第八部分:平面解析几何初步
1. 直线的倾斜角与斜率:
(1)倾斜角α的范围是[0,π);
(2)直线的倾斜角与斜率的变化关系2
tan ()k π
αα=≠(如右图):
(3)直线经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y ,
当12x x ≠时,直线的斜率12
12
y y k x x -=
-;当12x x =时,直线倾斜角为2π,斜率不存在.
2.直线方程五种形式:
⑴点斜式:已知直线过点00(,)x y 斜率为k ,则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直
于x 轴的直线.
⑵斜截式:已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ,则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直
于x 轴的直线. ⑶两点式:已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点,则直线方程为
1121
21
y y x x y y x x ----=
,它不包
括垂直于坐标轴的直线.
⑷截距式:已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1x
y a b +
=,它不包括垂直于
坐标轴的直线和过原点的直线.
⑸一般式:任何直线均可写成0Ax By C ++=(,A B 不同时为0)的形式.
特别提醒:⑴直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式
呢?)
⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等?直线的斜率为1-
或直线过原点;直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点;直线两截距绝对值相等?直线的斜率为1±或直线过原点.
⑶截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形. 3.直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系: ⑴平行?12210A B A B -=(斜率)且12210B C B C -≠(在y 轴上截距); ⑵相交?12210A B A B -≠;(3)重合?12210A B A B -=且12210B C B C -=. 4.直线系方程:
①过两直线1l :1110A x B y C ++=和2l :2220A x B y C ++=交点的直线系方程可设 为111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=;
②与直线:0l Ax By C ++=平行的直线系方程可设为0()Ax By m m c ++=≠; ③与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线系方程可设为0Bx Ay n -+=. 5.距离公式:
①点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=
的距离公式d ;
②两条平行线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=
的距离是d 6.圆的方程:
⑴标准方程:222()()x a y b r -+-=.
⑵圆的一般方程:22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->.
特别提醒:①只有当2240D E F +->时,方程 220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为(,)22
D E --,半径
②二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆0A C ?=≠, 且220,40B D E AF =+->.
⑶圆的参数方程:cos sin x a r y b r θ
θ
=+??
=+?(θ为参数),其中圆心为(,)a b ,半径为r .
圆的参数方程主要应用是三角换元:222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==;
222cos ,sin (0x y t x r y r r θθ+=→==≤.
⑷以11(,)A x y 、22(,)B x y 为直径的圆的方程1212()()()()0x x x x y y y y --+--=; 7.点和圆的位置关系通常用几何法(圆心到直线距离).
点00(,)P x y 及圆的方程222()()x a y b r -+-=.①22200()()x a y b r -+->?点P 在圆外; ②22200()()x a y b r -+-
①点00(,)P x y 在圆222x y r +=上,则过点P 的切线方程为:200x x y y r +=; ②过圆222()()x a y b r -+-=上一点00(,)P x y 切线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=. 特别提醒:过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与x 轴垂直
的直线.
9.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形求解弦长问题.①d r >?相离 ②d r =?相切 ③d r
特别提醒:解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、
弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).
10.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系. 设两圆的圆心距为d ,两圆的半径分别为,r R :d R r >+?两圆相离; d R r =+?两圆相外切; ||R r d R r -<<+?两圆相交;
||d R r =-?两圆相内切; ||d R r <-?两圆内含;0d =?两圆同心. 11.过圆1C :221110x y D x E y F ++++=,2C :222220x y D x E y F ++++=交点的圆(相交弦)系方程为
2222111222()()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=.1λ=-时为两圆相交弦所在直线方程.
第九部分:圆锥曲线方程
1、圆锥曲线几何性质
如果涉及到其两“焦点”,优先选用圆锥曲线第一定义;如果涉及到其“焦点”、“准线”或 “离心率”,优先选用圆锥曲线第二定义;此外,如果涉及到焦点三角形的问题,也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用.
椭圆方程的第一定义:为端点的线段
以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,
2,
2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+
双曲线的第一定义:的一个端点的一条射线
以无轨迹
方程为双曲线
21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-
圆锥曲线第二定义(统一定义):平面内到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨
迹.简言之就是 “e =点点距点线距
(数的统一)”,椭圆,双曲线,抛物线相对关系(形的统一)如右
图.
当10 e 时,轨迹为椭圆; 当1=e 时,轨迹为抛物线; 当1 e 时,轨迹为双曲线;
当0=e 时,轨迹为圆(a
c
e =,当b a c ==,0时).
圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、圆锥曲线的变化趋势.其中c e a
=,
椭圆中b a =、双曲线中b a
=.
圆锥曲线的焦半径公式如下图:
特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其“顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质”,尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点
2、圆锥曲线中的精要结论:
(1)焦半径:(1)椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>:0201,ex a PF ex a PF -=+=;
(左“+”右“-”); 椭圆22221(0)x y a b b a +=>>,22
10002000()(0),()(0)a a PF e x a ex x PF e x ex a x c c
=+=+<=-=->
(2)抛物线:20p
x PF +
=
(2)弦长公式:]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-?+=
]4)[()11(11212
212
122y y y y k y y k -+?+=-?+
=; 特别提醒:(1)焦点弦长:i .椭圆:)(2||21x x e a AB +±=;
ii .抛物线:AB =1222sin p
x x p α
++=
;
(2)通径(最短弦):i .椭圆、双曲线:2
2b a
; ii .抛物线:2p .
(3)椭圆中的结论:
(1)内接矩形最大面积:2ab ;
(2)P ,Q 为椭圆上任意两点,且OP OQ ⊥,则2
2
2
2
1111||||OP OQ a b +
=
+
;
(3)椭圆焦点三角形: i .12
2
tan
2
PF F S b θ
?=,(12F PF θ=∠);
ii .点M 是21F PF ?内心,PM 交21F F 于点N ,则c
a
MN PM =||||;
(4)当点P 与椭圆短轴顶点重合时21PF F ∠最大; (5)共离心率的椭圆系的方程:椭圆
)0(12
2
2
2 b a b
y a x =+
的离心率是)(22b a c a c
e -==,方程
t t b y a x (2
22
2=+
是大于0的参数,)0 b a 的离心率也是a
c
e =
,我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.
(4)双曲线中的结论:
(1)双曲线12222=-b y a x (0,0a b >>)的渐近线:02
222
=-b y a x ;
(2)共渐进线x a b
y ±=的双曲线标准方程为λλ(2
222
=-b
y a x 为参数,λ≠0);
(3)双曲线焦点三角形:
i .2
cot
2
21θ
b S F PF =?,(21PF F ∠=θ);
ii .P 是双曲线22a x -22
b
y =1(a >0,b >0)的左(右)支上一点,F 1、F 2分别为左、右焦
点,则△PF 1F 2的内切圆的圆心横坐标为)(,a a -;
(4)等轴双曲线:双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线,其渐近线方程为x y ±=(渐近线
互相垂直),离心率2=e .
(5)共渐近线的双曲线系方程:
)0(2
22
2≠=-λλb y a x 的渐近线方程为
02
22
2=-b y a x 如果双曲线的
渐近线为0=±b y a x 时,它的双曲线方程可设为(2222≠=-λλb
y a x (6) 叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-2222
b y a x
与λ-=-2222b y a x 互 为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:02222
=-b y a x
.
(7) 直线与双曲线的位置关系:
区域①:无切线,2条与渐近线平行的直线,合计2条;
区域②:即定点在双曲线上,1条切线,2区域③:2条切线,2条与渐近线平行的直线,合计4条;
d (a -
区域④:即定点在渐近线上且非原点,1条切线,1条与渐近线平行的直线,合计2条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.
特别提醒:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作的直线数目可能有0、2、3、4条.
若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入”“?法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.
(5)抛物线中的结论:
(1)抛物线22y px =(0)p >的焦点弦AB 性质:
i .2124p x x =;212y y p =-; ii .
p
BF AF 2
||1||1=+ ; iii .以AB 为直径的圆与准线相切;
iv .以AF (或BF )为直径的圆与y 轴相切; v .α
sin 22
p S AOB
=?. (2)抛物线2
2y px =(0)p >内结直角三角形OAB 的性质: i . 2
212
214,4P y y P x x -==; ii .AB l 恒过定点)0,2(p ;
iii .B A ,中点轨迹方程:)2(2
p x p y -=;
iv .AB OM ⊥,则M 轨迹方程为:2
2
2
)(p y p x =+-; v .2min 4)(p S AO B =? .
(3)抛物线22y px =(0)p >,对称轴上一定点)0,(a A ,则: i .当0a p <≤时,顶点到点A 距离最小,最小值为a ;
ii .当p a >时,抛物线上有关于x 轴对称的两点到点A 距离最小,最小值为2
2p ap -.
3、解析几何解题规律盘点 (1)交点问题:
①直线与圆锥曲线交于不同的两点:直线与二次曲线联立,当二次项系数不为0时,
12120x x x x ?>??+=???=? ,x my b =+与二次曲线联立,1212
y y y y ?>??
+=???=? ; ②直线与圆锥曲线相切:直线与二次曲线联立, 0
0???=?
二次项系数不等于
③直线与二次曲线有一个公共点:
??
??双曲线
直线l 二次项系数为0,表示平行于渐近线的两条直线;二次项系数为0,△=0 l
??
?直线抛物线
?二次项系数为0,表示平行于对称轴的一条直线;二次曲线不为0,△=0 (2)定点处理思路;
(3)①设参数方程;椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的参数方程是:为参数)
θθ
θ(sin cos ???==b y a x ; 圆222
()()x a x b r -+-=的参数方程:为参数)
θθθ(sin cos ???+=+=r b y r a x ②抛物线2
2(0)y px p =≠上的动点可设为:),2(020y p
y P 或)2,2(2pt pt P 或),(00y x P ,其中
0202px y =,以简化计算.
(4)直线与圆锥曲线
①直线与圆锥曲线问题解法: 1.直接法(通法):联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解. 【运算规律】:直线与圆锥曲线位置关系运算程式
(1)已知曲线
222
2
1x y a
b
±
=(22
1Ax By +=)与直线y kx m =+方程联立得:
2
2
22
2
2
2
2
2
()20b k a x mka x a m a b ±-±-=
(2
22
()210A Ba x Bmkx Bm +-+-=)
特别提醒:①当曲线为双曲线时,要对2
2
2
()b k a -与0进行比较.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
4
2
(2)4()()444mka b k a a m a b a b b a m a b ?=--+-=-+
由根与系数关系知:22222
12122
2
2
2
2
2
2;mka
a m a
b x x x x b k a
b k a
-+=
=
++
②联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解时,注意以下问题:①联立的关于“x ”还是关于“y ”的一元二次方程?②二次项系数系数为0的情况讨论了吗?③直线斜率不存在时考虑了吗?④判别式验证了吗?
2.设而不求(代点相减法)——处理弦中点与直线斜率问题,步骤如下:
已知曲线()22
221,0x y a b a b
±=>,①设点11(,)A x y 、22(,)B x y 中点为00(,)M x y ,
②作差得 =--=2121x x y y k AB
;20AB OM 20
b x k k a y = ;
对抛物线22(0)y px p =≠有0
AB 122p y p k y y =+=.
4、解析几何与向量综合的有关结论:
⑴给出直线的方向向量(1,)u k = 或(,)u m n = .等于已知直线的斜率k 或n
m
;
⑵给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点;
⑶给出0
=+,等于已知P 是MN 的中点;
⑷给出()AP AQ BP BQ λ+=+
,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;
⑸给出以下情形之一: ①//; ②存在实数λ,使AB AC λ=
; ③若存在实数,αβ,
且1αβ+=;使OC OA OB αβ=+
,等于已知C B A ,,三点共线.
⑹给出1OA OB
OP λλ
++=
,等于已知P 是的定比分点,λ为定比,即λ=
⑺给出0MA MB ?=
,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m MB MA ,等于已知
AMB ∠是钝角或反向共线,给出0MA MB m ?=>
,等于已知AMB ∠是锐角或同向共线.
⑻给出||||
()MA MB
MP MA MB λ+=
,等于已知MP 是AMB ∠的平分线.
⑼在平行四边形ABCD 中,给出0)()(=-?+,等于已知ABCD 是菱形. ⑽在平行四边形ABCD 中,给出||||AB AD AB AD +=-
,等于已知ABCD 是矩形.
⑾在ABC ?中,给出2
2
2
==,等于已知O 是ABC ?的外心(三角形的外心是外接圆
的圆心,是三角形三边垂直平分线的交点).
⑿在ABC ?中,给出0=++OC OB OA ,等于已知O 是ABC ?的重心(三角形的重心是三角形
三条中线的交点).
⒀在ABC ?中,给出?=?=?,等于已知O 是ABC ?的垂心(三角形的垂
心是三角形三条高的交点). ⒁在ABC ?中,给出+
=OA OP ()||||
AB AC AB AC λ+
)(+∈R λ等于已知通过ABC ?的内心.
⒂在ABC ?中,给出,0=?+?+?OC c OB b OA a 等于已知O 是ABC ?的内心(三角形内切圆 的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点).
⒃在ABC ?中,给出1
2
()AD AB AC =+
,等于已知AD 是ABC ?中BC 边的中线.
第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则