概率论 数字特征与特征函数
2、袋中有k 号的球k 只,n k ,,2,1 =,从中摸出一球,求所得号码的数学期望。
3、随机变量μ取非负整数值0≥n 的概率为!/n AB p n
n =,已知a E =μ,试决定A 与B 。
7、袋中有n 张卡片,记号码1,2,…,n,从中有放回地抽出k 张卡片来,求所得号码之和μ的数学期望及方差。
9、试证:若取非负整数值的随机变量ξ的数学期望存在,则∑∞
=≥=
1
}{k k P E ξξ。
11、若随机变量ξ服从拉普拉斯分布,其密度函数为,,21)(|
|∞<<∞-=--x e x p x λ
μλ
0>λ。试求
ξE ,ξD 。
13、若21,ξξ相互独立,均服从),(2
σa N ,试证π
σξξ+
=a E ),max (21。 17、甲袋中有a 只白球b 只黑球,乙袋中装有α只白球β只黑球,现从甲袋中摸出()c c a b ≤+只球放
入乙袋中,求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。
20、现有n 个袋子,各装有a 只白球b 只黑球,先从第一个袋子中摸出一球,记下颜色后就把它放入第
二个袋子中,再从第二个袋子中摸出一球,记下颜色后就把它放入第三个袋子中,照这样办法依次摸下去,最后从第n 个袋子中摸出一球并记下颜色,若在这n 次摸球中所摸得的白球总数为n S ,求
n S 。
21、在物理实验中,为测量某物体的重量,通常要重复测量多次,最后再把测量记录的平均值作为该体
质重量,试说明这样做的道理。
24、若ξ的密度函数是偶函数,且2
E ξ<∞,试证ξ与ξ不相关,但它们不相互独立。
25、若,ξη的密度函数为22
221,1
(,)0,1
x y p x y x y π?+≤?=??+>?,试证:ξ与η不相关,但它们不独立。
27、若ξ与η都是只能取两个值的随机变量,试证如果它们不相关,则独立。 26、若,U aX b V cY d =+=+,试证,U V 的相关系数等于,X Y 的相关系数。 28、若123,,ξξξ是三个随机变量,试讨论(1)123,,ξξξ两两不相关;
(2)123123()D D D D ξξξξξξ++=++;(3)123123E E E E ξξξξξξ=??之间的关系。
29、若,ξη服从二元正态分布,,1,,1E a D E b D ξξηη====。证明:ξ与η的相关系数cos r q π=,
其中{()()0}q P a b ξη=--<。
30、设(,)ξη服从二元正态分布,0,1,E E D D r r ξηξηξη=====,试证:max(,)E ξη=
31、设ξ与η独立,具有相同分布2
(,)N a σ,试求p q ξη+与u v ξη+的相关系数。 34、若ξ服从2
(,)N a σ,试求||k E a ξ-。
39、若α及β分别记二进制信道的输入及输出,已知{1},{0}1,P p P p αα====-
{11}P q βα===,}{01}1,{10},P q P r βαβα===-==={00}1P r βα===-,试求
输出中含有输入的信息量。
40、在12只金属球中混有一只假球,并且不知道它比真球轻还是重,用没有砝码的天平来称这些球,
试问至少需要称多少次才能查出这个假球,并确定它比真球轻或重。 41、试用母函数法求巴斯卡分布的数学期望及方差。
43、在贝努里试验中,若试验次数v 是随机变量,试证成功的次数与失败的次数这两个变量独立的充要
条件,是v 服从普阿松分布。
44、设{}k ξ是一串独立的整值随机变量序列,具有相同概率分布,考虑和12v ηξξξ=++
,其中v 是
随机变量,它与{}k ξ相互独立,试用(1)母函数法,(2)直接计算证明
2,()k k k E Ev E D Ev D Dv E ηξηξξ=?=?+?。
47、若分布函数()1(0)F x F x =--+成立,则称它是对称的。试证分布函数对称的充要条件,是它的
特征函数是实的偶函数。 48、试求[0,1]均匀分布的特征函数。
49、一般柯西分布的密度函数为2
2
1
(),0()
p x x λ
λπλμ=
?
>+-。证它的特征函数为
exp{||}i t t μπ-,利用这个结果证明柯西分布的再生性。
50、若随机变量ξ服从柯西分布,
0,1μλ==,而ηξ=,试证关于特征函数成立着
()()()f t f t f t ξηξη+=?,但是ξ与η并不独立。
53、求证:对于任何实值特征函数()f t ,以下两个不等式成立:
21(2)4(1()),1(2)2(())f t f t f t f t -≤-+≥。
54、求证:如果()f t 是相应于分布函数()F x 的特征函数,则对于任何x 值恒成立:
1lim ()(0)(0)2T itx T
T f x e dt F x F x T
--→∞=+--?
。
55、随机变量的特征函数为()f t ,且它的n 阶矩存在,令0
1
log (),k k k
k t d X f t k n i
dt =??
=≤????,称k X 为
随机变量的k 阶半不变量,试证b ηξ=+(b 是常数)的(1)k k >阶半不变量等于k X 。 56、试求出半不变量与原点矩之间的关系式。 58、设12,,
,n ξξξ相互独立,具有相同分布2(,)N a σ试求1n ξξξ?? ?
= ? ???
的分布,并写出它的数学期望及协
方差阵,再求1
1n
i i n ξξ==∑的分布密度。
59、若ξ服从二元正态分布(0,)N ∑,其中4221??
∑= ???
,试找出矩阵A ,使A ξη=,且要求η服从非
退化的正态分布,并求η的密度函数。
60、证明:在正交变换下,多元正态分布的独立、同方差性不变。
第四章 解答
.
2、解:设ξ表取一球的号码数。袋中球的总数为)1
(
2
1
2
1+
=
+
+
+n
n
n
,所以
n
k
n
n
k
n
n
k
k
P,
,,2,1
,
)1
(
2
)1
(
2
1
}
{
=
+
=
+
=
=
ξ.
∑
=
+
=
+
+
?
+
=
?
+
=
n
k
n
n
n
n
n
n
k
n
n
k
E
1
)1
2(
3
1
6
)1
2
)(1
(
)1
(
2
)1
(
2
ξ.
3、解:由于μ是分布,所以应有∑
∑∞
=
∞
=
=
?
=
=
1
!
}
{
n
n
n
n
B
A
n
Pμ,即B
B e
A
Ae-
=
=,1。又由已知
a
n
AB
n
E
n
n
=
?
=∑∞
=
!
μ,即a
n
B
AB
n
n
=
-
∑∞
=
-
1
)!1
(
,a
ABe B=, ,a
B=
∴a
B e
e
A-
-=
=。
7、解:设μ表示抽出k张卡片的号码和,iξ表示第i次抽到卡片的号码,则kξ
ξ
ξ
μ+
+
+
=
2
1
,
因为是放回抽取,所以诸
i
ξ独立。由此得,对k
i,
,2,1
=。
∑∑
==+=+?==?=n j n
j i n n n n j n n j E 11
2
12)1(111ξ, )1(2
1
21+=+++=n k E E E E k ξξξμ ; )12)(1(6
16)12)(1(11122
++=++?=?
=∑=n n n n n n n j E n
j i ξ, ())1(12
1
)1(41)12)(1(61222
2
-=+-++=
-=n n n n E E D i i i ξξξ, )1(12
1
221-=
+++=n k D D D D n ξξξμ 。 8.
9、证:
∑∑∑∞=∞
=∞==
=≥11
}{}{k k
j k j P k P ξξ
+=++=+=++=+=+==}3{3{}2{}3{}2{}1{ξξξξξξP P P P P
∑∞
====
1
}{k E k kP ξξ
10.
.
11、解:?∞∞-
-
--
=
=)
)
(
(
2
1|
|
λ
μ
λ
ξλ
μx
t
dx
xe
E
x
令
?∞∞--
+
=dt
e
t
t||
2
μ
λ
?
?∞∞--
∞
∞
-
-+
=dt
e
dt
e
t
t
t||
||
2
2
μ
λ
μ
μ=
+
=0.
?∞∞--
=
-
=
-
-
)
)
(
(
)
(
2
1||
2
λ
μ
μ
λ
ξλ
μ
x
t
e
x
D
x
令
?
?∞-
∞
-
∞
∞
-
-+
-
=
=
2
2
2
2
22
)
(dt
te
e
t
dt
e
t t
t
tλ
λ
λ
2
2
2
22
)
(
2
2
)
(
2λ
λ
λ
λ=
-
=
+
-
=∞
-
∞-
∞
-?t
t
t e
dt
te
e
t.
13、证:
2
1
ξ
ξ的联合密度为
?
?
?
?
?
?-
-
-
-
=
2
2
2
2
2
)
(
2
)
(
exp
)
,
(
σ
σ
a
y
a
x
y
x
p,
∴??
=dxdy
y
x
p
y
x
E)
,
(
)
,
max(
)
,
max(
2
1
ξ
ξ
??
??
∞
∞
-∞∞
-∞
∞
-+=
x x dy y x yp dx dy y x xp dx ),(),(
(利用密度函数的积分值为1,减a 再加a )
????∞
∞
-∞
∞
-∞∞
-+-+-=x
x
a dy y x p a y dx dy y x p a x dx ),()(),()(
(在前一积分中交换积分次序,在后一积分中交换x 与y 的记号)
????∞
∞∞∞
-∞∞
-+-+-=y
y
a dx y x p a y dy dx y x p a x dy ),()(),()(
??
∞
--
∞∞---
-+=y
a x a y dx e
a x dy e
a 2
22
22)(2)(2
)(212σσπσ
))
((t a y =-σ
令
dt e a t ?
∞
∞
--+
=2
1
σπ
π
σ
ππσ+=+
=a a .
17、解:令B 表“从乙袋摸一球为白球”,ξ表从甲袋所摸个球中白球数,则ξ取值0,1,,c ,服从
超几何分布,且()
ca
E a b ξ=
+,考虑到若c a >,则当1,,i a c =+时{}0P i ξ==;若c b >,则当
i c b <-时{}0P i ξ==;而在条件概率定义中要求(){}0i P A P i ξ==> 由此得
!(,)
max(0,)
(){}{|}m n a c i c b P B P i P B i ξξ=-=
==∑0
{}
i i
P i c
α
αξαβ=+==++∑
00
1
{}{}i i i P i i P i c c αα
αξξαβαβ==+==+=++++∑∑ E c c αξαβαβ=
+++++1ac c a b ααβ?
?=+ ?+++?
?.
20、解:令?
?
?=袋子中摸出黑球从第袋子中摸出白球从第i i i ,0,1ξ,则
1{1}()
a
P a b ξ==
+,
21{1}11a a b a
P a b a b a b a b ξ+==+++++++++2()(1)a ab a a a b a b a b
++==++++。
由此类推得1{1}()
a
P a b ξ==
+, 1,2,,i n =。又12n n S ξξξ=++
+,
1
n
n i na
ES E a b
ξ=∴==
+∑。
21、解:以i ξ表第i 次测量值,由于受测量过程中许多随机因素的影响,测量值i ξ和物体真实重量a 之
间有偏差,i ξ是独立同分布的随机变量,并有2
,i i E a D ξξσ==。测量记录的平均值记为η,则
11()n n
ηξξ=+
+
11n i i na
E E a n n
ηξ====∑, 22
2
21
1n
i i n D D n n n σσηξ====∑。 平均值η的均值仍为a ,但方差只有i ξ方差的1
n
,而方差是描述随机变量对于其数学期望的离散程度,所以以η作为物体的重量,则更近于真值。
24、证:设()f x 是ξ的密度函数,则()()f x f x -=。由()xf x 是奇函数可得0E ξ=,从而
||0E E ξξ=。又由于||()x x f x 是奇函数,得
||||()0||E x x f x dx E E ξξξξ∞
-∞===?
故||ξ与ξ不相关。
由于ξ的密度函数是偶函数,故可选0c >使0{||}1P c ξ<<<,亦有{}1P c ξ<<,
{}{||}{||}{,||}P c P c P c P c
c ξξξ
ξξ∴<<≠<=<<
其中等式成立是由于{||}{}c c ξξ<。由此得||ξ与ξ不独立。
25、证:1
1
(
,)0E xp x y dxdy xdx ξ∞∞
-∞-∞
-=
==??
?,同理0E η=。
1
1
cov(,)0E E E xdx ydy ξηξηξη-=-==?
即ξ与η不相关。但
ξ与η不独立,事实上可求得
||1
()0,||1x p x x ξ≤=?>?,||1()0,||1y p x y η≤=?>?
, 而当||1x ≤且||1y ≤时,(,)()()p x y p x p y ξη≠。
26、证:2
,EU aEX b DU a DX =+=,2
,EV cEY d DV c DY =+=,
cov(,)()()cov(,)U V Ea X EX c Y EY ac X Y =--=?,
||UV xy ac
r r ac =
=。 欲UV xy r r =,题中需补设a 与c 同号。
27、证:设1122,,,,,a b c d p q p q ????
? ?????
。作两个随机变量
**1122,0,0:,:,,a b c d b d p q p q ξξηη--????
=-=-
? ?????
。
由ξ与η不相关即E E E ξηξη=得
**()()E E b d bd E E bE dE bd ξηξηηξξηηξ=--+=--+
**()()E b E d E E ξηξη=--=,
而**
*
*
()(){,}E a b c d P a b c d ξηξη=--=-=-, *
*
*
*
(){}(){}E E a b P a b c d P c d ξηξη=-=--=-, 由上两式值相等,再由()()0a b c d --≠得
****{,}{}{}P a b c d P a b P c d ξηξη=-=-==-=-
此即{,}{}{}P a c P a P c ξηξη=====。同理可证
{,}{}{}P a d P a P d ξηξη=====,{,}{}{}P b c P b P c ξηξη=====
{,}{}{}P b d P b P d ξηξη=====,
从而ξ与η独立。
28、解:(一)证(1) (2),设(1)成立,即两两不相关,则
2123123123()[()()]D E E E E ξξξξξξξξξ++=++-++
2112233[()()()]E E E E ξξξξξξ=-+-+-
12311222()()
D D D
E E E ξξξξξξξ=+++--
113322332()()2()()E E E E E E ξξξξξξξξ+--+-- 123D D D ξξξ=++,
∴(2)成立。
(二)(1)?(3)。设
121,11,1:,:1111,,2
222ξξ--???? ? ? ? ?????
, 并设1ξ与2ξ独立,则
123ξξξ=(记):212331,
11,:1
11,22ξξξξ-??
?? ?= ?
???
??
, 由第三章25题知,123ξξξ两两独立,从而两两不相关,满足(1)。而120E E ξξ==,这时
12312301E E E E ξξξξξξ??=≠=,(3)不成立。
(三)(2)?(1)。设1231
0,,2
D ξξξξξξ>===-
,则 123111()()2224D D D D ξξξξξξξξ??
++=+-== ???
。
12311224D D D D D D D ξξξξξξξ??
++=++-= ???
,
满足(2)。但显然123,,ξξξ两两相关,事实上由2
2
()0E E D ξξξ-=≠得ξ与ξ相关,(1)不成立。 (四)(2)?(3)。事实上,由(1) (2),(1)?(3)得必有(2)?(3)。 (五)(3)?(2)。设
12131,
00,11,
1:,1:,:111
11
1,,
,
2
22222ξξξξ--??????
? ? ?=+ ? ? ???????
则
212123300:,:11ξξξξξξ????= ? ?????
再设1ξ与3ξ独立,从而1ξ的函数2ξ与3ξ也独立,我们有121
1,22
E E ξξ=-=
, 30E ξ=,12131323230,0,0E E E E E E E ξξξξξξξξξξ==?==?=,1231230E E E E ξξξξξξ==??,
满足(3)。但
123()D ξξξ++
123121323222D D D E E E ξξξξξξξξξ=+++++-121323222E E E E E E ξξξξξξ?-?-? 123122D D D E E ξξξξξ=++-?
1231231
2
D D D D D D ξξξξξξ=+++
≠++。 ∴(2)成立。
(六)
(3)?(1)。事实上,由(1) (2),(3)?(2)得必有(3)?(1)。 (七)当123,,ξξξ相互独立时,(1),(2),(3)同时成立。
29、证:由题设得
222)()01exp ()2()()()2(1)x a y b q x a r x a y b y b dxdy r
--???=
-?----+-????-??
??(令,u x a v y b =-=
-)
222
1(2)
2(1)
e
u ruv v r dudv -
-+-?
222
1(2)
02(1
)
e
u ruv v r dudv -
-+--∞
=
?
令cos ,sin ,||u v J ρθρθρ===,则
22(1sin 2)
2(1)
2
r r q d e
d ρθππρθρρ-
-∞
-=
?
2
22(1sin 2)2(1
)
20
11sin 2r r r e d r ρ
θππθθ∞
---??-??
=--????? 2(1sin
2d r π
πθ
α
θπ
θ=
-?令=
2)
221sin d r π
π
α
π
α
=-?
2
1tg r π
π
απ??-??=
由
lim 2
tg
απ
α
↓=-∞
,而1
lim 2tg r
arctg απαπ↓-=-得
1
1
2
q arctg
π
=
+
,即
12tg q π????-=
??????? ctgq π-=, 或2
2
21-r r ctg q π=, 所以 22
2222
sin cos 1ctg q r q ctg q q ctg q π
ππππ
==?=+。 注意到01q <<,且r 与ctgd π同号,
即r 与cos q π同号,故得cos r q π=(其中{()()0}q P a b ξη=--<)。
30、证:由题设得
222
1
(2)
2(1)
max(,)x xy y r E dxdy ξη-
-+∞∞--∞
=?
?
22222
211
(2)(2)2(1)2(1)
x xy y x xy y X
Y r r xdx e dy xdx e dx --+--+∞∞---∞-∞-∞-∞
??=+???
????
22
21(2)
2(1)
x xy y X
r xdx e
dy -
-+∞--∞
-∞
=
?
?
22
2()2(1)
2
y rx x r xe
dx dy --
∞-
--∞
-∞
=
?
?
2
22
2
1
x t xe
dx e
dt π
∞-
-
-∞
-∞
=
?
?
用部分积分法,令,余下部分为,得。
31、解:记,S p q T u v ξηξη=+=+,则
(),()ES pa qa p q a ET u v a =+=+=+, 222222(),()DS p q DT u v σσ=+=+ ,
22cov (()())(
()())ST E p a q a u a v a pu qv ξηξησσ=-+--+-=+ ,
ST r ∴=
。
32.
33.
34、解:
2
2
()
2
||||
2
x a
k k
x a
E a x a e dx u
σ
ξ
σ
πσ
-
-
∞
-∞
-
??
-=-=
?
??
?令
2
2
||
2
u
k k
u e du
σσ
πσ
∞-
-∞
=?
2
2
2u
k k
u e du
σ
π
∞-
=?
22
2
122
22
(1)
u u
k k k k
u e k u e du
σσ
ππ
-
∞
∞-
--
??
=-+-
?
?
??
?。
当k为偶数时
2
2
2
||(1)(3)31
u
k k
E a k k e du
ξσ
π
∞-
-=--???135(3)(1)k
k kσ
=??--
当k为奇数时
2
2
2
||(1)(3)42
u
k k
E a k k ue du
ξσ
π
∞-
-=--???2
24(3)(1)k
k kσ
π
=??--。
35.
36.
39、解:{1}{1,0}{1,1}P P P ββαβα====+==
{1|0}{0}{1|1}{1}P P P P βααβαα====+=== (1)p r pq =-+
{0}{0,0}{0,1}P P P ββαβα====+== {0|0}{0}{0|1}{1}P P P P βααβαα====+=== (1)(1)(1)p r q p =--+- {1}{0}1P P ββ=+==。
(()[(1)]log[(1)][(1)(1)(1)]H H p r pq p r pq p q p r β==--+-+--+--?出)
log[(1)(1)(1)]p q p r ?-+--,
(()H H λαβ=出)
{0}[{1|0}log {1|0}P P P αβαβα=-====={0|0}log {0|0}]
P P βαβα+====
{1}[{0|1}log {0|1}
P P P αβαβα-====={1|1}log {1|1}]P P βαβα+====
(1)[log (1)log(1)][(1)log(1)log ]p r r r r p q q q q =--+-----+
所以输出中含有输入的信息量H (入)-H 出(入)为
H (入)-H 出(入)=H (出)-H 入(出)
[(1)]log[(1)][(1)(1)(1)]p r pq p r pq p q p r =--+-+--+--log[(1)
p q -(1)(1)](1)log (1)(1)log(1)(1)log(1)p r p r r p r r p q q +--+-+---+--log pq q +。
40、解:需要确定其结局的实验β有24个可能结局,即12个是假球,且它比真的轻或重。若认为全部结局是等概的,则实验β的熵()log 24H β=,即需要得到log 24个单位信息。由称一次(随便怎样的)所构成的实验α,可以有3个结局(即天平可以向右斜或向左斜或保持平衡),进行k 次复合试验12
k k A ααα=后,可得到不大于log3log3k k =的信息,而233243<<,所以至少得称三次才可
以称出假球,且判明它比真球轻或重。
具体称法共有十几种,详见雅格洛姆著:“概率与信息”,这里仅取一法叙述如下: 第一次称:天平两端分放1、2、3、4和5、6、7、8,下余I 、II 、III 、IV 。 (A )若第一次称时平衡,则假球在I 、II 、III 、IV 中。 第二次称:天平两端分放I 、II 和III 、1,注意1是真球。
(AA )若第二次称时平衡,则IV 是假球;再把1和IV 分放天平两端称第三次,可判别假球IV 比真球1轻或重。
(AB )若第二次称进I 、II 较重(或轻), 第三次称:天平两端分放I 和II 。
(ABA )若第三次称时平衡,则II 是假球,且比真球较轻(或重)。
(ABB )若第三次称时不平衡,则与(AB )中同重(或轻)的那球是假球,且它比真球较重(或轻)。
(B )若长一资助称时1、2、3、4较重,则假球在天平上。 第二次称:天平两端分放1、2、5和3、4、6。
(BA )若第二次称时平衡,则7、8中之一为假球,由第一次称的结果知假球较轻,再把7和8分放天平两端称第三次,即可假球。
(BB )若第二次称时1、2、5较重,则或1、2中之一为假球,且它比真球较重,或6是假球且它比真球较轻。
第三次称:天平两端分放1和2。
(BBA )若第三次称进平衡,则6是假球且比真球轻。
(BBB )若第三次称时不平衡,则较重的一球是假球,且它比真球重。
(C )若第一次称时5、6、7、8较重,则只需把(B )中编号1、2、3、4与5、6、7、8依次互换,即得称法。
41、解:巴斯卡分布为11{},
,1,
k n k k
n P n C q p n k k ξ---===+。其母函数为
11()(-)k n k k n
n n k
P s C q
p s m n k ∞
---===∑令 11
k
k m m k
m k m p
C
q s s ∞
-+-==∑1
()(1)
k k
k k
m
m
m k k
m p s p s
C
qs qs ∞
+-===-∑。 1112111
(1)(1)'(1)(1)(1)k k k k k k k
k
k s s ks qs ks qs q kp s k
E P p qs qs p ξ---+==????-+-====????--????, 12
11122
11
(1)(1)(1)(1)''(1)(1)(1)k k k k k K k k k s s kp s k s qs k qs qS P kp qs qs --+-++=='????--++-==????--???? 12222(1)(1)(1)(1)(1)k k k
k k q k q q k kq k
kp qs p p
++--++-+=?==-,
2
22
22
"(1)'(1)['(1)]k kq k k k kq D P p P p p p p p ξ??+=+-=-+-= ?
??。
43、证:设,?
?
?=???=次成功第次失败
第次失败第次成功
第i i ,
i i i i ,0,1,0,1ηξ {1}{0},
{0}{1}1i i i i P P p P P p ξηξη========-。
则i ξ的母函数为01
1()(1)1F s p s ps p ps =-+=-+。
同理可得i η的母函数为2()(1)F s p p s =+-,v 的母函数记为()G s 。以ξ表示成功次数,则
1v ξξξ=++,本题认为{}n ξ与v 独立,得ξ的母函数为1()[()]P s G F s ξ=。同理,以η表示失败次
数,则1v ηηη=+,其母函数为2()[()]P s G F s η=。
必要性。设ξ与η独立,则由v ξη=+得
(1)[(1)]()G p ps G p p s G s -+?+-=。
因为(1)()1p ps p s ps s -+++-=+,所以若记上式左边G 的变量分别为,x y ,可得
()()(1)G x G y G x y =+-。
令()(1)G x T x =-,则上式变成
(1)(1)(11)[(1)(1)]T x T y T x y T x y --=+--=-+-。
利用教本P97引理可得
1(1)()(1)x x G x T x a e --=-==。
即v 的母函数()exp{(1)}G s s λ=-,这是普阿松分布的母函数。由于母函数与分布列之间是相互唯一
确定的,所以得v 是服从普阿松分布的随机变量。
充分性。设v 服从普阿松分布,参数为λ,则
1{}{}{|}v n r
P r P v n P r v n ξξξ∞
====+
+==∑
1{}{}v n r
P v n P r ξξ∞
===+
+=∑1(1)!n r r
n n n r
e C p p n λλ-∞
-==-∑ []1(1)()!()!n r r
n r
e p p r n r λ
λλ-∞
-==--∑()!p r e p r λλ-=。 同理可得 (1)
(1){}!
t
p p P t e
t λλη--??-??==。
又有{,}{}{|}P r r P v r t P r v r t ξηξ====+==+
1(1)()!r t r r r e C p p r t λλ-++=-+(1){}{}!!
r t r t e p p P r P t r t λλξη-+-====。 再由,r t 的任意性即得证ξ与η独立。
44、证:(1)设i ξ的母函数为()F s ,v 的母函数为()G s 。而1v ηξξ=++,所()[()]P s G F s η=。
由此得
1'(1){'[()]'()}'(1)'(1)s k E P G F s F s G F Ev E ηηξ===?=?=?
其中0
F(1){}1{}1j
i
i j j P j j ξ
ξ∞
∞
===
=?===∑∑。
2
"(1)'(1)'(1)D P P P ηηηη??=+-??
[][]{
}
2
1
'()'()'[()]''()
s G F s F s G F s F s ==?+?2'(1)'(1)['(1)'(1)]F G F G +-?
[]2
2''(1)'(1)'(1)''(1)'(1)'(1)['(1)'(1)]G F G F F G F G =+?+?-?
[]{
}
2
22'(1)"(1)'(1)'(1)['(1)]{''(1)'(1)['(1)]G F F F F G G G =+-++- 2()k k Ev D Dv E ξξ=?+?。
(2)直接计算。由题设得
10
{}{}{|}n n P i P v m P i v m ηξξ∞
====+
+==∑
10
{}{|}n i n E i P v n P i v n ηξξ∞∞
====+
+==∑∑
10
{}{}n n i P v n iP i ξξ∞
∞
====+
+=∑∑
利用11()n E nE ξξξ++=得
110
{}n E P v n nE Ev E ηξξ∞
====?∑。
2
2
1
{}{|}
n i n E i
P v n P i v n ηξ
ξ∞
∞
====+
+==∑∑2
10
{}{}n n i P v n i P i ξξ∞∞
====+
+=∑∑
记1n ξξξ=++,利用22()E D E ξξξ=+及1D nD ξξ=得
()2
2110{}()[()]n n n E P v n D E ηξξξξ∞
===+
+++
+∑
22
110
{}()n P v n nD n E ξξ∞
=??==+??∑ 2
2110(){}n Ev D E n P v n ξξ∞=??
=?+= ???
∑
最后,再利用22
()Ev Dv Ev =+得2222111()()()E Ev D Dv E Ev E ηξξξ=?+?+?。
22211()()D E E Ev D Dv E ηηηξξ∴=-=?+?。
47、证:必要性。由()1(0)F x F x =--+得{}{}{}P x P x P x ξξξ<=>-=-<,此即()()F x F x ξξ-=,所以对特征函数()f t 有
()()()()it itx itx it f t Ee e dF x e dF x Ee f t ξξξξ--=====??,
由此知()f t 是实函数。又有
()()()()()itx itx it it f t e dF x e dF x Ee Ee f t ξξξξ------=====??,
所以()f t 又是偶函数。
充分性。由于()()()it it f t Ee
Ee f t ξ
ξξξ----===,又由题设知()f t ξ是实函数,所以
()()()f t f t f t ξξξ-==。由唯一性定理知,ξ与ξ-的分布函数相同,()()F x F x ξξ-=,即
{}{}{}P x P x P x ξξξ<=-<=>-,从而()1(0)F x F x =--+。
48、解:1,[0,1]
()0,[0,1]
x p x x ξ∈?=?
∈?。当0t =时()1f t -;当0t ≠时
1
100
11
()(1)itx
itx it f t e dx e e it it ===-?。
49、证:221-()()itx x f t e dx u x λ
μπλμλ∞-∞
??=
?
?
= ?+-???
令
2
1
1
1it it u
e e du u
μλπ
∞
-∞
=
+? (1) 考虑复变函数的积分,当0t >,取c 为上
半圆周Re (0)i θ
ρθπ=≤≤和实轴上从R -到R 的围道(如图),若u 位于上半圆周上,则 Re i u θ=,Re i du i d θθ=,有
Re
12222011111t it R tt z it u t t C R e
e dz e du iRe d I I z u R e θ
λτλλθθθ-=+=++++??? (2)
对1I 有 12
1
lim 1it u
R I e du u λ∞
-∞
→∞=
+?
。 由0t >及题设0λ>得sin 01t R e
λθ
-<≤,所以对2I 有
sin sin 22220
0||11
it R tR i e R I R d e d R e R λθπ
πλθ
θθθ-≤≤+-?
? 2
01
R R π
<
→- (当R →+∞时) (3)
在上半平面上,仅有z i =是被积函数的一阶极点,由复变函数中留数定理得,对任何1R >有
12
12212t
tt z
t C
e e
dz i c i e z i
λλλππ---=?==+?
(4) 其中
12lim ()lim ()1()()i tz i tz z i z i e e c z i z i z z i z i λλ-→→=-=-++-11lim 22i tz t ti t
z i e e e z i i i
λλλ-→===+
把(2),(3),(4)代入(1)式得
2
1
1it u
t e du e u
λλπ∞
--∞
=+?
(5) 由于 222
11cos sin 111it u
i
e
t u t u u u u
λλλ=++++,2sin (1)t u u λ+是u 的奇函数,它在(,)-∞∞上积分值为0;
2
cos (1)
t u
u λ+是的偶函数,当0t <时,其积分值应与0t >时积分值相等;再注意到(5)中右端0t >,所以当0t <时有
||2
1
1it u
t e du e u
λλπ∞
--∞
=+?
(6) 当0t =时有
0221111it u
it u
e
du e du e u u
λλλππ∞
∞-?-∞
-∞===++?
? (7) 把(5)—(7)代入(1)式得,对任意有
()exp{||}f t it t μλ=-。
现证柯西分布具有再生性。设1(1,2)i ξ=的特征函数为()exp{||}i i i f t it t μλ=-,再设1ξ与2ξ独立,12ηξξ=+,则
121212()()()exp{()()||}f t f t f t it t ημμλλ==+-+,
所以η仍服从柯西分布,且参数为1212,μμλλ++。
50、证:由上题得||()()e t f t f t ξη-==,所以由2ξηξ+=得
|2|2||2()()e e ()()t t f t f t f t f t ξηξξη--+====?。
但ξ与η并不独立,事实上,可取c 使0{}1P c ξ<<<,则
{,}{}{}{}P c c P c P c P c ξηξξη<<=<≠<,
这说明由ξ与η独立可推得()()()f t f t f t ξηξη+=?,但反之不真。
52.
李贤平《概率论与数理统计》标准答案
————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 2
第5章 极限定理 1、ξ为非负随机变量,若(0)a Ee a ξ <∞>,则对任意x o >,{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。 2、若()0h x ≥,ξ为随机变量,且()Eh ξ<∞,则关于任何0c >, 1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。 4、{}k ξ各以 12 概率取值s k 和s k -,当s 为何值时,大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξL L 的算术平均值? 6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件: (1)1{2}2 k k P X =±= ; (2)(21) 2{2}2 ,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-; (3)1 1 2 21{2},{0}12 k k k P X k P X k --=±===-。 7、若k ξ具有有限方差,服从同一分布,但各k 间,k ξ和1k ξ+有相关,而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的, 证明这时对{}k ξ大数定律成立。 8、已知随机变量序列12,,ξξL 的方差有界,n D c ξ≤,并且当||i j -→∞时,相关系数0ij r →,证明 对{}k ξ成立大数定律。 9、对随机变量序列{}i ξ,若记11()n n n ηξξ= ++L ,11 ()n n a E E n ξξ=++L ,则{}i ξ服从大数定律 的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞?? -=??+-?? 。 10、用斯特灵公式证明:当,,n m n m →∞→∞-→∞,而 0m n →时, 2 2211~2n m n n e n m n π -???? ???-?? ??。 12、某计算机系统有120个终端,每个终端有5%时间在使用,若各个终端使用与否是相互独立的,试 求有10个或更多终端在使用的概率。
第一章 随机事件及其概率 一、选择题: 1.设A 、B 、C 是三个事件,与事件A 互斥的事件是: ( ) A .A B A C + B .()A B C + C .ABC D .A B C ++ 2.设B A ? 则 ( ) A .()P A B I =1-P (A ) B .()()()P B A P B A -=- C . P(B|A) = P(B) D .(|)()P A B P A = 3.设A 、B 是两个事件,P (A )> 0,P (B )> 0,当下面的条件( )成立时,A 与B 一 定独立 A .()()()P A B P A P B =I B .P (A|B )=0 C .P (A|B )= P (B ) D .P (A|B )= ()P A 4.设P (A )= a ,P (B )= b, P (A+B )= c, 则 ()P AB 为: ( ) A .a-b B .c-b C .a(1-b) D .b-a 5.设事件A 与B 的概率大于零,且A 与B 为对立事件,则不成立的是 ( ) A .A 与 B 互不相容 B .A 与B 相互独立 C .A 与B 互不独立 D .A 与B 互不相容 6.设A 与B 为两个事件,P (A )≠P (B )> 0,且A B ?,则一定成立的关系式是( ) A .P (A| B )=1 B .P(B|A)=1 C .(|A)1p B = D .(A|)1p B = 7.设A 、B 为任意两个事件,则下列关系式成立的是 ( ) A .()A B B A -=U B .()A B B A -?U C .()A B B A -?U D .()A B B A -=U 8.设事件A 与B 互不相容,则有 ( ) A .P (A B )=p (A )P (B ) B .P (AB )=0 C .A 与B 互不相容 D .A+B 是必然事件
第三章 随机变量与分布函数 1、直线上有一质点,每经一个单位时间,它分别以概率p 或p -1向右或向左移动一格,若该质点在时刻 0从原点出发,而且每次移动是相互独立的,试用随机变量来描述这质点的运动(以n S 表示时间n 时质点的位置)。 2、设ξ为贝努里试验中第一个游程(连续的成功或失败)的长,试求ξ的概率分布。 3、c 应取何值才能使下列函数成为概率分布:(1);,,2,1,)(N k N c k f Λ==(2),,2,1,!)(Λ==k k c k f k λ 0>λ。 4、证明函数)(2 1)(||∞<<-∞=-x e x f x 是一个密度函数。 5、若ξ的分布函数为N (10,4),求ξ落在下列范围的概率:(1)(6,9);(2)(7,12);(3)(13,15)。 6、若ξ的分布函数为N (5,4),求a 使:(1)90.0}{=-a P ξ。 7、设}{)(x P x F ≤=ξ,试证)(x F 具有下列性质:(1)非降;(2)右连续;(3),0)(=-∞F 1)(=+∞F 。 8、试证:若αξβξ-≥≥-≥≤1}{,1}{12x P x P ,则)(1}{21βαξ+-≥≤≤x x P 。 9、设随机变量ξ取值于[0,1],若}{y x P <≤ξ只与长度x y -有关(对一切10≤≤≤y x ),试证ξ服 从[0,1]均匀分布。 10、若存在Θ上的实值函数)(θQ 及)(θD 以及)(x T 及)(x S ,使 )}()()()(ex p{)(x S D x T Q x f ++=θθθ, 则称},{Θ∈θθf 是一个单参数的指数族。证明(1)正态分布),(20σm N ,已知0m ,关于参数σ; (2)正态分布),(200σm N ,已知0σ,关于参数m ;(3)普阿松分布),(λk p 关于λ都是一个单参数的指数族。 但],0[θ上的均匀分布,关于θ不是一个单参数的指数族。 11、试证)2(22),(cy bxy ax ke y x f ++-=为密度函数的充要条件为,0,0,02<->>ac b c a π2 b a c k -=。 12、若)(),(21y f x f 为分布密度,求为使),()()(),(21y x h y f x f y x f +=成为密度函数,),(y x h 必须而且 只需满足什么条件。 13、若),(ηξ的密度函数为 ???>>=+-其它, 00,0,),()2(y x Ae y x f y x ,
第1章 事件与概率 2、若A ,B ,C 是随机事件,说明下列关系式的概率意义:(1)A ABC =;(2)A C B A =Y Y ; (3)C AB ?;(4)BC A ?. 3、试把n A A A Y ΛY Y 21表示成n 个两两互不相容事件的和. 6、若A ,B ,C ,D 是四个事件,试用这四个事件表示下列各事件:(1)这四个事件至少发生一个;(2)这四个事件恰好发生两个;(3)A ,B 都发生而C ,D 都不发生;(4)这四个事件都不发生;(5)这四个事件中至多发生一个。 8、证明下列等式:(1)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C Λ; (2)0)1(321321=-+-+--n n n n n n nC C C C Λ; (3)∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C 0. 9、袋中有白球5只,黑球6只,陆续取出三球,求顺序为黑白黑的概率。 10、一部五本头的文集,按任意次序放书架上去,试求下列概率:(1)第一卷出现在旁边; (2)第一卷及第五卷出现在旁边;(3)第一卷或第五卷出现在旁边;(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边;(5)第三卷正好在正中。 11、把戏,2,3,4,5诸数各写在一小纸片上,任取其三而排成自左向右的次序,求所得数是偶数的概率。 12、在一个装有n 只白球,n 只黑球,n 只红球的袋中,任取m 只球,求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。 13、甲袋中有3只白球,7办红球,15只黑球,乙袋中有10只白球,6只红球,9只黑球。现从两袋中各取一球,求两球颜色相同的概率。 14、由盛有号码Λ,2,1,N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球,依次记下其号码,试求这些号码按严格上升次序排列的概率。
李贤平-《概率论与数理统计-第一章》答案
第1章 事件与概率 2、若A ,B ,C 是随机事件,说明下列关系式的概率意义:(1)A ABC =;(2)A C B A = ;(3)C AB ?;(4)BC A ?. 3、试把n A A A 21表示成n 个两两互不相容事件 的和. 6、若A ,B ,C ,D 是四个事件,试用这四个事件表示下列各事件:(1)这四个事件至少发生一个;(2)这四个事件恰好发生两个;(3)A ,B 都发生而C ,D 都不发生;(4)这四个事件都不发生;(5)这四个事件中至多发生一个。 8、证明下列等式:(1)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C ; (2)0)1(321321 =-+-+--n n n n n n nC C C C ; (3)∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C 0. 9、袋中有白球5只,黑球6只,陆续取出三球,求顺序为黑白黑的概率。 10、一部五本头的文集,按任意次序放书架上去,试求下列概率:(1)第一卷出现在旁边;(2)
第一卷及第五卷出现在旁边;(3)第一卷或第五卷出现在旁边;(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边;(5)第三卷正好在正中。 11、把戏,2,3,4,5诸数各写在一小纸片上,任取其三而排成自左向右的次序,求所得数是偶数的概率。 12、在一个装有n 只白球,n 只黑球,n 只红球的袋中,任取m 只球,求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。 13、甲袋中有3只白球,7办红球,15只黑球,乙袋中有10只白球,6只红球,9只黑球。现从两袋中各取一球,求两球颜色相同的概率。 14、由盛有号码 ,2,1,N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球,依次记下其号码,试求这些号码按严格上升次序排列的概率。 16、任意从数列 ,2,1,N 中不放回地取出n 个数并按大小排列成:n m x x x x <<<<< 21,试求M x m =的 概率,这里N M ≤≤1 18、从6只不同的手套中任取4只,问其中恰有
1 第5章 极限定理 1、ξ为非负随机变量,若(0)a Ee a ξ <∞>,则对任意x o >,{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。 2、若()0h x ≥,ξ为随机变量,且()Eh ξ<∞,则关于任何0c >, 1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。 4、{}k ξ各以 12 概率取值s k 和s k -,当s 为何值时,大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξL L 的算术平均值? 6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件: (1)1{2}2 k k P X =±= ; (2)(21) 2{2}2 ,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-; (3)1 1 2 21{2},{0}12 k k k P X k P X k --=±===-。 7、若k ξ具有有限方差,服从同一分布,但各k 间,k ξ和1k ξ+有相关,而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的, 证明这时对{}k ξ大数定律成立。 8、已知随机变量序列12,,ξξL 的方差有界,n D c ξ≤,并且当||i j -→∞时,相关系数0ij r →,证明 对{}k ξ成立大数定律。 9、对随机变量序列{}i ξ,若记11()n n n ηξξ= ++L ,11 ()n n a E E n ξξ=++L ,则{}i ξ服从大数定律的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞?? -=??+-?? 。 10、用斯特灵公式证明:当,,n m n m →∞→∞-→∞,而 0m n →时, 2 221~2n m n n n m -???? ???-?? ??。 12、某计算机系统有120个终端,每个终端有5%时间在使用,若各个终端使用与否是相互独立的,试 求有10个或更多终端在使用的概率。
第一章 事件与概率 1、解: (1) P {只订购A 的}=P{A(B ∪C)}=P(A)-{P(AB)+P(AC)-P(ABC)}=0.45-0.1.-0.08+0.03=0.30. (2) P {只订购A 及B 的}=P{AB}-C }=P(AB)-P(ABC)=0.10-0.03=0.07 (3) P {只订购A 的}=0.30, P {只订购B 的}=P{B-(A ∪C)}=0.35-(0.10+0.05-0.03)=0.23. P {只订购C 的}=P{C-(A ∪B )}=0.30-(0.05+0.08-0.03)=0.20. ∴P {只订购一种报纸的}=P{只订购A}+P{只订购B}+P{只订购C}=0.30+0.23+0.20=0.73. (4) P{正好订购两种报纸的} =P{(AB-C) ∪(AC-B) ∪(BC-A)}=P(AB-ABC)+P(AC-ABC)+P(BC-ABC) =(0.1-0.03)+(0.08-0.03)+.(0.05-0.03)=0.07+0.05+0.02=0.14. (5) P {至少订购一种报纸的}= P {只订一种的}+ P {恰订两种的}+ P {恰订三种的} =0.73+0.14+0.03=0.90. (6) P {不订任何报纸的}=1-0.90=0.10. 2、解:(1)ABC A C A B A ABC A BC A ??????=且显然)(,若A 发生,则B 与C 必同时发生。 (2)A C ?????=且A B A C B A C B A ,B 发生或C 发生,均导致A 发生。 (3)A C AB ??与B 同时发生必导致C 发生。 (4)C B A BC A ???,A 发生,则B 与C 至少有一不发生。 3、解:n A A A 21)()(11121----++-+=n n A A A A A A (或)=121121-+++n n A A A A A A A . 4、解:(1)C AB ={抽到的是男同学,又不爱唱歌,又不是运动员}; C B A ={抽到的是男同学,又爱唱歌,又是运动员}。 (2)A BC A ABC ??=,当男同学都不爱唱歌且是运动员时成立。 (3)当不是运动员的学生必是不爱唱歌的时,B C ?成立。 (4)A=B 及C B A C A ==?=,当男学生的全体也就是不爱唱歌的学生全体,也就不是运动员的学生全体 时成立。也可表述为:当男学生不爱唱歌且不爱唱歌的一定是男学生,并且男学生不是运动员且不是运动员的是男学生时成立。 5、解:设袋中有三个球,编号为1,2,3,每次摸一个球。样本空间共有3个样本点(1),(2),(3)。设{}{}{}3,3,1,2,1===C B A , 则{}{}},2{,1,3,2,1},3{=-===B A B A B A A {}3,2,1=+C A 。 6、解:(1){至少发生一个}=D C B A . (2){恰发生两个}=C A BD B A CD D A BC C B AD D B AC D C AB +++++.
第2章 条件概率与统计独立性 1、字母M ,A ,X ,A ,M 分别写在一张卡片上,充分混合后重新排列,问正好得到顺序MAAM 的概率是多少? 2、有三个孩子的家庭中,已知有一个是女孩,求至少有一个男孩的概率。 3、若M 件产品中包含m 件废品,今在其中任取两件,求:(1)已知取出的两件中有一件是废品的条件下,另一件也是废品的条件概率;(2)已知两件中有一件不是废品的条件下,另一件是废品的条件概率;(3)取出的两件中至少有一件是废品的概率。 5、袋中有a 只黑球,b 吸白球,甲乙丙三人依次从袋中取出一球(取后来放回),试分别求出三人各自取得白球的概率(3≥b )。 6、甲袋中有a 只白球,b 只黑球,乙袋中有α吸白球,β吸黑球,某人从甲袋中任出两球投入乙袋,然后在乙袋中任取两球,问最后取出的两球全为白球的概率是多少? 7、设的N 个袋子,每个袋子中将有a 只黑球,b 只白球,从第一袋中取出一球放入第二袋中,然后从第二袋中取出一球放入第三袋中,如此下去,问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少? 9、投硬币n 回,第一回出正面的概率为c ,第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ,求第n 回时出正面的概率,并讨论当∞→n 时的情况。 10、甲乙两袋各将一只白球一只黑球,从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中,这样进行了若干次。以pn ,qn ,rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球,一只白球一只黑球,两只黑球的概率。试导出pn+1,qn+1,rn+1用pn ,qn ,rn 表出的关系式,利用它们求pn+1,qn+1,rn+1,并讨论当∞→n 时的情况。 11、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ?????=--≥=,0,11,1,n p ap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的,求证一个家庭有)1(≥k k 个男孩的概率为1)2/(2+-k k p ap 。 12、在上题假设下:(1)已知家庭中至少有一个男孩,求此家庭至少有两个男孩的概率; (2)已知家庭中没有女孩,求正好有一个男孩的概率。
第二章 条件概率与统计独立性 1、字母M ,A ,X ,A ,M 分别写在一张卡片上,充分混合后重新排列,问正好得到顺序MAAM 的概率是多少? 2、有三个孩子的家庭中,已知有一个是女孩,求至少有一个男孩的概率。 3、若M 件产品中包含m 件废品,今在其中任取两件,求:(1)已知取出的两件中有一件是废品的条件下,另一件也是废品的条件概率;(2)已知两件中有一件不是废品的条件下,另一件是废品的条件概率;(3)取出的两件中至少有一件是废品的概率。 4、袋中有a 只黑球,b 吸白球,甲乙丙三人依次从袋中取出一球(取后来放回),试分别求出三人各自取得白球的概率(3≥b )。 5、从{0,1,2,…,9}中随机地取出两个数字,求其和大于10的概率。 6、甲袋中有a 只白球,b 只黑球,乙袋中有α吸白球,β吸黑球,某人从甲袋中任出两球投入乙袋, 然后在乙袋中任取两球,问最后取出的两球全为白球的概率是多少? 7、设的N 个袋子,每个袋子中将有a 只黑球,b 只白球,从第一袋中取出一球放入第二袋中,然后从第 二袋中取出一球放入第三袋中,如此下去,问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少? 8、投硬币n 回,第一回出正面的概率为c ,第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ,求第n 回 时出正面的概率,并讨论当∞→n 时的情况。 9、甲乙两袋各将一只白球一只黑球,从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中,这样进行了若干次。以 pn ,qn ,rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球,一只白球一只黑球,两只黑球的概率。试导出pn+1,qn+1,rn+1用pn ,qn ,rn 表出的关系式,利用它们求pn+1,qn+1,rn+1,并讨论当∞→n 时的情况。 10、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ??? ??=--≥=,0,11, 1,n p ap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的,求证一个家庭有 )1(≥k k 个男孩的概率为1)2/(2+-k k p ap 。 11、在上题假设下:(1)已知家庭中至少有一个男孩,求此家庭至少有两个男孩的概率; (2)已知家庭中没有女孩,求正好有一个男孩的概率。 12、已知产品中96%是合格品,现有一种简化的检查方法,它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98, 而误认废品为合格品的概率为0.05,求在简化方法检查下,合格品的一个产品确实是合格品的概率。 13、设A ,B ,C 三事件相互独立,求证B A AB B A -,,Y 皆与C 独立。
概率论答案---李贤平版---第二章
第二章条件概率与统计独立性 1、字母M,A,X,A,M分别写在一张卡片上,充分混合后重新排列,问正好得到顺序MAAM的概率是多少? 2、有三个孩子的家庭中,已知有一个是女孩,求至少有一个男孩的概率。 3、若M件产品中包含m件废品,今在其中任取两件,求:(1)已知取出的两件中有一件是废品的条件下,另一件也是废品的条件概率;(2)已知两件中有一件不是废品的条件下,另一件是废品的条件概率;(3)取出的两件中至少有一件是废品的概率。 4、袋中有a只黑球,b吸白球,甲乙丙三人依次从袋中取出一球(取后来放回),试分别求出三人各自取得白球的概率(3≥b)。 5、从{0,1,2,…,9}中随机地取出两个数字,求其和大于10的概率。 6、甲袋中有a只白球,b只黑球,乙袋中有α吸白球,β吸黑球,某人从甲袋中任出两球投入乙袋,然后在乙袋中任取两球,问最后取出的两球全为白球的概率是多少? 7、设的N个袋子,每个袋子中将有a只黑球,b只白球,从第一袋中取出一球放入第二袋中,然后从第二
袋中取出一球放入第三袋中,如此下去,问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少? 8、投硬币n 回,第一回出正面的概率为c ,第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ,求第n 回时出正面的概率,并讨论当∞→n 时的情况。 9、甲乙两袋各将一只白球一只黑球,从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中,这样进行了若干次。以pn ,qn ,rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球,一只白球一只黑球,两只黑球的概率。试导出pn+1,qn+1,rn+1用pn ,qn ,rn 表出的关系式,利用它们求pn+1,qn+1,rn+1,并讨论当∞→n 时的情况。 10、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ?? ? ??=--≥=,0,11,1,n p ap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。若认为生一个小孩为男孩可女 孩是等可能的,求证一个家庭有)1(≥k k 个男孩的概率为1 )2/(2+-k k p ap 。 11、在上题假设下:(1)已知家庭中至少有一个男孩,求此家庭至少有两个男孩的概率; (2)已知家庭中没有女孩,求正 好有一个男孩的概率。 12、已知产品中96%是合格品,现有一种简化的检查方法,它把真正的合格品确认为合格品的概率为
第二章 条件概率与统计独立性 1、字母M ,A ,X ,A ,M 分别写在一张卡片上,充分混合后重新排列,问正好得到顺序MAAM 的概 率是多少? 2、有三个孩子的家庭中,已知有一个是女孩,求至少有一个男孩的概率。 3、若M 件产品中包含m 件废品,今在其中任取两件,求:(1)已知取出的两件中有一件是废品的条件 下,另一件也是废品的条件概率;(2)已知两件中有一件不是废品的条件下,另一件是废品的条件概率;(3)取出的两件中至少有一件是废品的概率。 4、袋中有a 只黑球,b 吸白球,甲乙丙三人依次从袋中取出一球(取后来放回),试分别求出三人各自取得白球的概率(3≥b )。 5、从{0,1,2,…,9}中随机地取出两个数字,求其和大于10的概率。 6、甲袋中有a 只白球,b 只黑球,乙袋中有α吸白球,β吸黑球,某人从甲袋中任出两球投入乙袋,然 后在乙袋中任取两球,问最后取出的两球全为白球的概率是多少? 7、设的N 个袋子,每个袋子中将有a 只黑球,b 只白球,从第一袋中取出一球放入第二袋中,然后从第 二袋中取出一球放入第三袋中,如此下去,问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少? 8、投硬币n 回,第一回出正面的概率为c ,第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ,求第n 回 时出正面的概率,并讨论当∞→n 时的情况。 9、甲乙两袋各将一只白球一只黑球,从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中,这样进行了若干次。以 pn ,qn ,rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球,一只白球一只黑球,两只黑球的概率。试导出pn+1,qn+1,rn+1用pn ,qn ,rn 表出的关系式,利用它们求pn+1,qn+1,rn+1,并讨论当∞→n 时的情况。 10、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ?????=--≥=,0,11,1,n p ap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的,求证一个家庭有)1(≥k k 个男孩的概率为1)2/(2+-k k p ap 。 11、在上题假设下:(1)已知家庭中至少有一个男孩,求此家庭至少有两个男孩的概率; (2)已知家庭中没有女孩,求正好有一个男孩的概率。 12、已知产品中96%是合格品,现有一种简化的检查方法,它把真正的合格品确认为合格品的概率为, 而误认废品为合格品的概率为,求在简化方法检查下,合格品的一个产品确实是合格品的概率。 13、设A ,B ,C 三事件相互独立,求证B A AB B A -,, 皆与C 独立。
概率论 数字特征与特征函数 2、袋中有k 号的球k 只,n k ,,2,1 =,从中摸出一球,求所得号码的数学期望。 3、随机变量μ取非负整数值0≥n 的概率为!/n AB p n n =,已知a E =μ,试决定A 与B 。 7、袋中有n 张卡片,记号码1,2,…,n,从中有放回地抽出k 张卡片来,求所得号码之和μ的数学期望及方差。 9、试证:若取非负整数值的随机变量ξ的数学期望存在,则∑∞ =≥= 1 }{k k P E ξξ。 11、若随机变量ξ服从拉普拉斯分布,其密度函数为,,21)(| |∞<<∞-=--x e x p x λ μλ 0>λ。试求 ξE ,ξD 。 13、若21,ξξ相互独立,均服从),(2 σa N ,试证π σξξ+ =a E ),max (21。 17、甲袋中有a 只白球b 只黑球,乙袋中装有α只白球β只黑球,现从甲袋中摸出()c c a b ≤+只球放 入乙袋中,求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。 20、现有n 个袋子,各装有a 只白球b 只黑球,先从第一个袋子中摸出一球,记下颜色后就把它放入第 二个袋子中,再从第二个袋子中摸出一球,记下颜色后就把它放入第三个袋子中,照这样办法依次摸下去,最后从第n 个袋子中摸出一球并记下颜色,若在这n 次摸球中所摸得的白球总数为n S ,求 n S 。 21、在物理实验中,为测量某物体的重量,通常要重复测量多次,最后再把测量记录的平均值作为该体 质重量,试说明这样做的道理。 24、若ξ的密度函数是偶函数,且2 E ξ<∞,试证ξ与ξ不相关,但它们不相互独立。 25、若,ξη的密度函数为22 221,1 (,)0,1 x y p x y x y π?+≤?=??+>?,试证:ξ与η不相关,但它们不独立。 27、若ξ与η都是只能取两个值的随机变量,试证如果它们不相关,则独立。 26、若,U aX b V cY d =+=+,试证,U V 的相关系数等于,X Y 的相关系数。 28、若123,,ξξξ是三个随机变量,试讨论(1)123,,ξξξ两两不相关;
第四章 数字特征与特征函数 1、设μ是事件A 在n 次独立试验中的出现次数,在每次试验中p A P =)(,再设随机变量η视μ取偶 数或奇数而取数值0及1,试求ηE 及ηD 。 2、袋中有k 号的球k 只,n k ,,2,1 =,从中摸出一球,求所得号码的数学期望。 3、随机变量μ取非负整数值0≥n 的概率为 !/n AB p n n =,已知a E =μ,试决定A 与B 。 4、袋中有n 张卡片,记号码1,2,…,n,从中有放回地抽出k 张卡片来,求所得号码之和μ的数学期望及方差。 5、试证:若取非负整数值的随机变量ξ的数学期望存在,则∑∞ =≥=1 }{k k P E ξξ 。 6、若随机变量ξ服从拉普拉斯分布,其密度函数为,,21)(| |∞<<∞-=--x e x p x λμλ 0>λ。试求 ξE ,ξD 。 7、若21,ξξ相互独立,均服从),(2σa N ,试证π σξξ+ =a E ),max(21。 8、甲袋中有a 只白球b 只黑球,乙袋中装有α只白球β只黑球,现从甲袋中摸出()c c a b ≤+只球放 入乙袋中,求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。 9、现有n 个袋子,各装有a 只白球b 只黑球,先从第一个袋子中摸出一球,记下颜色后就把它放入第 二个袋子中,再从第二个袋子中摸出一球,记下颜色后就把它放入第三个袋子中,照这样办法依次摸下去,最后从第n 个袋子中摸出一球并记下颜色,若在这n 次摸球中所摸得的白球总数为n S ,求 n S 。 10、在物理实验中,为测量某物体的重量,通常要重复测量多次,最后再把测量记录的平均值作为该体 质重量,试说明这样做的道理。 11、若ξ的密度函数是偶函数,且2 E ξ <∞,试证ξ与ξ不相关,但它们不相互独立。 12、若,ξη的密度函数为22 221,1 (,)0,1x y p x y x y π?+≤?=??+>? ,试证:ξ与η不相关,但它们不独立。 13、若ξ与η都是只能取两个值的随机变量,试证如果它们不相关,则独立。 14、若,U aX b V cY d =+=+,试证,U V 的相关系数等于,X Y 的相关系数。
第一章 事件与概率 1、若A ,B ,C 是随机事件,说明下列关系式的概率意义:(1)A ABC =;(2)A C B A = ;(3)C AB ?;(4)BC A ?. 2、试把n A A A 21表示成n 个两两互不相容事件的和. 3、若A ,B ,C ,D 是四个事件,试用这四个事件表示下列各事件:(1)这四个事件至少发生一个;(2)这四个事件恰好发生两个;(3)A ,B 都发生而C ,D 都不发生;(4)这四个事件都不发生;(5)这四个事件中至多发生一个。 4、证明下列等式:(1)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C ; (2)0)1(321321=-+-+--n n n n n n nC C C C ; (3)∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C 0. 5、袋中有白球5只,黑球6只,陆续取出三球,求顺序为黑白黑的概率。 6、一部五本头的文集,按任意次序放书架上去,试求下列概率:(1)第一卷出现在旁边;(2)第一卷及第五卷出现在旁边;(3)第一卷或第五卷出现在旁边;(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边;(5)第三卷正好在正中。 7、把戏,2,3,4,5诸数各写在一小纸片上,任取其三而排成自左向右的次序,求所得数是偶数的概率。 8、在一个装有n 只白球,n 只黑球,n 只红球的袋中,任取m 只球,求其中白、黑、红球分别有 )(,,321321m m m m m m m =++只的概率。 9、甲袋中有3只白球,7办红球,15只黑球,乙袋中有10只白球,6只红球,9只黑球。现从两袋中各取一球,求两球颜色相同的概率。 10、由盛有号码 ,2,1,N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球,依次记下其号码,试求这些号码按严格上升次序排列的概率。 11、任意从数列 ,2,1,N 中不放回地取出n 个数并按大小排列成:n m x x x x <<<<< 21,试求M x m =的概率,这里N M ≤≤1。 12、从6只不同的手套中任取4只,问其中恰有一双配对的概率是多少? 13、从n 双不同的鞋子中任取2r(2r 第四章 数字特征与特征函数 1、设μ是事件A 在n 次独立试验中的出现次数,在每次试验中p A P =)(,再设随机变量η视μ取偶 数或奇数而取数值0及1,试求ηE 及ηD 。 2、袋中有k 号的球k 只,n k ,,2,1Λ=,从中摸出一球,求所得号码的数学期望。 3、随机变量μ取非负整数值0≥n 的概率为!/n AB p n n =,已知a E =μ,试决定A 与B 。 4、袋中有n 张卡片,记号码1,2,…,n,从中有放回地抽出k 张卡片来,求所得号码之和μ的数学期望 及方差。 5、试证:若取非负整数值的随机变量ξ的数学期望存在,则∑∞ =≥=1}{k k P E ξξ。 6、若随机变量ξ服从拉普拉斯分布,其密度函数为,,21)(||∞<<∞-=--x e x p x λμλ 0>λ。试求 ξE ,ξD 。 7、若21,ξξ相互独立,均服从),(2σa N ,试证π σξξ+=a E ),max (21。 8、甲袋中有a 只白球b 只黑球,乙袋中装有α只白球β只黑球,现从甲袋中摸出()c c a b ≤+只球放 入乙袋中,求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。 9、现有n 个袋子,各装有a 只白球b 只黑球,先从第一个袋子中摸出一球,记下颜色后就把它放入第 二个袋子中,再从第二个袋子中摸出一球,记下颜色后就把它放入第三个袋子中,照这样办法依次摸下去,最后从第n 个袋子中摸出一球并记下颜色,若在这n 次摸球中所摸得的白球总数为n S ,求n S 。 10、在物理实验中,为测量某物体的重量,通常要重复测量多次,最后再把测量记录的平均值作为该体 质重量,试说明这样做的道理。 11、若ξ的密度函数是偶函数,且2 E ξ<∞,试证ξ与ξ不相关,但它们不相互独立。 12、若,ξη的密度函数为22221,1(,)0,1 x y p x y x y π?+≤?=??+>?,试证:ξ与η不相关,但它们不独立。 13、若ξ与η都是只能取两个值的随机变量,试证如果它们不相关,则独立。 14、若,U aX b V cY d =+=+,试证,U V 的相关系数等于,X Y 的相关系数。 第5章 极限定理 1、ξ为非负随机变量,若(0)a Ee a ξ <∞>,则对任意x o >,{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。 2、若()0h x ≥,ξ为随机变量,且()Eh ξ<∞,则关于任何0c >, 1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。 4、{}k ξ各以 12 概率取值s k 和s k -,当s 为何值时,大数定律可用于随机变量序列1,,, n ξξ的算术 平均值? 6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件: (1)1{2}2 k k P X =±= ; (2)(21) 2{2}2 ,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-; (3)1 1 2 21{2},{0}12 k k k P X k P X k --=±===-。 7、若k ξ具有有限方差,服从同一分布,但各k 间,k ξ和1k ξ+有相关,而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的, 证明这时对{}k ξ大数定律成立。 8、已知随机变量序列12,, ξξ的方差有界,n D c ξ≤,并且当||i j -→∞时,相关系数0ij r →,证明 对{}k ξ成立大数定律。 9、对随机变量序列{}i ξ,若记11 ()n n n ηξξ= ++,11 ()n n a E E n ξξ= ++,则{}i ξ服从大数定律 的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞?? -=??+-?? 。 10、用斯特灵公式证明:当,,n m n m →∞→∞-→∞,而 0m n →时, 2 221~2n m n n n m -???? ???-?? ??。 12、某计算机系统有120个终端,每个终端有5%时间在使用,若各个终端使用与否是相互独立的,试 求有10个或更多终端在使用的概率。概率论答案 - 李贤平版 - 第四章
李贤平《概率论与数理统计》标准答案