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李贤平《概率论与数理统计第一章》答案

第1章事件与概率

2、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A =Y Y ；

(3)C AB ?；(4)BC A ?.

3、试把n A A A Y ΛY Y 21表示成n 个两两互不相容事件的和．

6、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。

8、证明下列等式：（1）1321232-=++++n n n n n n n nC C C C Λ；

（2）0)1(321321=-+-+--n n n n n n nC C C C Λ；

（3）∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C

9、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。

10、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；

（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。

11、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。

12、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。

13、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。

14、由盛有号码Λ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。

16、任意从数列Λ,2,1，N 中不放回地取出n 个数并按大小排列成：n m x x x x <<<<<ΛΛ21，试求M x m =的概率，这里N M ≤≤1

18、从6只不同的手套中任取4只，问其中恰有一双配对的概率是多少

19、从n 双不同的鞋子中任取2r(2r

（2）只有一对鞋子；（3）恰有两对鞋子；（4）有r 对鞋子。

20、袋中有n 只球，记有号码n ,,2,1Λ，求下列事件的概率：（1）任意取出两球，号码为1,2；（2）任意取出3球，没有号码1；（30任意取出5球，号码1,2,3,中至少出现一个。

21、袋中装有N ,,2,1Λ号的球各一只，采用（1）有放回；（1）不放回方式摸球，试求在第k 次摸球时首次摸到1号球的概率。

24、从52张扑克牌中任意抽取13张来，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张草花的概率。

25、桥牌游戏中（四人各从52张纸牌中分得13张），求4张A 集中在一个人手中的概率。

26、在扑克牌游戏中（从52张牌中任取5张），求下列事件的概率：（1）以A 打头的同花顺次五张牌；（2）其它同花是非曲直次五比重牌；（3）有四张牌同点数；（4）三张同点数且另两张也同点数；（5）五张同花；（6）异花顺次五张牌；（7）三张同点数；（8）五比重中有两对；（9）五张中有一对；（10）其它情况。

27、某码头只能容纳一只船，现预知某日将独立来到两只船，且在24小时内各时刻来到有可能性都相等，如果它们需要停靠的时间分别为3小时及4小时，试求有一船要在江中等待的概率。

28、两人约定于7点到8点在某地会面，试求一人要等另一人半小时以上的概率。

33、设n A A A ,,,21Λ是随机事件，试用归纳法证明下列公式：

∑∑=≥>≥--++-

=n i i j n n n j i i n A A A P A A P A P A A A P 1121121)()1()()()(ΛΛY ΛY Y 。

36、考试时共有N 张考签，n 个学生参加考试)(N n ≥，被抽过的考签立刻放回，求在考试结束后，至少有一张考签没有被抽过的概率。

37、甲，乙丙三人按下面规则进行比赛，第一局由甲，乙参加而丙轮空，由第一局的优胜者与丙进行第二局比赛，而失败者则轮空，比赛用这种方式一直进行到其中一个人连胜两

局为止，连胜两局者成为整场比赛的优胜者。若甲，乙，丙胜每局的概率各为1/2，问甲，乙，丙成为整场比赛优胜者的概率各是多少

39、给定()()()B A P r B P q A P p Y ===,,，求()AB P 及()B A P 。 40、已知：()()()B A C AB C B P A P AB P ??=,,，证明：)()()(C P A P AC P ≥。

43、利用概率论的想法证明下列恒等式： a

A a a A a A A A a A a A A a A =+-?-++-----+--+)1()1(12)()2)(1()1)((11ΛΛΛ 其中A ，a 都是正整数，且a A >。

46、证明Ω的一切子集组成的集类是一个-σ域。

47、证明：-σ域之交仍为-σ域。

48、证明：包含一切形如),(x -∞的区间的最小-σ域是一维波雷尔-σ域。

解答

2、解：（1）ABC A C A B A ABC A BC A ??????=且显然)(，若A 发生，则B 与C 必同时发生。

（2）A C ?????=且A B A C B A C B A Y Y Y ，B 发生或C 发生，均导致A 发生。

（3）A C AB ??与B 同时发生必导致C 发生。

（4）C B A BC A Y ???，A 发生，则B 与C 至少有一不发生。

3、解：n A A A Y ΛY Y 21)()(11121----++-+=n n A A A A A A ΛΛ

(或)＝121121-+++n n A A A A A A A ΛΛ．

6、解：（1）{至少发生一个}=D C B A Y Y Y .

（2）{恰发生两个}=C A BD B A CD D A BC C B AD D B AC D C AB +++++.

（3）{A ，B 都发生而C ，D 都不发生}=D C AB .

（4）{都不发生}=D C B A D C B A Y Y Y =.

（5）{至多发生一个}=C B A D D B A C D C A B D C B A D C B A ++++

CD BD BC AD AC AB Y Y Y Y Y =.

8、解：（1）因为n n n n n n x nC x C x C x ++++=+Λ2211)1(，两边对x 求导得

12112)1(--+++=+n n n n n n x nC x C C x n Λ，在其中令x=1即得所欲证。

（2）在上式中令x=-1即得所欲证。

（3）要原式有意义，必须a r ≤≤0。由于k b b k b r b b a r a b a C C C C -++-+==,，此题即等于

要证∑=++-+≤≤=a k r b b a k b b r k a a r C C C

00,.利用幂级数乘法可证明此式。因为

b a b a x x x ++=++)1()1()1(，比较等式两边r b x +的系数即得证。

9、解：15.033

5/311151516===A A A A P

10、解：（1）第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任

意排，所以5/2!5/!42=?=p

（2）可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷

出现在左边，剩下三卷可在中间三人上位置上任意排，所以

10/1!5/!32=?=p

（3）p P ={第一卷出现在旁边}+P{第五卷出现旁边}-P{第一卷及第五卷出现在旁

边}=10

71015252=-+. （4）这里事件是（3）中事件的对立事件，所以 10/310/71=-=P

（5）第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以5/1!5/!41=?=P

11、解：末位数吸可能是2或4。当末位数是2（或4）时，前两位数字从剩下四个数字中

选排，所以 5/2/23524=?=A A P

12、解：m n m

n m n m n C C C C P 33/321=

13、解：P{两球颜色相同}=P{两球均白}+P{两球均黑}+P{两球均红}

33.0625

20725925152562572510253==?+?+?=.

14、解：若取出的号码是按严格上升次序排列，则n 个号码必然全不相同，N n ≤。N 个不

同号码可产生!n 种不同的排列，其中只有一个是按严格上升次序的排列，也就是说，一

种组合对应一种严格上升排列，所以共有n N C 种按严格上升次序的排列。总可能场合数

为n N ，故题中欲求的概率为n n N N C P /=.

16、解：因为不放回，所以n 个数不重复。从}1,,2,1{-M Λ中取出m-1个数，从}

,1{N M Λ+中取出m n -个数，数M 一定取出，把这n 个数按大小次序重新排列，则必有M x m =。

故n N m n M N m M C C C C P /1111----=。当11-<-m M 或m n M N -<-时，概率0=P .

18、解：有利场合是，先从6双中取出一双，其两只全取出；再从剩下的5双中取出两双，从其每双中取出一只。所以欲求的概率为48.033

16/4121212252216===C C C C C C P

19、解：（1）有利场合是，先从n 双中取出2r 双，再从每双中取出一只。

)2(,/)(222122n r C C C P r n r r n <=

（2）有利场合是，先从n 双中取出一双，其两只全取出，再从剩下的1-n 双中取出22-r 双，从鞭每双中取出一只。

r n r n r r n r r n n C C n C C C C C P 2222122222212221221/2/)(------==.

（3）r n r n n r C C C P 22422242/2---=.

（4）r n r r n C C C P 2222/)(=r n r n C C 22/=.

20、解：（1）P{任意取出两球，号码为1，2}=2/1n C .

（2）任取3个球无号码1，有利场合是从除去1号球外的1-n 个球中任取3个球的组合数，故 P{任取3球，无号码1}3

31/n n C C -=.

（3）P{任取5球，号码1,2,3中至少出现1个}=P -1{任取5球，号码1,2,3不出现}553/1n n C C --=.

其中任取5球无号码1,2,3，有利场合是从除去1,2,3号球外的3-n 个球中任取5个球的组合数。

21、解：（1）有利场合是，前1-k 次从1-N 个号中（除1号外）抽了，第k 次取到1号球， k k k k N N N N P /)1(/1)1(11---=?-=

（2）考虑前k 次摸球的情况，N A A P k N k N /1/111=?=--。

22.(老师的解法)P=)!(n m A A n m m m +

23.

24、解：0129.0/1352213313313513==C C C C C P

25、解：0106.041352

94313131326133913521313132613399434414=?==C C C C C C C C C C C C P . 或解为，4张A 集中在特定一个手中的概率为135294844/C C C ，所以4张A 集中在一个人

手中的概率为 0106.0/41352948=?=C C P .

26、解：（1）0000015.0/4552==C P . 这里设A 只打大头，若认为可打两头AKQJ10及A2345，

则答案有变，下同。

（2）取出的一张可民由K ，Q ，…，6八个数中之一打头，所以

0000123.0/5521814==C C C P .

（3）取出的四张同点牌为13个点中的某一点，再从剩下48张牌中取出1张，所以 .00024.0/55244113==C C C P

（4）取出的3张同点占有13个点中一个点，接着取出的两张同点占有其余12个点

中的一个点，所以 .00144.0/5522411234113==C C C C C P

(5)5张同花可以是四种花中任一种，在同一种花中，5张牌占有13个点中5个点，

所以 .00198.0/55251314==C C C P

(6){异花顺次五张牌}={顺次五张牌}－{同花顺次五张牌}。顺次五张牌分别以A ，K ，…，6九个数中之一打头，每张可以有四种不同的花；而同花顺次中花色只能是四种花中一种。所以

p = P{顺次五张牌}－{同花顺次五张牌}[].0000294.0/)(5

52191451419=-=C C C C C

（7）三张同点牌占有13个点中一个占有剩下12个点中两个点，所以.0211.0/)(55221421234113==C C C C C P

（8）P{五张中有两对}=P{五张中两对不同点}+P{五张中两对同点}

.0475.0//5521411244113552141112424212=+=C C C C C C C C C C C

（9）.423.0/)(55231431224113==C C C C C p

（10）若记（i ）事件为i A ，则94835251,,,A A A A A A A A ????而事件

95,,A A Λ两两不相容，所以∑===-=???

? ??-=9595.506.0)(11i i i i A P A P p Y

27、解：设x ，y 分别为此二船到达码头的时间，则

240,240≤≤≤≤y x . 两船到达码头的时间与由上述

条件决定的正方形内的点是一一对应的（如图）

设A 表事件“一船要等待空出码头”，则Ａ发生意味４

着同时满足下列两不等式 4,3≤-≤-x y y x 由几何概率得，事件Ａ的概率，等于正方形ＣＤＥＦ中直线43≤-≤-x y y x 及之间的部分面积，与正方形CDEF 的面积之比，即

27.01152/31124/21212021242222==?????

???? ???+?-=PA

28、解：设x ，y 分别为此二人到达时间，则 y 87,87≤≤≤≤y x 。显然，此二人到达时间 ),(y x 与由上述条件决定的正方形CDEF 内和点是一一对应的(如图)。设A 表事件“其中一人必须等另外一人的时间1/2小时以上“，则A 发生意味着满足如下 0 不等式 2

121>->-x y y x 或。由几何概率得，事件A 的概率等于ΔGDH 及ΔFMN 的面积之和与正方形CDEF 的面积之比，所以

41)11/()21212121(21)(=??+?=A P

33、证：当2=n 时，)(212121A A A A A A -=Y Y ，1A 与212A A A -两者不相容，所以

)()()()()(212121221A A P A P A P A A A P A A P -+=-=Y .

此即当2=n 时原式成立。

设对1-n 原式成立，现证对n 原式也成立。

}{)(1111n n n n A A A P A A A P Y Y ΛY Y Y ΛY --=

}{)()(1111n n n n A A A P A P A A P Y Y ΛY Y ΛY ---+= }

{)()(12111n n n n n n A A A A A A P A P A A P ---+=Y ΛY Y Y ΛY

对前后两项分别应用归纳假设得

)

(11n n A A A P Y Y ΛY -?

?????-++-=--≥>≥--=∑∑)()1()()(1121111n n i j n j i i n n A A P A A P A P ΛΛ)(n A P + ??

????-++----≥>≥--=∑∑)()1()()(121111n n n j n i n i j n n j n i n i n i A A A A A A P A A A A P A A P ΛΛ

)()1()()(21111n n i j n j i i n i A A A P A A P A P ΛΛ-≥>≥=-++-

=∑∑.

至此，原式得证。

36、解：设考签编号为N ,,2,1Λ，记事件}{号考签未被抽到第x A i =，则

n n i N N A P /)1()(-=， ΛΛ),(/)2()(j i N N A A P n n j i ≠-=， 0/)()(21=-=n n N N N N A A A P Λ；

诸i A 相容，利用第33题公式计算得

P={至少有一张考签未被抽到}}{21N A A A P Y ΛY Y = ∑∑=≥>≥--++-=N i i j N N N j

i i A A A P A A P A P 11

211)()1()()(ΛΛ 01)1()2()1(1221+-++---=--n N N N n n N n n N

N C N n C N N C Λ ∑-=---=1

111)()1(N i n n N i N i N C .

37、解：这些比赛的可能结果，可以用下面方法表示：

,,,,,,,,,,,,aa acc acbb acbaa acbacc acbacbb bb bcc bcaa bcabb bcabcc bcabcaa L L

其中a 表甲胜，b 表乙胜，c 表丙胜。

在这些结果中，恰巧包含k 个字母的事件发生的概率应为k 21，如aa 发生的概率为1/4，acbb 发生的概率为1/16等等。则

[][]Λ++++=)()()()()(bcabcc P acbacc P bcc P acc P c p 7

2212212212963

=+?+?+?=Λ. 由于甲，乙两人所处的地位是对称的，所以)()(b p a p =，得 14

5)721(21)()(=-==b p a p .

39、解：)()()(B B A P B A P B A P -=-=Y q r B P B A P -=-=)()(Y r B A P B A P B A P -=-==1)(1)()(Y Y .

40、证：设21)(,C B A C C BC =-=.由B A C ?可得，B A C Y ?，

∴21C C C Y =，φ=21C C I （1）

又AB C ?∴AB BC A AC ==)(1 再由)()(1C P B P ≥得

)()()()()()(11C P A P B P A P AB P AC P ≥== （2）

由A C ?2并利用1)(≤A P 得

)()()()(222C P A P C P AC P ≥= （3）

由（1），（2），（3）可得

{})

()()(2121AC AC P C C A P AC P Y Y ==)()()()()()(2121C P A P C P A P AC P AC P +≥+=

[])

()()()()(21C P A P C P C P A P =+=

43、证：设袋中有A 个球，其中a 个是白球，不还原随机取出，第k 次才首次取得白球的

概率为 k A a k a A k A A A P 11--=)

1()2)(1()2()1)((+---+-----=k A A A A k a A a A a A a ΛΛ )1,,2,1(+-=a A k Λ. 因为袋中有a 个白球，a A -个黑球，若一开始总是取到黑球，直到把黑球取完为止，则至迟到第1+-a A 次一定会取到白球；也就是说，第一次或第二次…或至迟到第1+-a A 次取得白球事件是必然事件，其概率为1。所以

1211+-+++=a A p p p Λa

a A A a A a A A a A a A a )1()1(12)()1()(+-?-++--+=ΛΛΛ 等式两边同乘以a

A 得 a A a a A a A A A a A a A A a A =+-?-++-----+--+

)1()1(12)()2)(1()1)((11ΛΛΛ.

46、证：记F={Ω的一切子集}

（i ）Ω是Ω的子集，所以F ∈Ω。

(ii) 若F A ∈，则A 是Ω的子集，A -Ω也是Ω的子集，所以F A A ∈-Ω=。 (iii)F i A i ∈=),2,1(Λ，当然有Λ,2,1,=?Ωi A i 。任一Y i i A

∈ω。必有某一i A ，使

i A ∈ω，所以Ω∈ω，从而i i A i Y ?

Ω，即i i A i Y 也是Ω的一个子集，故F A i i i

∈Y 。 ∴F 是-σ域。 47、证：设)(T t F t ∈是-σ域，记Y T t t F

F ∈=.

(i) ∈Ω每一t F ，所以I T

t t F ∈∈Ω，即F ∈Ω.

(ii) F A ∈，则∈A 每一t F ，由t F 是-σ域得∈A 每一t F ，所以t T t F A Y ∈∈，从而F A ∈. (iii) F i A i ∈=),2,1(Λ，则诸t A 必属于每一t F ，由于t F 是-σ域，所以Y i

i A ∈每一t

F ，即F F A t T t i i

=∈∈I Y .

∴f 是-σ域。

48、证：一维波雷尔-σ域{}),[b a m B =是由左闭右开区间灶产生的-σ域，{}),(~

x M B -∞=是由形如),(x -∞区间类产生的-σ域。

因为 ),(),(),[a b b a -∞--∞=

等式左边是B ~中两个集的差，由此知B ~包含一切形如),[b a 的集，而B 是由一切形如)

,[b a 的集类产生的-σ域，所以B B ?~。又由于 Y ∞

=+--=-∞1)1,[),(n n x n x x ，

等式右边是B 中集的可列并，由此知B 包含一切形如),(x -∞的集，与上段同理得B B ~?.

∴B B =~.

李贤平《概率论与数理统计》标准答案

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2

第5章极限定理 1、ξ为非负随机变量，若(0)a Ee a ξ <∞>，则对任意x o >，{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。 2、若()0h x ≥，ξ为随机变量，且()Eh ξ<∞，则关于任何0c >， 1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。 4、{}k ξ各以 12 概率取值s k 和s k -，当s 为何值时，大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξL L 的算术平均值？ 6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件：（1）1{2}2 k k P X =±= ；（2）(21) 2{2}2 ,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-；（3）1 1 2 21{2},{0}12 k k k P X k P X k --=±===-。 7、若k ξ具有有限方差，服从同一分布，但各k 间，k ξ和1k ξ+有相关，而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的，证明这时对{}k ξ大数定律成立。 8、已知随机变量序列12,,ξξL 的方差有界，n D c ξ≤，并且当||i j -→∞时，相关系数0ij r →，证明对{}k ξ成立大数定律。 9、对随机变量序列{}i ξ，若记11()n n n ηξξ= ++L ，11 ()n n a E E n ξξ=++L ，则{}i ξ服从大数定律的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞?? -=??+-?? 。 10、用斯特灵公式证明：当,,n m n m →∞→∞-→∞，而 0m n →时， 2 2211~2n m n n e n m n π -???? ???-?? ??。 12、某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试求有10个或更多终端在使用的概率。

概率论基础-李贤平-试题+答案-期末复习

第一章随机事件及其概率一、选择题： 1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是：（） A ．A B A C + B ．()A B C + C ．ABC D ．A B C ++ 2．设B A ? 则（） A ．()P A B I =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=- C ． P(B|A) = P(B) D ．(|)()P A B P A = 3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（）成立时，A 与B 一定独立 A ．()()()P A B P A P B =I B ．P （A|B ）=0 C ．P （A|B ）= P （B ） D ．P （A|B ）= ()P A 4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为：（） A ．a-b B ．c-b C ．a(1-b) D ．b-a 5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是（） A ．A 与 B 互不相容 B ．A 与B 相互独立 C ．A 与B 互不独立 D ．A 与B 互不相容 6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ?，则一定成立的关系式是（） A ．P （A| B ）=1 B ．P(B|A)=1 C ．(|A)1p B = D ．(A|)1p B = 7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是（） A ．()A B B A -=U B ．()A B B A -?U C ．()A B B A -?U D ．()A B B A -=U 8．设事件A 与B 互不相容，则有（） A ．P （A B ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0 C ．A 与B 互不相容 D ．A+B 是必然事件