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垂径定理1导学案

24.1.2 垂直于弦的直径（垂径定理第一课时）【学习目标】1.根据圆的对称性探究垂径定理，掌握垂径定理.

2.利用垂径定理解决一些实际问题．

【导学过程】

一．自主学习

（一）回顾复习：（独立完成下列各题）

1.如图：AB是⊙O______；CD是⊙O______；

⊙O中优弧有__________；劣弧有__________。

2.在___圆或____圆中，能够____________叫等弧。

（二）自主探究

（一）自主探究一：

用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，你发现了什么？

结论：圆是_____对称图形，_______________是它的对称轴。

（二）自主探究二：

如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．

（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？

相等的线段：______________

相等的弧： _____=______；_____=______。

二、合作交流

（一）你还能用其他的方法给出证明吗？

垂径定理：文字叙述是：垂直于弦的直径_______，并且__________________。

符号语言：∵CD是⊙O_____，AB是⊙O______，且CD__AB于M

∴____=_____，_____=______，_____=______。

(二)合作探究二：用垂径定理解决问题

已知：⊙O的直径为10cm，圆心O到AB的距离为3cm，

求：弦AB的长。

归纳：圆中常用辅助线——作弦心距（圆心到弦的距离），构造Rt△.弦（a）半径（r）弦心距（d），三个量关系为。

简“半径半弦弦心距”。

（三）巩固练习

1．已知：AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，

则

BC =____，

AC =____ ；CE=______

2.已知：AB为⊙O的弦，AB=24cm, 圆心O到AB的距离

为5cm, 求⊙O的直径

3.已知：⊙

O的直径AB=20cm，∠B=30°,

求：弦BC的长

三、展示提升：

（1）如图，两圆都以点O为圆心，

求证:AC=BD

（2）圆中有两条互相平行的弦长分别为6cm、8cm,圆的半径为5cm, 求平行两弦之间的距离

四、盘点收获

圆第2课垂径定理导学案

圆第2课垂径定理导学案第2课时 24.1.2 垂直于弦的直径［学习目标］ 1．理解圆的轴对称性； 2．掌握垂径定理及其推论，能用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明. 知识链接一、知识链接（阅读课本P81-82完成以下内容） 1.圆的对称性：圆既是图形也是图形，对称轴是，有条；对称中心是 2.垂径定理:垂直于弦的,并且平分弦所对的弧。 3.垂径定理推论：平分弦（非直径）的直径二、自主学习[Tip:辅助线的常用作法：连半径，过圆心向弦作垂线段。] 1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，?错误的是（）． A．CE=DE B．BC=BD C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD (图1) (图2) (图3) （图4） 2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．8 3．如图3，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm，则圆心O到AB的距离是（） A．1mm B．2mm C．3mm D．4mm 4．如图4，OE⊥AB、OF⊥CD，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）二、合作探究 1.如图6，AB是O的直径，弦CD^AB，垂足为E，如果AB=20,CD=16,那么线段OE的长为（

A. 10 B. 8 C. 6 D.4 A （图6）（图7）（图8）（图9） 2.如图7，在O中，若AB^MN于点C， AB为直径,试填写出三个你认为正确的结论：，， . 3. P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为；最长弦长为． 4. 如图8，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP= ．第 1 页共 1 页） 5. 泸州市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图9所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道? 解：连接OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于F 【课堂检测】 1、如图2-1，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于度. 图2-1 图2-2 2、如图2-2所示，已知AB为⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为M，CD＝8，AM＝2，则OM＝ . 3、⊙O的半径为5，弦AB的长为6，则AB的弦心距长为 .

勾股定理导学案1

课题：14.1.1直角三角形三边关系班级：姓名：小组：小组内评价： ★学习目标： 1.探索并掌握勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 2．会应用勾股定理解决实际问题 ★重点：探索勾股定理的证明过程 ★难点：运用勾股定理解决实际问题课前预习案一、知识回顾与预习自测： 1、如图1直角?ABC 的面积ABC s ?= 图1 2、下面两个图中每个小方格的面积都为 1 图 2 （1）如图2正方形P 的面积是边长是；正方形Q 的面积是，边长是；正方形R 的面积是 ,边长是；面积可以表示成直角三角形的面积和（2）如图3，正方形P 的面积是边长是；正方形Q 的面积是，边长是；正方形R 的面积是 ,边长是正方形R 面积可以分割成哪些图形的面积和图3 （3）你能发现图2、图3中三个正方形P ， Q ，R 的面积之间有什么关系吗？（4）你能发现图2、图3中直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？二、教材解读 1、勾股定理的内容：直角三角形的平方和等于的平方。 2、如果直角三角形两直角边分别为a 、b,斜边为c ，由勾股定理知 =2c ，=c =2 a ，=a =2b ，=b

课内探一、课堂检测 1、如上图正方形P 的面积=_____________ AB=__________ BC=__________ AC=__________ 2、如上图，P 的面积 =______________ AB=__________BC=__________ AC=__________ 二、例题讲练 1、已知Rt △ABC 中，∠C=90° ①若a = 5，b = 12，求c 的长度 ②若c= 10，b = 8，求a 的长度. 2、在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°， BC=a ,AC=b ,AB=c . （１）已知a =7, b =24,求c ；（２）已知a =5, c =8, 求b ；（３）已知a =b ,c =6, 求a ；三、课堂练习：求下列未知数的值。四、我的反思五、布置作业：

垂径定理推论证明

一、 ③AE=BE ①⌒AC = ⌒BC ④CD ⊥ AB ②⌒AD = ⌒BD ⑤CD 过圆心（即CD 是直径）证明：∵⌒AC = ⌒BC ，⌒AD = ⌒BD ∴⌒CAD = ⌒CBD = 圆周 ∴ CD 过圆心（即CD 是直径）连接OA ，OB ∵⌒AD = ⌒BD ∴∠AOD=∠BOD 在△AOE 和△BOE 中 OA=OB ∠AOE=∠BOE OE=OE ∴△AOE ≌△BOE （SAS ） ∴AE=BE ，∠AEO=∠BEO=90° ∴CD ⊥AB 二、 ②⌒AD = ⌒BD ①⌒AC = ⌒BC ④CD ⊥AB ③AE=BE ⑤CD 过圆心（即CD 是直径）证明：连接OA ，OB 在△AOE 和△BOE 中 OA=OB AE=BE OE=OE ∴△AOE ≌△BOE （SSS ） ∴∠AOE=∠BOE ，∠AEO=∠BEO=90° ∵∠AOE=∠BOE ∴⌒AD = ⌒BD ∵⌒AC = ⌒BC ，⌒AD = ⌒BD ∴⌒CAD = ⌒CBD = 圆周 ∴ CD 过圆心（即CD 是直径） ∵∠AEO=∠BEO=90° ∴CD ⊥AB 21 21

三、①⌒AC = ⌒BC ②⌒AD = ⌒BD ④CD⊥AB ③AE=BE ⑤CD过圆心（即CD是直径）证明过程同上四、 ②⌒AD = ⌒BD ①⌒AC = ⌒BC③AE=BE ④CD⊥AB⑤CD过圆心（即CD是直径）证明：连接OA，OB ∵CD⊥AB ∴∠AEO=∠BEO=90° 在Rt△AOE和Rt△BOE中 OA=OB OE=OE ∴Rt△AOE≌Rt△BOE（HL） ∴∠AOE=∠BOE，AE=∠BE ∵∠AOE=∠BOE ∴⌒AD = ⌒BD ∵⌒AC = ⌒BC，⌒AD = ⌒BD ∴⌒ CAD= ⌒ CBD = 圆周 ∴CD过圆心（即CD是直径）五、①⌒AC = ⌒BC ②⌒AD = ⌒BD③AE=BE ④CD⊥AB⑤CD过圆心（即CD是直径）证明过程同上六、②⌒AD = ⌒BD ①⌒AC = ⌒BC③AE=BE ⑤CD过圆心（即CD是直径）④CD⊥AB 2 1

余弦定理教学案

余弦定理【教学目标】1. 掌握余弦定理的两种表示形式； 2. 证明余弦定理的向量方法； 3. 运用余弦定理解决解三角形问题．【重点难点】理解和掌握余弦定理的证明方法；余弦定理的应用. 【教学过程】一、复习回顾：正弦定理及其所解决的问题：二.课题导入思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？三.讲授新课余弦定理：三角形中任何一边的等于其他两边的的和减去这两边与它们的夹角的的积的两倍．公式表达： 2a = ；2b = ；2c = . 推论： cos A = ；cos B = ；cos C = . 定理理解：（1）与勾股定理的关系：（2）余弦定理及其推论的基本作用为：【典型例题】例1、在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知3a =，1b =，60C =?．（1）求c ；（2）求sin A ．变式训练1：在ABC ? 中，若a =5b =，30C =?，则(c = ) A B ．C D 例2、已知△ABC 的三边长为3a =，4b = ，c =ABC 的最大内角．变式训练2：有一个内角为120?的三角形的三边长分别是m ，1m +，2m +，则实数m 的值为( ) A ．1 B ． 3 2 C ．2 D ． 52 例3、在△ABC 中，已知3b = ，c =，0 30B =，求边a . 变式训练3：△ABC 中，0 120A =，5c =，7a =，则sin sin B C =____________. A B C b c a

例4、在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝ (a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．变式训练4-1：在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，试判断三角形的形状．变式训练4-2：在△ABC 中，已知()()3a b c a b c ab +++-=，且2cos sin sin A B C ?=，确定△ABC 的形状．例5、在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，且cos cos 2B b C a c =- +. （1）求B 的大小；（2 ）若b =，4a c +=，求a 的值．变式训练5-1：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan C =. （1）求cos C ；（2）若5 2 CB CA ?=u u u r u u u r ，且9a b +=，求c . 变式训练5-2：在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π 3 . （1）若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；（2）若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．

垂径定理导学案-(2)

B A D C 弓弓弓弓 ←→ （2）垂直于弦的直径自学案课型：新课主备人：吴剑红学生姓名：家长签字：【教学目标】 ①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性 ②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的计算与证明问题 ③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段. 【教学重点】垂径定理及其应用【教学难点】垂径定理的证明【教学方法】探究发现法【教学设计】一、【情景创设】 1．实例：我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。（图1） 2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，）为米。请问：桥拱的半径（即AB所在圆的半径）是多少通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。二、【自主探究】活动一：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么由此你能得到什么结论可以发现活动二：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．你能发现图中有那些相等的线段和弧为什么线段弧理由：如图我们把这个结论称为

探索发现：垂径定理三种语言 (一 )图形： (二)文字： (三).符号：如图，∵ ∴ 抢答： 1、如上图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥ CD于E，AB=8，则AE= , BE= ⌒⌒ AD= ，AC=_____ 2、判断下列图形，能否使用垂径定理活动三：应用定理计算 1、如图，在⊙O中弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离OE=3cm，求⊙O的半径。【变式1】如上图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OE的长为3，则弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．8 【变式2】如图，已知⊙O的半径为13mm，弦AB=10mm，则圆心O到AB的距离是（）A．3 mm B．4 mm C． 12 mm D． 5 mm 【变式3】半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是。【变式4】如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则弦AB的长是。【变式5】如图，AB 为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（） O C D B A O C D B A O C D B A O C D E O A B C D E

1.1 探索勾股定理(第1课时) 导学案

子洲三中 “双主”高效课堂导学案 2014-2015 学年第一学期姓名：组名：使用时间2014年月日年级科目课题主备人备课方式负责人（签字）审核领导（签字）序号八（3）数学 §1.1 探索勾股定理（第1课时）乔智一、教学目标 1．用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用． 2．让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法．二、教学过程设计第一环节：创设情境，引入新课内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理．第二环节：探索发现勾股定理 1．探究活动一内容：投影显示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图形：问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？通过观察，归纳发现：结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积． 2．探究活动二内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？（1）观察下面两幅图：（2）填表： A 的面积（单位面积） B 的面积（单位面积） C 的面积（单位面积）左图右图（3）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流．（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定．）图1 图2 图3 A B C C B A

垂径定理

2 1 垂径定理一、圆的对称性圆是轴对称图形，对称轴是二、如图是一个圆形纸片把该纸片沿直径AB 折叠，其中点A 和点是一组对称点（1）思考∵OC=OD, ∴Δ OCE ≌ΔODE, ∠OEC= ∠OED= ∴AB 与CD 的位置关系是（2）又∵点C 和点D 是一组对称点 ∴CE= 即点E 是CD 的中点（3）根据折叠可得，弧AC=弧AD, 弧BC=弧BD, 结论：垂径定理及其推论 1、垂直于弦的直径弦，并且弦所对的两段弧 2、推论：平分弦（不是直径）的直径并且弦所对的两条弧三、规律总结;垂径定理及其推论与“知二得三” 对于一个圆和一条直线，若具备：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以退出其他三个结论四、垂径定理基本图形的四变量、两关系四变量：弦长a,圆心到弦的距离d,半径r ，弓形高h ，这四个量知道任意两个可求其他两个。五、垂径定理及其推论的应用（一）、选择题： 1、已知圆内一条弦与直径相交成300角，且分直径成1CM 和5CM 两部分，则这条弦的弦心距是： A 、 B 、1 C 、2 D 、25 2、AB 、CD 是⊙O 内两条互相垂直的弦，相交于圆内P 点，圆的半径为5，两条弦的长均为8，则OP 的长为： A 、3 B 、3 C 、3 D 、2 3、⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，⊙O 的半径为2，则等边三角形ABC 的边长为（） A B C ． D ．4、如图2，⊙O 的弦AB =6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（）A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 5、高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（） A ．5 B ．7 C ． 375 D ．377 6、如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的半径为（） A ．6.5米 B ．9米 C ．13米 D ．15米 7、如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AB 是直径．若80BOC ∠=°，则A ∠等于（） A ．60° B ．50° C ．40° D ．30°

余弦定理复习导学案

余弦定理复习导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第2课时知能目标解读 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理，理解用数量积推导余弦定理的过程，并体会向量在解决三角形的度量问题时的作用. 2.了解余弦定理的几种变形公式及形式. 3.会从方程的角度来理解余弦定理的作用及适用范围，并会用余弦定理解决“已知三边求三角形的三角”及“已知两边及其夹角求三角形中其他的边和角”等问题. 4.能熟练应用余弦定理解三角形以及现实生活中的实际问题. 重点难点点拨重点：余弦定理的证明及其应用. 难点：处理三角形问题恰当地选择正弦定理或余弦定理. 学习方法指导一、余弦定理 1.余弦定理：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，那么有如下结论：a2=b2+c2-2bc cos A,b2=a2+c2-2ac cos B,c2=a2+b2-2ab cos C. 即三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.这一结论叫做余弦定理，它揭示了任意三角形边角之间的客观规律.也是解三角形的重要工具. 注意：（1）在余弦定理的每一个等式中含有四个量，利用方程的思想，可以知三求一. （2）余弦定理也为求三角形的有关量（如面积，外接圆，内切圆等）提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛. 2.关于公式的变形：将余弦定理稍加变形，可以得到另外的形式，我们称为余弦定理的推论.掌握这些表达形式，可以帮助我们深入理解和灵活应用余弦定理. cos A= bc a c b 2 2 2 2- + ，cos B= ac b c a 2 2 2 2- + ，cos C= ab c b a 2 2 2 2- + . 由上述变形，结合余弦函数的性质，可知道：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角为钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角为锐角.从这一点说，余弦定理可以看作勾股定理的推广，而勾股定理则是余弦定理的特例. 二、余弦定理的证明教材中给出了用向量的数量积证明余弦定理的方法，是平面向量知识在解三角形中的应用.另外，对余弦定理的证明，还可以应用解析法、几何法等方法证明. 证明：方法1：（解析法）如图所示，以A为原点，△ABC的边AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.

北师大版数学九年级下册第三章3.3(1)垂径定理(导学案,无答案)(最新整理)

O C E D O 一、教学目标 3.3（1）垂径定理 1. 利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理； 2. 运用垂径定理及其逆定理解决问题．二、教学重点和难点重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线三、教学过程（一）情境引入： 1．如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD ，使 CD ⊥AB ，垂足为 M ．（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能图中有哪些等量关系？（3）你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）（二）知识探究：【探究一】通过上面的证明过程，我们可以得到： 1. 垂径定理 2. 注意： ①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。 ③定理中的两个条件缺一不可—— ，． 3. 给出几何语言 ? 如图，已知在⊙O 中，A B 是弦，C D 是直径，如果 CD⊥AB,垂足为 E, 那么 AE= , AC C ? = , B D = 4. 辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？ B B D O C C D A A E B O

B O A 【探究二】 1. 如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分 AB 的直径 CD ，交 AB 于点 M . （1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由. 2. 垂径定理的推论： 3. 辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？反例： C D 4. 如图，在⊙O 中，AB 是弦（不是直径），CD 是直径， C ? ? （1）如果 AE=BE 那么 CD AB, AC = BD = ? ? ? (2)如果 AC = BC 那么 CD AB ，AE BE ， B D = ? ? ? （3）如果 AD = BD 那么 CD AB ，AE BE ， AC = （三）典例讲解： 1. 例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中 ⌒ ,点 0 是⌒ 所在圆的圆心），其中 CD CD CD =600m ，E ⌒ 为上的一点，且 CD OE ⊥CD ，垂足为 F ，EF =90m.求这段弯路的半径． 2. 如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？ A E B O

1.1探索勾股定理

探索勾股定理（一）一、活动探究观察下面两幅图：（1）填表：（2）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流．（3）如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，用直角三角形的边长来表示上图中正方形的面积（4）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？分别以3厘米、4厘米为直角边作出一个直角三角形呢？用符号表示为：变形公式：（1）___________________________ ( 2 ) 二、勾股定理的简单应用 1、如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m 处折断倒下，

树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？ 2、求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度 3、直角三角形两边长为3和4，求第三边长的平方 4、小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？想一想：观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足222c b a =+ 基础训练: 1．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，则梯脚与墙角的距离应为米． 2．如图，小张为测量校园内池塘A ，B 两点的距离，他在池塘边选定一点 C ，使∠ABC ＝90°，并测得AC 长26m ，BC 长24m ，则A ，B 两点间的距离为 m ． ?225 100x 17a b c a b c C B

初中数学九年级24.1.2垂径定理导学案(一)

C B D O A 垂径定理导学案(一) 【学习目标】1.根据圆的对称性探究垂径定理，掌握垂径定理. 2.利用垂径定理解决一些实际问题．【学习关键】区分“垂径定理”的题设与结论。【导学过程】一．创设情景引入新课如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m ，拱高（弧的中点到弦的距离）为 m ，求赵州桥主桥拱的半径（精确到 m ）．（书本82页例题）二、新知导学（一）探究一：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，你发现了什么结论：圆是_____对称图形，_______________是它的对称轴。（二）探究二：如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为E ．（1）如图是轴对称图形吗如果是，其对称轴是什么（2）用折叠法猜测图中有哪些相等的线段和弧如何验证相等的线段：______________ 相等的弧： _____=______；_____=______。垂径定理：文字语言：垂直于弦的直径_______，并且__________________。（题设，结论）符号语言：∵CD 是⊙O_____，AB 是⊙O______，且CD__AB 于E ∴____=_____，_____=______，_____=______。 (三) 探究三：用垂径定理解决问题已知：⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径。归纳：圆中常用辅助线——作弦心距，构造Rt △.弦（a ）、半径（r ）、弦心距（d ），三个量关系为。 (四) 探究四：垂径定理的推论文字语言：平分弦（）的直径_______，并且______ ______。符号语言：∵AB 是⊙O_____， _____=______ ∴____=_____，_____=______，_____=______。 (五)利用新知问题回解赵州桥AB=8，CD=2，求半径。书本82页例题三、巩固练习，拓展提高 1.如图，两圆都以点O 为圆心，求证:AC=BD 2.已知：⊙O 中弦AB ∥CD 。求证：AC ＝BD 3.圆的平行两条弦长分别为6cm 、8cm,圆的半径为5cm, 求平行两弦之间的距离四、我的收获 C E D O

余弦定理导学案

课题：必修5第二章1、2余弦定理学习目标： 1．掌握余弦定理及其推导过程，探索推导的多种方法； 2．能够利用余弦定理解决斜三角形的计算等相关问题课时安排：一课时教学过程：一、复习引入： 1正弦定理：在任一个三角形中，和比相等，即：（R为△ABC外接圆半径） 2正弦定理的应用：从理论上正弦定理可解决两类问题：（1）．已知，求其它两边和一角；（2）．已知，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（注意解的情况）3．已知：在三角形ABC中b=8.c=3.A＝600能求a吗？（用勾股定理来证明）二、自主探究： [问题]：思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？已知：在三角形ABC中，AB=c,AC=b和A求a 阅读教材，探索讨论余弦定理及其推导过程：（用向量来证明）余弦定理： _____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 即：_________________________________________________ 推论：_______________________________________ [问题]1.你还能用其他的方法来推导余弦定理吗？ 2、余弦定理与勾股定理有怎样的关系？ 3、观察余弦定理及其推论，我们可以用它们来解决哪类有关三角形的问题。试试：（1）△ABC中，33 a=，2 c=，150 B=o，求b．（2）△ABC中，2 a=，2 b=，31 c=+，求A．三、展示点评例1.在△ABC中，已知3 a=，2 b=，45 B=o，求,A C和c．【思路探究】例2.在ΔABC中，已知a＝7，b=3，c＝5,求最大角和sinC。．【思路探究】四、总结提升 ※学习小结五、课后作业 .在△ABC中，已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且2cosAsinB=sinC,判断△ABC的形状。

垂径定理学案、教学设计

24.1.2垂直于弦的直径导学案广水市实验中学张运才【学习目标】 1.理解圆的轴对称性． 2.理解垂径定理及其推论，并能应用它们解决有关弦的计算和证明问题．【学习重点】垂直于弦的直径的性质、推论以及证明．【学习难点】利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．【学习过程】【我能行】学生自学课本Ｐ80---P81，按照提示思考下面问题：（一）情景导入：观看赵州桥视频。聪明的同学们，你能求出赵州桥桥拱所在圆的半径吗？（二）自主探究：先自主探究，后小组交流。探究一：把一个圆沿着它的任意一条直径所在的直线对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得出什么结论？我发现：（1）把圆纸片沿着它的任意一条直径所在的直线对折叠时，两个半圆．（2）上面的实验说明：圆是____ __，对称轴是经过圆心的每一条____ ___．圆有条对称轴．探究二：请同学们按下面的步骤做一做：第一步，把一个⊙O对折，使圆的两半部分重合，得到一条折痕CD；第二步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，再沿垂线折叠，得到新的折痕，其中点E 是两条折痕的交点，即垂足；第三步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，画出折痕AB、CD．观察你所折纸片：（1）在上述的操作过程中，由圆的轴对称性你能得到哪些相等的线段和相等的弧？（2）你能用一句话概括上述结论吗？（3）请作出图形并用符号语言表述这个结论．练习：如下图，哪些能使用垂径定理？为什么？【交流学】先独立完成，后小组交流。 1.垂径定理结构：条件：①直径CD过圆心O②CD⊥AB结论：③AE=BE ④弧AC= 弧BC ⑤弧AD=弧BD.如果交换定理的题设和结论的部分语句，如①③作为题设，②④⑤作为结论，命题成立吗？例如在⊙O中，CD是直径，AB是的弦，CD与AB交于点E.如果AE=BE，那么CD与AB垂直吗？注意分情况讨论：（1）若AB是⊙O的直径，CD与AB垂直吗？为什么？（2）若AB不是⊙O的直径，CD与AB垂直吗？为什么？思考：你能用一句话概括上述结论吗？推论：如果交换定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的新结论呢？它们成立吗？发现：

余弦定理学案

余弦定理学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

2 第一章解三角形第二节余弦定理一、【教学目标】 1.掌握余弦定理的推导过程； 2.应用余弦定理解斜三角形； 3.利用余弦定理进行三角形中的边角关系的转换. 二、【知识梳理】 1.余弦定理：三角形任何一边的_____等于其他两边__________减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 形式一： a 2＝， b 2＝， c 2＝ . 形式二： cos A ＝，cos B ＝，cos C ＝ . 2. 在ABC ?中，根据余弦定理：（1）如果22a b +=2c ，则∠C 为____角；（2）如果22a b +>2c ，则∠C 为____角；（3）如果22a b +<2c ，则∠C 为____角. 三、【典例剖析】（一）已知两边及一角解三角形例1:（1）在△ABC 中，(1)已知b =3，c =1，A=60°，求a ；（2）已知b =3，c B=30°，求a 变式练习：在△ABC 中，已知a =2，b =3，C=60°，试证明此三角形为锐角三角形. （二）、已知三边或三边关系解三角形。例2、（1）、在△ABC 中，如果sinA ：sinB ：sinC=2：3：4，那么cosC 等于________ （2）、已知a =7，b =c 变式训练：1.在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，求最大内角的余弦值. 2. 在△ABC 中，已知a =8，b ＝7，C ＝60°，求c 及S △ABC . 3.已知△ABC 中，a ，b ，B ＝45°，求c 及S △ABC .

浙教版八上《探索勾股定理》word导学案

2．6探索勾股定理（2）班级姓名得分学习目标 1. 经历勾股定理逆定理折探究过程。 2. 掌握用勾股定理来判定一个三角形是直角三角形。学习重点勾股定理逆定理学习难点几何推演中的数式运算与变形么，如果一个三角形的两边的平方和是第三边的平方，这个三角形是直角三角形吗？ 1．作四个三角形，使其边长分别为3cm ，4cm ，5cm ；6cm ，8cm ，10cm ；5cm ，12cm ，13cm ；4cm ，5cm ，8cm ；（1）算一算较短两边的平方和是否是最长边的平方； a b c a 2+b 2与c 2的关系最大的角 3 4 5 6 8 10 5 12 13 4 5 8 由此猜想：【反思小结】1、哪条边所对的角是直角？ 2、如果较短的两条边的平方和不等于最长边的平方，这个三角形还是直角三角形吗？【类型之一】根据下列条件，判断以a ，b ，c 为边的三角形是不是直角三角形。（1）a=7， b=24，c=25；（2）a= 31， b=41，c=5 1；（3）a ： b ：c=5：12：13。【类型之二】在ΔABC 中，三角形的三边依次为a ，b ，c ，且a=2 2 n m -，b=2mn ，c=2 2 n m +（n m n m ,,>是正整数），ΔABC 是直角三角形吗？请说明理由。【学习笔记】判定一个三角形是直角三角形的步骤如下:(1)首先确定最大边(2)验证另两边的平方和是不是等于最大边的平方. 【类型之三】如图，△ABC 分别以a 、b 、c 为边向外作正方形，若S 1+S 2=S 3，请判断△ABC 的形状. 变式1:把以AB 为边的正方形向另一测作轴对称变换,如图，以△ABC 的每一条边为边作三个正方形。已知这三个正方形构成的图形中，黄色部分的面积与蓝色部分的面积相等，则△ABC 是直角三角形吗？变式2: △ABC 分别以a 、b 、c 为边向外作等腰直角三角形，若S 1+S 2=S 3，请判断△ABC 的形状. G E S 3 S 2S 1 C B A A S 3 S 2 S 1C B

垂径定理及其推论

垂径定理及其推论一、复习旧知复习前面学习的圆的基本元素，重点复习圆心角、弧、弦之间的关系；强调圆是旋转对称图形、轴对称图形和中心对称图形。二、情境导入（出示赵州桥图片）问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m ，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？现在同学们不会求，但是学了这节课你们就能把主桥拱的半径求出来了。三、出示学习目标 1、利用圆的轴对称性探究垂径定理 2、理清垂径定理及其推论的题设和结论。 3、运用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明。 4、学会与垂径定理有关的添加辅助线的方法四、自学探究 1、如图,在纸上画⊙O ，AB 是⊙O 的一条弦, 作直径CD ⊥AB, 垂足为E.沿CD 折叠，你能发现图中有那些相等的线段和弧? 你能发现什么结论? 线段: AE=BE 弧: AC=BC, AD=BD 2、得出猜想垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 D

即如果CD⊥AB，那么AE=BE,弧AC=弧BC,弧AD=弧BD 3、请根据猜想写出命题的已知、求证，并写出证明过程 4、得出结论经过证明，以上命题是真命题。即垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧是成立的，我们把这个真命题叫做垂径定理四、检测 1、（出示图形）检查下列图形是否具备应用垂径定理的条件？五、例题讲解已知：如图在⊙O中，弦AB的长是8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙半径技巧总结：从例题看出圆的半径OA，弦心距OE及半弦长AE构成Rt△AOE.把垂径定理和勾股定理结合起来，解决问题。六、练习如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm。七、思考将垂径定理的题设和结论调换，命题还成立吗？ 1、如果圆的一条直径平分弦（不是直径），那么它垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧写出此命题的已知求证，并进行证明。 2、经验证，命题是正确的，由此得出垂径定理的推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。

正余弦定理学案

1．1 ．1 正弦定理 1．初中我们学过解直角三角形，回忆一下直角三角形中的边角关系边：；角：边角关系：即： 2．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的的比，即 3．正弦定理的变形：（1）（2）（3） 4．正弦定理的作用： ① ； ② 。 5．解三角形：一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的的过程叫作解三角形。 6．三角形面积公式为：课堂互动一、已知两角及一边解三角形例1：已知⊿ABC 中，c=10,A=45°C=30°求b,?S ；二、已知两边及一边的对角解三角形例2：C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===? 探究：解的情况（1）⊿ABC 中，∵π<

(1)a=5,b=4,A=120°,求B （解）;(2)a=5,b=4,A=90°,求B （解） (3)a=5,b= 3 3 10,A=60°,求B （）;(4)a=20,b=28,A=40°,求B （解）学后反思：课堂检测 1．已知⊿ABC 中，a=100,c=350,A=45°,求C 2．⊿ABC 中，已知a=4,b=24,B=45°，求A 3．⊿ABC 中，() 132,60,45+=?=?=a C B ，求⊿ABC 的面积S 及边b （不要近似计算） 4．求边长为a 的等边三角形的面积。 5．已知b=12,A=30°B=120°,求?S 6．已知?ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c 7．（2010湖北理）在中，a=15,b=10,A=60°，则为 A － B C － D 8．已知?ABC 中，一定成立的等式是( ) 1．1 ．2 余弦定理 1．正余弦定理： 2．正弦定理的变形：（1）（2）（3） 3．三角形面积公式为： 4．余弦定理： ? ? ? 5．对公式的认识：（1）是余弦定理的特例（2）余弦定理主要作用：（1）；（2） 6．三角形形状的判定：（1）若A 为直角，则（2）若A 为锐角，则（3）若A 为钝角，则课堂互动一、已知两边及夹角解三角形 ABC ?cos B 3 3 33B b A a A sin sin .=　B b A a B cos cos .=　A b B a C sin sin .=　A b B a D cos cos .=

2．⊙O 的半径为13cm ，AB 、CD 为⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB ＝24cm ，CD ＝10cm ，求 AB 和CD 之间的距离。三．提高练习： 3．已知： A 、B 、C 为⊙O 上的三点，且AB ＝ AC ，圆心O 到BC 的距离为3cm,，半径A0= 7cm ，求AB 的长度. 四．课后思考： 4.如右图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB 为7.2m ，拱高CD 为2.4m ，现有一艘长10m 、宽为3m 、船舱顶部为长方形并高出水面2m 的货船要经过这里，此货船能顺利通过拱桥吗？ B A