块。 本实践能够充分的考核我们对C语言的熟悉度以及实践能力，对我们更多学习与了解C语言有极大的帮助，因此这次实践是十分有必要的。 我的设计内容就是利用if条件语句、for循环语句以及条件判断语句等函数及指针的合理使用，通过不断的运行，调试，输出，对本程序进行合理的解决，对魔方矩阵，文件，素数，水仙花数的算法进一步的了解掌握。 关键字：C语言for循环if条件魔方矩阵素数水仙花数

目录 1引言 (3) 1.1课题背景 (3) 1.2本课题的主要工作 (4) 2魔方矩阵系统需求分析及开发工具 (4) 2.1系统应具备的基本功能 (4) 2.2开发环境及工具 (5) 2.2.1 运行环境 (5) 2.2.2 c语言简介 (5) 2.2.3 for循环语句介绍 (5) 2.2.4 if条件语句介绍 (6) 3系统总体结构设计 (6) 3.1 基本简介 (6) 3.2 算法设计 (6) 3.3 系统功能模块设计简介 (9) 3.3.1 魔方矩阵模块 (9) 3.3.2文件的读与写 (15) 4系统测试与分析 (17) 4.1 测试 (17) 4.2 测试过程中遇到的问题 (17) 5 结论 (18) 6参考文献 (18)

最大子序列和的总结

最大子序列和 第一种情况：可以一个不取 【问题描述】：最大子序列和也叫数列的连续最大和，顾名思义，就是在一个长度为n的数列{An}中，求i，j（1<=i<=j<=n），使得数列{An}中，第i个元素到第j个元素之间，所有元素的和最大。例如：-2, 11, -4, 13, -5, -2时答案为20（11 -4 13） 解法一穷举法：以前我想出了一种算法，具体做法是：取出所给序列的所有子序列求和,共分n组，第一组长度为1，有n个；第二组长度为2, 有n-1个；……，最后一组，长度为n,只有一个。比较这n(n＋1)/2个序列的和，再将每组的最大值比较，从而得到最大值以及其上下标。 a1 a2 a n-1 a n a1+a2 a2+a3 a n-1+a n a1+a2+a3 a2+a3+a4 ...... ...... ...... a1+a2......+a n-1 a2+a3......+a n a1+a2......+a n-1 +a n 此算法比较直接，也容易写出代码，但其时间开销为O(n2)，空间开销为O(n)，效率不高。 解法二：动态规划求解， 1 2 F[i]：表示以元素i结尾的连续最大子序列的和 那么对于第i个元素来说，要形成连续的最大子序列，只和相邻的前一个元素有关。因为可以不取，所以如果元素a[i]连接到以元素i-1结尾的最大连续子序列f[i-1]后是负数（f[i-1]+a[i]<0）;则宁可不取，这样最大连续子序列和为0。 动态方程： f[i]:=max{0,f[I-1]+a[i]} (边界条件：f[0]=0;) 3、代码1： for I:=1 to n do if (f[I-1]+a[i])>0 then f[i]:=f[I-1]+a[i] else f[i]:=0; max:=-maxlongint; for i:=1 to n do if f[i]>max then max:=f[i];

第二部分 矩阵的运算符号(1)

2章Matlab及其应用2.1 MATLAB的基本矩阵运算2.2 MATLAB的变量 2.3 关系和逻辑运算 2.4 矩阵操作

2.1、MATLAB的基本矩阵运算2.1.1 简单矩阵输入 1、命令行简单键盘输入 用于很少数据输入 矩阵的方向：, ; NaN Inf 2、文件形式输入 文本文件：从文本文件中读 入数据 mat文件：matlab自有的数 据格式>> B=[1 2 3; 4 5 6] B = 1 2 3 4 5 6

2.1.2 语句生成矩阵 1、线性等间距格式矩阵 （1）X=起始值：增加值：结束值 （2）linspace命令 a=linspace(1,10,5); （3）logspace命令 b=logspace(0,2,10) 2、矩阵连接 c=[a b]; 生成矩阵的函数zeros ones eye randn

2.1.3 矩阵运算1、矩阵的运算符 ＋：加法 －：減法 *：乘法；点乘：.* /：右除；右除：./ \：左除；左除：.\ ^：乘方 2、矩阵的转置等运算 ’ 共轭转置；.’ 转置 inv：矩阵求逆 det：求行列式值 eig：求特征值与特征向量 1 / () ; \ () : ()*; \ a b a b a b b a Ax b x A b Inv A b x A b - == = === 除法左除法對矩陣

（1）两矩阵加减，前提是维数相同，进行加减运算时，对应的元素进行加减；（2）矩阵与标量加减，用矩阵中的每个元素都与标量进行加减运算； （3）两矩阵相乘，前提是前一矩阵的列等于后一矩阵的行，与数学约定一样；（4）矩阵与标量相乘，用矩阵中的每个元素都与标量进行相乘； （5）矩阵中的元素对元素的相乘：.* 矩阵中的元素对元素的相除：./ .\ z=x.^y x,y均为向量：z(i)=x(i) ^y(i) x为向量,y为标量：z(i)=x(i) ^y x为标量,y为向量：z(i)=x^y(i)

求最大子矩阵及两种思路

求最大子矩阵的两种思路 长沙市雅礼中学贺一骏 编者：求最大子矩阵问题是很常见的一类问题，具有很强的代表性，通过这个问题，可以派生出更加复杂的问题，也可以学到很多常用的问题处理手段。 问题描述 一个被分为 n*m个格子的月饼盒，第 i 行第 j 列位置的格子里面有 a [ i , j ]个月饼。本来CCC老师打算送这盒月饼给某人的，但是就在要送出月饼盒的前一天晚上，一只极其可恶的老鼠夜袭月饼盒，有部分格子被洗劫并且穿了洞。CCC老师必须尽快从这个月饼盒里面切割出一个矩形月饼盒，新的月饼盒不能有洞，并且CCC老师希望保留在新月饼盒内的月饼的总数尽量多。 任务：请帮CCC老师设计一个程序，计算一下新月饼盒最多能够保留多少月饼。 输入 文件的第一行有两个整数 n、m。第 i + 1 行的第 j 个数表示 a [ i , j ]，如果这个数为 0 ，则表示这个位置的格子被洗劫过。其中：1 ≤ n，m ≤ 300，0 ≤a [ i , j ]≤ 255 输出 在文件中写入最大月饼数。 样例 Sample Input 3 4 1 2 3 4 5 0 6 3 10 3 4 0 Sample Output 17 分析 该问题实际上是求在给定平面区域中找出一个最大的子矩形，要求该矩形不能包含某些限定的格子。 方法一： 我们初次见到这个问题，可能最直接的想法就是枚举。即枚举每个矩阵的左上角坐标（x1,y1）和右下角坐标(x2,y2)，然后统计这个矩阵是否满足题设条件。

我们可以先预处理从左上角（1,1）出发到任意一点（i,j）的月饼数目area(i,j)，预处理的时间复杂度为O(mn),程序如下：

浅谈用极大化思想解决最大子矩形问题

浅谈用极大化思想解决最大子矩形问题 福州第三中学王知昆 【摘要】 本文针对一类近期经常出现的有关最大（或最优）子矩形及相关变形问题，介绍了极大化思想在这类问题中的应用。分析了两个具有一定通用性的算法。并通过一些例题讲述了这些算法选择和使用时的一些技巧。 【关键字】矩形，障碍点，极大子矩形 【正文】 一、问题 最大子矩形问题：在一个给定的矩形网格中有一些障碍点，要找出网格内部不包含任何障碍点，且边界与坐标轴平行的最大子矩形。 这是近期经常出现的问题，例如冬令营2002的《奶牛浴场》，就属于最大子矩形问题。 Winter Camp2002,奶牛浴场 题意简述：（原题见论文附件） John要在矩形牛场中建造一个大型浴场，但是这个大型浴场不能包含任何一个奶牛的产奶点，但产奶点可以出在浴场的边界上。John的牛场和规划的浴场都是矩形，浴场要完全位于牛场之内，并且浴场的轮廓要与牛场的轮廓平行或者重合。要求所求浴场的面积尽可能大。 参数约定：产奶点的个数S不超过5000,牛场的范围N×M不超过30000×30000。 二、定义和说明 首先明确一些概念。 1、定义有效子矩形为内部不包含任何障碍点且边界与坐标轴平行的子矩形。如图所示，第一个是有效子矩形（尽管边界上有障碍点），第二个不是有效子矩形（因为内部含有障碍点）。

2、极大有效子矩形：一个有效子矩形，如果不存在包含它且比它大的有效子矩形，就称这个有效子矩形为极大有效子矩形。（为了叙述方便，以下称为极大子矩形） 3、定义最大有效子矩形为所有有效子矩形中最大的一个（或多个）。以下简称为最大子矩形。 三、极大化思想 【定理1】在一个有障碍点的矩形中的最大子矩形一定是一个极大子矩形。 证明：如果最大子矩形A不是一个极大子矩形，那么根据极大子矩形的定义，存在一个包含A且比A更大的有效子矩形，这与“A是最大子矩形”矛盾，所以【定理1】成立。 四、从问题的特征入手，得到两种常用的算法 定理1虽然很显然，但却是很重要的。根据定理1，我们可以得到这样一个解题思路：通过枚举所有的极大子矩形，就可以找到最大子矩形。下面根据这个思路来设计算法。 约定：为了叙述方便，设整个矩形的大小为n×m，其中障碍点个数为s。 算法1 算法的思路是通过枚举所有的极大子矩形找出最大子矩形。根据这个思路可以发现，如果算法中有一次枚举的子矩形不是有效子矩形、或者不是极大子矩形，那么可以肯定这个算法做了“无用功”，这也就是需要优化的地方。怎样保证每次枚举的都是极大子矩形呢，我们先从极大子矩形的特征入手。 【定理2】：一个极大子矩形的四条边一定都不能向外扩展。更进一步地说，一个有效子矩形是极大子矩形的充要条件是这个子矩形的每条边要么覆盖了一个障碍点，要么与整个矩形的边界重合。

矩阵乘法的优化

>才智 /207 分析方法，分别a/b、c/a、t/a、d/l、h/a 对最大翘曲应力精确度的影响。限于文章篇幅有限，本文仅讨论h/a 对求最大翘曲应力精度的的影响。h/a 的变化情况可以直接反映连梁的数量以及杆件有效高度Z 的变化情况。 取a/b=1.30，c/a=0.30，t/a=0.06，并固定三者数值不变。然后分别取h/a=0.60、1.0、1.50、2.0、3.0。即截面尺寸为：a=10.0cm，b=8.0cm，c=2.50cm，壁厚t=0.50cm，杆件材料的弹性模量E=2.50×105N/cm2，泊松比V= V=0.1667，杆件顶端所受到的几种扭矩大小M=2010N.cm。对其最大翘曲应力进行计算，其中有限元计算结果同理论解的比较见表2。 表2有限元解同理论解的比较结果 从表2中可以看出，当h/a 的取值越小时，本文采用的连续法所得到的结果越接近理论值，随着h/a 比值的逐渐增大，有限元解同理论解之间的相对误差逐渐增大。 2 结语 本文以高层建筑筒体结构约束扭转为研究对象，较为详细的分析了连梁对开口薄壁筒体约束扭转的影响，最后，探讨了连续化方法求最大翘曲应力时对精确度的影响关系。希望本文的提出能起到抛砖引玉的作用，其他研究人员继续这方面的研究，为取得更大的研究成果而不懈努力。 参考文献： [1] 往荫长. 高层建筑筒体结构的计算，科学出版社，1988. [2] 鲍永方. 薄壁结构的约束扭转分析[D]. 北京农业工程大学学报,北京，1996. 矩阵乘法的优化 谢林川 武警警官学院电子技术系 610041 在科学与工程计算的许多问题中经常需要进行矩阵计算。矩阵乘、求解线性方程组和矩阵特征值问题是矩阵计算最基本的内核。许多先进的计算机上都配有高效的串行程序库。为了在并行计算环境上实现矩阵乘积，研究并行算法是非常必要的。本文主要讲述了如何在多核处理器上对矩阵乘法进行优化。 1. 矩阵乘法串行算法 矩阵乘法在实现上比较简单，可以通过3层循环得到。例如我们求C=Beta*C+Alpha*A*B，其中A,B,C，Alpha，Beta 都是双精度浮点数据。串行算法的实现原理是：矩阵A 中的一行和矩阵B 中的一列对应元素进行乘加得到矩阵C 中的对应元素。假设A 是一个m*k 的矩阵，B 是一个k*n 矩阵，因此C 是一个m*n 矩阵，我们可以得到串行算法程序如下： for i=1, m for j=1, n C(i,j)=C(i,j)*Beta for L=1, k C(i,j)= C(i,j)+Alpha*A(i,L)*B(L,j) endfor endfor endfor 2.矩阵乘法分块算法 上面我们对矩阵乘法的串行算法做了分析，我们在计算矩阵C 的每一个数据时，都要用到矩阵A 的某行和矩阵B 的某列的数据，在实际计算过程中，A、B 的元素是存放在内存中的，所以为了提高计算速度，我们把存放在内存中的矩阵A、B 的元素调入Cache 中，这样寄存器可以首先寻访Cache，如果没有需要的数据才会访问内存。但是矩阵A、B 在实际应用中都包含大量的元素，数据量非常庞大，而处理器的Cache 往往很小，因此不可能将整个矩阵全部放入Cache。因此我们需要把这些大的矩阵按照某种方法进行分块，使得分块后的小矩阵可以放入Cache。但是分块不是随意分，有一定的分块原则，如果分块子矩阵太大，造成子矩阵不能放入Cache；如果分块子矩阵太小，那么为了计算一个大矩阵的数据，需要调入Cache 的子矩阵的次数会增多，会大大加剧处理器的负荷。因此，如何对矩阵进行分块，既能使得每次参与计算的矩阵块都能放入Cache，也不存在多次从内存中拷贝矩阵块到Cache 中增加处理器的负载，也是本文需要分析的地方。同样假设A 是一个m*k 的矩阵，B 是一个k*n 矩阵，因此C 是一个m*n 矩阵，矩阵A 的分块大小为m*k，矩阵B 的分块大小为k*n，下面是分块算法： for i=1, m ,M for j=1,n,N for p=I,min(i+M,m) for q=j,min(j+N,n) C(p,q)=C(p,q)*Beta Endfor endfor for L=1,k,K for p=i,min(i+M,m) for q=j,min(j+N,n) for r=l,min(L+K,k) C(p,q)=C(p,q)+Alpha*A(p,r)*B(r,q) endfor endfor endfor endfor 3.分层技术 因为处理器L1cache 和L2cache 到寄存器的带宽大致相同，L2cacahe 的大小明显大于L1cache，这样能够存放更多的数据，基于这种情况，提出把分块A 存放在L2cache 中，使得B 矩阵的运算访存比得到了提高。此外，对矩阵乘法划分方法进行了总结，通过分析得出：对矩阵A 和B 都进行划分，得到的性能是最优的。可以对 GEBP 算法的实现做了进一步的优化：在寄存器中预取A 和B，隐藏访存时间；增大分块参数kc，降低读写 C 子矩阵的平均开销；把 A 分块存放在L2cache 中，增大A 分块的参数，提高矩阵的运算访存比。 4.对矩阵乘法进行多线程（OPENMP）优化 在进行矩阵乘法的运算时候，考虑到在实际的工作中，矩阵都是相当大的，这就需要我们对矩阵进行分块，每个线程执行块A 和块B 的乘加运算。多核处理器一般又多个线程，这样就可以同时在多个线程中进行并行运算，可以大大的提高处理器的运算效率。因此，在实际编程过程中，我们可以采用OPENMP 多线程来对矩阵乘法进行优化。 5．封装技术 矩阵Ａ、B 进行分块后，在存储空间有可能不是连续存放的，这也就意味着对这些不连续的分块进行映射需要更多条目的TLB。解决的方法就是将这些分块存放在连续的数组中，之后计算的数据直接从数组中读取，以保证这些数据的地址可以在TLB 中找到。这样做不会引入额外的开销，因为这些子矩阵被复制以后，其地址就已经保存在了TLB 中，而其数据则保存在cache 中。这样的过程称为Packing。在计算的时候，将矩阵A 、B 分别存放进连续的内存空间 和 中，计算C=C+ 。

动态规划速成攻略之欧阳家百创编

动态规划速成攻略 欧阳家百（2021.03.07） 福建泉州一中倪永毅在全国NOIP复赛中，几乎每年都会出现用动态规划思想来解决的题目，复赛中能否取得好成绩，关键就是看动态规划掌握的情况。那对于从高中入学才开始编程语言的学生来说，有没有一种方法能速成动态规划呢？本人经过几年的信息学奥赛辅导，通过对动态规划试题进行归纳、总结、优化等方面的研究，在这里浅谈下动态规划的速成攻略，不足之处请大家见谅。 一、精练动态规划经典试题 动态规划的试题有很多，学生刚开始学习时，一定要精挑细选，让学生做些动态规划入门的题目，这一阶段练习目的主要是让学生掌握好动态规划的一些基本概念，比如阶段、状态、决策、状态转移方程、无后效性、最优性原理等概念。 这些题目有：数字三角形（IOI1994）、拦截导弹（NOIP1999）、合唱队形（NOIP2004）、挖地雷（NOIP1996 ） 二、对动态规划类试题进行分类教学 我们把动态规划的试题按照常见的模型把它分类，然后让学生来分类掌握，触类旁通，事半功倍。 常见的动态规划可以划分以下几类： 1、线性类动态规划：

典型题目：数字三角形（IOI1994）、拦截导弹（NOIP1999）、合唱队形（NOIP2004），马拦过河卒（NOIP2002），免费馅饼（NOI’98），商店购物（IOI’95）等 2、合并类动态规划： 典型题目：石子合并（NOI’95），乘积最大（NOIP2000），能量项链（NOIP2006）、数字游戏（NOIP2003）、添括号问题（NOI'96）等 3、背包类动态规划： 它包括0/1背包、完全背包、有限背包、有依赖的背包等背包问题是极为经典的模型，其转化与优化也是很重要的。（详细可参考DD engi 写的《背包九讲》） 典型题目：开心的金明（NOIP2006）、采药（NOIP2005）、装箱问题（NOIP2001）、金明的预算方案（noip2006）等4、多线程类动态规划： 典型题目：三取方格数（noip2000）、传纸条（noip2008）、巡游加拿大（IOI95）等 5、最大子段和模型 联赛还未考到这种模型，其实它也是经典利用动态规划来解决的问题之一。问题原型为求数组中的子数组之和的最大值。 用ans[i]表示包含数列第i项的前i个元素的最大和，数组no存放数列元素，则状态转移方程为： ans[0]=0； ans[i]=max{ans[i-1]+no[i],no[i]} 时间复杂度为O(n)

最大子长方体问题

算法设计与分析 课程设计 题目：最大子长方体问题 专业：网络工程 班级： 学号： 姓名： 计算机工程系 2012年11 月16 日

一、算法问题描述 一个立方体被分割成n个小立方体，每个小立方体内有一个整数。试设计一个算法，计算出所给立方体的最大子长方体。子长方体的大小由它所含所有整数之和确定。 二、算法问题形式化表示 三、期望输入与输出 输入：输入的第1行是3个正整数m,n,p，1≤m,n,p≤50。接下来m*n行每行p个正整数，表示小立方体中的数。 输出：输出的第1行中的数是计算出的最大子长方体的大小。 样例输入： 请输入立方体的长m,宽n,高p为： 3 3 3 m*n行中每行的p个正整数为： 0 -1 2 1 2 2 1 1 -2 -2 -1 -1 -3 3 -2 -2 -3 1 -2 3 3 0 1 3 2 1 -3 样例输出： 所给立方体的最大子长方体为： 14

四、算法分析与步骤描述 1．算法总体过程 2．最优值实现过程中信息的保存 在算法的实现过程中，是将原长方体分解成若干子长方体，每个子长方体都要转化成矩阵，求出各个矩阵的最大子矩阵，最优值就存在于这些最大子矩阵中，如果想获得最优解就必须对各个最大子矩阵的信息进行保存；同理，将子长方体转化成矩阵，分解成若干子矩阵，每个子矩阵都要转化成段，求出各个段的最大子段，要获得最大子矩阵，就得从这些最大子段中比较求得，如果想获得最优解就必须对各个最大子段和的信息进行保存，为此，定义了下面的方法： static int max(int i,int j) { if(i>=j) return i; else return j; } 3.算法的实现 最大子长方体问题的动态规划算法如下： static int MaxSum3(int a[][][],int m,int n,int p) { int sum=0; int [][]b=new int [50][50];

矩阵灵魂的格子2(17-25章)

第十七章:矩阵里的交流寄存器（1）三个交流窗口 下图显示倒数第二层，在这个例子中，这是标题层。这一层里的“交流寄存器”最接近“外面”的意识。图中显示这个特别的蓝色框架，通过它获得进入寄存器。 这个位置涉及“游戏房间”里，世界环境的内容。 再次显示了，迷宫与寄存器的位置有联系。 0776 上面显示的两种迷宫相类似。它们表现“等同结构”，与几何的运算规则相一致。 下图显示，迷宫的第三种类型。 这种类型用“透视”的视觉，而不是用“等同”的视觉。 0777 0778 下图显示第二层。这也是“标题层”。这一层里的“交流寄存器”，最接近“里面”的意识（你的意识）。这个位置，涉及人体“内部”和“外部”的内容。 0779

所以，你能够看到图0779和图0780不同。它们之间不同，是因为迷宫“几何结构”的控制。迷宫的几何结构是“外面”指令，而文字或浮雕是“里面”交流。 0780 现在，让我们再看图0779。 当我们认真地看这个图时，我们发现这个功能非常有趣。 下面的例子，这个蓝色的“交流寄存器”与“眼睛矩阵”成一致。 这些框架成阶层显现在八边形上，结构像一个露天的竞技场。中心的寄存器变成了“舞台”，而这些框架代表“台阶”…… 一个框架相当于一个“台阶”，环绕着“眼睛矩阵”的这些“台阶”，与“窗口”一起接入这个“蓝色”的“交流寄存器”中。记住，每一个寄存器的位置。 这些寄存器每一个位置是： ①程序寄存器 ②控制寄存器 ③图片或者数据寄存器 ④记事本寄存器 这将给予我们更多的理解，在矩阵工作中，所产生的相互作用。 0781

看下图这个“黄色”的“交流寄存器”。黄色代表“当下”。这个“交流寄存器”也是最靠近“书”的封面，即人体的结构。 所以，背景的屏蔽颜色非常重要。注意这两幅画，上图“交流寄存器”是蓝色框架，背景是蓝色的屏蔽，标志它正被输入。 0782 矩阵怎样使用“颜色代码”，这仅仅是其中一个例子，下图是另一个例子，“交流寄存器”在一个不同的位置上。0783 这就是古代人相信有“十个层次”的原因，因为两个标题页或封面是黄色。人们在计算的时候，可能没有了解到这两个标题页是相同的颜色，所以错误地把两页作为一页来计算。 也许你也注意到了，在一个很放松的状态下，当我们闭上眼睛时，视野的质感看起来接近淡淡的金黄色。当我们从睡眠状态中醒来的一刻，我们获得很大程度上的放松，在这个时候，质感变得很光滑，似乎浮出水面一样，而且，质感能够转变成其它的颜色，有时候是淡绿色、蓝色、黄色，有时候是红色，这依赖于你进入时的状态。 然而，在别的时候，你能够看到一个蓝色的质感区域在颜色的背景里。这个蓝色的质感区域就是寄存器。