数学建模讲义94
§9.4 信息的度量与应用
怎么度量信息
首先分析一下问题的认识过程
1.对一问题毫无了解，对它的认识是不确定的
2. 通过各种途径获得信息，逐渐消除不确定性
3. 对这一问题非常的了解，不确定性很小
黑箱
不确定度A
灰箱
不确定度B
白箱
不确定度C
信息I 信息II
对于系统，可以利用守恒
关系有 A+I=B，得I=B-A。
可否用消除不确定性的多少来度量信息！
几个例子：
例12当你要到大会堂去找某一个人时，甲告诉你两条消息：（1）此人不坐在前十排，（2）他也不坐在后十排；乙只告诉你一条消息：此人坐在第十五排。问谁提供的信息量大？
乙虽然只提供了一条消息，但这一条消息对此人在什么位置上这一不确定性消除得更多，所以后者包含的信息量应比前者提供的两条消息所包含的总信息量更大
例13假如在盛夏季节气象台突然预报“明天无雪”的消
息。在明天是否下雪的问题上，根本不存在不确定性，所
以这条消息包含的信息量为零。
是否存在信息量的度量公式
基于前面的观点，美国贝尔实验室的学者香农（Shannon）应用概率论知识和逻辑方法推导出了信息量的计算公式
In his words
"I just wondered how
things were put together."
Claude Elwood Shannon
(April 30, 1916 - February 24,
2001) has been called "the
father of information theory".
Shannon提出的四条基本性质（不妨称它们为公理）
公理1 信息量是该事件发生概率的连续函数
公理2 如果事件A发生必有事件B发生，则得知事件A发生的信息量大于或等于得知事件B发生的信息量。
公理3 如果事件A和事件B的发生是相互独立的，则获知
A、B事件将同时发生的信息量应为单独获知两事件
发生的信息量之和。
公理4 任何信息的信息量均是有限的。
上述公理怎样推出信息量的计算公式呢
将某事件发生的信息记为M，该事件发生的概率记为p，记M的信息量为I（M）。
定理11.2
满足公理1—公理4的信息量计算公式为I (M )=－Clog a p ，其中C 是任意正常数，对数之底a 可取任意为不为1的正实数。
证明:
由公理1 I (M )=f(p)，函数f 连续。
由公理2 若A 发生必有B 发生，则p A ≤p B ，
有f(p A )≥f(P B ) ，故函数f 是单调不增的。 由公理3 若A 、B 是两个独立事件，则A 、B 同时发生 的概率为p A p B ，有f(P A P B )=f(p A )+f(p B )。 先作变量替换 令p=a -q ，即q=－log a P 记
)
(B A q q B A e p p +-=)()()(q g e f p f q
==-)()()(B A B A q g q g q q g +=+ ，又 有：
，g 亦为连续函数。
g(x+y)=g(x)+g(y)的连续函数有怎样的性质 首先，由g(0)=g(0+0)=2g(0)得出g(0)=0或g(0)=∞。 但由公理4，后式不能成立，故必有g(0)=0。
记g(1)=C ，容易求得g(2)=2C,g(3)=3C,…,一般地， 有g(n)=nC 。进而
，可得
。 于是对一切正有理数 m/n ，g(m/n) =(m/n)C 。 ?
?? ??=??? ??++=n ng n n g g 111)1( )1(11g n n g =??? ??由连续性可知：对一切非负实数x ，有g(x)=Cx
当x 取负实数时，由g(x)+g(－x)=g(0)=0，可得
出g(x)=―g(―x)=cx 也成立，从而对一切实数x ，g(x)=Cx , 故g(q)=Cq 。
现作逆变换q=－log a p ，
得I(M)=f(P)=－Clog a P （11.3） 证毕。
各种信息量单位
若取a=2,C=1，此时信息量单位称为比特
若取a=10,C=1，此时信息量单位称为迪吉特若取a=e,C=1，此时信息量单位称为奈特
例14 设剧院有1280个座位，分为32排，每排40座。现欲从
中找出某人，求以下信息的信息量。（i ）某人在第十排；（ii ）某人在第15座；（iii ）某人在第十排第15座。
解： 在未知任何信息的情况下， 此人在各排的概率可以认
为是相等的，他坐在各座号上的概率也可以认为是相等的，故
（i ）“某人在第十排”包含的信息量为 （比特） 5321log 2=- （ii ）“某人在第15座”包含的信息量为 （比特） 32.5401
log 2≈- （iii ）“某人在第十排第15座”包含的信息量为 （比特） 32.101280
1
log 2=-5bit+5.32bit=10.32bit 这一例子反映了对完全独立的
几条信息，其总信息量等于各
条信息的信息量之和。 对于相应不独立的信息，要计算在已获得某信息后其余信息的信息量时，需要用到条件概率公式，可以参阅信息论书籍。
至此，我们已经引入了信息度量的定量公式。如前
所述，它是信息对消除问题的不确定性的度量。这种讲法似乎有点难以为人们所接受，其实，这只是人们的习惯在起作用。这里，我们不妨来作一比较。在人们搞清热的奥秘以前，温度也是一个较为抽象的概念，因它实质上是物体分子运动平均速度的一种映。人们天生就知道冷和热，但如何来度量它却曾经是一个难题。只有在解决了这一问题以后，以定量分析为主的热力学才能得到飞速的发展。信息问题也是这样，人们对各种信息包含的实质“内容”究竟有多少往往也有一个直观的感觉，但用什么方法来度量它，却比“今天15度”这样的讲法更不易理解，因为它是通过较为抽象的概率来计算的。
平均信息量（熵）问题
设某一实验可能有N 种结果，它们出现的概率分别为p 1,…,p N ,则事先告诉你将出现第i 种结果的信息，其信息量为－log 2p i ，而该实验的不确定性则可用这组信息的平均信息量（或熵）
来表示 ∑
=-=N i i i p p H 1
2log 例15 投掷一枚骼子的结果有六种，即出现1—6点、出现每
种情况的概率均为1/6，故熵 H=log 26≈2.585（比特）。 投掷一枚硬币的结果为正、反面两种，出现的概率均为1/2，故熵 H=log 22=1（比特）。
向石块上猛摔一只鸡蛋，其结果必然是将鸡蛋摔破，出现的概率为1，故熵H=log 21=0
从例子可以看出，熵实质上反映的是问题的“模糊度”，熵为零时问题是完全清楚的，熵越大则问题的模糊程度也越大
离散型概率分布的随机试验，熵的定义为：
（11.5）
∑
=
-
=
N
i
i
i
p
p
H
1
2
log
连续型概率分布的随机试验，熵的定义为 :
（11.6）
?+∞∞--=dx
x
p
x
p
p
H)
(
log
)
(
)
(
2
熵具有哪些有趣的性质
定理11.3 若实验仅有有限结果S
1
,…,S
n
，其发生的概率分别为
P
1
,…,P
n
，则当
时，此实验具有最大熵。
n
p
p
n
1
1
=
=
=
此定理既可化为条件极值问
题证明之，也可以利用凸函
数性质来证明，请大家自己
去完成
定理9.4 若实验是连续型随机试验，其概率分布P(x)在[a,b]区间以外均为零，则当 P(x)平均分布时具有最大熵。
定理9.5 对于一般连续型随机试验，在方差一定的前提下，正态分布具有最大的熵。
定理9.6 最大熵原理，即受到相互独立且均匀而小的随机因素影响的系统，其状态的概率分布将使系统的熵最大。
上述结果并非某种巧合。根据概率论里的中心极限定理，若试验结果受到大量相互独立的随机因素的影响，且每一因素的影响均不突出时，试验结果服从正态分布。最大熵原理则说明，自然现象总是不均匀逐步趋于均匀的，在不加任何限止的情况下，系统将处于熵最大的均匀状态。
例16有12个外表相同的硬币，已知其中有一个是假的，可能轻些也可能重些。现要求用没有砝码的天平在最少次数中找出
假币，问应当怎样称法。
解假币可轻可重，每枚硬币都可能是假币。故此问题共有
24种情况，每种情况的概率为1/24。所以此问题的熵为log
2
24。
确定最少次数的下界
实验最多可能出现三种结果，根据定理11.3，这种实验在可能出现的各种事件具有相等的概率时，所提供的平均信息量
最大，故实验提供的平均信息量不超过log
2
3。
设最少需称k次，则这k次实验提供的总信息量
不超过klog
23=log
2
3k，又问题的模糊度（熵）为log
2
24
必要条件: log
23k≥log
2
24 ，得k≥3。
称三次足够了吗？
实验方法：使每次实验提供尽可能大的平均信息量。
第一次：将12枚硬币平分成三堆，取两堆称，出现两中情况
情况1 两堆重量相等
假币在未秤的4枚中。任取其中的3枚加上从已秤过的8
枚中任取的1枚，平分成两堆称。出现两种情况
情况1.1两堆重量相等
最后剩下的一枚是假币,再
称一次知其比真币轻还是重。
情况1.2两堆重量不相等
设右重左轻，并设真币在左边，
若假币在右边，则比真币重，若
在左边，则轻。取右边两个称。
情况2 两堆重量不相等
设右边较重。先从左边取出两枚，再将右边的取两枚
放到左边，将原来左边的两枚中取出一枚放于右边
情况2.1两堆重量相等
取出的两枚中轻的为假币，
再称一次即可找出假币。
情况2.2两堆重量不相等
若右边较重，则假币在右边原来
的两枚及左边未动过的一枚中
（若为前者，则假币偏重；若为
后者，则假币偏轻），于是再称
一次即可找出假币。若第二次称
时左边较重，则假币必在交换位
置的三枚中，可类似区分真伪。
三次是最少次数！
英文的熵是多少呢？
例17在人类活动中，大量信息是通过文字或语言来表达的，
而文学或语言则是一串符号的组合。据此，我们可以计算出每一语种里每一符号的平均信息量。例如，表11-2、表11-3、表
11-4分别是英语、德语和俄语中每一符号（字母与空格，标点
符号不计）在文章中出现的概率的统计结果（汉语因符号繁多，难以统计）
表11-2（英语）
符号
i
Pi 符
号
i
Pi 符
号Pi
符
号Pi
空格E T O A N I
0.2
0.105
0.072
0.0654
0.063
0.059
0.065
R
S
H
D
L
C
F
0.054
0.052
0.047
0.035
0.029
0.023
0.0225
U
M
P
Y
W
G
V
0.0225
0.021
0.0175
0.012
0.012
0.011
0.008
B
K
X
J
Q
Z
0.005
0.003
0.002
0.001
0.001
0.001
表11-3（德语）
符号
i
Pi 符
号
i
Pi 符
号Pi
符
号Pi
空格E N S I R A 0.144
0.144
0.0865
0.0646
0.0628
0.0622
0.0594
D
T
U
H
L
C
G
0.0546
0.0536
0.0422
0.0361
0.0345
0.0255
0.0236
O
M
B
W
Z
V
F
0.0211
0.0172
0.0138
0.0113
0.0092
0.0079
0.0078
K
P
J
J
Q
Y
0.0071
0.0067
0.0028
0.0008
0.0005
0.0000
表11-4（俄语）
符号
i
Pi 符
号
i
Pi 符
号Pi
符
号Pi
空格O E ЁA ИT H C 0.175
0.090
0.072
0.062
0.062
0.053
0.053
0.045
P
B
Л
К
М
Д
П
у
0.040
0.038
0.035
0.028
0.026
0.025
0.023
0.021
Я
Ы
э
ъь
Б
Г
Ч
й
0.018
0.016
0.016
0.014
0.014
0.013
0.012
0.010
Х
Ж
Ю
Щ
Ц
Ш
Э
Ф
0.009
0.007
0.006
0.006
0.004
0.003
0.003
0.002
以英文为例，可计算得：
∑=≈-=27
1
203.4log i i i P P H （比特/每符号）
对于有27个符号的信息源，可能达到的最大平均信息量为：
75.427log 2max ≈=H （比特/每符号）
由此可计算出英语表达的多余度为：
15.0max
max ≈-H H
H （即15%）
英文的多余度
数学建模
潍坊学院 数学与信息科学学院数学建模实训论文实训题目：幸福感的评价与量化模型 学生姓名、学号、专业班级 1、 2、 3、 指导教师： 2012
论文题目 摘要 问题一，采用加权平均的方法对主观指标进行分值量化（采取100到0分赋值法）利用熵值法求出二级指标对一级指标的权重向量，最后，建立了网民幸福指数的数学模型。 （单独一页，不得少于400字） 关键字：二级模糊综合评价，层次分析法
一问题重述 改革开放三十多年，我国经济建设取得了巨大成就，人们物质生活得到了极大改善。但也有越来越多的人开始思考：我们大力发展经济，最终目的是为了什么？温家宝总理近年来多次强调：我们所做的一切，都是为了让人民生活得更加幸福。在今年的全国两会期间，“幸福感”也成为最热门词语之一。 幸福感是一种心理体验，它既是对生活的客观条件和所处状态的一种事实判断，又是对于生活的主观意义和满足程度的一种价值判断。它表现为在生活满意度基础上产生的一种积极心理体验。而幸福指数，就是衡量这种感受具体程度的主观指标数值。美国、英国、荷兰、日本等发达国家都开始了幸福指数的研究，并创设了不同模式的幸福指数。如果说GDP、GNP 是衡量国富、民富的标准，那么，百姓幸福指数就可以成为一个衡量百姓幸福感的标准。百姓幸福指数与GDP一样重要，一方面，它可以监控经济社会运行态势；另一方面，它可以了解民众的生活满意度。可以说,作为最重要的非经济因素，它是社会运行状况和民众生活状态的“晴雨表”，也是社会发展和民心向背的“风向标”。国内学者也对幸福感指数进行了研究，试图建立衡量人们幸福感的量化模型，可参看附件的参考论文。 根据你自己对幸福感的理解，要求完成以下工作： 1、附表给出了网上调查的一系列数据，根据这些数据，试建立网民幸福感的评价指标体系，并利用这些指标建立衡量幸福指数的数学模型。 2、试查找相关资料，分别建立某一地区或某一学校教师和学生的幸福指数的数学模型，并找出影响他们幸福感的主要因素。 3、你所建立的评价体系和模型，能否推广到更加普遍的人群，试讨论之。 4、根据你所建模型得出的结论，给相关部门(例如政府、或学校管理部门等)写一封短信(1页纸以内)，阐明你对幸福的理解和建议。 二问题分析 在问题一中，由于幸福指数的影响因素较多，我们可以采用表（表5-1）二级分层结构，即采用二级模糊综合评判的方法，就足以解决问题了。 我们发现要通过模糊综合评价对网民幸福指数幸福感指数进行衡量，缺少了各个因素的权重值，所以就必须要求出影响网民幸福指数的一级指标的权重才能进行网民幸福指数的衡量。因为网民幸福指数有每个一级指标构成，所以要求出每个一级指标对于幸福指数影响的权重，而每个一级指标又是有二级指标来决定的，也要求出一级指标下每个二级指标对于一级指标影响的权重。对于此，我们引入熵权法先求解二级指标对于一级指标的权重，进而求解出一级指标对于网民幸福指数的权重。 三符号说明
数学建模竞赛简介
数学建模竞赛简介 数学建模就是建立、求解数学模型的过程和方法，首先要通过分析主要矛盾，对各种实际问题进行抽象简化，并按照有关规律建立起变量，参数间的明确关系，即明确的数学模型，然后求出该数学问题的解，并通过一定的手段来验证解的正确性。 数学建模竞赛于1985年起源于美国，起初竞赛题目通常由工业部门、军事部门提出，然后由数学工作者简化或修正。1989年我国大学生开始参加美国大学生数学建模竞赛，1990年我国开始创办我国自己的大学生数学建模竞赛。1993年国家教委（现教育部）高教司正式发文，要求在全国普通高等学校中开展数学建模竞赛。从1994年开始，大学生数学建模竞赛成为教育部高教司和中国工业的应用数学学会共同主办，每年一届的，面向全国高等院校全体大学生的一项课外科技竞赛活动。2010年全国共有30省(市、自治区)九百多所院校一万多个队三万多名大学生参赛，成为目前全国高等学校中规模最大的课外科技活动。数学建模竞赛是教育主管部门主办的大学生三大竞赛之一。 现在的竞赛题目来源于更广泛的领域，都是各行各业的实际问题经过适当简化，提炼出来的极富挑战性的问题，每次两道题，学生任选一题，可以使用计算机、软件包，可以参阅任何资料(含上网参阅任何资料)。竞赛以三人组成的队为单位，三人之间通力合作，在三天三夜内完成一篇论文。不给论文评分，而是按论文的水平为四档：全国一等奖、全国二等奖、赛区一等奖，赛区二等奖，成功参赛奖。我校于2001年开始参加这项竞赛活动。多次获全国一等奖、二等奖、湖北赛区一等奖、二等奖。 数学建模竞赛活动培养了学生的创造力、应变能力、团队精神和拼搏精神，适应了21世纪经济发展和人才培养的挑战。不少参加过全国大学生数学建模竞赛的同学都深有感触，他们说：“参加这次活动是我们大学四年中最值得庆幸的一件事，我们真正体会这几年内学到了什么，自己能干什么。”“那不寻常的三天在我们记忆中留下了永恒的一瞬，真是一次参赛，终身受益。”团队精神贯穿在数学建模竞赛的全过程，它往往是成败的关键。有些参赛队员说：“竞赛使我们三个人认识到协作的重要性，也学会了如何协作，在建模的三天中，我们真正做到了心往一处想，劲往一处使，每个人心中想的就是如何充分发挥自己的才华，在短暂的时间内做出一份尽量完善的答卷。三天中计算机没停过，我们轮流睡觉、轮流工作、轮流吃饭，可以说是抓住了每一滴可以抓住的时间。”“在这不眠的三天中，我们真正明白了团结就是力量这个人生真谛，而这些收获，将会伴随我们一生，对我们今后的学习，工作产生巨大的影响。”
数学建模讲义第一章
第一章引言 众所周知，21世纪是知识经济的时代，所谓知识经济是以现代科学技术为核心，建立在知识和信息的生产、存储、使用和消费之上的经济；是以智力资源为第一生产力要素的经济；是以高科技产业为支柱产业的经济。知识创新和技术创新是知识经济的基本要求和内在动力，培养高素质、复合型的创新人才是时代发展的需要。创新人才主要是指具有较强的创新精神、创新意识和创新能力，并能够将创新能力转化为创造性成果的高素质人才。培养创新人才，大学教育是关键，而大学的数学教育在整个大学教育，乃至在人才的培养中都起着重要的奠基作用。正如著名的数学家王梓坤院士所说：“今天的数学兼有科学和技术两种品质，数学科学是授人以能力的技术。”数学作为一门技术，现已经成为一门能够普遍实施的技术，也是未来所需要的高素质创新人才必须要具有的一门技术。随着知识经济发展的需要，创新人才的供需矛盾日趋突现，这也是全社会急呼教学改革的根本所在。因此，现代大学数学教育的思想核心就是在保证打捞学生基础的同时，力求培养学生的创新意识与创新能力、应用意识与应用能力。也就是大学数学教育应是基于传授知识、培养能力、提高素质于一体的教育理念之下的教学体系。数学建模活动是实现这一改革目标的有效途径，也正是数学建模活动为大学的数学教学改革打开了一个突破口，近几年的实践证明，这一改革方向是正确的，成效是显著的。 1.1 数学建模的作用和地位 我们培养人才的目的主要是为了服务于社会、应用于社会，促进社会的进步和发展。而社会实际中的问题是复杂多变的，量与量之间的关系并不明显，并不是套用某个数学公式或只用某个学科、某个领域的知识就可以圆满解决的，这就要求我们培养的人才应有较高的数学素质。即能够从众多的事物和现象中找出共同的、本质的东西，善于抓住问题的主要矛盾，从大量的数据和定量分析中寻找并发现规律，用数学的理论和数学的思维方法以及相关的知识去解决，从而为社会服务。基于此，我们认为定量分析和数学建模等数学素质是知识经济时代人才素质的一个重要方面，是培养创新能力的一个重要方法和途径。因此，开展数学建模活动将会在人才培养的过程中有着重要的地位和起着重要的作用。 1.1.1 数学建模的创新作用 数学科学在实际中的重要地位和作用已普遍地被人们所认识，它的生命力正在不断地增强，这主要是来源于它的应用地位。各行各业和各科学领域都在运用数学，或是建立在数学基础之上的，正像人们所说的“数学无处不在”已成为不可争辩的事实。特别是在生产实践中运用数学的过程就是一个创造性的过程，成功运用的核心就是创新。我们这里所说的创新是指科技创新，所谓的科技创新主要是指在科学拘束领域的新发明、新创造。即发明新事物、新思想、新知识和新规律；创造新理论、新方法和新成果；开拓新的应用领域、解决新的问题。大学是人才培养的基地，而创新人才的培养核心是创新思想、创新意识和创新能力的培养。传统的教学内容和教学方法显然不足以胜任这一重担，数学建模本身就是一个创造性的思维过程，从数学建模的教学内容、教学方法，以及数学建模竞赛活动的培训等都是围绕着一个培养创新人才的核心这个主题内容进行的，其内容取材于实际、方法结合于实际、结果应用于实际。总之，知识创新、方法创新、结果创新、应用创新无不在数学建模的过程中得到体现，这也正是数学建模的创新作用所在。 1.1.2 数学建模的综合作用 对于我们每一个教数学基础科的教师来说，在上第一堂课的时候，按惯例都会讲一下课
2017全国数学建模竞赛B题
2017年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） B题“拍照赚钱”的任务定价 “拍照赚钱”是移动互联网下的一种自助式服务模式。用户下载APP，注册成为APP的会员，然后从APP上领取需要拍照的任务（比如上超市去检查某种商品的上架情况），赚取APP对任务所标定的酬金。这种基于移动互联网的自助式劳务众包平台，为企业提供各种商业检查和信息搜集，相比传统的市场调查方式可以大大节省调查成本，而且有效地保证了调查数据真实性，缩短了调查的周期。因此APP成为该平台运行的核心，而APP中的任务定价又是其核心要素。如果定价不合理，有的任务就会无人问津，而导致商品检查的失败。 附件一是一个已结束项目的任务数据，包含了每个任务的位置、定价和完成情况（“1”表示完成，“0”表示未完成）；附件二是会员信息数据，包含了会员的位置、信誉值、参考其信誉给出的任务开始预订时间和预订限额，原则上会员信誉越高，越优先开始挑选任务，其配额也就越大（任务分配时实际上是根据预订限额所占比例进行配发）；附件三是一个新的检查项目任务数据，只有任务的位置信息。请完成下面的问题： 1.研究附件一中项目的任务定价规律，分析任务未完成的原因。 2.为附件一中的项目设计新的任务定价方案，并和原方案进行比较。 3.实际情况下，多个任务可能因为位置比较集中，导致用户会争相选择，一种 考虑是将这些任务联合在一起打包发布。在这种考虑下，如何修改前面的定价模型，对最终的任务完成情况又有什么影响？ 4.对附件三中的新项目给出你的任务定价方案，并评价该方案的实施效果。 附件一：已结束项目任务数据 附件二：会员信息数据 附件三：新项目任务数据
数学建模的经典模板
一、摘要 内容： （1）用1、2句话说明原问题中要解决的问题； （2）建立了什么模型（在数学上属于什么类型），建模的思想（思路），模型特点； （3）算法思想（求解思路），特色； （4）主要结果（数值结果，结论）；（回答题目的全部“问题”） （5）模型优点，结果检验；模型检验，灵敏度分析，有无改进，推广 要求 （1）特色和创新之处必须在这里强调； （2）长度 （3）要确保准确、简明、条理、清晰、突出特色和创新点； 二、问题的提出 内容： 用自己的语言阐述背景，条件，要求；重点列出‘问题’也即要求； 要求： （1）不是题目的完整拷贝 （2）根据自己的理解，用自己的语言清楚简明的阐述背景、条件和要求； 三、条件假设 内容 （1）根据题目中的条件做出假设 （2）根据题目中的要求做出假设； 要求 （1）合理性最重要； （2）假设合理且全面，但不欣赏罗列大量的无关假设，关键性假设不能缺； （3）合理假设作用： 简化问题，明确问题，限定模型的适用范围 四、符号约定 五、问题分析 1．名词解释 2．问题的背景分析 3．问题分析 六、模型建立 抽象要求 （1）模型的主要类别：初等模型、微分方程模型、差分方程模型、概率模型、统计预测模型、
优化模型、决策模型、图论模型等 （2）几种常见的建模目的：（对应相对（1）的方法） 描述或解释现实世界的各类现象，常采用机理型分析方法，探索研究对象的内在规律性； 预测感兴趣的时间爱你是否会发生，或者事物的房展趋势，常采用数理统计或模拟的方法； 优化管理、决策或者控制事物，需要合理地定义可量化的评价指标及评价方法； （3）建模过程常见的几个要点： 模型的整体设计、合理的假设、建立数学结构、建立数学表达式； （4）模型的要求： 明确、合理、简洁、具有一般性； 例如：有些论文不给出明确的模型，只是就赛题所给的特殊情况，用凑得方法给出结果，虽然结果大致对，但缺乏一般性，不是建模的正确思路；（（与第三点对应）） （5）鼓励创新，特别欣赏独树一帜、标新立异，但要合理 （6）避免出现罗列一系列的模型，又不做评价的现象； 具体要求： （1）基本模型：首先要有数学模型：数学公式、方案等；基本模型，要求完整，正确，简明（2）简化模型：要明确说明，简化思想，依据；简化后的模型尽可能给出； 七、模型求解 每一块内容包括：计算方法设计或选择、算法设计或选择、算法思想依据、步骤及实现、计算框图、所采用的软件名称 写作要求： 1、需要建立数学命题时：命题叙述要符合数学命题的表述规范，尽可能论证严密 2、需要说明计算方法或算法的原理、思想、依据、步骤。若采用现有软件，说明采用此软件的理由，软件名称 3、计算过程，中间结果可要可不要的，不要列出 4、设法算出合理的数值结果 5、最终数值结果的正确性或合理性是第一位的 6、对数值结果或模拟结果进行必要的检验。结果不正确、不合理、或误差大时，分析原因，对算法、计算方法、或模型进行修正、改进 7、题目中要求回答的问题，数值结果，结论，须一一列出 8、列数据问题：考虑是否需要列出多组数据，或额外数据对数据进行比较、分析，为各种方案的提出提供依据 9、结果表示：要集中，一目了然，直观，便于比较分析 ▲数值结果表示：精心设计表格；可能的话，用图形图表形式 ▲求解方案，用图示更好 10、必要时对问题解答，作定性或规律性的讨论。最后结论要明确 内容 （1）算法设计或选择，算法的思想依据，步骤； （2）引用或建立必要的数学命题和定理； （3）在不能给出精确解的情况下，需要给出不知一种解法（算法），并进行测试比较，给出
数学建模常见评价模型简介
常见评价模型简介 评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如2005年全国赛A题长江水质的评价问题，2008年B题高校学费标准评价体系问题等。主要介绍三种比较常用的评价模型：层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。 层次分析模型 层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个排序。其主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。 运用层次分析法进行决策，可以分为以下四个步骤： 步骤1 建立层次分析结构模型 深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。 步骤2构造成对比较阵 对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，借助1~9尺度，构造比较矩阵； 步骤3计算权向量并作一致性检验 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过，则最大特征根对应的特征向量做为权向量。
步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验) 组合权向量可作为决策的定量依据 通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。 例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。 步骤1 建立系统的递阶层次结构 将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。
全国大学生数学建模竞赛论文
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名)：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：指导教师组 日期：年月日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
论文标题 摘要 摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈述，其作用是使读者不阅读论文全文即能获得必要的信息。 一般说来，摘要应包含以下五个方面的内容： ①研究的主要问题； ②建立的什么模型； ③用的什么求解方法； ④主要结果（简单、主要的）； ⑤自我评价和推广。 摘要中不要有关键字和数学表达式。 数学建模竞赛章程规定，对竞赛论文的评价应以： ①假设的合理性 ②建模的创造性 ③结果的正确性 ④文字表述的清晰性 为主要标准。 所以论文中应努力反映出这些特点。 注意：整个版式要完全按照《全国大学生数学建模竞赛论文格式规范》的要求书写，否则无法送全国评奖。
数学建模简介
数学建模简介 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言作表述，也就是建立数学模型，然后用通过计算得到的结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。 数学建模的广泛应用 数学建模的应用逐渐变的广泛，数学建模大量用于一般工程技术领域，用于代替传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段；在高新科技领域，成为必不可少的工具，无论是在通信、航天、微电子、自动化都是创新工艺、开发新 产品的必要手段；在新的科研领域在用数学方法研究 其中的定量关系时，数学建模就成为首要的、关键的 步骤和这些学科发展和应用的基础。 将计算机技术和数学建模进行紧密结合，使得原 本抽象的数学模型生动具体的呈现在研究者面前，使 得问题得到更好的解决。 数学建模的分支——数据挖掘 数据挖掘（Data Mining，DM）是目前人工智能和数 据库领域研究的热点问题，所谓数据挖掘是指从数据库 的大量数据中揭示出隐含的、先前未知的并有潜在价值 的信息的非平凡过程。数据挖掘是一种决策支持过程， 它主要基于人工智能、机器学习、模式识别、统计学、 数据库、可视化技术等，高度自动化地分析企业的数据， 做出归纳性的推理，从中挖掘出潜在的模式，帮助决策 者调整市场策略，减少风险，做出正确的决策。 数据挖掘是通过分析每个数据，从大量数据中寻找其规律的技术，主要有数据准备、规律寻找和规律表示3个步骤。数据准备是从相关的数据源中选取所需的数据并整合成用于数据挖掘的数据集；规律寻找是用某种方法将数据集所含的规律找出来；规律表示是尽可能以用户可理解的方式（如可视化）将找出的规律表示出来。 数据挖掘的任务有关联分析、聚类分析、分类分析、异常分析、特异群组分析和演变分析，等等。
2020全国大学生数学建模竞赛试题
A题炉温曲线 在集成电路板等电子产品生产中，需要将安装有各种电子元件的印刷电路板放置在回焊炉中，通过加热，将电子元件自动焊接到电路板上。在这个生产过程中，让回焊炉的各部分保持工艺要求的温度，对产品质量至关重要。目前，这方面的许多工作是通过实验测试来进行控制和调整的。本题旨在通过机理模型来进行分析研究。 回焊炉内部设置若干个小温区，它们从功能上可分成4个大温区：预热区、恒温区、回流区、冷却区（如图1所示）。电路板两侧搭在传送带上匀速进入炉内进行加热焊接。 图1 回焊炉截面示意图 某回焊炉内有11个小温区及炉前区域和炉后区域（如图1），每个小温区长度为30.5 cm，相邻小温区之间有5 cm的间隙，炉前区域和炉后区域长度均为25 cm。 回焊炉启动后，炉内空气温度会在短时间内达到稳定，此后，回焊炉方可进行焊接工作。炉前区域、炉后区域以及小温区之间的间隙不做特殊的温度控制，其温度与相邻温区的温度有关，各温区边界附近的温度也可能受到相邻温区温度的影响。另外，生产车间的温度保持在25oC。 在设定各温区的温度和传送带的过炉速度后，可以通过温度传感器测试某些位置上焊接区域中心的温度，称之为炉温曲线（即焊接区域中心温度曲线）。附件是某次实验中炉温曲线的数据，各温区设定的温度分别为175oC（小温区1~5）、195oC（小温区6）、235oC（小温区7）、255oC（小温区8~9）及25oC（小温区10~11）；传送带的过炉速度为70 cm/min；焊接区域的厚度为0.15 mm。温度传感器在焊接区域中心的温度达到30oC时开始工作，电路板进入回焊炉开始计时。 实际生产时可以通过调节各温区的设定温度和传送带的过炉速度来控制产品质量。在上述实验设定温度的基础上，各小温区设定温度可以进行oC范围内的调整。调整时要求小温区1~5中的温度保持一致，小温区8~9中的温度保持一致，小温区10~11中的温度保持25oC。传送带的过炉速度调节范围为65~100 cm/min。 在回焊炉电路板焊接生产中，炉温曲线应满足一定的要求，称为制程界限（见表1）。 表1 制程界限 界限名称 最低值 最高值
初中数学建模案例资料
初中数学建模案例
中学数学建模论文指导 中学阶段常见的数学模型有：方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型和统计模型等。我们也把运用数学模型解决实际问题的方法统称为应用建模。可以分五种模型来写。论文最好自己写，如果是参加竞赛的话从网上找的会被搜出来的。 一、建模论文的标准组成部分 建模论文作为一种研究性学习有意义的尝试，可以锻炼学生发现问题、解决问题的能力。一般来说，建模论文的标准组成部分由论文的标题、摘要、正文、结论、参考文献等部分组成。现就每个部分做个简要的说明。 1. 题目 题目是给评委的第一印象，所以论文的题目一定要避免指代不清，表达不明的现象。建议将论文所涉及的模型或所用的计算方式写入题目。如“用概率方法计算商场打折与返券的实惠效应”。 2. 摘要 摘要是论文中重要的组成部分。摘要应该使用简练的语言叙述论文的核心观点和主要思想。如果你有一些创新的地方，一定要在摘要中说明。进一步，必须把一些数值的结果放在摘要里面，例如：“我们的最终计算得出，对于消费者来说，打折比返券的实惠率提高了23%。”摘要应该最后书写。在论文的其他部分还没有完成之前,你不应该书写摘要。因为摘要是论文的主旨和核心内容的集中体现，只有将论文全部完成且把论文的体系罗列清楚后，才可写摘要。
摘要一般分三个部分。用三句话表述整篇论文的中心。 第一句，用什么模型，解决什么问题。 第二句，通过怎样的思路来解决问题。 第三句，最后结果怎么样。 当然，对于低年级的同学，也可以不写摘要。 3. 正文 正文是论文的核心，也是最重要的组成部分。在论文的写作中，正文应该是从“提出问题—分析问题—选择模型—建立模型—得出结论”的方式来逐渐进行的。其中，提出问题、分析问题应该是清晰简短。而选择模型和建立模型应该是目标明确、数据详实、公式合理、计算精确。在正文写作中，应尽量不要用单纯的文字表述，尽量多地结合图表和数据，尽量多地使用科学语言，这会使得论文的层次上升。 4. 结论 论文的结论集中表现了这篇论文的成果，可以说，只有论文的结论经得起推敲，论文才可以获得比较高的评价。结论的书写应该注意用词准确，与正文所描述或论证的现象或数据保持绝对的统一。并且一定要对结论进行自我点评，最好是能将结论推广到社会实践中去检验。
全国数学建模大赛题目
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 A题储油罐的变位识别与罐容表标定 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。 请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。 （2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。 附件1：小椭圆储油罐的实验数据 附件2：实际储油罐的检测数据 地平线油位探针
附录：全国大学生数学建模竞赛简介
全国大学生数学建模竞赛简介 全国大学生数学建模竞赛（China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling，简称CUMCM）是由国家教育部高等教育司和中国工业与应用数学学会联合举办的，在全国高校中规模最大的课外科技活动之一. 其竞赛宗旨是：创新意识、团队精神、重在参与、公平竞争. 本竞赛每年9月(一般在中旬某个周末的星期五至下周星期一共3天，72小时）举行，竞赛面向全国大专院校的学生，不分专业（但竞赛分本科、专科两组，本科组竞赛所有大学生均可参加，专科组竞赛只有专科生（包括高职、高专生）可以参加）.同学们可以向本校教务部门咨询，如有必要也可直接与全国竞赛组委会或各省（市、自治区）赛区组委会联系. 全国大学生数学建模竞赛章程（2008年）第一条总则 全国大学生数学建模竞赛（以下简称竞赛）是教育部高等教育司和中国工业与应用数学学会共同主办的面向全国大学生的群众性科技活动，目的在于激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力，鼓励广大学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识面，培养创造精神及合作意识，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革. 第二条竞赛内容 竞赛题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实际问题，不要求参赛者预先掌握深入的专门知识，只需要学过高等学校的数学课程.题目有较大的灵活性供参赛者发挥其创造能力.参赛者应根据题目要求，完成一篇包括模型的假设、建立和求解、计算方法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文（即答卷）.竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准. 第三条竞赛形式、规则和纪律 1．全国统一竞赛题目，采取通讯竞赛方式，以相对集中的形式进行. 2．竞赛每年举办一次，一般在某个周末前后的三天内举行. 3．大学生以队为单位参赛，每队3人（须属于同一所学校），专业不限.竞赛分本科、专科两组进行，本科生参加本科组竞赛，专科生参加专科组竞赛（也可参加本科组竞赛），研究生不得参加.每队可设一名指导教师（或教师组），从事赛前辅导和参赛的组织工作，但在竞赛期间必须回避参赛队员，不得进行指导或参与讨论，否则按违反纪律处理. 4．竞赛期间参赛队员可以使用各种图书资料、计算机和软件，在国际互联网上浏览，
数学建模中常见的十大模型
数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MA TLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的
全国数学建模竞赛B题CUMCMB
2 0 1 3 高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”) B 题碎纸片的拼接复原 破碎文件的拼接在司法物证复原、历史文献修复以及军事情报获取等领域都有着重要的应用。传统上，拼接复原工作需由人工完成，准确率较高，但效率很低。特别是当碎片数量巨大，人工拼接很难在短时间内完成任务。随着计算机技术的发展，人们试图开发碎纸片的自动拼接技术，以提高拼接复原效率。请讨论以下问题： 1. 对于给定的来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎纸片(仅纵切)，建立碎纸片拼接 复原模型和算法，并针对附件1、附件 2 给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原结果以图片形式及表格形式表达(见【结果表达格式说明】)。 2. 对于碎纸机既纵切又横切的情形，请设计碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件3、附件4 给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原结果表达要求同上。 3. 上述所给碎片数据均为单面打印文件，从现实情形出发，还可能有双面打印文件的碎纸片拼接复原问题需要解决。附件 5 给出的是一页英文印刷文字双面打印文件的碎片数据。请尝试设计相应的碎纸片拼接复原模型与算法，并就附件 5 的碎片数据给出拼接复原结果，结果表达要求同上。 【数据文件说明】 (1) 每一附件为同一页纸的碎片数据。 (2) 附件1、附件2为纵切碎片数据，每页纸被切为19 条碎片。 (3) 附件3、附件4为纵横切碎片数据，每页纸被切为11X19个碎片。 (4) 附件5为纵横切碎片数据，每页纸被切为11 X 19个碎片，每个碎片有正反两面。该附件中 每一碎片对应两个文件，共有2X 11X 19个文件，例如，第一个碎片的两面分别对应文件000a、000b。 【结果表达格式说明】 复原图片放入附录中，表格表达格式如下： (1) 附件1、附件2的结果：将碎片序号按复原后顺序填入1X 19的表格； (2) 附件3、附件4的结果：将碎片序号按复原后顺序填入11X 19的表格； (3) 附件5的结果：将碎片序号按复原后顺序填入两个11X 19的表格；
数学建模讲义9.2
§9.2合作对策模型 力合作，常常可以获得更大的总收益（或受到更小的总损失）。本节主要讨论在这种合作中应当如何分配收益（或分摊损失），这一问题如果处理不当，合作显然是无法实现的。先让我们来分析一个具体实例
例7有三个位于某河流同旁的城镇城1、城2、城3(如图）三城镇的污水必须经过处理后方能排入河中，他们既可以单独建立污水处理厂，也可以通过管道输送联合建厂。为了讨论方便起见，我们再假设污水只能由上游往下游。 用Q表示污水量，单位为米3/秒，L表示管道长度，单位为公里，则有经验公式： 建厂费用 C 1=730Q0.712（万元） 管道费用 C 2=6.6Q0.51L(万元） 已知三城镇的污水量分别为： Q 1=5米3/秒，Q 2 =3米3/秒，Q 3 =5米3/秒，问： 三城镇应怎样处理污水方可使总开支最少？每一城镇负担的费用应各为多少？ 城一 城二 城三38公里 20公里
分析本问题中三城镇处理污水可以有五种方案： (1)每城镇各建一个处理厂（单干）。 (2)城1,城2合建一个,城3单独建一个(1、2城合作建于城2处)。 (3)城2,城3合建一个,城1单独建一个(2、3城合作建于城3处)。 (4)城3,城1合建一个,城2单独建一个(1、3城合作建于城3处)。 (5)三城合建一个污水处理厂（建于城3处）城一城二城三 38公里20公里容易计算：方案总投资(：万元) 1620025800 3 59504 623055560以三城合作总投资为最 少
费用怎么分摊呢？ 建厂费用按三城污水量之比5：3：5分摊，管道是为城1、城2建的，应由两城协商分摊。城一城二城三 38公里 20公里建厂处同意城3意见，由城2→城3的管道费用可按污水量之比5：3：5分摊，但城1→城2的管道费用应由城1承担。分摊方案有道理，但得作一番“可行性论证”，城1的“可行性论证”：联合建厂费：（万元）城1负担：（万元）城1→城2管道费：（万元）全部由城1负担城2→城3管道费：（万元）城1负担：（万元）城1的总负担：约为2457万元 4530)535(730712.0=++?17424530135≈?3002056.651.0≈??72438)35(6.651.0≈?+?5.42572485=?城1自己建厂费用：2300万元合作后城1费用增加！差点做了冤大头！！！
数学建模如何查找资料
在数学建模中文献资料的查找是十分关键，其实不仅是在数学建模中，在学习和做研究就是如此，不阅读文献资料就相当于闭门造车，什么都弄不出来，现在的工作几乎都可以说是站在前人的肩膀上，从出生开始就是站在前人的肩膀上了，所学的任何书本知识都是前人总结出来的。通过文献资料的阅读可以知道别人在这个方面做了多少工作了，怎么做的工作，取得了哪些进展，还存在什么问题没解决，难点在哪里，热点在哪里，哪里是关键，哪些是有价值的，哪些是无意义的等等等等......，并且可以通过查找文献得到一些很有用的信息，比如某个教授牛的程度，所擅长的领域等等，呵呵，翻教授老底了，比较好玩，选导师的时候强烈推荐。 文献查找主要有三个模式： A.书 B.书+中外文期刊数据库 C.书+中外文期刊数据库+学位论文 D.书+中外文期刊数据库+学位论文+搜索引擎对于全国赛推荐D模式，但要改为Dc模式：中外文期刊数据库+学位论文
对于美赛则要改为Da模式：外文期刊数据库+搜索引擎 在此要解释下为何如此推荐，对于参加建模的来说一般书基本上是用不上了的，没必要去查了，直接查找数据库即可了，全国赛的题目大多是研究了很多年的东西了，这个也是和国内学术环境相关的，虽然近几年的赛题是体现最新形式的，但是相关的研究还是有的，还是可以参考的，要知道国内鲜有几个教授牛的站在国际前沿还给本科生出个数模题玩玩的，一般都是老东西新面孔的。也就是可以归类为学术研究类的新面孔老方法类。所以查数据库是最有效率的方法，并且查学位论文是尤其推荐的，要知道查找学位论文是最高效率得到信息的途径。虽然学位论文很长，很吓人，没有七八十页也有个一百多页，其实看多了学位论文就知道真正有用的东西页就那么个十多页最多二十多页，直接翻到那个部分看就可以了，为什么篇幅这么大就和中国的教育中的一些硬性指标相关了，每个级别的学位论文都有一个规定的字数范围，虽然大部分是垃圾，但为了达到这个字数要求也得凑足这个数字，水了，中国高等教育的悲哀啊。
中国大学生数学建模竞赛历年试题
中国大学生数学建模竞赛(CUMCM)历年赛题一览! CUMCM历年赛题一览!! CUMCM从1992年到2007年的16年中共出了45个题目,供大家浏览 1992年Ａ)施肥效果分析问题(北京理工大学：叶其孝） (B)实验数据分解问题（复旦大学：谭永基） 1993年Ａ)非线性交调的频率设计问题（北京大学：谢衷洁） (Ｂ)足球排名次问题（清华大学：蔡大用） 1994年Ａ)逢山开路问题（西安电子科技大学：何大可） (Ｂ)锁具装箱问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） 1995年:(Ａ)飞行管理问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） (Ｂ)天车与冶炼炉的作业调度问题（浙江大学：刘祥官,李吉鸾） 1996年:(A)最优捕鱼策略问题（北京师范大学：刘来福） (B)节水洗衣机问题（重庆大学：付鹂） 1997年:(A)零件参数设计问题（清华大学：姜启源） (B)截断切割问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） 1998年:(A)投资的收益和风险问题（浙江大学：陈淑平） (B)灾情巡视路线问题（上海海运学院：丁颂康） 1999年:(A)自动化车床管理问题（北京大学：孙山泽） (B)钻井布局问题（郑州大学：林诒勋） (C)煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰） (D)钻井布局问题（郑州大学：林诒勋） 2000年:(A)DNA序列分类问题（北京工业大学：孟大志） (B)钢管订购和运输问题（武汉大学：费甫生） (C)飞越北极问题（复旦大学：谭永基） (D)空洞探测问题（东北电力学院：关信） 2001年:(A)血管的三维重建问题（浙江大学：汪国昭） (B)公交车调度问题（清华大学：谭泽光） (C)基金使用计划问题（东南大学：陈恩水） (D)公交车调度问题（清华大学：谭泽光） 2002年:(A)车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） (B)彩票中的数学问题（解放军信息工程大学：韩中庚） (C)车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此））
数学建模所需要的知识
学习数学建模需要哪些书籍及软件 我也要参加今年九月份的数学建模比赛，以下是我们老师给我们的几点建议，希望对你有些帮助。 赛前学习内容 1建模基础知识、常用工具软件的使用 一、掌握建模必备的数学基础知识（如初等数学、高等数学等），数学建模中常用的但尚未学过的方法，如图论方法、优化中若干方法、概率统计以及运筹学等方法。 二、，针对建模特点，结合典型的建模题型，重点学习一些实用数学软件（如Mathematica 、Matlab、Lindo 、Lingo、SPSS）的使用及一般性开发,尤其注意同一数学模型可以用多个软件求解的问题。 例如, 贷款买房问题: 某人贷款8 万元买房，每月还贷款880.87 元，月利率1％。 （1）已经还贷整6 年。还贷6 年后，某人想知道自己还欠银行多少钱，请你告诉他。（2）此人忘记这笔贷款期限是多少年，请你告诉他。 这问题我们可以用Mathematica 、Matlab、Lindo 、Lingo 等多个不同软件包编程求解 2 建模的过程、方法 数学建模是一项非常具有创造性和挑战性的活动，不可能用一些条条框框规定出各种模型如何具体建立。但一般来说，建模主要涉及两个方面：第一，将实际问题转化为理论模型；第二，对理论模型进行计算和分析。简而言之，就是建立数学模型来解决各种实际问题的过程。这个过程可以用如下图1来表示。 3常用算法的设计 建模与计算是数学模型的两大核心，当模型建立后，计算就成为解决问题的关键要素了，而算法好坏将直接影响运算速度的快慢答案的优劣。根据竞赛题型特点及前参赛获奖选手的心得体会，建议大家多用数学软件（Mathematica,Matlab,Maple,Lindo,Lingo,SPSS 等）设计算法，这里列举常用的几种数学建模算法. （1）蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法，通常使用Mathematica、Matlab 软件实现）。 （2）数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab 作为工具）。 （3）线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件实现）。 （4）图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备，通常使用Mathematica、Maple 作为工
数学建模复习资料
（题号前有*的老师没给答案的） 一、简答题 6*10=60分 1. 什么是数学模型？ 数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构．简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律． *2. 什么是数学建模？ 数学建模就是构造数学模型的过程，即用数学的语言——公式、符号、图表等刻画和描述一个实际问题，然后精经过数学的处理——计算、迭代等得到定量的结果，以供人们作分析、预报、决策和控制。 3. 简述数学模型的分类？ 按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、扩散模型等． 按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等． 4. 请给出最小生成树的定义与Kruskal 算法的内容。 最小生成树： 在赋权图G 中，求一棵生成树，使其总权最小，称这棵生成树为图G 的最小生树.Kruskal 算法思想及步骤：Kruskal （1959）提出了求图的最小生成树的算法，其中心思想是每次添加权尽量小的边，使新的图无圈，直到生成一棵树为止，便得最小生成树，其算法步骤如下：（1）把赋权图G 中的所有边按照权的非减次序排列；（2）按（1）排列的次序检查G 中的每一条边，如果这条边与已得到的边不产生圈， 这一条边为解的一部分.（3）若已取到n-1条边，算法终止，此时以V 为顶点集，以取到的1 n 条边为边集的图即为最小生成树. 5. 适合于计算机仿真的问题有哪些？ 在下列情况中，计算机仿真能有效地解决问题：(1) 难以用数学表示的系统，或者没有求解数学模型的有效方法；(2) 虽然可以用解析的方法解决问题，但数学的分析与计算过于复杂，这时计算机仿真可能提供简单可行的求解方法；(3) 希望能在较短的时间内观察到系统发展的全过程，以估计某些参数对系统行为的影响；(4) 难以在时间环境中进行实验和观察时，计算机仿真是唯一可行的方法，