传递矩阵法分类教学内容

传递矩阵法分类

典型的传递矩阵计算方法有Myklestad-Prohl 传递矩阵法和Riccati 传递矩阵法。Myklestad-Prohl 传递矩阵法有很多优点，如矩阵的维数不会随着转子系统的自由度数的增加而增加、计算效率高、程序设计简单、占用内存少等等，所以在实际工程中得到了很广泛的应用。但是，这种方法在大量应用的过程中，人们发现这种方法也存在一些问题，就是当计算的频率较高、或者结构支承的刚度很大、或者结构的自由度较多时，会出现数值不稳定的现象，从而使计算分析结果的精度大大下降［2~3,39?40］。为此，1978年Horner和Pilley提出了Riccati 传递矩阵法［39］，这种方法保留了Myklestad-Prohl 传递矩阵法的全部优点，且计算精度高，数值上也比较稳定。Riccati 传递矩阵法在使用过程中遇到的另一个问题是在特征根的搜索过程中剩余量有许多无穷大奇点，因此可能产生增根现象，1987年王正在研究了这一现象后给出了这种奇点的消除方法［40］。

传递矩阵-matlab程序

%main_critical.m %该程序使用Riccati传递距阵法计算转子系统的临界转速及振型 %本函数中均采用国际单位制 % 第一步：设置初始条件（调用函数shaft_parameters） %初始值设置包括：轴段数N，搜索次数M %输入轴段参数：内径d,外径D，轴段长度l，支撑刚度K，单元质量mm，极转动惯量Jpp[N,M,d,D,l,K,mm,Jpp]=shaft_parameters; % 第二步：计算单元的5个特征值（调用函数shaft_pra_cal） %单元的5个特征值： %m_k：:质量 %Jp_k：极转动惯量 %Jd_k：直径转动惯量 %EI：弹性模量与截面对中性轴的惯性矩的乘积 %rr：剪切影响系数 [m_k,Jp_k,EI,rr]=shaft_pra_cal(N,D,d,l,Jpp,mm); % 第三步：计算剩余量（调用函数surplus_calculate）,并绘制剩余量图 %剩余量：D1 for i=1:1:M ptx(i)=0; pty(i)=0; end for ii=1:1:M wi=ii/1*2+50; [D1,SS,Sn]=surplus_calculate(N,wi,K,m_k,Jp_k,JD_k,l,EI,rr); D1; pty(ii)=D1; ptx(ii)=w1 end ylabel(‘剩余量’)； plot(ptx,pty) xlabel(‘角速度red/s’); grid on % 第四步：用二分法求固有频率及振型图 %固有频率：Critical_speed wi=50; for i=1:1:4 order=i [D1,SS,Sn]=surplus_calculate(N,wi,k,m_k,Jp_k,Jd_k,l,EI,rr); Step=1; D2=D1; kkk=1; while kkk<5000 if D2*D1>0 wi=wi+step;

(完整word版)单纯形法的解题步骤

三、单纯形法的解题步骤 第一步：作单纯形表. ）（1）把原线性规划问题化为标准形式； ）（2）找出初始可行基，通常取约束方程组系数矩阵中的单位矩阵； ）（3）目标函数非基化； ）（4）作初始单纯形表. 第二步：最优解的判定. (1) 若所有检验数都是非正数，即，则此时线性规划问题已取 得最优解. (2) 若存在某个检验数是正数，即，而所对应的列向量无正分量，则线性规划 问题无最优解. 如果以上两条都不满足，则进行下一步. 第三步：换基迭代. ，并确定所在列的非基变量为进基变量. （1）找到最大正检验数，设为 （2）对最大正检验数所在列实施最小比值法，确定出主元，并把主元加上小括号. 主元是最大正检验数 所在列，用常数项与进基变量所对应的列向 量中正分量的比值最小者； 替换出基变量，从而得到新的基变量.也就是主元所在 （3）换基：用进基变量 （4）利用矩阵的行初等变换，将主元变为1，其所在列其他元素都变为零，从此得到新的单纯形表； （5）回到第二步，继续判定最优解是否存在，然后进行新一轮换基迭代，直到问题得到解决为止. 例3 求.

解（1）化标准型：令 ，引进松弛变量 ，其标准型为 求 （2）作单纯形表：在约束方程组系数矩阵中 的系数构成单位矩阵，故取 为基变量，目标函数已非基化了，作初始单纯形表并“换基迭代”（见表6.8）.表 6.8

（3）最终结果：此时检验数均为非正数，线性规划问题取得最优解，最优解为 目标函数取得最优值. 原线性规划问题的最优解为：.目标函数的最优值为14，即. 例4 用单纯形方法解线性规划问题. 求. 解此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵（1、2行，3、4列构成），取为基变量，而目标函数没有非基化.从约束方程找出 ，, 代入目标函数 , 经整理后，目标函数非基化了. 作单纯形表，并进行换基迭代（见表6.9）. 最大检验数，由最小比值法知：为主元，对主元所在列施以行初等变出基，非基变量进基. 换，基变量

(整理)传输矩阵法.

传输矩阵法 一、 传输矩阵法概述 1. 传输矩阵 在介绍传输矩阵的模型之前，首先引入一个简单的电路模型。如图1(a)所示， 在(a)中若已知A 点电压及电路电流，则我们只需要知道电阻R ，便可求出B 点电压。传输矩阵具有和电阻相同的模型特性。 (a) (b) 图1 传输矩阵模型及电路模拟模型 如图1(b)所示，有这样的关系式存在：E 0=M(z)E 1。M(z)即为传输矩阵，它将介质前后空间的电磁场联系起来，这和电阻将A 、B 两点的电势联系起来的实质是相似的。 图2 多层周期性交替排列介质 传输矩阵法多应用于多层周期性交替排列介质（如图2所示）， M(z)反映的介质前后空间电磁场之间的关系，而其实质是每层薄膜特征矩阵的乘积，若用 j M 表示第j 层的特征矩阵，则有： 1 2 3 4 …… j …… N

（1） 其中， （2） j δ为相位厚度，有 （3） 如公式（2）所示，j M 的表示为一个2×2的矩阵形式，其中每个矩阵元都没有任何实际物理意义，它只是一个计算结果，其推导过程将在第二部分给出。 2. 传输矩阵法 在了解了传输矩阵的基础上，下面将介绍传输矩阵法的定义： 传输矩阵法是将磁场在实空间的格点位置展开，将麦克斯韦方程组化成传输矩阵形式，变成本征值求解问题。 从其定义可以看出，传输矩阵法的实质就是将麦克斯韦方程转化为传输矩阵，也就是传输矩阵法的建模过程，具体如下：利用麦克斯韦方程组求解两个紧邻层面上的电场和磁场，从而可以得到传输矩阵，然后将单层结论推广到整个介质空间，由此即可计算出整个多层介质的透射系数和反射系数。 传输矩阵法的特点：矩阵元少（4个），运算量小，速度快；关键：求解矩阵元；适用介质：多层周期性交替排列介质。 二、 传输矩阵的基础理论——薄膜光学理论 1.麦克斯韦方程组 麦克斯韦方程组由四个场量：D 、E 、B 、H ，两个源量：J 、ρ以及反映它们之间关系的方程组成。而且由媒质方程中的参数ε、μ、σ反映介质对电磁场的影响。方程组的实质是描述电磁场的传播，即：一个变化的磁场引起邻近区域的电场变化，而此电场的变化又引起邻近磁场的变化，如此进行下去，便可抽象出电磁场的传播。如图3 所示。 ? ? ? ???==∏=D C B A M z M N j j 1)(?? ??? ?????=j j j j j j j i i M δδηδηδcos sin sin cos j j j j d N θλπ δcos 2=ε

单纯形法的计算方法

第4章 单纯形法的计算方法单纯形法求解线性规划的思路: 一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数, 这时有不定的解。但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形, 每一个单纯形可以求得一组解, 然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小, 决定下一步选择的单纯形。这就是迭代,直到目标函数实现最大值或最小值为止。 4.1 初始基可行解的确定 为了确定初始基可行解, 要首先找出初始可行基, 其方法如下。 （1）第一种情况：若线性规划问题 max z = 从Pj ( j = 1 , 2 , ? , n)中一般能直接观察到存在一个初始可行基 （2）第二种情况：对所有约束条件是“ ≤”形式的不等式, 可以利用化为标准型的方法, 在每个约束条件的左端加上一个松弛变量。经过整理, 重新对 及 ( i = 1 , 2 , ? , m; j = 1 , 2 , ? , n)进行编号, 则可得下列方程组 显然得到一个m×m单位矩阵 以B 作为可行基。将上面方程组的每个等式移项得 令由上式得 又因 ≥0, 所以得到一个初始基可行解 （3）第三种情况：对所有约束条件是“ ≥”形式的不等式及等式约

束情况, 若不存在单位矩阵时, 就采用人造基方法。即对不等式约束减去一个非负的剩余变量后, 再加上一个非负的人工变量; 对于等式约束再加上一个非负的人工变量, 总能得到一个单位矩阵。 4.2 最优性检验和解的判别 对线性规划问题的求解结果可能出现唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解四种情况, 为此需要建立对解的判别准则。一般情况下, 经过迭代后可以得到： 将上代入目标函数，整理后得 令 于是 再令 则 (1) 最优解的判别定理 若为对应于基B的一个基可行解，且对于一切 且有则 为最优解。称为检验数。 (2) 无穷多最优解的判别定理 若为一个基可行解， 且对于一切 且有 又存在某个非基变量的检验数，则线性规划问题有无穷多最优解。 (3) 无界解判别定理 若为一个基可行解，有一个> 0 ,并且对i = 1 , 2 , ?, m,有≤0 , 那么该线性规划问题具有无界解(或称无最优解)。 4.3 基变换

单纯形法求解线性规划的步骤

单纯形法求解线性规划的步骤 1>初始化 将给定的线性规划问题化成标准形式,并建立一个初始表格,它最右边的单元格都就是非负的(否则无解),接下来的m 列组成一个m*m的单元矩阵(目标行的单元格则不必满足这一条件),这m列确定了初始的基本可行解的基本变量,而表格中行用基本变量来表示 2>最优化测试 如果目标行的所有单元格都就是非负的(除了最右列中代表目标函数值的那个单元格),就可以停止了,该表格代表了一个最优解,它的基本变量的值在最右列中,而剩下的非基本变量都为0 3>确定输入变量 从目标行的前n个单元格中选择一个负的单元格(选择绝对值最大的那个)该单元格所在的列确定的输入变量及主元列 4>确定分离变量 对于主元列的每个正单元格,求出θ比率(如果主元格的单元格为负或为0,说明该问题就是无解的,算法终止),找出θ比率最小的列,改行确定了分离变量与主元行 5>建立下一张表格 将主元行的所有单元格除以主元得到新的主元行,包括主元行在内的每一行,要减去改行主元列单元格与新主元行的成绩(除主元行为1外,这一步将主元列的所有单元格变成0)、把主元列的变量名进行代换,得到新的单纯形表,返回第一步 为求简单 在本程序中,需要自己建立标准矩阵(比如加入松弛变量等工作需要用户自己完成),程序的输入有两种方式: 1:指定行与列,由用户自行输入每一个元素SimpleMatrix(introw=0,int col=0); 2:直接在主程序中初始化一个二维数组,然后利用构造函数SimpleMatrix(introw,int col,double **M) 来初始化与处理(本程序所用的实例用的就是这种方法) 程序中主要的函数以及说明 ~SimpleMatrix(); 销毁动态分配的数组、用于很难预先估计矩阵的行与列,所以在程序中才了动态的内存分配、需要重载析构函数bool Is_objectLine_All_Positive(); //判断目标行就是否全部为非负数,最后一列不作考虑 这个函数用来判断就是否已经存在最优解 bool Is_MainCol_All_Negative(int col);//判断主元列就是否全部为负数或零 这个函数用来判断线性规划就是否就是无解的 bool Is_column_all_Positive(int col); //判断col列中就是否全部为正(不包括目标行)

机床动力学建模的拓展传递矩阵法

万方数据

万方数据

万方数据

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２０１０年１１月吴文镜等：机床动力学建模的拓展传递矩阵法７３ 刀。Ｑ＝Ｆ（９）Ｑ＝Ｅ５２２＇Ｊｏ＋Ｅ６２３’１０＋Ｅ７乙１１０＋ 毛毛．１０＋岛乞Ｊ０＋Ｅｌｏｚ７＇ｊ０＋ 层Ｉｌｚ８．１０＋层１２磊．１０＋Ｅ１３ｚＦ＋Ｅ３０ｚＤ（１０） Ｆ＝Ｅ１４互．１０＋Ｅ１５乞．１０＋巨６毛＇ｌｏ＋ 巨７２５’１０＋Ｅ１８乙Ｊ０＋Ｅ９２７＇ｌｏ＋ ￡２０磊＿ｌｏ＋Ｅ２ｌｚ９．１０＋￡２２磊＋Ｅ３ｌ乞（１１） 互．ｏ＝ＥｌＺ６．１＋Ｅ２２７．Ｉ＋Ｅ３２８．１＋层４２９．１（１２） 由式（７）～（１１）得 （五ｏＥ５一Ｅ１４）互Ｚ２．ｏ＋（正ｏＥ６一Ｅ１５）五ｚ３．ｏ＋ （五ｏＥ７一Ｅ１６）五乙．ｏ＋（五ｏＥ８一Ｅ１７）毛ｚ５．ｏ＋ （墨ｏＥ９一Ｅ１８）ｒ６瓦．１＋（互ｏＥｌｏ—Ｅ１９）弓Ｚ７．１＋ （互ｏＥｌｌ—Ｅ２０）磊ｚ８，１＋（正。巨２一Ｅ２１）写ｚ９．１＋ （７ｉｏＥｌ３一Ｅ２２）ｚ－＋（７ｉｏ岛。一百３１）ＺＦ＝０（１３） 由式（６）、（１２）得 互，Ｄ（Ｅｌ乙，Ｊ＋Ｅ２２７．１＋Ｅ３２８．Ｉ＋Ｅ４毛，１）＝ｒｌ，』Ｚ１．，（１４）对于状态矢量磊＇ｌ、历＇ｌ、ｚ８＇１、而，１均为刚体１上的状态矢量，位移元素线性相关，有 易３２７．１＝Ｅ２４互，，（１５） 易３磊，ｌ＝Ｅ２５五，Ｊ（１６） ￡２３２９．１＝Ｅ２６互．，（１７）联合（１３）～（１７）将其写成矩阵的形式有 瓦ｌｚａｌＩ＝０４８×ｌ（１８）ｚａｌｌ＝（乏，ｏ召。别，。罨。烈，。 ｚ五磊。罨。ｚ０砟磊）１ 磊和Ｚｏ分别为激振点和拾振点的状态矢量，兀¨为４８×６９的高维矩阵。 ３．２结合面参数 直线进给功能部件中主要存在直线滚动导轨结合面以及电动机定子与滑板之间的螺栓结合面。对于导轨结合面模型简化为１个法向线性弹簧一阻尼系统、１个横向的线性弹簧一阻尼系统和３个转动方向的扭转弹簧一阻尼系统，以综合反映结合部各方向的微幅振动。通过锤击试验分别测定导轨法向和横向及３个扭转方向的传递函数，定义法向为Ｚ，横向为ｙ，３个坐标轴分别为Ａ、Ｂ、Ｃ。 根据单自南度系统振动方程计算出导轨各方向的接触刚度，根据半功率法计算接触阻尼。最终计算得到导轨结合面参数如表ｌ所示。电动机与滑板之问的螺栓结合面参数如表２所示。导轨结合面参数测试结果见图７。 表ｌ导轨结合部参数结果 参数数值 刚度ｋｒ／（ＭＮ?ｍ‘１２５３ 刚度ｋＪ（ＧＮ?ｍ“１２．１４ 刚度“／（ｋＮ?ｍ?ｒａｄ。。１６９３ ｝９４度ｋｓ／（ＭＮ?ｍ?ｒａｄ‘）１．７３ 刚度ｋｄ（ｋＮ?ｍ?ｒａｄ。１７２７ 阻尼ｃ；ｌ（Ｎ?ｓ?ｍ“１６４１．５ 阻尼ｃＪ（Ｎ?ｓ?ｍ’）ｌ０３４．９ 雕尼“／（Ｎ?ｍ?ｓ?ｒａｄ。）０．１４４７ 阻尼ｃ洲Ｎ?ｍ?ｓ?ｒａｄ。。）２．０１１ 阻尼Ｃｃ／（Ｎ?１ｔｌ?ｓ?ｍｄ１）０９６０２ 表２螺栓结合部参数 参数数值 刚度ｋ，／（ＧＮ?ｍ。。１ｏ．２５ 刚度ｋ，Ｊ（ＧＮ?ｍ’）０，２５ 刚度ｋｆｌ（ＧＮ?ｍ。）２．１０ 阻尼ｃ．ｒ／（Ｎ?ｓ?ｍ。）１２５ 阻尼ｅ，Ｉ（Ｎ?ｓ?ｍ。。１１２５ 阻尼ｃ∥（Ｎ?ｓ?ｍ“）２５０ （ａ）测试现场 ｛｜｜卜Ｍ以旷藩三ｈ∥ 迎卜—ｔ——专—上‘＿妻蔫ｋ套 图７导轨结合面参数测试结果 ３．３滑板有限元自由度缩减模型建－ｆｒ 创建有限元自由度缩减模型首先采用通用有限元软件得到零件的有限元法（Ｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄ，ＦＥＭ）｝－莫－型，根据零件特点选择质量集中点、 结合面连接节点、外力作用节点以及需要考察的节 万方数据

传递矩阵法在结构振动响应分析中的应用

传递矩阵法在结构振动响应分析中的应用 【摘要】传递矩阵法因其简便、快捷，已被广泛应用于机械、航空和航天等领域。本文以航空发动机低压转子临界转速分析为例，对传递矩阵法在结构振动响应分析中的应用方法和分析步骤进行了详细的介绍，并给出了某型发动机低压转子在不同支承刚度下的临界转速。 【关键词】传递矩阵；振动响应；临界转速；转子动力学 0 引言 经典传递矩阵法是20 世纪20 年代建立起来的用于研究弹性构件组成的一维线性系统振动问题的方法。经过多年的发展和完善，已经可以用于求解多圆盘轴的扭转振动问题、梁的弯曲振动模态、轴的横向振动问题、系统的静态响应和扭矩载荷响应问题、以及一维结构的振动特性分析和复合梁的振动特性等结构动力学问题。并且，由于传递矩阵法建模灵活、计算效率高等优点，已在包括光学、声学、电子学、机器人学、机械、兵器、航空、航天等诸多现代工程技术领域中得到了广泛应用[1]。 应用传递矩阵法进行分析的一般步骤为：1）结构离散化；2）建立系统传递矩阵；3）特征方程求解。 1 结构离散化 航空发动机低压转子结构简化模型见图1： 其主要组件为压气机、涡轮和低压轴。低压转子通过前、中、后3个支点与发动机转子系统相连[2]。 将该结构进行离散化处理[3-5]，并将各支点简化为线弹性体后，得到图2所示模型。 离散化处理后，整个低压转子的质量将被转换为分布式质量节点。表1给出了离散化后各质量节点的质量分布情况。 2 建立系统传递矩阵 将连续结构进行离散化处理后，实体结构将被简化成等刚性无质量梁单元及分布质量点。 3 特征方程求解 以转子转速做为变量，在不同刚度参数下对特征值进行求解。在某一给定刚

单纯形法求解线性规划的步骤

单纯形法求解线性规划的步骤

单纯形法求解线性规划的步骤 1>初始化 将给定的线性规划问题化成标准形式,并建立一个初始表格,它最右边的单元格都是非负的(否则无解),接下来的m列组成一个m*m的单元矩阵(目标行的单元格则不必满足这一条件),这m列确定了初始的基本可行解的基本变量,而表格中行用基本变量来表示 2>最优化测试 如果目标行的所有单元格都是非负的(除了最右列中代表目标函数值的那个单元格),就可以停止了,该表格代表了一个最优解,它的基本变量的值在最右列中,而剩下的非基本变量都为0 3>确定输入变量 从目标行的前n个单元格中选择一个负的单元格(选择绝对值最大的那个)该单元格所在的列确定的输入变量及主元列 4>确定分离变量 对于主元列的每个正单元格,求出θ比率(如果主元格的单元格为负或为0,说明该问题是无解的,算法终止),找出θ比率最小的列,改行确定了分离变量和主元行 5>建立下一张表格 将主元行的所有单元格除以主元得到新的主元行,包括主元行在内的每一行,要减去改行主元列单元格和新主元行的成绩(除主元行为1外,这一步将主元列的所有单元格变成0).把主元列的变量名进行代换,得到新的单纯形表,返回第一步 为求简单 在本程序中,需要自己建立标准矩阵(比如加入松弛变量等工作需要用户自己完成),程序的输入有两种方式: 1:指定行和列,由用户自行输入每一个元素SimpleMatrix(introw=0,int col=0); 2:直接在主程序中初始化一个二维数组,然后利用构造函数SimpleMatrix(introw,int col,double **M) 来初始化和处理(本程序所用的实例用的是这种方法) 程序中主要的函数以及说明 ~SimpleMatrix(); 销毁动态分配的数组.用于很难预先估计矩阵的行和列,所以在程序中才了动态的内存分配.需要重载析构函数 bool Is_objectLine_All_Positive(); //判断目标行是否全部为非负数,最后一列不作考虑 这个函数用来判断是否已经存在最优解 bool Is_MainCol_All_Negative(int col);//判断主元列是否全部为负数或零 这个函数用来判断线性规划是否是无解的 bool Is_column_all_Positive(int col); //判断col列中是否全部为正(不包括目标行)

单纯形法求解原理过程

单纯形法 需要解决的问题： 如何确定初始基本可行解； 如何由一个基本可行解迭代出另一个基本可行解，同时使目标函数获得较大的下降； 如何判断一个基本可行解是否为最优解。 min f(X)=-60x1-120x2 s.t. 9x1+4x2+x3=360 3x1+10x2+x4=300 4x1+5x2+x5=200 x i≥0 (i=1,2,3,4,5) (1) 初始基本可行解的求法。当用添加松弛变量的方法把不等式约 束换成等式约束时，我们往往会发现这些松弛变量就可以作为 初始基本可行解中的一部分基本变量。 例如：x1-x2+x3≤5 x1+2x2+x3≤10 x i≥0 引入松弛变量x4，x5后，可将前两个不等式约束换成标准形式 x1-x2+x3+x4=5 x1+2x2+x3+x5=10 x i≥0 (i=1,2,3,4,5) 令x1=x2=x3=0，则可立即得到一组基本可行解 x1=x2=x3=0，x4=5，x5=10 同理在该实例中，从约束方程式的系数矩阵 中可以看出其中有个标准基，即 与B对应的变量x3，x4，x5为基本变量，所以可将约束方程写成 X3=360-9x1-4x2 x4=300-3x1-10x2 x5=200-4x1-5x2 若令非基变量x1=x2=0，则可得到一个初始基本可行解X0 X0=[0,0,360,300,200] T 判别初始基本可行解是否是最优解。此时可将上式代入到目标函数中，得：

F(X)=-60x1-120x2 对应的函数值为f(X0)=0。 由于上式中x1,x2系数为负，因而f(X0)=0不是最小值。因此所得的解不是最优解。 (2) 从初始基本可行解X0迭代出另一个基本可行解X1，并判断X1是否 为最优解。从一个基本可行解迭代出另一个基本可行解可分为 两步进行： 第一步，从原来的非基变量中选一个（称为进基变量）使其成为基本变量； 第二步，从原来的基本变量中选一个（称为离基变量）使其成为新的非基变量。 选择进基和离基变量的原则是使目标函数值得到最快的下降和使所有的基本变量值必须是非负。 在目标函数表达式中，非基变量x1,x2的系数是负值可知，若x1,x2不取零而取正值时，则目标函数还可以下降。因此，只要目标函数式中还存在负系数的非基变量，就表明目标函数还有下降的可能。也就还需要将非基本变量和基本变量进行对换。一般选择目标函数式中系数最小的（即绝对值最大的负系数）非基变量x2换入基本变量，然后从x3，x4，x5中换出一个基本变量，并保证经变换后得到的基本变量均为非负。 当x1=0，约束表达式为： X3=360-4x2≥0 x4=300-10x2≥0 x5=200-5x2≥0 从上式中可以看出，只有选择 x2=min{}=30 才能使上式成立。由于当x2=30时，原基本变量x4=0，其余x3和x5都满足非负要求。因此，可以将x2，x4互换。于是原约束方程式可得到：4x2+x3=360-9x1 10x2 =300-3x1-x4 5x2+x5=200-4x1 用消元法将上式中x2的系数列向量变[4,10,5]T换成标准基向量[0,1,0]T。其具体运算过程如下： -*4/10 : x3=240-78x1/10+4 x4/10 /10 : x2 =30-3x1/10-x4/10

利用传递矩阵法和Riccati传递矩阵法分析转子临界转速

利用传递矩阵法和Riccati 传递矩阵法分析转子临界转速 一、 所需求解转子参数 将转子简化为如下所示： 三个盘的参数为：1232 2212322 2 1 230.0160.050.0160.0120.0250.012P P P d d d I kg m I kg m I kg m I kg m I kg m I kg m ? =?=?=???=?=?=?? 另，阶梯轴的三段轴的截面惯性矩分别为： 414243 1.73.20.9J cm J cm J cm ?=? =??=? 三段轴的单位长度轴段的质量分别为：123 2.45/ 3.063/1.587/m kg m m kg m m kg m =?? =??=? 二、 试算转轴的传递矩阵 取试算转速1200/p rad s ω== ; 则，各轴段的传递矩阵分别为： 第1段 840.061.7102.45/l m J m m kg m -=??=???=?

1 1.0006e+000 6.0007e-00 2 5.2943e-007 1.0588e-008 3.7356e-002 1.0006e+000 1.7649e-005 5.2943e-007 6.3506e+00 3 1.2701e+002 1.0006e+000 6.0007e-002 2.1170e+005 6.3506e+003 3.7356e-002 H = 1.0006e+000 ??????? 第2段 840.153.2103.063/l m J m m kg m -=??=???=? 2 1.0145e+000 1.5044e-001 1.7595e-006 8.7927e-008 3.8782e-001 1.0145e+000 2.3506e-005 1.7595e-006 4.9669e+004 2.4821e+00 3 1.0145e+000 1.5044e-001 6.6353e+005 4.9669e+00 4 3.8782e-001 H = 1.0145e+000 ??????? 第3段 840.053.2103.063/l m J m m kg m -=??=???=? 3 1.0002e+000 5.0002e-002 1.9531e-007 3.2552e-009 1.4358e-002 1.0002e+000 7.8128e-006 1.9531e-007 5.5135e+003 9.1890e+001 1.0002e+000 5.0002e-002 2.2054e+005 5.5135e+003 1.4358e-002 H = 1.0002e+000 ??????? 第4段 840.033.2103.063/l m J m m kg m -=??=???=? 4 1.0000e+000 3.0000e-002 7.0313e-008 7.0313e-010 3.1013e-003 1.0000e+000 4.6875e-006 7.0313e-008 1.9848e+003 1.9848e+001 1.0000e+000 3.0000e-002 1.3232e+00 5 1.9848e+003 3.1013e-003 H = 1.0000e+000 ??????? 第5段 840.10.9101.587/l m J m m kg m -=??=???=?

改进传递矩阵法

JOURNAL OF SOUND AND VIBRATION Journal of Sound and Vibration 289(2006)294–333 A modi?ed transfer matrix method for the coupling lateral and torsional vibrations of symmetricrotor-bearing systems Sheng-Chung Hsieh a ,Juhn-Horng Chen b ,An-Chen Lee a,? a Department of Mechanical Engineering,National Chiao Tung University,1001Ta Hsueh Road, Hsinchu 30049,Taiwan,ROC b Department of Mechanical Engineering,Chung Hua University,Taiwan,ROC Received 27January 2004;received in revised form 9August 2004;accepted 8February 2005 Available online 28April 2005 Abstract This study develops a modi?ed transfer matrix method for analyzing the coupling lateral and torsional vibrations of the symmetricrotor-bearing system with an external torque.Euler’s angles are used to describe the orientations of the shaft element and disk.Additionally,to enhance accuracy,the symmetric rotating shaft is modeled by the Timoshenko beam and considered using a continuous-system concept rather than the conventional ‘‘lumped system’’concept.Moreover,the harmonic balance method is adopted in this approach to determine the steady-state responses comprising the synchronous and superharmonic whirls.According to our analysis,when the unbalance force and the torque with n ?frequency of the rotating speed excite the system simultaneously,the en t1T?and en à1T?whirls appear along with the synchronous whirl.Finally,several numerical examples are presented to demonstrate the applicability of this approach. r 2005Elsevier Ltd.All rights reserved. 1.Introduction Rotor dynamics plays an important role in many engineering ?elds,such as gas turbine,steam turbine,reciprocating and centrifugal compressors,the spindle of machine tools,and so on.Owing to the growing demands for high power,high speed,and light weight of the rotor-bearing https://www.wendangku.net/doc/7514491749.html,/locate/jsvi 0022-460X/$-see front matter r 2005Elsevier Ltd.All rights reserved.doi:10.1016/j.jsv.2005.02.004 ?Corresponding author.Tel.:+88635728513;fax:88635725372. E-mail address:aclee@https://www.wendangku.net/doc/7514491749.html,.tw (An-Chen Lee).

图解法和单纯形法求解线性规划问题

图解法和单纯形法求解以下线性规划问题 1.1 图解法解线性规划问题 只含两个变量的线性规划问题，可以通过在平面上作图的方法求解，步骤如下： (1)以变量x1为横坐标轴，x2为纵坐标轴，适当选取单位坐标长度建立平面坐标直 角坐标系。由变量的非负性约束性可知，满足该约束条件的解均在第一象限内。 (2)图示约束条件，找出可行域（所有约束条件共同构成的图形）。 (3)画出目标函数等值线，并确定函数增大（或减小）的方向。 (4)可行域中使目标函数达到最优的点即为最优解。 然而，由于图解法不适用于求解大规模的线性规划问题，其实用意义不大。 1.2 单纯形法解线性规划问题 它的理论根据是：线性规划问题的可行域是n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。 单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。 单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。 1.3 线性规划问题的标准化 使用单纯形法求解线性规划时，首先要化问题为标准形式

单纯形法的计算方法

第4章 单纯形法的计算方法 单纯形法求解线性规划的思路: 一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数, 这时有不定的解。但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形, 每一个单纯形可以求得一组解, 然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小, 决定下一步选择的单纯形。这就是迭代, 直到目标函数实现最大值或最小值为止。 4.1 初始基可行解的确定 为了确定初始基可行解, 要首先找出初始可行基, 其方法如下。 （1）第一种情况：若线性规划问题 max z =n j j j=1c x ∑ 1,1,2,...,0,1,2,...n ij j i j j a x b i m x j n =?==???≥=?∑ 从Pj ( j = 1 , 2 , ? , n )中一般能直接观察到存在一个初始可行基 121(,,...,)n B P P P 0 0?? ?0 1 0 ?== ? ?0 0 1?? （2）第二种情况：对所有约束条件是“ ≤”形式的不等式, 可以利用化为标准型的方法, 在每个约束条件的左端加上一个松弛变量。经过整理, 重新对 j x 及ij a ( i = 1 , 2 , ? , m ; j = 1 , 2 , ? , n )进行编号, 则可得下列方 程组 11,1111 22,1122,1112.........,,...,0 m m n n m m n n m m m m nn n n n x a x a x b x a x a x b x a x a x b x x x +++++++++=?? +++=?? ??+++=??≥? 显然得到一个m ×m 单位矩阵

单纯形法的解题步骤

单纯形法的解题步骤

三、单纯形法的解题步骤 第一步：作单纯形表. （1）（1）把原线性规划问题化为标准形式； （2）（2）找出初始可行基，通常取约束方程组系数矩阵中的单位矩阵； （3）（3）目标函数非基化； （4）（4）作初始单纯形表. 第二步：最优解的判定. (1) 若所有检验数都是非正数，即 ，则此时线性规划问题已取得最优解. (2) 若存在某个检验数是正数，即，而 所对应的列向量无正分量，则线性规划问题无最 优解. 如果以上两条都不满足，则进行下一步. 第三步：换基迭代. （1）找到最大正检验数，设为，并确定

（2）作单纯形表：在约束方程组系数矩阵中的系数构成单位矩阵，故取为基变量，目标函数已非基化了，作初始单纯形表并“换基迭代”（见表6.8）. 表 6.8 x1 x2x3x4x5常数 x 3 x 4 x 51 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 （1）0 0 1 5 10 4 S′ 1 3 0 0 0 0 x 3 x 4 x2 1 0 1 0 0 （1）0 0 1 -2 0 1 0 0 1 5 2 4 S′ 1 0 0 0 -3 -12 x 3 x 1 x 20 0 1 -1 2 1 0 0 1 -2 0 1 0 0 1 3 2 4 S′0 0 0 -1 -1 -14

（3）最终结果：此时检验数均为非正数，线性规划问题取得最优解，最优解为 目标函数取得最优值. 原线性规划问题的最优解为：.目标函数的最优值为14，即. 例4 用单纯形方法解线性规划问题. 求. 解此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵（1、2行，3、4列构成），取为基变量，而目标函数没有非基化.从约束方程找出