燕博园联考2020届高三年级综合能力测试(CAT)(一)
理科数学(全国卷)详解版
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的.
1.已知全集为R,集合
1
2
2
(1),{|20}
A x y x
B x x x
-
??
??
==-=-<
??
??
??
,则()A B=
R
I
e()A.(0,2)B.(1,2]C.[0,1]D.(0,1]
1.答案:D
解析:
1
2
(1){|1},{|1}
1
A x y x x y x x A x x
x
-
???
??
==-===>∴=
????
-
????
??R
≤
e,
2
{|20}{|(2)0}{|02}
B x x x x x x x x
=-<=-<=<<,()(0,1]
A B
∴=
R
I
e.
2.复数满足48i
z z
+=+,则复数z在复平面内所对应的点在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.答案:B
解析:设i(,)
z a b a b
=+∈R,则22
i48i
z z a b a b
+=+++=+,
226
4
,68i
8
8
a
a a b
z
b
b
?=-
?
?++=
∴?∴=-+
??
=
=?
??
,所以复数z在复平面内所对应的点在第二象限.3.已知等差数列{}n a的前n项和为n S,且28
2,10
a a
=-=,则
9
S=()
A.45 B.42 C.25 D.36
3.答案:D
解析:1928
9
9()9()9(210)
36
222
a a a a
S
++?-+
====.
4.函数
x x
x
y
e e-
=
+
的图象大致为()
4.答案:A
解析:设()
x x
x
f x
e e-
=
+
,则()()
x x
x
f x f x
e e
-
-
-==-
+
,所以函数()
f x是奇函数,其图象关于原点对
称,排除B,C,且当x→+∞时,()0
x x
x
f x
e e-
=→
+
,排除D,选A.
5.音乐,是用声音来展现美,给人以听觉上的享受,熔铸人们的美学趣味.著名数学家傅立叶研究了乐声的本质,他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述,它们是一些形如sin a bx 的简单正弦函数的和,其中频率最低的一项是基本音,其余的为泛音.由乐声的数学表达式可知,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波.下列函数中不能与函数0.06sin180000y t =构成乐音的是( ) A .0.02sin 360000y t = B .0.03sin180000y t = C .0.02sin181800y t = D .0.05sin 540000y t =
5.答案:C
解析:由12f T ωπ
==
,可知若12()f nf n *=∈N ,则必有12()n n ωω*
=∈N ,故选C . 6.已知,a b r
r 为非零向量,“22a b b a =r r r r ”为“a a b b =r r r r ”的( )
A .充分不必要条件
B .充分必要条件
C .必要不充分条件
D .既不充分也不必要条件
6.答案:B
解析:若22a b b a =r r r r 成立,则22a b b a =r r r r ,则向量a r 与b r
的方向相同,且22a b b a =r r r r ,从而a b =r r , 所以a b =r r ;若a a b b =r r r r ,则向量a r 与b r
的方向相同,且22a b =r r ,从而a b =r r ,所以a b =r r .
所以“22a b b a =r r r r
”为“a a b b =r r r r ”的充分必要条件.
7.把函数2
()sin f x x =的图象向右平移12
π
个单位,得到函数()g x 的图象.给出下列四个命题 ①()g x 的值域为(0,1]
②()g x 的一个对称轴是12
x π
=
③()g x 的一个对称中心是1,32π??
???
④()g x 存在两条互相垂直的切线
其中正确的命题个数是( ) A .1
B .2
C .3
D .4
7.答案:C
解析:2
121cos 21cos 21112()sin ()cos 222262x x f x x g x x π
ππ?
?-- ?
-????==
??????→==--+ ??
?向右平移个单位, cos 2[1,1]6x π?
?-∈- ??
?Q ,()g x ∴的值域为[0,1],①错误;
当12
x π
=时,206x π
-
=,所以12
x π
=是函数()g x 的一条对称轴,②正确;
当3
x π
=
时,26
2
x ππ
-
=
,所以()g x 的一个对称中心是1,32π??
???
,③正确;
()sin 2[1,1]6g x x π?
?'=-∈- ??
?,则121212,,()1,()1,()()1x x g x g x g x g x ''''?∈=-=?=-R ,则()g x 在
1x x =和2x x =处的切线互相垂直,④正确.
8.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,它历史悠久,风格独特,神
兽人们喜爱.右图即是一副窗花,是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分,然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1
取一个点,则该点不落在任何一个小正方形内的概率是( )
A .37
B .
47 C .57
D .67
8.答案:D
解析:窗花的面积为2
1241140-?=,其中小正方形的面积为5420?=, 所以所求概率140206
1407
P -=
=.
9.已知三棱锥,1,P ABC AC BC AC BC -==⊥且2,PA PB PB =⊥平面ABC ,其外接球体积
为( ) A .
43
π
B .4π
C .
323
π
D .
9.答案:A 解析:AB =
=PB h =,则由2PA PB =2h =,解得1h =,可将
三棱锥P ABC -还原成如图所示的长方体,则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为R ,则22,1R R ===,所以外接球的体积34433
V R ππ
=
=
. 10.一个盒子里有4个分别标有号码为1,2,3,4的小球,每次取出一个,记下它的标号后再放回盒子中,共取3次,则取得小球标号最大值是4的取法有( ) A .17种 B .27种
C .37种
D .47种
10.答案:C
解析:所有可能的情况有3464=种,其中最大值不是4的情况有3
327=种,所以取得小球标号最大值是
4的取法有642737-=种.
11.已知双曲线22
22:1(0)x y M b a a b
-=>>的焦距为2c ,若M 的渐近线上存在点T ,使得经过点T 所作
的圆2
2
2
()x c y a -+=的两条切线互相垂直,则双曲线M 的离心率的取值范围是( ) A
. B
.
C
.
D
.
11.答案:B
解析:b a >Q ,
所以离心率c e a ==>圆222
()x c y a -+=是以(,0)F c 为圆心,半径r a =的圆,要使得经过点T
所作的圆的两条切线互相垂直,必有TF ,而焦点(,0)F c 到双曲线渐近线
的距离为b
,所以TF b =≥
,即b
≤c e ==,所以双曲线M 的离心
1
y x
=交于点N ,3OM ON OP +=u u u u r u u u r
u u u r ,
,则曲线G 上的“水平黄金点”的个数
为( ) A .0
B .1
C .2
D .3
12.答案:C
解析:设(,3ln )M t t ,则1,N t t ??
???,所以21,ln 33
3OM ON t OP t t +??==+ ???u u u u r u u u r u u u r ,依题意可得1ln 03t t +=,
设1()ln 3g t t t =+
,则22
1131()33t g t t t t -'=-=,当103t <<时,()0,()g t g t '<单调递减,当1
3
t >时, ()0,()g t g t '>单调递增,所以min 1()1ln 303g t g ??
==-< ???
,且221120,(1)033e g g e ??=-+>=> ???,
1
()ln 03g t t t
∴=+
=有两个不同的解,所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.
13.抛物线2
4y x =上到其焦点F 距离为5的点有 个. 13.答案:2
解析:设符合条件的点00(,)P x y ,则00015,4,4PF x x y =+=∴==±,所以符合条件的点有2个. 14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足2n n S a +=-,则数列{}n a 的通项n a = .
14.答案:1
12n -??
- ?
??
解析:当1n =时,1111221S a a a +==-?=-,由2n n S a +=-,可知当2n ≥时,112n n S a --+=-,两式相减,得120n n a a --=,即11(2)2n n a a n -=
≥,所以数列{}n a 是首项为1-,公比为1
2
的等比数列,
所以1
12n n a -??
=- ?
??
.
15.对任意正整数n ,函数3
2
()27cos 1f n n n n n πλ=---,若(2)0f ≥,则λ的取值范围是 ;若不等式()0f n ≥恒成立,则λ的最大值为 . 15.答案:13,2??-∞-
???,13
2
- 解析:由(2)1628210f λ=---≥,解得13
2
λ-
≤. 当n 为奇数时,cos 1n π=-,由3
2
()2710f n n n n λ=+--≥,得2
127n n n
λ+-
≤, 而函数2
1
()27g n n n n
=+-
为单调递增函数,所以min ()(1)8g n g ==,所以8λ≤. 当n 为偶数时,cos 1n π=,由32()2710f n n n n λ=---≥,得2
127n n n
λ--≤,
设2
1()27(2)h x x x x x =--≥,则212,()470x h x x x '∴=-+>Q ≥,()h x ∴单调递增,
min 13()(2)2h x h ∴==-.所以132λ-≤,综上可知,若不等式()0f n ≥恒成立,则λ的最大值为13
2
-.
16.正方体1111ABCD A B C D -中,E 是棱1DD 的中点,F 是侧面11CDD C 上的动点,且1//B F 平面1A BE ,记1B 与F 的轨迹构成的平面为α. ①F ?,使得11B F CD ⊥;
②直线1B F 与直线BC 所成角的正切值的取值范围是12?
???
;
③α与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为
④正方体1111ABCD A B C D -的各个侧面中,与α所成的锐二面角相等的侧面共四个. 其中正确命题的序号是 .(写出所有正确命题的序号) 16.答案:①②③④
解析:取CD 中点G ,连接EG ,则1//EG A B ,所以平面1A BE 即为平面1A BGE ,取11C D 中点M ,1CC 中点N ,连接11,,B M B N MN ,则易证得111//,//B M BG B N A E ,从而平面1//B MN 平面1A BGE ,所以点F 的运动轨迹为线段MN ,平面1B MN 即为平面α.
①取F 为MN 中点,因为1B MN △是等腰三角形,所以1B F MN ⊥,又因为1//MN CD ,所以11B F CD ⊥,故①正确;
②设正方体的棱长为2,当点F 为MN 中点时,直线1B F 与直线BC
所成角最小,此时12
C F =
,
11111tan 4
C F C B F B C ∠=
=
,当点F 与点M 或点N 重合时,直线1B F 与直线BC 所成角最大,此时111
tan 2C B F ∠=,所以直线1B F 与直线BC
所成角的正切值的取值范围是142???
?,②正确; ③取F 为MN 中点,则1111,,MN C F MN B F B FC ⊥⊥∴∠即为α与平面11CDD C 所成的锐二面角,
11
111tan B C B FC C F
∠=
=,所以③正确; ④正方体1111ABCD A B C D -的各个侧面中,平面ABCD ,平面1111A B C D ,平面11BCC B ,平面11ADD A 与平面α所成的角相等,所以④正确.
A
B
C
D
D 1
A 1
B 1
C 1
E
G
M
N
F
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第
17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分. 17.(本小题满分12分) 在ABC △中,,cos 4
B C π
∠=
=
.
(1)求cos A 的值;
(2)点D 为边BC 上的动点(不与C 点重合),设AD DC λ=,求λ的取值范围. 17.解:(1)在ABC △
,cos C =
,所以2sin 3
C ==.…………………………1分 所以 cos cos cos sin sin cos cos 4444A C C C C π
ππππ?
???
=-
-=-+=- ? ??
???
223236
=
-=…………………………………………………………5分 (2)由(1
)可知cos 06A =<,所以2
A π
>.
因为
sin sin AD DC C DAC =∠,所以sin 2sin 3sin AD C DC DAC DAC
λ===
∠∠.……………………8分 因为0DAC BAC <∠∠≤,所以 sin (0,1]DAC ∠∈.…………………………………………11分 所以2
,3λ??∈+∞????
.………………………………………………………………………………12分
C
A
B
D
18.(本小题满分12分)
在四棱锥P ABCD -中,1
,//,,2
AB PA AB CD AB CD PAD ⊥=
△是等边三角形,点M 在棱PC 上,平面PAD ⊥平面ABCD .
(1)求证:平面PCD ⊥平面PAD ;
(2)若AB AD =,求直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值的最大值; (3)设直线AM 与平面PBD 相交于点N , 若AN PM AM PC =,求AN
AM
的值.
P
A
B
C
D
M
18.解析:(1)证明:取AD 中点为O ,连接PO . PAD △是等边三角形,所以PO AD ⊥. 因为PAD ABCD ⊥平面平面且相交于AD ,所以PO ⊥平面ABCD ,所以PO DC ⊥.
因为//,AB CD AB PA ⊥,所以CD PA ⊥.因为PO PA P =I 在平面PAD 内,所以CD PAD ⊥平面. 所以PCD PAD ⊥平面平面.………… 3分
(2)以O 为原点,过O 作AB 的平行线OF ,分别以OA , OF ,OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.设2AB AD ==,则(1,0,0)A ,(1,2,0)B ,(1,4,0)C -
,P .………… 5分
因为M 在棱PC
上,可设[](1)(,4)),0,1OM t OP tOC t t t t =-+=--∈u u u u r u u u r u u u r
,
所以(1,4))AM t t t =---u u u u r
.
设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =r
,因为(2,2,0),(1,4,BC PC =-=-u u u r u u u r
,
所以22040x y x y -+=??
?-+=?? 令1x =
,可得1
1x y z ?=?=??
=?
,即n =r .
设直线AM 与平面PBC 所成角为θ
,所以sin cos ,AM n AM n AM n θ?===
u u u u r r
u u u u r r u u u u r r . 可知当1
10
t =
时, sin θ
;…………8分
(3)设2,AD DC m ==
,则有(1,,0)P C m -
,得(1,,PC m =-u u u r .设AN PM
k AM PC
==,
那么,PM k PC AN k AM ==u u u u r u u u r u u u r u u u u r
,所以(,,)PM k mk =-u u u u r
.所以(,))M k mk k --.
因为(1,0,0),(1,))A AM k mk k =---u u u u r
所以.
22,(,(1))AN k AM AN k k mk k ==---u u u r u u u u r u u u r
因为所以
.所以22(1,(1))N k k mk k --+-.
又因为(1,0,0),1,,02m D B ??- ???
,所以22
(2,(1))DN k k mk k =--+-u u u r .
(1,0,2,,02m PD DB ??=-= ???
u u u r u u u r ,设平面PDB 的法向量为(,,)n x y z =r
,
有020
2x m x y ?-=?
?+=?
?x =令
1
x y m z ?=??=??=??
,即n ??= ? ???r …………10分
因为N 在平面PDB 内,所以DN n ⊥u u u r r .所以0DN n ?=u u u r r
.
所以2
22)(1)0k k mk k --++-=.即2210k k +-=, 所以12k =
或者1k =-(舍),即12
AN AM =………………………………………………………12分
19.(本小题满分12分)
某精密仪器生产车间每天生产n 个零件,质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格,若较多零件不合格,则需对其余所有零件进行检查.根据多年的生产数据和经验,这些零件的长度服从正态分布2
(10,0.1)N (单位:微米m μ),且相互独立.若零件的长度d 满足9.710.3m d m μμ<<,则认为该零件是合格的,否则该零件不合格.
(1)假设某一天小张抽查出不合格的零件数为X ,求(2)P X ≥及X 的数学期望EX ;
(2)小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件,若以此频率作为当天生产零件的不合格率.已知检查一个零件的成本为10元,而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元.假设n 充分大,为了使损失尽量小,小张是否需要检查其余所有零件,试说明理由. 附:若随机变量ξ服从正态分布2
(,)N μσ,则
5049(33)0.9987,0.99870.9370,0.99870.00130.0012P μσξμσ-<<+==?=.
19.解(1)14950
50(2)1(1)(0)10.99870.00130.99870.003P X P X P X C =-=-==-??-=≥,
由于X 满足二项分布,故0.0013500.065EX =?= …………--5分
(2)由题意可知不合格率为
2
50
,若不检查,损失的期望为252()2602020505E Y n n =??-=-,若检
查,成本为10n ,由于522()1020102055E Y n n n n -=--=-,当n 充分大时,2()102005
E Y n n -=-> 所以为了使损失尽量小,小张需要检查其余所有零件. ……………………12分
20.(本小题满分12分)
已知椭圆22
22:1(0)x y M a b a b
+=>>
经过点(0,2)A -,离心率为3.
(1)求椭圆M 的方程;
(2)经过点(0,1)E 且斜率存在的直线l 交椭圆于,Q N 两点,点B 与点Q 关于坐标原点对称.连接
,AB AN .求证:存在实数λ,使得AN AB k k λ=成立.
20.解:(1)由题意可知2b =,
c a =
222a c b -=
,得a c == 所以椭圆M 的方程为22
164
x y +=;……………4分
(2)证明:设直线l 的方程为为:1y kx =+,
联立221
16
4y kx x y =+???+=??,消元可得:22
(23)690k x kx ++-=,设1122(,),(,)Q x y N x y
则有1212
22
69
,2323k x x x x k k +=-=-++……………-8分 因为1212
22,AQ AN y y k k x x ++=
=, 所以2222121212Q 1212
223()92232A AN
y y k x x k x x k k k k k x x x x +++++?=?==+--=-
又因为点B 与点Q 关于原点对称,所以11(,)B x y --,即11
2
AB y k x -+=
-, 则有2111
2
11224AQ AB
y y y k k x x +-+-?=?=-,由点Q 在椭圆22:1x y C +=上,得2224y x -=, 所以2
3
AQ AB k k ?=-
,所以AN AB k k =
所以存在实数3λ=,使AN k λ=
(2)解法二:证明:设直线l 的方程为为:1y kx =+,
联立22116
4y kx x y =+???+=??,消元可得:22
(23)690k x kx ++-=,设1122(,),(,)Q x y N x y ,则11(,)B x y --,
则有121222
69
,2323k x x x x k k
+=-
=-++……………8分 121223x x k x x +∴
=,12123()2
x x kx x +=,222AN y k x +=,112AB y k x -=, 所以
121
21211211212
2121122122
3()
3(2)(3)393233()(2)(1)32
AN AB
x x x k y x kx x kx x x x x x x k x y x kx kx x x x x x +-++++======+---+-,
所以存在实数3λ=,使AN AB k k λ=成立.………………12分 21.(本小题满分12分) 已知2
()(0)kx
f x kx e k -=+>
(1)当1
2
x >
时,判断函数()f x 的极值点的个数; (2)记2
1()()ln 2g x f x x m x x ??
=+->
???
,若存在实数t ,使直线y t =与函数()g x 的图象交于不同的两点12(,),(,)A x t B x t ,求证:122m x x >. 21.解析:(1)当12x >
时,'()(2)kx f x k x e -=-,(())(2)0kx
f x k ke -''=+>,所以()f x '在1,2??+∞ ???
递增.所以21()(1)02k
f x f k e -??''>=-> ???.所以()f x 在1,2??
+∞ ???
递增,所以函数()f x 没有极值点;
…………………………………4分
(2)2
2
()()ln (1)ln kx
g x f x x m x k x m x e -=+-=+-+,存在实数t ,使直线y t =与函数()g x 的图象
交于不同的两点12(,),(,)A x t B x t ,即存在121,,2x x ??
∈+∞
???
且12x x <,使12()()g x g x =.……… 6分 由12()()g x g x =可得:2
122
2121(ln ln )(1)()()kx kx m x x k x x e e ---=+-+-,12x x <,
由(1)可知21()()f x f x >,可得:2
12
221()kx kx e e k x x --->--.
所以22
212
1(ln ln )m x x x x
->-,即
2
22
12
1
22ln x x m x x ->
.……………………8分
下面证明22
21122
1
2ln x x x x x x ->,只需证明:
2
21221112ln x x x x x x ??- ???>. 令211x s x =>,则证:212ln s s s ->,即1
2ln 0s s s
-->.……………………………………10分 设1
()2ln h s s s s
=--,那么22
(1)()0s h s s -'=>. 所以()(1)0h s h >=.所以
122
m
x x >,即122m x x >.………12分 (二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所作的第一题计分. 22.【选修4—4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分)
已知曲线M 的参数方程为1cos 2
1sin 2
x y αα?
=????=??(α为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系,曲线N 的极坐标方程为2
2sin 2ρθ
=
-.
(1)写出曲线M 的极坐标方程;
(2)点A 是曲线N 上的一点,试判断点A 与曲线M 的位置关系. 22.解析:(1)曲线M 的极坐标方程是1
2
ρ=.………………………………………4分 (2)当3π4θ=
时,线段OA 取得最小长度为22332sin(2π)4
=-?.…………………………6分
因为曲线M 是以原点为圆心,半径为
12的圆,所以 12
OA >. 所以点A 与曲线M 的位置关系是点A 在曲线M 外.………10分 23.【选修4—5:不等式选讲】(本小题满分10分) 已知0,a b a c d >≥≥≥,且ab cd ≥.
(1)请给出,,,a b c d 的一组值,使得2()a b c d ++≥成立; (2)证明不等式a b c d ++≥恒成立.
23.解析:(1)2,1,1,1a b c d ====-.(答案不唯一)………………………………4分
(2)证明:由题意可知,0a ≠. 因为a c d ≥≥,所以()()0a c a d --≥. 所以2
()0a c d a cd -++≥,即2
()a cd c d a ++≥. (7)
因为0a b >≥,所以cd a c d a ++≥.因为ab cd ≥,所以 cd
b a
≥
. 所以cd
a b a c d a
++
+≥≥.………………10分