因式分解(一)
第一讲因式分解(一)
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．
1．运用公式法
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；
(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；
(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．
下面再补充几个常用的公式：
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；
(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；
(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．
运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．
例1 分解因式：
(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；
(2)x3-8y3-z3-6xyz；
(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；
(4)a7-a5b2+a2b5-b7．
解(1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)
=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2n y2+(y2)2]
=-2x n-1y n(x2n-y2)2
=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．
(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)
=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．
(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2
＝(a-b)2+2c(a-b)+c2
=(a-b+c)2．
本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：
原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)
=(a-b+c)2
(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)
=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)
=(a2-b2)(a5+b5)
=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)
=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)
例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．
本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
的正确性，现将此公式变形为
a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．
这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc
=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．
说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为
a3+b3+c3-3abc
显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则
a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．
如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有
等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．
例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．
分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．
解因为
x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，
所以
说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．
2．拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．
例4 分解因式：x3-9x+8．
分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．
解法1 将常数项8拆成-1+9．
原式=x3-9x-1+9
=(x3-1)-9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8
=(x3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8
=(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法4 添加两项-x2+x2．
原式=x3-9x+8
=x3-x2+x2-9x+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：
(1)x9+x6+x3-3；
(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；
(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；
(4)a3b-ab3+a2+b2+1．
解(1)将-3拆成-1-1-1．
原式=x9+x6+x3-1-1-1
=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+2x3+3)
=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．
(2)将4mn拆成2mn+2mn．
原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn
恒等证明-第一讲因式分解与分式综合复习学生版
第一讲 因式分解与分式综合复习 一、基础知识 因式分解和分式均是大家比较熟悉的内容，本次复习以综合提高为主. （一）因式分解综合复习 1．因式分解的基本方法： （1）提取公因式； （2）运用公式法； （3）分组分解法； （4）十字相乘法. 2．因式分解的其它常用方法： （5）拆项、添项； （6）换元法； （7）双十字相乘法； （8）待定系数法； （9）利用因式定理分解. 3．对称式、交代式和轮换式 （1）对称式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，式子不变，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的对称式. 如a b +，22a ab b -+都是关于这两个字母b a ,的对称式. （2）交代式：一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，得到的式子和原来的代数式只差一个负号，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的交代式. 例如a b -，22a b -. （3）轮换式：一个代数式中，如果把所有字母依次替换（即第一个字母换成第二个字母，第二个字母换成第三个字母，类推下去，最后一个字母换成第一个字母），式子不变，那么这个代数式叫做关于这些字母的轮换对称式，简称轮换式. 如a b c ++，ab bc ca ++，3333a b c abc ++-等. 显然，对称式都是轮换对称式，但反之不成立. 4．对称式、交代式和轮换式的因式分解 由于对称多项式和轮换对称多项式的特殊性，它们的因式分解也有其特殊方法.因为如果一个对称（或者轮换对称）多项式有一个次数较低的因式，那么与这个因式同类型的式子也是原多项式的因式，这样就可以借助因式定理和待定系数法进行因式分解. （二）分式综合复习 1．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.这一性质是确定分式的符号以及进行通分和约分的基础. 2．比例的重要性质 若 a c b d = ，则ad bc = 若a c b d =，则 a b c d b d ++= （合比性质） 若a c b d =，则a b c d b d --= （分比性质） 若a c =，则a b c d ++= （合分比性质）
人教版初中数学因式分解易错题汇编及答案
人教版初中数学因式分解易错题汇编及答案 一、选择题 1．若a b +=1ab =，则33a b ab -的值为（ ） A ．± B ． C ．± D ．【答案】C 【解析】 【分析】 将原式进行变形，3322 ()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-，然后利用完全平方公式的 变形22()()4a b a b ab -=+-求得a-b 的值，从而求解． 【详解】 解：∵3322 ()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+- ∴33)a b b ab a =-- 又∵22()()4a b a b ab -=+- ∴22()414a b -=-?= ∴2a b -=± ∴33(2)a b ab =±=±- 故选：C ． 【点睛】 本题考查因式分解及完全平方公式的灵活应用，掌握公式结构灵活变形是解题关键． 2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）． A ．()x a b ax bx -=- B ．()()222111x y x x y -+=-++ C ．()()2111x x x -=+- D ．()ax bx c x a b c ++=+ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义作答．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 【详解】 解：A 、是整式的乘法运算，故选项错误； B 、右边不是积的形式，故选项错误； C 、x 2-1=（x+1）（x-1），正确； D 、等式不成立，故选项错误． 故选：C ． 【点睛】 熟练地掌握因式分解的定义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式．
因式分解技巧(单墫著)1
目录 0 什么是因式分解001 1 提公因式00 2 1．1 一次提净002 1．2 视“多”为一00 3 1．3 切勿漏1 003 1． 4 注意符号004 1．5仔细观察004 1．6化“分”为整00 5 习题100 6 2应用公式00 7 2．1平方差007 2．2立方和与立方差00 8 2．3完全平方008 2．4完全立方00 9 2．5问一知三010 2．61 21984 不是质数011 习题 2 012 3分组分解013 3．1三步曲013 3．2殊途同归013 3．3平均分配014 3．4瞄准公式015 3．5从零开始015 习题3017 4拆项与添项018 4．1拆开中项018 4．2皆大欢喜018 4．3旧事重提019 4．4无中生有019 4．5配成平方020 习题 4 021 5十字相乘022 5．1知己知彼022 5．2孰能生巧024 5．3再进一步025 5．4二次齐次式026 5．5系数和为零027 第1页共87 页
第 2 页 共 87 页 习题 5 028 6 二次二次式的分解 029 6．1 欲擒故纵 029 6．2 三元齐次 031 6．3 项数不全 032 6．4 能否分解 032 习题 6 034 7 综合运用 035 7．1 善于换元 035 7．2 主次分清 037 7．3 一题两解 038 7．4 展开处理 039 7．5 巧运匠心 040 习题7 042 8 多项式的一次因式 044 8．1 余数定理 044 8．2 有理根的求法 045 8．3 首1多项式 047 8．4 字母系数 049 习题8 050 9 待定系数法 051 9．1 二次因式 051 9．2 既约的情况 054 习题9 055 10 轮换式与对称式 056 10．1 典型方法 056 10．2 齐次与非齐次 059 10．3 ab c b a 3322-++ 061 10．4 焉用牛刀 062 10．5 整除问题 063 10．6 原来是零 065 10．7 四元多项式 067 习题10 068 11 实数集与复数集内的分解 071 11．1 求根公式 071 11．2 代数基本定理 073 11．3 单位根 074 11．4 攻玉之石 076 习题11 079 12 既约多项式 080 12．1 艾氏判别法 080
上门家教老师一对一辅导需要多少钱
上门家教老师一对一辅导需要多少钱 随着时代的发展，不少家长会选择为孩子请家教，那么请一个家教需要花多少钱呢？ 一对一上门家教老师多少钱一堂课都在100元以上。 课后辅导分布大小城市，在一线城市中，1对1补习的价钱不会低于300元每钟头，广泛高过500元每钟头，在三线城市至少也在100元左右每钟头，基本上都会在100至200之内。 教师本身是有级别差异的，重点学校与普通学校的教师，价格自然不同，依据教师的级別不一样，培训学校多数会在价格上区分四个层次。 （1）普通教师：100-150元/钟头； （2）中级教师：150-200元/钟头； （3）高級教师：200-250元/钟头； （4）知名教师：250-400元/钟头。 如何选择家教1、普通话要标准 普通话应该是第一标准，也是入选的首要标准。如果连普通话都说不好，就算肚子里再有货，也不行啊，别把孩子的普通话也带歪了。 2、听过试讲后再决定 父母不要要一看到家教拿出的某某毕业证，就认为他是个优秀的家教。在选择之前，一定要先听过家教的老师的试讲，听听老师水平怎
么样，再决定。 3、征得孩子的同意 现在的孩子都是很有主见的，给孩子挑选的家教，也一定要经过孩子的同意才行。让孩子和家教相处一下，看是否和的来，性格要是相投是最好的。 4、要看家教的资质 家教是专业水平可以是说最重之重了，直接影响着孩子学习成绩。父母一定把关好，家教必须有要专业的资质，比如各种证书之类的。 5、家教收费合理 家教的收费也是父母需要考虑的地方，如果家教的费用要的特别高，那么家教就必须保证孩子在什么时间内，能达到什么样的一个成绩。不然高价请回来是干呢，总之收费一定要合理。
初中数学竞赛专题辅导因式分解(一)
初中数学竞赛专题辅导因式分解(一) 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．
人教版初中数学因式分解知识点训练及答案
人教版初中数学因式分解知识点训练及答案 一、选择题 1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A ．m （a +b ）＝ma +mb B ．a 2+4a ﹣21＝a （a +4）﹣21 C ．x 2﹣1＝（x +1）（x ﹣1） D ．x 2+16﹣y 2＝（x +y ）（x ﹣y ）+16 【答案】C 【解析】 【分析】 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】 A 、是整式的乘法，故A 不符合题意； B 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 不符合题意； C 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C 符合题意； D 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 不符合题意； 故选C ． 【点睛】 本题考查了因式分解的意义，判断因式分解的标准是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 2．已知实数a 、b 满足等式x=a 2+b 2+20，y =a(2b －a )，则x 、y 的大小关系是（ ）． A ．x ≤ y B ．x ≥ y C ．x < y D ．x > y 【答案】D 【解析】 【分析】 判断x 、y 的大小关系，把x y -进行整理，判断结果的符号可得x 、y 的大小关系． 【详解】 解：22222202()x y a b ab a a b a -=++-+=-++20， 2()0a b -≥Q ，20a ≥，200>, 0x y ∴->， x y ∴>， 故选:D ． 【点睛】 本题考查了作差法比较大小、配方法的应用；进行计算比较式子的大小；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大. 3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）． A ．()x a b ax bx -=- B ．()()222 111x y x x y -+=-++
一对一辅导简介
一对一辅导详解 一对一辅导从字面上解释是指一位教师对一位学生进行的授课辅导，从这个角度看一对一辅导与中国传统的家教是一个范畴。而当传统家教融合个性化教育理念并由公司运作产业化之后，形成的一对一辅导模式便与传统家教及补习班产生了巨大差别。 一对一辅导的概念 如今，人们常说的一对一辅导全称一对一个性化辅导，是由专门的个性化教育辅导机构针对每个孩子不同的学习情况和心理情况，有针对性地制定出一套独特的、行之有效的教学辅导方案和心理辅导策略，并由每个学生所配备的教学团队加以实施执行（包括一位专业教师+专业的心理咨询师+潜能开发专家+励志拓展专家+专职班主任），通过全方位、策略性地辅导，不仅使学生掌握一种切合自身的学习方法，改善不良学习习惯，稳固提升学科知识，而且在树立自信，完善人格、为人处事等方面均得以提升。这也是天材教育一直所推崇的“一对一辅导，N对一服务”理念的核心价值，同时也是雅思博教育所倡导的“六位一体”的理念。 一对一辅导的实质 一对一辅导本质是个性化，个性化[1]就是指通过对被教育对象进行综合测试、分析、研究和诊断，根据社会或未来发展趋势、被教育对象的潜质特征和自我价值倾向以及被教育对象的利益人的目标与要求，量身定制教育目标、教育计划、辅导方案和执行管理系统，并组织相关专业人员通过量身定制的教育培训方法、学习管理和知识管理技术以及整合有效的教育资源，从潜能开发、素养教育、学历教育、阅历教育多个方面，对被教育对象的心态、观念、信念、思维力、学习力、创新力、知识、经验等展开教育和培训，从而帮助被教育对象释放生命潜能，突破限制，实现量身定制的自我成长、自我实现和自我超越。 一对一辅导的由来 一对一辅导在国内兴起于上世纪末至本世纪初期，诞生伊始便在当时由“中介式一对一辅导机构”统领整个家教行业的僵滞局面中破土而出并一枝独秀，因其充分针对学生个性需求、着力于解决学生具体化问题而吸引了公众的注意并广受赞誉。当时国内起步较早的几家“一对一辅导机构”经过多年的竞争淘汰，仅有规模庞大、实力雄厚的几家幸存。北京学
初高中数学衔接：第一讲 十字相乘法进行因式分解
第一讲 十字相乘法进行因式分解 【基础知识精讲】 （1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式； （4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法． 【重点难点解析】 1．二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因
式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =?21，c c c =?21，且b c a c a =+1221， 那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如： )45)(2(86522-+=-+x x y xy x 3．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”． 【典型热点考题】 例1 把下列各式分解因式： （1）1522--x x ；（2）2265y xy x +-． 点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数； （2）将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项26y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数．
人教版初中数学因式分解专项训练及答案
人教版初中数学因式分解专项训练及答案 一、选择题 1．若实数a 、b 满足a+b=5，a 2b+ab 2=-10，则ab 的值是（ ） A ．-2 B ．2 C ．-50 D ．50 【答案】A 【解析】 试题分析：先提取公因式ab ，整理后再把a+b 的值代入计算即可． 当a+b=5时，a 2b+ab 2=ab （a+b ）=5ab=-10，解得：ab=-2． 考点：因式分解的应用． 2．若()()21553x kx x x --=-+，则k 的值为（ ） A ．-2 B ．2 C ．8 D ．-8 【答案】B 【解析】 【分析】 利用十字相乘法化简()()253215x x x x -+=--，即可求出k 的值． 【详解】 ∵()()253215x x x x -+=-- ∴2k -=- 解得2k = 故答案为：B ． 【点睛】 本题考查了因式分解的问题，掌握十字相乘法是解题的关键． 3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）． A ．()x a b ax bx -=- B ．()()222111x y x x y -+=-++ C ．()()2111x x x -=+- D ．()ax bx c x a b c ++=+ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义作答．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 【详解】 解：A 、是整式的乘法运算，故选项错误； B 、右边不是积的形式，故选项错误； C 、x 2-1=（x+1）（x-1），正确； D 、等式不成立，故选项错误．
故选：C． 【点睛】 熟练地掌握因式分解的定义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式． 4．如图，矩形的长、宽分别为a、b，周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为() A．60 B．30 C．15 D．16 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用矩形周长和面积公式得出a+b，ab，进而利用提取公因式法分解因式得出答案．【详解】 ∵边长分别为a、b的长方形的周长为10，面积6， ∴2（a+b）=10，ab=6， 则a+b=5， 故ab2+a2b=ab（b+a） =6×5 =30． 故选：B． 【点睛】 此题主要考查了提取公因式法以及矩形的性质应用，正确分解因式是解题关键． 5．把多项式分解因式，正确的结果是（） A．4a2+4a+1=（2a+1）2B．a2﹣4b2=（a﹣4b）（a+b） C．a2﹣2a﹣1=（a﹣1）2D．（a﹣b）（a+b）=a2+b2 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查的是因式分解中的平方差公式和完全平方公式 【详解】 解：A. 4a2+4a+1=（2a+1）2，正确； B. a2﹣4b2=（a﹣2b）（a+2b），故此选项错误； C. a2﹣2a+1=（a﹣1）2，故此选项错误； D. （a﹣b）（a+b）=a2﹣b2，故此选项错误； 故选A 6．下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是( )
因式分解一
因式分解(一) 模块一 因式分解的概念 知识导航 一、定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，又叫做把这个多项式分解因式． 二、实质 因式分解是一种恒等变形，是一种化和为积的变形，因式分解与整式乘法是相反方向的变形 三、结果形式 ①每个因式都必须是整式； ②分解到不能再分为止； ③单项式要写在多项式的前面； ④相同因式要写成幂的形式； ⑤没有大括号和中括号； ⑥每个因式第一项系数一般不为负数． 四、因式分解的常用方法 提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法 五、因式分解的一般步骤 如果多项式的各项式有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再考虑能否应用公式法，十字相乘法；如还不能则考虑分组分解法或其他方法． 例1 (1)下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是( ) A ．3ab (a ＋b )＝3a 2b ＋3ab 2 B ．2x 2＋4x ＝222(1)x x + C ．a 2－4b 2＝(a ＋2b )(a －2b ) D ．3x 2－6xy ＋3x ＝3x (x －2y ) (2)一个多项式分解因式的结果是(b 3＋2)(2－b 3)，那么这个多项式是( ) A ．b 4－4 B ．4－b 4 C ．b 6＋4 D ．－b 6－4 练习 (1)下列从左到右的变形，属因式分解的是( ) A ．(x ＋a )(x －a )＝x 2－a 2 B ．x 2－4x ＋3＝x (x －4)＋3 C ．x 3－8x 2＝x 2(x －8) D ．x ＋y ＝x (1y x +) (2)下列分解因式错误的是( ) 整式乘积 多项式
八年级数学竞赛讲座：第一讲 因式分解(一)
第一讲因式分解(一) 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2－b2=(a+b)(a－b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)； (4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)； (7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…+ab n－2+b n－1)其中n为正整数； (8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式： (1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4； (2)x3－8y3－z3－6xyz； (3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab； (4)a7－a5b2+a2b5－b7． 解 (1)原式=－2x n－1y n(x4n－2x2ny2+y4) =－2x n－1y n[(x2n)2－2x2ny2+(y2)2]
数学人教版九年级上册因式分解
因式分解复习课教案 山头店镇初级中学范专专 教学目标: 1.知识与技能:掌握运用提公因式法、公式法分解因式,培养学生应用因式分解解决问题的能力. 2.过程与方法:经历探索因式分解方法的过程,培养学生研讨问题的方法,通过猜测、推理、验证、归纳等步骤,得出因式分解的方法. 3.情感态度与价值观:通过因式分解的学习,使学生体会数学美,体会成功的自信和团结合作精神,并体会整体数学思想和转化的数学思想. 教学重、难点:用提公因式法和公式法分解因式. 教具准备:多媒体课件 教学方法:活动探究法 教学过程: 知识详解 知识点1 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式. 【说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形. 例如: (2)因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验. 怎样把一个多项式分解因式? 一般方法有两个：
知识点2 提公因式法 多项式ma+mb+mc 中的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m 叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc 分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc 除以m 所得的商,像这种分解因式的方法叫做提 公因式法.例如:)1(2-=-x x x x . 探究交流 例1：判断下列各式从左到右哪些是因式分解? 为什么？ (1) )2)(2(422y x y x y x -+=- (2) xy x y x x 62)3(22 -=+ (3) 22)2(44+=++x x x (4) 9)3)(3(2-=+-a a a 典例剖析 师生互动 例1 用提公因式法将下列各式因式分解. （1） y x y x 231824-； （2）2147ma ma +； 分析:(1)题直接提取公因式分解即可,(2)题首先要适当的变形, 再把b-a 化成-(a-b),然后再提取公因式. 小结 运用提公因式法分解因式时,要注意下列问题: (1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并,而且每个括号内不能再分解.
初一数学下册因式分解
因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多 数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍： 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法： 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）平方差公式：))((2 2 b a b a b a -+=- （2）完全平方公式：2 2 2 2 2 2 )(2,)(2b a b ab a b a b ab a -=+-+=++ （3）立方和公式： （4）立方差公式： 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且2 2 2 a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法： （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式=)()(bn bm an am +++ =)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a -- 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy
私人家教一对一辅导协议书 私人家教一对一辅导协议书
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甲方（教育方）： 甲方地址： 乙方（受教育方）：学生姓名___ _______ 性别__ _ 学校__ _____________ 现新年级___ __ 乙方监护人：姓名身份证号 乙方家庭地址： 乙方联系方式：(宅电)_____ ____________ (手机) 常弘教育本着“一切为了学生，为了一切学生，为了学生一切”为原则，打造以教育服务为 宗旨的培训行业，真诚为您和您的孩子奉献我们的爱心、责任心和耐心。乙方为提高学习成绩， 掌握更好的学习方法，经咨询了解甲方所有情况后，决定参加甲方提供的晚托辅导方案，为保证 辅导效果，约束双方行为，甲乙双方达成如下协议： 一、辅导及缴费规定 甲方为乙方提供▁▁▁▁小时的晚托和作业辅导。平时▁▁▁▁▁小时/周，假期▁▁▁▁ 小时/周。 1. 乙方交纳的费用包括： A. 综合付费￥▁▁▁▁元，包括报名晚托管理费、作业辅导费费、咨询费、网络服务费。一次性 缴纳可立刻实行。 2. 相关内容 A. 甲方对乙方的辅导日期：自▁▁▁▁▁年▁▁▁月▁▁▁日至▁▁▁▁年▁▁▁月▁▁▁日， B. 交费方式：乙方在签订本协议时已交￥▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁元（大写：▁▁▁▁▁▁▁▁▁ 圆整），于▁▁▁▁▁▁年▁▁▁月▁▁▁日前全部付清。 二、甲方义务： 1. 甲方应为乙方提供安静，整洁的学习环境和专业化的晚托作业学习辅导，帮助及时改正作业问 题，促成良好的学习习惯。 3. 保证乙方在校期间有专职的教师进行学习咨询和班主任管理，建立档案等。 4. 如果乙方监护人对所选教师不满意，可向甲方提出调换老师。甲方排专员受理投诉、监管课堂 纪律，接到投诉甲方应及时妥善处理。 5. 甲方有责任监督老师细致耐心的辅导乙方作业，如有特殊情况，需前通知家长。 6. 甲方有责任督促老师检查学员的学习情况。 7. 甲方有义务监督老师为学员做合理的学习情况报告，做学习卡。 8. 晚托期间甲方免费为其提供专业陪读、心理咨询及家庭教育等服务。 9、乙方在校期间，如遇突发疾病、或受到意外伤害，甲方一经发现，应根据实际情况及时采取必 要措施并把信息及时告知其监护人。 10、对乙方擅自离校等与学生安全直接相关的信息，甲方发现或者知道，应及时告知学生的监护
(完整)初二数学人教版因式分解-讲义
八年级数学因式分解辅导学案 因式分解的常用方法 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数 学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习 这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能， 发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因 式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上， 对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式， 例如： (1 ) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)； (2 ) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 选C 练习 (1))(3)(2x y b y x a --- (2)1222-+-b ab a (3)（x －1）（x ＋4）－36 (4)（m 2＋n 2）2－4m 2n 2 (5)－2a 3＋12a 2－18a ； (6)9a 2(x －y )＋4b 2(y －x )； (7) (x ＋y )2＋2(x ＋y )＋1.
关于一对一的辅导建议
关于蒋婧月的辅导建议 第一阶段：接触、交流、沟通 蒋婧月是一位6岁的小朋友，有着作为小孩子的一切特征，喜欢玩闹，喜欢新奇，但同样是一位非常出色的小朋友，记忆力非常好，只要认准了，基本上不会忘记或是厌烦。好孩子是夸出来的，作为一个6岁的小朋友，正是建立善恶美丑的年龄，正是希望获得父母长辈甚至是外界的夸奖赞美的年龄，并为之努力。在这种喜欢愿意的心态支撑下，月月小朋友可以取得长足的进步。以后在心态的方向要以赞美为主，切记有任何打击孩子的言语。另外提高孩子的思维能力，父母和老师要相互配合。 1、培养孩子独立思考的习惯。 年龄小的孩子遇到疑难问题，总希望家长给他答案。有些家长就真的把答案告诉孩子，当时解决了问题，但从长远来说，对发展孩子智力没有好处。因为家长经常这样做，孩子必然依赖家长的答案，而不会自己去寻找答案，不可能养成独立思考的习惯。 高明的家长，面对孩子的问题，告诉孩子寻找答案的方法。也就是启发孩子，一个问题应该怎样去想、去分析，怎样运用自己学过的知识和经验，怎样看书，怎样查参考资料等。当孩子自己得出答案时，他会充满成就感，思维能力提高而且产生新的动力。 2、让孩子经常处在问题情景之中。 问题是思维的引子，经常面对问题，大脑就活动积极。当孩子爱提各种各样问题的时候，家长要跟孩子一起讨论、解释这些问题，家长的积极主动对孩子影响很大。特别是家长也弄不懂的问题，通过请教他人、查阅资料、反复思考获得圆满答案，这个过程最能提高孩子的思维能力。孩子大了以后，有的不爱向家长提问题了，家长应该主动提出一些问题进行讨论，包括家庭遇到的一些疑难问题。有时，家长应放下架子，向孩子请教一些自己不懂的问题，这些做法，对发展孩子思维有好处。 第二阶段：持之以恒、以学习为快乐之本 1、跟孩子一起收集动脑筋的故事和资料。
因式分解知识点总结复习过程
因式分解知识点总结
第一讲因式分解 一，知识梳理 1. 因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解 即：多项式几个整式的积 1 1 例：- ax bx 3 3 因式分解, 应注意以下几点。 1. 因式分解的对象是多项式; 2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式; 3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止; 4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式; 5. 结果如有相同因式，应写成幕的形式； 6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解; 因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程 2. 因式分解的方法： （1）提公因式法： ①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。 公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式 系数一一取各项系数的最大公约数
字母一一取各项都含有的字母 指数---- 取相同字母的最低次幕 例：12a3b3c 8a3b2c3 6a4b2c2的公因式是________________________ . 解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6,它们的最大公约数为2;字母部分a'b3c,a3b2c3, af2都含有因式a3b2c，故多项式的公因 式是2a3b2c. ②提公因式的步骤 第一步：找出公因式； 第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因 式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。 注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多 项式中第一项有负号的，要先提取符号。 例1：把12a2b 18ab2 24a3b3分解因式. 解析：本题的各项系数的最大公约数是6,相同字母的最低次幕是ab，故公因式为 6ab。 解：12a2b 18ab224a'b3 2 2 6ab(2a 3b 4a b ) 例2:把多项式3(x 4) x(4 x)分解因式 解析：由于4 x (x 4)，多项式3(x 4) x(4 x)可以变形为 3(x 4) x(x 4),我们可以发现多项式各项都含有公因式(x 4 ),所以我们可以提取公因式(x 4 )后,再将多项式写成积的形式. 解：3(x 4) x(4 x)
南阳一对一辅导机构哪家好
南阳一对一辅导机构哪家好 现在社会竞争压力大，孩子的学习成绩关系到孩子未来的受教育程度，对于很多家长来说，选择家教辅导更是帮助孩子提升成绩的有效手段，选择家教不难，但是，选择好的家教就不是这么简单了，那么，南阳一对一辅导机构哪家好？ 100教育是一家专注于初高中一对一辅导的互联网教育机构，是美国纳斯达克上市公司欢聚时代旗下教育品牌，董事长是小米公司的雷军，欢聚时代副总裁刘豫军任负责人。100教育独有的交互式教学，实现师生每分钟都有互动，孩子不走神；在线教育给孩子提供了全新的展现自我的机会，孩子敢开口，更自信，学习兴趣更浓。 100教育的老师都是从重点中学及国内知名教育辅导机构中挑选老师；我们付给老师的薪水是线下机构的3倍；我们筛选老师的严格程度是线下机构的5倍。100教育的运营思路是，通过请最好的老师，结合传统教育的成果，将技术、师资、教研力量协调整合，打造一个高效的教学服务体系，来服务学生、家长和老师三方。 除了一般教育机构都会做的常规调查、常规评测之外，100教育还借助人工智能和大数据技术将教研做到了更加个性化，教研团队会根据学生的过往作业、过往试题、学习习惯等等数据进行全面的分析，针对学生的个性特点、学习薄弱点制定最适合的个性化学习方案，还会通过分析课程录像，并结合授课老师的反
馈，准确发现学生学习薄弱点，掌握学生学习进展，“教、学、练、测”的教学链环保证了学生的学习效率和提分效果。 作为提供在线教育服务的教育机构，100教育刘豫军在公司内部提倡一句话，叫做“用心做教育”，他经常说如果我们自己都觉得产品不好，那怎么去服务用户。 显而易见，100教育抓住了初高中在线教育的关键所在，无论是技术、师资还是教研，最终都是为学习效果服务的。 K12教育，特别是针对初高中的应试教育，被认为是在线教育市场的刚性需求，也是行业竞争最为激烈的一个领域。当然，要想在这一领域立足并且占有一席之地，需要有异于其他同类竞争者的产品和打法。 在初高中在线教育市场大战中，100教育重资投入，用了2年多时间开发出一套全新的在线一对一教学软件，借助互联网的力量，并继承传统教育成果，在提升学生注意力，培养学生学习趣方面取得突破性进展。 除此之外，100教育力求将提升效果和个性化实践运用到了教学体系的每个环节当中。如通过云存储，全面记录学生学习情况，利用云计算、大数据搜集整理学生学习的行为和结果数据，形成学生个人的学习轨迹数据，并借助智能诊断系统，帮助学生精确定位学习问题所在，从而进行有针对性的辅导教学。学生可以通过了解全程的学习轨迹随时调整学习计划和习惯，家长可以随时掌握学生的学习完成情况。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第一讲因式分解的常用方法和技巧(含答案)
第一讲因式分解的常用方法和技巧 趣题引路】 你知道如何分解因式^-+X9+/+/+1吗？试作一代换：若令疋= )，,贝IJ原式=h + )，3+y2 + y+l, 指数为连续整数,可考虑用公式/-l = (^-l)(/ + / + / + y+l),则原式 =V4 + V3 + V2 + V + 1 = —(y5 -1) )‘一1 x-l x2 + X + 1 = (x4 + x3 +x2 +x+ l)(x8 -x7 +x5 +x3 -x + 1) 一个代换，把一个复杂的问题转化为一个较简单的问题，这是数学方法之美.多项式的因式分解是数学中恒等变形的一种重要方法，它在初等数学乃至高等数学中都有广泛的应用，因式分解的方法很多，技巧性强，认真学好因式分解，不仅为以后学习分式的运算及化简、解方程和解不等式等奠定良好的基础，而且有利于思维能力的发展. 知识拓展】 因式分解与整式乘法的区别是：前者是把一个多项式变成几个整式的积，后者是把几个整式的积变成一个多项式，因式分解初中可在有理数域或实数域中进行，高中还可在复数域中进行.因式分解后每个因式应在指定数域中不能再分. “例如X4-A在有理数域内可分解为(X+2)(/-2),其中每个因式就不能再分，不然分解式的系数会超过有理数的范围；在实数域中，它的分解式是(X2+2)(X+>/2)(X->/2):在复数域中，它的分解式是 因式分解的方法很多，除了数学教材中的提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法以外, 还有换元法、待定系数法、拆项添项法和因数定理法等. 本讲在中学数学教材的基础上，对因式分解的方法、技巧作进一步的介绍.
最新人教版因式分解教案
案例研习：因式分解 一、案例背景 设计者：尹振强，衢州学院教师教育学院数学与应用数学 学生：衢州市新星初中八年级一班 45人 教材：人教版八年级上册因式分解 二、学情分析 教学对象是八年级学生，在学习本节前，学生已经掌握了整式乘法运算，对乘法分配律有了一定的认识；虽然对整式的运算比较熟悉，对互逆过程也有一定的感知,但因式分解一直是初中数学教学的一个难点，原因在于分解因式的方法很多，变化技巧较高，且没有一种一般有效的方法。教学中要注意把握教学要求，防止随意拓宽内容和加深题目的难度。教科书对于因式分解这部分内容要求仅限于因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法，教学中则应让学生牢固地掌握。 三、知识分析 。提公因式法因式分解是义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》八年级上册第十五章第四单元第一节内容，是在学生已经学习了整式乘法运算的基础上引入的，本教科书安排了多项式因式分解比较基本的知识和方法，它包括因式分解的有关概念，整式乘法与因式分解的区别与联系，因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法，共3课时，其中提公因式法1课时，公式法2课时。因式分解是解析式的一种恒等变形，学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的作用。它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。本教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了有效的途径．分解因式在整个教材中起到了承上启下的作用综上所述，本节课无论是在知识传承，还是在对学生数学思维训练、能力培养上都有举足轻重的作用。 四、学习目标 知识与技能：理解因式分解与整式乘法的区别；懂得寻找公因式，正确运用提公因式法因式分解 过程与方法：（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、对比等手段，发现因式分解与整式乘法的区别，确定多项式各项的公因式的方法，加强学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力； （ 2）由乘法分配律的逆运算过渡到因数分解，再由单项式与多项式的乘法运算过渡到因式分解，进一步发展学生的类比思想； （3）寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法，培养学生的初步归纳能力。 情感态度与价值观：通过引例问题情境的创设，诱发学生的求知欲，进一步认识数学与生活的密切联系；通过观察、对比等手段，培养学生善于类比归纳，发展学生的数学探究能力，通过有一定梯次的变式训练，锻炼其克服困难的意志，发展学生合作交流的良好品质。 教学重点：因式分解的概念及用提公因式法提公因式。