李贤平《概率论基础》第三版课后答案

(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：

李贤平《概率论与数理统计》标准答案

李贤平《概率论与数理统计》标准答案

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第5章 极限定理 1、ξ为非负随机变量，若(0)a Ee a ξ <∞>，则对任意x o >，{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。 2、若()0h x ≥，ξ为随机变量，且()Eh ξ<∞，则关于任何0c >， 1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。 4、{}k ξ各以 12 概率取值s k 和s k -，当s 为何值时，大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξL L 的算术平均值？ 6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件： （1）1{2}2 k k P X =±= ； （2）(21) 2{2}2 ,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-； （3）1 1 2 21{2},{0}12 k k k P X k P X k --=±===-。 7、若k ξ具有有限方差，服从同一分布，但各k 间，k ξ和1k ξ+有相关，而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的， 证明这时对{}k ξ大数定律成立。 8、已知随机变量序列12,,ξξL 的方差有界，n D c ξ≤，并且当||i j -→∞时，相关系数0ij r →，证明 对{}k ξ成立大数定律。 9、对随机变量序列{}i ξ，若记11()n n n ηξξ= ++L ，11 ()n n a E E n ξξ=++L ，则{}i ξ服从大数定律 的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞?? -=??+-?? 。 10、用斯特灵公式证明：当,,n m n m →∞→∞-→∞，而 0m n →时， 2 2211~2n m n n e n m n π -???? ???-?? ??。 12、某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试 求有10个或更多终端在使用的概率。

概率论与数理统计(第三版)课后答案习题5

概率论与数理统计(第三版)课后答案习题5

第五章 大数定律与中心极限定理 1. 设随机变量ξ的方差为 2.5。利用契贝雪夫不等式估计： {}5.7||≥-ξξE P 的值。 解：由契贝雪夫不等式：2 }|{|εξ εξξD E P ≤ ≥-，又已知 5.7,5.2==εξD ，故 044 .05.75 .2}5.7|{|2 =≤≥-ξξE P 。 2. 已知某随机变量ξ的方差D ξ=1，但数学期望E ξ=m 未知，为估计m ，对ξ进行n 次独立观测，得样本观察值ξ1，ξ2，…，ξn 。现用 {}∑=≥<-=n i i p m P m n n 1 5.0||1ξξξ多大时才可能使问当估计， 。 解：因∑=== n i i m E n E 1 ,1ξξ又ξ1，ξ2，…，ξn 相互独立， 故 ∑∑=== ==n i n i i i n D n n D D 11 21 )(1)1(ξξξ，根据契贝雪夫不等 式，有 2 5.01}5.0|{|ξξξD E P - ≤<-，即n m P 4 1}5.0|{|- ≤<-ξ， 再由 p n p n -≥≥- 14,41得。 3. 设在由n 个任意开关组成的电路的实验中，每次试验时一个开关开或关的概率各为12 。设m 表示在这n 次试验中遇到的开电次数，欲使开电频率m n 与开电概率p =0.5的绝对误差小于ε =0.01，并且要有99%以上的可靠性来保证它实现。试用德莫佛-拉普拉斯定理来估计，试验的次数n 应该是多少？

从参数为p 的二点分布，且E i ξ=p ， D i ξ=p (1-p )≤1/4，而 ∑ === n i i n n 1 ξξ η是n 个独立同分布的 随机变量之和，故由中心极限定理知) 1,0(~N D E η η η-， 因此有 ?? ????<-ξξD p n P 21 122222/-??? ??Φ=???? ??Φ≈?? ???????? <-=n D D D D D E P ηξηξη ηη， 为使 6 ,16.5,99.0122≥>≥-?? ? ??Φn n n 即查表得。 6. 一个养鸡场购进一万只良种鸡蛋，已知每只鸡蛋孵化成雏鸡的概率为0.84，每只雏鸡育成种鸡的概率为0.9，试计算由这些鸡蛋得到种鸡不少于7500只的概率。 解：定义承机变量?? ?=., 0, ,1鸡只鸡蛋不能育成种第鸡只鸡蛋能育成种第k k k ξ) 10000,,2,1(Λ=k 。 则k ξ)10000,,2,1(Λ=k 是独立同分布的，且756.09.084.0}1{=?==k P ξ， 224 .0756.01}0{=-==k P ξ。显然∑==10000 1 k k ξξ表示10000只鸡蛋 中能育成种鸡的个数。此为n =10000，p =0.756的贝努利概型，由隶莫弗——拉普拉斯定理可得 92.0)1(75001)1(7500)1(}7500{=??? ? ??--Φ-=??????????--≥--=≥p np np p np np p np np P P ξξ。 7. 某印刷厂在排版时，每个字符被排错的概率为0.0001，试求在300000个字符中错误不多于50个的概率。 解：令?? ?=. , 0, ,1个字未排错第个字排错第i i i ξ则∑==50000 1 i i ξξ是服从参数n =50000，p =0.0001的贝努利概型，因此由隶莫弗——拉普拉斯定理可得

概率论基础-李贤平-试题+答案-期末复习

第一章 随机事件及其概率 一、选择题： 1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是： （ ） A ．A B A C + B ．()A B C + C ．ABC D ．A B C ++ 2．设B A ? 则 （ ） A ．()P A B I =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=- C ． P(B|A) = P(B) D ．(|)()P A B P A = 3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（ ）成立时，A 与B 一 定独立 A ．()()()P A B P A P B =I B ．P （A|B ）=0 C ．P （A|B ）= P （B ） D ．P （A|B ）= ()P A 4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为： （ ） A ．a-b B ．c-b C ．a(1-b) D ．b-a 5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 （ ） A ．A 与 B 互不相容 B ．A 与B 相互独立 C ．A 与B 互不独立 D ．A 与B 互不相容 6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ?，则一定成立的关系式是（ ） A ．P （A| B ）=1 B ．P(B|A)=1 C ．(|A)1p B = D ．(A|)1p B = 7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是 （ ） A ．()A B B A -=U B ．()A B B A -?U C ．()A B B A -?U D ．()A B B A -=U 8．设事件A 与B 互不相容，则有 （ ） A ．P （A B ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0 C ．A 与B 互不相容 D ．A+B 是必然事件

概率论课后习题答案

习题1解答 1、 写出下列随机试验的样本空间Ω: (1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分); (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数; (3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记为“正品”,不合格的记为“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果; (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标、 解:(1)以n 表示该班的学生人数,总成绩的可能取值为0,1,2,…,100n ,所以该试验的样本空间为 {|0,1,2,,100}i i n n Ω==、 (2)设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品,样本空间为 {10|0,1,2,}k k Ω=+=, 或写成{10,11,12,}.Ω= (3)采用0表示检查到一个次品,以1表示检查到一个正品,例如0110表示第一次与第四次检查到次品,而第二次与第三次检查到的就是正品,样本空间可表示为 {00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=、 (3)取直角坐标系,则有22 {(,)|1}x y x y Ω=+<,若取极坐标系,则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<、 2.设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件、 (1) A 发生而B 与C 不发生; (2) A 、B 、C 中恰好发生一个; (3) A 、B 、C 中至少有一个发生; (4) A 、B 、C 中恰好有两个发生; (5) A 、B 、C 中至少有两个发生; (6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生、

概率论第三版第2章答案详解

两人各投中两次的概率为： P(A ^ A 2B 1B 2^0.0784O 所以: 作业题解： 2.1掷一颗匀称的骰子两次，以X 表示前后两次出现的点数之和 ，求X 的概率分布，并验 证其满足(222) 式. 解: Q Q Q Q 根据 v P(X = k) =1，得 k =0 故 a 二 e 「1 2.3 甲、乙两人投篮时，命中率分别为0.7和0.4 ,今甲、乙各投篮两次，求下列事件的 概率： (1)两人投中的次数相同；(2) 甲比乙投中的次数多. 解：分别用A ，B j (i =1,2)表示甲乙第一、二次投中，则 P(A) = P(A 2)=0.7,P(A) = P(A 2)=0.3,P(B 1)= P(B 2)=0.4,P(B 1)= P(D) =0.6, 两人两次都未投中的概率为： P(A A 2 B^! B 2) = 0.3 0.3 0.6 0.6二0.0324， 两人各投中一次的概率为： 并且，P(X P(X P(X P(X = 12) = 1 36 =10) 煤 =8) 嗥； =k)=( =2) =P(X =4) =P(X =6) =P(X 2.2 2 P(X =3) =P(X =11)= ； 36 4 P(X =5) =P(X =9)= p (X =7)」。 36 k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) P{X =k}二ae°,k =1,2…，试确定常数 解: k ae ae = 1 ，即 1=1。 k -0 1 - e

P(AA2BB2)P(AA2B2B1)P(A2AB1B2)P(AA2B2B1)= 4 0.7 0.3 0.4 0.6 = 0.2016两人各投中两次的概率为：P(A^ A2B1B2^0.0784O所以:

概率论答案 - 李贤平版 - 第三章

第三章 随机变量与分布函数 1、直线上有一质点，每经一个单位时间，它分别以概率p 或p -1向右或向左移动一格，若该质点在时刻 0从原点出发，而且每次移动是相互独立的，试用随机变量来描述这质点的运动（以n S 表示时间n 时质点的位置）。 2、设ξ为贝努里试验中第一个游程（连续的成功或失败）的长，试求ξ的概率分布。 3、c 应取何值才能使下列函数成为概率分布：（1）;,,2,1,)(N k N c k f Λ==（2）,,2,1,!)(Λ==k k c k f k λ 0>λ。 4、证明函数)(2 1)(||∞<<-∞=-x e x f x 是一个密度函数。 5、若ξ的分布函数为N （10，4），求ξ落在下列范围的概率：（1）（6，9）；（2）（7，12）；（3）（13，15）。 6、若ξ的分布函数为N （5，4），求a 使：（1）90.0}{=-a P ξ。 7、设}{)(x P x F ≤=ξ，试证)(x F 具有下列性质：（1）非降；（2）右连续；（3）,0)(=-∞F 1)(=+∞F 。 8、试证：若αξβξ-≥≥-≥≤1}{,1}{12x P x P ，则)(1}{21βαξ+-≥≤≤x x P 。 9、设随机变量ξ取值于[0，1]，若}{y x P <≤ξ只与长度x y -有关（对一切10≤≤≤y x ），试证ξ服 从[0，1]均匀分布。 10、若存在Θ上的实值函数)(θQ 及)(θD 以及)(x T 及)(x S ，使 )}()()()(ex p{)(x S D x T Q x f ++=θθθ， 则称},{Θ∈θθf 是一个单参数的指数族。证明（1）正态分布),(20σm N ，已知0m ，关于参数σ； （2）正态分布),(200σm N ，已知0σ，关于参数m ；（3）普阿松分布),(λk p 关于λ都是一个单参数的指数族。 但],0[θ上的均匀分布，关于θ不是一个单参数的指数族。 11、试证)2(22),(cy bxy ax ke y x f ++-=为密度函数的充要条件为,0,0,02<->>ac b c a π2 b a c k -=。 12、若)(),(21y f x f 为分布密度，求为使),()()(),(21y x h y f x f y x f +=成为密度函数，),(y x h 必须而且 只需满足什么条件。 13、若),(ηξ的密度函数为 ???>>=+-其它, 00,0,),()2(y x Ae y x f y x ，

概率论与数理统计课后习题答案

第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数 （设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产 品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上 “正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品 就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的 结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。 （2）}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。 （4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100， 1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中 0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y)| 0

（2）A 与B 都发生，而C 不发生。 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生。 （4）A ，B ，C 都发生。 （5）A ，B ，C 都不发生。 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生。 （7）A ，B ，C 至少有一个不发生。 （8）A ，B ，C 中至少有两个发生。 解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ， （5）C B A ， （6）C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++， （7）C B A ++， （8）BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作 图说明。 （1）B B A B A =（2）AB B A = （3）AB B A B =?则若,（4）若 A B B A ??则, （5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ?，

李贤平 《概率论与数理统计 第一章》答案

第1章 事件与概率 2、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A =Y Y ； (3)C AB ?；(4)BC A ?. 3、试把n A A A Y ΛY Y 21表示成n 个两两互不相容事件的和． 6、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。 8、证明下列等式：（1）1321232-=++++n n n n n n n nC C C C Λ； （2）0)1(321321=-+-+--n n n n n n nC C C C Λ； （3）∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C 0. 9、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。 10、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边； （2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。 11、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。 12、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。 13、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。 14、由盛有号码Λ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。

李贤平-《概率论与数理统计-第一章》答案

李贤平-《概率论与数理统计-第一章》答案

第1章 事件与概率 2、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A = ；(3)C AB ?；(4)BC A ?. 3、试把n A A A 21表示成n 个两两互不相容事件 的和． 6、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。 8、证明下列等式：（1）1321232-=++++n n n n n n n nC C C C ； （2）0)1(321321 =-+-+--n n n n n n nC C C C ； （3）∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C 0. 9、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。 10、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）

第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。 11、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。 12、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。 13、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。 14、由盛有号码 ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。 16、任意从数列 ,2,1，N 中不放回地取出n 个数并按大小排列成：n m x x x x <<<<< 21，试求M x m =的 概率，这里N M ≤≤1 18、从6只不同的手套中任取4只，问其中恰有

概率论重点课后题答案

第2章条件概率与独立性 一、大纲要求 <1）理解条件概率的定义. <2）掌握概率的加法公式、乘法公式，会应用全概率公式和贝叶斯公式. <3）理解事件独立性的概念，掌握应用事件独立性进行概率计算. <4）了解独立重复实验概型，掌握计算有关事件概率的方法，熟悉二项概率公式的应用. 二、重点知识结构图 为2这个公式称为乘法定理. 乘法定理可以推广到有限多个随机事件的情形. 定理设12,, ,n A A A 为任意n 个事件<2n ≥），且121()0n P A A A ->，则有 12112131212 1()()(|)(|)(|)n n n n P A A A A P A P A A P A A A P A A A A --= 3．全概率公式 定理设12,,B B 为一列<有限或无限个）两两互不相容的事件，有

1 i i B ∞==Ω∑()0(1,2,)i P B i >= 则对任一事件A ，有1 ()()(|)i i i P A P B P A B ∞==∑. 4.贝叶斯公式 定理设12,,B B 为一系列<有限或无限个）两两互不相容的事件，有 1i i B ∞==Ω∑()0(1,2,)i P B i >= 则对任一具有正概率的事件A ，有 1()(|) (|)()(|)k k k j j j P B P A B P B A P B P A B ∞==∑ 5.事件的相互独立性 定义若两事件A B 、满足，则称A B 、<或B A 、）相互独立，简称独立. 定理若四对事件;;A B A B A B A B 、、 、； 、 中有一对是相互独立的，则另外三对事件也是相互独立的.即这四对事件或者都相互独立，或者都相互不独立.定义设12n A A A ，，，是n 个事件，若对所有可能的组合1i j k n ≤<<<≤成 立： ()()()i j i j P A A P A P A =<共2n C 个） ()()()()i j k i j k P A A A P A P A P A =<共3n C 个） 1212()()()()n n P A A A P A P A P A =<共n n C 个） 则称12,,n A A A 相互独立. 定理设n 个事件12,, n A A A 相互独立，那么，把其中任意m <1m n ≤≤）个事件相应换成它们的对立事件，则所得的n 个事件仍然相互独立. 6. 重复独立实验，而且这些重复实验具备：<1）每次实验条件都相同，因此各次实验中同一个事件的出现概率相同；<2）各次实验结果相互独立；满足这两

概率论与数理统计第四版课后习题答案

概率论与数理统计课后习题答案 第七章参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X c θc θc c θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL

李贤平 第2版《概率论基础》第五章答案

1 第5章 极限定理 1、ξ为非负随机变量，若(0)a Ee a ξ <∞>，则对任意x o >，{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。 2、若()0h x ≥，ξ为随机变量，且()Eh ξ<∞，则关于任何0c >， 1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。 4、{}k ξ各以 12 概率取值s k 和s k -，当s 为何值时，大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξL L 的算术平均值？ 6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件： （1）1{2}2 k k P X =±= ； （2）(21) 2{2}2 ,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-； （3）1 1 2 21{2},{0}12 k k k P X k P X k --=±===-。 7、若k ξ具有有限方差，服从同一分布，但各k 间，k ξ和1k ξ+有相关，而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的， 证明这时对{}k ξ大数定律成立。 8、已知随机变量序列12,,ξξL 的方差有界，n D c ξ≤，并且当||i j -→∞时，相关系数0ij r →，证明 对{}k ξ成立大数定律。 9、对随机变量序列{}i ξ，若记11()n n n ηξξ= ++L ，11 ()n n a E E n ξξ=++L ，则{}i ξ服从大数定律的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞?? -=??+-?? 。 10、用斯特灵公式证明：当,,n m n m →∞→∞-→∞，而 0m n →时， 2 221~2n m n n n m -???? ???-?? ??。 12、某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试 求有10个或更多终端在使用的概率。

概率论与数理统计统计课后习题答案

概率论与数理统计统计课后习题答案

第二章习题解答 1. 设)(1x F 与)(2 x F 分别是随机变量X 与Y 的分布函数,为使)()(2 1x bF x aF -是某个随机变量的分布函数, 则b a ,的值可取为( A ). A . 5 2,53-==b a B . 32,32==b a C . 23,21=-=b a D . 23,21-==b a 2. 解：因为随机变量X ＝{这4个产品中的次品数} X 的所有可能的取值为：0，1，2，3，4. 且4015542091{0}0.2817323C C P X C ===≈； 31155420455{1}0.4696969C C P X C ===≈； 2215542070{2}0.2167323 C C P X C ===≈； 1315542010{3}0.0310323C C P X C ===≈； 041554201{4}0.0010969 C C P X C ===≈. 因此所求X 的分布律为： 3．

5. 解：设X ＝{其中黑桃张数}. 则X 的所有可能的取值为0，1，2，3，4，5. 051339552 2109 {0}0.22159520C C P x C ===≈； 14 133955227417 {1}0.411466640 C C P x C ===≈； 231339552 27417 {2}0.274399960C C P x C ===≈； 32133955216302 {3}0.0815199920 C C P x C ===≈； 4 11339 552429{4}0.010739984 C C P x C ===≈； 50 133955233 {5}0.000566640 C C P x C ===≈. 所以X 的概率分布为： 6.

概率论重点附课后题答案

第1章随机事件与概率 一、大纲要求 （1）理解随机事件的概率，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算. （2）了解概率的统计定义和公理化定义，掌握概率的基本性质. （3）会计算古典概型的概率和几何概型的概率. 二、重点知识结构图 三、基础知识 1.随机试验的特征 （1）试验可以在相同的条件下重复地进行. （2）试验的可能结果不止一个，但明确知道其所有可能会出现的结果.

（3）在每次试验前，不能确知这次试验的结果，但可以肯定，试验的结果必是所有可能结果中的某一个. 2.样本空间 在讨论一个随机试验时，试验的所有可能结果的集合是明确知道的，称这个集合为该实验的样本空间，常用()S Ω或表示，其元素称为样本点，常用ω记之，它是试验的一个可能结果. 3.随机事件 在实际问题中，面对一个随机试验，人们可能会关心某些特定的事情在重复试验下是否会发生.例如，投资者关心明日收市股价是否上涨，即明日股价>今日收市价，它是样本空间的一部分.因此，称样本空间的一些子集为随机事件，简称事件，通常用大写英文字母A B C 、、记之. 4.事件的关系和运算 一个较为复杂的事件，通过种种关系，可使其与一些较为简单的事件联系起来，这时，我们就可设法利用这种联系，通过简单的事件去研究那些较为复杂的事件，用已知的事件去表示未知的事件. 5.事件的蕴含与包含 若当事件A 发生时B 必发生，则称A 蕴含B ，或者说B 包含A ，记作A B ?. 6.事件的相等 若A 与B 互相蕴含，即A B ?且B A ?，则称事件A 与B 相等，记为A B =. 7.事件的互斥(或称互不相容) 若事件A B 、不能在同一次试验中都发生(但可以都不发生)，则称它们是互不相容的或互斥的. 若一些事件中的任意两个事件都互不相容，则称这些事件是两两互不相容的，或简称互不相容的. 8.事件的对立（或称逆） 互不相容的一个重要特例是“对立”.称事件{}B A =不发生为A 的对立事件或逆事件，常记作A . 9.事件的并（或称和）

概率论 第三版 龙永红第二章习题及答案

第二章 练习题（解答） 一、填空题： 1．设随机变量X 的密度函数为：f(x)=? ??02x 其它1 ???o 则用Y 表示对X 的3次独立 重复的观察中事件(X≤ 2 1 )出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。 解：?==≤41 20 21)21(xdx X p 64 9)43()41()2(1223===C Y p 2. 设连续型随机变量的概率密度函数为：f (x) = 且EX ＝3 1 ，则a = _____-2___________， b = _____2___________。 1 ()1011()0 3ax b dx x ax b dx ?+=????+=????解：解之 3. 已知随机变量X 在[ 10，22 ] 上服从均匀分布，则EX= 16 ， DX= 12 4.设=+==）（，则，为随机变量，1041132ξξξ ξE E E 22104=+ξE =+)104(ξD []3216162 2=-=） （ξξξE E D 5. 已知X 的密度为=)(x ? b ax + , 10其他<3 ) ， 则 a = , b = 13 1 3101 1133 x dx P X P X ax b dx ax b dx ?+∞ -∞ ==?+=+? ??（）（<）（>）（）（） 联立解得： 4 723=- =b a ， ax+b 0

6．若f(x)为连续型随机变量X 的分布密度，则 ? +∞ ∞ -=dx x f )(＿＿1＿＿＿＿。 7. 设连续型随机变量ξ的分布函数 ?? ???≥<≤<=2 ,110,4/0,0)(2 x x x x x F ，则 P （ξ=0.8）= 0 ； )62.0(<<ξP = 0.99 。 8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度 )(x ?＝()??? ??≥) (0100100 2其他x x ，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150 小时都不需要更换的概率为＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。 ∴ ?(x)= 2 100 x x≥100 0 其它 P （ξ≥150）=1－F(150)=1－ ??=-+=+=150 10015010023 2 132********x dx x [P(ξ≥150)]3=( 3 2)3=278 9. 设随机变量X 服从B （n, p ）分布，已知EX ＝1.6，DX ＝1.28，则参数 n ＝___________，P ＝_________________。 EX = np = 1.6 DX = npq = 1.28 ，解之得：n = 8 ，p = 0.2 10. 设随机变量ξ服从参数为（2，P ）的二项分布，η服从参数为（4，P ）的二项分 布，若P （ξ≥1）9 5 ，则P （η≥1）＝＝ ＿65/81＿＿。 解： % 2.8081 65811614014==-=-=q p C o ) (1)1(o p p =-=≤ηη3 1,3294) 0(94 )1(95)1(2 = =?=∴===??=≥p q q p p p ξξξ

《概率论与数理统计》第三版--课后习题标准答案

习题一： 1.1 写出下列随机实验的样本空间： (1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数。 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和。 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数。 解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品。 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{ ;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格。 解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω； (6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2)。 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温。考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{ 216,T y x T y x ≤≤=Ω ； (7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离。 解：}{ 207 x x =Ω； (8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{ l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2 (1) A 与B 都发生, 但C 不发生。 C AB ； (2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生。)(C B A ?； (3) A,B,C 中至少有一个发生。 C B A ??；

概率论答案(李贤平)

第一章 事件与概率 1、解： (1) P ｛只订购A 的｝=P{A(B ∪C)}＝P(A)-{P(AB)+P(AC)-P(ABC)}=0.45-0.1.-0.08+0.03=0.30. (2) P ｛只订购A 及B 的｝=P{AB}-C ｝=P(AB)-P(ABC)=0.10-0.03=0.07 (3) P ｛只订购A 的｝=0.30, P ｛只订购B 的｝=P{B-(A ∪C)}=0.35-(0.10+0.05-0.03)=0.23. P ｛只订购C 的｝=P{C-(A ∪B )}=0.30-(0.05+0.08-0.03)=0.20. ∴P ｛只订购一种报纸的｝=P{只订购A}＋P{只订购B}＋P{只订购C}=0.30+0.23+0.20=0.73. (4) P{正好订购两种报纸的} ＝P{(AB-C) ∪(AC-B) ∪(BC-A)}=P(AB-ABC)+P(AC-ABC)+P(BC-ABC) =(0.1-0.03)+(0.08-0.03)+.(0.05-0.03)=0.07+0.05+0.02=0.14. (5) P ｛至少订购一种报纸的｝= P ｛只订一种的｝+ P ｛恰订两种的｝+ P ｛恰订三种的｝ =0.73+0.14+0.03=0.90. (6) P ｛不订任何报纸的｝=1-0.90=0.10. 2、解：（1）ABC A C A B A ABC A BC A ??????=且显然)(，若A 发生，则B 与C 必同时发生。 （2）A C ?????=且A B A C B A C B A ，B 发生或C 发生，均导致A 发生。 （3）A C AB ??与B 同时发生必导致C 发生。 （4）C B A BC A ???，A 发生，则B 与C 至少有一不发生。 3、解：n A A A 21)()(11121----++-+=n n A A A A A A (或)＝121121-+++n n A A A A A A A ． 4、解：（1）C AB ={抽到的是男同学，又不爱唱歌，又不是运动员}； C B A ={抽到的是男同学，又爱唱歌，又是运动员}。 （2）A BC A ABC ??=，当男同学都不爱唱歌且是运动员时成立。 （3）当不是运动员的学生必是不爱唱歌的时，B C ?成立。 （4）A=B 及C B A C A ==?=，当男学生的全体也就是不爱唱歌的学生全体，也就不是运动员的学生全体 时成立。也可表述为：当男学生不爱唱歌且不爱唱歌的一定是男学生，并且男学生不是运动员且不是运动员的是男学生时成立。 5、解：设袋中有三个球，编号为1，2，3，每次摸一个球。样本空间共有3个样本点（1），（2），（3）。设{}{}{}3,3,1,2,1===C B A ， 则{}{}},2{,1,3,2,1},3{=-===B A B A B A A {}3,2,1=+C A 。 6、解：（1）{至少发生一个}=D C B A . （2）{恰发生两个}=C A BD B A CD D A BC C B AD D B AC D C AB +++++.

概率论第三版第2章答案详解

第二章 作业题解: 2.1 掷一颗匀称的骰子两次, 以X 表示前后两次出现的点数之和, 求X 的概率分布, 并验证其满足(2.2.2) 式. 解： 由表格知X 的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。 并且，361)12()2(= ===X P X P ；362)11()3(====X P X P ； 363)10()4(====X P X P ；364)9()5(====X P X P ； 36 5)8()6(= ===X P X P ；366)7(==X P 。 即 36 | 7|6)(k k X P --== (k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) 2.2 设离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{ ===-k ae k X P k 试确定常数a . 解：根据 1)(0 ==∑∞=k k X P ，得10 =∑∞ =-k k ae ，即111 1 =---e ae 。 故 1-=e a 2.3 甲、乙两人投篮时, 命中率分别为0.7 和0.4 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率： (1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多. 解：分别用)2,1(,=i B A i i 表示甲乙第一、二次投中，则 12121212()()0.7,()()0.3,()()0.4,()()0.6,P A P A P A P A P B P B P B P B ======== 两人两次都未投中的概率为：0324.06.06.03.03.0)(2121=???=B B A A P ， 两人各投中一次的概率为： 2016 .06.04.03.07.04)()()()(1221211212212121=????=+++B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P 两人各投中两次的概率为：0784.0)(2121=B B A A P 。所以： （1）两人投中次数相同的概率为3124 .00784.02016.00324.0=++