文科高考数学立体几何大题求各类体积方法资料

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B

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D

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A

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C

D

P

文科高考数学立体几何大题求各类体积方法

【三年真题重温】

1.【2011?新课标全国理，18】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，

∠DAB =60，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ． (Ⅰ) 证明：PA ⊥BD ；

(Ⅱ) 若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值．

2.【2011 新课标全国文，18】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形．60,2,DAB AB AD PD ∠==⊥底面ABCD ． (Ⅰ) 证明：PA BD ⊥；

(Ⅱ) 设1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高．

根据

DE PB PD BD ?=?，得

DE =

．即棱锥D PBC -．

3.【2010 新课标全国理，18】如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB CD,AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点. （1） 证明：PE ⊥BC

（2） 若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值 【解析】命题意图：本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角

等知识，考查空间想象能力以及利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力.

4.【

2010 新课标全国文，18】如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，AB ∥CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高。

（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥ 平面PBD ;

（Ⅱ）若AB =

,APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥P ABCD -的体积。

5.【2012 新课标全国理】（本小题满分12分） 如图，直三棱柱11

1

ABC A B C -中，

11

2

AC BC AA ==

，

D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1

（1）证明：BC DC ⊥1

（2）求二面角1

1C BD A --的大小。

6.【2012 新课标全国文】（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1

2AA 1，D 是棱AA 1

的中点

(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。

【命题意图猜想】

1.纵观2011年和2010年高考对本热点的考查，均以四棱锥为背景，并且建立空间直角坐标系较为容易，在第一问中均考查线线垂直的证明，这种位置关系的证明已经连续三年进行了考查.理科考查了线面角和二面角，这两种角的考查有隔年考查的规律.两年的文科试题考查了体积问题.在2012年以三棱柱为背景，考查垂直关系的证明和二面角的求解，文科考查了面面垂直的证明和几何体的体积求解.猜想2013年很可能以棱锥或者球相关的组合体为背景，在建坐标系上不会太直观，考查线面平行位置关系，理科第二问可能给出某个角，考查点的位置或设置一问探索性问题，而文科第二问仍以求体积或表面积为主.

2.从近几年的高考试题来看，直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的判定是高考的热点，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度为中等偏低；主要考查线面平行的判定，考查线∥线?线∥面?面∥面的转化思想，并且考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力．预测2013年仍将以线面平行的判定为主要考查点，重点考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力．

3.从近几年的高考试题来看，线面垂直的判定、面面垂直的判定与性质、线面角（理）等是高考的热点，题型既有选择题、填空题又有解答题，难度中等偏高，客观题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，考查线面角的概念及求法；而主观题不仅考查以上内容，同时还考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力．预测2013年高考仍将以线面垂直、面面垂直、线面角为主要考查点，重点考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力．

4.从近几年的理科高考试题来看，利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是高考的热点，题型主要为解答题，难度属于中等，主要考查向量的坐标运算，以及向量的平行与垂直的充要条件，如何用向量法解决空间角问题等，同时注重考查学生的空间想象能力、运算能力．预测2013年高考仍将以用向量证明平行与垂直，以及利用向量求空间角为主要考点，重点考查向量的数量积及学生的空间想象能力、运算能力等．

【最新考纲解读】

1．点、直线、平面之间的位置关系

(1)理解空间直线、平面位置关系的定义．了解可以作为推理依据的公理和定理．

(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定．

(3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．

2．空间向量及其运算（理）

(1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及

其坐标表示．

(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．

(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．

(4)理解直线的方向向量与平面的法向量定义．

(5)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．

(6)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．

(7)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用．

【回归课本整合】

1.直线与平面平行的判定和性质

（1）判定：①判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；

②面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行. （2）性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.

注意：在遇到线面平行时，常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质.

2.直线和平面垂直的判定和性质

（1）判定：①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直.②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直. （2）性质：①如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直.②如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.

3.平面与平面平行

（1）判定：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行.

注意：这里必须清晰“相交”这个条件.如果两个平面平行，那么在其中一个平面内的所有直线与另一个平面无公共点，即这些直线都平行于另一个平面.

（2）性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.

注意：这个定理给出了判断两条直线平行的方法，注意一定是第三个平面与两个平行平面相交，其交线平行.

4.两个平面垂直的判定和性质

（1）判定：①判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.

②定义法：即证两个相交平面所成的二面角为直二面角；

注意：在证明两个平面垂直时，一般先从已知有的直线中寻找平面的垂线，若不存在这样的直线，则可以通过添加辅助线解决，而作辅助线应有理论依据；如果已知面面垂直，一般先用面面垂直的性质定理，即在一个平面内作交线的垂直，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.

（2）性质：①如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.

②两个平面垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. 注意：性质定理中成立有两个条件：一是线在平面内，二是线垂直于交线，才能有线面垂直.

(3)立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即：

线∥线线∥面面∥面

判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面

←→?←→??→??←→?←→?←???←→?←→?

5.（理）直线与平面所成的角

（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。当直线和平面垂直时，就说直线和平面所称的角为直角；当直线与平面平行或在平面内时，就说直线和平面所称的角为0角. （2）范围：[0,90]；

（3）求法：作出直线在平面上的射影,关键是找到异于斜足的一点在平面内的垂足，可根据面面垂直的性质定理来确定垂线。

（4）最小角定理：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角是斜线与平面所成的角。 6.（理） 二面角

（1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.二面角的大小是通过其平面角来度量的平面角，而二面角的平面角的三要素：①顶点在棱上；②角的两边分别在两个半平面内；③角的两边与棱都垂直。

（2）作平面角的主要方法：①定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；②三垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；③垂面法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角； （3）二面角的范围：[0,]π；

7（理） 利用向量处理平行问题

（1）证明线线平行，找出两条直线的方向向量，证明方向向量共线；

（2）证明线面平行的方法：①证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线（平行）；②证明直线的方向向量与平面的两个不共线向量是共线向量，即利用共面向量定理进行证明；③证明直线的方向向量与该平面的法向量垂直.

（3）平面与平面平行的证明方法：证明两个平面的法向量平行. 8（理）利用向量处理垂直问题

（1）证明线线垂直，可证明两条线的方向向量的数量积为0；

（2）证明线面垂直方法：①根据线面垂直的判定定理利用向量证明直线与平面内的两条相交直线垂直；②转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共线.

（3）证明面面垂直的方法：①根据面面垂直的判定定理利用向量证明一个平面内的一条直线方向向量为另一个平面的法向量；②证明一个平面的法向量与另一人平面平行；③转化为证明这两个平面的法向量互相垂直. 9.（理）利用向量处理角度问题

1.求异面直线所成的角的向量法：其基本步骤是（1）在a 、b 上分别取,AB CD ；或者建立

空间直角坐标系用坐标表示

,AB CD ;(2)由公式

cos ||

||||

AB CD

AB CD θ?=?确定异面直线a 与b

所成角θ的大小。

2.求直线和平面所成的角的向量法：在斜线上取一方向向量a ，并求出平面α的一个法向量n ，若设斜线和平面所成的角为θ,由

sin cos ,||

||||

a n

a n a n θ?=<>=?.

3.求二面角的向量法：方法（1）设n ，m 分别是平面,βα的法向量，则向量n 和m 的夹角与二面角l αβ--的平面角相等或互补. 方法（2）二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面βα、内求出与l 垂直的向量21n n 、，则二面角βα--l 的大小等于向量

2

1n n 、的夹角，即

|

|||cos 21n n ?=

θ

【方法技巧提炼】

1. 线线平行与垂直的证明

证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量平行.要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件. 证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性，垂直关系的多样性. 2.线面平行与垂直的证明方法

线面平行与垂直位置关系的确定，也是高考考查的热点，在小题中考查关系的确定，在解答题考查证明细节. 线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直.

线面平行的证明思考途径：线线平行?线面平行?面面平行.

线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）向量法：证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行.

线面垂直的证明思考途径：线线垂直?线面垂直?面面垂直.

3.面面平行与垂直的证明

（1）面面平行的证明方法：①反证法:假设两个平面不平行，则它们必相交，在导出矛盾；②面面平行的判断定理；③利用性质:垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；④向量法：证明两个平面的法向量平行.

（2）面面垂直的证明方法：①定义法；②面面垂直的判断定理；③向量法：证明两个平面的法向量垂直.

解题时要由已知相性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思路，关键在于对题目中的条件的思考和分析，掌握做此类题的一般技巧和方法，以及如何巧妙进行垂

直之间的转化. 4.探索性问题

探求某些点的具体位置，使得线面满足平行或垂直关系，是一类逆向思维的题目.一般可采用两个方法：一是先假设存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算. 5. 如何求线面角

（1）利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径。 （2）利用三棱锥的等体积，省去垂足

在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键。确定垂足，是常规方法。可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法---等体积法。从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角。因为垂线段的长度实际就是点面距h ！利用三棱锥的等体积，只需求出h ，然后利用

斜线段长

h

=

θsin 进行求解。 （4）秒用公式，直接得到线面角 课本习题出现过这个公式：

2

1cos cos cos θθθ=，如图所示：

21,,θθθ=∠=∠=∠OBC ABO ABC .其中1θ为直线AB 与平面所成的线面角。这个公式在

求解一些选择填空题时，可直接应用。但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴。 （5）万能方法，空间向量求解不用找角

设AB 是平面α的斜线，BO 是平面α的垂线，AB 与平面α所成的角BAO θ∠=,向量AB 与n 的夹角ABO ψ∠=，则

sin cos AB n AB n

θψ?==

?。

6.如何求二面角

（1）直接法.直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角；②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角；③利用定义确定平面角；

（2）射影面积法.利用射影面积公式cos θ＝ S S

'；此方法常用于无棱二面角大小的计算；

对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等。

法二：设

1n ,

2

n 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内

侧，另一个指向外侧（同等异补）， 则二面角l αβ--的平面角α

12

12arccos

||||

n n n n =

7.如何建立适当的坐标系

根据几何体本身的几何性质，恰当建立空间直角坐标系最为关键，如果坐标系引入的恰当，合理，即能够容易确定点的坐标，需要总结一些建系方法.常见建系方法：

（1）借助三条两两相交且垂直的棱为坐标轴，如正方体，长方体等规则几何体，一般选择三条线为三个坐标轴，如图1、2；

（2）借助面面垂直的性质定理建系，若题目中出现侧面和底面垂线的条件，一般利用此条件添加辅助线，确定z 轴，如图3；

（3）借助棱锥的高线建系等.对于正棱锥，利用定点在底面的射影为底面的中心，可确定z 轴，然后在底面确定互相垂直的直线分别为x ，y 轴.如图4.

8.如何确定平面的法向量

（1）首先观察是否与存在于面垂直的法向量，若有可直接确定，若不存在，转化为待定系数法；

（2）待定系数法：由于法向量没有规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，于是可把法向量的某个坐标设为1，再求另两个坐标。由于平面法向量是垂直于平面的向量，所以取平面的两条相交向量，设(,,),

n x y z =由0

n a n b ??=???=??解方程组求得.

9. 向量为谋求解立体几何的探索性问题

空间向量最合适于解决立体几何中探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断，在解题过程中，往往把“是否存在”问题，转化为“点的

1n n

坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，所以使问题的解集更加简单、有效，应善于运用这一方法解题.

【考场经验分享】

1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．

2．可以考虑向量的工具性作用，能用向量解决的尽可能应用向量解决，可使问题简化． 3．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义，判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．

4．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．

5．用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证直线a ∥b ，只需证明它们的方向向量满足a ＝λb (λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．

6．利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同．

【新题预测演练】 第一部分 理科

1.（广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一））如图4，在三棱柱111ABC A B C

-中，△ABC 是边长为2的等边三角形，

1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别是1CC ，AB 的中点.

（1）求证：CE ∥平面1

A BD ；

（2）若H 为1A B 上的动点，当CH 与平面1

A A

B 所成最大角的正

求平面1

A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值.

2.【北京市海淀区2013年四月高三一模】

在四棱锥P ABCD

-中，PA⊥平面ABCD，ABC

?是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又

4

PA AB

==，120

CDA

∠=，点N在线段PB

上，且

PN=．

（Ⅰ）求证：BD PC

⊥；

（Ⅱ）求证：//

MN平面PDC; （Ⅲ）求二面角A PC B

--的余弦值．

3. 【江西师大附中、鹰潭一中2013届高三数学（理）四月联考】

如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，AB AA 21=，N 是1CC 的中点，M 是线段1

AB 上的

动点（与端点不重合），且1

AB AM λ=.

(1)若

2

1=

λ，求证:1AA MN ⊥;

(2)若直线MN 与平面ABN 所成角的大小为θ，求θsin 的最大值.

4.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱AA2⊥底面ABC，∠ACB = 90°，E是棱CC1上动点，F

是AB中点，AC = 1，BC = 2，AA1 = 4。

（1）当E是棱CC1中点时，求证：CF∥平面AEB1；

（2）在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A—EB1—B

，若存在，求CE的长，若不存在，

请说明理由。

5.【2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考】（本题满分13分）

如图在四棱锥P ABCD

-中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD，

且

PA PD AD

==,设E 、F 分别为PC 、BD 的中点． (Ⅰ) 求证：EF //平面PAD ； (Ⅱ) 求证：面PAB ⊥平面PDC ； (Ⅲ) 求二面角B PD C --的正切值．

B

A