第一章 信号与系统(二)
1-1画出下列各信号的波形【式中)()
(t t t r ε=】为斜升函数。
(2)∞<<-∞=-t e t f t ,)( (3))()sin()(t t t f επ= (4))(sin )(t t f ε= (5))(sin )(t r t f = (7))(2)(k t f k ε= (10))(])1(1[)(k k f k ε-+= 解:各信号波形为 (2)∞<<-∞=-t e t f t ,)( (3))()sin()(t t t f επ= (4))(sin )(t t f ε= (5))(sin )(t r t f = (7))(2)(k t f k ε= (10))(])1(1[)(k k f k ε-+=
1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。 (1))2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε (2)
)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f
(5)
)2()2()(t t r t f -=ε (8)
)]5()([)(--=k k k k f εε
(11))]7()()[6
sin(
)(--=k k k k f εεπ
(12))]()3([2)(k k k f k ---=εε
解:各信号波形为 (1))2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε
(2))2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f
(5)
)2()2()(t t r t f -=ε
(8)
)]5()([)(--=k k k k f εε
(11))]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ
(12)
)]()3([2)(k k k f k ---=εε
1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。
1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。
1-5 判别下列各序列是否为周期性的。如果是,确定其周期。
(2))6
3cos()443cos()(2
π
πππ+++=k k k f (5))sin(2cos 3)(5t t t f π+=
解: 1-6 已知信号
)(t f 的波形如图1-5所示,画出下列各函数的波形。
(1))()1(t t f ε- (2))1()1(--t t f ε (5))21(t f -
(6)
)25.0(-t f
(7)dt
t df )
( (8)dx x f t ?∞-)(
解:各信号波形为 (1))()1(t t f ε-
(2))1()1(--t t f ε
(5))21(t f -
(6)
)25.0(-t f
(7)dt t df )(
(8)
dx x f t
?
∞
-)(
1-7 已知序列)(k f 的图形如图1-7所示,画出下列各序列的图形。
(1))()2(k k f ε- (2))2()2(--k k f ε
(3))]4()()[2(---k k k f εε (4))2(--k f (5)
)1()2(+-+-k k f ε (6))3()(--k f k f
解:
1-9 已知信号的波形如图1-11所示,分别画出
)(t f 和dt
t df )(的波形。
解:由图1-11知,)3(t f -的波形如图1-12(a)所示()3(t f -波形是由对
)23(t f -的波形展宽为原来的两倍而得)。将)3(t f -的波形
反转而得到
)3(+t f 的波形,如图1-12(b)所示。再将)3(+t f 的波形
右移3个单位,就得到了)(t f ,如图1-12(c)所示。dt
t df )(的波形如图
1-12(d)所示。 1-10 计算下列各题。
(1)[]{})()2sin(cos 22
t t t dt
d ε+ (2))]([)1(t
e dt d t t δ--
(5)
dt t t
t )2()]4
sin([2
++?
∞
∞-δπ (8)
dx x x t
)(')1(δ?
∞
--
1-12 如图1-13所示的电路,写出
(1)以)(t u C 为响应的微分方程。 (2)以)(t i L 为响应的微分方程。 1-20 写出图1-18各系统的微分或差分方程。 1-23 设系统的初始状态为)0(x ,激励为
)(?f ,各系统的全响应)(?y 与
激励和初始状态的关系如下,试分析各系统是否是线性的。
(1)?+
=-t
t
dx x xf x e t y 0
)(sin )0()( (2)
?+=t
dx x f x t f t y 0
)()0()()(
(3)?+=t
dx x f t x t y 0)(])0(sin[)( (4)
)2()()0()5.0()(-+=k f k f x k y k
(5)∑=+
=k
j j f kx k y 0
)()0()(
1-25 设激励为)(?f ,下列是各系统的零状态响应)(?zs y 。判断各系统
是否是线性的、时不变的、因果的、稳定的? (1)dt
t df
t y zs )
()(= (2))()(t f t y zs = (3)
)2cos()()(t t f t y zs π=
(4))()(t f t y zs -= (5))1()()(-=k f k f k y zs
(6)
)()2()(k f k k y zs -=
(7)∑==k
j zs j f k y 0
)()( (8)
)1()(k f k y zs -=
1-28 某一阶LTI 离散系统,其初始状态为)0(x 。已知当激励为)()(1k k y ε=时,其全响应为
若初始状态不变,当激励为)(k f -时,其全响应为)(]1)5.0(2[)(2k k y k ε-= 若初始状态为)0(2x ,当激励为)(4k f 时,求其全响应。
第二章
2-1 已知描述系统的微分方程和初始状态如下,试求其零输入响应。 (1)1)0(',1)0(),()(6)('5)(''-===++-y y t f t y t y t y (4)0)0(',2)0(),()()(''===+-y y t f t y t y
2-2 已知描述系统的微分方程和初始状态如下,试求其+0值
)0(+y 和
)0('+y 。
(2))()(,1)0(',1)0(),('')(8)('6)(''t t f y y t f t y t y t y δ====++-- (4))()(,2)0(',1)0(),(')(5)('4)(''2t e t f y y t f t y t y t y t ε====++-- 解:
2-4 已知描述系统的微分方程和初始状态如下,试求其零输入响应、零状态响应和全响应。 (2)
)()(,2)0(',1)0(),(3)(')(4)('4)(''t e t f y y t f t f t y t y t y t ε---===+=++
解:
2-8 如图2-4所示的电路,若以)(t i S 为输入,)(t u R 为输出,试列出其微分方程,并求出冲激响应和阶跃响应。
2-12 如图2-6所示的电路,以电容电压)(t u C 为响应,试求其冲激响应和阶跃响应。
2-16 各函数波形如图2-8所示,图2-8(b)、(c)、(d)均为单位冲激函数,试求下列卷积,并画出波形图。 (1))(*)(21t f t f (2)
)(*)(31t f t f (3)
)(*)(41t f t f
(4)
)(*)(*)(221t f t f t f (5)
)3()(2[*)(341--t f t f t f
波形图如图2-9(a)所示。 波形图如图2-9(b)所示。
波形图如图2-9(c)所示。 波形图如图2-9(d)所示。 波形图如图2-9(e)所示。 2-20 已知
)()(1t t t f ε=,)2()()(2--=t t t f εε,求
)2('*)1(*)()(21--=t t f t f t y δ
2-22 某LTI 系统,其输入
)(t f 与输出)(t y 的关系为
dx x f e t y t x t )2()(1
)(2-=?∞---
求该系统的冲激响应)(t h 。 2-28 如图2-19所示的系统,试求输入)()(t t f ε=时,系统的零状态
响应。
2-29 如图2-20所示的系统,它由几个子系统组合而成,各子系统的冲激响应分别为
求复合系统的冲激响应。
第三章习题
、试求序列k
01(k)=2f ????? ?????
,
的差分(k)f ?、(k)f ?和i=-(i)k f ∞∑。
、求下列差分方程所描述的LTI 离散系统的零输入相应、零状态响应和全响应。
1)()-2(-1)(),()2(),(-1)-1y k y k f k f k k y ε===
3)()2(-1)(),()(34)(),(-1)-1y k y k f k f k k k y ε+==+= 5)
1
()2(-1)(-2)(),()3()(),(-1)3,(-2)-5
2
k y k y k y k f k f k k y y ε++====
、求下列差分方程所描述的离散系统的单位序列响应。 2)()-(-2)()y k y k f k =
5)()-4(-1)8(-2)()y k y k y k f k += 、求图所示各系统的单位序列响应。
(a ) (c )
、求图所示系统的单位序列响应。 、各序列的图形如图所示,求下列卷积和。
(1)12()()f k f k *(2)23()()f k f k *(3)34()()f k f k *(4)[]213()-()()f k f k f k * 、求题图所示各系统的阶跃响应。
、求图所示系统的单位序列响应和阶跃响应。
、若LTI 离散系统的阶跃响应()()()0.5k g k k ε=,求其单位序列响应。 、如图所示系统,试求当激励分别为(1)()()f k k ε= (2)()()0.5()k f k k ε=时的零状态响应。
、如图所示的离散系统由两个子系统级联组成,已知()1=2cos
4
k h k π,()()2=k
h k k a ε,
激励()()()=--1f k k a k δδ,求该系统的零状态响应()zs
k y 。(提示:利用卷积和的结合律和交换律,可以简化运算。)
、如图所示的复合系统有三个子系统组成,它们的单位序列响应分别为
()()1=h k k ε,()()2=-5h k k ε,求复合系统的单位序列响应。
第四章习题
求下列周期信号的基波角频率Ω和周期T 。 (1)t j e 100 (2))]3(2
cos[-t π
(3))4sin()2cos(t t + (4))5cos()3cos()2cos(t t t πππ++ (5))4
sin()2
cos(t t ππ+ (6))5
cos()3
cos()2
cos(t t t π
ππ++
用直接计算傅里叶系数的方法,求图4-15所示周期函数的傅里叶系数(三角形式或指数形式)。
图4-15
利用奇偶性判断图4-18示各周期信号的傅里叶系数中所含有的频率分量。
图4-18
4-11 某1Ω电阻两端的电压)(t u 如图4-19所示, (1)求)(t u 的三角形式傅里叶系数。
(2)利用(1)的结果和1)2
1
(=u ,求下列无穷级数之和 (3)求1Ω电阻上的平均功率和电压有效值。 (4)利用(3)的结果求下列无穷级数之和
图4-19
根据傅里叶变换对称性求下列函数的傅里叶变换
(1)∞<<-∞--=
t t t t f ,)
2()]
2(2sin[)(ππ
(2)∞<<-∞+=t t
t f ,2)(22αα
(3)∞<<-∞??
????=t t t t f ,2)2sin()(2
ππ 求下列信号的傅里叶变换
(1))2()(-=-t e t f jt δ (2))1(')()1(3-=--t e t f t δ (3))9sgn()(2-=t t f (4))1()(2+=-t e t f t ε (5))12
()(-=t
t f ε
试用时域微积分性质,求图4-23示信号的频谱。
图4-23
若已知)(j ])([ωF t f F =,试求下列函数的频谱:
(1))2(t tf (3)dt
t df t
)
( (5))-1(t)-(1t f (8))2-3(t f e jt (9)t
dt t df π1
*)(
求下列函数的傅里叶变换 (1)??
?><=0
0,1,)(j ωωωωωF
(3))(3cos 2)(j ωω=F (5)ωω
ω
ω1)(2n -2
0sin 2)(j +=∑
=j n e F
试用下列方式求图4-25示信号的频谱函数
(1)利用延时和线性性质(门函数的频谱可利用已知结果)。 (2)利用时域的积分定理。
(3)将)(t f 看作门函数)(2t g 与冲激函数)2(+t δ、)2(-t δ的卷积之和。
图4-25
试求图4-27示周期信号的频谱函数。图(b )中冲激函数的强度均为1。
图4-27
如图4-29所示信号)(t f 的频谱为)(ωj F ,求下列各值[不必求出)(ωj F ] (1)0|)()0(==ωωj F F (2)ωωd j F ?∞
∞-)( (3)ωωd j F 2
)(?∞
∞-
图4-29
利用能量等式
计算下列积分的值。
(1)dt t t 2
])sin([?∞
∞- (2)?∞∞-+2
2)1(x dx
一周期为T 的周期信号)(t f ,已知其指数形式的傅里叶系数为n F ,求下列周期信号的傅里叶系数
(1))()(01t t f t f -= (2))()(2t f t f -= (3)dt
t df t f )
()(3=
(4)0),()(4>=a at f t f 求图4-30示电路中,输出电压电路中,输出电压)(2t u 对输入电流)(t i S 的频率响应)
()
()(2ωωωj I j U j H S =
,为了能无失真的传输,试确定R 1、R 2的值。 图4-30
某LTI 系统,其输入为)(t f ,输出为
式中a 为常数,且已知)()(ωj S t s ?,求该系统的频率响应)(ωj H 。
某LTI 系统的频率响应ω
ω
ωj j j H +-=22)(,若系统输入)2cos()(t t f =,求该系统的输出)(t y 。
一理想低通滤波器的频率响应 一个LTI 系统的频率响应 若输入)5cos()
3sin()(t t
t t f =
,求该系统的输出)(t y 。 如图4-35的系统,其输出是输入的平方,即)()(2t f t y =(设)(t f 为实函数)。该系统是线性的吗?
(1)如t t
t f sin )(=
,求)(t y 的频谱函数(或画出频谱图)。 (2)如)2cos(cos 2
1
)1(t t f ++=,求)(t y 的频谱函数(或画出频谱图)。
如
图4-42(a)的系统,带通滤波器的频率响应如图(b)所示,其相频特性
0)(=ω?,若输入
求输出信号)(t y 。
图4-42
有限频带信号)(t f 的最高频率为100Hz ,若对下列信号进行时域取样,求最小取样频率s f 。
(1))3(t f (2))(2t f (3))2(*)(t f t f (4))()(2t f t f +
有限频带信号)4cos()2cos(25)(11t f t f t f ππ++=,其中kHz f 11=,求Hz f s 800=的冲激函数序列)(t T δ进行取样(请注意1f f s <)。
(1)画出)(t f 及取样信号)(t f s 在频率区间(-2kHz ,2kHz )的频谱图。 (2)若将取样信号)(t f s 输入到截止频率Hz f c 500=,幅度为的理想低通滤
波器,即其频率响应
画出滤波器的输出信号的频谱,并求出输出信号)(t y 。
图4-47 图4-48
图4-49
求下列离散周期信号的傅里叶系数。 (2))4)(30()2
1(
)(=≤≤=N k k f k
第五章
5-2 求图5-1所示各信号拉普拉斯变换,并注明收敛域。
5-3 利用常用函数(例如)(t ε,
)(t e at
ε-,)()sin(t t εβ,)()cos(t t εβ等)的象函数及拉普拉斯变换的性质,求下列函数
)(t f 的拉普拉斯变换)(s F 。
(1)
)2()()2(-----t e t e t t εε (3))]1()()[sin(--t t t εεπ
(5)
)24(-t δ (7))()4
2sin(t t επ
-
(9)?
t
dx t 0)sin(π (11))]()[sin(22
t t dt
d επ
(13))(22t e t t
ε- (15))1()
3(---t te
t ε 123
5-4 如已知因果函数)(t f 的象函数11
)(2
+-=s s s F ,求下列函数
)(t y 的象函数)(s Y 。
(1))2
(t f e t
- (4))12(-t tf 5-6 求下列象函数)(s F 的原函数的初值
)0(+f 和终值)(∞f 。
(1)2)1(32)(++=s s s F (2))1(13)(++=s s s s F
5-7 求图5-2所示在
0=t 时接入的有始周期信号)(t f 的象函数
)(s F 。
图5-2
5-8 求下列各象函数)(s F 的拉普拉斯变换
)(t f 。
(1))4)(2(1
++s s (3)235422++++s s s s (5)
)4(422
++s s s
(7)2)1(1-s s (9))52(5
2+++s s s s
5-9 求下列象函数)(s F 的拉普拉斯变换)(t f ,并粗略画出它们的波
形图。
(1)11+--s e Ts
(3)3)
3(2++-s e
s (6)2
22)1(ππ+--s e s
其波形如下图所示: 其波形如下图所示: 其波形如下图所示: 5-10 下列象函数)(s F 的原函数
)(t f 是0=t 接入的有始周期信
号,求周期T 并写出其第一个周期(T t
<<0)的时间函数表达式
)(t f o 。
(1)s e
-+11
(2))1(1
2s e s -+
5-12 用拉普拉斯变换法解微分方程
)(3)(6)('5)(''t f t y t y t y =++
的零输入响应和零状态响应。 (1)已知2)0(',1)0(),()(===--y y t t f ε。
(2)已知
1)0(',0)0(),()(===---y y t e t f t ε。
5-13 描述某系统的输出)(1t y 和)(2t y 的联立微分方程为
(1)已知
0)(=t f ,1)0(1=-y ,2)0(2=-y ,求零状态响应
)(1t y zs ,)(2t y zs 。
5-15 描述某LTI 系统的微分方程为
)(4)(')(2)('3)(''t f t f t y t y t y +=++
求在下列条件下的零输入响应和零状态响应。 (1)1)0(',0)0(),()(===--y y t t f ε。
(2)
1)0(',1)0(),()(2===---y y t e t f t ε。
5-16 描述描述某LTI 系统的微分方程为
)(4)(')(2)('3)(''t f t f t y t y t y +=++
求在下列条件下的零输入响应和零状态响应。 (1)3)0(',1)0(),()(===++y y t t f ε。
(2)
2)0(',1)0(),()(2===++-y y t e t f t ε。
5-17 求下列方程所描述的LTI 系统的冲激响应)(t h 和阶跃响应
)(t g 。
(1)
)(3)(')(3)('4)(''t f t f t y t y t y -=++
5-18 已知系统函数和初始状态如下,求系统的零输入响应
)(t y zi 。
(1)6
56
)(2+++=s s s s H ,1)0(')0(==-y y
(3))
23(4)(2+++=s s s s s H ,1)0('')0(')0(===--y y y 5-22 如图5-5所示的复合系统,由4个子系统连接组成,若各子系统的
系统函数或冲激响应分别为1
1)(1+=s s H ,21)(2+=s s H ,)()(3t t h ε=,)()(24t e t h t ε-=,求复合系统的冲激响应)(t h 。
5-26 如图5-7所示系统,已知当
)()(t t f ε=时,系统的零状态响应
)()551()(32t e e t y t t zs ε--+-=,求系数a 、b 、c 。
5-28 某LTI 系统,在以下各种情况下起初始状态相同。已知当激励
)()(1t t f δ=时,其全响应)()()(1t e t t y t εδ-+=;当激励)()(2t t f ε=时,其全响应)(3)(2t e t y t ε-=。
(1)若
)()(23t e t f t ε-=,求系统的全响应。
5-29 如图5-8所示电路,其输入均为单位阶跃函数)(t ε,求电压)
(t u 的零状态响应。
5-42 某系统的频率响应ωω
ωj j j H +-=11)(,求当输入
)(t f 为下列函
数时的零状态响应)(t y zs 。
(1)
)()(t t f ε= (2))(sin )(t t t f ε=
5-50 求下列象函数的双边拉普拉斯变换。
(1)3]Re[1,)
3)(1(2
<<---s s s (2)
1]Re[3,)
3)(1(2
-<<-++s s s
(3)0]Re[,4
4
2
<+s s (4)0]Re[1,)
1)(4(4
2
<<-+++-s s s s 根据下列象函数及所标注的收敛域,求其所对应的原序列。
(1)1)(=z F ,全z 平面 (2)∞<=z z z F ,)(3 (3)0,)(1>=-z z z F
(4)∞<<-+=-z z z z F 0,12)(2
(5)a z az z F >-=
-,11
)(1
(6)a z az
z F <-=-,11
)(1
已知1)(?k δ,a
z z
k a k -?
)(ε,2)1()(-?z z k k ε,试利用z 变换的性质求下
列序列的z 变换并注明收敛域。
(1))(])1(1[2
1k k ε-+ (3))()1(k k k ε- (5))1()1(--k k k ε (7))]4()([--k k k εε (9))()2
cos(
)2
1
(k k k επ
若因果序列的z 变换)(z F 如下,能否应用终值定理?如果能,求出
)(lim k f k ∞
→。
(1))3
1)(21(1
)(2+-+=z z z z F (3))2)(1()(2--=z z z z F
求下列象函数的双边逆z 变换。
(1)31
,)31)(21(1)(2<--+=
z z z z z F (2)21
,)3
1)(21()(2>--=
z z z z z F (3)2
1,)
1()2
1
()(23
<
--=
z z z z z F
(4)2131,)1()2
1()(23
<<--=
z z z z z F
求下列象函数的逆z 变换。 (1)1,1
1
)(2>+=
z z z F (2)1,)
1)(1()(22>+--+=
z z z z z
z z F (5)1,)
1)(1()(2>--=
z z z z
z F
(6)a z a z az
z z F >-+=
,)()(3
2 如因果序列)()(z F k f ?,试求下列序列的z 变换。 (1))(0i f a k
i i ∑= (2)∑=k
i k
i f a
)(
用z 变换法解下列齐次差分方程。 (1)1)1(,0)1(9.0)(=-=--y k y k y
(3)3)1(,0)0(,0)(2)1()2(===-+-+y y k y k y k y 描述某LTI 离散系统的差分方程为
已知)()(,4
1)2(,1)1(k k f y y ε==--=-,求该系统的零输入响应)(k y zi ,零
状态响应)(k y zs 及全响应)(k y 。
图6-2为两个LTI 离散系统框图,求各系统的单位序列响应)(k h 和阶跃
响应)(k g 。
如图6-2的系统,求激励为下列序列时的零状态响应。 (1))()(k k k f ε= (3))()3
1()(k k f k ε= 如图6-5所示系统。
(1)求该系统的单位序列响应)(k h 。
解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章
第五章 二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1 (,)F x y , 2 (,)F x y 及3 (,)F x y . (1) 2222 1x y a b +=;(2) 22 22 1x y a b -=;(3)2 2y px =;(4) 223520; x y x -++= (5)2 226740 x xy y x y -+-+-=.解:(1) 221 0010 000 1a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ?? ?; 121(,)F x y x a = 221(,)F x y y b =3(,)1F x y =-;(2) 221 0010 0001a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ?? ? ; 121(,)F x y x a = 221(,)F x y y b =-;3 (,)1F x y =-.(3) 0001000p A p -?? ?= ? ?-?? ; 1(,)F x y p =-;2 (,)F x y y =;3 (,)F x y px =-;(4) 510 20 305022A ?? ? ?=- ? ? ? ??; 15(,)2F x y x =+ ;2 (,)3F x y y =-;3 5(,)22 F x y x =+;(5)
222420 x xy ky x y ++--=交于两个共轭虚交点.解:详解 略.(1)4k <-;(2)1k =或3k =(3)1k =或5k =;(4) 4924 k >. §5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线 1. 求下列二次曲线的渐进方向并指出曲线属于 何种类型的(1) 22230 x xy y x y ++++=;(2) 22342250 x xy y x y ++--+=;(3)24230xy x y --+=. 解:(1)由2 2(,)20 X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:1:1 X Y =-或1:1-且属于抛物型的; (2)由2 2(,)3420 X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:(22):3 X Y i =-且属于椭圆型的; (3) 由(,)20X Y XY φ==得渐进方向为:1:0X Y =或0:1且属于双曲型的. 2. 判断下列曲线是中心曲线,无心曲线还是线心曲线. (1)2 2224630 x xy y x y -+--+=;(2)2 2442210 x xy y x y -++--=; (3)2 281230 y x y ++-=;(4)2 296620 x xy y x y -+-+=.解:(1) 因为2 1110 12I -= =≠-,所以它为中心曲线; (2)因 为2 120 24 I -= =-且121 241-=≠--,所以它为无心曲线; (3)因为2 00002I = =且004 026 =≠,所以它为无心曲线; (4)因为2 930 3 1 I -==-且933312--==-,所以它为线心曲线;
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 § 4.1柱面 1、已知柱面的准线为: ? ? ?=+-+=-+++-0225 )2()3()1(222z y x z y x 且(1)母线平行于x 轴;(2)母线平行于直线c z y x ==,,试求这些柱面的方程。 解:(1)从方程 ?? ?=+-+=-+++-0 225 )2()3()1(222z y x z y x 中消去x ,得到:25)2()3()3(2 2 2 =-+++--z y y z 即:02 3 5622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。 (2)取准线上一点),,(0000z y x M ,过0M 且平行于直线? ??==c z y x 的直线方程为: ??? ??=-=-=? ?? ? ??=+=+=z z t y y t x x z z t y y t x x 0 00000 而0M 在准线上,所以 ?? ?=+--+=-++-+--0 2225 )2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到:026888232 22=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。 2 而0M 在准线上,所以: ?? ?+=-++=-) 2(2)2(2 2t z t x t z y t x 消去t ,得到:010******* 22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。 3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解:过 又过准线上一点),,(1111z y x M ,且方向为{ }1,1,1的直线方程为: ??? ??-=-=-=? ?? ? ??+=+=+=t z z t y y t x x t z z t y y t x x 1 11111 将此式代入准线方程,并消去t 得到: 013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x 此即为所求的圆柱面的方程。 4、已知柱面的准线为{})(),(),((u z u y u x u =γ,母线的方向平行于矢量{}Z Y X ,,=,试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为: S v u Y x +=)( 与 ?? ? ??+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 式中的v u ,为参数。 证明:对柱面上任一点),,(z y x M ,过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M ',则, v M =' 即 1、求顶点在原点,准线为01,0122 =+-=+-z y z x 的锥面方程。 解:设为锥面上任一点),,(z y x M ,过M 与O 的直线为: z Z y Y x X == 设其与准线交于),,(000Z Y X ,即存在t ,使zt Z yt Y xt X ===000,,,将它们代入准线方程,并消去参数t ,得: 0)()(222=-+--y z y z z x 即:02 22=-+z y x 此为所要求的锥面方程。 2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--,准线为0,12 22=+-=-+z y x z y x ,试求它的方程。
第五章 二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1(,)F x y ,2(,)F x y 及3(,)F x y . (1)22221x y a b +=;(2)22 221x y a b -=;(3)22y px =;(4)223520;x y x -++= (5)2226740x xy y x y -+-+-=.解:(1)221 0010 000 1a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ???;121(,)F x y x a =221 (,)F x y y b =3(,)1F x y =-;(2)2210010 000 1a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ?? ? ;121(,)F x y x a =221(,)F x y y b =-;3(,)1F x y =-.(3)0001000p A p -?? ? = ? ? -?? ; 1(,)F x y p =-;2(,)F x y y =;3(,)F x y px =-;(4)51020 305022A ?? ? ?=- ? ? ? ??; 15(,)2F x y x =+;2(,)3F x y y =-;35 (,)22 F x y x =+;(5)1232 171227342 A ??-- ? ? ?=- ? ? ?-- ??? ;11(,)232F x y x y =- -;217(,)22F x y x y =-++;37(,)342 F x y x y =-+-. 2. 求二次曲线2 2 234630x xy y x y ----+=与下列直线的交点.(1)550 x y --=
习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ?
(3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ?
2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ?
(3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4?
第一章 矢量与坐标 §1.3 数量乘矢量 4、 设→→→+=b a AB 5,→→→+-=b a BC 82,)(3→ →→-=b a CD ,证明:A 、B 、D 三点共线. 证明 ∵→ → → → → → → → → → =+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382 ∴→ AB 与→ BD 共线,又∵B 为公共点,从而A 、B 、D 三点共线. 6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点,证明:三中线矢量AL , BM , CN 可 以构成一个三角形. 证明: )(21 AC AB AL += Θ )(21 BC BA BM += )(2 1 CB CA CN += 0)(2 1 =+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL 7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点,O 是任意一点,证明 OB OA ++OC =OL +OM +ON . [证明] LA OL OA +=Θ MB OM OB += NC ON OC += )(NC MB LA ON OM OL OC OB OA +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知:0=++CN BM AL ON OM OL OC OB OA ++=++∴ 从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。 8.、如图1-5,设M 是平行四边形ABCD 的中心,O 是任意一点,证明 OA +OB +OC +OD =4OM . [证明]:因为OM = 21 (OA +OC ), OM =2 1 (OB +OD ), 所以 2OM =2 1 (OA +OB +OC +OD ) 所以 OA +OB +OC +OD =4OM . 10、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半. 图1-5
1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。 (2)∞<<-∞=-t e t f t ,)( (3))()sin()(t t t f επ= (4))(sin )(t t f ε= (5))(sin )(t r t f = (7))(2)(k t f k ε= (10))(])1(1[)(k k f k ε-+= 解:各信号波形为 (2)∞<<-∞=-t e t f t ,)( (3))()sin()(t t t f επ= (4))(sin )(t t f ε= (5))(sin )(t r t f = (7))(2)(k t f k ε= (10))(])1(1[)(k k f k ε-+= 1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。 (1))2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε (2))2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f (5))2()2()(t t r t f -=ε (8))]5()([)(--=k k k k f εε (11) )]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ (12))]()3([2)(k k k f k ---=εε 解:各信号波形为 (1))2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε (2))2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f
(5) )2()2()(t t r t f -=ε (8))]5()([)(--=k k k k f εε (11) )]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ (12))]()3([2)(k k k f k ---=εε 1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。 1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。 1-5 判别下列各序列是否为周期性的。如果是,确定其周期。 (2))6 3cos()443cos()(2ππππ+++=k k k f (5))sin(2cos 3)(5t t t f π+= 解: 1-6 已知信号)(t f 的波形如图1-5所示,画出下列各函数的波形。 (1))()1(t t f ε- (2))1()1(--t t f ε (5) )21(t f - (6))25.0(-t f (7)dt t df ) ( (8)dx x f t ?∞-)( 解:各信号波形为 (1))()1(t t f ε- (2) )1()1(--t t f ε (5))21(t f -
第三章 平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程: (1)通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面(2)通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面; (3)已知四点)3,1,5(A ,)2,6,1(B ,)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面,并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解: (1)Θ }1,2,2{21--=M M ,又矢量}2,0,1{-平行于所求平面, 故所求的平面方程为: 一般方程为:07234=-+-z y x (2)由于平面垂直于xoy 面,所以它平行于z 轴,即}1,0,0{与所求的平面平行,又}3,7,2{21-=M M ,平行于所求的平面,所以要求的平面的参数方程为: 一般方程为:0)5(2)1(7=+--y x ,即01727=--y x 。 (3)(ⅰ)设平面π通过直线AB ,且平行于直线CD : }1,5,4{--=,}2,0,1{-= 从而π的参数方程为: 一般方程为:0745910=-++z y x 。 (ⅱ)设平面π'通过直线AB ,且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB , }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行,所以π'的参数式方程为: 一般方程为:0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式:
042:=+-+z y x π. 解: π与三个坐标轴的交点为:)4,0,0(),0,20(),0,0,4(--, 所以,它的截距式方程为: 14 24=+-+-z y x . 又与所给平面方程平行的矢量为:}4,0,4{},0,2,4{-, ∴ 所求平面的参数式方程为: 3.证明矢量},,{Z Y X =平行与平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为: 0=++CZ BY AX . 证明: 不妨设0≠A , 则平面0=+++D Cz By Ax 的参数式方程为: 故其方位矢量为:}1,0,{},0,1,{A C A B --, 从而v 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为: ,}1,0,{},0,1,{A C A B -- 共面? ? 0=++CZ BY AX . 4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ,求B 点的z 坐标. 解: Θ }5,2,3{z +-= 而平行于0147=--+z y x 由题3知:0)5(427)3(=+-?+?-z 从而18=z . 5. 求下列平面的一般方程. ⑴通过点()1,1,21-M 和()1,2,32-M 且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点()4,2,3-M 且在x 轴和y 轴上截距分别为2-和3-的平面;
一、信号的傅里叶变换对 ?傅氏正变换 ?傅氏反变换 二、欧拉公式 三、常用信号傅里叶变换 1、第1组---时域:模拟单频信号 ?傅里叶变换: ) (ω δ πA A ? t t f F t d e)( ) (jω ω- ∞ ∞ - ?= ω ωωd e) ( 2 1 )(j t F t f?∞∞-π = 00 00 j j j j 1 cos(e e) 2 1 sin(e e) 2j t t t t t t ωω ωω ω ω - - =+ =- []) ( ) ( cos ω ω δ ω ω δ π ω- + + ? t 1 t )(t δ ω t )(t δ 时域单位冲激函数及频谱 t ω t ) (ω δ ) ( 2ω δ πA 时域直流函数及频谱 正弦、余弦函数及频谱
? 频谱图: ? 物理含义:类似于直流信号,都是只含某一个频率的频率分量,所以它们 的密度频谱都是冲激函数。 2、第2组 时域: 数字信号 ? 单位冲激序列函数 为 周期且 波形图 频谱图 ? 单脉冲信号 波形图 频谱图 [] )()(sin 000ωωδωωδπω--+ ?j t t e 0j ωt 0cos ω t 0sin ω∑∞ -∞=-=n T nT t t ) ()(δδ0 2ωπ=T T ∑∑∞ -∞ =∞ -∞=-=-?n n T n n T t ) ()(12)(000ωωδωωωδπδ()a () b ) 2 ( Sa )()(00ωτ τω=?F t f
周期矩形脉冲( 幅度为 1 、宽度为τ、周期为 T ) 的傅立叶变换。 波形图 四、傅里叶变换的几个重要结论(性质) (1)带宽受限于无限 时域受限 频域无限 频域受限 时域无限 (2)时域卷积与频域卷积 )()()()(2121ωωF F t f t f ??* )()()()(2121t f t f F F ??*ωω (3)尺度展缩 ∑∑∞ -∞=∞ -∞=-=-? n n T n n n n T t f )()2(Sa )()2(Sa 2)(00000ωωδτωτωωωδτωπτ 2 τ 2 -2 2
解析几何第四版吕林根 课后习题答案 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
第三章 平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程: (1)通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面(2)通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面; (3)已知四点)3,1,5(A ,)2,6,1(B ,)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面,并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解: (1) }1,2,2{21--=M M ,又矢量}2,0,1{-平行于所求平面, 故所求的平面方程为: 一般方程为:07234=-+-z y x (2)由于平面垂直于xoy 面,所以它平行于z 轴,即}1,0,0{与所求的平面平行,又 }3,7,2{21-=M M ,平行于所求的平面,所以要求的平面的参数方程为: 一般方程为:0)5(2)1(7=+--y x ,即01727=--y x 。 (3)(ⅰ)设平面π通过直线AB ,且平行于直线CD : }1,5,4{--=,}2,0,1{-= 从而π的参数方程为: 一般方程为:0745910=-++z y x 。 (ⅱ)设平面π'通过直线AB ,且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB , }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行,所以π'的参数式方程为: 一般方程为:0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式: